Penetration of mathematics teaching and thinking in junior high school

Education Research Frontier June 2013, Volume 3, Issue 2, PP.56-59

Penetration of Mathematics Teaching and Thinking in Junior High School Ailing Wang, Guanjun Jia, Anyong Liu Heze university mathematics department, Shandong heze, 274015 Email: linghanf@sohu.com

Abstract Mathematical thinking is the essence of the mathematics in the phase of middle school, in which penetration mathematical thinking method contributes to the teaching efficiency in practice. This paper has listed some thinking methods, such as, penetration symbolic method that improves students’ adaptive ability on the transformation from arithmetic to algebra; penetration normalization method that contributes to the problem-solving ability; penetration of the combination of characters and graphics method that improves the competence both on the transformation between characters and graphics, and knowledge migration; penetration inductive method that strengthens their innovation both on thought and practical ability; penetration equation and function that is responsible for the cultivation of their modeling ability; and penetration classified discussion method that is conductive to the competence on observation all-round and handling problem flexibly. It is of much significance to propel the application of mathematical thinking in teaching practice for the goal of improved teaching quality and the cultivation of highly competent talent.

Keywords: Mathematical Thinking; Penetration; Capacity

初中数学教学与思想方法的渗透 王爱玲，贾冠军，刘安勇 菏泽学院数学系 山东 菏泽 274015 要：数学思想方法是中学数学的精髓，在教学中渗透数学思想方法能提高教学效果。 本文列举了下列思想方法的渗

摘

透及作用：透渗符号化思想方法，加快学生从算术到代数转化的适应能力；渗透化归思想方法，提高学生解决问题的能 力；渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力；渗透归纳思想方法，加强学生创造性思维 和创新能力的培养；渗透方程与函数的思想方法，培养学生的建模能力；渗透分类讨论思想方法，培养学生全面观察事 物，灵活处理问题的能力。加强数学思想方法的教学应用，对于提高教学质量，改变重结果、轻过程，重形式、轻思想 的现状，培养高素质人才有着深远而重大的意义。 关键词：数学思想方法；渗透;能力

引言 数学思想方法是中学数学的精髓，是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和认识中提炼出 来，在认识活动中被反复应用，带有普遍指导意义。数学思想方法的教学，使学生形成良好认知结构的纽带， 是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好数学观念和创新思维的载体。在数学中，我们必须重视数学思想 方法的渗透教学[1]。 基金资助：受山东省教育科学规划课题《新课程标准下数学教与学体系的构建与实践》资助(2011GG049)。菏泽学院教务立项

《数学课程资源的开发和创新型人才的培养》(2011KK003)资助。菏泽学院精品课程群《大学数学系列课程》(2013J005)。 - 56 www.erfrontier.org

渗透符号化思想方法，加快学生从算术到代数转化的适应能力

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数学发展到今天已成为符号的世界，符号就是数学存在的具体化身。数学离不开符号，数学处处要用到 符号，数学符号除了用来表述外，它有助于思维的发展，如果说数学是思维的体操，那么符号的组合谱成了 “体操进行曲”。符号思想方法在初中数学中最直接的体现就是用字母代替数，这也是中学数学最先接触的 数学思想，也是初等代数以及整个数学体系中最重要最基础的数学思想。中学数学中用字母代替数字、各种 量与量的关系、量的变化以及量与量之间进行的推理与演算，都是以符号形式来表示的，即进行了一整套的 形式化数学语言。例如|a|表示某个数的绝对值，-a 表示某个数的相反数， S

1 2

ah 表示三角形的面积与底和

高的关系。 用字母表示数是算术到代数的重要转折，它的学习是建立在算术学习的基础上，教师应当通过具体的运 算，让学生观察、总结规律，形成对字母表示数的重要认识，体会符号思想的重要意义，尽快适应中学数学 的学习[2][3]。

渗透化归思想方法，提高学生解决问题的能力

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所谓化归，是指把待解决或未解决的问题通过转化归结到已解决或比较容易解决的问题中去，最终使问 题得到解决的一种思想方法。化归思想方法贯穿于整个中学数学体系。 例如：在《分式方程》一节中，教材实际上是通过“议一议”的形式在学生自主探究、合作交流的过程 中，让学生经历把分式方程转化为整式方程的过程，使学生体验、熟悉、并学会 “转化——求解”的思想 方法。教师在出示一组例题后，应特别指出分式方程是如何转化为整式方程的，他与整式方程有什么不 同。这在主观上帮助学生理解在探索时转化的过程，在学生体会到成功后客观上就渗透了化归思想的教 学。 化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，化归的手段是多种多样的，其最终的目的是将未知 的问题转化为已知问题来解决，实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问 题的转化，抽象问题向具体问题转化[4]。

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渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力 数形结合是数与图形结合起来的一种思维方法，数缺少形时少直观，形少数时难入微，这充分说明数形

结合起来的重要性，把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂 问题简单化，抽象问题具体化。 例如：在初中教材《绝对值》一节中，教师可以这样设计教学过程。 探索 (1)请同学们在数轴上将下列各数表示出来 0，2，-2，3，-3。 (2)2 与-2，3 与-3 有什么关系？ (3)2 到原点的距离与-2 到原点的距离有什么关系？3 与-3 呢？ 然后教师可以提出绝对值得概念，并让学生从数轴上、从各点之间的关系中，归纳出绝对值的几何意义。 (4)绝对值等于 5 的数有几个？如何用数轴上的点加以说明？绝对值等于 8 的数呢？ (5)有没有绝对值是-2 的数？为什么？有没有绝对值是 0 的数？ 然后教师可以引导学生探究、合作、归纳出绝对值的代数意义。这样一来，学生即学习了绝对值得概念， 同时又渗透了数形结合的思想方法。 在数学教学中，由数想形、以形助数的数形结合的思想方法，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于 加深学生对知识的识记和理解。在解决数学问题时，数形结合有利于学生分析题目中的数量之间的关系，丰 富想象，引发联想，启迪思维，拓展思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 - 57 www.erfrontier.org

抓住数形结合的思想方法不仅能够提高学生数形转化的能力，还可以提高学生迁移思维的能力[5][6]。

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渗透归纳思想方法，加强学生创造性思维和创新能力的培养 在研究一般性问题之前先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种

从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程，在解决数学问题时 应用归纳思想，既可以找出定向问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题。 因此，归纳是探索问题，发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程的飞跃。 例如：在《三角形内角和》一节中，教师可以这样设计教学过程。 探索： (1)找出一个直角三角形、等腰三角形、等边三角形，用量角器度量三个内角的度数。提出问题，他们的 内角和各是多少度？ (2)一般三角形内角和是多少度？你能猜想一下吗？ (3)你能验证你的结论吗？你是如何验证的？ 学生可以通过度量、猜想、操作、验证等方法由特殊到一般，找出三角形内角后，最后归纳出所有三角 形内角和都是 180 度，这就运用了归纳的思想方法。 在教学中，先由特殊的、具体的情况，再猜测归纳出一般结论，在这个过程中，不能直接把结果抛给学 生，而是让学生去探索、交流、归纳，经历从特殊到一般的知识形成过程，既促进了学生创造性思维的形成， 也培养了学生的创新能力[7]。

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渗透方程与函数的思想方法，培养学生的建模能力 方程与函数的思想方法是处理常量数学和变量数学的重要思想方法，也是初等代数思想方法的主题，应

用十分广泛。在众多的思想方法中显得十分重要，对于一个较复杂的问题，常常只需寻找等量关系列出一个 或几个方程，或者函数关系，就能很好的解决问题。 例如：一件商品按成本价提高 20%后标价，又以 9 折出售，售价为 270 元，这件商品成本价是多少元？ 分析，该问题的等量关系： 成本价  1  20%  90%  270 解：设该商品成本价为 a 元，则

a  1  20%  90%  270

解之得 a = 250 方程和函数是刻画现实世界的一个有效数学模型，所以方程与函数的思想方法实际上就是由实际问题抽 象出方程或函数的数学建模思想。方程与函数思想的领会与否，直接关系到数学建模能力的大小，因此，我 们对学生进行方程与函数思想的方法渗透，就是对学生进行建模能力的培养，对学生以后的学习有着深远的 影响[8][9][10]。

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渗透分类讨论思想方法，培养学生全面观察事物，灵活处理问题的能力 分类是通过比较对象本质属性的相同点和差异点，然后根据同一属性将数学对象区分为不同类的思想方

法。分类讨论既是一个重要的数学方法，又是一个重要的数学思想，既能克服思维的片面性，又能防止漏解。 当研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行讨论，从而得出各种 情况下的结论。 例如：已知|a|=5，|b|=1，求 a + b 的值 分析，对于 a, b 的值应分为 4 种情况(1) a=5, b=1; (2) a=5, b=-1; (3) a=-5, b=1; (4) a=-5, b=-1 解：当 a=5，b=1 时，a + b=6 当 a=5，b=-1 时，a + b=4 - 58 www.erfrontier.org

当 a=-5，b=1 时，a + b=-4 当 a=-5，b=-1 时，a + b= -6 该题很好的体现了分类讨论的思想方法，在平时训练时，我们要通过这类题目的解答，渗透分类讨论思 想，通过分类讨论既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析解决问题，从而培养学生思 维的严密性、全面性。

7

结论 数学思维方法的形成须有一个循序渐进的过程，只有经过反复训练，才能使学生真正领会。在教学中，

教师要适时恰当的对数学思想方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想方法分散于各个不 同的部分，而有时同一问题又可以用不同的数学思想来解决，因此教师的概括分析是十分重要的。教师还应 该有意识的培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想方法落到实处。实践 证明，加强数学思想方法的教学应用，对于提高教学质量，改变重结果、轻过程，重形式、轻思想的现状， 培养高素质人才有着深远而重大的意义。

REFERENCES [1]

The People's Republic of China Ministry of Education. Full-Time Compulsory Education Mathematics Curriculum Standards [M].Beijing Normal University Press, 2001.7

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Wu Dong Wan Xin, Linpei Rong. Mathematical Way of Thinking [M]. Xiamen University Press, 2001.6

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Haixia Lin. To Strengthen the Teaching of Mathematical Thinking, Enhance Students' Mathematical Literacy [M], Ningxia Education Press, 2009.1

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Lijun Ye. Mathematical Methodology [M]. Hangzhou: Zhejiang University Press, 2008

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Wenlin Li. Introduction to the History of Mathematics [M]. Beijing: Higher Education Press, 2002

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Guanghua Shao. Mathematical Ideas and Methods as the Task of Education [M]. Shanghai: Shanghai Education Press, 2009

[8]

Lakatos. Prove and Refute - the Logic of Mathematical Discover[M]y. Shanghai: Fudan University Press .2007

[9]

Zhenkui Wu, Min Wu. Mathematical Aesthetic[M].Shanghai: Shanghai Education Press, 2002

[10] Shun Xu, Qizheng Yin. Mathematical Aesthetic [M]. Dalian: Dalian University of Technology Press, 2008

【作者简介】 王爱玲（1970- ），女，汉族，硕士，

贾冠军（1954- ），男，汉族，教授，研究方向：代数学，

教授，研究方向：数学课程与教学，毕

毕业于菏泽学院数学系。

业于山东师范大学数学系。 Email: linghanf@sohu.com

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