Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Para factorizar polinomios hay varios métodos: Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, Así, la propiedad distributiva dice: a.(x+y) = a.x + a.y Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 36X2 - 12X3 +18X Sacamos el máximo comun divisor a 36, 12 y 18= 6, este 6 se coloca delante de los parentesis, coloco laX por que los tres tiene X.Divido 36/6 =6, 12/6 =2, 18/6 =3 y estos resultados los coloco dentro de los parentesis con la x restandole una, ejemplo 6x . 6x = 36X2, 6x . 2x2 = 12X3, 6X . 3 = 18X 6X (6X - 2X2 + 3)= 36X2 - 12X3 +18X Ejercicios: 3X2 - 6X + 9X4 = 3X (X - 2 + 3X3) 2X3 - 4/3X2 + 2X = 2X (X2 -2/3X + 1)
Factor común monomio Factor común por agrupación de términos
y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x. Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Expresiones con un factor común Se llama factor común. De una expresión algebraica a una cantidad que se encuentra en todos y cada uno de los términos de esa expresión. Las siguientes expresiones contienen un factor común: Expresión Factor a + a2 + a3+ a4 mx + my + mz
común a m
xyzw + xyzw – xyz (m + n)x + (m + n)y a
xy m+n
Factorización de expresiones con un factor común Consideremos, por ejemplo, la segundaexpresión algebraica de la tabla 1 mx + my + mz . . . (1) cuyo factor común es m,y que en algunos textoses conocido como “factor común monomio”.
factor común Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva. a · x + b · x + c · x = x (a + b + c) Una raíz del polinomio será siempre x = 0
x3 + x2 = x2 (x + 1) La raíces son: x = 0 y x = − 1 Doble extracción de factor común
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: Cuando factorizamos
.
.
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,
Máximo factor común (MFC).- El término
. Aquí tenemos como hacerlo:
, es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De este modo para factorizar
, podríamos escribir
Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es Donde
. De esta manera la factorización completa es es el MFC.
EJEMPLO:
actorizar
EJEMPLO:
Factorizar EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
.
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar