Research on Electricity Price Characteristic Difference based on Multifractal Detrended Fluctuation

Electrical Engineering and Automation December2015, Volume 4, Issue 4, PP.59-65

Research on Electricity Price Characteristic Difference based on Multifractal Detrended Fluctuation Analysis Wenni Liu, Fang Wang†, Rong Gao College of Science, Hunan Agricultural University, Changsha Hunan 410128, China †

Email: topwang619@163.com

Abstract In order to investigate the dynamic characteristics of the various prices in different electricity markets, in this paper, multifractal detrended fluctuation analysis (MF-DFA) is employed to analyze multifractal natures on peak and off-peak in three global typical localized electricity markets, namely, Canadian Alberta, Ontario and Columbia middle electricity markets. In practice, we firstly checked the randomness and stationarity of the price sequences in the three electricity markets and found all of them were nonrandom and non-stationary. And then by calculating MF-DFA exponents of the price sequences, which demonstrated the multifractal nature of electricity price during these time frames. To further uncover dynamic characteristics of the on- and off-peak price in different markets, finally, we used multifractal singular spectrum (MFS) to investigate the discrepancy between the two periods’ prices. The huge differences of the MFS’s shapes of the prices show that the huge differences existed in different periods and different markets. These differences have reflected their different dynamic characteristic, which can provide novel theoretical basis for electricity price forecasting in different periods.

Keywords: Multifractal Detrended Fluctuation Analysis; Multifractal Spectrum; On-peak Price; Off-peak Price

基于多重分形去趋势波动分析的电价 特征差异研究 * 刘文妮，王访，高蓉 湖南农业大学理学院，湖南 长沙 410128 摘 要：为了研究不同电价的动力学特征，本文利用多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）对全球典型的区域电力市场： 加拿大阿尔伯塔省安大略省和哥伦比亚中部电力市场的高峰时段、非高峰时段的多重分形特性进行分析。首先检验了三 个市场的电价序列的非随机性和非平稳性，然后计算了上述时段的 MF-DFA 指数，实证了这些时段电价的多重分形特征。 进一步，利用多重分形奇异谱揭示了不同市场不同时段的电价的差异。这些差异真实地反应了它们不同的电价特点，能 够为不同时段的电价预测工作提供新的理论依据。 关键词：多重分形去趋势波动分析；多重分形奇异谱；高峰电价；非高峰电价

引言 电价是电力市场竞争效率的核心评价指标，随着全球电力改革的不断深化和竞争性电力市场的出现， 电价预测变得越来越重要。精确的电价预测能够为市场参与者规避各种风险实现利润最大化；同时也为管 理者更好地掌握市场运行规律、制定政策法规提供依据。建立分时段电价预测模型是进行电力投资的重要 *

基金资助：国家级/湖南省大学生创新创业训练计划项目（G(S)CX1408） 。 - 59 www.ivypub.org/eea

依据，能自动调节长期电力市场中的备用容量，实现社会资源的最优配置，保证电力系统的稳定和健康发 展[1]。而这项重要工作的前提条件是要充分掌握不同时段电价的运行规律。 近年来，随着对电价序列的研究逐渐深入，人们已提出许多电价分布模型。但由于电力市场中的电价 演变过程是一个受电力市场中重度因素影响的动态耦合过程，其本质是一个十分复杂且非线性、非平稳的 过程，具有典型的动力学特征[3]。基于这一特点，有学者针对其运用分形理论，定量分析了电价时间序列的 变化特征[4-6]。随着研究的深入，电价内在分形特性被不断挖掘，单分形方法似乎无法用来描述电价复杂的 本质。随之而来的多重分形方法随即应用于电价时序分析这一重要的科学领域。 多重分形理论[7]是研究时间序列混沌特性的重要手段，自提出以来被首先应用于金融时序的分析。正如 Mandelbrot 所说多重分形可以复现金融市场剧烈震荡的金融交易，能提供金融资产价格在不同时间标度上的 不同波动程度的详细信息,提供关于市场动向的概率估计值，从而为无法预测的金融市场注入某些有序性 [7]。 随着研究的深入，学者们发现各个领域的各种时间序列都有不同性状的多重分形特性。然而标准的多重分 形分析[8](Multifractal Analysis MFA)主要基于平稳测度，无法消除非平稳时序中趋势的影响，因此导致不能 准确处理非平稳时间序列。对于有趋势影响的时序，一种很自然的想法是先将趋势滤去，然后再通过改变 尺度大小，揭露其自相似性。基于此，一种新型的多重分形分析方法油然而生，即多重分形去趋势波动分 析[9] (Multifractal detrended fluctuation analysis, MF-DFA)。这种方法比小波变换模极大值方法[10] (WTMM)实 现更简单，它不需要模极大值处理。MF-DFA 这一简单而有效的处理非平稳对象的方法被应用于电力市场 中的电价、负荷序列的处理[10,11]。 目前已有文献实证了竞争性电价符合多重分形特征[12-15]，但具体针对不同电力市场分时段电价表现出 来的分形特征的差异及其成因还很少报道[6, 16-18]。也没有分析多重分形特性与其他统计指标的关联。 本文选取全球范围内典型的竞争性区域电力市场：加拿大阿尔伯塔省、安大略省和哥伦比亚中部电力 市场的高峰和非高峰时段的实时电价进行研究。首先调查了这些电价序列的一个重要统计特性：平稳性。 通过假设检验发现它们都为不平稳的非白噪声序列。利用能有效解决非平稳测度的 MF-DFA 方法研究了它 们的多重分形特性，揭露了高峰时段和非高峰时段电价存在很大的差异。

1

多重分形去趋势波动分析(MF-DFA) MF-DFA 方法中的波动函数是去趋势后序列方差的 q 阶矩，比标准 DFA(q=2)更具有普适性。 多重分形去趋势波动分析过程如下：前 4 步和标准去趋势波动法一样，我们仍以 x(t)，t=1,2,…N 表示某

时段的电价时间序列，且 x(t)为紧支柱，电价为 0 的时刻只是这个序列中为数不多的点。 第 1 步：定义电价累积离差序列 y(k) y (k )=

∑ [ x(t ) − x (t )], k= k

t =1

1, 2, N

(1)

其中， x (t ) 是这一时段所有电价的平均值。 第 2 步：将 y(k)等分成 Ns=[N/s]个不重叠的等时间长度为 s 的区间。由于序列长度并不总是时间长度 s 的整数倍，使得有少部分数据未被利用。因此对 y(k)的逆序进行同样的操作，这样共有 2Ns 个等长度的区间。 第 3 步：对每个区间 v，用最小二乘拟合数据得到电价时序的局部趋势 yv(i)。滤去该趋势后的电价时间 序列记为 ys(i)。 ys (i ) = y (i ) − yv (i ), i = 1, 2,  N

(2)

我 们 可 以 用 线 性 、 二 次 、 三 次 或 更 高 阶 m 次 多 项 式 来 拟 合 局 部 趋 势 ， 分 别 记 为 DFA1, DFA2, DFA3,…DFAm 等。显然 m 阶的 DFA 滤去了累积离差中的 m 阶趋势成分以及原始序列中的 m-1 阶趋势成分， 本文采用线性滤去局部趋势。 第 4 步：计算每个区间滤去趋势后的方差 - 60 www.ivypub.org/eea

1 s 2 ∑ ys [(v − 1)s + i], s i =1 v = 1, 2,  N s 1 s 2 = F 2 ( s, v ) ∑ ys [ N − (v − N s )s + i], s i =1 = v N s + 1, 2, 2 N s = F 2 ( s, v )

(3)

(4)

第 5 步：在整个区间去平均后得到 q 阶波动函数 Fq(s)  1 Fq ( s ) =   2Ns

1/ q

 ∑ v =1 [ F 2 (s, v)]q / 2   2 Ns

,

(5)

其中 q 为非 0 实数。当 q =0 时，根据洛必达法则，有

ln F0 ( s ) =

1 2Ns

∑

2 Ns v =1

ln[ F ( s, v)].

(6)

当 q=2 时就是标准的 DFA 方法。我们想得到对于不同的 q 值波动函数 Fq(s)与时间尺度 s 的关系，这只 需取不同的尺度 s 重复步骤(2)-(4)即可。显然，Fq(s)随着 s 的增大而增大，当然，Fq(s)也会依赖于 DFAm 的 阶数 m。一般地 s ≥ m + 2 ，本文取 s ∈ [10, N / 10] 。 第 6 步：对于每个 q 值，如果电价序列 x(t)是长程相关的，则与尺度 s 满足幂律关系：

Fq ( s ) ∝ s

λq

(7)

指数 λq 称为 MF-DFA 指数，可通过 lnFq(s)对 lns 进行线性拟合得到。值得一提的是，我们定义的电价 时序 MF-DFA 指数与大多数现有文献研究的价格对数回报率序列的 MF-DFA 指数不同，后者当 q=2 时，该 指数近似等于 Hurst 指数 H。由于电价时序常表现出价格尖峰，因而其对数收益的 MF-DFA 指数 λ2 将接近 于 0，在分析其多重分形特性时不准确。因而，我们直接利用电价时序本身进行 MF-DFA 分析，这也符合 Kantelhardt[9]提出该方法的初衷。也正因为不是利用电价回报率进行分析，利用电价时序本身得到的 λ2 要比 利用电价回报率得到的 MF-DFA 指数大 1。指数 λq 描述的是电价累积离差去趋势波动后的持久性，一般依 赖于 q 值。波动函数 Fq(s)可以看成是各个区间方差的加权平均值。当 q>0 时，方差大的区间在波动函数中 占主导地位，因此指数 λq 描述的是大方差区间波动的标度。而当 q<0 时，方差小的区间在波动函数中占主 导地位，所以此时 λq 描述的是小方差区间波动的标度。λq=1.5 表明该电价序列具有纯随机性，具有白噪声特 性；λq<1.5，表明该电价序列具有反持久性(anti-persistent)；而当 λq>1.5，该电价序列具有长程相关性(long term correlation)。

根据标准多重分形，可以用多重分形指数τ (q ) 描述多重分形的特性： = τ q qλq − D f

(8)

其中 D f 是多重分形中对象的的拓扑维数。在时间序列分析中，Df =1。当且仅当多重分形指数 τq 是对于  q 的非线性函数时，该式具有多重分形特性。通过 Legendre 转换可得 Lipschitz − Holder 指数 α (q) 和多重分形

奇异谱 f (α ) 。 ′ λq + qλq′ , ) τ= α (q= q  f (α ) qα (q) − τ q .  =

(9)

α (q ) 是电价的归一化价格所决定的。反映电价时序的局部奇异性，所谓奇异就是在一个非常小的时间

或者位置上变量值的剧烈变化，主要表现为某些时段的价格尖峰和价格低谷。 α (q) 的取值范围的宽窄表示 不同奇异强度分布范围的大小。 α (q) 越小说明其奇异性越强。而奇异多重分形谱 f (α ) 则提供了电价时间序 列的全局奇异的估计。 多重分形谱的宽度如下：

∆α= α max − α min ,

∆= f f (α min ) − f (α max ).

- 61 www.ivypub.org/eea

(10)

其中，αmax 和 αmin 为 α(q)取最大值和最小值，分别代表最大概率测度和最小概率测度盒子的测度值（本 文 q 的范围取[-10, 10]）。Δα 越大（多重分形谱越宽），表明这个时段的价格分布越不均匀，波动幅度越大。 Δf 为衡量对象混乱程度的指标。|Δf|越大，该时段的电价分布越不均匀，波动越剧烈。

2

算例分析

2.1 数据描述 选取三个全球范围内典型的区域电力市场的实时电价(hourly price)作为研究对象，即加拿大阿尔伯塔省 (Alberta Electric System Operator (AESO))、安大略省(Independent Electricity System Operator (IESO))和哥伦比 亚中部(Mid-Columbia)。前两个市场的电价数据为 2002 年 5 月 1 日至 2009 年 6 月 6 日，第三个市场的电价 数据为 2001 年 7 月 1 日至 2006 年 10 月 31 日。图 1 为这三个市场高峰(on-peak)和非高峰(off-peak)实时电价 运行图。从图中可以看出，三个市场都呈现出准周期性和价格尖峰等动力学特征。阿尔伯塔省和安大略省 电力市场的电价波动剧烈程度大于哥伦比亚中部电力市场，三个市场的高峰时段电价比非高峰时段的电价 波动要大，而且易出现价格尖峰。

500

0

10000

5000

15000

20000

25000

30000

0

35000

CAD/KWh

CAD/KWh

0

5000

10000

15000

20000

25000

500

0

5000

15000

10000

20000

200 100

5000

0

15000

10000

20000

25000

300

400

200

0

25000

300

0

35000

30000

600

1000

0

500

CAD/KWh

0

400 CAD/KWh

1000

CAD/KWh

CAD/KWh

1000

5000

0

time/ hour

20000

15000

10000

25000

200

100

0

0

time/ hour

5000

10000 15000 20000

0

5000

10000 15000 20000

0

time/ hour

图 1 三个电力市场的时均电价，左为阿尔伯塔省电价数据，中为安大略省电价数据，右为哥伦比亚中部电价数 据，上图为高峰电价下图为非高峰电价

2.2 平稳性分析 为了研究三个市场电价的动力学特征，我们将利用多重分形方法揭露其（反）持久性，然而，采用合 适的多重分形方法的前提是首先考察这些电价时序的平稳性。利用基于 Spearman 相关系数的 Daniel 检验方 法[24]进行检测。记电价时间序列为 x(t)，秩为 Rt，则(x, Rx)的 Spearman 相关系数 Qs 为 N

Qs =

∑ ( x(t ) − x)( R − R) t

t =1

N

(11)

N

∑ ( x(t ) − x) ∑ ( R − R) 2

=t 1 =t 1

2

t

N 6 n 1− = x (1/ = N )∑ t 1 = x(t ), R (1/ N )∑ t 1 Rt ，通过化简，得： Qs = 其中 ∑ ( x(t ) − Rt )2 。构造 T 统计量 = N ( N 2 − 1) t =1

n

( T = Qs N − 2 / 1 − Qs2  tα /2 ( N − 2 ) )。对于给定的显著水平 α，当 T ≤ tα /2 ( N − 2 ) 时，电价序列 x(t)是平稳的； 当 T > tα /2 ( N − 2 ) 时，认为 x(t)是非平稳的。三个市场高峰和非高峰时段的电价序列 T 统计量及 0.05 显著性 水平下的 t 分布临界值如表 1 所示。 表 1 三个市场高峰与非高峰时段电价的 T 统计量 阿尔伯塔省电力市场 N T统计量 α/2分位点 35797 22.2677 1.9600 26904 22.1700 1.9601

高峰 非高峰 注：显著性水平α = 0.05

N 35709 26834

安大略省电力市场 T统计量 α/2分位点 25.6537 1.9600 7.1769 1.9601

哥伦比亚中部电力市场 N T统计量 α/2分位点 27969 109.1047 1.9600 20423 78.7990 1.9601

从表 1 可以看出，三个市场高峰和非高峰时段电价的 T 统计量均大于其对应的 t 分布统计临界值，表明 - 62 www.ivypub.org/eea

它们都是非平稳的时间序列。因而采用能有效解决非平稳测度的 MF-DFA 方法来进一步研究它们的多重分 形特性。

2.3 多重分形特性分析 为了探寻三个市场高峰、非高峰电价的动力特征，首先检测它们的多重分形特性，我们利用 MF-DFA 方法提取了三个市场的两种电价的 MF-DFA 指数 λq 及质量指数 τq。以阿尔伯塔省电价数据为例，如图 2 和 图 3 所示。在每幅图中，左图表示去趋势波动函数 Fq(s)与不同阶 q 的拟合图，直线为最好的线性拟合，为 了更清楚体现不同曲线的差异，在每根拟合线上减去了一个常数，直线的斜率即为广义 Hurst 指数；右图为 Hurst 指数 λq 及质量指数 τq 依赖于阶 q 的变化图。从图 2 和图 3 的左图中可以看出 Fq(s)与 s 呈现出明显的幂 律关系，利用 MF-DFA 方法能有效反映阿尔伯塔省电价序列本身的自相关性，右图的 λq 和 τq 与 q 呈非线性 关系，表明电价具有多重分形特性。通过验证，其他两个市场的高峰和非高峰电价也表现出明显的多重分 形特性。此外，值得注意的是阿尔伯塔省高峰和非高峰电价的广义 Hurst 指数呈现出细微的差异，这表明两 种电价产生的机制有所不同。为了考察三个市场的电价序列的（反）持久性，当 q=2 时，MF-DFA 指数 λ2 如表 3 所示。从表 3 可看出，三个市场的高峰与非高峰时段电价的 λ2 均远离 1.5，表明这些电价时序都非纯 随机序列，包含着丰富的相关信息，与表 1 的结论相吻合。且 λ2 均小于 1.5，表明三个市场的电价都具有反 持久性，然而，其数值上的差别表明其多重分形特性存在差异。 表 2 三个市场高峰和非高峰时段电价序列的λ2 指数 电力市场 时段 λ2

阿尔伯塔省 高峰 非高峰 0.8099 0.7689

安大略省 高峰 非高峰 0.9119 0.9445

哥伦比亚中部 高峰 非高峰 1.1084 1.2127

1.6

12

10

(b)

(a)

1.5

10

0 τq

1.4 1.3

4

-20 -10

1.1

-5

0

h(-5) = 1.3936 h(-3) = 1.2451 h(0) = 0.9731 h(2) = 0.8099 h(4) = 0.7041

AESO On-peak

0

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

5

10

q

1

2

-2

-10

1.2

6

λq

lnFq(s)

8

0.9

AESO On-peak

0.8 0.7 0.6 -10

8.5

-8

-6

-4

-2

0

lns

2

4

8

6

10

q

图 2 加拿大阿尔伯塔省电力市场高峰电价的多重分形特性. (a): 去趋势波动函数 Fq(s)与不同阶 q 的拟合图； (b): τq 和 λq 依靠 q 的变化图 1.8

12

(b)

(a)

10

10

1.6

0 τq

8

1.4

-10

1.2

-20 -10

λq

lnFq(s)

6 4

-5

0

2

h(-5) = 1.5482 h(-3) = 1.3791 h(0) = 0.9578 h(2) = 0.7689 h(4) = 0.5728

0

AESO Off-peak

-2 -4

3

4

5

6

7

8

5

10

q

1

AESO Off-peak

0.8 0.6 0.4 -10

lns

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

q

图 3 加拿大阿尔伯塔省电力市场非高峰电价的多重分形特性. (a): 去趋势波动函数 Fq(s)与不同阶 q 的拟合图； (b): τq 和 λq 依靠 q 的变化图

为了进一步揭露三个市场高峰和非高峰时段电价动力学特征的差异，利用 Legendre 变换，可计算得到 三个市场两种电价的多重分形奇异谱 f(α)，如图 4 所示，谱的宽度和跨度如图 5 所示。 - 63 www.ivypub.org/eea

1

1 (a)

AESO

0.9

On peak off-peak

0.8

(b)

IESO

(c) Mid Columbia

On-peak Off-peak

0.8 0.7

0.6

On-peak Off-peak

0.8 0.6

0.2

0.4

0.5

f (α )

f (α )

f (α )

0.6

0.4

0.4

0.2

0.3

0

0

0.2 0.1

-0.2

-0.2

0

-0.4

0.4

0

0.8

α

1.2

1.6

-0.1 0.4

2

0.6

0.8

1

1.2

α

1.4

1.6

-0.4 0.4

0.6

0.8

1

1.2 α

1.4

1.6

1.8

2

图 4 三个电力市场的多重分形奇异谱，左为阿尔伯塔省电价，中为安大略省电价，右为哥伦比亚中部电价 0.4 (b)

On-peak Off-peak

0.3 0.2

∆f

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4

AESO

IESO

Mid-Columbia

Electricity Markets

图 5 三个电力市场的高峰和非高峰电价的∆α 和∆f 谱

从图 4 和图 5 中可以得出如下结论： （1）三个市场的非高峰电价的多重分形谱都呈现出“左勾”，表明非高峰时段的电价在平均电价上方 运行的概率比在均值下方运行的概率大，电价有变强的趋势。阿尔伯塔省电价的高峰电价也是如此，而安大 略省和哥伦比亚中部的高峰时段电价的多重分形谱呈现出“右勾”，表明该时段电价有向下运行的意愿。 （2）安大略省和哥伦比亚中部高峰电价多重分形谱的跨度∆α大于非高峰时段，说明这两个市场高峰时 段的电价振幅更大。而阿尔伯塔省非高峰电价的∆α大于高峰时段，表明该市场的非高峰时段电价振幅更大。 （3）阿尔伯塔省和哥伦比亚中部的高峰时段电价的|Δf|大于非高峰时段，表明这两个地区的电力市场的 高峰时段波动更加剧烈。而安大略省的非高峰时段电价的|Δf|明显大于高峰时段，说明该市场的非高峰时段 电价波动更剧烈。

3

结语 本文运用多重分形理论研究了加拿大三个典型的区域电力市场的高峰和非高峰时段的实时电价的动力

特征的差异。首先检验了上述电价时序具有非随机性和非平稳性，然后通过计算多重分形去趋势波动分析 (MF-DFA)指数来表征它们的多重分形特性，发现这三个市场的两种时段都具有明显的多重分形特性。并通 过多重分形谱的形状，发现三个市场高峰时段和非高峰时段电价的多重分形特性存在很大的差异。这些特 征的差异为识别电价所处的高峰或低谷时段提供了理论基础；为分时段电价聚类进行相空间重构提供了方 法；为建立不同时段的短期边际电价预测模型提供了依据，最终为市场参与者与管理者规避电价风险提供 了更好的保障。

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【作者简介】 1

刘文妮（1993-），女，汉，本科生，

2

王访（1981-），男，汉，博士，副教授，多重分形理论及

湖南农业大学 2012 级统计学专业。

其应用及电力市场风险管理。Email: topwang619@163.com

Email: 191155805@qq.com

3

高蓉（1994-），女，汉，本科生，湖南农业大学 2012 级信

息与计算科学专业。Email: 2667334284@qq.com

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