An Analytical Method for the Stability of DC/DC Converters

Electrical Engineering and Automation September 2015, Volume 4, Issue 3, PP.35-38

An Analytical Method for the Stability of DC/DC Converters Xuefang Lin-Shi1, Bruno Allard1, Jinshun Bi2, Bo Li2 1. Ampère, INSA de Lyon, Université de Lyon, Villeurbanne F-69100, France 2. Institute of Microelectronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China #

Email: xuefang.shi@insa-lyon.fr

Abstract DC/DC converter belongs to a class of linear hybrid systems. If their control can be designed with an averaged model, the stability analyze must take into account the switched nature of the converter. This paper presents a simple method to analyze the stability of controlled DC/DC converters. It can predict the possible sub-harmonic instabilities, period doubling and state bifurcations when converter parameters change. A buck converter is considered to show the effectiveness of the proposed method.

Keywords: DC/DC Converters; Stability Analyze; Sampled-Data Model

DC/DC 变换器稳定性的分析方法 林雪芳 1，B. Allard1，毕津顺 2，李博 2 1. 里昂国立应用科学学院安培实验室，法国 F-69100 2. 中国科学院微电子研究所，北京 100029 摘 要：DC/DC 变换器属线性混合系统一类。其稳定性分析必须考虑到它们的切换特性。本文介绍一种简单的稳定性分 析方法，它可预测被控制的 DC/DC 变换器在参数变化条件下可能出现的不稳定性及混沌现象。由于它很容易被加入到集 成电路的设计流程中，为集成 DC/DC 变换器设计师提供了一个有效的辅助设计工具。 关键词：DC/DC 转换器；稳定性分析；采样数据模型

引言 日益增多的便携式产品需要高效率、高性能、高集成度的电源转换器。集成同步开关模式电源 (SwitchMode Power Supplies) 的应用被受到越来越多的关注[1]。集成同步开关模式电源往往采用模拟控制器来实现 DC/DC 变换器输出电压的调节，电压调节器的稳定性对所驱动的器件性能有至关重要的影响。传统的稳定 性分析方法建立在 DC/DC 变换器小信号平均模型上，不能把变换器的切换特性及实现模拟控制器的放大器 考虑进去。用线性连续系统稳定性分析方法确认为很稳定的控制器很可能在实际电路中出现不稳定现象。 设计一个集成电路需要花很多代价，如果等电路设计完进行测试才知道系统不稳定，再去改变系统参数会 导致很多不必要的人力和物力上的损失。本文提出了一种基于 DC/DC 变换器采样数据模型的稳定性分析方 法，结合集成 DC/DC 变换器的设计特点，能比较准确地预测出 DC/DC 变换器在参数变化条件下可能出现 的不稳定性及混沌现象。文中首先通过集成降压 Buck 电路为例，给出了采样数据的建模方法，然后对稳定 性分析方法进行了讨论，最后给出验证结果。

1

采样数据模型的建立 图 1a 为典型的模拟控制同步降压变换器。由模拟控制器、PWM 模块、功率开关变换器、输出滤波和

负载组成。为简单起见，本文只讨论连续导通模式(CCM)如图 1b 所示。 - 35 www.ivypub.org/eea

Linear compensator

Vref

Vamp

Ve

Power stage

PWM

modulator

External components

dn

Vbat

Vs

L

IL

.

C21 R21

Vc

Vs(t)

Vo

h

C

Vc21

R

(n+dn)T (n+1)T

nT

(n-1)T

(n+2)T

R12 R11

.

Vc21 C11

图 1a：模拟控制 Buck 变换器

图 1b：CCM 模式的 PWM 波形

同步降压变换器可被视为一个具有开和关两个状态的混合系统[3]。每个状态模型含输出滤波的两个状态 变量 I L 和 Vc ，控制器的两个状态变量 VC11 和 VC 21 及模拟控制器用的放大器动态性能的状态变量 Vamp。其状 态空间模型可以分别表示如下： X A1 X + B1U 当 t ∈  nT , ( n + d n ) T  S1 := = Y C1 X + D1U

{

其中 X t  I L VC =

VC

11

{

X A2 X + B2U 当 t ∈ ( n + d n ) T , ( n + 1) T  S2 := = Y C2 X + D2U

VC= Vamp  ;U t = Ve Vref  ; Y t 21

[Vo

(1)

Vs ] ; Ai , Bi , Ci , Di (i=1,2) 为相应矩阵。

解(1)的微分方程可以得到第 n 个周期的时态方程： A t − nT ) ( n + d )T A ( ( n + d ) −τ ) X ( nT ) + ∫nT 当 t ∈  nT , ( n += e B1U (τ ) dτ d n ) T  : X ( t ) e 1 (

(2)

A t −( n + d )T ) ( n +1)T A ( ( n +1) −τ ) 当 t ∈ ( n + d n ) T , ( n + 1)= B2U (τ )dτ X ( ( n + d n ) T ) + ∫( n + d )T e T  : X ( t ) e (

(3)

n

2

1

n

2

n

n

t 在=

( n + d n ) T 时，(2)和(3)有相同的状态。U 在 T 周期内可假设为恒定的，由(2)和(3)可得出：

(

(

)

)

X= ( ( n + 1) T ) e A (T −d ) e A d X n + e A1dn − I A1−1B1U n  +  e A2 (T + dn ) − I A2−1B2U n  2

n

1 n

(4) 可写成一组非线性离散方程如下： X n +1 = X ( ( n + 1) T ) = f ( X n ,U n , d n )

(4)

(5)

( n + d n ) T 是 PWM 的交叉点（图 1b）。控制器的输出电压满足： 0 Vs ( ( n + d n ) T ) − h ( ( n + d n ) T ) = t ( n + d n ) T 得出： 其中 Vs ( ( n + d n ) T ) 可以由输出方程在= = C e A d X n + ( e A d − I ) A1−1 B1U n  + DU n Y ( ( n + d n ) T ) = CX ( ( n + d n ) T ) + DU n   t 此外，=

1 n

(6)和(7) 可以表示为：

1 n

g ( X n ,U n , d n ) = 0

(6)

(7)

(8)

(5)和(8)是闭环控制降压变换器在切换条件下的采样数据模型。

2

稳定性分析方法

(5)和(8)组成的采样数据模型是非线性的。为了采用离散线性系统的稳定性分析方法，需要对采样数据 模型进行线性化。为此，定义一围绕工作点 X 0 ,U 0 , d 0 的状态扰动为 x , u , d ，代入(5)和(8)得：

(

X n +1 =

X no+1

n

n

+ xn +1 = f

(

n

)

X no

(

+

xn ,U no

(

+ un , d no

)

) + dn )

g X no + xn ,U no + un , d no + dn = 0

(9) (10)

使用一阶近似法，(9)和(10)给出： xn +1 ≈

∂f ∂f ∂f  xn + un + dn ∂X n ∂U n ∂d n - 36 www.ivypub.org/eea

(11)

0≈

∂g ∂g ∂g  xn + un + dn ∂X n ∂U n ∂d n

(12)

从(12)可得出： −1

 ∂g   ∂g  ∂g dn ≈ −  xn + un    ∂U n   ∂d n   ∂X n

把(13)代入(11)即得到线性系统(14) ： −1  ∂f  ∂f ∂f  ∂g  ∂g  ∂f  − + − xn +1 ≈  x  n     ∂X n ∂d n  ∂d n  ∂U n   ∂U n ∂d n

 ∂g     ∂d n 

(13)

−1

∂g   un = Φxn + Γun ∂U n  

(14)

闭环系统的稳定性可通过对(14)中雅可比矩阵Φ 的本征值的分析来评估。若每个本征值的模数都小于 1 （即所有本征值皆位于单位圆内），则系统在工作点的状态趋于稳定，不会出现振荡或混沌状态。若一个 或多个本征值的模数大于 1（即一个或多个本征值在单位圆外），系统的稳定性将得不到保证。根据本征值 离开单位圆的趋势还可以预测出倍周期分叉（一本征值从-1 离开单位圆），周期 3 窗口（一对本征值同时 离开单位圆），等等混沌现象。

3

方法验证 为了检验所提出的稳定性分析方法的可行性，对一时钟频率为 600kHz 的同步降压变换器进行了研究。

变换器的参数为（见图 1a）： Vbat = 3V ;Vref = 1.8V ; L = 10µ H ; R = 5Ω ; R11 = 15.58k Ω ; R12 = 227.8Ω ; R21 = 5.613M Ω ; C11 = 20 pF ; C21 = 1.9 pF ; 放大器的增益和频宽分别为 = G 10 = e3; gbw 30 MHz 。

图 2a 示出了当滤波电感值从 7µH 到 13µH(L±30%)的雅可比矩阵的本征值变化。当 L>9.4µH 时，五个 本征值均分布在单位圆内，系统处于稳定状态。当 L<9.4µH 时，有一对本征值同时离开单位圆，这说明系 统会出现不稳定状态。图 2b 给出了 L=7µH 时 VHDL-AMS 语言仿真的变换器工作状态。可以看出，该系统 在稳定状态下忽然在 200ms 附近进入到一个周期 3 窗口的混沌状态，此时系统并没有受任何外界因素刺激。 这种“无缘故”的振荡现象在实际电路中也得到了证实。

图 2a：7µH< L <13µH 的本征值变化

图 2b： L=7 µH 时的仿真结果

其它参数，比如电容、电阻、开关频率、放大器频宽等对稳定性的影响也用了同样的方法来分析。其 预测的稳定性结果都在实际电路中得到了验证。 这种简单的稳定性分析方法在集成电路的设计中为 IC 设计师提供了一有效的检测工具。设计师可对芯 片电路器件的精确度，温度变化带来的误差等对系统稳定性的影响有所了解，在完成芯片的电路设计时即 把稳定性因素考虑进去。 - 37 www.ivypub.org/eea

值得一提的是，若变换器在不连续导通(DCM)的模式下工作时，只需在建立采样数据模型时把当 IL=0 时切换到相应的第三个状态 S3，该分析方法仍然有效。

4

结论 本文介绍了一基于采样数据模型来分析 DC/DC 变换器的稳定性的方法，可用来对变换器各个参数的

影响进行单独或综合性的分析。所提供的方法简单、易懂，很容易编成软件包加入到设计流程内，给 IC 设 计师提供了一有效的辅助设计工具。该方法在一同步降压变换器上得于验证，并也用到了其它结构的同步 或异步变换器的稳定性分析中[4]，以便于优化转换器的性能。虽然该分析方法还限于局部的稳定性分析，但 它比小信号模型为基础的传统分析方法能提供更准确和有效的分析结果。

REFERENCES [1]

K. S. A. Abedinpour, Trivedi, “DC-DC power converter for monolithic implementation,” Proc. of the IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, pp. 2471-2475, 2000

[2]

G. Papafotiu and N. Margaris, “Calculation and stability investigation of periodic steady-states of the voltage-controlled buck DC/DC converter,” IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 19, n° 4, pp. 959-970, 2004

[3]

M. Senesky, G. Eirea, and T. Koo, “Hybrid modelling and control of power electronics,” Proc. of the Hybrid System Control Conference, pp.450-465, 2003

[4]

B. Labbe, B. Allard, X. Lin-Shi, “Design and stability analysis of a frequency controlled sliding-mode buck converter”, to be published on IEEE Trans. on Circuits and systems - Part I, Volume: 61, Issue 9, pp 2761-2770, 2014

【作者简介】 1

林雪芳（1961-），女，汉族，博士，

建模，电力电子系统的设计和低功耗单片变换器设计。学

教授，博士生导师。研究方向：电力

习经历：分别于 1989 及 1992 获得法国里昂国立应用科学

电子混合系统的预测控制，DC/DC 变

学院的工程师和博士学位。Email: bruno.allard@insa-lyon.fr

换器的稳定性分析和控制器的设计，

3

小功率高频 SMPS 数字控制器的设计，

事深亚微米 SOI CMOS 工艺开发和器件设计，研制半导体

算法优化和集成。学习经历：1983 年

器件/电路辐照效应模拟评估系统，研究深亚微米器件和电

毕津顺（1979-），男，汉族，博士，副研究员。主要从

毕业于法国里昂第一大学电子，电力，自动控制系。1987

路的辐照响应，损伤机制以及抗辐照加固技术。

年及 1992 年分获得法国里昂国立应用科学学院计算机与

Email: bijinshun@ime.ac.cn

自动控制应用专业硕士及博士学位。

4

李博（1982-），男，汉族，博士，中国科学院微电子研

Email: xuefang.shi@insa-lyon.fr

究所助理研究员。法国国立里昂应用科学学院安培实验室

2

博士。主要从事电源管理电路在高级 CMOS 工艺下的设计

生导师。研究方向为电力系统的集成，功率半导体器件的

与测试。Email: libo3@ime.ac.cn

B. ALLARD（1965-），男，法国人，博士，教授，博士

- 38 www.ivypub.org/eea