MÚLTIPLOS Y DIVISORES
ANA Mª GARCÍA MARTÍN anapcpiurbina@gmail.com
Bien Grumete. Vamos a trabajar con otra cosa nueva. Conviene que repasemos las tablas de multiplicar, así nos resultará más fácil. Lo primero es saber los múltiplos, es decir, los números que son el resultado de multiplicar un número por cualquier otro (Vamos, la tabla de multiplicar, sólo que no acabamos en el 10, sino que se puede seguir hasta el infinito y más allá). No acabaríamos nunca; y siempre, siempre, siempre, siempre… el 0 es el primer múltiplo de cualquier número, y el segundo es él mismo. 1.- A continuación escribe los diez primeros múltiplos de cada uno de los siguientes números: Múltiplos de 3 ► Múltiplos de 4 ► Múltiplos de 5 ► Múltiplos de 7 ► Múltiplos de 9 ► Múltiplos de 11 ►
2.- Escribe los primeros múltiplos de cada pareja y señala cuál es el múltiplo común más pequeño – Es decir, el mínimo común múltiplo, m.c.m.-. m.c.m. (2,8)= m.c.m. (5,7)= Múltiplos de 2: Múltiplos de 5: Múltiplos de 8: Múltiplos de 7: m.c.m. (5,10)= m.c.m. (6,12)= Múltiplos de 5: Múltiplos de 6: Múltiplos de 10: Múltiplos de 12: 3.- Compramos unas bolsas de tres magdalenas cada una. ¿Puedo comprar 12 magdalenas? Y ¿16 magdalenas? Explica por qué.
4.- Ahora piensa en lo anterior y responde: ¿Es ¿Es ¿Es ¿Es
69 múltiplo de 3? 80 múltiplo de 22? 216 múltiplo de 3? 156 múltiplo de 9? Es muy fácil, sólo tengo que dividir los números. Si la división es exacta pues son múltiplos, si la división es entera, pues no.
Todos los problemas y cuestiones que te planteen preguntas como ¿dentro de cuántos…, volverán a coincidir? O ¿Cuál es el menor número…, como mínimo cuántos…? Son cuestiones que se resuelven con el mínimo común múltiplo, es decir, con el múltiplo más pequeño (sin contar el 0) que tienen igual dos números. Vamos a resolver unas cuestiones de este tipo: Homer debe tomar una pastilla para su artritis cada 6 horas, y una cucharada de jarabe para su tos cada 8 horas. Se acaba de tomar las dos cosas. ¿Dentro de cuántas horas volverá a tomar las dos cosas juntas por primera vez?
Lisa y Bart están rellenando canastas con pescado. En la canasta de Lisa caben 6 kilos, y en la de Bart 4 kilos. Si al final han colocado los mismos kilos de pescado. ¿Cuál es la menor cantidad de peces que han colocado?
Al bar de Moe están llegando los pedidos. Las cervezas vienen en cajas de dos en dos y el vino en cajas de tres en tres. ¿Cuántas llegarán como mínimo al bar para que sean el mismo número botellas de vino que de cerveza?
Bart baja al centro comercial cada 4 días y Milhouse cada 5 días. Hoy ha bajado y han conocido a unos amigos con los que han quedado para el próximo día que les toque bajar juntos. ¿Dentro de cuántos días será eso? Me van a salir bien, me va a salir bien, me va a salir bien, me va a salir…
Vamos ahora a ver los divisores. Son aquellos números que al dividirse da de resto 0, o sea, son divisiones exactas. Todos los números tienen siempre, siempre, siempre, siempre… al menos dos divisores: el 1 y ellos mismos Averigua si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
V/F 5 es divisor de 95 8 es divisor de 96 7 es divisor de 56 4 es divisor de 37 15 es divisor de 60 12 es divisor de 48 16 es divisor de 76 18 es divisor de 90
Significa que 95 es múltiplo de 5 Significa que Significa que Significa que Significa que Significa que Significa que Significa que
Calcula todos los divisores de los siguientes números:
Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores
de de de de de de de de
7 8 9 10 11 12 16 18
Fíjate lo que pasa con el 7 o el 11. ¿Cuántos divisores tienen?
Los números primos sólo tienen como divisores a la unidad y a ellos mismos Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Vamos a plantear una serie de cuestiones donde trabajaremos con la divisibilidad: Si tienes 24 bombones y los quieres meter en paquetes para regalar, ¿cuántos paquetes puedes hacer? Fíjate:
Divisores de 24
Bueno, pues ahora tú:
Paquetes 1 paquete 2 paquetes 3 paquetes 4 paquetes 6 paquetes 8 paquetes 12 paquetes 24 paquetes
Bombones De 24 bombones De 12 bombones De 8 bombones De 6 bombones De 4 bombones De 3 bombones De 2 bombones De 1 bombón
A la fiesta de cumpleaños de Maggie van 20 amigos. Quieren jugar por equipos. ¿Cuántos equipos y de cuántos niños podemos formar?: Equipos
Niños
Como es su cumple quiere invitar a caramelos a sus compañeros. Si compra 48 caramelos. ¿Cuántos paquetes le saldrán? Paquetes Caramelos
Todos los problemas y cuestiones que te planteen preguntas como “Queremos repartir” O ¿Cuál es el mayor número…, como máximo cuántos…? Son cuestiones que se resuelven con el máximo común divisor, es decir, con el divisor más grande que tienen igual dos números.
Vamos a practicar: Es el momento de hacer reparaciones en el tejado, pero no disponemos de mucho material, es preciso que calculemos bien para ahorrar. * Tenemos una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho para sacar los cuadrados iguales que necesito para tapar las grietas. ¿Podrías decirme cuál es la longitud de lado del cuadrado más grande posible? ¿Cuántos cuadrados obtengo de la plancha de madera?
* Necesitamos colocar un zócalo en dos paredes de la clase, una de 12 metros y la otra de 9 metros de longitud. ¿Qué medida tiene que tener el listón de madera mayor que puedo poner un número exacto de veces en cada pared?
* Queremos poner unas baldosas cuadradas, lo más grandes posibles y enteras al patio, que mide 38 metros de largo por 16 metros de ancho. ¿Cuánto tiene que medir de lado cada baldosa?
* Hemos decidido fabricar unos collares para venderlos y sacar dinero para la excursión. Tenemos 250 bolas azules, 150 bolas blancas y 900 bolas rojas. ¿Cuál es el mayor número de collares que podemos hacer sin que nos sobre ninguna bola? ¿Cuántas bolas de cada color tienen?
¡¡¡¡Vaya Problemón!!! Marge tiene un helecho que riega cada dos días y un geranio que riega cada cinco días. Hoy ha regado las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días volverá a regar las dos plantas juntas?
El director Skinner propone un acertijo a Bart. Si adivina el número de hojas que tiene su cuaderno de bitácora le dejará bajar al recreo. Las pistas que le da son: Tiene más de ocho páginas y menos de 20. El número de páginas es múltiplo de 3 y múltiplo de 5. ¿Podrías averiguar cuántas páginas tiene?
Tenemos que arreglar las velas del barco de la carroza. Necesitamos trozos iguales de cinta para poder repararlas. Tenemos una cinta verde de 10 metros de longitud y otra de color amarillo de 15 metros. Parte las dos cintas en trozos iguales de manera que no te sobre ningún trozo de cinta. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cinta? ¿Cuántos trozos obtendrás de cada color?
En el cole hay tres campanas, que cuando tocan, una suena cada 6 segundos, otra cada 8 y la tercera cada 12 segundos. ¿Cada cuánto tiempo repican las tres a la vez?
Factores primos: Lo primero: Los números primos son aquellos que sólo tienen como divisores a y a la . Vale, ahora vamos a localizar los números primos: En primer lugar sabemos que el 1, el 2, el 3, el 5 y el 7 son primos. Los vamos a rodear con un círculo, y después vamos tachando sus múltiplos. Los que nos quedan sin tachar son números primos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 Cualquier número puede descomponerse en sus factores primos, es decir, todos los números son múltiplos de números primos. Mira:
24 12 6 3 1
2 2 2 3
24=23x3
23
30 2 15 5 3 3 1
30=2x5x3
225 45 9 3 1
5 5 3 3
225=52x32
52 32
75 5 15 5 3 3 1
75=52x3
Bueno, pues ahora inténtalo tú: 35
125
48
222
30
348
27
520
52
Hemos estado trabajando con múltiplos y divisores de números pequeños, que los podemos resolver enseguida. Pero, ¿qué pasaría si trabajásemos con números mucho mayores? Sería un lío, claro. Bueno, pues para resolver ese problemilla está la descomposición en factores primos que acabamos de ver. Imagina que tienes que calcular el mínimo común múltiplo de 486 y de 1890. ¡Horrorrrr!, dificilísimo… Pues no, es tan fácil como: 1.- Descomponer ambos números en sus factores primos, que acabamos de ver que es superfácil, y luego, 2.- El mínimo común múltiplo sería los factores no comunes y los comunes elevados al mayor exponente; 3.- El máximo común divisor sería los factores comunes elevados al menor exponente. Así: 1890 2 486 2 486= 2 x 3 5 945 5 243 3 81 3 189 3 1.890= 2 x 33 x 5 x 7 63 3 27 3 mcm = 2 x 35 x 5 x 7 = 17.010 21 3 9 3 3 3 7 7 mcd = 2 x 33 = 16 1 1
Llegó el momento de ver si te sale: Calcular el m.c.d. y m.c.m. de: 40 y 60 35 y 48 40 60 35 48
40= 60=
m.c.d. (40,60)= m.c.m. (40,60)=
35= 48=
81 y 65 81 65
81= 65=
m.c.d. (35,48)= m.c.m. (35,48)=
m.c.d. (81,65)= m.c.m. (81,65)=
630 y 770 630 770
630= 770=
m.c.d. (630,770)= m.c.m. (630,770)=
Superpremio: Si has acabado todos los ejercicios y problemas, mereces una recompensa. ¿Qué tal esta sopita donde aparecen los términos que hemos utilizado en el tema? múltiplo, divisor, factores primos, m.c.m., m.c.d., números primos, comunes, exponente, divisibilidad.
COMUNES DIVISIBILIDAD DIVISOR EXPONENTE FACTORES M.C.D. M.C.M. MULTIPLO NUMEROS PRIMOS
Unidad didáctica para 6º de primaria creada por ANA Mª GARCÍA MARTÍN Agradecimientos para los autores de blogs, webs e imágenes incorporadas a esta unidad. Su uso es únicamente didáctico. Si existe algún problema por su utilización ruego se dirijan a anapcpiurbina@gmail.com y será retirado de forma inmediata. Para cualquier comentario dirigirse a la misma dirección.