An alternating direct implicit method for time fractional diffusion equation in two space dimensions

Mathematical Computation September 2013, Volume 2, Issue 3, PP.40-47

An Alternating Direct Implicit Method for TimeFractional Diffusion Equation in Two Space Dimensions Jing Gao, Huanzhen Chen# School of Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China #Email: chhzh@sdnu.edu.cn

Abstract In this paper, an alternating direct implicit method is proposed to approximate a kind of time-fractional diffusion equation, which possesses simple calculation and higher stability. By means of the Fourier analysis, the unconditional stability of discretization schemes as well as the optimal convergence accuracy of the format concerning the time and space has been verified.

Keywords: Time-fractional Diffusion Equation; Alternating Direct Implicit Method; Unconditional Stability; The Optimal Convergence Accuracy

求解时间分数阶二维扩散方程的交替方向隐式法* 高静，陈焕贞 山东师范大学数学科学学院， 山东 济南 250014 摘 要：采用交替方向思想数值模拟时间分数阶二维扩散方程初边值问题，构造出计算简单且稳定性好的交替方向隐式离 散格式。借助傅里叶分析技术，证明了离散格式的无条件稳定性，并证明了格式关于时间与空间具有最优收敛精度。数 值实验支持了文中理论结果。 关键词：分数阶扩散方程;交替方向隐式法; 无条件稳定; 最优收敛精度

引言 本文讨论下列时间分数阶二维扩散方程初边值问题：

   u  x, y , t   2 u  x , y , t   2 u  x , y , t     f  x, y, t  ,  x, y, t      0, T  ,  t  x 2 y 2   (1) u  0, y, t   u  x,0, t   u 1, y, t   u  x,1, t   0, t   0, T  , u  x, y,0     x, y  ,    0,1 .      u  x, y , t  其中，   [0,1]2 ,  ( x, y) , f (x, y,t ) 分别为给定的初值函数与右端项函数。 为如下定义的 Caputo 分 t  数阶导数[8]： t u  x, y , s   u  x, y, t  1    t  s  ds, 0  t  T ,    0,1 , () 为 gamma 函数 (2)   t  1    0 s 该系统描述了具有分形结构的多孔介质中的反常扩散现象，已在渗流力学、金融学以及水利工程学中 广泛应用。与传统的扩散方程相比，时间分数阶扩散方程可更准确地刻画上述问题的数学物理本质。鉴于 *基金资助：国家自然科学基金(10971254,

11171193),山东省自然科学基金(ZR2009AZ003, ZR2011AM016) 资助项目。 - 40 www.ivypub.org/MC

此，对该类分数阶扩散问题的数值模拟已引起工程界与计算数学界的广泛关注，出现了一系列数值模拟技 术，如 Green 函数方法[13,14]，分数阶差分-Legendre 谱方法[12]，隐式、显式差分方法[6,7,9,12] 等。和整数阶导 数相比，分数阶导数所具非局部性导致右端项计算量由 O(M 2 N ) 增至 O(M 2 N 2 ) ，使得问题求解更加困难。 显式差分方法计算量小但是条件稳定，而隐式差分方法无条件稳定，但计算量远远大于显式差分方法，直 接套用显式或隐式差分格式计算效果并不理想。因此，构造具有良好稳定性、收敛性、计算简单的高效差 分格式是数值模拟上述时间分数阶问题（特别是高维问题）的关键技术与有效手段。本文借鉴交替方向技 术的计算简单性质，结合隐式差分格式的稳定性质，试图对上述时间分数阶二维扩散方程构造一种具良好 收敛性、稳定性、计算简单的交替方向隐式(ADI)差分格式，以期得到良好的数值模拟效果。严格的数值分 析表明，文中所提交替方向隐式差分格式是无条件稳定，具有最优收敛速度，且计算量从隐式差分格式的

O(M 3 N 2 ) 减少至 O(M 2 N 2 ) 降低了一个量级。数值试验也表明了新格式的良好性质。 文章结构如下：第 2 节将给出所讨论方程相应的 ADI 格式；ADI 方法的稳定性及收敛性分析将在第 3 节和第 4 节中给出；第 5 节将给出数值实验并对数值计算结果与理论分析做一个比较。

交替方向隐式格式

1

本节给出式(1)的交替方向隐式格式。

T 1 和   , xi  ih , y j  jh , tn  n ,相应的节点记 N M n , N. 又记节点上的函数值为 uij  u  xi , y j , tn  , fijn  f  xi , y j , tn  。

对正整数 M 和 N，令空间步长和时间步长分别为 h  为 ( xi , y j , tn ) , i, j  0,1,

, M ; n  0,1,

对时间分数阶导数(2)作如下展开： tn u x , y , s  u  xi , y j , tn   i j  t  s  ds 1  n    t  1    0 s

 

l u  x , y , s  n 1  i j n  s  ds     1    l 1 l 1 s

(3)

n n 1 1 1  1  1  1     uijl  uijl 1   n  l  1   n  l    O  2     n  l  1   n  l  . l 1 l 1  2     2   

引入记号：

1     ,    2     ,      l1  l  1 1    l 并注意到  N  T ，则(3)式等价于

 u  xi , y j , tn  t



   ,   uijl  uijl 1  nl1  n

l 1

   ,   u n

从而

 u  xi , y j , tn  t



n  l 1 ij

l 1

u

n l ij



 

l

1 O  2   N (1 ) 2     O   .

可由如下定义的 Dt  uijn 近似

Dt( ) uijn    ,   uijl  uijl 1  nl1    ,  uijn  uijn 1     ,   uijn l 1  uijn l  l  容易看出

(4)

n

n

l 1

l 2

 u  xi , y j , tn  t



 Dt( ) uijn  O   .

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(5)

 u  xi , y j , tn 

所产生的截断误差为 O   . t  2 2 对空间导数采用二阶中心差分近似。记  x Uij  Ui 1, j  2Uij  Ui 1, j ,  y Uij  Ui , j 1  2Uij  Ui , j 1 分别为沿 x

  n 即用 Dt uij 近似 

和 y 方向的二阶中心差分。 利用上述对时间导数和空间导数的差分近似，可逐时间层构造(1)式的交替方向隐式格式。 当 n=1 时，交替方向隐式格式可定义为 1  2 12  2 0 1  12 0 2 U  U   U   U  f , ij x ij y ij ij  ij 2 2 2   ,   1 1 U 1  U 2    2U 2    2U 1  1 f 1 . ij x ij y ij ij  ij 2 2 2  , 1

即第 1 层的计算分成两步：用向后差分 1

 x2U ij2 h2

 x2U ij2 h2

1

逼近 u xx ，用向前差分

 y2U ij2 h2

逼近 u yy 计算第 12 层；用向前差分

1

逼近 u xx ，用向后差分

 y2U ij2 h2

逼近 u yy ，从而可得到第 1 层的解。

当 n  1 时，我们可类似得到下述交替方向隐式差分格式： 1 n  2 n  12  2 n 1 1 1 n  n  12 n 1 2 U ij  U ij  2  x U ij  2  y U ij  2 fij  2 U ,  ,   1 1 U n  U n  2    2U n  2    2U n  1 f n  1  n , n  1. ij ij x ij y ij ij U  2 2 2  , 2 

(6)

其中，

0, n 1   n U n 1     l   l1 U ijn l 1  U ij0n  , n  2.  l 3  ij 2 n n n U 0 j  U i 0  U Mj  U iMn  0, i, j  0,1, , M ; n  0,1, , N .

U ij0  ij , i, j  0,1, , M .

Un  

2





(7)

(8)

稳定性分析 本节将利用傅里叶方法[6] 讨论 ADI 格式(6)的稳定性。为此给出如下两个引理。 引理 1 对 l  1, 2, , (6)中的系数 l  ，满足下列不等式：

l   0, l1  l  . 引理 1 显然成立，在此不做证明。 设 U ijn 是(6)-(8)的解，对 i, j  0,1, M ; n  0,1,

, N , 将 U ijn 作如下延拓：

 n     U ij ,  x, y    xi  1 , xi  1    y j  1 , y j  1  , U  x, y     2 2   2 2  0, 其他.  n

并对 U n  x, y  作傅里叶展开，得

p  q 

U n  x, y      n  p, q  e I i h  j h . p  q 

傅里叶系数

 n ( p, q)  01 01U n ( x, y)e I (i h  j h ) . 其中，  

2 p 2 q ，  ，I  1 为虚数单位，将第 n 层差分解用矩阵 U n  U ijn M M 表示，则其范数为 L L - 42 www.ivypub.org/MC

(9)

Un

2 2

   h2 U ijn  0 0 U n  x, y   U n  x, y  2 .

M

M

2

2

1 1

2

i 0 j 0

由 Parseval 等式 可知， [6]

Un

2 2

p  q 

   |  n  p, q  |22 .

(10)

p  q 

引理 2 傅里叶系数  n 满足:

|  n ||  0 | .

(11)

证明：为证明简洁计，不妨设 f  0, 并将 ADI 格式(6) 表示为如下等价形式：   2  n  12   2  n 1 1 n  E  2  x U ij   E  2  y U ij  2 U ,      1    E   2 U n   E   2 U n  2  1  n , y  ij x  ij U    2  2  2  

(12) n  1.

注意到  x2 和  y2 均为正定算子，E 为恒等算子，故(12)式左端差分算子有逆。从而可消去第 n  n

1 层的值 2

1

U ij 2 得

 2   2 n   2   2  n 1 n   E   x  E   y U ij   E   x  E   y U ij  U , 2  2  2  2   

n  1.

(13)

将(10)式代入(13)式， 



p , q 

2

n   (1 

(e Ii h  e Ii h  2))(1 





p , q 

2

   n 1 (1  

 2

(e Ij  h  e Ij  h  2))e I ( i h  j h )

(e Ii h  e Ii h  2))(1 

 2

(e Ij  h  e Ij  h  2))e I ( i h  j h )

(14)

n

   ( n l 1   n l )l( ) e I ( i h  j h ) . p , q  l  2

对(14)式中第二项作分部求和，比较对应项的系数并经简单计算后可得  hy   2  hx   2 1  2 sin 2  1  2 sin 2      0. 1   hy   2  hx   2  1  2 sin  1  2 sin 

 2 1  2 sin  n   2 1  2 sin 

(15)

2 

 hx 2

 hx 2

2   hy   2 n  1  2 sin 2  2  n 1   l1  l   n l 1  n  0    n 1  l 3 , n  2.  hy   hy    2 2  hx   2 1  2  sin 1  2  sin 1  2  sin      2  2   2   





我们将用归纳法证明(11)式成立。显然 |  1 ||  0 | 。又设 |  n 1 ||  0 | ，对任意 n  1, 2,

(16)

均成立， 则由三

角不等式、(15)式及引理 1 得  hy  2  hx   2 1  2 sin 2  1  2 sin 2    hy  h    1  2 sin 2 x  1  2 sin 2 2 2  

 n | |  n    n 1 l1  l  |  n  l 1 | n  |  0 |   2 |  |  l 3 





 hy  hy  0 n    h h  1  2   2 sin 2 x  2 sin 2  4 2 sin 2 x sin 2 l 1  l  |  0 | n  |  0 |  |  |  l  3 2 2 2 2    hy  0  h    1  2 sin 2 x  1  2 sin 2 | | 2  2  



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

不等式两边同除公因子即得 |  n ||  0 | ，此即为(11)式。 利用上述结果，我们可得到下列交替方向隐式差分格式的稳定性。 定理 1 交替方向隐式差分格式(6)-(8) 是无条件稳定的。 证明： U ijn 和 uijn 均为方程(6)-(8) 的解并记

 ijn  Uijn  uijn , i, j  0,1, , M ; n  0,1, , N ， 则由(6)-(8)可得下列舍入误差方程：

 2 n  12  2 n 1 1 n  n  12 n      x  ij   y  ij   , ij  ij 2 2 2  1 1  n   n  2    2 n  2    2 n  1  n , n  2. ij x ij y ij   ij 2 2 2  0n j   in0   Mjn   iMn  0, i, j  0,1, , M ; n  0,1,

(17)

, N.

令  n   ijn M M ，由引理 2 推出

p  q 

p  q 

 n 2     n  p, q      0  p, q    0 2 .

2

2

p  q 

2

2

p  q 

定理得证。

3

收敛性分析 本节将给出交替方向隐式差分格式(6)的最优收敛性分析。 将(6)式中二式分别相加、减后，依次得 n

U ijn  U ijn 1   x2U ij n

2U ij

1 2

1 n  1   y2 (U ijn  U ijn 1 )  ( fij 2  fijn )  Un .

2 2  ,

1 n  1  U ijn  U ijn 1   y2 (U ijn  U ijn 1 )  ( fij 2  fijn ).

2 2  ,

1 2

(18) (19)

(19)式代入(18)式并整理后得

 U ij n

 U ijn l  l 

n  l 1

l 1





( x2   y2 )(U ijn  U ijn 1 ) 

2



2

4

  (U  U 2 x

2 y

n ij

n 1 ij

)

1

( fijn 1  fijn )

2  ,

1 2  ,

n

( fij

1 2

f

n 1 ij

1 n  )  x2 ( fij 2  fijn ), n  1.

4  ,

(20)

令 ijn  uijn  U ijn ，代入上式得

 ij n

n  l 1

l 1

 ijn l  l 

1 2  , h

( x2   y2 )(ijn  ijn 1 )  2

2 4

 x2 y2 (ijn  ijn 1 )  Rijn ,

(21)

其中， n  1 Rijn    uijn l 1  uijn l  l  ( x2   y2 )(uijn  uijn 1 )  ( fijn  fijn 1 ) l 1 2 2  ,



1 2  ,

n

( f ij

1 2

 fijn 1 ) 

2 4

 x2 y2 (uijn  uijn 1 ) 

1 n   x2 ( fij 2  fijn ).

4  ,

利用 Taylor 展开

 x2uijn 2

h  y2uijn h

2



 2u ( xi , y j , tn ) 2

 O(h2 ),

2

 O(h2 ),

x  u ( xi , y j , tn ) 2



y

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(22)

 x2 y2uijn h

 4u ( xi , y j , tn )



4

x y 2

 O(h2 ),

2

 u ( xi , y j , tn )  ·  O( 2 ), 2 t

1 n 2 ij

uijn  u

及时间分数阶导数近似(4)式并结合(1)式可得 1

Rijn 

(

  ,

t

1

 

 uijn

2  , 1

  ,

(



f

 u

n ij

t

1 n 2 ij

t



(

 O( )) 



1 2  ,

  O( )) 

(

 2 (uijn  uijn 1 ) x 1

2

2  ,

2

(



2

y

2

 O(h 2 )  f ijn  f ijn 1 ) n

 5uijn

  O(h   ))  2

x y t 2

 2 (uijn  uijn 1 )

2

1

2

4  ,

2

(

 3 f ij

1 2

x t 2

  O(h 2   2 ))

1  (u  u )  (u  u )  (   O(h 2 )  f ijn  f ijn 1 )) 2 x 2 y 2 2

n 1 ij

n ij

2

n 1 ij

n ij

 O( 1    h 2 )  O( 1   1 2   2 h 2 )  O( 1    h 2 ).

 4 uijn  4 uijn fijn 及 u 的六阶导数等。 , , y 4 x 4 t 定理 2 若 U ijn 为(6)的解， uijn 为真解在节点处的值，则对 i, j  1, 2, , M ; n  1, 2,

即 | Rijn | C ( 1    h2 ), 其中，常数 C 依赖于

, N 存在一正常数 C , 使得

| u  U | C (  h ). n ij

证明：记 | 

n i0 j0

n ij

2

| max |  |, 则 1 i , j  M

n ij





| i1 j || ( E   x2 )( E   y2 )i1 j | 2 2 0 0

0 0





| ( E   x2 )( E   y2 )i0 j  Ri1 j | 2 2 0 0



0 0



| ( E   x2 )( E   y2 )i0 j |  | Ri1 j | 2 2 1  ( ) C ( 1    h 2 ).

0 0

0 0

1

, n  1, 有 | ik0 j0 |

我们将利用归纳法证明，假设对 k  0,1, 下证 | in j | 0 0

1



( ) n

1



( ) k

C ( 1    h2 ), 并注意到系数

C ( 1    h2 ).





| in j || ( E   x2 )( E   y2 )in j | 2 2 0 0

0 0





n 1

| ( E   x2 )( E   y2 )in j 1   (in j l 1  in j l )l  Rin j | l 1 2 2 0 0

0 0

0 0



n 1

0 0



2

|  (l( )  l(1) )in j l |  | ( x2   y2 )in j 1 |  |  x2 y2in j 1 |  | Rin j | l 1 2 4 0 0

0 0

n 1

  (l( )  l(1) ) | in j l |  C ( 1    h 2 ) l 1

0 0

n 1

1

l 1

n( )

 (  (l( )  l(1) )  n( ) ) 

1



( ) n

C ( 1    h 2 )

C ( 1    h 2 ).

由于 - 45 www.ivypub.org/MC

0 0

0 0

1



( ) k



1

n( )

，

(n  1) 1 1  lim  ( ) 1 1 n  n  n  1 n n  (n  1) (1   )(1  )1 1   n 1 又 (n  1)    T  为常数，所以， | in j | C (  h2 ). lim

(n  1)

 lim

0 0

定理得证。 因此，时间分数阶扩散方程的交替方向隐式法的收敛阶是 O(  h2 ) 。

4

数值算例 本节考虑下列时间分数阶扩散方程：

 u  x, y, t  t





 2u  x, y , t  x

2



 2u  x, y, t  y

2

 f  x, y, t  ,

 x, y, t  [0,1]2  (0, T ].

其中，  2t 2  f  x, y, t     2 2  t 2  1  sin  x sin  y.   3    

初边值条件分别为 u( x, y,0)  sin  x sin  y, u  0, y, t   u  x,0, t   u 1, y, t   u  x,1, t   0, t  (0, T ]. 容易验证， 2 该方程的真解为 u( x, y, t )   t  1 sin  x sin  y. 对该方程我们进行了两类数值试验。第一类是通过选取不同的  和不同的时间、空间步长,我们利用 收敛阶 

u U h 1 ln( ) ln(2) u U h 2

分别计算真解与离散解的误差阶，计算结果见表 1。不难看出，对于不同的时间导数阶  ，当空间步长递减

1 1 倍时，真解与离散解的误差递减约为 2 4 ，这表明关于空间的收敛阶为 2 阶。类似可说明，离散格式关于 时间的收敛阶是 1 阶。

 分别为 0.3, 0.5, 0.8, 在 T=1 时的误差及收敛阶  =0.3  =0.5  =0.8 空间步长 时间步长 表1

h 1/4 1/8 1/16 1/32



1/16 1/64 1/256 1/1024

|u-U| 0.1327 0.0322 0.0080 0.0020

order \ 2.04 2.01 2.00

|u-U| order 0.1314 \ 0.0319 2.04 0.0079 2.01 0.0019 2.00

|u-U| order 0.1315 \ 0.0320 2.04 0.0079 2.01 0.0020 2.00

第二类实验是计算量比较。我们通过显格式、隐格式以及文中所提交替方向隐格式分别离散上述分数阶扩 1 散方程和对应的整数阶扩散方程 (  1) ，得到如表 2 所示的计算量和稳定性。其中， N  为时间节点数，



M

1 为某一空间方向的节点数。 h 表 2 计算量比较 离散格式

整数阶方程计算量

分数阶方程计算量

显格式

2

2

隐格式 交替方向隐格式

M N M 3N M 2N

2

M N M 3N 2 M 2N 2

稳定性 条件稳定 无条件稳定 无条件稳定

由表 2 可以看出，文中所提交替方向隐格式具有与显格式相同量级的计算量以及与隐格式相同的无条件 稳定性。但分数阶扩散方程的计算量较整数阶扩散方程计算量增加一个时间量级（N 倍），这是由分数阶导 数的非局部性所导致的。 - 46 www.ivypub.org/MC

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【作者简介】 1

高 静（ 1988- ） ， 女， 汉 ， 在读研究

2

陈焕贞（1957-），汉，男，博士，教授，研究方向一微分

生，学生，研究方向微分方程数值模

方程数值模拟，研究方向二科学与工程计算，1998 年于山东

拟，山东师范大学获得学士学位，现就

大学获得博士学位。Email: chhzh@sdnu.edu.cn

读山东师范大学攻读硕士学位。 Email: gj_tengfei@163.com

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