TRINOMIO DE LA FORMA SOMPLE x2 + bx + c Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (
Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma: 1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino
.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios. 4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.
Descomposicion El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x o sea la raiz cuadrada del primer termino. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio EJEMPLO:
x2 + 7x + 10 = ( x +5)(x+2) EJEMPLO: x2+ 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Ejemplo: factorar X2 + 4X + 3 = ( x + 3) (x + 1) Factorar: X2 - 6X - 40 = ( x - 10) (x + 4) Factorar: X2 - X - 6 = ( x - 3 ) (x + 2 ) Factorar: X2 - 9X + 8 = ( x - 8) (x - 1)
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este numero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
Un trinomio de la forma x2 + bx + c se factoriza a la forma (x + d)(x + f) solo si es posible hallar dos números d y f que sumados su suma sea b y multiplicados su producto sea c. Este procedimiento se justifica porque: (x + d)(x + f) = (x)(x) + (x)(f) + (d)(x) + (d)(f) (x + d)(x + f) = x2 + fx + dx + df (x + d)(x + f) = x2 + (d + f)x + df Donde se observa que el segundo término es la suma de d y f y el tercer término es el producto de d y f. Ejemplo. Factorizar la expresión x2 + 5x + 6. Para los números 2 y 3 la suma es 2 + 3 = 5 y el producto es 2 × 3 = 6, por lo cual es posible factorizar la expresión como x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Ejemplo. Factorizar la expresión x2 - 6x + 8. Para los números -2 y -4 la suma es (-2) + (-4) = - 2 - 4 = -6 y el producto es (-2)(-4) = 8, por lo cual es posible factorizar la expresión como x2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) Ejemplo. Factorizar la expresión x2 + x - 30. Para los números 6 y -5 la suma es (6) + (-5) = 6 - 5 = 1 y el producto es (6)(-5) = -30, por lo cual es posible factorizar la expresión como x2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5)
Este trinomio debe cumplir con las siguientes características: estar organizado en forma decreciente, primer término tiene coeficiente diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta, la variable en el segundo término debe ser la raíz cuadrada de la variable del primer término Para factorizar el trinomio ax² + bx + c, se procede de la siguiente forma: se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, quedando así: de la siguiente forma: a(ax² + bx + c.)/a, luego se opera, dando como resultado: [(ax)² + b(ax) + ac)] /a; el trinomio obtenido es un trinomio de la forma x² + bx + c.Z
(x2 + px + q) En productos notables se sabe que: 2
(x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab Procedimiento De manera que, si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea q, esto es, tales que a + b = p y ab = q se tendrá 2
2
x +px + q = x + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b). Ejemplo:
Factorizar: 2
Dado el siguiente polinomio: x
+ 5x + 6
2
x + 5x + 6 = (x __ ) (x __ ) Escribiremos
Buscaremos dos números cuya suma sea + 5 y cuyo producto sea + 6. Como estos 2 x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). números son evidentemente + 2 y +3, tendremos:
Factorizar: 2
Dado el siguiente polinomio: X
En este caso tenemos que determinar dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea + 12. Tales números son 3 y - 4. Por tanto:
- 7x + 12
2
x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).
Factorizar: 2
Dado el siguiente polinomio: x
En este ejemplo hay que buscar dos números cuya suma sea - 5 y cuyo producto sea - 24.
Como los factores de - 24 son:
- 5x - 24
2
x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).
+ 1 y -24 ó -1 y +24 + 2 y -12 ó -2 y +12 +3 y -8 ó -3y+8 +4y-6 ó -4y+6