A Note of additive Cyclic Codes

Scientific Journal of Information Engineering December 2015, Volume 5, Issue 6, PP.177-181

A Note of Z 2 Z 4 - additive Cyclic Codes Jiaojiao Zhong†, Wanbao Hu, Fang Hu

School of Mathematics and computational science, Anqing Teachers College, Anqing Anhui 246133, China †

Email: 369907182@qq.com

Abstract Taher

Abualrub,

Irfan

Siap

and

Nuh

( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) , g ( x ) + 2a ( x ) ) )

C

Aydin

studied

Z 2 Z 4 - additive cyclic codes by generator polynomial

in which these codes are identified as Z 4 [ x]-

submodules of the ring

= Rr , s Z 2 [ x] / 〈 x − 1〉 × Z 4 [ x] / 〈 x − 1〉 in their paper Z 2 Z 4 - Additive Cyclic codes. However, the results didn’t hold in the special r

s

case when deg g ( x ) = deg a ( x ) . So, we discuss the structure of this family of codes, and then we obtain a number of binary linear codes with optimal parameters.

Keywords: Z 2 Z 4 - Additive Codes; Additive Cyclic Codes; Optimal Codes

Z 2 Z 4 - 加性循环码的一个注记 钟娇娇，胡万宝，胡芳 安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133 摘 要：Taher Abualrub，Irfan Siap 和 Nuh Aydin 在文献《 Z 2 Z 4 - Additive Cyclic codes》中研究了 Z 2 Z 4 - 加性循环码，此

Rr , s Z 2 [ x] / 〈 x r − 1〉 × Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 的 Z 4 [ x]- 子模。它的生成多项式为 码被定义为环= = C

( ( f ( x ) ,0) , ( l ( x ) , g ( x ) + 2a ( x ) ) ) 。

然而，Taher Abualrub 等人并未指出 deg g ( x ) = deg a ( x ) 时的特殊情况。我们将讨论此情况下， Z 2 Z 4 - 加性循环码的码字 结构，并得到一系列二进制线性码的最优参数。 关键词： Z 2 Z 4 - 加性码； Z 2 Z 4 - 加性循环码；最优码

引言 1， 2， 3} 分别是模 2、模 4 的剩余类环。自 20 世纪 50 年代起，二元循环码便被认为是 Z 2 = {0,1} ， Z 4 = {0， 最重要的一类纠错码[1]。实际上，在过去的 60 年里，有限域上的线性码丰富的代数结构在纠错码的应用中 起着重要的作用。1990 年以来，环 Z 4 上的码也越来越受关注[2][3]，特别是 Z 4 上的线性码和循环码一直在被 研究，它的结构被深入分析、探讨。近年来，由于二进制线性码和四进制线性码的推广，一类新的纠错码 产生了，即 Z 2 Z 4 - 加性码[4][5]。一个 Z 2 Z 4 - 加性码 C 可以被定义为 Z 2r Z 4s 的子群。当 s = 0 时， Z 2 Z 4 - 加性码 恰好是 Z 2 上的二元线性码，当 r = 0 时， Z 2 Z 4 - 加性码是 Z 4 上的线性码，这类码可看作是包括二进制和四进 制的子类。鉴于 Z 2 Z 4 - 加性码已经显示了它良好的前景，我们相信除了它的实际应用以外，它还会让我们得 到新的好码。循环码通常在一个确定的环中被定义为理想。在本文中， Z 2 Z 4 - 加性循环码可以被定义为 Z 2 [ x] / 〈 x r − 1〉 × Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 的 Z 4 [ x]- 子模。

1

关于 Z 2 Z 4 - 加性循环码 定义 1.1：若非空子集 C 是交换群 Z 2r × Z 4s 的子群，则称 C 是 Z 2 Z 4 - 加性码。 由交换群的结构定理，若 C 是 Z 2 Z 4 - 加性码，则存在正整数 γ , δ 满足 C ≅ Z 2γ × Z 4δ ，且 γ , δ 由 C 唯一决定。 在[1]中，扩展的 Gary 映射有： = ∀x

Z 2r , ∀y ( y1 , , ys ) ∈ Z 4s . ( x1 , , xr ) ∈ = - 177 http://www.sjie.org

Φ : Z 2r × Z 4s → Z 2n

Φ ( x, y ) → ( x, φ ( y1 ) , , φ ( ys ) )

若φ

是 Z 4 到 Z 22 的

Gary 映射：

φ ( 0 ) = ( 0, 0 ) , φ (1) = ( 0,1) , φ ( 2 ) = (1,1) , φ ( 3) = (1,0 ) .

∀x ∈ Z 4 ，lee 重量 WL ( x ) 定义为：

WL ( 0 ) = 0 , WL (1)= 1= WL ( 3) , WL ( 2 ) = 2 .

所以，Gary 映射下的从 Z 2r

× Z 4s 的 lee 重量到 Z 2n 的 Hamming 重量相等。

设 X ( Y )对应 Z 2 ( Z 4 )的分量位置 = ∀Z

( x1 , , xr , y1 , , ys ) ∈ Z 2r × Z 4s Z X := ( x1 , , xr ) ; ZY := ( y1 , , ys ) ; = CX : = CY :

{Z X Z ∈ C } ; { ZY Z ∈ C } .

即 C X ( CY )为删除 C 中元素的后 s 个（前 r 个）分量所得到的截断码。 设 Cb 表示 C 中阶为 2 的码字的集合，从而 ( Cb ) x 是 Z 2 上的线性码。

所以 ( Cb ) x 可看作 Z 2 上的向量空间，维数为 k .当 r = 0 时， k = 0 。 对于线性码 C ， = d H ( C ) min {w ( c ) 0 ≠ c ∈ C} .

即 d H ( C ) 为 C 中所有非零码字 c 的 Hamming 重量的最小值。

定义 1.2：若 C ⊆ Z 2r × Z 4s 是 Z 2 Z 4 - 加性码， C ≅ Z 2 × Z 4δ 。因此， C 是一个形如 2γ 4δ 的群， C = 2γ + 2δ ， γ

阶为 2 的码字数为 2γ +δ 。 若 C 是 Z 2 Z 4 - 加性循环码，则 C 的型为 ( r、s、γ 、δ 、κ ) ， k = dim z2 ( Cb ) x ， C 经过 Gary 映射码长为 n= r + 2 s 。

定义 1.3： Z 2r × Z 4s 上的非空集合 C 被称为 Z 2 Z 4 - 加性循环码，则： （1）C是一个加性码

= （2） ∀u

( a0 a1  ar −1 , b0b1 bs −1 ) ∈ C 的一次循环， = T ( u ) ( ar −1a0  ar − 2 , bs −1b0  bs − 2 ) ∈ C . ∀u = ( a0 a1  a= r −1 , b0 b1  bs −1 ) ， v

( d0 d1  d r −1 , e0 e1  es −1 ) ∈ Z 2r × Z 4s .

根据文献[4]定义： u= ∗ v 2a0 d 0 + 2a1d1 +  2ar −1d r −1 + b0 e0 + b1e1 +  bs −1es −1 mod 4 s −1  r −1  =  2 ∑ ai di + ∑ b j e j  mod 4 . =  i 0=j 0 

定义 1.4：若 C 是 Z 2 Z 4 - 循环码，则称 C ⊥ =

{v ∈ Z

r 2

}

× Z 4s u ⋅ v = 0, ∀u ∈ C 为 C 的对偶码。

⊥

容易证明， C 也是循环码。

2

关于 C = ( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ) 的构造及最优参数 因为 C 和 Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 都是 Rr , s 上的 Z 4 [ x]- 子模。

ϕ ： C → Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 ， ϕ ( f1 ( x ) , f 2 ( x) ) = f 2 ( x ) .

ϕ 是模同态，像( ϕ )是 Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 上的 Z 4 [ x]- 子模。则像( ϕ )可以看做环 Z 4 [ x] / 〈 x s − 1〉 的理想。 ϕ ( c ) = 3a ( x ) ， a( x) | ( x s − 1) mod 4 .

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根据第一同构定理， C / ker (ϕ ) ≅ 3a ( x ) .

若 ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ∈ C ，则 ϕ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) = 3a ( x ) 。 因为核( ϕ )是 C 的子模， ker (ϕ ) = = I:

{( f ( x), 0) ∈ C : f ( x ) ∈ Z [ x] / 〈 x

} − 1〉 ( f ( x), 0 ) ∈ ker (ϕ )} .

2

{ f ( x ) ∈ Z [ x] / 〈 x 2

r

由于 I 是一个理想， I = f ( x ) 。 ∀ ( j ( x ) , 0 ) ∈ ker (ϕ ) ， j ( x )= I=

r

− 1〉 ，

f ( x) ，

∃m1 ( x ) ∈ Z 2 [ x] / 〈 x − 1〉 ， j ( x ) = m1 ( x ) f ( x ) ， r

) , 0) ( j ( x=

所以， C=

m1 ( x ) ∗ ( f ( x ) , 0 ) .

( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ) .

引理 2.1：若 C 是 Rr , s 上的循环码，则：

( ) （2）当 ( x − 1) ( x − 1 / a ( x ) ) l ( x ) mod 2 ， a ( x ) ( x − 1) mod 4 ， C = ( l ( x ) ,3a ( x ) ) 。 （3）当 f ( x ) ( x − 1) mod 2 ， a ( x ) ( x − 1) mod 4 ， f ( x ) ( x − 1 / a ( x ) ) l ( x ) mod 2 ， （1）当 f ( x ) x r − 1 mod 2 ， C = ( f ( x ) , 0 ) 。 r

s

s

r

s

s

( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ) .

2.2 ： C = ( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ) 是 Rr , s 上 的 循 环 码 ， 当 f ( x ) , l ( x ) , a ( x ) 满 足 引 理 C=

定理

deg f ( x ) = t1 ， deg a ( x ) = t2 。

S1 = = S2

r −t1 −1

 { xi ∗ ( f ( x ) , 0 )} ，

i =0 s −t2 −1

 { xi ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) )} ，

i =0

S= S1 ∪ S2 .

证明： C ( x ) 是 C 上的码字， 多项式 d1 ( x ) ∈ Z 2 [ x ] d 2 ( x ) ∈ Z 4 [ x ] ， C ( x ) = d1 ( x ) ∗ ( f ( x), 0 ) + d 2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) .

当 deg ( d1 ( x ) ) ≤ r − t1 − 1 时， d1 ( x ) ∗ ( f ( x),0 ) ∈ span ( S1 ) 。

否则，通过带余除法，得到 q1 ( x ) , r1 ( x ) ∈ Z 2 [ x ] ，

 xr − 1  = d1 ( x )   q1 ( x ) + r1 ( x ) .  f ( x)  当 r1 ( x ) = 0 或 deg ( d1 ( x ) ) ≤ r − t1 − 1 ，   xr − 1   d1 ( x ) ∗ ( = f ( x), 0 )   q x r x + ∗ ( f ( x), 0 )  ( ) ( )  1 1  f ( x)     

= r1 ( x ) ∗ ( f ( x),0 ) . 所以， 当 deg ( d 2 ( x ) ) ≤ s − t2 − 1 时，

d1 ( x ) ∗ ( f ( x),0 ) ∈ span ( S1 ) .

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3.1 。

d 2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ∈ span ( S2 ) .

否则，再次带余除法， h ( x ) =

x −1 ， a ( x) s

= d 2 ( x ) h ( x ) q2 ( x ) + r2 ( x ) ，

当 r2 ( x ) = 0 或 deg ( r2 ( x ) ) ≤ s − t2 − 1 ，

( h ( x ) q2 ( x ) + r2 ( x ) ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) q2 ( x ) ∗ ( h ( x ) l ( x ) , 0 ) + r2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) . r2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ∈ span ( S2 ) .

d 2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a (= x ))

=

(

)

 f ( x ) xs − 1 / a ( x ) l ( x ) ，

(

)

∴∃k ( x ) ∈ Z 4 [ x] ，使得 x s − 1 / a ( x ) l ( x ) = f ( x) k ( x) 。

所以，

 xs − 1  q2 ( x ) l ( x ) , 0  ∈ span ( S1 ) ,   a ( x)  q2 ( x ) ∗ ( h ( x ) l ( x ) , 0 ) ∈ span ( S1 ) . 所以， S= S1 ∪ S2 是 C 上的一个张成集合。 S1 有 2r −t 个码字，S2 有 4s −t 个码字。 1

推论 2.3： C 是 Rr , s 上的循环码

(

2

)

x ) i ( x ) ∗ ( f ( x),0 ) 。其 （1）若 C = ( f ( x),0 ) ，当 f ( x ) x r − 1 mod 2 ， deg f ( x ) = t1 ， ∀c ( x ) ∈ C ，有 c (= 中 i ( x ) ∈ Z 2 [ x] ， deg ( i ( x ) ) = r − t1 − 1 。

(

) (x

（2）若 C = ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ， 当 x r − 1

s

)

(

)

− 1 / a ( x ) l ( x ) mod 2 ， a ( x ) x s − 1 mod 4 ， x s − 1 =a ( x ) h ( x ) 。

∀c ( x ) ∈ C ，有 c (= x ) i ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ，其中 i ( x ) ∈ Z 4 [ x] ， deg ( i ( x ) ) =s − t2 − 1 。

（3）若 C =

(

)

( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) )

a ( x ) x − 1 mod 4 ， deg f ( x ) = t1 deg a ( x ) = t2 。 s

(

)

(

)

， 当 f ( x ) x r − 1 mod 2 ， f ( x ) x s − 1 / a ( x ) l ( x ) mod 2 ，

∀c ( x ) ∈ C ，有 c ( x ) = i1 ( x ) ∗ ( f ( x), 0 ) + i2 ( x ) ∗ ( l ( x ) ,3a ( x ) ) 。

其中 i1 ( x ) ∈ Z 2 [ x] ， i2 ( x ) ∈ Z 4 [ x] ， deg ( i1 ( x ) ) = r − t1 − 1 ， deg ( i2 ( x ) ) =s − t2 − 1 。 定义 2.4：设 C 是型 (α、β 、γ 、δ 、κ ) 的 Z 2 Z 4 - 加性码， d ( C ) 是 C 的极小 lee 距离，则： d (C ) − 1 α γ ≤ + β − −δ , 2 2 2  d ( C ) − 1   ≤α + β −γ −δ .

2  

(1) (2)

当 C 满足第一个不等式的相等条件时，则称为 MDSS 码； 当 C 满足第二个不等式的相等条件时，则称为 MDSR 码。 例 1：若 C =

( ( f ( x ) , 0 ) , ( l ( x ) ,3a ( x ) ) ) 是 Rr ,s 上的循环码，则其中 f ( x )=

型如 [r , s, r − 1, s, r − 1] 的 MDSS 码 。 [6]

证明：显然 d ( c ) = 2 。根据定理 6 知，C 有 2r −14s 个码字。 令 γ= r −1 ， δ = s 则

d (c) − 1 2

=

1 2

r γ r r −1 1 + s − −δ = + s − −s= 2 2 2 2 2

所以，C 是一个型如 [r , s, r − 1, s, r − 1] 的 MDSS 码。 - 180 http://www.sjie.org

x + 1 ， l= ( x ) 1 。则 C 是 ( x ) a=

(

)) 是 Z Z - 循 环 码 ， 其 中

(

例 2 ： 设= x − 1,3 x 2 +x + 1 R2,3 Z 2 [ x] / 〈 x 2 − 1〉 × Z 4 [ x] / 〈 x3 − 1〉 ， 若 C =

2 4

l ( x )= x − 1 , a= ( x ) x +x + 1 ，求它的所有码字及这些码字成为好码的最优参数。 2

解： C 有 43− 2 = 4 个码字。 表格中所列的具有最优参数的码，可以通过对其代数结构的研究而生成。 可以预见，若运用 Magma 系统搜索[7]，将得到更多的最优码 [8]。 表 1 C = (( x − 1),3( x + x + 1)) 在 R2,3 上的所有码字及它们的重量 2

Codewords

(0,0)

Wt(v)

0

( x − 1,3x

2

+ 3x + 3

)

( 0, 2 x

5

2

+ 2x + 2

) ( x − 1, x

6

2

)

+ x +1

5

表2 码的最优参数 Generators

Z 2 Z 4 type

[ 2,3,0,1,0]

l ( x ) = 0, a ( x ) = 2 x + 2 x + 2 2

Bin Im

[10, 2, 6]

REFERENCES [1]

V. Pless, Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1998

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R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. A. Sloane, and P. Sole, “The linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and related codes,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 40, no. 2, pp. 301-309, Mar. 1994

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J. Borges, C. Fernandez-Cordoba, J. Pujol, J. Rifa, and M. Villanueva, “ Z 2 Z 4 - linear codes: Generator matrices and duality,” Des. Codes Cryptogrph, vol. 54, no. 2, pp. 167-179, 2009

[5]

M. Bilai. J. Borges, S. T. Dougherty. And C. Fernandez-Cordoba, “Maximum distance separable codes over Z 4 and Z 2 × Z 4 ” Des. Codes Cryptogrph, vol. 61, no. 1, pp.31-40, 2011

[6]

Taher Abualrub, Irfan Siap, and Nuh Aydin, “ Z 2 Z 4 - Additive Cyclic Codes,” IEE Trans. Inf. Theory, vol. 60, no.3, pp. 1508-1514, March. 2014

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W. Bosma, J. Cannon, and C. Playoust, “The Magma algebra system. I. The user language,” J. Symbolic Comput., vol. 24, pp.

235-265, Sep. 1997

[8]

M. Grassl. (1995). Table of Bounds on Linear Codes [Online]. Available: http://www.codetable.de

【作者简介】 1

钟娇娇（1991-），女，汉，在读硕士

研究生，研究方向为编码与密码。

2

胡万宝（1963-），男，汉，博士，教授，研究方向为编码

与密码。Email: huwanb@aqtc.edu.cn

Email: 369907182@qq.com 3

胡芳（1990-），女，汉，在读硕士研究生，研究方向为编

码与密码。Email: 417072095@qq.com

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