Robust nonlinear model predictive controller in tracking problem

Scientific Journal of Control Engineering August 2013, Volume 3, Issue 4, PP.295-300

Robust Nonlinear Model Predictive Controller in Tracking Problem Yafeng Wang†, Rongchang Gong, Kejun Long The Aviation general office in Guangzhou bureau of naval general armaments department, Anshun 561018, China †Email:

wyfyxy@sina.com

Abstract For the tracking problem of nonlinear system, the concept of roughly tracking was introduced and the terminal tracking error constraint was replaced by the tracking error constraint in the next instant relative to the present instant in the optimization problem of model predictive control. Then, the robust model predictive controller was designed and the stability of model predictive controller was analysed. Finally, the simulation result showed the tracking effect of using the proposed model predictive controller.

Keywords: Tracking Problem; Nonlinear System; Model Predictive Control

跟踪问题中的非线性鲁棒预测控制器 王亚锋，龚荣昌，龙可军 海装广州局航空总体办公室，贵州 安顺 561018 摘 要：针对非线性系统的跟踪问题，引入了大致跟踪的概念，并在预测控制的优化问题中用当前时刻的下一时刻的跟踪 误差约束替代终端时刻的跟踪误差约束，设计了鲁棒预测控制器，分析了预测控制器的稳定性。仿真结果显示了所设计 鲁棒预测控制器的跟踪效果。 关键词：跟踪问题；非线性系统；预测控制

引言 由于针对非线性系统的预测控制器稳定性不易分析，现有关于跟踪问题中的预测控制器设计主要针对 的是线性系统。文献[1]通过规划参考输出设计了线性预测控制器，文献[2]分析了线性预测控制器的吸引 域，文献[3]的预测控制器可跟踪常值期望输出，文献[4]针对线性系统设计了双模预测控制器，文献[5]设计 了可跟踪分段常值期望输出的线性预测控制器。 本文针对非线性系统，通过引入大致跟踪的概念，首次采用在预测控制的优化问题中不考虑跟踪误差 的终端约束，而考虑优化初始时刻的下一时刻的跟踪误差约束，设计了预测控制器。这种方法避免了求取 终端约束集的困难，简化了预测控制的稳定性分析。仿真结果显示了本文方法的有效性。

1

问题描述 考虑如下非线性输入输出模型：

yk 1  f  yk , uk 

(1)

其中， yk  R ， uk  R 分别为系统在采样时刻 k 的输出和输入； f  ,  为关于 yk ， uk 的已知非线性连续 n

m

函数，满足 Lipschitz 有界。系统的输出和输入约束分别为 yk  Y ， uk U ，满足 Y 和 U 都是紧的。 跟踪 问题指的是 要求系统的 输出跟踪某 一条事先设 置好的期望 输出轨迹 。 假设期望输 出轨迹为 Yref   yref  0 , yref 1 , , yref   ，本文要解决的问题可陈述为：对于给定的期望输出轨迹 Yref ，设计预测控 - 295 http://www.sj-ce.org/

制器，使得系统输出 y 能跟踪上这条期望输出轨迹。

2

预测控制器设计 针对非线性系统的跟踪问题设计预测控制器是比较难的，原因是跟踪问题中的终端约束集是很难求取

的，预测控制的稳定性也不容易分析。为避免对终端约束集的求取所造成的困难，本文首先引入大致跟踪 的概念，放宽对跟踪误差 e  y  yref 的收敛性要求。 定 义 1 对 于 给 定 的 跟 踪 误 差 范 围 Er  e | e



  ， 如 果 系 统 的 跟 踪 误 差 落 入 此 范 围 之 内 ， 即

y  yr e f  E r，则称系统输出能大致跟踪期望输出。 由定义 1 可以看出，系统输出能大致跟踪期望输出指的是每一时刻的跟踪误差都在给定的范围之内。因 此，预测控制的优化问题中应当考虑优化初始时刻的下一时刻的跟踪误差约束，而不是跟踪误差的终端约 束，这是因为，通过预测控制的优化问题求解的最优控制序列只有第一项真正作用于实际系统。 初始时刻的优化问题可描述为 N 1

min J  u, y0    q  y  i, y0   yref  i  

u  i , y0 U

i 0

 F  y  N , y0   yref  N  

s.t. y  i  1, y0   f  y  i, y0  , u  i, y0   y  i  1, y0   Y , u  i, y0  U , i  0,..., N  1 y 1, y0   yref 1  Er

(2)

k 时刻的优化问题为 N 1

min J  u, yk    q  y  i, yk   yref  i  k  

u  i , yk U

i 0

 F  y  N , yk   yref  N  k  

s.t. y  i  1, yk   f  y  i, yk  , u  i, yk   y  i  1, yk   Y , u  i, yk  U , i  0,..., N  1 y 1, yk   yref 1  k   Er

(3)

由优化问题(3)可以看出，对预测输出的约束（通过预测输出与期望输出之间的预测跟踪误差来描述） 只有当前时刻的下一时刻才有。考虑到跟踪问题中，要求每一时刻的预测输出都尽量逼近期望输出，而不 是对优化末端时刻的预测输出有更强的逼近要求，因此可以不用在终端代价函数中对末端输出误差施加额 外的权重比例。取阶段指标函数的形式为

q  y  i, yk   yref  i  k  

  y  i, yk   yref  i  k   Q  y  i, yk   yref i  k   T

终端代价函数的形式可采用如下形式

F  y  N , yk   yref  N  k  

  y  N , yk   yref  N  k   Q  y  N , yk   yref  N  k   T

(4)

又考虑到当前时刻为 k 时， y  0, yk   yk 是系统在当前时刻的实际输出， q  y  0, yk   yref  k   已经确 定，与当前时刻以及未来时刻的输入没有关系。所以，优化问题(3)可以用更简洁的形式描述 N 1

min J  u, yk    q  y  i  1, yk   yref  i  1  k  

u i , yk U

i 0

s.t. y  i  1, yk   f  y i, yk  , u i, yk   y  i  1, yk   Y , u  i, yk  U , i  0,..., N  1 y 1, yk   yref 1  k   Er - 296 http://www.sj-ce.org/

(5)

显然，如果优化问题(5)有可行解，则系统输出在 k  1 时刻是能大致跟踪上期望输出 yref 1  k  的。

稳定性分析

3

通过引入大致跟踪的概念，舍弃掉预测控制的跟踪误差的终端约束，取而代之，考虑优化初始时刻的 下一时刻的跟踪误差约束，预测控制的稳定性分析就简单许多。 考虑如下假设。 假 设 1 对 于 任 意 的 yref  k   Yref ， 任 意 的 e  Er ， 都 存 在 u  yref  k  , e   U ， 使 得





f yref  k   e, u  yref  k  , e   yref  k  1  Er 。

定理 1 当假设 1 成立时，如果初始时刻的系统输出满足 y0  yref  0  Er ，则采用以优化问题(5)描述的 预测控制器能使系统输出在跟踪误差范围为 Er 时大致跟踪期望输出轨迹 Yref 。 证 明 ： 假 设 当 前 时 刻 为 k ， 优 化 问 题 (5) 有 解 。 定 义 优 化 问 题 (5) 的 最 优 控 制 序 列 为

u i, yk  , i  0,1,2, N  1 ，将 u  0, yk  作用于系统，系统过渡到 k  1 时刻。因为(5)有解，则意味着 k  1 时 刻的实际输出 yk 1 满足

yk 1  yref 1  k   Er 即





ek 1  Er

又由假设 1 可知，存在 u yref  k  1 , ek 1 U 使得





f yk 1, u  yref  k  1 , ek 1   yref  k  2  Er 因此， k  1 时刻对应的优化问题有解。 又因为初始时刻的系统输出满足 y0  yref  0  Er ，因此初始时刻对应的优化问题有解。 所以，系统输出能大致跟踪期望输出轨迹 Yref 。 得证。

4

鲁棒预测控制器设计 考虑如下存在干扰作用的输入输出系统

yk 1  f  yk , uk   wk

(6)

系统存在干扰时，预测控制在 k 时刻的优化问题可描述为 N 1

min max J  u, yk    q  y  i  1, yk   yref  i  1  k  

u  i , yk U wi W

i 0

s.t. y  i  1, yk   f  y  i, yk  , u  i, yk    wk i y  i  1, yk   Y , u  i, yk  U , i  0,..., N  1 y 1, yk   yref 1  k   Er

(7)





假设 2 对任意的 yref  k   Yref ，任意的 e  Er 以及任意的 wk W ，都存在 u yref  k  , e U ，使得





f yref  k   e, u  yref  k  , e   wk  yref  k  1  Er

可以看出，假设 2 相对于假设 1 来说，要求更苛刻一些，因为干扰的引入使得系统的稳定性降低。此 时，为保证系统输出能大致跟踪期望输出轨迹，就需要施加额外的条件。 定理 2 当假设 2 成立时，如果初始时刻的系统输出满足 y0  yref  0  Er ，则采用以优化问题(7)描述的 鲁棒预测控制器能使系统输出在跟踪误差范围为 Er 时大致跟踪期望输出轨迹 Yref 。 定理 2 的证明过程与定理 1 的证明类似，此处不再详述。 - 297 http://www.sj-ce.org/

注 1 本文的预测控制器设计中，系统跟踪误差范围是一个比较关键的因素，对控制器的稳定性有很大 的影响。如果跟踪误差范围选得太小，系统输出无法在此误差范围内跟踪上期望输出轨迹；如果选得太 大，虽然保证了稳定性，却是以牺牲跟踪精度为代价。因此，系统跟踪误差范围的选择需要遵循一个原 则：在保证稳定性的前提下，尽量提高跟踪精度。系统跟踪误差范围的选择可采取试探法。很明显，如果

Er  W ，以 Er 为跟踪误差范围定义的大致跟踪，系统是根本达不到的。所以，系统跟踪误差范围的选取 必须满足 W  Er 。首先以满足 Er  W 的 Er 为跟踪误差范围，试探系统是否稳定，如果不稳定，则换取一 个比较大的 Er 。若系统仍未稳定，则换取一个更大的 Er ，直至满足稳定性。

5

算例仿真 考虑如下仿真对象

 0.2 y1  k   y1  k  1  y1  k   Ts   2  1  y1  k    Ts sin  u1  k    1.5u2  k   w1  k 





y2  k  1  y2  k   Ts  0.2u1  k  

 1.5u2  k    Ts   0.6 y2  k    w2  k  2  1  u2  k  

采 样 时 间 为 Ts  0.1s ， 系 统 干 扰 范 围 为 W 





 w , w  w 1

2



 0.01, w2  0.01 ； 输 入 约 束 为

1

U   u1 , u2  u1  1, u2  1 ；输出约束为 Y   y1, y2  y1  2, y2  2 。 仿真分三种情况。 第一种情况。期望输出轨迹和跟踪误差范围分别设置为：

y1,ref  k   0.5  1  sin  k   / 20  

 e y1  y1  y1,ref  0.005    y2,ref  k   0.5  1  cos  k   / 20   ， Er   e y1 , e y 2  e y2  y2  y2,ref  0.005    k  0,1, 2, , 





这种情况下，程序在求解第一次优化时就中止，因为跟踪误差范围比系统的干扰范围还小，优化问题(7) 中的约束条件无法得到满足。 第二种情况。期望输出轨迹和跟踪误差范围分别设置为：

y1,ref  k   0.5  1  sin  k   / 20  



e1  y y

 0.03 

 1 1,ref y y2,ref  k   0.5  1  cos  k   / 20   ， Er    e y , e y 2   e y  y2  y2,ref  0.03    k  0,1, 2, ,  1

2

图1

y1 的跟踪曲线

图2 - 298 http://www.sj-ce.org/

y2 的跟踪曲线

图3

y1 的跟踪误差

图4

y2 的跟踪误差

第三种情况。期望输出轨迹和跟踪误差范围分别设置为：

y1,ref  k   1 1  sin  k   / 20  

 e y1  y1  y1,ref  0.03    y2,ref  k   1 1  cos  k   / 20   ， Er   e y1 , e y 2  e y2  y2  y2,ref  0.03    k  0,1, 2, , 

图5



y1 的跟踪曲线



图6

y2 的跟踪曲线

第二种情况下，系统输出能在事先设置的跟踪误差范围内大致跟踪期望输出。但是，当对期望输出进 行调整后，如第三种情况所示，系统输出大致跟踪期望输出到某一时刻时，就无法再跟踪下去，原因是期 望输出的设置与跟踪误差范围的设置无法再满足假设 2，优化问题(7)没有可行解。

6

总结 针对非线性系统的跟踪问题，引入大致跟踪的概念，设计了能使系统输出大致跟踪上期望输出轨迹的

鲁棒预测控制器，从理论上分析了为保证系统输出能大致跟踪上期望输出轨迹所需要满足的条件。通过仿 真算例可知，跟踪误差范围的设置是很重要的一个因素。跟踪误差范围设置太大，跟踪效果降低；设置太 小，系统输出可能无法跟踪期望输出轨迹。

REFERENCES [1] Bemporad A, Casavola A and Mosca E. Nonlinear control of constrained linear systems via predictive reference management [J].

IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, 42(3): 340-349 [2] Blanchini F and Miani S. Any domain of attraction for a linear constrained system is a tracking domain of attraction [J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2000, 38: 971-994 [3] Fiacchini M, et al. Predictive control of a linear motor for tracking of constant references [C]. In Proceedings of the CDC. 2006 [4] Chisci L and Zappa G. Dual mode predictive tracking of piecewise constant references for constrained linear systems [J].

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International Journal of Control, 2003, 76(1): 61-72 [5] Limon D, et al. MPC for tracking piecewise constant references for constrained linear systems [J]. Automatica, 2008, 44: 1-6

【作者简介】 王亚锋（1982- ），男，汉族，博士，

龚 荣 昌 （ 1976- ） ， 男 ， 布 依 族 ， 学

工程师，飞行器先进控制方法，于 2004

士，工程师，材料成型及控制，于

年本科毕业于海军航空工程学院的电气

2001 年本科毕业于哈尔滨工业大学，

工程及其自动化专业；于 2007 年硕士

专业为材料成型及控制。

毕业于海军航空工程学院的控制理论与

Email: kalman_2008@163.com

控制工程专业；于 2010 年博士毕业于 海军航空工程学院的导航、制导与控制专业。 Email: wyfyxy@sina.com

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