FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE CUADRADOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Cuando factorizar algo por diferencia de cuadrados es cuando obtienes algo de la forma (x+a) (x-a) pero si desarrollamos podemos ver qué tipo de expresiones se pueden factorizar así, (x+a) (x-a) = x**2-ax+ax-a**2=x**2-a**2 por lo tanto siempre que tengamos dos términos restándose cada uno elevado al cuadrado podemos realizar una factorización por diferencia de cuadrados. Al estudiar los productos notables teníamos que: EXPLICACIÓN:
Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿qué es un cuadrado?): x2 es el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3 (¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:
(x + 3).(x - 3)
SUMA POR RESTA DE LAS BASES
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado
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FACTORIZACIÓN
(x + 3).(x - 3) = x2 - 3x + 3x - 9 = x2 - 9
Obtuve el polinomio original, la resta de los dos cuadrados. Siempre que multiplico una suma por una resta de los dos mismos términos, los dos términos "centrales" se cancelan, porque resultan ser iguales en valor pero con el signo opuesto Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que factoricé correctamente.
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos: 1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. 2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo). Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
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FACTORIZACIÓN
EJEMPLO 1: (Fácil) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x
3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bas EJEMPLO 2: (Con dos letras) x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x
y
Las dos bases son letras EJEMPLO 4: (Con fracciones) x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x
3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5) EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
MARIA ALULEMA 3
FACTORIZACIÓN
x3 2 x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6 EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos") 36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2) a3b2
6x
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados. EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés") -x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)
x
2
El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.
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