The Existence of Solutions for Boundary Value Problem of Fractional Order Impulsive Differential Equ

Mathematical Computation March 2015, Volume 4, Issue 1, PP.19-24

The Existence of Solutions for Boundary Value Problem of Fractional Order Impulsive Differential Equations Haiming Li, Weihua Jiang # College of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang Hebei 050018, China #

Email: weihuajiang@hebust.edu.cn

Abstract By defining appropriate linear space and norm, giving the appropriate operator, using the contraction mapping principle and krasnoselskii fixed point theorem, respectively, the existence and uniqueness of solutions for boundary value problem of fractional order impulsive differential equations is investigated under the certain conditions that nonlinear term and pulse value is satisfied.

Keywords: Contraction Mapping Principle; Impulsive; Differential Equations; Fractional Calculus; Boundary Value Problem

分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性* 李海明，江卫华 河北科技大学 理学院，河北 石家庄 050018 摘

要：通过定义合适的线性空间以及范数，给出恰当的算子，在非线性项和脉冲值满足一定的条件下，分别利用压缩映

像原理和 krasnoselskii 不动点定理，研究了分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性和唯一性。 关键词：压缩映像原理；脉冲；微分方程组；分数阶微积分；边值问题

引言 分数阶微分方程的出现已有 300 多年历史。由于其理论的自身发展以及在流变学、电子网络、粘弹性、 物理化学、分析化学、生物学和控制理论等学科中的广泛应用，使得分数阶微分方程受到越来越多学者的广 [1-8]

泛关注

。

文献[1]中研究了非线性脉冲微分方程边值问题：  c D q x(t )  f (t , x(t )), 1  q  2, t  J1  [0,1] \ {t1 , t2 ,..., t p },   ,   x(tk )  I k ( x(tk )), x (tk )  J k ( x(t k )), t k  (0,1), k  1, 2,..., p,  x(0)  x(0)  0, x(1)  x(1)  0.  解的存在性。 受上述文献的启发，本文研究如下非线性脉冲微分方程组边值问题：  c D q x(t )  f (t , x(t )), 1  q  2, t  J1  [0,1] \ {t1 , t2 ,..., t p },   ,   x(tk )  I k ( x(tk )), x (tk )  J k ( x(t k )), t k  (0,1), k  1, 2,..., p,  mx(0)  nx(0)  e, rx(1)  wx(1)  f , 

(1)

解的存在性。 其 中 c D 是 Caputo 分 数 阶 导 数 ， f :[0,1]  R  R 是 一 个 连 续 函 数 I k , J k : R  R, x(tk )  x(tk )  x(tk ) ， *

基金资助：河北省自然科学基金项目 (A2013208147)。 - 19 www.ivypub.org/mc

x(tk )  lim x(tk  h), x(tk )  lim x(tk  h)  x(tk ) ， k  1, 2,..., p ， 0  t0  t1  t2    t p  t p 1  1 。 h 0

h 0

1 预备知识 取空间 PC( J , R)  {x : J  R; x  C((tk , tk 1 ], R), k  0,1, 2, suptJ x(t ) 。 PC ( J , R)  {x  PC ( J , R); x(t )  x(tk ), k  1,2,  k

1

, p  1, x(tk )  x(tk ), k  1, 2, , p} ，范数为 x

PC1

, p} ，范数为 x

 max{ x

PC

, x

PC

PC



}，由[1]知

PC ( J , R) 及 PC1 ( J , R) 是一个 Banach 空间。

定理 1[1]（压缩映像原理）设 X 是完备的度量空间，T 是 X 上的压缩映像，那么 T 有且只有一个不动点。 定理 2[1]（krasnoselskii 不动点定理）。设 M 是 Banach 空间 X 中的一个非空凸子集。假设 A, B 是两个映 射，使得(1)对任意的 x, y  M ，有 Ax By M ；(2) A 是全连续映射；(3) B 是一个压缩映射则存在至少一个， 使得 z  Az  Bz 。 引理 1[1] 假设 k 0 [t0 , t1 ], Jk   (tk , tk 1 ], k  1, 2,

0, t  J 0 , 和  (t )   , n. 1, t  J 0 .

对于 u  C[0,1] ，则分数阶脉冲微分方程边值问题  c D q x(t )  u (t ),1  q  2, t  J1  [0,1] \ {t1 , t2 ,..., t p },   ,   x(tk )  I k ( x(tk )), x (tk )  J k ( x(tk )), t k  (0,1), k  1, 2,..., p,  mx(0)  nx(0)  e, rx(1)  wx(1)  f ,  的解为 x(t )  t

t



k

q 1  (t  s)q 1 n mr 1 (1  s )  (s)ds  (  t )   (s)ds t ( q ) m ( q )  m( w  r )  nr p

q2 mw er  mf 1 (1  s )  (s)ds  t m(w  r )  nr (q  1) m(w  r )  nr p

(t  s)q 1 mr t (t k  (s)ds  I k ( x(tk ))) 1 m( w  r )  nr ( q )

  0  tk

k

k 1

 e m(r  rtk  w) t (tk  s)q  2 ( t  (s)ds  J k ( x(tk )))   1 m( w  r )  nr (q  1)  m

  0  tk

k

k 1

  (t )  ( t

tk

0  tk  t

k 1

(tk  s)q 1  (s)ds  I k ( x(tk ))) ( q )

  (t )  (t  tk )( t

tk

0  tk  t

k 1

(tk  s)q  2  ( s)ds  J k ( x(tk ))) (q  1)

2 主要结果 定理 3 令 f  C ( J  R, R) ， I k  C ( R, R) ， J k  C ( R, R) ， f 是有界函数，在脉冲点之间连续， I k , J k 是连 续函数。假如存在正实数 L1 , L2 , L3 , M 2 , M 3 使得 ( H1 )

f (t , x)  f (t , y)  L1 x  y ， t [0,1] ， x, y  R ；

(H 2 )

I k ( x)  I k ( y)  L2 x  y , J k ( x)  J k ( y)  L3 x  y , I k ( x(tk ))  M 2 , J k ( x(tk ))  M 3

( H 3 ) max{1 , 2 }  1 ，其中 [( n  m ) r  1](1  p) ( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) 1  L1 (  ) (q  1) ( q )

 L2 p(( n  m ) r  1)  L3 p(( n  m )(2  r   w )  1) ,  2  L1 (

( n  p m ) r (q  1)



( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q )

)  L2 p mr  L3 p(2 m r  m w  1) .

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1

1  [( n  m ) r  1](1  p) ( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1)  L1  max{    , 2 (q  1) ( q )  1

1  ( n  m ) r ( mw  1)(1  p)  2 p mr     }.

2  (q  1) ( q )  1 , m(w  r )  nr  0 , m  0 .  m(w  r )  nr

成立，则分数阶脉冲微分方程 (1) 在 J 中有唯一解。 证明：定义 F : PC1 ( J , R)  PC1 ( J , R) 如下: q 1 q 1 n mr t (t  s ) 1 (1  s ) ( Fx)(t )  t f (s, x(s))ds  (  t )[ f (s, x(s))ds t ( q ) m m(w  r )  nr ( q ) k



k

q 2 mw er  mf 1 (1  s ) f (s, x(s))ds  t m(w  r )  nr (q  1) m(w  r )  nr k

(t  s)q 1 mr t (t k f ( s, x( s))ds  I k ( x(tk ))) 1 m( w  r )  nr ( q )

  0  tk

k

k 1

m(r  rtk  w) t (tk  s)q  2 e (t f (s, x( s))ds  J k ( x(tk )))]  1 m( w  r )  nr (q  1) m

  0  tk

k

k 1

  (t )  ( t

tk

0  tk  t

k 1

(tk  s)q 1 f ( s, x( s))ds  I k ( x(tk ))) ( q )

(tk  s)q  2 f (s, x(s))ds  J k ( x(tk ))) 0t t (q  1) f (t ,0)  M1 ，取 r  max{r1 , r2 } ，   (t )  (t  tk )(t

tk

k 1

k

定义 supt[0,1]

r1  2[M1 (

[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)



( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) ( q )

 M 2 p(( n  m ) r  1)  M 3 p(( n  m )(2  r   w )  1)  r2  2[M1 (

( n  p m ) r



( mw  1)(1  p)  2 p mr

(q  1) ( q ) 1 下证： F ( Br )  Br , 其中 Br  {x  PC ( J , R) : x

PC1

nm m

 (er  mf ) 

)

e ], m

) M 2 p mr  M 3 p(2 m r  m w  1)   (er  mf ) ] .

 r} ， f (s, x(s))  f (s, x(s))  f (s,0)  f (s,0)  L1r  M1

所以，对于 x  Br 有 Fx

PC

 L1 (

[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)

 M1 (



[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)

( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1)



( q )

( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) ( q )

M 2 p(( n  m ) r  1)  M 3 p(( n  m )(2  r   w )  1)  F x

PC

nm m

 L1 (

 (er  mf ) 

( n  m ) r

 M1 (

(q  1)



( n  p m ) r (q  1)

e r, m

( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q ) 

)r

( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q )

)

M 2 p mr  M 3 p(2 m r  m w )  1)   (er  mf )  r , Fx

PC1

 max{ Fx

PC

, F x

PC

)r

}  r .即 F ( Br )  Br .

f (s, x(s))  f (s, y(s))  L1 x(s)  y(s)  L1 x  y - 21 www.ivypub.org/mc

PC

 L1 x  y

PC1

)

I k ( x(tk ))  I k ( y(tk ))  L2 x(tk )  y(tk )  L2 x  y

PC

J k ( x(tk ))  J k ( y(tk ))  L3 x(tk )  y(tk )  L3 x  y

 L2 x  y

PC1

 L3 x  y

PC1

PC

对于 x, y  PC1 ( J , R) ， t [0,1] ，有 ( Fx)  ( Fy)

PC1

 max{ ( Fx)  ( Fy)

PC

, ( F x)  ( F y)

PC

}  max{1 , 2 } x  y

PC1

其中 1  L1 (

[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)



( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) ( q )

)

 L2 p(( n  m ) r  1)  L3 p(( n  m )(2  r   w )  1) ,  2  L1 (

( n  p m ) r



(q  1)

( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q ) 1  m(w  r )  nr

)  L2 p mr  L3 p(2 m r  m w  1) .

由于 max{1 , 2 }  1 ，则表明 F 是一个压缩映射，因此，根据压缩映像原理定理得证. 定理 4 如果条件 ( H1 ) 和 ( H 2 ) 成立，且 L2 p mr  L3 p(2 m r  m w  1)   (er  mf ) 

L2 p(( n  m ) r  1)  L3 p(( n  m )(2  r   w )  1) 

nm m

1 ， 2

 (er  mf ) 

e 1 ,  m 2

对于 (t , x) [0,1]  R ，有 f (t , x)   L ，其中   L [0,1] 。则边值问题（1.1）在 [0,1] 中至少有一个解。 1

1

证明：

r3  

L1

(

[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)



( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) ( q )

 L2 p(( n  m ) r  1)  L3 p(( n  m )(2  r   w )  1)  r4  

L1

( n  p m ) r

(

(q  1)



nm m

 (er  mf ) 

( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q )

)

e , m

)

 L2 p mr  L3 p(2 m r  m w  1)   (er  mf ) .

Br  {x  PC1 ( J , R) : x

PC1

 r} , (r  max{r3 , r4 }) .

定义在 Br 上的映射  和  如下： q 1 q 1 n mr t (t  s ) 1 (1  s ) (x)(t )  t f (s, x(s))ds  (  t )[ f ( s, x(s))ds t ( q ) m m(w  r )  nr ( q ) k



k

q2 (tk  s)q 1 mw mr 1 (1  s ) t f (s, x( s))ds   f (s, x(s))ds t t 0  t 1 m( w  r )  nr m( w  r )  nr (q  1) ( q ) k

k 1

k

k

m(r  rtk  w) t (tk  s)q  2 (t  s)q 1 t f (s, x(s))ds]   (t )  t k f (s, x(s))ds t 1 m( w  r )  nr 0t t (q  1) ( q )

  0  tk

k

k

k 1

k 1

k

(tk  s)q  2 f ( s, x(s))ds , 0t t (q  1) m(r  rtk  w) n er  mf mr (x)(t )  (  t )[   I k ( x(tk ))   J k ( x(tk ))] 0  t 1 m( w  r )  nr m m(w  r )  nr 0t 1 m(w  r )  nr e   (t )  I k ( x(tk ))   (t )  (t  tk ) J k ( x(tk ))  .

0t t 0t t m   (t )  (t  tk ) t

tk

k 1

k

k

k

k

k

对于 x, y  Br ，有 x  y

PC

 

L1

(

[( n  m ) r  1](1  p) (q  1)



( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1)

- 22 www.ivypub.org/mc

(q)

)

 L2 p(( n  m ) r  1)  L3 p(( n  m )(2  r   w )  1) nm

 x  y

PC

 (er  mf ) 

m

 

L1

(

( n  p m ) r (q  1)



e  r3  r , m

( mw  1)(1  p)  2 p mr ( q )

)

 L2 p mr  L3 p(2 m r  m w  1)   (er  mf )  r4  r , x  y

PC1

 max{ x  y

PC

, x  y

PC

} r .

因此 x  y  Br 。映射  是压缩映射，映射  是连续的，并且在 Br 上有界。 

PC

 

L1

(

[( n  m ) r  1](1  p)



(q  1) PC

 

L1

(



( n  p m ) r (q  1)



PC1

( n  m ) w (1  p)  p(2( n  m ) r  1) ( q ) 

( mw  1)(1  p)  2 p mr

( q )  max{  PC ,  PC } .

),

),

下证：映射  的紧性。令   [0,1]  Br ，定义 sup(t , x ) f (t , x)  f max ， (x)( 2 )  (x)(1 )

PC

 1 1  (1  p)  mr (1  p)  mw  2 p  mr q q 1  f max [  ] 1   2   (tk  tk 1 )   ( 2   1 )(tk  tk 1 )   t  0  t   ( q  1)  ( q )  ( q  1)  ( q )    1 1 q 1 ( 2   1 )q  ( 2   1 )q  ( 2  tk )q  ( 1  tk )q   ,   ( 2  tk )(tk  tk 1 )      t   ( q ) (q  1)  1

1

k

k

2

k

1

2

(x)( 2 )  (x)(1 )

PC

 1  1  q 1  f max  ( 2   1 )q 1  ( 2   1 )q 1  ( 2  tk )q 1  ( 1  tk ) q 1   ,  (tk  tk 1 )   ( q )  (q)  t   (x)( 2 )  (x)(1 ) PC1  max{ (x)( 2 )  (x)(1 ) PC , (x)( 2 )  (x)(1 ) PC } .

1

k

2

则  在 Br 上是相对紧的。因此，由 Arzela-Ascoil 定理可知，  在 Br 上是紧的，则  是全连续的。所以 满足定理 2 的所有条件，则边值问题（1）在 [0,1] 中至少有一个解.

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【作者简介】 1

李海明（1990-），男，汉族，硕士研

究生，研究方向：微分方程边值问题。

2

江卫华（1964-），女，汉族，博士，教授，研究方向：微

分方程边值问题。Email: weihuajiang@hebust.edu.cn

Email: lihaiming119@163.com

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