TEMA: NĂšMEROS RACIONALES TURNO: MaĂąana PABELLĂ“N: B
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERĂ?A
E.A.P. DE INGENIERĂ?A: ELECTRĂ“NICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMĂ TICA BĂ SICA
CICLO PRE – UCH
AULA: 502 B
SEMESTRE: 2016 - I FECHA: 22/02/16
SEMANA: 2
NĂšMEROS RACIONALES
El estudiante de PitĂĄgoras El antiguo matemĂĄtico griego PitĂĄgoras creĂa que todos los nĂşmeros son racionales (se pueden escribir en forma de fracciĂłn), pero uno de sus estudiantes, Hipaso, demostrĂł que no se puede escribir la raĂz de 2 en forma de fracciĂłn (se cree que usando geometrĂa) y que es por lo tanto irracional. Pero PitĂĄgoras no podĂa aceptar que existieran nĂşmeros irracionales, porque creĂa que todos los nĂşmeros tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "nĂşmeros irracionales" de Hipaso no existĂan, ÂĄtiraron a Hipaso por la borda y se ahogĂł!
Generalizando: (đ?‘Ž, đ?‘?) ďƒŽ ď š đ?‘Ľ (ď š − {0}) ďƒž đ?‘Ž ďƒŽ ď š ďƒ™ đ?‘? ďƒŽ (ď š − {0}) Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al CERO, porque la divisiĂłn entre cero no estĂĄ definida. DEFINICIĂ“N. - Una fracciĂłn es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto nĂşmero de partes. El numerador indica el nĂşmero de partes consideradas y el denominador el nĂşmero de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestiĂłn. AsĂ 3/10 significa que se estĂĄn considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad. 1 10
1 10
1 10
3 10
Nota: Con frecuencia, en la prĂĄctica, a la cantidad que se divide se le considera como todo y se la representa con el nĂşmero 1. DEFINICIĂ“N. - NĂşmeros fraccionarios o fracciĂłn, es uno o el conjunto de varias partes alĂcuotas del mĂłdulo o unidad que no constituyan un nĂşmero natural de unidades. C R
DEFINICIĂ“N. - Se llama fracciĂłn a todo par de nĂşmeros enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no sea mĂşltiplo del segundo y ĂŠste sea distinto de cero: a Sea la fracciĂłn: que tambiĂŠn se puede representar como par b ordenado (a, b), donde a recibe el nombre de numerador y b denominador.
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
Q
I
FRACCIONES
Z N Im
Email: mtarazona@uch.edu.pe TelĂŠfono: 999685938 PĂĄgina 1 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple expresión, cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando el numerador y denominador son primos entre sí. Ejemplo: 42 42 21 Simplificar 70 70 35 Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la fracción, pero no se ha reducido a su más simple expresión, ya 21 3 que a su vez: 35 5
LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS. - Se representa una fracción escribiendo el numerador encima del denominador separados por un trazo horizontal. Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el numerador y después el denominador seguido, en general de la denominación “avos” y por excepción con las denominaciones medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc. Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la a fracción se leería “a” betésimas o simplemente “a” b PARTIDO por “b” 5 ⇒ cinco séptimos 7
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS I. Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES MENOR que el denominador. Ejemplos: 1 4 35 8 a ; ; ; ;; en general: 1 a<b 3 11 73 41 b II. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 6 11 8 41 m ; ; ; ;; en general: 1 a > b 5 2 7 3 n III. Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo denominador. Ejemplos: 6 8 41 11 ; ; ; ; 15 15 15 15
300 ⇒ trescientos, cuarenta y tresavos 43
IV. Fracciones heterogéneas: Aquella que tienen distinto denominador. Ejemplos: 1 7 8 6 ; ; ; ; 35 5 71 13
m ⇒ “m” enésimas n c ⇒ “c” d edésimas d
La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama unidad fraccionaria: 1 1 1 ; ; 4 35 100
FRACCIONES INVERSAS. - Dos fracciones se dice que son entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el 3 5 denominador de la otra. Así la fracción inversa es y la 5 3 m n fracción inversa de es n m SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. - Simplificar una fracción, es hallar otra igual a ella de términos menores. Se dice
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
V. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el numerador y denominador son iguales. Ejemplos: 3 2 a a0 ; ;; en general = 1 3 2 a VI. Número mixto: Es la suma de un número entero con una 1 1 fracción, tal como 2 que se expresa como 2 que se 3 3 1 1 6 1 7 puede reducir a fracción: 2 2 3 3 3 3
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 2 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Se halla el M.C.M. de los denominadores y él será el denominador común, y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el referido M.C.M. por el denominador correspondiente: Dar común denominador a las siguientes fracciones: 5 3 7 ; ; 6 7 12 M.C.M. (6; 7; 12) = 84
entonces:
Si el multiplicador fuese fraccionario x tienen que ser a , lo que
3 =p. el producto 5
3 es de 1, luego: 5
3 3 de 5 p 1 5 p
b. Ejemplo: Consideremos las situaciones siguientes: Consideremos el siguiente Cuadrado:
5 70 3 36 7 49 ; ; 6 84 7 84 12 84
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual denominador al número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Es decir, que: a b a b m m m
Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado: 1 de 2
1 6
1 3
SUSTRACCIÓN Definición: Definida la adición de dos números racionales, definiremos la sustracción como la operación inversa, diciendo que: la sustracción de dos números racionales y ( > ) llamadas, respectivamente, minuendo y sustraendo, tienen por objeto hallar otro número racional llamada diferencia, tal que
1 3
1 1 1 1 1 1 de se escribe 2 3 6 2 3 3
DIVISIÓN
Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números racionales se reduce a un común denominador. Se restan los numeradores y se pone de denominador el común. Así: 9 3 18 3 15 4 8 8 8 8
Considerada la división como operación inversa de la multiplicación, daremos la siguiente definición: Definición: Dados DOS números racionales, el dividendo y
el divisor, 0 y la división de números racionales tiene por objeto hallar otro número racional tal que . =
MULTIPLICACIÓN Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen por objeto, dados dos números racionales y , llamados respectivamente, multiplicando y multiplicador hallar otro número racional que sea respecto al multiplicando , lo que el multiplicador es respecto a la unidad. Con esta definición dada, no hay contradicción con la
Esta definición está justificada porque no hay contradicción la definición dada de división en números naturales y además porque satisface la ley de uniformidad. Regla General: Para dividir dos números racionales, se multiplica el dividendo por la inversa del divisor. Así: 7 14 7 9 9 5 9 5 14 10
definición dada en números naturales. a. Ejemplo:
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 3 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS DECIMALES
DEFINICIÓN 1.- Se llama máximo común divisor de varios números racionales, al mayor número racional divisor común de aquellos. Corolario 1: El máximo común divisor de varios números racionales, será la fracción cuyo numerador sea el máximo común divisor de los numeradores de las fracciones irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresadas fracciones irreductibles.
Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales aquellas cuyo denominador es una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros. Ejemplo:
9 1 2 M . C. D(6 ;9 ;1 2 ) 3 6 ; ; 3 5 1 4 7 M . C. M (3 5 1 ; 4 ; 7 ) 7 0
M.C.D.
157 65 8 ; ; ; 10 100 1000
Corolario 2: Todo número racional divisor común de varios números racionales, será divisor de su máximo común divisor. DEFINICIÓN 2.- Se llama mínimo común múltiplo de números racionales, al menor número racional que es múltiplo común de todos ellos. Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados por fracciones irreductibles, su mínimo común múltiplo será la fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los numeradores y el denominador el máximo común divisor de los denominadores. Así: 9 1 2 M . C. M(6 ;9 ;1 2 ) 3 6 6 ; ; M . C. D.(3 5 1; 4 7; ) 7 35 14 7
M.C.M. =
Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios números racionales, será múltiplo de su mínimo común múltiplo. FRACCIÓN COMPLEJA Definición. - Se llama fracción compleja al cociente indicado en forma de fracción, de dos números de los cuales uno por lo menos NO es número natural. Ejemplo: 4 1 1 3 7 1 3 1 3 4 8 1 1 1 7
Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a fracción simple, las operaciones se deben efectuar en este orden: 1º Multiplicación 2º División 3º Sumas 4º Restas 5º Potenciación y luego radicación
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
Así como en las aplicaciones de la aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeración decimal; en las de los números racionales son las fracciones decimales las más usadas, y por esto, a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general, merece un estudio especial.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
I. Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de cifras decimales. Ejemplos: 375,284; 0,325; 62,0078142 II. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o periódicas mixtas: i. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplos: 0,173173173 .......; 378,666 ....... Para abreviar la escritura de un número decimal periódico, se acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período; también se utiliza una barra o un corchete, así los ejemplos anteriores se pueden representar: 0,173173173...... 0,173 = 0,173 = 0,[173] 378,666 ............. 378,6 = 378,6 = 378,[6]
ii. Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una o varias cifras, después de la coma decimal, la parte que no
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 4 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta. Ejemplos: 0,6717171 ............. =
0,671
31,00417417 ........ = 31,00417
III. Ilimitadas no periódicas. - Son aquellas donde las cifras salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada. No se pueden obtener dividiendo dos números enteros. Pueden ser: limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no periódicas trascendentes. i. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no tienen raíz exacta. Ejemplo: 2 = 1,4142136............... 3 2 = 1,2599210............... 3 = 1,7320506............... 3 3 = 1,4422496............... ii. Número decimal ilimitado no periódico trascendente: Son ciertas constantes matemáticas como: = 3,1415926535897932..... e = 2,718281.........................
REDUCCION DE FRACCIONES ORDINARIAS A FRACCIONES DECIMALES Se reduce el quebrado a su mínima expresión y: 1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez dará origen a una fracción decimal EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5. Así: 21 7 como 6 400 = 28 x 52 como el denominador 1 92 0 0 6 4 0 0
posee sólo los factores primos 2 y 5, dará origen una fracción exacta o limitada y como el mayor exponente de los factores primos es 8, la parte decimal tendrá 8 cifras, efectivamente: 7 0,0 0 1 0 9 3 7 5 6400
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2 ni 5, dará origen a una fracción decimal periódica pura. Para saber cuántas cifras tendrá el periodo se procede de la siguiente forma: i. Se averigua cuál es el menor número formado por cifras nueve que sea divisible por los factores primos del denominador; la cantidad de “nueves” indica la cantidad de cifras que tendrá el período. Para su resolución ayuda el siguiente cuadro: 9= 99= 999= 9 999= 99 999= 999 999= 9 999 999= 99 999 999=
32 3 x 11 33 x 37 2 3 x 11 x 101 32 x 41 x 271 3 3 x 7 x 11 x 13 x 37 32 x 239 x 4649 32 x 11 x 101 x 73 x 137 2
1 ¿Cuántas cifras tendrá el período? 33 Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras.
Ejemplo
ii. En la forma general, se descompone (después de hacerla irreductible), el denominador en sus factores primos y se averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado; calculando después el M.C.M. de las cifras que nos dan los diversos factores. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves, como se deduce en el cuadro anterior. 1 Ejemplo ¿Cuántas cifras tendrá el período? 231 como 9 contiene a 3 3 nos da 1 231 3 7 11 como 999 999 contiene a 7 7 nos da 6 contiene a 11 11 nos da 2 como 99 M.C.M. (1, 6, 2) 6
El período tendrá 6 cifras. En efecto: 1 = 0,004329 231
iii. Si el denominador del quebrado irreductible, posee el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros factores primos, dará origen a una fracción decimal periódica mixta, donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5 (primer caso) y para determinar cuántas cifras tendrá el periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente. Ejemplo: 629 630
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 5 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
Como: 630 = 2 x 32 x 5 x 7 Para la parte no periódica (exacta): 2 x 5 . . . exponente mayor = 1 3 P ara el p erío d o 7
por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción decimal”. Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción decimal, pues si:
n o sd a 1 . ;6 ) 6 M .C.M(1 n o sd a 6
2
E .ab c. . . . . ..
La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no periódica y 6 en el período. Efectivamente: 629 = 0.9984126 630
E ab c. . . .. 1 0p
"P" ci f r as
sea cero y aquellos en que E tenga más de una cifra. Observación: La generatriz obtenida
Como: 2 255 = 5 x 11 x 41 Para la parte exacta (no periódica): 51 ... nos da una cifra 1 1 n o sd a d o scifras 4 1 n o sd a cin co cifras
Para la parte periódica
825,0424g =
M.C.M. (2; 5) = 10 La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período:
2p x 5 P
puede o no ser
8250424 1 00 0 0
Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera, del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera el período, y por denominador, un número formado de tantas cifras 9 como cifras tienen el período.
2 = 0.00088691796 2255
Propiedad: La última cifra del período de la decimal periódica puro equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador es primo con 10, será igual o distinta a la última de la parte entera, según respectivamente, que el numerador de la ordinaria irreductible termine o no termine en cero. Así:
Eab c.....
irreductible. En cualquiera de los dos casos como su denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla irreductible. Nunca se introducen factores nuevos, se puede asegurar comprobando lo dicho por el Teorema 1. Ejemplos: Hallar las generatrices de: 2 0,2g = 10 3125 3,125g = 1000
2 Ejemplo: 2255
Efectivamente:
comprendidos en este caso aquel que E
30 4, 285714 es periódica pura, como el numerador 7
30 termina en cero, las ultimas cifras del periodo y de la parte entera son distintas (respectivamente 2 y 1).
Sea la fracción decimal periódica pura:
E, abc......l donde E es la parte entera se “g” la " p cifras"
fracción generatriz: (1) g E , abc......l multiplicando ambos miembros por 10 p " p cifras "
2 10 p g E, abc.....labc........l (2) – (1)
REDUCCIÓN
DE
FRACCIÓN
DECIMAL
A
10P g – g
= E ab c...... - E
g (10P - 1)
= E ab c...... - E
ORDINARIA DEFINICIÓN. - Reducir una fracción decimal a ordinaria, es hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal, nos da la fracción decimal propuesta.
P ( 9 9 9 9) g
A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se le llama generatriz. Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal limitada, tiene por numerador el número natural que se forma prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
g
=
= E ab c. . . . .. - E
E ab c. . . . .. - E lo que demuestra el teorema. 999 . . . . . .9. P
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 6 de 10
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
Ejemplos: Hallar las generatrices de: 8,252
8252 - 8 999
=
35, 6
=
0,351
=
=
03. Hallar las fracciones equivalentes a: 95/209, tales que la suma de sus términos sea divisible por 3 y por 8; además, la diferencia de esos mismos términos divisible por 7. ¿Cuál es la fracción cuyos términos son los menores posibles? Dar como respuesta el denominador a) 231 b) 147 c) 77 d) 63 e) N.a
8244 999
3 5 63 5 3 2 1 9 9 351 - 0 999
351 = 999
Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta, tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de la parte no periódica y las del período y el número también natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera la parte no periódica, y por denominador un número formado de tantas cifras 9 como cifras tiene el período, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica”. Sea la fracción decimal periódica mixta: abc...........................
E, m..................... n " q" cifras
" p" cifras
Sea “g” su generatriz: g
= E,m..............n
abc.....................
"q" cifras
04. El denominador de una fracción excede en 5 unidades a su numerador. Si al numerador le quitamos una unidad, el quebrado resultante es 2/3. ¿Cuál es el numerador del quebrado original? a) 17 b) 13 c) 11 d) 19 e) 18 05. Un número racional irreductible x
p tiene las siguientes q
propiedades: 3 4 a) x 5 5 b) Si se divide el intervalo [3/5; 4/5], en cinco partes iguales, el punto x está en el punto medio del tercer intervalo. Calcular: p + q a) 5 b) 12 c) 43 d) 25 e) 49 06. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29, son tales que sus términos son números consecutivos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
........................ (1)
"p" cifras
Al multiplicar ambos miembros por: 10q Se obtiene: q 10 g
= E,m..............n,
abc.....................
07. Hallar la suma de los valores enteros de K, para que E K 5 también se entera: E = K 1 a) 12 b) 8 c) 9 d) 16 e) 18
........................ (2)
La expresión (1) por 10p+q: 10
p+ q
.g
= E,m....n abc....
abc....
........................ (3)
A la expresión (3) le restamos la (2) y como tiene la misma parte decimal, ésta se elimina obteniéndose: 1 0p q g 1 0q g Em....nab c.... Em....n10qg (10p - 1) =
09. Martín puede hacer una obra en 30hrs. Y César puede hacer la misma obra en 45hrs. Si los dos trabajan juntos a razón de 6 horas diarias. ¿En cuántos días harán dicha obra? a) 5 días b) 3 días c) 4 días d) 1 día e) 6 días
Em....nab c.... Em....n10qg
g =
E m. . . . nab c. . . . - E m. . . . n 99 9 .9. . . . .9. 00 . . . . . .0 .0 p
q
Lo que demuestra el teorema.
EJERCICIOS 01 01. ¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua mineral es igual a a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda mi agua mineral habré tomado? a) 3/10 b) 3/7 c) 4/7 d) 7/10 e) 10/3 02.Hallar una fracción equivalente a 0.375 tal que el producto de sus términos sea 384. dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de dicha fracción. a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
08. El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta fracción? a) 180/234 b) 52/65 c) 26/117 d) 65/117 e) 26/39
10. En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua. Se consume 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos lt de agua hay en la mezcla final? a) 9 b) 6lt c) 3lt d) 4lt e) 8lt 11. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636...... existen, tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su denominador un número de 3 cifras? a) 17 b) 23 c) 29 d) 39 e) 43 12. ¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días; ¿B y C pueden en 12 días en hacer la misma obra? A y C en 9 ¿Cuánto demorarían juntos en hacer una obra?
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 7 de 10
a) 3 días d) 3 1/2 días
b) 4 días e) 4,5 días
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
c) 3 1/3 días
13. al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó. Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro. ¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar? a) 27mts b) 18mts c) 54mts d) 9mts e) 81mts 14. Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/. 300, luego ganara 4/5 de lo que tengo más S/.100 y finalmente perdiera la mitad del resto, entonces me quedaría S/. 2300. ¿Cuánto tengo? a) S/.2600 b) S/.3700 c) S/.4200 d) S/.4900 e) S/.5000 2a =0,a36363636........... 55
15. Hallar el valor de “a”, si: a) 2
b) 4
16. Hallar: a +b Si: a) 7
b) 8
c) 5
d) 8
e) 3
1 1 1 1 1 .1 . 1 1 2 3 4 n 17. Efectuar: T = 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 2 3 4 n
a) n(n+1) d)
1 n
e) 6
19. Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período? a) 56 b) 46 c) 26 d) 06 e) 16 20. Hallar N. sabiendo que:
N
es equivalente a 13/17.
3a5a
a) 2886 d) 2873
b) 2860 e) N.a.
c) 2847
07. El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done se la deja caer. Determinar el espacio total recorrido hasta detenerse, si se le deja caer inicialmente desde 17mts. De altura. a) 85m. b) 102m. c) 93m. d) 51m. e) 60m.
08. Sabiendo que: a) 21 b) 22
29 0, yzw xy
c) 19
Hallar: x + y + z + w d) 20 e) 18
09. Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado por la fracción 17/83. dar la suma de sus cifras. a) 5 b) 7 c) 4 d) 8 e) 3
EJERCICIOS 02 01. Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. a) 11/52 b) 19/52 c) 49/104 d) 15/26 e) 9/13
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
04. Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días; B y C lo harían en 12 días; A y C en 15 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra los tres juntos? a) 6 días b) 5 días c) 7 días d) 8 días e) 9 días
06. Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 4 hrs. b) 7 hrs. c) 9hrs. d) 5hrs. e) 3hrs.
n c) 2
18.Si 0, aa3 - 0.0 01 0 =0. a Hallar a. a) 3 b) 4 c) 2 d) 5
03. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? a) 23/105 b) 4/35 c) 22/35 d) 13/105 e) 4/105
05. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se 1 1 3 empleó de la primera brigada. de la segunda y de la 4 3 5 tercera. ¿En cuánto tiempo hizo la zanja? a)7,8 días b) 9 días c) 10 días d) 11,2 días e) 13 días
a b =0,969696............ 11 3 c) 9 d) 10 e) 11
n 1 b) 2 n(n 1) e) 2
02. El denominador de una fracción excede al numerador de una unidad. Si se agrega a ambos términos de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original? a) 3/4 b) 4/5 c) 5/6 d) 6/7 e) 7/8
10. Hallar a + b, sabiendo que: a) 2
b) 3
c) 4
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 8 de 10
a b 781 5 11
d) 5
e) 6
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
TAREA DOMICILIARIA 01. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si ha perdido en total $12. ¿Cuánto tenía el principio? a) $108 b) $120 c) $132 d) $144 e) $54 02. Sebastián llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película; 6 minutos después llega Shiro, y sólo ve los 4/5. si la película empezó a las 16:00 horas. ¿A qué hora termina? a) 17:20 b) 17:30 c) 18:30 d) 18:20 e) N.a. 03. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacan 20 000 lt. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos lts falta para llenarla? a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts 04. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de altura. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote? a) 51,20cm b) 21,60cm c) 36,00cm d) 12,96cm e) 6,40cm 05. Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre, queda 1/7 de él más 9,5. ¿Cuál era la longitud original del rollo? a) 33 b) 20,5 c) 32,5 d) 21 e) N.a. 06. Marcelo compra lapiceros, la mitad a 5 por S/.6 y la otra mitad a 6 por S/.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3 por S/.5 y las demás a 4 por S/.7. ¿Cuántos lapiceros habrá vendido si se sabe que ganó S/. 930? a) 900 b) 180 c) 2400 d) 3600 e) N.a. 07. Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. Si han reunido respectivamente los 5/24, los 3/10 y la quinta parte de dicha suma. ¿qué fracción falta todavía reunir? a) 11/24 b) 17/24 c) 7/24 d) 13/24 e) 5/24 08. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gastó la quinta parte; el segundo día gasto 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.150. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/.500 b) S/.750 c) S/.360 d) S/.450 e) S/.900 09. Sebastián demora 6 días en hacer una obra y Shiro demora 12 días en hacer la misma obra. ¿Cuánto demorarían junto en hacer una obra? a) 9 días b) 3 días c) 4 días d) 2 días e) 4/3 días
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
10. ¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado, si se resta a sus 2 términos, la mitad de su numerador? Expresarlo en forma de fracción decimal. a) 0,8 b) 3,0 c) 0,5 d) 2,5 e) 1,5 11. Hallar la suma de los términos de una fracción, tal que si se le suma su inversa se obtiene: 41/20. a) 5 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10 12. Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3 de la longitud total del tubo, la segunda parte es ¼ y la tercera parte es 2/7 de la longitud total del tubo. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro, ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 28mts b) 6mts c) 12mts d) 5mts e) 7mts 13. El producto del numerador por el denominador de un quebrado es 525114. ¿Cuál es dicho quebrado, si al simplificarlo se obtiene 14/31? a) 151/344 b) 77/688 c) 154/341 d) 182/403 e) 217/242 14. Al tesorero de una sección de 5to. Grado le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de los que le queda restituirá lo perdido? a) 1/8 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/7 e) 1/9 1
15. Si:
Hallar: “a + b”
=0,037037037.........
ab
a) 7
b) 6
16. Si a) 2 17. Si
c) 5
d) 8
A 0.(x 5)x. Hallar A 11 b) 4 c) 6 d) 7 nn 0 .a b4 37
Hallar:
e) 9
e) 8
a+b
a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 17. Calcula las siguientes expresiones:
e) 2
1 3 3 1 2 3 2 6 5 9 4
a. 3
b. 1 3
1 27 6 3 3
c.
16: 42 8 310 15 4 6
d.
0,3 0,82 0,7 2
3
3
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 9 de 10
2
3
e.
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA: ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO PRE – UCH
0,8 2,5 3,6 : 1,2 5,8 : 0,2 k.
f.
2 3 1 1 : : 1 6 12 8 2
3 1 7 31 5 8 24 13 g. 2 5 3 2 1 8 3 3 5 5 7 h. : 3 2 3 1 4 7 2 6
7 1 3 4 1 8 4 2 9 1 1 1 7 2 1 2 10 14 5
1 3 1 7 3 5 8 24 13 l. 2 5 3 1
m. 1
1
1
1
1
1
1 1
1 1 2 3 i. 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3
1 1
1 3
BIBIOGRAFIA:
j.
2 3 5 4 3 1 1 6 12 3 1 6 8 4
ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003) Compendio académico de matemática Editor: Lumbreras Lima INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2008) Aritmética Análisis del número y sus aplicaciones Edición: 3a ed. Editor: Instituto de Ciencias y Humanidades Lima REFERENCIA: http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/ www.jacobiperu.com
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo www.jacobiperu.com
Email: mtarazona@uch.edu.pe Teléfono: 999685938 Página 10 de 10