FORMULARIO

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA

TEMA: FORMULARIO MATEMÁTICO TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503B

CICLO: III

MATERIAL ADICIONAL SEMESTETRE: 2017 - II

FORMULARIO MATEMÁTICO Geometría

r

Volumen   r 4 3

3

Área de la Superficie  4  r 2

r

Volumen

  r 2h

h

Área de la superficie lateral  2 rh

r

Volumen  13  r 2h

h

l

Área de la superficie lateral   r r 2  h 2   r l

Volumen  13  h a 2  a b  b 2  Área de la superficie lateral

   a  b h 2   b  a 

a

2

   a  b l

l h

b

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CICLO: III

Trigonometría sen 2 A  cos2 A  1

sen 2 A  21  21 cos 2 A

sec 2 A  tan 2 A  1

cos2 A  21  21 cos 2 A

csc 2 A  cot 2 A  1

sen 2 A  2 sen A cos A

tan A 

sen A cos A

cos 2 A  cos2 A  sen 2 A

cot A 

cos A sen A

sen  A  B  sen A cos B  cos A sen B

sen A csc A  1

cos  A  B  cos A cos B  sen A sen B

cos A sec A  1

tan  A  B 

tan A cot A  1

sen   A   sen A

tanA  tanB 1 tanAtanB

sen

A 1  cos A  2 2

cos

A 1  cos A  2 2

cos   A  cos A

sen A sen B 

1 2

 cos A  B  cos A  B

tan  A  tan A

sen A cos B 

1 2

 sen A  B  sen  A  B

cos A cos B 

1 2

 cos A  B  cos A  B

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos

a b c   sen A sen B sen C

Ley de los cosenos c 2  a 2  b 2  2 a b cos C Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a  b tan  A  B  a  b tan  A  B 1 2 1 2

A

b

c C

B

a

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

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CICLO: III

Números Complejos Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

 r cos

 i sen     r p  cos p  i sen p  p

Sea n cualquier entero positivo y p  1 n , entonces

 r cos

 i sen   

1

n

r

1

n

 cos  n2 k  i sen  n2 k 

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k  0,1,2,  , n  1

Geometría Analítica del Espacio Considerando P1   x1 , y1 , z1  y P2   x2 , y2 , z2  Vector que une P1 y P2: PP 1 2  Distancia entre dos puntos: d 

x

2

 x1  ,  y2  y1  ,  z2  z1    l, m, n

x

2

 x1    y2  y1    z2  z1   l 2  m2  n 2 2

2

2

Recta que pasa por dos puntos: - Forma Paramétrica:

y  y1  mt

x  x1  l t

z  z1  nt

-Forma Simétrica: x  x1 l

t

t

y  y1 m

t

z  z1 n

Cosenos Directores:

cos  

x2  x1 l  d d

cos  

y2  y1 m  d d

cos  

z2  z1 n  d d

donde , ,  denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.

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CICLO: III

Ecuación del Plano: 

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a  a1 ,a 2 ,a 3 : a1  x  x1   a2  y  y1   a3  z  z1   0

-Forma General: Ax  By  Cz  D  0

cos2   cos2   cos2   1

l 2  m2  n2  1

o

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

d

Ax 0  By 0  Cz0  D  A2  B2  C2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

Coordenadas cilíndricas:

z

{

P

  x  r cos  y  r sen  z z 

 2 2 r  x  y y o    tan 1 x   z  z



(x,y,z) (r,z)

z

O

y r

x

 y

x

Coordenadas esféricas:

z

{

P

  x  r sen  cos   r  x2  y2  z2   y  y  r sen  sen  o    tan 1 x   z  r cos  1 z    cos  x 2  y 2  z 2 

(x,y,z) (r,

r 



z

O x

y

 y

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan  

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m2  m1 1  m1m2

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CICLO: III

Limites notables 1) 5)

9)

Lim x 0

senx 1 x

x 1 senx 1  cos x Lim 0 x 0 x

2)

Lim x 0

Lim cos x  1

6)

x Lim 1 x  0 tan x

10)

x 0

tan Kx Lim 1 x 0 Kx

3)

Lim senx  0

7)

Lim x 0

x 0

1  cos x 1  2 x2

8)

x

11)

senKx 1 Kx tan x Lim 1 x 0 x

4) Lim

x 0

 1 lim 1    e x   x

1

12)

lim 1  x  x  e x 0

Reglas Generales de Derivación d (c)  0 dx

d  cx   c dx

d  cx n   ncx n1 dx

d du dv dw  u  v  w     dx dx dx dx

d du  cu  c dx dx

d dv du  uv  u  v dx dx dx

d dw dv du  uvw  u v  u w  v w dx dx dx dx

du dv d  u  v dx  u dx   dx  v  v2

d n du  u   nun1 dx dx

dF dF du (Regla de la cadena)  dx du dx

du 1  dx dx du

dF dF du  dx dx du



 



Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

log a e du d log a u  dx u dx

a  0,

a 1

d d 1 du ln u  log e u  dx dx u dx d u du a  a u ln a dx dx d u du e  eu dx dx Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com

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CICLO: III

d v d v lnu d du dv u  e  ev lnu v ln u  vuv1  uv ln u dx dx dx dx dx

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d du sen u  cosu dx dx

d du cot u   csc2 u dx dx

d du cos u   sen u dx dx

d du sec u  sec u tan u dx dx

d du tan u  sec 2 u dx dx

d du csc u   csc u cot u dx dx

d 1 du sen 1 u  dx 1  u2 dx

 2  sen 1 u 

d 1 du cos1 u  dx 1  u2 dx

0  cos1 u  

d 1 du tan 1 u  dx 1  u2 dx

 2  tan 1 u 

d 1 du cot 1 u  dx 1  u2 dx

 2

 2

0  cot 1 u  

d 1 du 1 du sec1 u   dx u u 2  1 dx u u 2  1 dx

  si   si 

0  sec1 u  2   1   2  sec u   

d 1 du 1 du csc1 u   2 dx u u  1 dx u u 2  1 dx

  si 0  csc1 u    2    si  2  csc1 u  0  

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d du senh u  cosh u dx dx

d du coth u   csc h2 u dx dx

d du cosh u  senh u dx dx

d du sec h u   sec h u tanh u dx dx

d du tanh u  sec h2u dx dx

d du csc h u   csc h u coth u dx dx

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CICLO: III

d 1 du sen h-1u  2 dx u  1 dx d 1 du cos h-1u  dx u2  1 dx

   

si si

d 1 du tanh 1 u  dx 1  u2 dx

1  u  1

d 1 du coth1 u  dx 1  u2 dx

 u  1    

d 1 du sec h-1u  dx u u2  1 dx

cosh1 u  0, u  1  cosh1 u  0, u  1

o

 u  1

si

sec h1u  0,

si

sec h1u  0,

d 1 du 1 du csc h -1u   2 dx u 1  u dx u 1  u 2 dx

  

0  u  1  0  u  1 u  0,

si



si

 u  0

Tablas de Integrales

 csc u cot udu   csc u  C

 u dv  uv   v du  u du  n  1 u 1

n

n1

u

 ln u  C

e

du  eu  C

du u

C

n  1

 tan u du  ln sec u  C

 cot udu  ln sen u  C  sec u du  ln sec u  tan u  C

 a du  ln a  C

 csc udu  ln csc u  cot u  C

 sen udu   cos u  C



u

au

 cos u du  sen u  C

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du a u

a

2

2

2

 sen1

u C a

du 1 u  tan 1  C 2 a a u

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 sec

 csc

2

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u du  tan u  C

2

udu   cot u  C

 sec u tan u du  sec u  C



a 2  u 2 du 

u







2

a 2  u 2 du 



du u u a

a u

u 2 du

2

2

2



1 1 u sec C a a

du 1 ua ln C 2  a 2a u  a







a

1 a 2  u2  a   ln C a u u a 2  u2 du

u2

du 2

a 2  u2  C a 2u a 2  u2 du

u



2 3/ 2





a 2  u 2 du 



a 2  u 2 du 

u a

u 2 a2 a  u 2  ln u  a 2  u 2  C 2 2

2

a 2  u2

C

u 2 a2 u a  u 2  sen 1  C 2 2 a

 u 2 a 2  u 2 du 

 ln u  a 2  u2  C

CICLO: III

du 1 ua ln C 2  u 2a u  a

u 2 a2  a  2u 2  a 2  u 2  ln u  a 2  u 2  C 8 8

a 2  u2 a 2  u2 du    ln u  a 2  u 2  C 2 u u

a 2  u2

2

u 2 a2 a  u 2  ln u  a 2  u 2  C 2 2

a 2  u2 a  a 2  u2 du  a 2  u2  a ln C u u

du

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u a4 u  2u 2  a 2  a 2  u 2  sen 1  C 8 8 a



a 2  u2 a  a 2  u2 2 2 du  a  u  a ln C u u



a 2  u2 1 2 u du   a  u 2  sen 1  C 2 u u a



u 2 a2 2 u  a du  u  a  ln u  u 2  a 2  C 2 2



u 2 du

u



a 2  u2

a 2  u2





u 2 a2 u a  u 2  sen 1  C 2 2 a

1 a  a 2  u2 C  2 2   a ln u u a u du

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

2

2

2

u 2  a 2 du 

u 2 2 2 2 a4  2u  a  u  a  ln u  u2  a 2  C 8 8

u2  a 2 a du  u 2  a 2  a cos1  C u u

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

du u2 a 2  u2

a





2

 u 2  2 du   3

du

 a 2  u2 

3

 2

MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA

1 a 2  u2  C 2 au

u a

a u 2

2



C



u 2 du 1  a  bu  2b 3  a  bu 2  4a a  bu  2a 2 ln a  bu   C



 u a  bu  a ln a  bu  C



2

du

1

u

 u  a  bu   au  a du

1

2

b 2

ln

du u a 2

du u2 u2  a 2 du

u

2

a

2



udu

2

 u a  bu



du

u 2 du

 a  bu 

2

2



a 1  ln a  bu  C b  a  bu b 2

 1 b3

u

1 1 a  bu  2 ln C a a  bu a u   a2  a  bu   2a ln a  bu   C a  bu  

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n

u

 

2

u2  a 2 C a 2u u a 2 u2  a 2

C

du 1 a  bu  a  ln  C , si a  0 a  bu a a  bu  a

2 a  bu tan 1  C , si a  0 a a



a  bu du du  2 a  bu  a  u u a  bu



a  bu a  bu b du du     2 u u 2 u a  bu

a  bu du 



3

u a2 u2  a2  ln u  u 2  a 2  C 2 2

u2 du 2  8a 2  3b2u2  4abu a  bu  a  bu 15b3



  a  bu



u2  a2

u

a  bu C u

 ln u  u2  a 2  C

2

u 2 du



udu 1  a  bu  b  a  bu  a ln a  bu   C

CICLO: III

u2  a 2 u2  a 2 du    ln u  u 2  a 2  C 2 u u



u 3a 4 u  2u 2  5a 2  a 2  u 2  sen 1  C 8 8 a

2

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u n du a  bu n







2 3 u n  a  bu 2  na  u n 1 a  bu du b 2n  3

2u n a  bu 2na u n 1 du   b 2n  1 b 2n  1 a  bu

du a  bu b 2n  3 du    n 1 n 1 a n  1 u 2a n  1 u a  bu a  bu

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u 

a  budu 

MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA

2 3    2 C 2 3bu  2a a  bu 15b

udu 2  2  bu  2a  a  bu a  bu 3b

 sen

 csc

udu  21 u  14 sen 2u  C

 cos

2

udu  21 u  41 sen 2u  C

 tan

u du  tan u  u  C

 cot

u du   cot u  u  C

 tan

2

 cot

 sen

2

u du  n1 cosn1 u sen u 

n 1  senn2 u du n

n 1 cosn2 u du  n

u du 

1 tan n 1u   tan n  2 u du n 1

n

u du 

1 cot n1 u   cot n2 u du n 1

 sec

n

u du 

1 n2 tanu secn2 u   secn2 u du n 1 n 1

 csc

n

u du 

1 n2 cot u cscn2 u   cscn2 u du n 1 n 1

n

udu   13  2  sen2 u cos u  C

3

 cos udu   2  cos u sen u  C 3

 tan

u du   n1 senn1 u cos u 

n

n

CICLO: III

udu   21 csc u cot u  21 ln csc u  cot u  C

3

 sen

2

 cos

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1 3

3

2

u du  12 tan 2 u  ln cos u  C

 cot

3

udu   21 cot 2 u  ln sen u  C

 sen au sen bu du 

sen a  b u sen a  b u  C 2 a  b 2 a  b

 sec

3

u du  21 sec u tanu  21 ln sec u  tanu  C

 cos au cos bu du 

sen a  b u sen a  b u  C 2 a  b 2 a  b

 sen au cos bu du  

cos a  b u cos a  b u  C 2 a  b 2 a  b

u

n

cos udu  un sen u  n un1 sen udu

 sen  u sen udu  sen u  u cos u  C

 u cos u du  cos u  u sen u  C u

n

sen udu  un cos u  n un1 cos udu

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n

u cosm udu

sen n1 u cosm1 u n  1   sen n 2 u cosm u du  nm nm sen n1 u cosm1 u m  1   sen n u cosm 2 u du  nm nm

 u cos

1

u du 

2u 2  1 1 u 1  u2 cos u  C 4 4

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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA 1  utan u du 

 sen

1

 tan

CICLO: III

u 2 1 u tan 1u   C 2 2

u du  u sen 1 u  1  u 2  C

u

n

sen 1 u du 

1  n1 u n1du 1 u sen u    n  1 1  u2

 , n  1 

u du  u cos1 u  1  u 2  C

u

n

cos1 u du 

1  n1 u n1du 1 u cos u    n  1 1  u2

 , n  1 

1

 cos

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1





u du  u tan 1u  12 ln 1  u 2  C

n 1  u tan udu 

1  n 1 1 u n 1 du  u tan u   , n  1 n 1  1 u 2 

2u 2  1 1 u 1  u2  u sen u du  4 sen u  4  C 1

 ue

au

u e

du 

n au

1  au  1 eau  C a2

du 

1 n au n n1 au u e   u e du a a

e au  e sen bu du  a 2  b2  a sen bu  b cos bu  C au

e



au

cos bu du 

 ln udu  u ln u  u  C u

ln u du 

n

u n1  n  1 ln u  1  C  n  1 2

 u ln u du  ln ln u  C 1

e au  a cos bu  b sen bu  C a 2  b2

 senh udu  cosh u  C

 sech u du  ln tan

 cosh udu  senh u  C

 sech

 tanh u du  ln cosh u  C

 csch

 coth udu  ln senh u  C

 sech u tanh u du  sech u  C

 sech u du  tan

 csch u coth u du  csch u  C

1

senh u  C

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u C

2

u du  tanh u  C

2

u du   coth u  C

ua a2 a  u 2  C 2au  u du  2au  u  cos1  a  2 2 2

1 2



1 a  u    C  cos  a  2a u  u 2

du

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2u  au  3a 2 a3 a  u  C 2au  u 2  cos1  a  6 2

u

2au  u 2 du 



2a u  u 2 a  u  C du  2a u  u 2  a cos1 2  a  u



2a u  u 2 2 2a u  u 2 a  u  C du    cos1 2  a  u u



u 2du 2au  u 2



u  3a  2

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2au  u 2 



CICLO: III

a  u  C   2a u  u 2  a cos1  a  2au  u u du

2

2a u  u 2  C  au u 2a u  u2 du

3a 2  a u cos 1  C 2  a 

Vectores A  B  A B cos

0 

donde  es el ángulo formado por A y B

A  B  A1 B1  A2 B2  A3 B3 





donde A  A1 i  A2 j  A3 k , B  B1 i  B2 j B3 k

Son resultados fundamentales: 





i j k Producto cruz: AxB  A1 A2 A3 B1 B2 B3   A2 B3  A3 B 2 ˆi   A3 B1  A1 B3 ˆj   A1 B 2  A2 B1 kˆ

Magnitud del Producto Cruz

AxB  A B sen 

El operador nabla se define así: Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com

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CICLO: III

     j k x y z



 i

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.      U  U  U  Gradiente de U = grad U  U  i   j   k  U  i j k  z x y z  x y

          Divergencia de A = div A    A   i    A1 i  A2 j A3 k  j k y  z    x



A1 A2 A3   x  y z

          x A1 i  A2 j A3 k  j k Rotacional de A = rot A  xA   i y  z    x









i

j

k

 x

 y

 z

A1

A2

A3

 A A    A A    A A     3  2  i   1  3  j  2  1  k   y z   z x   x  y Laplaciano de U =  2U    U  

 2U  2U  2U    x2  y2  z2

Integrales Múltiples

  b

f2 ( x)

x  a y  f1  x 

 x  a b



F  x , y  dydx

f2 ( x)

y  f1  x 



F  x , y  dy dx

donde y  f1 x e y  f 2  x  son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

  d

g2 ( y )

y  c x  g1  y 

d  g2 ( y )  F  x , y  dxdy       F  x, y dx dy y  c  x  g1 y 

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CICLO: III

donde x  g1 ( y) , x  g2 ( y) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. t  s  s(t )  a r (t ) dt

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .

En parámetro arbitrario:   r (t ) t (t )   r (t )

En parámetro s:

Vector normal principal

   n (t )  b (t )x t (t )

  t ( s)  r ( s)  r( s)  n ( s)   r ( s)

Vector binormal

   r xr (t ) b (t )    r x r (t )

   r ( s) xr( s) b ( s)   r( s)

Vector tangente unitario

            Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo b  t xn , n  b xt , t  nxb





Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial:

Ecuación paramétrica

x  x0 y  y0 z  z0   x0 y0 x0

   r    r  t 0   r  t 0 

  Plano osculador  t , n  en t 0 Ecuación vectorial



 

Ecuación paramétrica



    r  r  t0   r  t0  xr  t0   0

x  x0 x 0 x 0

y  y0 y 0 y 0

z  z0 z 0  0 z 0

Curvatura y Torsión

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  r  t  xr  t  t   3 r  t 

CICLO: III

   r  t    r  t  xr  t    t    2 r  t  xr  t 

   s  r s



f ' ' ( x) [1  ( f ' ( x )) 2 ]

3

2

Plano Normal Ecuación vectorial:

Ecuación paramétrica:

 r  r t    r t   0   Plano Rectificante  t , b  en t

x0  x  x0   y0  y  y0   z0  z  z0   0

0

0

0

Ecuación vectorial:



Ecuación paramétrica:

x - x0 x 0 y 0 z 0  y 0z 0



   r  r  t0   n t0   0

y - y0 y 0 z 0 x 0  z 0x 0

z - z0 z 0 0 x 0 y 0  x 0y 0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

a

T



 

 a T 



. a 





a

N



 x a

 

a.N 





Propiedades de la Divergencia 







i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G ) 





ii) div (  F ) =  div( F ) + ( grad  )  F 



iii) div ( F + G ) = G 





rot ( F )



 - F  rot



(G )



Transformada de Laplace Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com

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CICLO: III



L

{ f (t )}   e  st f (t )dt 0

No

f(t)

F(s)

1

C (constante)

C s

2

tn

n! ,n=0y nN s n1

3

tn

(n  1) s n 1

4

eat

1 sa

5

senhat

a s  a2

6

coshat

s s  a2

7

senkt

k s  k2

8

coskt

s s  k2

9

e at f (t )

F (s  a)

10

f (t  a)U (t  a)

e  as F (s)

11

t n f (t )

(1) n F ( n) (s)

12

f (t ) t

2

2

2

2



 F ( p)dp s

f ( n ) (t )

s n F (s)  s n1 f (0)  s n2 f ' (0)  . . . f ( n1) (0)

 f ( )d

F (s) s

13 t

14

, n > -1

0

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CICLO: III

t

f  g   f ( ) g (t   )d

15

F ( s)G ( s)

0

f (t ) . Función periódica

1 1  e  sT

16 de periodo T

T

 f (t )e

 st

dt

0

Fórmulas misceláneas Área en coordenadas polares

1  2 r dr 2 

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t  R

x  at  sen t  Trabajo

W

y  a1 cos t 



b

a

   a b Comp b a   b

  F  dr

Longitud de arco de y  f  x 

m     x, y dA R

en

 a, b  a

b

1  ( y) 2 dx M y    x x, y dA

M x    y x, y dA

R

R

b

x

Centro de gravedad de una región plana

 

a b a

Longitud de arco en forma paramétrica L  





xf ( x)dx ,

f ( x)dx

2

1 b  f ( x)2 dx  a y 2 b  f ( x)dx a

2

 dx   dy       dt  dt   dt 





Momento de inercia de R respecto al origen  I o    x 2  y 2  x, y dA R

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x: S  2 F ( x) 1 f ( x) d x b

2

a

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com

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CICLO: III

b

V   2  t F (t )d t a

b

V     f x  dx

b

V  A( x)dx

Cálculo del volumen

2

a

a

Ecuación diferencial de primer orden

y  P( x) y  Q( x)

ye 

Solución

P ( x ) dx

  Q( x )e 



P ( x ) dx

dx  k

t 2

Ecuación del resorte helicoidal

r (t )  cos t ,sen t ,

Derivada direccional

  Du f  x, y, z  f  x, y, z  u ( u vector unitario)

Lq  Rq 

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC

Fuerza ejercida por un fluído

1 q  E t  C

b

F    y  L( y)dy a

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo

F   A 2 x0 g   A 2 x g

Series de Fourier Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L] f ( x) 

a0    n x   n x    a n cos   bn sin   2 n 1   L   L 

Donde 1 f ( x)dx L L

1  n x  f ( x) cos  dx  L L  L 

an 

Serie de Fourier para una función par en [-L, L]

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f ( x) 

1  n x  f ( x) sin   dx  L L  L  L

L

L

a0 

bn 

 a0  n x    a n cos  2 n 1  L 

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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA L

a0 

Donde

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2 f ( x)dx L 0

CICLO: III

2  n x  f ( x) cos  dx  L0  L  L

an 

  n x  Serie de Fourier para una función impar en [-L, L] f ( x)   bn sin    L  n 1

2  n x  bn   f ( x) sin   dx L0  L  L

Donde

Serie de Fourier para una función definida en [0, L]

f ( x) 

a) Serie de Cosenos

 a0  n x    a n cos  2 n 1  L 

L

2 a0   f ( x)dx L0

Donde

2  n x  a n   f ( x) cos  dx L0  L  L

  n x  f ( x)   bn cos   L  n 1

b) Serie de Senos

2  n x  bn   f ( x) sin   dx L0  L  L

Donde



f ( x)   Cn e

Serie Compleja de Fourier en [-L, L]

i n x L



Donde

Cn 

1 2



 f ( x) e



i n x L

dx



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