FRACCIONES

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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

MATEMÁTICA APLICADA

TEMA: FRACCIONES TURNO: NOCHE PABELLÓN: B

CICLO: I SEMANA: 02 SEMESTETRE: 2017 - II

AULA: 501

CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS FRACCIONARIOS

Ejemplo:

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.

Un depósito contiene 

El todo es el depósito.

La unidad equivale a

3 , en este 3

caso.

Notación

f 

2 de gasolina 3

a 1  b 4

En general, el todo sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador de la forma

n . n

2 de gasolina expresa la relación existente 3 ⟹

entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gaso lina.

1  4

Clasificación I. Por comparación de sus términos Una fracci6n puede ser: Propia.- aquella cuyo valor es menor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea propia, es que el numerador sea menor que el denominador. D > N.

Significado de una fr acción. La fr acción como partes de la uni dad

f 

El todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@migueltarazonagiraldo.com

N 1 D

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a 1  a  b b

f 

CICLO: I

N 1 D

a 1 a  b b

En general:

Ejemplo Dos quintos

2 5

Ocho veinteavos

8 20

II. Por su denominador Ordinaria o común.- Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

f 

6 5 1 2 ; ; ; 7 9 3 7

Ejemplo:

Impropia.- aquella cuyo valor, es mayor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea impropia, es que el numerador sea mayor que el denominador. D < N.

f 

N 1 D

En general:

9 3 , , 4 11

a ,  b  10n b

Ejemplo:

a 1  a  b b

7 13 19 , , , ... 10 100 1000

Ejemplo

8 3

Catorce cuartos

1 2

Decimal.- Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

f 

Ocho tercios

a ,  b  10n b

III. Por comparación de los denominadores Pueden ser Homogénea.- Son aquellas cuyos denominadores son iguales.

14 4

Ejemplo:

3 2 1 5 , , , 4 4 4 4

Heterogénea.- Son aquellas con denominadores diferentes.

10 7 9 13 ; ; ; 3 4 2 7 Fracción igual a la unidad: aquella cuyo numerador y denominador son iguales.

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2 5 1 3 , , , 7 7 7 7

Ejemplo:

3 7 9 , , 5 9 11

3 4 2 , , 11 9 7

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Fracción Reductible o Equivalente.- Es aquella cuyo numerador y denominador tienen un divisor común diferente de la unidad, es decir se puede simplificar.

CICLO: I

Transformación de un número mixto a fracción

a

a c   ad bc b d

b a c  b  c c

Ejemplo

2 6   2 9  3 6 3 9

Ejemplo: 14 21

⇒ Simplificando ⇒

2 3

⇒

Ejemplo:

14 2  21 3

Convertir 4 8 24

⇒ Simplificando ⇒

1 3

⇒

8 1  24 3

Fracción Irreductible.- Es aquella cuyos términos son primos entre sí. Ejemplo: 5 9 4 7 , , , 7 11 9 3

4

2 a fracción impropia. 3

2 ( 4 x3)  2 12  2 14   = 3 3 3 3

Fracción de fracción.- Se llama así a las partes consideradas de una fracci6n que se ha dividido en partes iguales. Así: 4/9 de 3/5, indica que la fracci6n 3/5 se ha dividido en 9 partes iguales, de las cuales se considera 4.

Equimúltiplos.- Se dice que una fracción es equimúltiplo de otra cuando el numerador y el denominador de la primera contienen el mismo número de veces, al numerador y al denominador de la segunda, respectivamente. Ejemplo:

16 1 16 1 16    32 2 32 2 16

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Nota: En operaciones con quebradas la palabra "de" debe entenderse como "por", pues se trata de una "fracci6n de fracción". E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ Página 3 de 10

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CICLO: I 12 32 , 15 150

1 1 de . 9 4 Ejemplo:

Solución

En una huerta de 400 m2 se han sembrado cuatro tipos de verduras: tomates, judías, pimientos y lechugas. Observando la figura, averigua el área dedicada al cultivo de cada verdura.

1 1 1 1 1 de ⇒ x  9 4 36 9 4

MCD – MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Solución

Máximo Común Divisor.- El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. Mínimo Común Múltiplo.- El MCM de varias fracciones irreductibles es igual a MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores. Ejemplo 1: Hallar el MCD y MCM de:

21 9 5 , y 8 16 6

MCD: MCM:

NÚMERO DECIMAL.- Es la expresión en forma "lineal" de una fracción. Un número decimal consta de dos partes: la parte entera llamada característica y la parte decimal llamada mantisa.

MCD (21, 9, 5)

1  MCM (8, 16, 6) 48 MCM (21, 9, 5) MCD (8, 16, 6)

315 2

Nota:

Para resolver problemas que involucren fracciones hay que tener en cuenta que en una fracción, el denominador indica en cuantas partes iguales hemos dividido la unidad y el numerador indica cuantas partes tomamos del total en que hemos dividido la unidad

4932

,

03216

parte entera

coma decimal

parte decimal

Ejemplo

Clasificación I. Exactos o limitados Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos.

Calcular el MCM de:

0,75 =

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75 100

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8 10

CICLO: I

0,251

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

4,25 = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

Su TransformaciĂłn: La fracciĂłn que resulta tiene por numerador un nĂşmero sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente serĂĄ el nĂşmero total de decimales.

10,32

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

0,342 = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌ 6,27 = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

II. Inexactos o Ilimitados

Aplicación: A. Periódicos Puro.- Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5. 0,aaa ‌ = 0,a =

a 9

tanque 1 = 200 đ?‘š3 tanque 2 = 100 đ?‘š3

0,2121 ‌ = Su transformación: La fracción resultante tiene como numerador el período y como denominador tantos nueves como cifras tengan el período. B. Periódicos Mixtos.- Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz estå compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos. 0,abbb‌ = 0,ab =

Se tiene dos tanques 1; 2 Y 3 llaves: A y B ingresan agua al tanque 1 y C desagua el tanque 1 hacia el tanque 2. Si las capacidades son:

Velocidades de flujo de llaves:

m3 A 1 s

m3 B3 s

m3 C2 s

Cuando se llena el tanque 2 se cierra la llave C. Hallar el tiempo de llenado de ambos tanques.

ab  a 90

0,3222... = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌ 0,48383‌ = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Su transformación: La fracción tiene como numerador un número formado por el número sin la coma menos lo que estå antes del período, y como denominador un número con tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo

SoluciĂłn:

0,02333‌ = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

Por segundo el tanque (1) se llena con:

1,333‌

3,24222‌ = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

1 + 3 − 2 = 2 đ?‘š3 ; en este lapso, el tanque (2) se llena: 2 đ?‘š3

0,15

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

El tanque (2) se llenara al cabo de:

0,92

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

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CICLO: I

100m3  50s m3 2 s

dividir la suma por el producto, hallar la tercera parte del cociente y extraer la raĂ­z cuadrada del resultado. Entonces se obtiene.

Durante este tiempo el tanque (1) recibiĂł:

b) Simplificar:

3 4 3 2 1 .    ďƒŠ 3ďƒš 1 8 5 10 9 6 .2  ďƒŚ 6 1 1 ďƒś ďƒŚ 2 4 7 ďƒś ďƒŞďƒŤ 4 ďƒşďƒť 3     ďƒ§ ďƒˇďƒ§ ďƒˇ ďƒ¨ 15 6 5 ďƒ¸ ďƒ¨ 3 9 12 ďƒ¸

50đ?‘Ľ2 = 100đ?‘š3 Falta llenar: 100 m3 del tanque 1 y se derrama el desagĂźe C. Entre A y B por segundo llenan:

Se termina de llenar al cabo de: 100: 4 = 25đ?‘ Por 10 tanto: A se llena en 25 + 50 = 75 đ?‘

c) 13/12

d) No le falta nada

B se llena al cabo de 50đ?‘

d) 45

e) N.A.

e) es mayor que el cociente

AplicaciĂłn 04: a) Hallar una fracciĂłn tal que si se le agrega su cuadrado, la suma que resulta es igual a la misma fracciĂłn multiplicada por 110/19.

Rpta.: 75 đ?‘Œ 50 segundos.

Ejercicios de AplicaciĂłn

AplicaciĂłn 01: a) Encontrar un quebrado de denominador 84 que

1 1 pero menor que . 7 6

b) Si se aĂąade 5 unidades al denominador de

b) 21

AplicaciĂłn 03: a) Calcular un nĂşmero sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5 de su 3/8 y se restan los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. b) ÂżCuĂĄnto le falta a 2/3 para ser igual al cociente de 2/3 entre 3/4? a) 1/3 b) 1/6 c) 2/9

m3 1 3  4 s

sea mayor que

a) 5/6

7 . La 15

fracciĂłn aumenta o disminuye Âżen cuĂĄnto? a) aumenta en 7/60

b) Si a los tĂŠrminos de 2/5 le aumentamos 2 nĂşmeros que suman 700, resulta una fracciĂłn equivalente a la original. ÂżCuĂĄles son los nĂşmeros? a) 200 y 500 d) 100 y 600 b) 200 y 600 e) 250 y 450

c) 150 y 550

AplicaciĂłn 05: a) La distancia entre Lima y Trujillo es de 540 km. a los 2/3 de la carretera, a partir de Lima, estĂĄ situada la ciudad de Casma, a la quinta parte de la distancia entre Lima y Casma, a partir de Lima, se encuentra la ciudad de Chancay. ÂżCuĂĄl es la distancia entre Chancay y Casma?

b) aumenta en 9/60 b) A un alambre de 91 m. de longitud se le da 3 cortes de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en su mitad. ÂżCuĂĄl es la longitud del trozo mĂĄs grande? a) 43,10 m b) 25,20 m c) 37,80 m

c) disminuye en 1/60 d) disminuye en 7/60 e) se mantiene igual AplicaciĂłn 02: a) Restar 1/3 đ?‘‘đ?‘’ 1/2; 1/4 đ?‘‘đ?‘’ 1/3 đ?‘Ś 1/5 đ?‘‘đ?‘’ 1/4 ; sumar dichas diferencias, multiplicar las mismas, Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@migueltarazonagiraldo.com

d) 38,00 m

e) 40,30 m

AplicaciĂłn 06: E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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MATEMÁTICA APLICADA

a) Los 3/8 de un poste están pintados de blanco, los 3/5 del resto de azul y el resto que mide 1,25 de rojo. ¿Cuál es la altura del poste y la medida de la parte pintada de blanco? b) Un cartero dejo 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedan 34 cartas para distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) N.A.

CICLO: I

Aplicación 10: a) Los 3/4 de un tonel más 7 litros, son de petróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? b) Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros había que añadir para llenar el tanque? a) 32 000 b) 48 000 c) 24 000 d) 16 000

Aplicación 07: a) Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y entonces tengo S/. 42. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? b) Un padre le pregunta a su hijo, ¿Cuánto gastó de los S/. 1800 de propina que le dió? El hijo le responde: Gaste los 3/5 de lo que no gaste ¿Cuánto no gasto? a) S/ 1115 b) 1125 c) 1130 d) 675 e) 775 Aplicación 08: a) Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60 800 soles y de este modo la pérdida se reduce en la mitad de la fortuna primitiva. ¿Cuál es dicha fortuna? b) Un granjero reparte sus gallinas entre sus 4 hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el cuarto las 7 restantes. Las gallinas repartidas fueron: a) 80 b) 100 c) 140 d) 130 e) 240 Aplicación 09: a) De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 80 litros que son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? b) De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 1/8 y son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? a) 200 b) 214 c) 236 d) 284 e) N.A. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@migueltarazonagiraldo.com

e) N.A.

Aplicación 11: 11. Cierta clase de paño se reduce después del lavado en 1/6 de su longitud y en un 1/5 de su anchura. ¿Qué longitud de paño nuevo es necesario emplear para tener 30 m2 de paño, después de mojado, si el paño tenía antes 0,90 m de ancho? a) 100 m b) 50 m c) 40 m d) 80 m e) 60 m 12. Resolver a) Operar y dar el valor de “M” M=

0,1  0,2  0,3  0, 4  0,5      0,1  0,2  0,3  0,4  0,5

b) El valor exacto de la siguiente operación es: (0,123232 ...) (3,666 ...) 6,777

a) 2/3

b) 1/15

c) 1/5

d) 1/45

e) 3/5

13. Resolver a) Hallar x + y si: x y  9 11

b)

= 0,62

Hallar x + y x y  3 11

= 0,96

14. Resolver a) Calcular el valor de (a + b + c) en:    0, 00 a  0,00b  0,00c

b)

a) 4

= 0,10

Calcular el valor de (a + b) en:  0, ab  0, ba  0,1

b) 9

c) 11

= 1,3 d) 15

e) 17

14. Resolver a) Hallar “N”. Sabiendo que: E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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b) Halla “x” en:

a) 4

N 11

MATEMÁTICA APLICADA

= 0, x(x + 1) (2x + 1)

c) 1

d) 2

1.

2.

5.

¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5 d) 5/13 e) 2/9

6.

Una propiedad es de dos hermanos, la parte del 1ero. es 7/16 y el valor de la parte correspondiente a otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad? a) S/. 120 000 b) 150 000 c) 140 000 d) 112 000 e) 108 000

7.

Si a los términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? a) 11 b) 8 c) 3 d) 13 e) 10

8.

Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamada “Paramo”, si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cuáles son correctas? I. Me quedan 9/40 de la hacienda. II. Me quedan los 5/8 de mi parte. III. Vendí menos de 1/4 del total de la hacienda. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III

9.

En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? a) 22 b) 28 c) 2 d) 20 e) 4

Colocar >, < ó = según el caso: I.

1 2

………………

1 3

II.

2 3

………………

4 6

III.

5 9

………………

6 11

IV.

8 11

………………

1 2

V.

6 8

………………

12 16

VI.

4 11

………………

2 5

VII.

11 13

………………

1 2

VIII.

4 13

………………

1 3

IX.

7 2

………………

2 7

Un puente cruza un río de 760 pies de ancho, en una orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otra orilla 1/6. ¿Cuál es la longitud del puente? a) 1000 pies b) 1200 c) 1100 d) 1300

3.

Una persona recibe viáticos por 4 días, el primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedo 15000 soles. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/. 50 000 b) 75 000 c) 150 000 d) 90 000 e) 45 000

e) 5

Tarea Domiciliaria

e) N.A.

Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada uno. Si se vacían los 3/5 de las 15 botellas. ¿Cuántos litros quedan? a) 8  b) 10 c) 12 d) 9  e) 11

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CICLO: I

4.

= 0,x(x - 1)

b) 3

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10. Si

a b  5 11

= 0,781

Hallar: a + b a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) N.A.

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11. Dado: 0,m1 + 0,m2 + 0,m3 = Hallar “m” a) 5 b) 2

c) 1

CICLO: I

1

a. 1 

14 11

d) 4

1

1

1

1

1

1

e) 3

1

1

12. Dado: 0,n3 + 0,n4 + 0,n7 = a) 5

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b) 2

4 9

c) 3

1 Hallar: “n” d) 1

e) 4

13. Hallar la suma del numerador más el denominador de la fracción que debo sumar a la fracción periódica 0,8787… para ser igual a la fracción periódica 1,2121… a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

14. Si suma a

2

1 2

dos mitades de

2

1 2

, luego sumo

el doble de lo que ya sume; multiplico por los de dos mitades de

2

1 2

1 3

7 1 3 4 1   8 4 2 9 b. 1 1 1 7 2 1   2 10 14 5

c.

3 5

2 3 5 4 3 1 1 6 12  3 1  6  8   4 

y finalmente divido entre

los tres tercios de lo que me queda. ¿Cuánto es lo que me queda? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.A.

15. Un moribundo reparte su fortuna entre sus

1 del total, al 3 1 1 segundo del resto, al tercero del nuevo 5 4 cuatro hijos. Al primero le da

BIBLIOGRAFÍA Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras. Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill. Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental.

resto, quedando $ 600 para el último. ¿Cuál era la fortuna del moribundo?

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE Learning.

a) $ 1200

b) 1000

REFERENCIAS

d) 1600

e) 1800

c) 1500

16. Resolver:

https://www.portaleducativo.net/quintobasico/531/Tipos-fracciones-fraccion-propiafraccion-impropia-numero-mixto http://migueltarazonagiraldo.com/ https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_E SO/Fracciones%20y%20racionales.pdf https://es.pinterest.com/pin/383368987016073790/

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