Scientific Journal of Control Engineering December 2014, Volume 4, Issue 6, PP.157-164
MLD Control Method for Wind Vibration of Cable-stayed Bridge Tower under Construction Wutong Yan1, Bing Han 2#, Xiaosong Chen3, Yongkui Wen4 School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China #
Email: bhan@bjtu.edu.cn
Abstract A bridge vibration control system is actually a hybrid system, impacted by both continuous state and discrete events. So the hybrid control theory is introduced into the bridge vibration control system for the better performance. First, the hybrid features of the Active Tuned Mass Damper (ATMD) system are analyzed. Then based on the hybrid control theory and Mixed Logic Dynamic (MLD) model, a bridge-ATMD system for the single tower is established. And with the excitation of the imitated wind load, the system control is simulated. The results reveals that the bridge-ATMD control system based on the MLD model can achieve the switching control state between the active control system and the passive according to the setting conditions, and it demonstrates a preferable effectiveness. Keywords: Hybrid System; Bridge Tower; ATMD; MLD; Switching Control
斜拉桥桥塔施工阶段风振的 MLD 控制方法研究
*
阎武通，韩冰，陈小松，文永奎 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044 摘
要：桥梁振动控制系统从实际上来说可以看作一种既包含有连续系统作用又有离散事件驱动的混杂系统，为了保证
良好的控制性能，考虑将混杂系统理论引入到桥梁振动控制当中。本文通过对斜拉桥—ATMD 系统进行混杂特性分析， 并基于混杂系统控制理论，应用 MLD（混合逻辑动态模型）模型建模控制方法，完成了对斜拉桥桥塔施工状态的 MLD 模型推导及风荷载激励下的模型仿真。仿真结果表明，基于 MLD 模型的斜拉桥—ATMD 控制系统可以很好地按照设定 切换条件实现主动控制状态与被动控制状态之间的切换控制，且具有较好的控制效果。 关键词：混杂系统；桥塔；ATMD；MLD；切换控制
引言 目前，对于大型桥梁结构多采用被动控制形式进行减震设计[1]，但是对于大型复杂结构多灾害作用下的 减震，被动控制方式具有一定的局限性。对复杂桥梁系统进行控制器设计，采取主动或半主动控制形式进行 减震[2]，可以实现多目标控制的目的，然而，一方面主动控制形式需要消耗大量的能量，另一方面由于受到 阻尼器做动范围以及有限做动力输出等约束条件的限制等离散事件的影响，传统的控制方式无法保证系统的 稳定性。 混杂系统是一种由连续系统和离散事件相互作用的系统，既包含遵从优化决策信息逻辑原则的离散事件 动态系统又包含服从物理学定律的连续变量动态系统[3]，而且两者之间相互制约，其特点是既随时间而连续 变化，又受离散事件的驱动而发生状态跳跃，将连续系统和离散事件统一于一个框架下，能够保证系统的稳 定性。目前有关混杂系统基本理论的研究主要集中在系统建模、整体性能和控制优化等方面，其应用主要集 *
基金资助：受交通部重大专项子题“特大型桥梁综合防灾减灾理论与方法研究”课题资助（2011 318 223 170） - 157 http://www.sj-ce.org
中在工业生产及管理过程控制、交通管理控制、军事指挥以及其他过程控制等[4,5]，在土木工程领域的应用还 相对较少。本文通过对桥梁控制系统进行混杂特性分析，根据约束条件引入逻辑变量，建立桥梁混杂控制系 统的 MLD 模型，将混杂系统控制理论引入到特大型桥梁控制当中，为已建或将要建设的桥梁提供新的灾害 理论分析和控制优化技术提出一种新的理论探索方式。
1
混合逻辑动态模型（MLD） 混合逻辑动态模型（MLD）是描述混杂系统的一个模型，其表述明确，数学规则严谨，模型的稳定性和
鲁棒性较高，且能够描述多种不同类型的系统。
1.1 模型介绍 混合逻辑动态模型是由瑞士联邦工学院的 Bemporad 和 Morari 等人在 1999 年提出的一种新的过程控制建 模方法[6]。混合逻辑动态系统是由相互依赖的逻辑法则、操作约束和物理规律所描述的系统，将操作对象的 逻辑判断、约束条件及启发知识等转化成命题逻辑的形式。引入的逻辑变量并通过逻辑运算符将命题之间的 关系转换成逻辑变量之间的整数线性不等式形式，将逻辑变量引入到系统状态空间方程中，以表示连续动态 过程与逻辑元件的相互作用。 混合逻辑动态模型的一般表示式为： x(t 1) Ax(t ) B1u (t ) B2 (t ) B3 z (t ) y (t ) Cx(t ) D1u (t ) D2 (t ) D3 z (t ) E (t ) E z (t ) E u (t ) E x(t ) E 2 3 1 4 5
（1）
其中， x(t ) 、 u (t ) 和 y (t ) 分别为系统的状态、控制输入以及输出。它们既可以是离散（逻辑）变量，也 可以是连续变量，也可以二者兼有。 z (t ) 和 (t ) 分别是 MLD 模型引入的辅助连续变量与辅助逻辑变量。A、 B、C、D、E 为相应于各项的参数矩阵。
1.2 建模过程 混合逻辑动态模型（MLD）的建模充分考虑了系统的定性知识和专家经验，可分为以下四步[7]： （1）根据结构动力学理论以及系统模型，建立系统连续动态部分的状态空间方程； （2）对系统所有的定性知识和逻辑约束建立命题逻辑，逻辑变量 i {1,0} 表示命题 Pi 的真假，通过逻 辑运算符 、 、 、 、 、 等，把简单命题 P1 , P2 , , Pr 转化为复合命题，并以逻辑变量 1 , 2 , , r 之间的整数线性不等式的形式来对这些复合命题进行表示。基本转换关系如式（2）所示： P1 P2 Pr
1 2 r 1
P1 P2 Pr
1 1; 2 1; r 1
（2）
P1 P2 Pr 1 2 r 1
由条件 a x 0 给出的特殊陈述句，可建立（3）的命题形式： [ f ( x) 0] [ 1] T
（3）
此关系可形成混合整数线性不等式（4）： f ( x) M (1 ) f ( x) (m )
（4）
其中， x X Rn , x 为连续变量。 M max f ( x), m min f ( x) 分别为 f ( x) 的上下限； x X
x X
（3）引入辅助变量 Z f ( x) 用来表示连续变量和逻辑变量之间的耦合关系，以混合整数线性不等式的 形式对逻辑变量和线性函数之间的乘积关系进行表示，如式（5）所示。
（4）引入辅助变量和逻辑变量到系统的线性离散状态方程中，在一个统一的框架里描述系统的连续和逻 辑部分，能够保证系统的稳定性，减小系统状态之间切换的震荡效应。 - 158 http://www.sj-ce.org
1 0 1 2 2 0 1 1 2
M m f ( x) f ( x) m(1 ) f ( x) M (1 )
（5）
通过以上转换，把转换得到的不等式组作为系统的约束条件，同时在系统的状态方程中引入逻辑变量和 辅助变量，将整个系统描述成为式（1）所示混合逻辑动态模型的统一形式。
2
施工状态下斜拉桥桥塔的动力分析 施工状态下的斜拉桥桥塔是一个独立的高耸轻柔结构，独立的桥塔没有受到主梁、斜拉索等构件的影响，
模型、工况相对简单，对其进行混杂系统理论的初步应用，可行性较高，能够为进一步的研究奠定基础。 以某斜拉桥桥塔为例，根据实际工程设计参数，用 ANSYS 软件建立桥塔的有限元模型。图 1 为桥塔实 体模型及有限元模型图。
（a） 桥塔实体模型
（b）桥塔有限元模型
图 1 桥塔模型
利用 ANSYS 软件对桥塔的有限元模型进行模态分析，确定其顺桥向振动的主要模态及振型特点（表 1） ， 并从有限元模型中提取出桥塔结构的刚度、质量矩阵，建立起桥塔无控状态下的状态空间方程，进而做出桥 塔塔顶位移、加速度和塔底剪力、弯矩的传递函数曲线如图 2 所示，传递函数曲线从结构自身的角度反映了 其自振特点。施工状态下斜拉桥桥塔的动力分析为控制方案的设计和混杂控制模型建立奠定基础。
图 2 传递函数曲线图 - 159 http://www.sj-ce.org
表 1 顺桥向主要模态
3
模态频率（Hz）
0.211（1th）
1.17（4th）
2.574（6th）
振型描述
一阶侧弯
二阶侧弯
三阶侧弯
控制方案设计及 MLD 控制方法
3.1 控制方案设计 为保证桥塔的安全性和施工的舒适性，选取塔顶位移和加速度，塔底剪力和弯矩作为控制目标。由结构 动力分析结果，选取桥塔 1、4 和 6 阶模态作为桥塔控制的主要模态。最终确定桥塔的控制方案为：在横梁 一和三处分别安装一个主动调谐质量阻尼器（ATMD），阻尼器参数[8]分别对桥塔 1 阶模态和 4 阶模态进行 调谐确定，取值如表 2 所示。其中，结构限值响应是设定阻尼器控制类型的切换条件，即当结构响应幅值在 限值响应以内时，阻尼器不输出作动力，为被动控制状态；超出该限值，则通过主动控制算法输出做动力， 达到主动控制效果。 表 2 阻尼器参数表 安装位置
阻尼器质量
阻尼器频率(Hz)
阻尼比
结构限值响应（m）
1#横梁
16t
0.2093
0.0498
0.05
3#横梁
27t
1.1613
0.0498
0.05
3.2 系统的 MLD 模型推导 如前文所述，基于混杂系统的 MLD 模型理论进行桥塔控制研究，需根据 MLD 的建模理论，通过运算和 转化，推导得出多组不等式作为系统的约束条件，同时在系统的状态方程中引入逻辑变量和辅助变量，从而 将整个系统描述成为 MLD 模型的形式。然后在此模型的基础上，进行数值模拟分析。 本节即在桥塔控制方案的基础上，根据 MLD 的建模理论，推导系统的 MLD 模型，过程如下。 ①系统的运动方程为： MX (t ) CX (t ) KX Ds F (t ) BsU (t )
（6）
式中，M、C、K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵； F (t ) 为风振作用荷载， Ds 为荷载作用 位置矩阵； U (t ) 为控制器施加的控制力， Bs 为控制力的作用位置矩阵。 系统的状态空间方程为： Z (t ) AZ (t ) BU (t ) Dw F (t ) Y (t ) C0 Z (t )
（7）
式中， 0 0 0 X Z ; B 1 ; Dw 1 ; A 1 X M I M K M Bs
I 1
;
M C
考虑到桥塔—ATMD 系统的混杂特性，将切换条件下的系统状态空间方程（7）分段： A1Z (t ) D1 f (t ) Z (t ) A2 Z (t ) D2 f (t ) B2U (t ) A3 Z (t ) D3 f (t ) B3U (t ) A4 Z (t ) D4 f (t ) B4U (t ) Y (t ) C0 Z (t )
{[1 0]Z (t ) xm1} {[0 1]Z (t ) xm 2 } {[1 0]Z (t ) xm1} {[0 1]Z (t ) xm 2 } {[1 0]Z (t ) xm1} {[0 1]Z (t ) xm 2 }
（8）
{[1 0]Z (t ) xm1} {[0 1]Z (t ) xm 2 }
此处， xm1 定义为桥塔横梁一处的临界振幅，即安装在横梁一处的 ATMD 控制器在桥塔该位置横向振幅 达到 xm1 时发挥主动控制作用； xm 2 定义为桥塔横梁三处的临界振幅，即安装在横梁三处的 ATMD 控制器在 - 160 http://www.sj-ce.org
桥塔该位置横向振幅达到 xm 2 时发挥主动作用。 ②引入 LQR 算法[9]，并将连续系统的状态空间方程离散化，则系统分段的状态空间方程（8）可变换为： {[1 0]Z (k ) xm1} {[0 1]Z (k ) xm 2 } Ad 1Z (k ) Dd 1 f (k ) {[1 0]Z (k ) xm1} {[0 1]Z (k ) xm 2 } Z (k 1) Ad 2 Z (k ) Dd 2 f (k ) {[1 0]Z (k ) xm1} {[0 1]Z (k ) xm 2 } （9） Ad 3 Z (k ) Dd 3 f (k ) Ad 4 Z (k ) Dd 4 f (k ) {[1 0]Z (k ) xm1} {[0 1]Z (k ) xm 2 } Y (k ) Cd 0 Z (k ) 式中， Ad 1 、 Ad 2 、 Ad 3 、 Ad 4 为连续系统的特性矩阵； Dd 1 、 Dd 2 、 Dd 3 、 Dd 4 为连续系统的环境干扰空置 矩阵； Cd 0 为连续系统的状态输出矩阵。 ③引入逻辑变量 1 , 2 ， 1 , 2 满足以下条件： [1 0]Z (k ) xm1 0 [1 1] ； [0 1]Z (k ) xm 2 0 [ 2 1]
则状态空间方程（9）可以表示为： [ Al1Z (k ) Dl1 f (k )]1 2 Z (k 1) [ Al 2 Z (k ) Dl 2 f (k )](1 1 ) 2 [ Al 3 Z (k ) Dl 3 f (k )]1 (1 2 ) [ Al 4 Z (k ) Dl 4 f (k )](1 1 )(1 2 ) Y (k 1) Cl 0 Z (k )
（10）
每引入一个逻辑变量，就会相应地引入两个混合整数不等式作为约束条件，根据知识的启发式规则或专 家经验，并引入非负松弛因子 0 1 以软化硬性的约束条件，产生的不等式如下： (m1 )1 [1 0]Z (k ) xm1 M1 (1 1 ) (m2 ) 2 [0 1]Z (k ) xm 2 M 2 (1 2 )
式中， m1 min([1 0]Z (k ) xm1 ) ； M1 max([1 0]Z (k ) xm1 ) m2 min([0 1]Z (k ) xm2 ) ； M 2 max([0 1]Z (k ) xm 2 )
④引入辅助变量 Z [Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 ]T ，其中， [Z1T Z2T ] [ Al1Z (k ) Dl1 f (k )]1 2 [Z3T Z4T ] [ Al 2 Z (k ) Dl 2 f (k )](1 1 ) 2 [Z5T Z6T ] [ Al 3 Z (k ) Dl 3 f (k )]1 (1 2 )
[Z7T Z8T ] [ Al 4 Z (k ) Dl 4 f (k )](1 1 )(1 2 ) Z 1 , Z3 , Z5 , Z7 代表当前时刻系统状态的位移向量； Z 2 , Z4 , Z6 , Z8 代表当前时刻系统状态的速度向量。
状态空间方程可表示为： 1 0 1 0 1 0 1 0 Z (k 1) Z (k ) 0 1 0 1 0 1 0 1 Y (k 1) Z (k )
（11）
利用 Bemporad 等人基于 MATLAB 开发的 HYSDEL 建模语言，可以很方便的完成系统 MLD 模型的建 立，生成模型的形式如式（1）所示。
3.3 控制效果分析 3.3.1
风荷载的模拟
根据桥梁所在地的风测资料，取标准高度平均风速为 35m/s，脉动风速频率为 0.1—10HZ；地面粗糙度 [10,11]
系数取为 0.003，以 Kaimal 谱作为脉动风速模拟谱，采用 AR 法
- 161 http://www.sj-ce.org
进行风荷载的模拟，如图 3—图 4 所示。
根据得到的脉动风速时程，计算出有限元模型单元节点的等效风荷载，将其作为系统输入，进行控制仿真。
图 3 1#横梁处脉动风速
3.3.2
图 4 3#横梁处脉动风速
评价指标的选取
选取桥塔在风荷载作用下的塔顶位移、塔顶加速度、塔底弯矩和塔底剪力来建立桥塔风振控制效果的评 价指标。分别以结构振动响应的峰值和 RMS 值来衡量[12]。其中 J1—J4 分别是塔顶位移、塔顶加速度、塔底 弯矩和塔底剪力的峰值指标，J5—J8 是其相应 RMS 指标。峰值指标定义为：J = max( 控制 ) / max( 无控 ) ；RMS 指标定义为： J = 控制 / 无控 ，其中，
1 tf
tf
0
()2 dt 为向量的 RMS 值计算公式，式中 t f 为风荷载作用
时间。 3.3.3
减振效果分析
利用 MATLAB 软件 Hybrid 工具箱中的 HYSDEL 语言[9]编制程序，完成 MLD 模型的建立，并将模拟风 荷载作为外界激励，实现了基于 MLD 模型的桥塔响应的时程计算。为了对控制效果进行比对，将基于混杂 系统理论的桥塔减振效果与无控状态、传统被动控制以及传统无约束主动控制的结果对比，可以总结混杂控 制的减振效果，相关控制效果指标见表 3。从表 3 中的数据可以看出：三种控制方案都产生了显著的减振效 果。其中，传统被动控制方案下，塔顶位移、塔顶加速度、塔底弯矩和剪力的峰值和 RMS 值均降低了 50% 左右；无约束完全主动控制方案下相应响应的峰值和 RMS 值降幅均达到了 65%左右；混杂控制方案的制振 效果介于传统被动控制和主动控制之间，相应响应的峰值和能量值降幅均达到了 60%左右。 表 3 风荷载作用下三种控制方案的减振效果参数 评价指标 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8
传统被动控制（TMD） 0.535 0.534 0.517 0.542 0.526 0.530 0.528 0.491
控制方案 传统主动控制（ATMD） 0.364 0.367 0.363 0.383 0.319 0.341 0.330 0.281
混杂控制（SATMD） 0.414 0.426 0.438 0.453 0.340 0.410 0.353 0.357
图 5 和图 7 为风荷载作用下不同控制方案的塔顶位移和塔顶加速度的控制效果图，图 6 和图 8 是对不同 控制方式下的时程响应进行 Fourier 变换的频谱曲线，从图中可以更加直观的看出，基于混杂系统理论的 SATMD 控制方式的控制效果介于 TMD 被动控制效果和 ATMD 无约束主动控制效果之间，其原因在于在混 杂控制的控制时程当中，被动和主动控制形式是根据结构实时响应的不同交替作用的。同时，从控制时程效 果中也可以看出，基于 MLD 模型的切换控制能够保证状态切换之间的系统稳定。 - 162 http://www.sj-ce.org
图 9 为 1#阻尼器作动力输出示意图，从示意图中可以看出，阻尼器能够很好得按照设定状态切换条件， 实现不同控制状态之间的切换：当结构响应超出设定限值时采取主动控制形式减震；当结构的响应较小，在 设定限值以内时，阻尼器不提供控制力，采取被动调谐减震。图 9 是对混杂系统的切换形式进行了验证。
图 5 塔顶位移时程曲线
图 6 塔顶位移反应谱曲线
图 7 塔顶加速度时程曲线
图 8 塔顶加速度反应谱曲线
图 9 1# 阻尼器作动力输出
综合以上分析结果可知，混杂控制能够得到相对较好的减震效果，重要的是能够按照设定的切换条件， 根据结构的实时响应进行判断，实现阻尼器主动和被动控制之间的转换，证实了混杂控制理论应用的有效性 和实用性，为进一步的研究奠定了基础。
4
结论 本文通过对施工状态下斜拉桥桥塔的风振 MLD 控制研究，验证了混杂系统理论在斜拉桥构件—桥塔上 - 163 http://www.sj-ce.org
应用的有效性，为进一步将其应用于桥梁系统的控制打下了良好的基础。
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【作者简介】 1
阎武通（1991-），男，汉，硕士，研
2
韩冰（1973-），男，汉，博士，教授。研究方向：桥梁结
究方向为桥梁结构防灾减灾理论，学习
构防灾减灾理论。Email: bhan@bjtu.edu.cn
经历：2013.9—北京交通大学。
3
Email: 13121128@bjtu.edu.cn
灾减灾理论。 4
陈小松（1989-），男，汉，硕士，研究方向：桥梁结构防
文永奎（1977-），男，汉，博士，讲师，研究方向：桥梁
振动控制。
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