Scientific Journal of Control Engineering June 2013, Volume 3 Issue 3, PP.162-170
Research on the Inductance Computing of Complicated Coil by 3D FEM Lei Deng 1, Xixiu Wu 1, Benjin Wang 2, Shipu Wu 2 1. School of Automation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China 2. China Electric Power Research Institute, Wuhan 430074, China #
Email: wuxixiu@163.com
Abstract The calculation method of a complicated coil inductance in COMSOL Multiphysics software by 3D Magnetic vector potential Finite Element Method is proposed in this paper. Firstly, methods of inductance calculation are expounded and the principles of 3D magnetic vector potential finite element method used to calculate the inductance are analyzed as well. Basing on these, we conduct the expression of the magnetic energy represented by magnetic vector under 3D coordinate condition. Furthermore, a discussion of electromagnetic field control equations and the boundaries about utilizing energy method to calculate the inductance is presented. And the 3D FEM discrete equations of magnetic vector potential are deduced by using variation method. An inductance calculation sample for a complicated coil whose size is very large and which has large size difference between height and width is given to explain the process of setting 3D FEM electromagnetic field model in COMSOL Multiphysics. In order to solve the large size difference problem, finer and coarser mesh methods are applied to improve the grid meshing quality. In addition, the precision of electromagnetic computation is increased by using infinite element to simulate the outer boundary. In the end, an actual measurement is carried out to get the complicated coil inductance. The comparison of the simulation and the measurement shows a good agreement, which verifies that the 3D FEM inductance calculation method is correct and practical. Keywords: Inductance Calculation; Magnetic Vector Potential; Three Dimension Finite Element; COMSOL Multiphysics
利用三维有限元法计算复杂结构线圈电感* 邓雷 1，吴细秀 1，汪本进 2，吴士普 2 1. 武汉理工大学自动化学院，湖北 武汉 430070 2.中国电力科学研究院，湖北 武汉 430074 摘 要：采用三维矢量磁位有限元方法在 COMSOL Multiphysics 软件中完成了复杂结构线圈电感的计算。首先，论文阐 述了电感计算方法，分析了采用三维矢量磁位有限元分析方法计算电感的原理，得到三维坐标下以矢量磁位描述磁场能 量的表达式。针对该表达式，讨论了电感计算的电磁场控制方程和边界条件并对相应表达式进行离散化，得到了矢量磁 位的三维有限元离散方程。在此基础上，论文以某一结构复杂、本身尺寸差异大的线圈为例，具体介绍了在 COMSOL Multiphysics 软件中采用三维有限元法计算电感的步骤。计算过程中，采用较细化和较粗化的网格划分方法解决线圈尺寸 差异造成的网格划分精度不高的问题，并利用无限单元区域模拟电磁场计算的自由空间，从而提高了电磁场计算开域问 题的精度。最后论文将 COMSOL Multiphysics 计算的电感值与实测值进行比较，结果表明计算值与实测值十分接近，证 明了采用三维有限元方法计算电感的正确性。 关键词：电感计算；矢量磁位；三维有限元；COMSOL Multiphysics
*
基金资助：国家自然科学基金项目资助（51107093） ；高校基本科研业务费专项资金资助（2011-IV-066，113211001） - 162 http://www.sj-ce.org/
引言 电感是电路最基本的参数，也是有效衡量电磁器件通有电流后产生电磁感应能力的物理参量[1]。电感描 述了电变量与磁变量之间的关系，在有线圈耦合的电路中，电路的行为特征主要取决于电感。因此获取准 确电感值，分析电路的电磁特性一直是电气学科的重要研究任务。 目前有经验公式法、数值计算法和实物测量等几种获取电感值的方法。经验公式法要求线圈结构简单、 形状规则，即线圈是规则的四边形、长方形、圆形或是这些形状的组合[2]。实际应用过程中，因使用场合不 同，线圈结构复杂程度和形状各异，无法满足经验公式法的计算要求。因此，经验公式法应用范围有限。 实物测量法包括伏安法、电桥法以及谐振法等 [3-4]。当线圈体积较小时，实测法十分有效。而当线圈体 积十分庞大时，实测法存在实施困难、测试费用高等问题。如若对应用于高压领域结构复杂的大型变压器、 电抗器线圈进行实测，测试所需电压和电流需借助于高压设备才能完成电流电压的施加，不但操作复杂且 十分不经济。因此，在工程实际应用中多采用数值计算的方法获取电感值。 论文介绍了电感数值计算方法，分析了三维磁矢量有限元分析方法计算电感的原理。在此基础上采用 COMSOL Multiphysics 软件完成某一应用于高压暂态试验的大电流合成回路的具有结构复杂、尺寸差异大等 特征线圈电感值的计算。
1
电感计算原理
1.1 电感定义 电感有多种定义。从磁场通量角度出发，定义与线圈交链的磁链对本身电流的变化率为电感： d LN dI
(1)
式中， N 线圈匝数， 与线圈相交链的磁通，单位(Wb)。I 是电流，单位(A)。当磁性材料为线性（磁导率 为常数）时，线圈电感为常数。
L
N I I
(2)
还可从能量的角度定义电感，即：
Wm
2W 1 2 LI ，则 L 2 m 2 I
(3)
式中， Wm 为磁场能量，单位(J)。
1.2 电感计算方法 根据电感两种不同的定义，有两种计算电感的方法。从磁通的角度出发，利用通电线圈产生磁场 H， 求出磁通密度 B 的大小，然后利用公式 Bds 对磁通密度进行积分，求出磁通，得到与线圈铰链的磁链 大小，进而得到电感值[5]。其求解思路如下：
I H B H
N N Bds或 L
I
若由式(3)求解电感，需求出磁场能量 Wm 。磁场能量 Wm 是在建立磁场过程中，电源对整个电流回路所做 的功，这些功率最终转化为磁场能量形式存储起来。 Wm 的求解如下[6]：
Wm
1
1
B Hd 2 2
1
式中， 为磁导率，单位(H/m)。 利用 B A ，可将式(4)改写为： - 163 http://www.sj-ce.org/
B d 2
(4)
M Wm 1 1 B 2d 2 e1 e
2
(5) 2
2
M 1 1 A A A d 2 i1 e x y z
式中，A 为磁矢位，单位(T· m)或(Wb/m)；M 为单元个数； e 为对应于某个单元的子区域， 为三维区域。 在利用有限元软件进行电磁场计算求解时，由于磁势 A 是有限元软件计算的直接结果，而电流密度 J 是有限元的激励，因此在实际计算过程中常利用式(6)进行磁场能量的求解[7]。 1 1M Wm A Jd A Jd 2 2 e e
(6)
采用式(6)求解磁场储能时不需要进行任何处理即可直接得到磁场能量，因而被很多商用有限元软件采 用。本文采用的 COMSOL Multiphysics 软件正是运用此方法计算磁场能量。
电感计算的三维有限元法分析
2
2.1 电感计算电磁场原理 2.1.1
电磁场控制方程
由电感的定义可知，电感 L 与线圈的形状、大小、匝数、以及周围磁介质的分布情况有关。若回路周 围不存在铁磁质，与电流 I 无关。因此，电感计算属静态磁场问题。 对于静磁场应满足以下电磁场控制方程： H J B 0 J 0
2.1.2
(7)
边界条件
由于在分析电磁场时一般并不直接求解 Maxwell 方程组，而是常常借助于它的位函数。对于不受媒质 和电流分布的限制的线性媒质中的磁场问题，常借助于矢量磁位 A。矢量磁位 A 在 A 0 的约束条件下， 应满足以下边界条件[8]：
2 A J 场域V内 A s C边界S上
(8)
在求解区域外多为磁绝缘和电绝缘边界，即[9]：
n A 0 n J 0
(9)
电磁场计算属开域问题，即场域边界扩展到无穷远，此时磁矢位量 A 应为 0，即 A s 0 。由于本文 的计算对象不存在铁芯，不涉及媒质交界面，故不讨论媒质交界面的边界条件。
2.2 电感计算三维磁场的有限元方程 式(8)所对应的条件变分问题为： 1 1 I A V A A d VA Jdv min 2 A sC
将式(10)写成标量形式
- 164 http://www.sj-ce.org/
(10)
A A 2 A A 2 A A 2 y z x z y x 1 1 z z x x y dv I(A) y 2 V A x J x A yJ y A zJ z
(11)
将体积 V 离散成 e0 个小体积单元，那么在 k 个节点的第 e 单元内（当单元形状不同，e 也不同，如六面 体单元节点 k =8）有： k
A e N ej A ej
(12)
j 1
写成分量形式 k
Aue N ej Auej
u x, y , z
(13)
j 1
即
Axe N ej Axje N e Axe Axe N e k
T
T
(14-1)
j 1
N
(14-2)
Aze N ej Azje N e Aze Aze N e
(14-3)
Aye N ej Ayje N e Aye Aye k
T
T
e
j 1
k
T
T
j 1
代入泛函，可以得到相应单元的 I ，再取它对 Axi、A yi、Azi 的偏导数，得到 e
e
e
e
I e e e e e e e e e K xx Ax K xy Ay K xz Az Fx A x
e I e e e e e e e e K yx Ax K yy Ay K yz Az Fy A y
I e e e e e e e e e K zx Ax K zy Ay K zz Az Fz A z
(15-1)
(15-2)
(15-3)
式中，
Ne Ne K e 1 dv V p q p,q x,y,z p q T
e pq
F N J dv e p
e
Ve
p
p x,y,z
(16)
(17)
对所有 e0 个单元组合后，得到 3n 阶方程(详细推导过程可参阅文献[9][10])。
K xx K yx K zx 即最后得到的有限元方程为：
K xy K yy K zy
K xz Ax Fx K yz Ay Fy K zz Az Fz
K A F
利用式(19)即可得到磁场矢量磁位 A。
2.3 磁场能量解的唯一性问题 当对 A 不加规范条件时，矢量磁位 A 的解可写成： - 165 http://www.sj-ce.org/
(18)
(19)
A As f
(20)
f 是不可确定的任意函数，于是磁场能量可表式为： Wm
1 1 As JdV f JdV 2 V 2 V
(21)
利用矢量恒等式 ( fJ ) f J f J 且静磁场条件下 J 0 ，可得: 1 1 Wm As JdV ( fJ )dV V 2 2 V 1 1 As JdV f J nds V s 2 2
式中 J n ds =0，故 Wm
(22)
1 As JdV 与任意项 f 无关，即不加库伦规范时，磁场能量的解唯一。 2 V
基于 COMSOL Multiphysics 的复杂线圈电感的三维有限元计算
3
3.1 线圈特征与电感计算参数 现需对某一应用于高压暂态试验的大电流合成回路线圈的电感进行计算。该线圈由“日字形”结构的 铜排构成，铜排截面为 100 mm ×5 mm 的矩形，水平方向最大长度为 2610 mm，高度为 1410 mm，安全载 流量 1080 A，回路采用上下两层相互换位绕制方法，如图 1 所示。
(a) 线圈整体结构示意图
(b) 线圈部分实物图
图 1 线圈结构图
分析线圈的结构可知该线圈有如下特征：①结构复杂。尽管线圈有两层，但由于采用错位绕制使得线 圈不具对称性，无法简化为二维平面问题，只能采用三维有限元法进行求解，大大增加了计算难度；②该 线圈属大型线圈，不但尺寸大且线圈本身尺寸差异巨大。整个线圈回路最大尺寸（长度）可达 2600mm，但 最小尺寸（厚度）仅为 5mm，尺寸差异巨大。线圈的这些结构特征将导致网格划分困难，使得划分的网格 数量庞大（后文详述原因），增加了求解难度，影响了计算收敛性。
3.2 COMSOL Multiphysics 计算步骤 3.2.1
物理模型建立
由于线圈结构十分复杂，故先在 AutoCAD 中建好线圈的几何模型，通过 AutoCAD 与 COMSOL
Multiphysics 接 口 （ 软 件 中 “ 几 何 ” 节 点 下 “ 导 入 ” 设 置 ） 将 线 圈 几 何 模 型 （ 已 保 存 为 COMSOL Multiphysics 可识别的文件.sat 格式）导入至 COMSOL 中。为模拟无穷远边界，在导入的几何模型设置包 围铜排的球体，形成封闭区域，如图 2 所示；并采用“无限单元”域模拟铜排周围无限大求解区域[11]。 表 1 给出了线圈电感计算模型有关材料的参数设置。在 COMSOL Multiphysics 材料库中，空气的电导 率默认为 0。若将空气导电率设置为默认值 0，求解时会出现奇异矩阵，导致求解失败。由于铜的电导率 - 166 http://www.sj-ce.org/
(5.998×107)远大于空气电导率，因此可将空气导电率设置为 1（这样情况下，空气电导率仍可忽略不计）， 既不影响求解精度，又解决了矩阵求解问题。 3.2.2
网格划分
COMSOL Multiphysics中的网格尺寸属性用来设定网格的大小，包括最大尺寸单元、最小尺寸单元、单 元比例、曲率解析度和窄区解析度等。软件中设置了包括极端细化、特别细化、粗化等九种不同的网格划 分形式，每种网格划分方式对应于不同的参数设置。 当模型几何尺寸的比例相差过大时，网格划分时需对单元尺寸进行控制，保证大尺寸和小尺寸之间的 网格能够平滑过渡，否则将导致网格单元划分失败（单元形状不满足要求）。模型的尺寸差别越大，需要 剖分的网格数量就越多 [10]。由于铜排区域几何尺寸差异大、转角处曲率半径大，为保证网格质量，避免网 格过于粗糙而导致划分时在几何面上出现交叉等错误，或曲率大的部分出现尖锐单元，线圈部分选择“较 细化”方式，且最小单元尺寸设置为0.005m；对于线圈以外的气体区域，尺寸均匀且不存在上述尺寸差异 问题，故采用较粗化的网格划分即可满足计算要求，同时也减小了整体自由度，降低对计算机内存的需求。 网格划分结果如图3所示。
表 1 材料属性 属性 材料类型
相对磁导率 (单位:1)
电导率 S/m
相对介电常数 (单位:1)
铜
1
5.998×107
1
空气
1
1
1
图 2 简化的线圈几何模型
(a) 整体网格
(b) 铜排部分网格
图 3 网格划分结果
3.2.3
激励的施加
根据电感计算理论依据，选择“mef”物理场。设线圈两个端口边界为 Γ1 和 Γ2：
u 1 u1 u 2 0
(23)
式中，u1 为端口给定电压值。根据铜排的材料属性参数，软件自动计算出电阻，由施加的电压，进而得到流 - 167 http://www.sj-ce.org/
过铜排的电流。为满足边界条件式(23)，在“mef”物理场下“磁绝缘”节点选择“终端”和“接地”[12]。 在“终端”设置窗口，“边界选择”设置为铜排一个端口，“终端类型”为“电压”，并将电压设置为 10 （默认单位 V）。“接地”设置窗口，“边界选择”设置为铜排另一个端口。有关设置如图 4 所示。
(a) 终端设置
(b) 接地设置
图 4 边界条件设置
3.2.4
求解
由于计算的是稳态电感值，因此选择“稳态”求解类型。针对该模型网格数较多、自由度大的特点， 选择 FGMRES + GMG（几何多重网格法）求解方式。求解器部分参数设置如表 2 所示，其他均为默认值。 仿真运行于 Intel i5、32GB RAM 电脑上。 表2 求解器参数设置 网格单元数
平均单元质量
自由度
求解器 Solver
1113539
4
0.5839
6033111
Stationary
Rel.tolerance -4
5×10
求解时间(s) Iteration
Multigrid
FGMRES
multigrid
1874
仿真结果分析
4.1 仿真结果 图 5-8 是仿真计算结果图，其中图 5 是切面磁通密度分布图，在有线圈的部分磁通密度值明显大于其他 部分，磁通分布差异表明磁性元器件通电后的确产生感应磁场；图 6 是线圈上电势分布图，电势沿线圈电流 流向顺势降低。 选取过球心的水平截面进行分析，该面上磁通密度和磁势分布分别如图 7、8 所示。 由图 6 可知，线圈电势沿着电流流向降低且变化幅度大。线圈电势变化趋势与计算初始值的设置吻合。 图 7 中的箭头方向表示磁通密度的方向，面上磁通密度值最大为 2.42956 T，位于中心点附近，对应于 线圈中心部分竖直铜排附近；最小值为 7.5745×10-12 T，位于“无限单元”域的外表面。图 8 是该面上 x、y 方向磁矢势大小分布图。 模型中使用终端边界条件，软件由有限元方法解得磁矢势，进而得到磁通密度分布，最后对整个区域 进行积分，获得 Wm 值，电感 L 将作为电感矩阵的 L11 分量被自动计算[12]。因此，后处理节点下选择“全局 计算”，表达式处选择“电感”，即可得到电感值，为 473 μH。
4.2 线圈电感实测 采用直流电阻测试仪、标准功率源和六位半万用表对图 1 所示线圈电感进行测量，测得绕组的直流电阻 3.652 mΩ（5 A/50 Hz 标准电流激励，开口电压 0.7462 V），电感值为 475 μH。表 3 是仿真值与实测值之间 - 168 http://www.sj-ce.org/
的对比。
图 5 磁通密度模图
图 6 电势分布
图 7 面上磁通密度分布
图 8 面上磁矢势分布 表3 计算电感值
5
电感值获取方式
值(μH)
仿真值
473
测试值
475
结论 本文介绍了 COMSOL Multiphysics 进行电磁计算的仿真建模步骤，并针对某一应用于高压暂态合成回
路的线圈电感进行了计算： (1) 对于结构复杂、尺寸大、形状不规则的线圈，采用数值分析法计算线圈电感效率高、成本低； (2) 采用有限元法进行数值计算时，网格划分质量会直接影响计算结果的精度。因此，尺寸差异大的几 何模型不同区域的网格尺寸大小应有所不同。在 COMSOL Multiphysics 中，通过对尺寸差异大的线圈区域 采用较细化网格划分方式、对尺寸均匀的空气区域采用较粗化网格划分使不同区域的网格划分尺寸不同， 从而保证了网格划分质量； (3) COMSOL Multiphysics 的计算结果表明，线圈周围磁场的磁通密度主要是围绕中心部分的竖直铜排 形成闭合曲线，且越靠近中心部分，磁场越强； (4) 实测值与仿真值的比较结果表明，计算值仅比测量值低 0.42%，验证了数值计算的准确性和可靠性， 表明采用 3D 有限元法计算复杂线圈电感精度高。 - 169 http://www.sj-ce.org/
致谢 感谢英国利物浦大学 Dr. J.D Yan 和 Dr. Liu 在 COMSOL Multiphysics 软件计算过程中给予的大力支持， 感谢中国电力科学研究院高压所电器室的工作人员在电感实测过程中所做的工作!
REFERENCES [1]
邱关源. 电路(第五版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006
[2]
卡兰塔罗夫, 采伊特林. 电感计算手册[M]. 北京: 机械工业出版社, 1992
[3]
李新文, 松林, 恩克．单匝线圈电感的计算[A]. 内蒙古师大学报自然科学(汉文)版, 1999, 3: 27-30
[4]
陈尚松, 郭庆, 雷加．电子测量与仪器(第二版)[M]. 北京: 电子工业出版社, 2009
[5]
汤红卫, 赵睿明．电磁场理论基础[M]. 北京: 中国电力出版社, 2009
[6]
王泽忠. 简明电磁场数值计算[M]. 北京: 机械工业出版社, 2011, 6
[7]
金建铭. 电磁场有限元方法[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2001, 6
[8]
盛剑霓. 电磁场数值分析[M]. 北京: 科学出版社, 1984
[9]
倪光正, 杨仕友, 邱捷. 工程电磁场数值计算[M]. 北京: 机械工业出版社, 2010, 4
[10] 颜威利, 杨庆新, 汪友华. 电气工程电磁场数值分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2007 [11] 马慧, 王刚. COMSOL Multiphysics 基本操作指南和常见问题解答[M]. 北京: 人民交通出版社, 2009 [12] COMSOL Multiphysics AC/DC Module User's Guide. 2011, 5
【作者简介】 1
邓雷（1990-），女，硕士研究生，主
2
吴细秀（1976-），女，博士，副教授，研究方向为电器电
要从事电力系统电磁场方面的研究。本
弧理论、开关电器暂态过程及其电磁兼容。博士毕业于华中
科毕业于武汉理工大学自动化学院，目
科技大学电气与电子工程学院。Email: wuxixiu@163.com
前仍在武汉理工大学攻读硕士学位。
3
Email: denglei90@hotmail.com
术和大电流高电压测量。Email: wangbenjin@epri.sgcc.com.cn 4
汪本进（1970-），男，硕士，工程师，研究方向为电子技
吴士普（1976-），男，硕士，工程师，研究方向为电子技
术和大电流高电压测量。Email: wushipu@epri.sgcc.com.cn
- 170 http://www.sj-ce.org/