FACTORIZACIÒN
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. ¿Son importantes los símbolos en la matemática? ¿Como explicarías la solución de un trinomio cuadrado perfecto utilizando la geometría? Situación de aprendizaje: Recordar los conceptos básicos de geometría y emplearlos en la solución de trinomios cuadrados perfectos. Afianzar los conceptos algebraicos para aquellos estudiantes que tienen ciertas dificultades en el manejo de estos temas. Efectuar algunas actividades Tarea: Elaborar un cuadrado en el programa Paint, con la herramienta línea, donde indique la medida de sus lados. O si lo prefieres pude utilizar el programa regla y compas Sobre el cuadrado con una medida menor dibuje otro cuadrado. Guíese con el siguiente dibujo y encuentre el área total de cuadrado grande como suma de las demás figuras. Herramientas de andamiaje:
Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado). “El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”
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Un binomio de la forma a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Para identificarlo se debe verificar que tenga dos términos cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raíz cuadrada) con signo positivo y que el otro término sea el doble del producto de la raiz cuadrada de los términos cuadrados. Este último término puede ser negativo o positivo. Se recomienda ordenar el trinomio escribiendo primero uno de los términos cuadrados, después el término del doble producto y finalmente el otro término cuadrado. La factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado y para realizarla se debe usar la identidad algebraica En un trinomio cuadrado perfecto. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. 1) Un trinomio ordenado con relación a una letra 2)
Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Procedimiento para factorizar 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. 2)
Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2. Si el ejercicio fuera así: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2 a
b
Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25 La raíz cuadrada de : x2 es x
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La raíz cuadrada de : 25 es 5 El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1 La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y La raíz cuadrada de : 1 es 1 El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100 La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z La raíz cúbica de : 100 es 10 El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2
4a8 32a4b
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
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Esta identidad es la forma general. Para el caso particular en el cual 2ab tenga signo negativo se puede usar la siguiente identidad: a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 Ejemplo. Encontrar los factores de x2 + 4x + 4.
El primer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es x.
El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2.
El segundo término tiene signo positivo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. 2(x)(2) = 4x
A partir de las consideraciones anteriores se concluye que x2 + 4x + 4 sí es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 Ejemplo. Factorizar la expresión 6pq - 4.5p2 - 2q2. De primera instancia que esa expresión no es trinomio cuadrado perfecto, debido a que los dos términos que tienen variables al cuadrado son negativos. Si extraemos el factor −1, se puede reescribir la expresión como sigue: 6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1)(-6pq + 4.5p2 + 2q2) Si multiplicamos el primer factor por 1/2 y el segundo factor por 2 no se altera la expresión, porque 1/2 y 2 son recíprocos (su producto es 1). 6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(-12pq + 9p2 + 4q2) Para el segundo factor se tienen las siguientes consideraciones:
El segundo término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 3p.
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El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2q.
El primer término tiene signo negativo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. 2(3p)(2q) = 12pq
Se puede cambiar el orden de los términos del segundo factor para escribirlo como un trinomio cuadrado perfecto.
Con esto se concluye que -12pq + 9p2 + 4q2 sí es un trinomio cuadrado perfecto la factorización de la expresión queda como 6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(9p2 - 12pq + 4q2) 6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(3p - 2q)2
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x
3 2.3.x 6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
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EJEMPLO 2: (Con el "1")
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
x
1 2.1.x 2x
Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1. La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x. El resultado es (x + 1)2 EJEMPLO 3: (Con fracciones)
x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2
x
4/3 2. 4/3 . x 8/3 x
La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3. EJEMPLO 4: (Con un término negativo)
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x
(-5) 2.(-5).x -10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la
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verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2. EJEMPLO 5: (Desordenado)
x
+
x2 +
1/4 = (x + 1/2)2
x
1/2
2.x.1/2 x
No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término. EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x
5 2.5.3x 30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.). EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2 x3
5
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2.x3.5 10x3 Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia). EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)
4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2 a3
2x
2.2x.a3 4xa3
En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras. EJEMPLO 9: (Con números decimales)
0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2 0,3a3
(-1) 2.0,3a3.1 0,6a3
A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.
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