Study on control of three phase four switch active power filter

Scientific Journal of Control Engineering June 2013, Volume 3, Issue 3, PP.191-198

Study on Control of Three-phase Four-switch Active Power Filter Qinghua Zhang#, Xingong Cheng, Xiju Zong, Menghua Zhang, Zaojun Chen School of Electrical Engineering, University of Jinan, Jinan 250022, China #

Email: zhangqh123@yahoo.cn

Abstract For the three-phase four-switch APF, based on the analysis of the angle relation between the tracking error current and its changing rate in the complex plane, a control method is proposed. Compared with the hysteresis control method based on space voltage vector, the algorithm reduces the complexity of the sector judgment; at the same time, compared with the switching control the algorithm also eliminates the complex theorem proof. Under the premise of meeting the stability theory ,we made the two vector sum of tracking error current and its changing rate approach minimum in order to reducing the error current to minimum. For the control of capacitor voltage of the DC side, two proportional-integral controllers are adopted to ensure capacitor voltage reach the set value, and the simulation shows the effectiveness of the control algorithm.

Keywords: Three Phase Four Switch Active Power Filter; Vector Angle; Lyapunov Function

三相四开关 APF 控制策略研究* 张庆华，程新功，宗西举，张梦华，陈早军 济南大学 自动化与电气工程学院，山东 济南 250022 摘 要：针对三相四开关 APF 分析其跟踪误差电流及其变化率在复平面上的夹角关系，提出了一种控制方法。该算法与 基于空间电压矢量的滞环控制相比减少了扇区判断的复杂性；同时与切换控制相比也省去了复杂的定理证明。在满足稳 定性理论的前提下，使得跟踪误差电流及其变化率这两个矢量的和最小以保证电流误差降到最小；对于直流侧两电容电 压的控制采用比例积分控制器以达到设定值，仿真验证了控制算法的有效性。 关键词：三相四开关有源电力滤波器；向量夹角；李亚普诺夫函数

引言 随着非线性负荷在电网中的数量日益增加，所带来了严重的谐波污染问题。有源电力滤波器被认为是 改善电能质量、抑制谐波最有效的设备之一，在实际中有广泛的应用和研究。滤波器中功率器件的可靠性 问题无法避免，滤波器发生故障时，滤波器的补偿性能将无法得到保证，严重时将造成灾难性后果[1]。为解 决上述问题，相关研究者提出了滤波器容错技术，在出现故障时对滤波器拓扑电路进行重构，同时结合相 应的控制方法达到维持系统稳定运行以及尽可能恢复滤波器性能的目的。三相四开关滤波器是传统三相六 开关滤波器故障重构后的容错电路拓扑，同时由于开关器件的减少，四开关滤波器降低了成本，因此具有 重要的研究价值 [2]。 传统的六开关滤波器已经是一个欠驱动系统，需控制的状态变量的数目小于控制变量，当六开关拓扑 重构后执行机构部分减少了三分之一，增加了控制的难度以及影响补偿的效果。四开关滤波器的控制是其 稳定运行的关键，文献[3]通过将 U2 和 U3 矢量同时作用相同的时间来间接合成零矢量，并提出了一种适用 *

基金资助：受国家自然科学基金（11201179） 、山东省中青年科学家奖励基金（BS2011SF001）和山东省自然基金支持资助 （ZR2011EEM024） 。 - 191 http://www.sj-ce.org/

于四开关滤波器的 SVPWM 调制算法，但是扇区选择和基本矢量作用时间需要通过反三角函数和无理数运 算，对控制器的计算速度和精度要求较高。文献[1]在三相四开关逆变器输出平衡电压的基础上提出了一种应 用于三相四开关滤波器的空间矢量脉宽调制算法，其控制方法为文献[4]中的控制方法，具有借鉴意义。文献 [5]

提出一种基于电压空间矢量的有源滤波器滞环电流控制新方法，通过扇区判断的方法能够有效的抑制谐

波，但是扇区判断较为复杂。文献[6]以及文献[7]采用的切换控制方法，但是定理的证明比较复杂。本文通过 详细分析三相四开关滤波器的拓扑结构、数学模型以及复平面上误差电流与其变化率这两个矢量之间的夹 角关系，提出一种在满足李雅普诺夫稳定性定理前提下的优化控制规则。

1

三相四开关 APF 电路拓扑以及数学模型 usa

isa

ila

usb ilb

isb

N

usc isc

ila ica

C1 o

S1

S3

S2

b S4

icb

非 线 性 负 载

icc

a

C2

c

图 1 三相四开关 APF 拓扑图

图中： iLj ( j  a , b ,c ) 是非线性负荷电流； isj ( j  a , b ,c ) 为电源电流； icj ( j  a , b ,c ) 为三相APF的补偿电 流；令 icj* ( j  a, b, c) 表示负载电流中的谐波分量和无功分量。三相四开关APF的原理是通过控制4个开关器件

S1、S2、S3、S4 的通断，使补偿电流 icj ( j  a, b, c) 跟踪指令电流 icj* ( j  a, b, c) ，保证了电网侧只含正弦有功分 U 量；同时使直流侧电容电压 uc1  uc 2  dc 。由图1所示的参考方向，可得在abc坐标系下的状态方程： 2 dica  uao  uoN =L dt +rica  usa  u  u =L dicb +ri  u oN cb sb  bo dt  dicc  +ricc  usc (1) uco  uoN =L dt   C1 duc1  2 dt  pb ib  pc ic   C 2 duc 2  2 dt  p b ib  p c ic  其中，C1、C2表示直流侧两电容值，r表示电感等值电阻，L为每相滤波电感，用 Pj ( j  b, c) 表示开关状 态，开关函数定义如下： 1 S1闭合且S2断开 Pb   0 S2闭合且S1断开 1 S3闭合且S4断开 Pc   0 S4闭合且S3断开

(2)

Pj ( j  b, c) 表示下桥臂的开关状态表示的意义与 Pj ( j  b, c) 相反。定义两电容的中点为 O 点，电源中性 - 192 http://www.sj-ce.org/

点为 N，则有 APF 的输出端 a,b,c 如图所示到 O 点的电压为： uao  0; U dc ; 2 U uco  (2 Pc  1) dc ; 2 ubo  (2 Pb  1)

(3)

根据基尔霍夫电压定律又有[8]： uaN  ubN  ucN  0 U dc (1  Pb  Pc ) 3 U  dc (1  Pb  Pc ) 3 U dc 1  (  2 Pb  Pc ) 3 2 U dc 1  (  Pb  2 Pc ) 3 2

uon  uaN ubN ucN

(4)

写成状态方程形式：  dica   r  dt  - L     dicb  = 0  dt       dicc  0  dt  

usa  U dc   0   3L (1-pb -pc )- L    ica   usb  r    U dc 1  0 icb  +  (- +2pb -pc )-   L 3L 2 L   i   r   cc   U dc 1 u 0 (- -pb +2pc )- sc   3L 2 L  L  2  dudc1   2   dt   C1 pb C1 pc  ib      2  dudc 2   2 p  ic  p b c C1   dt   C1

定义参考电压矢量 u* j  L

dicj* dt

0

(5)

 ricj*  usj ( j  a, b, c) ，令 xcj  icj*  icj 其中：j  a, b, c 则跟踪误差电流的状态

方程如下：  u*a U dc   (1-pb -pc )  0   L 3L    xca   *     u b U dc 1  0  xcb  +  (- +2pb -pc )   L 3L 2    xcc   * r  u c U dc 1  (- -pb +2pc )   L   L 3L 2 

 dxca   r 0  dt  - L    r  dxcb  = 0  dt   L     dxcc  0 0  dt  

令 yk  uck *  uck 其中： k  1,2 则直侧电压误差的状态方程如下： 2  dy1   2   dt   C1 pb C1 pc   xb      x 2  dy2   2 p p  c  dt   C1 b C1 c 

(6)

(7)

以上两组状态方程可写为： 

X  AX  U *  U 

(8)

Y  CX

其中：X 为由 xcj ( j  a, b, c) 表示的电流误差构成的状态向量，Y 为由 yck (k  1,2) 表示的电压误差构成的 - 193 http://www.sj-ce.org/

状态向量。 A  [r / L 0 0;0 r / L 0;0 0 r / L] 为系数矩阵， U * 为每相 APF 输出端参考电压与 L 的 比值， U 为控制输入电压与 L 的比值，Y 为电压状态方程的系数矩阵。

2

基于李雅普诺夫稳定性定理的控制器设计 定义李亚普诺夫函数为： V  其导数为：





1 T 1 X X  Y TY 2 2

(9)





V  X T X  Y T Y  X T ( AX  U *  U )  Y T Y

(10)





所以，只需要 X T ( AX  U *  U )  0 以及 Y T Y <0 即可满足 V  0 。

2.1 电流控制器设计  

由向量的概念知 a b | a || b | cos  ，只要两个向量的夹角  为钝角它们的乘积即为负数。当使用空间矢 量两个坐标系有如下变换关系：  fa   fa   f  2  1 1 / 2 1 / 2        fb   C32  fb  f   3 0 3 / 2  3 / 2      f   f c   c

(11)

2 4 j j 2 定义电压空间矢量 U s  (uaN  ubN e 3  ucN e 3 ) ，下表给出了开关状态与对应的电压空间矢量及其在 3 两相静止坐标系分量之间的关系[1]，其中 Uk (k  1,2,3,4) 为相应开关模态下 APF 输出端电压矢量。

表 1 四开关 APF 空间电压矢量 开关模态

u

u

Us

U0  0,0 

U dc / 3

0

U dc / 3

0

U2 1,0

U dc / 3

U dc e j 3 /2 / 3

0

U3 1,1

U dc / 3

U dc e j / 2 / 3

Udc / 3

0

Udc / 3

U1  0,1

在    两相静止坐标系下，令 i 表示状态向量 X 经.    .坐标变换后的电流误差矢量，  表示状态 向量 AX  U *  U 经变换后的矢量即 i 的变化率， u * 表示 AX  U * 变换后的矢量， U0' 、 U1' 、 U2' 、 U3' 分别 表示由四种开关模态依次决定的状态向量 U 经坐标变换后的矢量，也即 Uk '  Uk / L(k  0,1,2,3) 。由上表可 以看出不同开关模态对应的四个基本电压矢量将矢量空间分为四个扇区，四个电压矢量均与坐标轴重合但 是模值不相同。在满足电流可控的必要条件下，不论 i 与 u * 在四个扇区的任何位置，都存在一个开关状态 对 应 的 空 间 电 压 矢 量 使 得 Uk ' 与 u * 合 成 之 后 的  与 i 的 夹 角 为 钝 角 即  T  i  0 ， 为 便 于 表 示 令 T AX  U *  U  [a, b, c] ， X T   xca , xcb , xcc  其中 xca  xcb  xcc  0 又由于 C32 C32 为对称正定矩阵则：

 T  i  X T C32T C32 ( AX  U *  U ) 1 / 2 1 / 2   a   1 4 T  X  1 / 2 1 1 / 2   b  9  1 / 2 1 / 2 1   c  4 1 1 1 1 1 1  (axca  bxca  cxca  bxcb  axcb  cxcb  cxcc  bxcc  axcc ) 9 2 2 2 2 2 2 2 2  (axca  bxcb  cxcc )  X T ( AX  U *  U )  0 3 3

(12)

因此，保证了 X T ( AX  U *  U )  0 成立。 下面在    坐标系中对上面的论述说明，作出 U0' 、 U1' 、 U2' 、 U3' 以及由这四个矢量确定的菱形的内 - 194 http://www.sj-ce.org/

切圆如图 2 所示。将四个切点与 O 点相连即得图中两条虚线 1、2，两条虚线也将平面分为四个扇区，当 i 在这四个扇区的某一个时起控制作用的主要是此扇区所包含的模态输出电压。当 u * 与虚线 1 重合并且此时 u * 的模值为圆的半径，矢量 U2' 与 u * 合成的  与 u * 垂直也即与圆相切。此时若 i 与 u * 的方向一致所有的夹

角没有钝角，则没有一种开关模态能够控制使电流误差减小。当 u * 在菱形内时电流是可控的，也即上述的 必要条件。 无论 u * 在菱形内任何位置矢量 U2' 与 u * 合成的矢量  与  轴负方向夹角比  与圆相切时减小，同样 i 在扇区 3 内时与  轴正方向夹角减小。当 i 在  轴右侧扇区 3 内并且  在  轴右侧菱形内时由三角形内角 和为  知  与 i 的夹角为钝角。当 i 在  轴左侧扇区 3 内并且  在  轴右侧菱形内时， i 在第二象限且  在第四象限夹角也为钝角。当 u * 在  轴左侧菱形内时由对称性也能保证  与 i 的夹角始终为钝角，因此 i 在扇区 3 内时至少这一个  与 i 的夹角始终为钝角 无论 u * 在菱形内任何位置矢量 U0' 与 u * 合成的矢量  与  轴负方向夹角比  与圆相切时减小，同样 i 在扇区 4 内时与  轴正方向夹角减小，同理 i 在扇区 4 内时至少 U0' 与 u * 合成  与 i 的夹角始终为钝角。 β β

U2'

3

U2'

∆i δ

u*

2

1

2

δ2

u*

δ3

U3'

4

U0'

O

δ0

α

U3'

U0'

O

α

1 δ1

4

3

U1'

0

U1'

图 2 菱形内矢量夹角关系

图 3 菱形外矢量夹角关系

由扇区的对称特点同理可知满足电流可控必要条件时， i 在另外两个扇区也能保证  与 i 的夹角始终 为钝角后面的仿真中也验证了这一点是正确的。 由图 2 可以看出菱形是电流完全可控的临界条件，当 u * 在菱形以外时电流的可控性是由 u * 与 i 相对位 置决定的。假设 u * 在菱形以外如图 3 中所画 ， U0' 、 U1' 、 U2' 、 U3' 分别与 u * 合成  1 、  2 、、  4 即图中四 条虚线，然后从原点分别向  1 、  2 、  3 、  4 做垂线，沿图中 0、1、2、3 所示的方向各自  弧度范围内

 与 i 的夹角为钝角，则电流可控。弧度 4 所示的范围内的 i 与所有  均成锐角，则此范围内电流是不可 控的。 控制规则 在满足电流可控的必要条件下 APF 输出的四个开关模态电压矢量 U k (k  1, 2,3, 4) 至少存在一 个使得乘积满足 X T ( AX  U *  U )  0 ，而且 | X  ( AX  U *  U ) | 表示了补偿后的电流误差，为了使补偿之后 电流误差最小，因此在满足上述条件的电压空间矢量中选择使 | X  ( AX  U *  U ) | 最小的空间电压矢量运 行即： k  arg min | X  ( AX  U *  U (i )) | ，其中 k  1,2,3,4 表示选择的开关模态。

i| X

2.2

T



( AX U * U ( i )  0,i 1,2,3,4

电压控制器设计 



要使 Y T Y  0 ，则令 Y =  kY , k  0 即可满足，对 Y 求导可得： - 195 http://www.sj-ce.org/

 duc1   dt  Y     kY  duc 2   dt  

(13)

由电压的状态方程等价输入定义为：  2  pb    C1 2 p b  C1

2  pc C1  ib    i 2 pc   c  C1 

(14)

系统侧和滤波器的瞬时有功与无功功率交换为 p  v p i p , q  vq iq ，由坐标变换知 vq  0 ，可以看出为了 维持电容电压在期望值，滤波器电阻性元件造成的能量损失由 i p 补偿。因此，电压偏差经比例调节后应加 到有功电流的直流分量上，从而使指令电流中包含一定的有功电流[9]，APF 产生一定的有功分量将电容电压 调节到期望值，则   kY 。

3

系统仿真 计算机仿真采用电力系统仿真软件 MATLAB/Simulink，三相电源线电压为 380V，频率为 50Hz，假设

系统阻抗很小；非线性负载为三相不可控整流桥带阻感负载， R  25  ，L=10mH；滤波器直流侧电容值 C1=C2=4.4mF ， 为 了 满 足 误 差 电 流 可 控 条 件 直 流 侧 总 电 压 设 定 为 1600V ， 每 个 电 容 电 压 设 定 值 为 Udc1=Udc2=800V，滤波器输出电抗参数为 r  0.5  ， l  10 mH 。谐波电流的检测采用 i p  iq 法，然后按照 上文提出的控制方法仿真，图 4-6 给出了补偿前后的系统电流以及直流侧电压波形图。 补偿后系统电流 25

20

20

15

15

10

10

5

5

幅值 /A

幅值 /A

补偿前系统电流 25

0 -5

0 -5

-10

-10

-15

-15

-20

-20

-25 0.7

0.71

0.72

0.73

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

-25 0.7

仿真时间 /s

0.71

0.72

0.73

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

仿真时间 /s

图 4 补偿前电网侧电流

图 5 补偿后电网侧电流

本例中三相四开关 APF 工作达到稳态后，对稳态电网电流做快速傅里叶分析得到，系统三相电流谐波 含量 THD 由补偿前的 24.3%、24.3%、24.3%分别降为 4.93%、4.68%、4.56%有效的补偿了系统的谐波。从 直流侧电容电压的波形图 6 可以看出每一个电容的电压能够稳定在 800V，总的直流侧电压稳定在 1600V 仅有较小的波动。图 7 为补偿后电流与电源电压相位关系图，从图中可以看出无功功率也得到了有效补偿。 对于上面理论的验证图 8 给出了相应稳定后的仿真结果，从仿真图中可以看出 X ( AX  U  U )  0 T

*

即满足李雅普诺夫稳定性定理。验证了只要选择适当大的电容电压即满足误差电流可控的必要条件，就能 保证 u 在菱形内以及菱形以外使得 i 可控的范围内从而使得谐波电流得到有效的补偿。 *

图 9-10 为采用切换控制的方法进行仿真得到的补偿效果图，仿真中使用相同的电路参数。系统三相电 流谐波含量 THD 由补偿前的 24.3%、24.3%、24.3%分别降为 3.92%、5.67%、4.98%，同时直流侧电容电压 能够稳定在设定值仅有微小波动。通过比较可以看出本文提出的控制方法与切换控制相比补偿效果是相同 的，切换控制是从数学的角度使得能量函数的导数为负，本文提出的方法是通过使电流误差及其变化率的。 - 196 http://www.sj-ce.org/

电容电压

补偿后电流与电源电压相位关系

1600

400

VC1 VC2 总电压

1400

补偿后电流 电源电压

300

1200 200

1000

幅值 /V

100

800 0

600 -100

400

-200

200

-300

0 -200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-400 0.7

1

0.71

0.72

0.73

仿真时间 /s

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

仿真时间 /s

图 6 直流侧电压

图 7 补偿后电流与电源电压相位关系 向量夹角关系验证

5

0

0.74

x 10

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5 XT(AX+U*-U) -3 0.78

0.782

0.784

0.786

0.788

0.79

0.792

0.794

0.796

0.798

0.8

仿真时间 /s

图 8 向量夹角关系 补偿后系统电流

电容电压

30

1800 1600

20

VC1 VC2 总电压

1400 1200

10

幅值 /V

幅值 /A

1000 0

800 600

-10

400 200

-20

0 -30 0.7

0.71

0.72

0.73

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

-200

0

仿真时间 /s

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

仿真时间 /s

图 9 切换控制补偿效果图

图 10 切换控制直流侧电压

方向夹角为负保证能量函数的导数为负在这种意义下是等价的。但是切换控制需要通过凸组合来找一 个正定对称矩阵 P，需要求解矩阵不等式且物理意义不明确，本文提出的方法更为简单易于实现。

4

结论 本文从满足李雅普诺夫稳定性定理入手，在复平面中分析了补偿误差电流及其变换率之间的关系，求

取电流、电压控制律。算法简单，不需要复杂的扇区判断以及大量数学公式的证明，实现了谐波补偿的目 的。三相四开关 APF 作为传统六开关 APF 的容错拓扑结构，能对负载电流的谐波起到一定的补偿效果，但 是相对六开关 APF 补偿性能有所下降。

致谢 作者感谢审稿专家提出的宝贵意见以及对会议主办方付出的辛勤劳动表示感谢。 - 197 http://www.sj-ce.org/

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【作者简介】 1

张庆华（1987-），男，汉，硕士，主

2

程新功（1973-），男，博士，教授，硕士生导师，主要研究

要从事电力电子控制系统基础理论研

方向：电力电子在电力系统中的应用、非线性系统理论。

究。Email: zhangqh123@yahoo.cn

Email: cse_cxg@ujn.edu.cn 3

宗西举（1981-），男，博士，副教授，硕士生导师，主要研

究方向：控制理论与控制工程。Email: cse_zongxj@ ujn.edu.cn 4

张梦华（1988-），女，硕士，主要从事电力电子控制系统研

究。Email: menghuahappy@163.com 5

陈早军（1989-），男，硕士研究生，主要从事电力电子控制

研究。Email: chen-zaojun@qq.com

- 198 http://www.sj-ce.org/