Robust Exponential Stability for Uncertain Singular Distributed Parameter Systems

Electrical Engineering and Automation September 2015, Volume 4, Issue 3, PP.30-34

Robust Exponential Stability for Uncertain Singular Distributed Parameter Systems Zhaoqiang Ge Department of Applied Mathematics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China Email: gezqjd@mail.xjtu.edu.cn

Abstract Robust exponential stability for uncertain singular distributed parameter systems were presented by using the theory of operator semi-group and linear operator inequality in real Hilbert space. Sufficient conditions for the robust exponential stability of uncertain singular distributed parameter systems are obtained.

Keywords: Uncertain Singular Distributed Parameter Systems; Robust Exponential Stability; Theory of Operator Semi-Group; Linear Operator Inequality; Real Hilbert Space

不确定广义分布参数系统的指数稳定性 * 葛照强 西安交通大学 应用数学系，陕西 西安 710049 摘 要：在实 Hilbert 空间中应用算子半群理论和线性算子不等式研究不确定广义分布参数系统的鲁棒指数稳定性问题.给 出了不确定广义分布参数系统鲁棒指数稳定的充分条件。 关键词：不确定广义分布参数系统；鲁棒指数稳定； 算子半群理论；线性算子不等式；实 Hilbert 空间

引言 广义分布参数系统和广义集中参数系统一样，也会出现参数摄动等不确定因素。因此，如何研究广义 分布参数系统的鲁棒稳定性是一个非常重要的研究课题。关于广义集中参数系统的鲁棒稳定性研究已取得 不少研究成果[1]；关于广义分布参数系统的鲁棒稳定性也取得了一些研究成果，所得成果主要是通过变结构 控制方法实现由具体偏微分方程描述的闭环广义分布参数系统的鲁棒稳定性[2-5]，对一般抽象空间中不确定 广义分布参数系统的鲁棒稳定性研究目前尚未见到有关结果。本文主要研究实 Hilbert 空间 H 中如下形式的 不确定广义分布参数系统的鲁棒稳定性： E

dx(t ) = ( A + ∆A) x(t ), x(0)= x0 ， dt

(1)

其中， x(t ) ∈ H ， E 为 H 上的有界线性算子， A 为 H 中的线性算子， ∆A 为 H 上的不确定有界线性算 子， 给出系统(1)鲁棒稳定的充分条件。 以下， B( H ) 表示 H 上有界线性算子全体构成的集合，  表示复数全体构成的集合；对另一个实 Hilbert 空间 H1 ， B( H → H1 ) 表示从 H 到 H1 的有界线性算子全体构成的集合； D( A) 表示 A 的定义域， A* 表示 A 的共轭算子， < ⋅, ⋅ > 表示内积。

1

预备知识 本节给出证明主要结论所用到的基本概念和引理。

*

基金资助：受国家自然科学基金支持资助（61174081）。 - 30 www.ivypub.org/eea

定义 1 对广义分布参数系统 dx(t ) = E Ax = (t ), x(0) x0 , dt

(2)

其中， x(t ) ∈ H 为系统的状态， E ∈ B( H ) ， A 为 H 中的线性算子， D( A) ⊂ H ；若存在 λ ∈  ，使得 (λ E − A) 为正则算子，则称广义分布参数系统(2)为正则系统。

定义 2 若广义分布参数系统(2)正则，且存在 α > 0, ω > 0 使得系统(2)的状态 x(t ) ∈ H 满足 x(t ) ≤ α e−ωt x0

对所有 t > 0 ， x0 ∈ H 成立，则称系统(1)是指数稳定的。 引理 1 对正则广义分布参数系统(2)，设存在正则算子 P, Q ∈ B( H ) 使得 I1 0  , PAQ  A11 = PEQ =  A21  0 0 

A12  −1 x (t ) = , Q x(t )  1  , A22   x2 (t ) 

其中 x1 ∈ H1 , x2 ∈ H 2 ， H = H1 × H 2 ， H1 和 H 2 都是实 Hilbert 空间， I1 为 H1 上的恒等算子， A11 为 C0 − 半群 T (t ) 的生成元， A12 ∈ B( H 2 → H1 ) ， A21 ∈ B( H1 → H 2 ) ， A22 ∈ B( H 2 ) 为正则算子，则系统(2)指数稳定 的充分条件是存在正定算子 P1 ∈ B( H1 ) 及常数 α > 0 使下式在 D( A11 ) 上成立： * PV 1 + V P1 < −α I1 ,

其中，= V A11 −

(3)

−1 A12 A22 A21 。

证明 系统(2)可以写为：  dx1 (t )  = Vx1 (t ), ,  dt −1  x2 (t ) = − A22 A21 x1 (t ) dx1 −1 A21 为有界线性算子，从而由半群 = Vx1 为正则系统。由于 A11 为 C0 − 半群 T (t ) 的生成元且 A12 A22 dt −1 的扰动原理知= V A11 − A12 A22 A21 必为另一 C0 − 半群 U (t ) 的生成元且 x1 (t ) = U (t ) x10 [6]。由(3)及 Lyapunov 方

且

程的证明[7]可知，存在 α1 > 0, ω > 0 使 U (t ) x10 ≤ α1e−ωt x10 .

= x1 (t )

由 x2 (t )

−1 = − A22 A21 x1 (t )

−1 = − A22 A21U (t ) x10

(4)

可知，

−1 x2 (t ) ≤ A22 A21 α1e−ωt x10 .

(5)

根据(4)和(5)有

x (t ) x(t ) = Q  1  ≤ Q  x2 (t )  其中： M = α1 Q Q −1

−1 1 + A22

2

2

x1 (t ) + x2 (t )

2

≤ α e−ωt x0 ,

x −1 2 A21 , x0 = Q  10  。由定义 2 可知，系统(2)是指数稳定的。  x20 

引理 2 设 H1 和 H 2 为两个实 Hilbert 空间； M 是 H1 中的线性算子 M = M * ； N , N −1 ∈ B( H 2 ), N = N * ， P ∈ B( H 2 → H1 ) ，且存在 α > 0 使

M  P*

P < −α I , N 

则 ① N < −α I 2 ； ② M − PN −1 P* < −α I1 在 D( M ) 上成立。其中 I , I1 , I 2 分别为 H1 × H 2 , H1 , H 2 上的恒等算子。 证明 因为 M Px < Nx2 , x2 > = <  2  ,  0  > = <  *  Nx2   x2  P

P 0   0  , > < −α <  0  ,  0  > < −α < x2 , x2 > ,  x2   x2  N   x2   x2 

故， N < −α I 2 ，即①成立； - 31 www.ivypub.org/eea

(6)

又因为，对 x1 ∈ D( M ) ，有 −1 *  < ( M − PN −1 P* ) x1 , x1 > = <  M − PN P 0  −1  M  = <  I1 − PN   * I2  P 0

P   I1 N   − N −1 P*

−1   I  < <  I1 − PN   −11 * 0 I − N P  2 

0   x1  ,  x1  > N   0   0  0   x1   x1  , > I 2   0   0 

0   x1   x1  , > I 2   0   0 

(由(6)式) < −α < x1 , x1 > , −1 *

从而 M − PN P < −α I1 在 D( M ) 上成立，即②成立。 引理 3 若 N =  P X  ， P 为 H1 中的线性算子， X ∈ B( H 2 → H1 ) ， Y ∈ B( H1 → H 2 ) ， Z ∈ B( H 2 ) ， Z Y Z  及 Z + Z * 可逆，且存在 α > 0 使 N + N * < −α I ，则 P + P* − XZ −1Y − Y * ( Z * ) −1 X * < −α I1

在 D( P) 上成立。 证明 首先由 N + N * < −α I 及引理 2 可知 Z + Z * < −α I 2

且 P + P* − ( X + Y * )( Z + Z * ) −1 (Y + X * ) < −α I1 ,

(7)

在 D( P) 上成立。 令 M= − Z ( Z + Z * ) −1 Z * = −( Z −1 + ( Z * ) −1 ) −1 ,

则 < Mx2 , x2 >= − < Z ( Z + Z * ) −1 Z * x2 , x2 >> 0, x2 ∈ H 2 , x2 ≠ 0 .

因此存在 W ∈ B( H 2 ) 使得 M = W *W ，且 XZ −1MZ −1Y + Y * ( Z * ) −1 M ( Z * ) −1 X *

= ( XZ −1W * )(WZ −1Y ) + (Y * ( Z * ) −1W * )(W ( Z * ) −1 X * )

≤ ( XZ −1W * )(W ( Z * )−1 X * ) + (Y * ( Z * )−1W * )(W ( Z ) −1 X ) = − X ( Z + Z * ) −1 X * − Y * ( Z + Z * ) −1Y .

(8)

另一方面，由 ( Z + Z * ) −1 = Z −1 − Z −1 ( Z −1 + ( Z * ) −1 ) −1 Z −1 ,

可得 XZ −1Y + Y * ( Z * ) −1 X * − ( X + Y * )( Z + Z * ) −1 ( X * + Y )

= − X ( Z + Z * ) −1 X * − Y * ( Z + Z * ) −1Y − XZ −1MZ −1Y − Y * ( Z * ) −1 M ( Z * ) −1 X * .

(9)

由(8)和(9)，有 XZ −1Y + Y * ( Z * ) −1 X * ≥ ( X + Y * )( Z + Z * ) −1 ( X * + Y ) .

于是由(7)和(10)可得 P + P* − XZ −1Y − Y * ( Z * ) −1 X * < −α I1

在 D( P) 上成立。 - 32 www.ivypub.org/eea

(10)

鲁棒指数稳定性

2

对于正则广义分布参数系统(2)，考虑不确定广义分布参数系统(1)。以下假设 I1 0  , A  A11 E = =  A21  0 0 

A12  A22 

其中， I1 为 H1 上的恒等算子， A11 为 C0 − 半群 T (t ) 的生成元， A12 ∈ B( H 2 → H1 ) ， A21 ∈ B( H1 → H 2 ) ， A22 ∈ B( H 2 ) 为正则算子。

定义 3 若存在 β > 0 使不确定广义分布参数系统(1)对 H 上的所有满足 ∆A ≤ β 的不确定有界线性算子 ∆A 都正则，且指数稳定，则称(1)是鲁棒指数稳定的；称满足上述条件的不确定有界线性算子 ∆A 是 β -容许

的。 定义 4 若存在有界线性算子 P0 及 α > 0 使正则广义不确定分布参数系统（1）在 D( A0 ) 上满足 A0* P0 + P0* A0 ≤ −α I

(11)

对所有 β -容许的不确定有界线性算子 ∆A 成立，其中 A0= A + ∆A ， P0 ， A0 具有如下形式：

A P1 0  = P0 = , A  01  P2 P3  0  A03

A02  , A04 

(12)

P1 ∈ B( H1 ), P1 > 0 ， P2 ∈ B( H1 → H 2 ) ， P3 ∈ B( H 2 ) ， P3 可 逆 ， A01 为 C0 − 半 群 的 生 成 元 ， A02 ∈ * P3 + P3* A04 可逆。则称不确定广义分布参数系 B( H 2 → H1 ) ， A03 ∈ B( H1 → H 2 ) ， A04 ∈ B( H 2 ) ，且 A04 及 A04

统(1)是广义二次稳定的。 定理 1 若广义不确定分布参数系统(1)是广义二次稳定的，则不确定广义分布参数系统(1)是鲁棒稳定的。 证明 由定义 4，若(1)是广义二次稳定，则存在具有形如(12)的有界线性算子 P0 使得对所有 β -容许的不 确定有界线性算子 ∆A (11)成立。注意到 α > 0 ，则存在 0 < α1 < α ，由(11)，有 A0* P0 + P0* A0 < −α1 I

(13)

在 D( A0 ) 上成立。将(12)代入(13)，得 M M  1* = M 2

M2  < −α1 I , M 3 

(14)

其中 * * M1 = A01 P1 + P1 A01 + A03 P2 + P2* A03 , * M 2 =P1 A02 + P2* A04 + A03 P3 , * = M 3 A04 P3 + P3* A04 .

定义 N 为：  P A + P* A N =  1* 01 2* 03  A02 P1 + A04 P2

* A03 P3  , * A04 P3 

则 * N + N= M < −α1 I .

(15)

于是由(15)式和引理 3，可得 −1 −1 ( A01 − A02 A04 A03 )* P1 + P1 ( A01 − A02 A04 A03 ) < α1 I1

在 D( A01 ) 上成立。由上式及引理 1 可得，不确定广义分布参数系统(1)是鲁棒指数稳定的。

3

结论 本文应用泛函分析和算子理论在 Hilbert 中研究了一类不确定广义分布参数系统的鲁棒指数稳定性。所

得结果，对于判定这类系统的鲁棒稳定性比较方便。

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REFERENCES [1]

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[6]

R. F. Curtain, H. Zwart. An Introduction to Infinite Dimensional Linear Systems Theory. New York: Springer-Verlag, 1995

[7]

Jerzy Zabczyk. Mathematical Control Theory: An Introduction. Boston: Birkhauzer, 1992

【作者简介】 葛照强（1960-），男，汉族，学士学位，现任西安交通大学应用数学系教授，主要从事广义集中参数系 统及广义分布参数系统控制理论的研究工作，1979 年 9 月至 1983 年 7 月在西北大学数学系计算数学专业 学习，1984 年 9 月至 1985 年 7 月在复旦大学数学系学习泛函分析与算子理论。 Email: gezqjd@mail.xjtu.edu.cn

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