All irreducible modules of some special groups

Mathematical Computation

September 2014, Volume 3, Issue 3, PP.96-104

All Irreducible G  Modules of Some Special Groups G Ruishan Liu School of Mathematics and System Sciences, Beihang University, 100191, Beijing Email: 583389694@qq.com

Abstract Suppose G is a finite group, the regular

is the complex field. If we want to find all irreducible

G  modules, a method is to decompose

G  module into a direct sum. This way is not difficult to realize if the order of the group is small, however, the

calculation is much complicated when the orders of groups are large. For any natural number n , let the group G be a cycle group Cn or a dihedral group D2n , a decomposition of direct sum of irreducible modules of the regular

G  module, and the

isomorphic relationship among the irreducible modules are given in this paper. Our method is as follows. To get a decomposition of direct sum of irreducible modules of the regular

G  module, we first construct all irreducible G  modules satisfying the

condition of direct sum, then the isomorphic relationship among the irreducible modules is obtained by module representation theory.

Keywords: Irreducible

G  Module; Regular G  Module; Vandermonde Matrix; Direct Sum Decomposition

关于几个特殊群 G 的所有的不可约的 G  模 刘瑞珊 北京航空航天大学，北京 100191 要：设 G 是有限群, 为复数域。要想找到所有不可约

摘

G  模，一种方法是把正则 G  模 G 进行直和分解，这

在 G 的阶数比较小时不难做到，但当 G 的阶数比较大时计算起来比较繁琐。对于任意自然数 n , 本文给出了循环群 Cn 和二面体群 D2n 的正则 可约的

G  模 G 的不可约模的直和分解，和这些不可约模间的同构关系。我们的方法是先构造出不

G  子模，满足直和条件，从而得到正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。再运用模论知识得到这些不可

约模间的同构关系。 关键词：不可约

G  模；正则 G  模；范德蒙矩阵；直和分解

引言 群 表 示 论 是 借 用 具 体 的 矩 阵 描 述 群 的 理 论 ， 在 19 世 纪 末 和 20 世 纪 初 它 由 F.G.Frobenius

[1]

和

W.Burnside [ 2] 独立开创，而 Frobenius 的工作则由 I.Schur 所改善和简化。群表示理论是研究群的有力的工具 之一。举一个简单的例子，阶数为 p 2 ( p 是素数）的群都是阿贝尔群，这个结论可以通过群的知识得到 [3] , 但 是它也是在表示理论下的一个直接的结果 [ 4] . 将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是 Burnside 定理：阶为 p a q b ( p, q 是素数)的群是可解群。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明 [5] , 但是最简 捷的证明是由 Burnside 在群表示理论中给出的 [ 4] . 另外，群表示理论在物理学和化学中也有很好的应用。设

G 是有限群,

为实数域,

为复数域, F 是

或

. 由群表示论 [ 4] 中的知识可以知道，如果把 G 当成一个

正则的 G  模，并且有 G  U1  ...  U r , 不可约 G  模的一个直和。那么任意给定的不可约的 G  模

U 同构于某个 G  模 U i , 并且有与 U 同构的 U i 的数量是 dimU . 这也就是说我们把找所有的不可约的 G  模问题又转化到了正则 G  模 G 的不可约模的直和分解问题。由 Maschke's 定理我们知道，任意给定一个 - 96 www.ivypub.org/mc

G  模 V , 我们总可以不断的应用 Maschke's 定理，最后得到 V 的一个不可约模的直和分解。特别地，当 V  G 时，显然我们可以得到 G 的不可约模的直和分解。这在 G 的阶数比较小的时候是可以做到的，但 当 G 的阶数比较大的时候这并不是一个很好的方法，计算起来非常繁琐。现在我们给出了两类重要的群-循 环群 Cn 和二面体群 D2n 的正则 G  模 G 的不可约模的直和分解，和这些不可约模的同构关系。本文中， 我们先构造出不可约的 G  子模，满足直和条件，从而得到正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。再运 用模论知识得到这些不可约模间的同构关系。最后，我们通过对两个例子-三次循环群 C3 和二面体群 D6 在分 别用 Maschke's 定理和我们的方法这两种不同方法下的计算来进行对比。同时，本文的方法的优势是当 n 很 大的时候我们依然可以在同构的意义下较容易地找到循环群 Cn 和二面体群 D2n 的所有的不可约的 G  模， 这与用 Maschke's 定理的方法相比大大简化了计算量。

1

预备知识

1.1 循环群 Cn[6] 令 n 是一个正整数，我们把所有的复数组成的集合用

来表示。那么单位元 1 的 n 次单位根组成的集

合，在复数的普通乘法下，构成一个 n 阶群。我们把这个群记作 Cn , 它是一个 n 阶循环群。如果   e 2 i / n , 那 么这个群是 Cn  {1,  ,  2 ,...,  n 1}, 其中  n  1.

1.2 二面体群 D2n[ 4] . 令 n 是一个正整数，并且有 n  3 , 考虑正 n 边形的旋转和反射。有 n 个旋转，分别为: 0 , 1 ,...,  n 1 , 其中

 k 表示顺时针转了 2 k / n 度角。有 n 个反射，分别是以一角和中心所在直线为对称轴和一边的中心与中心 所在的直线为对称轴。这 2n 个旋转和反射在复合运算下构成一个群。这个群叫做 2n 阶的二面体群，记作

D2n . 现在用 a 来表示旋转 1 , 用 b 来表示以一角和中心所在直线为对称轴的反射。那么这 n 个旋转是 1, a,..., a n 1 (其中 1 表示单位元，即对图形不做任何变换). n 个反射是 b, ab,..., a n 1b. 因此 D2n 的所有的元素都是 a i b j 的 形 式 ， 其 中 0  i  n  1, 0  j  1, 也 就 是 说 D2n 是 由 a 和 b 生 成 的 。 通 过 验 证 我 们 很 容 易 的 得 到

a n  1, b 2  1, b 1ab  a 1 . 这些关系决定了群中任意两个元素的积。例如，我们有 ba j  a  j b , 因为 ba j  b(aa j 1 )  (ba)a j 1  (a 1b)a j 1  a 1 (ba j 1 )  ...  a  j b. 因此，我们有 (a i b)(a j b)  a i ba j b  a i a  j bb  a i  j . 因此，我们有二面体群的表示 D2 n   a, b : a n  1, b 2  1, b 1ab  a 1 .

1.3 范德蒙矩阵 [7] . 范德蒙矩阵是法国数学家范德蒙(Vandermonde)提出的一种各列为几何级数的矩阵。其形式如下所示： 1 1   1  2  m   1  12  22  m2      n 1    n 1  n 1  2 m .  1 其 中 ,  i  ,1  i  m. 当 m  n 时 ， 我 们 可 以 讨 论 它 的 行 列 式 ， 它 的 行 列 式 叫 做 范 德 蒙 行 列 式 ， 为

 ( j   i ) . 所以当这 n 个数 1 ,  2 ,...,  n 两两不相同时，这个行列式不为零。

1 i  j  n

1.4 向量空间 [7] . 设 F 是一个域，一个 F 上的向量空间是一个集合 V 和两个运算： 向量加法：  : V  V  V ,记作 v  w, v, w  V ; 标量乘法：  : F  V  V , 记作 av, a  F , v  V . 符合以下公理，其中 a, b  F , u , v, w  V : - 97 www.ivypub.org/mc

(1) 向量加法结合律： u  (v  w)  (u  v)  w; (2) 向量加法交换律： v  w  w  v; (3) 向量加法的单位元： V 中有个零向量 0, v  V , v  0  v; (4) 向量加法的逆元素： v  V , w  V , 使得

v  w  0;

(5) 标量乘法分配于向量加法上： a(v  w)  av  aw; (6) 标量乘法分配于域加法上： (a  b)v  av  bv; (7) 标量乘法一致于标量的域乘法： a(bv)  (ab)v; (8) 标量乘法有单位元: 1v  v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 其中有两个条件是隐含的： V 闭合在向量加法下: v  w  V ; V 闭合在标量乘法下: av  V .

1.5 向量集合的扩张 [7] . 给出一个向量集合 B , 那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span( B ) .

1.6 直和 [ 4] .

V ,U ,W 是三个向量空间，假设 V  U  W , 并且 u1 ,..., ur 是 U 的一组基, w1 ,..., ws 是 W 的一组基。那么下 列的三个条件是等价的： (1) V  U  W ; (2) u1 ,..., ur , w1 ,..., ws 是 V 的一组基；(3) U

W  {0} .

1.7 FG  模 [ 4] . 令 V 是 F 上的一个向量空间, G 是一个群。定义一个乘法 vg (v  V , g  G ) , 并且这个乘法满足以下条 件：对于任意的 u , v  V ,   F , g , h  G 有 (1) vg  V ; (2) v( gh)  (vg )h; (3) v1  v; (4) ( v) g   (vg ); (5) (u  v) g  ug  vg.

1.8 FG  子模 [ 4] . 令 V 是一个 FG  模. W 是 V 的一个子集，如果 W 是一个子空间且对于所有的 w  W , g  G , 有 wg  W , 那么 W 是 V 的一个 FG  子模。因此, V 的一个 FG  子模是一个子空间，同时也是一个 FG  模。

1.9 正则 FG  模 [ 4] . 令 G 是一个有限群, F 

或F 

. 向量空间 FG 在自然乘法 vg (v  V , g  G ) 下是一个正则 FG  模。

这个自然乘法的定义是：其中 g , h  F . (  g g )(  h h)   g h ( gh) g G

hG

g , hG

1.10 不可约的 FG  模 [ 4] . 如果一个 FG  模 V 是非零的，并且它的 FG  子模除了 {0} 和 V 以外没有其他了，那么我们就说这个

FG  模 V 是不可约的。如果 V 有一个 FG  子模 W , 并且 W 不是 {0} 和 V , 那么 V 是可约的。 定理：把 G 当成一个正则的 G  模，并且有 G  U1  ...  U r , 不可约 G  模的一个直和。那么任 意给定的不可约的 G  模 U 同构于某个 G  模 U i , 并且有与 U 同构的 U i 的数量是 dimU .

1.11 FG  同态 [ 4] . 令 V 和 W 是 FG  模。如果一个函数  : V  W 是线性变换，并且 (vg )  (v ) g v  V , g  G. 那么我们就 说  是 FG  同态。更近一步地，如果  是 FG  同态并且是可逆的线性变换，那么我们就说  是 FG  同 构。如果存在这样一个 FG  同构，那么我们就说 V 和 W 是同构的 FG  模，记作 V  W .

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2

循环群 C 的所有的不可约的 n

G模

假设 G  Cn   a : a n  1 , 记   e 2 i / n . 如下定义 v0 , v1 ,..., vn 1  G ：

v0  1  a  ...  a n 1 , v1  1   n 1a  ...   ( n 1) a n 1 , ... , vn 1  1   a  ...   n 1a n 1 .

2

注：如此定义相当于用一个矩阵去对正则 G  模 G 的一组基 1, a,..., a n 1 进行变换，即： 1 1 1   v0      n 1 ( n 1)2  1    v1   1  n2  v2   ( n  2)( n 1)        1       1  n i ( n  i )( n 1)    v a   i            n 1   v  i i ( n 1) a    n i  1           2 2( n 1)  1    vn  2  v  1   ( n 1)   n 1   而这个矩阵就是对范德蒙矩阵进行了行变换(把后 n  1 行倒置过来). 我们把这个矩阵记作 T . 命题 1 令 U i  sp(vi ), 那么对于 i  0,1..., n  1 来说, U i 是 G 的一个 G  不可约子模。 证明：因为

vi a  (1   n  i a  ...   ( n  i )( n 1) a n 1 )a  a   n  i a 2  ...   ( n  i )( n 1)   i  a  ...   ( n  i )( n 1)  i a n 1   i vi . 因此，对于任意的 v  U i , g  G , 存在  

使得 v   vi , g  a j (i, j  0,1,..., n  1). 所以

vg  ( vi )a j   (vi a j )   (vi (aa j 1 ))   (vi a)a j 1   ( i vi )a j 1  ( i )(vi a j 1 )  ...  ( ij )vi  U i . 所以, U i 是 G 的一个 G  子模。又因为 U i 的维数是 1, 所以它是不可约的，所以 U i 是 G 的一个 G  不 可约子模。证毕。

G  U 0  U1 ,..., U n 1 , 并且 U i 构成了所有的不同构的不可约 G  模 i  0,1,..., n  1.

命题 2 证明：

因为对范德蒙矩阵进行行变换得到的矩阵 T 的行列式不为 0, 并且 1, a,..., a n 1 是 G 的一组基，所以

v0 , v1 ,..., vn 1 是 G 的一组基。因此我们有 G  U 0  U1 ,..., U n 1 , 不可约 G  子模 U i 的一个直和。并且这些 U i 是两两不同构的，因为由预备知识 10 中的定理可以知道，同构于 U i 的 U j 的数量是 U i 的维数 1, 所以肯定 只有一个 U j 同构于 U i (即它本身). 所以我们得到了一个 G 的一个非同构的不可约 G  子模的完全集，即 每个不可约的

G  模 同 构 于 某 个 Ui , 且 仅 有 一 个 Ui 与 之 同 构 。 所 以 ， 所 有 的 不 可 约 的

G  模是

U i , i  0,1,..., n  1. 证毕。 下面我们用一个例子来说明我们的证明。 例1

[ 4]

: 用两种方法写出 G  C3   a : a 3  1 的正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。

法 1 用 Maschke's 定理的方法 设 G  sp(1, a, a 2 ), 很明显的有 U  sp(1  a  a 2 ) 是 G  sp(1, a, a 2 ) 的不可约的 G  子模。下面我们利 用 Maschke's 定理找出 G  子模 W 使得 G  U  W . 首先我们找到子空间 W0  sp(1, a), 显然它并不是一个

G  子模但有 G  U  W0 . 做映射  : v  u , 其中 v  u  w0  G, u  U , w0  W0 . 那么我们得到

 :1

0;

 :a

0;

 : a2

1  a  a2 .

1 1 1 2 (1  a  a 2 ). 那么  的核 sp(1  a, a  a 2 ) 就是所求的  vg g , v  G 的值如下:  :1, a, a g  G |G| 3 G  子模 W . 很明显 W 有可能是可约的，我们继续找它的不可约的 G  子模。假设存在全不为零的 u , v  使得 sp(u (1  a)  v(a  a 2 )) 是它的不可约的 G  子模。那么存在   使得

那么  : v

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u   v   u  [u (1  a)  v(a  a )]a   (u (1  a)  v(a  a )). 那 么 比 较 等 式 两 边 的 系 数 得 到 v  u   v 解 得    或  v   u .  2

2

   2 , 其中   e 2 i / 3 . 当    时, u  1, v   2  1; 当    2 时, u  1, v    1. 所以它的两个不可约的 G  子模是 sp(1   2 a   a 2 ) 和 sp(1   a   2 a 2 ) 又有 1   1 (1   2 a   a 2 ,1   a   2 a 2 )  (1  a, a  a 2 )  2     1   1 所以有 sp(1  a, a  a 2 )  sp(1   2 a   a 2 )  sp(1   a   2 a 2 ). 所以我们有

G  sp(1  a  a 2 )  sp(1   2 a   a 2 ) sp(1   a   2 a 2 ). 这样我们就写出了 G  C3   a : a 3  1 的正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。 法 2 用我们的方法 因为 n  3 , 由命题 2 我们得到 G  U 0  U1  U 2 , 其中

U i  sp(vi ), i  0,1, 2, v0  1  a  a 2 , v1  1   2 a   a 2 , v2  1   a   2 a 2 .

3

二面体群 D 的所有的不可约的 2n

G模

令 G  D2 n   a, b : a n  b 2  1, b 1ab  a 1 . 记   e 2 i / n . 如下定义 v0 , v1 ,..., vn 1 , 0 , 1 ,..., n 1  G : v0  1  a  ...  a n 1 , w0  bv0 ,

v1  1   n 1a  ...   ( n 1) a n 1 , w1  bv1 , 2

... vn 1  1   a  ...   a n 1 , wn 1  bvn 1 . n 1

命题 3 sp(vi , wn  i ) 是 G 的 G  子模，其中 i  0,1, 2,..., n  1. 证明： 就像命题 1 中讨论的那样，对于 i  0,1,..., n  1, 我们有 vi a   i vi . 因此，

wi a  (bvi )a  b(vi a)  b( i vi )   i (bvi )   i wi . 因此, sp(vi , wn  i ) 是  a  模。下面我们来说明对于 i  0,1,..., n  1 来说，我们有 vn  i b  wi . vn  i b  (1   i a  ...   i ( n 1) a n 1 )b  b   i ab  ...   i ( n 1) a n 1b  b   ( n  i )( n 1) ba n 1  ...   n  i ba

 b(1   n  i a  ...   i ( n 1) a n 1 )  bvi  wi 很显然有 v0 b  w0 . 所以我们有 w0 b  v0 , wi b  vn  i (i  1, 2,..., n  1). 所以, sp(vi , wn  i ) 是 b  模，所以它们是

G 的 G  子模。证毕。 命 题 4 若 n 是 奇 数 ， 则 sp(vi , wn  i )(i  1, 2,..., n  1) 是 不 可 约 的

G 子 模 ； 若 n 是 偶 数 ， 则

sp(vi , wn  i )(i  1,...n / 2  1, n / 2  1,..., n  1) 是不可约的 G  子模。 证明： 若 n 是奇数，我们来说明对于 i  1,..., n  1 来说, U i  sp(vi , wn  i ) 是不可约 G  子模。 我们采用反证法，假设 U i 是可约的，那么它的非本身非零的 G  子模是一维的，所以存在全不为零的

u, v 

使得子模为 sp(uvi  vwn  i ) , 则存在  

使得

(uvi  vwn  i )a  uvi a  vwn  i a  u i vi  v n  i wn  i   (uvi  vwn  i ) ,

u ( i   )  0 所以  又 因 为 n 是 奇 数 ， 所 以  i   n  i , 所 以 方 程 组 无 解 ， 所 以 对 于 i  1,..., n  1 来 说 , n i v(   )  0.

U i  sp(vi , wn  i ) 是不可约 G  子模。若 n 是偶数，又因为 i  n / 2 , 所以上面的证明过程仍然是成立的。证 毕。 从现在开始我们记 U 0  sp(v0 , w0 ),U 0(1)  sp(v0  w0 ),U 0( 2)  sp(v0  w0 ) 命题 5 U 0  U 0(1)  U 0( 2) - 100 www.ivypub.org/mc

证明： 对于 U 0 来说，它的非本身非零的 G  子模是一维的，所以存在全不为零的 u , v  为 sp(uv0  vw0 ) , 那么存在  

使得它的 G  子模

使得

(uv0  vw0 )a  uv0 a  vw0 a  uv0  vw0 , (uv0  vw0 )b  uv0 b  vw0 b  uw0  vv0   (uv0  vw0 )  v  u 所以  解方程组得 u  v. 所以 U 0 是可约的，它的两个不可约的 G  子模是 U 0(1)  sp(v0  w0 ) 和  u  v.

U 0( 2)  sp(v0  w0 ) . 显然有 U 0  U 0(1)  U 0( 2) . 证毕。 从现在开始我们记 U n / 2  sp(vn / 2 , wn / 2 ),U n(1)/ 2  sp(vn / 2  wn / 2 ),U n( 2)/ 2  sp(vn / 2  wn / 2 ). 命题 6 若 n 是偶数，那么 U n / 2  U n(1)/ 2  U n( 2)/ 2 . 证明： 对于 i  n / 2 来说，它的非本身非零的 G  子模是一维的，所以存在全不为零的 u , v  子模为 sp(uvn / 2  vwn / 2 ) , 那么存在  

使得它的 G 

使得

(uvn / 2  vwn / 2 )a  uvn / 2 a  vwn / 2 a  u n / 2 vn / 2  v n / 2 wn / 2   n / 2 (uvn / 2  vwn / 2 ); (uvn / 2  vwn / 2 )b  uwn / 2  vvn / 2   (uvn / 2  vwn / 2 ).

 v  u 所以  解方程组得 u  v. 所以 U n / 2 是可约的，它的两个不可约的 G  子模是 U n(1)/2 和 U n( 2)/2 . 显然有  u  v.

U n / 2  U n(1)/ 2  U n( 2)/ 2 . 证毕。 G  U 0(1)  U 0( 2)  U1  U 2  ...  U n 1 ;

命题 7 当 n 是奇数时,

G  U 0(1)  U 0( 2)  U1  ...  U n / 2 1  U n(1)/ 2  U n( 2)/ 2  U n / 2 1  ...  U n 1 .

当 n 是偶数时, 不可约 G  模的直和。 证明：

我们先来证明 v0 , w0 ,..., vn 1 , wn 1 是 G 的一组基。因为 w0  v0 b  (1  a  ...  a n 1 )b  b  ab  ...  a n 1b; 并且对于 i  1,..., n  1 我们有 wi  vn  i b  (1   i a  ...   i ( n 1) a n 1 )b  b   i ab  ...   i ( n 1) a n 1b. 所以  v0   1  1 1  0 0 0 0 1       2 n  1 ( n  1)  0 0 0 0  v1   a  1         0 0 0 0    n 1     n 1 0 0 0 0  vn 1   A  a  其中，A= 1    w   b  0 0  0 0 1 1 1 1  0       w1   ab  0 0 0 0  n 1  1        0 0     0 0  2   a n 1b   w  0 0  ( n 1)    0 0 1  n 1  n 1  其中矩阵 A 的左上角的矩阵就是之前 2 中的变换矩阵 T , 右下角的矩阵是标准的范德蒙矩阵，其他位置是 0, 那么这个矩阵 A 的行列式是左上角和右下角这两个矩阵的行列式的积，而这两个矩阵的行列式都不为 0, 所 以矩阵 A 的行列式不为 0. 又因为 1, a,..., a n 1 , b, ab,..., a n 1b 是 G 的一组基，所以 v0 , w0 , v1 , w1 ,..., vn 1 , wn 1 是 G 的一组基。因此,

G  U 0  U1  U 2  ...  U n 1 . 又由命题 4, 命题 5 和命题 6 得到 U 0  U 0(1)  U 0( 2) , 若 n 是偶

数，那么 U n / 2  U n(1)/ 2  U n( 2)/ 2 , 并且其余的都是不可约的 G  模，那么 当 n 是奇数时, 当 n 是偶数时,

G  U 0(1)  U 0( 2)  U1  U 2  ...  U n 1 ; G  U 0(1)  U 0( 2)  U1  ...  U n / 2 1  U n(1)/ 2  U n( 2)/ 2  U n / 2 1  ...  U n 1 . 不可约 G  模的直和。证

毕。 命题 8 当 n 是奇数时,

G 的上述直和分解中不同构的 G  子模的数量是 (n  3) / 2; 当 n 是偶数时,

述直和分解中不同构的 G  子模的数量是 n / 2  3. 证明： - 101 www.ivypub.org/mc

G 的上

现在我们先来看看当 n 是奇数时这些分解中有没有同构的。首先有两个一维的 G  子模，它们肯定是 不同构的，这是因为因为由预备知识 10 中的定理可以知道，对于 i  1, 2 来说，同构于 U 0( i ) 的 U j 的数量是 U 0( i ) 的维数 1, 所以肯定只有一个 U j 同构于 U 0( i ) (即它本身). 然后我们来看看二维的 G  子模，首先由预备知识 10 中的定理知道每个二维的 G  子模都除了自己之外有且仅有一个 G  子模与它同构，我们现在来找出 这个同构的 G  子模。 对于 i  1, 2,..., n  1 来说，建立映射 f : U i  sp(vi , wn  i )  U n  i  sp(vn  i , wi )，其中vi  wi , wn  i  vn  i , 那么

f ((1vi  2 wn  i )a)  f (1vi a  2 wn  i a)  f (1 i vi  2 n  i wn  i )  1 i wi  2 n  i vn  i ( f (1vi  2 wn  i ))a  (1 wi  2 vn  i )a  1 wi a  2 vn  i a  1 i wi  2 n  i vn  i  f ((1vi  2 wn  i )a) f ((1vi  2 wn  i )b)  f (1vi b  2 wn  i b)  f (1 wn  i  2 vi )  1vn  i  2 wi ( f (1vi  2 wn  i ))b  (1 wi  2 vn  i )b  1vn  i  2 wi  f ((1vi  2 wn  i )b)

f 满 足 G  同 态条 件 ， 并且 显 然 f 是 一个 双 射 ，所 以 f 是 同构 。 所 以不 同 构 的 G  子 模的 数 量 是 (n  1) / 2  2  (n  3) / 2. 所有的不可约的 G  模是 U 0(1) ,U 0( 2) ,U1 ,U 2 ,...,U ( n 1) / 2 . 当 n 是偶数时，首先有四个一维 的

G  子 模 ， 它 们 肯 定 是 不 同 构 的 ， 这 是 因 为 因 为 由 预 备 知 识 10 中 的 定 理 可 以 知 道 ， 同 构 于

(1) 0

U ,U 0( 2) ,U n(1)/ 2 ,U n( 2)/ 2 的 U j 的数量是它们本身的维数 1, 所以肯定只有一个 U j 同构于它们(即它们本身). 其他二维 的情况同 n 是奇数的情况相同。所以，不同构的 G  子模的数量是 (n  2) / 2  4  n / 2  3. 所有的不可约的

G  模是 U 0(1) ,U 0( 2) ,U n(1)/ 2 ,U n( 2)/ 2 ,U1 ,U 2 ,...,U n / 2 1 . 下面我们用一个例子来说明我们的证明。 例2

[ 4]

：用两种方法写出 G  D6   a, b : a 3  b 2  1, b 1ab  a 1  的正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。

法 1 用 Maschke's 定理的方法 首先计算得到

(1  a  a 2 )a  1  a  a 2 ;(1  a  a 2 )b  b  ba  ba 2 ; (b  ba  ba 2 )a  b  ba  ba 2 ;(b  ba  ba 2 )b  1  a  a 2 . 显然有 U  sp(1  a  a 2 , b  ba  ba 2 ) 是 G  sp(1, a, a 2 , b, ba, ba 2 ) 的 G  子模。我们先来看看它的可约性。假 设存在全不为零的 u , v 

使得 sp(u (1  a  a 2 )  v(b  ba  ba 2 )) 是它的不可约的 G  子模。那么存在  

 v  u 使得 [u (1  a  a 2 )  v(b  ba  ba 2 )]b   (u (1  a  a 2 )  v(b  ba  ba 2 )). 比较等式两边的系数得到  解得  u  v. u  v. 所以 U  sp(1  a  a 2 , b  ba  ba 2 ) 是可约的，它的两个不可约子模是 U1  sp(1  a  a 2  b  ba  ba 2 ) 和 U 2  sp(1  a  a 2  b  ba  ba 2 ). 很明显有 U  U1  U 2 . 所以我们已经把 G  sp(1, a, a 2 , b, ba, ba 2 ) 的一个

G  子模 U  sp(1  a  a 2 , b  ba  ba 2 ) 写成了不可约 G  子模的直和分解。下面我们由 Maschke's 定理找 出 G  子模 W 使得 G  U  W . 首先我们找到子空间 W0  sp(1, a, b, ba)，显然它并不是 G  子模，但由

1  0 0 (1, a, b, ba,1  a  a 2 , b  ba  ba 2 )  (1, a, b, ba, a 2 , ba 2 ) B. 其中 B   0 0  0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0

0  0 0  是可逆阵， 1 1  1 

所以有 G  U  W0 . 做映射  : v  u , 其中 v  u  w0  G, u  U , w0  W0 . 那么我们得到

 :1 那么  : v

0;  : a

0;  : a 2

1  a  a2 ;

1 1 2  vg g , v  G 的值如下:  :1, a, a g  G |G|

 :b

0;

 : ba

0;

 : ba 2

1 (1  a  a 2 );  : b, ba, ba 2 3

b  ba  ba 2 .

1 (b  ba  ba 2 ).

3

那么  的核 sp(1  a 2 , a  a 2 , b  ba 2 , ba  ba 2 ) 就是所求的 G  子模 W . 很明显 W 有可能是可约的，我们继续 - 102 www.ivypub.org/mc

找它的不可约的

G  子 模 。 假 设 存 在 全 不 为 零 的 1 , 2 , 3 , 4 

使得它的

G 子 模 是

sp(1 (1  a 2 )  2 (a  a 2 ), 3 (b  ba 2 )  4 (ba  ba 2 )). 那么存在 k1 , k2 , k3 , k4  使得 (1 (1  a 2 )  2 (a  a 2 ))a  k1 (1 (1  a 2 )  2 (a  a 2 )) (1 (1  a 2 )  2 (a  a 2 ))b  k2 (3 (b  ba 2 )  4 (ba  ba 2 )) (3 (b  ba 2 )  4 (ba  ba 2 ))a  k3 (3 (b  ba 2 )  4 (ba  ba 2 )) (3 (b  ba 2 )  4 (ba  ba 2 ))b  k4 (1 (1  a 2 )  2 (a  a 2 )) 那 么 比 较 等 式 两 边 的 系 数 得 到 两 组 解 ： 1  1, 2   2 , 3  1, 4   和 1  1, 2   , 3  1, 4   2 . 其 中

  e 2 i / 3 .

所 以 得 到 了 W 的 两 个

G 子 模 是

W1  sp(1   2 a   a 2 , b  ba   2 ba 2 ) 和

W2  sp(1   a   2 a 2 , b   2 ba  ba 2 ). 又因为 (1   2 a   a 2 , b  ba   2 ba 2 ,1   a   2 a 2 , b   2 ba  ba 2 )  (1  a 2 , a  a 2 , b  ba 2 , ba  ba 2 )C  1 0 1 0  2  0  0  是可逆阵，所以有 W  W1  W2 . 显然 W1 ,W2 有可能是可约的，我们接着往下分解。 其中C    0 1 0 1   2   0  0   我们先来看看 W1 , 假设存在全不为零的 u , v  使得 sp(u (1   2 a   a 2 )  v(b  ba   2 ba 2 )) 是它的不可约的 G  子模。那么存在   使得 [u (1   2 a   a 2 )  v(b  ba   2 ba 2 )]a  [u (1   2 a   a 2 )  v(b  ba   2 ba 2 )]. u (   )  0 那么比较等式两边的系数得到  方程组无解，所以 W1 是不可约的。同理可证 W2 是不可约的。 2 v(   )  0. 所以 G  U1  U 2  W1  W2 . 这样我们就写出了 G  D6   a, b : a 3  b 2  1, b 1ab  a 1  的正则 G  模 G 的不 可约模的直和分解。 法 2 用我们的方法 因为 n  3 是奇数，由命题 7 我们得到 G  U 0(1)  U 0( 2)  U1  U 2 . 其中 U 0(1)  sp(v0  w0 ),U 0( 2)  sp(v0  w0 ),U1  sp(v1 , w2 ),U 2  sp(v2 , w1 ),

v0  1  a  a 2 , w0  bv0 , v1  1   2 a   a 2 , w1  bv1 , v2  1   a   2 a 2 , w2  bv2 .

4

结论 本文通过研究得到了两类重要的群-循环群 Cn 和二面体群 D2n 的正则 G  模 G 的不可约模的直和分

解，和这些不可约模的同构关系。我们采用构造的方法构造出它们的不可约的 G  子模，满足直和条件从 而得到正则 G  模 G 的不可约模的直和分解。再运用群表示论中的模理论知识得到这些不可约模的同构 关系。我们用两个例子-三阶循环群 C3 和二面体群 D6 来验证我们的方法是要比用 Maschke's 定理直接计算的 方法大大简化。我们讨论的意义是当 n 很大的时候我们依然可以在同构的意义下很轻松的找到循环群 Cn 和二 面体群 D2n 的所有的不可约的 G  模，这为我们以后有关不可约模乃至模理论的研究奠定了坚实的基础。

致谢 历时几个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老 师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我导师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的 修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此 向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的 帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学者批评和指正！ - 103 www.ivypub.org/mc

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Curtis, Charles W. . Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer[M]. History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2003.

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Lingzhao Nie, ShisunDing. Linear Algebra [M].Beijing: Higher Education Press, 2000.

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[7]

Geometry and algebra research laboratory Peking University Department of mathematics of algebraic groups. Advanced Algebra [M]. Beijing: Higher Education Press, 2003.

【作者简介】 刘瑞珊（1990- ），女，汉族，硕士在读，研究方向是代数学及其应用，2013 年毕业于东北林业大学理 学院数学与应用数学专业，现在在北京航空航天大学数学与系统科学学院攻读硕士学位。 Email: 583389694@qq.com

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