An applied to solid stress wave propagation of unstructured mesh finite volume method by menez

Architectural Engineering August 2014, Volume 2, Issue 3, PP.49-56

An Applied to Solid Stress Wave Propagation of Unstructured Mesh Finite Volume Method Ligang Zeng, Zheming Zhu #, Ruoqi Feng School of Architecture and the Environment, Sichuan University, Sichuan 610065, P.R.China #

Email: zhemingzhu@hotmail.com

Abstract For solid medium, only assumed a linear distribution of stress in the control volume boundary, an unstructured finite-volume algorithm was developed. In order to deal with complex geometric boundaries, according to the wave equation and the strain rate equation, an unstructured finite-volume algorithm was developed. The algorithm is easy to program, and is suitable for parallel computing. Finally, a comparison between theoretical solution and numerical solution is performed, and they agree very well, which indicates the unstructured finite element method proposed in this paper is effective. Keywords: Finite Element; Generalized Conforming Element; Flat Shell Element; Linear Distribution

一种应用于固体应力波传播的非结构化网格有限体积法* 曾利刚，朱哲明，冯若琪四川大学建筑与环境学院，四川成都 610065 摘

要：本文针对固体介质，在仅考虑控制边界应力呈线性分布的情况下，提出了一种非结构化网格的有限体积法。为

了处理复杂的几何边界，根据波动方程和应变率方程导出了一种适合非结构化网格的有限体积离散格式。该算法易于编程，且适合并行运算。最后通过和理论解算例的比较，验证了本算法的有效性。关键词：有限体积；非结构网格；动态仿真；单元应力；线性分布

引言工程结构在动载荷作用下的动态响应及其损伤、破坏规律一直是结构稳定性分析及结构安全设计所要考虑的重要问题。由于外载荷形式的多样性，以及边界条件的复杂化，大部分结构的动态响应很难有精确的理论解，必须通过实验或数值模拟方法进行分析 [1-3] 。数值算法经过多年的发展，已经出现了 AutoDyn、LSDYNA、Abaqus、UDEC 等国外商业计算软件，虽然这些软件可以进行各种数值仿真，但都不能提供源程序和详细资料，成为一个仅能输入、输出的黑匣子，且涉及到军用部分的功能被严格屏蔽，其计算精度、计算规模和二次开发均受到限制[4]。因此研究结构动态响应的底层算法也就显得很有必要。有限体积法，也被称为广义差分法（GDM），由于在计算域内所有的物理量均满足积分守恒的性质，不存在守恒误差，由于其基本思想十分简洁，容易导出离散格式，不仅计算能保持差分法的速度，其精度也比差分法高，因此一直受到关注。早期的有限体积法主要应用于流体流动和传热计算领域。1981 年 Jameson A. 在利用有限差分法对热能传递进行研究时，结合多步 Runge-Kutta 法提出了二阶精度的显式有限体积格式，并获得了高效的计算性能[5]；1983 年 Soulis J.V.利用三维有限体积法计算了通过涡轮机叶片的超音速流体流 *

基金项目：国家 973 项目, 2010CB732005；四川省科技计划项目(2014JY0002)；油气藏地质及开发工程国家重点实验室资助项目(PLN1202). - 49 http://www.ivypub.org/AE

动问题[6]；1992 年，Darwish M.S.利用交错网格的有限体积法对粘弹性流体的流动进行了模拟[7]。由于非结构化网格在单元剖分上非常灵活，网格形状也不受限制，因而在处理复杂几何边界的能力上显示出非常强大的优势，在流体力学领域已经发展了很多非结构网格算法[8-11]。而在固体力学领域，1994 年， Demirdžić 采用有限体积法分析了固体当中的应力[12]。1995 年，Bailey 针对三维弹性体开发了一个非结构化网格的有限体积法并行程序[13]。2012 年陈卫东针对薄板冲击问题提出了一种非结构化网格算法[14]。常见的针对固体应力波传播算法当中，对应力单元采用常应力单元假设或者分段线性应力假设。由于线性应力比常应力更具有通用性，因此在同等网格剖分的条件下，线性应力假设的仿真结果会优于常应力单元。而对于二维模型，采用线性应力单元假设，必须知道 3 个以上点的应力才能确定单元内应力函数的系数。本文通过公式的转换，可看公式（7），可知单元内应力的计算可转换到单元控制边界上应力的计算，因此本文仅假设控制边界上的应力呈线性变化，就可以导出相应的离散格式，按照这种假设，仅需 2 个点的应力即可确定出应力函数的系数。由于考虑到非结构化网格所具有的优势，本文结合非结构化网格，通过将相关的物理量定义在节点上，对公式进行相应的变换，导出了在有限体积算法下，波动方程及应变率方程的离散格式，最后使用理论解验证了本算法的有效性。

（a）区域网格划

（b）n个单元共享一个节点

图 1 非结构化网格

控制体积应力以及材料的定义本文采用单元顶点式选择控制体积。如图 1(a)所示，首先用实线将区域进行网格划分，然后再使用虚线

对网格单元进行划分。为了编程方便，其中单元内虚线的交点取单元的形心处，虚线与实线的交点取实线的中点处。与常见的将单元内应力假设为线性函数不同的是,本文仅假设控制体积边界（以及网格单元边界）上的应力呈线性分布，之所以仅考虑（控制体积）边界应力分布而不考虑单元内应力分布，在后面公式（7）的导出中，可以证明仅需知道边界上的应力函数即可将波动方程给离散化。并且，仅需知道边界上两个点的应力就可以将应力函数给确定。如图 1(b)，本文不直接考虑单元 034 内的应力分布，而仅考虑边界 33 、 34 的应力分布，其假设应力分布如下：

 x  ax x  bx y  cx  y  a y x  by y  c y

（1）

 xy  axy x  bxy y  cxy 其中 ax , bx , cx , ay , by , cy , axy , bxy , cxy 为常数。当边界上两点坐标确定以后，如图 1(b)节点 0( x0 , y0 )与 1( x1 , y1 )，则位移变量可以互相表示为 x x y x yx x 0 1 y 0 1 1 0 y0  y1 y0  y1 y  y1 x y x y y 0 x 0 1 1 0 x0  x1 x0  x1 - 50 http://www.ivypub.org/AE

（2）

将(2)式带入(1)式可得到

 x  a1 y  b1  y  a2 x  b2

（3）

 xy  a3 y  b3  xy  a4 x  b4

其中 a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 由 ax , bx , cx , ay , by , cy , axy , bxy , cxy 与 x0 , x1 , y0 , y1 共同确定。如果已知边界两个节点的应力，则将应力反带入公式(3)，则最终可以确定出系数 a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 ，边界上的线性应力函数也就最终确定了下来。设节点 0、1 的应力分别为  x0 , y0 , xy0 , 1x , 1y , 1xy ，则带入公式(3)可以求得 a1  a2  a3  a4 

 x0   1x

, b1 

y0  y1

  0 y

1 y

x0  x1

, b2 

 xy0   1xy y0  y1

  0 xy

1 xy

x0  x1

 1x y0   x0 y1 y0  y1

 x   y0 x1 1 y 0

x0  x1

, b3  , b4 

 1xy y0   xy0 y1

（4）

y0  y1

 x   xy0 x1 1 xy 0

x0  x1

本文将位移、速度、加速度、力定义在实线节点上。其中实线与虚线节点均定义有应力。

非结构化网格的有限体积法格式

2.1 波动方程在二维情况下，波动方程可表示为  x  xy  2u   fx   2 x y t  xy  y 2v   fy   2 x y t

（5）

其中， f x、f y 表示 x、y 方向的体力分量。对（5）式两边同时乘以 dxdy ，并对图 1(a)中围绕某一节点的虚线所构成的区域  进行积分有：

 ( 

 (

 x  xy  2u  )dxdy   f x dxdy   dxdy 2 x y t    xy



 L

x x



 y y

)dxdy   

2v f y dxdy   dxdy 2 t 

（6）

dy    xy dx  mg x  Fx  mg x  mu L

dy    y dx  mg y  Fy  mg y  mv

（7）

式中： L 为围绕区域  的闭合曲线， m 为区域  的质量， g x、g y 分别为节点 x、y 方向的体力加速度， u、v 分别为节点 x、y 方向的加速度， Fx、Fy 分别表示作用于节点上的内力。

在式（7）中，由于边界 L 上的应力为一次线性可积函数，则可对应力函数直接积分。如图 1(a)中，取出一个节点以及包围该节点的虚线所构成的区域，不失一般性，表示成图 1(b)。在图 1(b)中，将公式（3）带入（7），对围绕顶点 0 的控制区域积分可得 - 51 http://www.ivypub.org/AE

Fx =   x dy    xy dx L

n

yi

yi

i

yi

y( i 1)

= {[  (ai，1 y  bi ,1 )dy 



xi

xi

x( i 1)

(ai，1 y  bi,1 )dy ]  [  (ai ,4 x  bi ,4 )dx 



(ai,4 x  bi,4 )dx]}

1 2 2 {[ ai（， 1 yi   yi  )  bi ,1 ( yi   yi  ) 1 2 2 2 =  [ ai，（ 4 xi   xi  )  bi ,4 ( xi   xi  ) 1 2 i 2 2 ，1 yi  y(i 1) )  bi,1 ( yi  y(i 1) )] [ ai（ 2 1 2 2  [ ai，（ 4 xi   x( i 1) )  bi ,4 ( xi   x( i 1) )]} 2 n

（8）

 i  1）  应力  x 线性函数里的系数； ai ,4 , bi ,4 其中 ai ,1 , bi ,1 为边界 ii 应力  x 线性函数里的系数； ai ,1 , bi ,1 为边界 i（  i  1）  应力  xy 线性函数里的系数。为边界 ii 应力  xy 线性函数里的系数； ai ,4 , bi ,4 为边界 i（

由于节点 i, i 处的应力已知，而本文将节点 i  定义在节点 i 与 0 的中点上，根据本文假设应力在边界上呈线性关系，则可以很容易导出边界 0i 上的点 i  的应力。则最后带入公式（8）可得到如下的结果 1 n Fx  [{( xi   x0  2 xi )( yi  y0  2 yi )  ( xi 1   x0  2 xi )(2 yi  yi 1  y0 )] 8 i 1 i  xy

[(    2 )( xi  x0  2 xi )  ( i xy

0 xy

i 1 xy

   2 )(2 xi  xi 1  x0 )]}

同理,可以得到 Fy 的表达式 1 n Fy  [{( xyi   xy0  2 xyi )( yi  y0  2 yi )  ( xyi 1   xy0  2 xyi )(2 yi  yi 1  y0 )] 8 i 1 i  y

[(    2 )( xi  x0  2 xi )  ( i y

0 y

i 1 y

（9）

i  xy

0 xy

（10）

i  y

   2 )(2 xi  xi 1  x0 )]} 0 y

式中：  xi 、 yi 、 xyi 为节点 i 的应力分量，当 i  n  1 时 i  1 。公式（9）、（10）为非结构化网格下，波动方程有限体积法的离散形式，利用该公式可计算出作用于各节点上的力。

2.2 节点加速度、速度、位移更新根据牛顿定律，节点的加速度分量 u 和 v 与节点力间的关系可以表示成 F F u  u ，v  v m m

（11）

其中 m 为节点的质量，也就是图 1(a)中包围某一节点的虚线区域的质量和， Fu 和 Fv 是作用在该节点上的两个力的分量。在常见的动态算法中，速度和位移的计算往往采用简单的中心差分法，由于 Newmark 算法在求解速度、位移时是线性加速度方法的推广，因此本文采用更为通用的 Newmark 方法[15] u t t  u t  [(1   )u t   u t t ]t vt t  vt  [(1   )v t   v t t ]t 1 u t t  u t  u t t  [(   )u t   u t t ]t 2 2 1 t t t t v  v  v t  [(   )v t   v t t ]t 2 2 2 式中：  ,  为常数，且满足   0.5， ,0.25 。（0.5  ）

2.3 应力更新应变率与速度间的关系可表示为 - 52 http://www.ivypub.org/AE

（12）

x 

u v 1 u v ,  y  ,  xy  (  ) x y 2 y x

（13）

对上式两边同时乘以 dxdy ，并对图 2 中 n 边形区域  进行积分，且做格林变换可得 u  x A    x dxdy   dxdy   udy x   L

 y A    y dxdy   



v dxdy    vdx y L

1 u v  xy A    xy dxdy   (  )dxdy 2  y x  

（14）

1 (udx  vdy ) 2 L

式中： L 为围绕区域  的闭合曲线， A 为单元面积。对于如图 2 所示的 n 边形单元，对（14）式右端积分项采用中点矩形积分可得到如下离散形式 1 n  (ui 1  ui )( yi 1  yi ) 2 A i 1 1 n  y    (vi 1  vi )( xi 1  xi ) 2 A i 1 1 n  xy  [(ui 1  ui )( xi 1  xi )  (vi 1  vi )( yi 1  yi )] 4 A i 1

x 

（15）

然后根据偏应力公式求得应力偏量为 S xt t  S xt  2G ( S yt t  S yt  2G ( S xyt t

 xt t   xt 2 t t  y   yt

e  )t 3 e  )t 3

2 t t    xt  S xyt  2G x t 2

（16）

其中 e   x   y 。应力与偏应力间的关系可表示为  x  Sx  P

 y  Sy  P

（17）

 xy  S xy 式中， P 可根据材料的状态方程确定的压力值，本文中将采用如下线性状态方程  p  k (  1)  k  0 其中，P 是压力，k 是体积模量， = ( / 0)  1，其中 / 0 是当前状态与初始状态的密度比。

图 2 n 边形单元

图 3 外力加载函数

算例验证 - 53 http://www.ivypub.org/AE

（18）

为验证本文提出的算法的可靠性，下面将本文算法的模拟结果和 Pilant 的解析解[16]进行比较。Pilant 推导的是一个无限大弹性介质区域中在垂直力源作用下各点处的位移表达式 [16]。本文采用的力源函数为一三角形加载，如图 3 所示。在仿真时，参数选取如下： F  140kN , t0  1ms, t1  15ms ，介质密度取 2490 kg / m3 ，纵波波速 4200 m s/ ，横波波速 2700m / s ，在计算速度位移时常数   1 / 6,  =0.5 ，为了得到较高的精度，计算区域

采用简单的四边形网格剖分，单元网格为 1m×1m，时间步长取 0.001ms。由于采用四边形单元，沙漏模式不能忽略，对于节点编号按逆时针为别为 1、2、3、4 的四边形单元，采用如下格式[17]进行沙漏修正 X  u1  u2  u3  u4 Y  v1  v2  v3  v4 Ch mX 16t C mY Fy1   Fy 2  Fy 3   Fy 4   h 16t Fx1   Fx 2  Fx 3   Fx 4  

（19）

式中： Fxi、F yi 分别为在节点 i 沿 x、y 方向的修正力。 ui、vi 为在节点 i 沿 x、y 方向的速度。 m 为单元质量， Ch 为沙漏系数，本文取为 0.15. 本文以模型中心点(0，0)作为力源作用点。图 4-图 7 分别是点（15m，15m）与点（25m，32m）处的理论解位移与仿真解位移图（位移数值做了无量纲化处理）。从图形曲线可以看出，水平方向的位移在快速振动到峰值之后衰减很快，而竖直方向的位移衰减比水平方向衰减更平缓，这点和理论解分析很吻合。并且，图上的理论与仿真解的曲线吻合得很好，理论与仿真解数据的 Pearson 相关系数 R 都很接近 1，验证了本算法的可靠性。

图 4 点（15m，15m）处水平位移分量

图 5 点（15m，15m）处竖直位移分量

图 6 点（25m，32m）处水平位移分量

图 7 点（25m，32m）处竖直位移分量 - 54 http://www.ivypub.org/AE

结论针对固体介质，在仅考虑控制边界应力呈线性分布的情况下，提出了一种非结构化网格的有限体积法。

虑到应力与力、应变率与速度的耦合，将位移、速度、加速度、力定义在实线节点上。为了适应复杂的几何模型，导出了非结构化网格的有限体积算法。算法编程简单，且支持并行运算。最后通过和理论解算例的比较，验证了本算法的有效性。

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[17] Century Dynamics Inc[M]. Autodyn theory manual. Concord, CA, USA: Century Dynamics Inc, 2003

【作者简介】曾利刚（1987-），男，汉，硕士，从事岩石动态仿真算法

朱哲明（1965-），男，博士导师，教授，从事断裂力学、

研究。Email: shikang999@126.com

岩石力学研究。Email: zhemingzhu@hotmail.com 冯若琪（1991-），女，硕士，主要从事固体力学研究。 Email: 247857189@qq.com

- 56 http://www.ivypub.org/AE