Research the nonlinear dynamic model of the 4x4 vehicle

Scientific Journal of Control Engineering June 2013, Volume 3 Issue 3, PP.206-212

Research the Nonlinear Dynamic Model of the 4X4 Vehicle Yijie Chen#, Guanhui Zheng, Haijie Ju, Jianjuan Guo, Xiaoling Han China North Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China #

Email: Chenyijie1206@163.com

Abstract The nonlinear dynamic modeling of 4X4 vehicle was researched in this article, the mass, damping and stiffness matrices were deduced through the lagrange theorem. On the other, the model transfer function was got by fourier transform of differential equations. The random excitation coherence function of 4 wheels and the power spectrum matrix were researched for the model simulation. The performance evaluation system of vehicle suspension system was derived, and the regular of vibration acceleration of the vehicle body in different road conditions and vehicle speeds by damping ratio were given, it provides theoretical basis for the design of components.

Keywords: Vehicle Dynamics; Random Excitation; Power Spectral Density; Acceleration of Vibration

4X4 汽车动力学建模分析研究* 陈轶杰，郑冠慧，鞠海洁，郭建娟，韩小玲 中国北方车辆研究所，北京 100072 摘 要：开展了 4X4 整车动力学建模研究，运用拉格朗日定理推导并整理出质量、阻尼和刚度矩阵，通过对微分方程组 进行傅立叶变换得出了模型的传递函数。针对车辆随机激励的路面输入进行了分析，考虑了 4 轮车辆中各轮路面激励的 相干性，给出了相干函数，推导了普遍的四轮车辆输入功率谱矩阵，为开展仿真分析奠定了基础。提出了车辆悬架系统 的性能评价体系，并完成了频域解析式推导，最后通过编程计算仿真分析了不同路面时频域的响应谱，给出了在不同路 况和车速下车体所受的振动加速度随阻尼比的变化规律，为开展零部件设计提供了理论依据。 关键词：车辆动力学；随机激励；功率谱密度；振动加速度

引言 为了对汽车的动力学特性进行分析，必须首先建立汽车的动力学模型。汽车的振动系统十分复杂，其 动力学模型和响应也是众多因素综合作用的结果，因此汽车的动力学分析通常采用某些简化条件后使用低 自由度模型。一般通常采用二自由度 1/4 车模型，四自由度半车模型和七自由度全车模型。 为了对汽车行驶动力学有更深入的了解，以 4X4 越野车的参数为基础建立七自由度整车模型。其中假 定车身是一个刚体，那么汽车在水平面上运动时，车身具有上下跳动、俯仰和侧倾三个自由度；四个车轮 分别具有垂直方向运动的自由度。 悬挂系统数学模型的建立是研究车辆动态响应及控制的基础。在各种车辆悬挂系统设计中，模型建立 和分析过程通常分为三个阶段：车辆悬挂模型的选择、路面输入的描述、性能指标的选择。

1

整车动力学建模

1.1 物理模型的建立 由于 4X4 越野车前后桥均为双横臂独立悬挂。因此可以建立如图 1 所示的七自由度整车模型，设 O 为 *

基金资助：受北京市科技新星计划支持资助（2010B090）。通讯作者：陈轶杰（1980-），男，汉族，博士，高级工程师， 车辆振动。 - 206 http://www.sj-ce.org/

车身质心，沿 X 方向直线行驶。

图 1 4X4 整车动力学物理模型

1.2 整车动力学模型的建立 将动力学微分方程表示为矩阵形式： 



M X  C X  KX  F  K q Q

（1）

上式中符号的物理意义为：

X   x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7  Q   q1

q2

q3

q4 

T

T

考虑到汽车的对称性：

ks1  ks 2  k fs ; ks 3  ks 4  krs ; cd 1  cd 2  c fd ; cd 3  cd 4  crd ; kt1  kt 2  ktf ; kt 3  kt 4  ktr ; 质量矩阵为：  mb 0  0  M  0 0  0 0 

0 Ir 0 0 0 0 0

0 0 Ip 0 0 0 0

0 0 0 mu1 0 0 0

0 0 0 0 mu 2 0 0

0 0 0 0 0 mu 3 0

0  0  0   0   diag (mb , I r , I p , mu1 , mu 2 , mu 3 , mu 4 ) 0   0  mu 4 

（2）

阻尼矩阵为：

0 2( L1 c fd  L2 c rd ) c fd c fd c rd c rd   2(c fd  crd )   2 2 0 2( Ld 1 c fd  Ld 2 c rd ) 0  Ld 1 c fd Ld 1 c fd  Ld 2 c rd Ld 2 c rd     0 2( L12 c fd  L22 c rd ) L1 c fd L1 c fd  L2 c rd  L2 c rd   2( L1 c fd  L2 c rd )  C c fd  Ld 1 c fd L1 c fd 0 0 0  c fd   c fd Ld 1 c fd L1 c fd 0 0 0  c fd    c rd c rd Ld 2  L2 c rd 0 0 0  c rd   c rd Ld 2 c rd  L2 c rd 0 0 0  c rd  刚度矩阵为： - 207 http://www.sj-ce.org/

（3）

0 2( L1 k fs  L2 k rs )  2(k fs  k rs )  2 2 0 2( Ls1 k fs  Ls 2 k rs ) 0   2 0 2( L1 k fs  L22 k rs )  2( L1 k fs  L2 k rs )  k fs  Ls1 k fs L1 k fs K    k fs Ls1 k fs L1 k fs   k rs  Ls 2 k rs  L2 k rs   k rs Ls 2 k rs  L2 k rs 

k fs

k fs

k rs

 Ls1 k fs

Ls1 k fs

 Ls 2 k rs

L1 k fs

L1 k fs

 L2 k rs

0

0

k  k  fs

tf

0

k  k 

0

0

0

0

fs

0

tf

k

rs

 k rt  0

k rs

  Ls 2 k rs    L2 k rs   （4） 0    0   0    k rs k rt 

外力矩阵为：  0   0  0   0     0   0    F   k tf q1    k tf  q   0  k tf 2    q   0  k rt 3    k rtq4   0 

0 0 0 0

0 0 0 0

k

0

tf

0 0

k

rt

0

     q1   q    2   KqQ q  0   3   q4  0   k rt  0 0 0 0

（5）



由 M X  C X  KX  F  K q Q 付立叶变换：  w2 MX ( w)  jwCX ( w)  KX ( w)  F ( w)  K q Q( w)

（6）

1.3 车辆随机激励的路面输入 作为汽车振动输入的路面不平度，主要采用路面功率谱密度描述其统计特性。在国际标准化组织文件 ISO/TC108/SC2N67 中提出的“路面不平度表示方法草案”和长春汽车研究所起草制定的 GB7031《车辆振 动输入—路面平度表示》标准之中均建议路面功率谱密度 Gq (n) 采用下式作为拟合表达式。 n Gq (n)  Gq (n0 )( ) W nl  n  nu n0

（7）

其中， n ：时间频率，表示每米长度中包括 n 个波长。单位为： m 1 ； nu , nl ：分别表示路面谱的上、下限空间频率； n0 ：参考空间频率， n0 =0.1 m 1 ；

Gq (n0 ) ：参考时间频率 n0 下的路面谱值，称为路面不平度系数，单位为 m3

W ：频率指数，为双对数坐标上斜线的斜率，它决定路面谱的频率结构，通常 W =2。

当汽车以车速 u 在路面空间功率谱密度为 Gq (n) 的路面上行驶时，即将路面空间功率谱密度转化为时间 功率谱密度。可以得到： 1 u Gq ( w)  Gq ( f )  Gq (n)   2  2 n0 2 Gq (n0 ) 2 u w

（8）

对于所建立的车辆模型，设 x(l ) ， y (l ) 分别表示左、右两个轮迹的不平度， l 为路面长度坐标。 x(l ) 、 y (l ) 的自谱、互谱分别为： Gxx (n) 、 Gyy (n) 、 Gxy (n) 和 Gyx (n) 。左右轮迹的互谱可以表示为：

Gxy (n)  Gxy (n) e

 j x y ( n )

（9）

式中： Gxy (n) 为 x(l ) ， y (l ) 的互振幅值谱，  x y ( n) 为频率 n 分量的相位谱。 四个车轮所遇到的不平度函数用 q1 (l ) 、 q2 (l ) 、 q3 (l ) 和 q4 (l ) 。两个前轮遇到的不平度为： q1 (l )  x(l ) ，

q2 (l )  y(l ) ，后轮由于滞后，所以 q3 (l )  x(l  L) ， q4 (l )  y(l  L) 。在分析汽车有四个输入的振动传递时要 求出 4 个自谱和 12 个互谱，作如下假设： （1）两轮迹 x(l ) 、 y (l ) 的统计特性相同，即 Gxx (n)  Gyy (n)  Gq (n) 。 - 208 http://www.sj-ce.org/

（2）相位谱 xy (n)  0 则 Gxy (n)  Gyx (n)  cohxy (n)Gq (n) 。 其中： cohxy (n) 为两个轮迹的相干系数，可用曲线近似拟合，拟和曲线公式为： (a  bn)r 0  n  0.1   2 r coh (n)  (a  0.1b) 0.1  n  2  2 n  0

（10）

xy

其中： a  1 ； b  (1  0.11/ r ) / 0.1 ； r  B / 0.25 ， B 为轮距。 路面输入的谱量 Gik (n) (i , k =1,2,3, 4)按下式计算 2 Gik (n)  lim Fi* (n) Fk (n) T  T

（11）

式中， Fi (n) ， Fk (n) — qi (l ) 、 qk (l ) 的傅立叶变换；

Fi* (n) ， Fk * (n) — Fi (n) 、 Fk (n) 的共轭复数；

T —长度 l 的分析区间。 则四轮输入功率谱矩阵为：  1  coh(n) Gq (n)     e j 2 nl  j 2 nl coh(n)e

coh(n) 1 coh(n)e j 2 nl e j 2 nl

e  j 2 nl coh(n)e  j 2 nl 1 coh(n)

coh(n)e  j 2 nl   e  j 2 nl  Gq (n) coh(n)   1 

（12）

1.4 悬挂系统性能评价指标 车辆悬挂系统两个主要功能是保证良好的乘坐舒适性和稳定的轮胎载荷。悬挂在执行该功能的同时， 还必须将悬挂动行程控制在允许的限度内，并满足载荷变化、加速、减速和转弯时对车身姿态的要求。对 于一个给定的悬挂系统，其性能可用如下三个基本参数来进行定量评价。 （1）不舒适性参数 不舒适性参数定义为频率加权后垂向加速度的均方根值。车身垂直振动加速度很大程度上决定了汽车 

行驶平顺性品质。因此，首要解决的是车身垂直振动加速度 x 1 的均方根值计算。 输出二阶导数对位移输入的频率响应函数的计算为： H  ( jw)  w2 H X1  q ( jw)

（13）

X 1 q

车身垂直振动加速度的时间功率谱为： S  ( w)  w4G11  w4  H11 x1

H14 

 G1   G41

G14    G44 

 H 11      H    14 

（14）

求得车身垂直加速度的均方根值为：

  

x1

1 2





0

2S  (w)dw  x1

1 2





0

2w4G11dw

（15）

（2）悬挂动行程 悬挂动行程参数定义为车轮与车身位移之差的均方根值，用于描述相对于静止状态的位移变化程度， 对汽车的操纵稳定性和姿态控制都有很大影响。 四个悬挂动行程定义为：

fd1  x1  Ls1 x2  L1 x3  x4 fd 2  x1  Ls1 x2  L1 x3  x5

fd 3  x1  Ls 2 x2  L2 x3  x6 fd 4  x1  Ls 2 x2  L2 x3  x7 - 209 http://www.sj-ce.org/

（16）

考虑到悬挂动行程为 xi (i  1,

f

d1

,4) 的线性组合，为了减少工作量直接利用已算的 xi 的均方根值计算，得： 1    x2  b12 x22  L21 x23   x24  2(G11  b12G22  L21 G33  G44 )dw 1 2 0

 f   2  b2 2  L2 2   2 

1 2



 f   2  b2 2  L22 2   2  b2 2 

1 2



 f   2  b2 2  L22 2   2  b2 2 

1 2



d2

d3

d4

x1

x1

x1

2

2

x2

x2

1

x2

1

x3

x3

x6

x3

x5

2

x6

2

x7

x7



0



0 

0

2(G11  b12G22  L21 G33  G55 )dw

2(G11  b22G22  L22 G33  G66  b22G77 )dw 2(G11  b22G22  L22 G33  G66  b22G77 )dw

（17）

（3）车轮与路面间的相对动载荷 相对动载荷参数定义为相对于静平衡位置时轮胎载荷变化的均方根值，由于载荷的大小变化会引起轮 胎接触地面印记面积的变化，并导致侧向力和制动力的减小，所以该参数作为衡量轮胎抓地能力的一个指 标，对汽车的操纵稳定性有很大影响。 四个动载荷分别为： Fd 1 kt1 ( x4  q1 )   c1 ( x4  q1 ) G1 G1 Fd 2 kt 2 ( x5  q2 )   c2 ( x5  q2 ) G2 G2 Fd 3 kt 3 ( x6  q3 )   c3 ( x6  q3 ) G3 G3

Fd 4 kt 3 ( x7  q4 )   c4 ( x7  q4 ) G4 G4

（18）

Gi i  1, 2,3, 4 为四个车轮对地面的静载荷，则由力学分析得： L G1  2 mb g  mu1 g 2L L G2  2 mb g  mu 2 g 2L L G3  1 mb g  mu 3 g 2L L G4  1 mb g  mu 4 g 2L

（19）

求解相对动载荷对输入的频率响应函数，写成矩阵形式为： c1 H 42 c1 H 43 c1 H 44  c1 ( H 41  1)  cH c2 ( H 52  1) c2 H 53 c2 H 54  H Fd   2 51 q  c3 H 61 c3 H 62 c3 ( H 63  1) c3 H 64  G   c4 H 72 c4 H 73 c4 ( H 74  1)   c4 H 71

（20）

动载荷响应的功率谱密度和输入的功率谱密度有如下关系：        G Fd ( w)    H Fd  Gq ( w)   H Fd   G   G   G

T

（21）

求得轮胎动载荷的均方根值为：

F  di

G

1 2





0

2GFd (i, i)dw

（22）

G

2 车辆动力学仿真分析 对上述整车动力学模型进行编程计算，并输入车辆基本参数，路面及振动加速度仿真结果如下： - 210 http://www.sj-ce.org/

0.1

0

10

位 移 功 率 谱 密 度 Gq(n)/[m 2(m(-1)(-1)]

0.08 0.06 0.04

路面时域谱

0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06

-5

10

-10

10

-15

10

-0.08 -20

10

-0.1

0

2

4

6

8

10 时 间 /s

12

14

16

18

-3

-2

10

20

-1

10

0

10

1

10

10

空 间 频 率 n/m(-1)

图 2 起伏路面时频域谱 0.03

0

10

位 移 功 率 谱 密 度 Gq(n)/[m 2(m(-1)(-1)]

0.02

路面不平度m

0.01

0

-0.01

-0.02

-5

10

-10

10

-15

10

-20

10

-25

-0.03

10

0

100

200

300

400 路程m

500

600

700

-3

800

-2

10

-1

10

0

10

1

10

10

空 间 频 率 n/m(-1)

图 3 二级公路时频域谱

)

22

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s2)

2

1.1

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s

1.05

1

0.95

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1

0.8 10000 8000

0.9

12000 10000

6000

8000 6000

4000

0.85 0.1

2000

前 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

0.15

0.2

0.25 0.3 阻尼比

0.35

0.4

4000 2000

后 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

0.45

图 4 起伏路 30km/h 时阻尼与质心垂直振动加速度均方值的关系 0.52

)

22

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s2) 2

0.5

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s

0.48 0.46 0.44 0.42 0.4 0.38

0.55 0.5 0.45 0.4 0.35

10000

0.36

8000

0.34

12000 10000

6000

8000 6000

4000

0.32 0.1

0.15

0.2

0.25 0.3 阻尼比

0.35

0.4

0.45

前 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

2000

4000 2000

图 5 卵石路 20km/h 时阻尼与质心垂直振动加速度均方值的关系 - 211 http://www.sj-ce.org/

后 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

0.9

)

22

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s2) 2

0.85

车 身 质 心 垂 直 加 速 度 的 均 方 值 (m/s

0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55

0.8

0.6

0.4

0.2 10000

0.5 0.45 0.4 0.1

1

8000

12000 10000

6000

8000 6000

4000

0.15

0.2

0.25 0.3 阻尼比

0.35

0.4

0.45

前 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

2000

4000 2000

后 悬 挂 阻 尼 (Ns/m)

图 6 二级公路 80km/h 时阻尼与质心垂直振动加速度均方值的关系

以上各图分别给出了车辆在不同路况和车速下车体质心位置加速度响应随阻尼比的变化规律，为制定 半主动悬挂的控制策略奠定了基础。同时，针对被动式减振元件，需综合考虑车辆在不同路况和车速下行 驶时的平顺性与操纵稳定性，并获得折中方案，根据仿真结果，最终选取悬挂阻尼比为   0.25 ，为弹性及 阻尼元件的设计提供了理论依据。

3

结论 运用拉格朗日定理，建立了轮式车的七自由度整车动力学模型，能够同时开展车体垂直、俯仰和侧倾

以及非簧载质量的振动响应；分别推导了标准路面和典型越野路况下的随机路面谱，并进行了时频域的路 面结构分析，将其作为输入激励，开展了较为系统的动力学编程运算，通过优化迭代算法对悬挂系统的弹 性及阻尼特性进行了匹配优化，给出了不同路况和车速下车体振动响应随悬挂相对阻尼系数的变化规律， 为样车油气悬挂综合特性的确定提供了理论依据，通过实车验证，进行参数优化后的车辆在高频卵石路平 均越野速度达到 43km/h，较螺旋弹簧减振器的方案提高了 20%以上，在此基础上项目组通过对模型的修 正，进一步开展了非线性时域整车动力学的建模工作，并已逐步应用到产品研发中。

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