FACTORIZACIÓN
FACTOR POR AGRUPACIÓN. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio. Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b Agrupo los términos que tienen un factor común (2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b ) Saco el factor común de cada grupo a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene: ( 2x -y +5 )(a + b) Que es nuestra respuesta. Ejemplo 1: 2ax2-4ay+8a2x
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Analicemos término por término: El primer término podemos expresarlo como: 2axx El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común. De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax) No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos. Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
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Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos
. No hay ningún factor
diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a
y
por
separado:
Por lo tanto
. Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO:
Ejemplos: 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz
= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y
+7z) = (17x +3y +7z)(a – m)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)
= (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1] = (x + 2)(m + 3 – 1)
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Otra forma de hacerlo m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)
= m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)
Por ejemplo, el polinomio ax + bx + ay + by, no tiene un factor un común en todos sus términos, pero si lo agrupas convenientemente, se puede factorizar.
SOLUCIÓN:
En este caso se forman dos grupos con el mismo número de términos, así:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
Se agruparon el 1o. con el 2o. término y el 3o con el 4o.
= x(a + b) + y(a + b)
Se buscó el factor común en cada grupo. (caso I, Factor Común Monomio)
= (a + b) (x + y)
Por último, se factoriza el binomio común (caso I, Factor Común Polinomio)
Por lo tanto: ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y)
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
4a + 4b + xa + xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
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(a + b).(4 + x)
Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")
4a + 4b + xb + xa =
4.(a + b) + x.(b + a) =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b) EJEMPLO 3: (Con términos negativos)
4a - 4b + xa - xb =
4.(a - b) + x.(a - b) =
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(a - b).(4 + x)
Si los "resultados" quedan iguales no hay problema. EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")
4a - 4b - xb + xa =
4.(a - b) + x.(-b + a) =
4.(a - b) + x.(a - b) =
(a - b).(4 + x)
En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b) EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")
4a - 4b + xb - xa =
4.(a - b) + x.(b - a) =
4.(a - b) - x.(-b + a) =
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b) MARIA ALULEMA 6
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EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)
-4a - 4b - xa - xb =
-4.(a + b) - x.(a + b) =
(a + b).(-4 - x)
En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN", también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo. EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)
4x2a + 3y + 12ax + yx =
4ax.(x + 3) + y.(3 + x) =
4ax.(x + 3) + y.(x + 3) =
(x + 3).(4ax + y)
No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores). En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto. EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)
4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =
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a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) = (4 - 7x2 + y).(a + z)
Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN) EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)
4x3 - 4x2 + x - 1 = 4x2.(x - 1) + x - 1 = 4x2.(x - 1) + 1.(x - 1) = (x - 1).(4x2 + 1)
Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación: (x - 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.
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