DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
TEMA: FORMULARIO MATEMÁTICO TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503B
CICLO: III
MATERIAL ADICIONAL SEMESTETRE: 2017 - II
FORMULARIO MATEMÁTICO Geometría
r
Volumen r 4 3
3
Área de la Superficie 4 r 2
r
Volumen
r 2h
h
Área de la superficie lateral 2 rh
r
Volumen 13 r 2h
h
l
Área de la superficie lateral r r 2 h 2 r l
Volumen 13 h a 2 a b b 2 Área de la superficie lateral
a b h 2 b a
a
2
a b l
l h
b
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Trigonometría sen 2 A cos2 A 1
sen 2 A 21 21 cos 2 A
sec 2 A tan 2 A 1
cos2 A 21 21 cos 2 A
csc 2 A cot 2 A 1
sen 2 A 2 sen A cos A
tan A
sen A cos A
cos 2 A cos2 A sen 2 A
cot A
cos A sen A
sen A B sen A cos B cos A sen B
sen A csc A 1
cos A B cos A cos B sen A sen B
cos A sec A 1
tan A B
tan A cot A 1
sen A sen A
tanA tanB 1 tanAtanB
sen
A 1 cos A 2 2
cos
A 1 cos A 2 2
cos A cos A
sen A sen B
1 2
cos A B cos A B
tan A tan A
sen A cos B
1 2
sen A B sen A B
cos A cos B
1 2
cos A B cos A B
Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos
a b c sen A sen B sen C
Ley de los cosenos c 2 a 2 b 2 2 a b cos C Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b tan A B a b tan A B 1 2 1 2
A
b
c C
B
a
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
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Números Complejos Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r cos
i sen r p cos p i sen p p
Sea n cualquier entero positivo y p 1 n , entonces
r cos
i sen
1
n
r
1
n
cos n2 k i sen n2 k
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k 0,1,2, , n 1
Geometría Analítica del Espacio Considerando P1 x1 , y1 , z1 y P2 x2 , y2 , z2 Vector que une P1 y P2: PP 1 2 Distancia entre dos puntos: d
x
2
x1 , y2 y1 , z2 z1 l, m, n
x
2
x1 y2 y1 z2 z1 l 2 m2 n 2 2
2
2
Recta que pasa por dos puntos: - Forma Paramétrica:
y y1 mt
x x1 l t
z z1 nt
-Forma Simétrica: x x1 l
t
t
y y1 m
t
z z1 n
Cosenos Directores:
cos
x2 x1 l d d
cos
y2 y1 m d d
cos
z2 z1 n d d
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
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Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a1 ,a 2 ,a 3 : a1 x x1 a2 y y1 a3 z z1 0
-Forma General: Ax By Cz D 0
cos2 cos2 cos2 1
l 2 m2 n2 1
o
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
d
Ax 0 By 0 Cz0 D A2 B2 C2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas:
z
{
P
x r cos y r sen z z
2 2 r x y y o tan 1 x z z
(x,y,z) (r,z)
z
O
y r
x
y
x
Coordenadas esféricas:
z
{
P
x r sen cos r x2 y2 z2 y y r sen sen o tan 1 x z r cos 1 z cos x 2 y 2 z 2
(x,y,z) (r,
r
z
O x
y
y
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
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m2 m1 1 m1m2
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Limites notables 1) 5)
9)
Lim x 0
senx 1 x
x 1 senx 1 cos x Lim 0 x 0 x
2)
Lim x 0
Lim cos x 1
6)
x Lim 1 x 0 tan x
10)
x 0
tan Kx Lim 1 x 0 Kx
3)
Lim senx 0
7)
Lim x 0
x 0
1 cos x 1 2 x2
8)
x
11)
senKx 1 Kx tan x Lim 1 x 0 x
4) Lim
x 0
1 lim 1 e x x
1
12)
lim 1 x x e x 0
Reglas Generales de Derivación d (c) 0 dx
d cx c dx
d cx n ncx n1 dx
d du dv dw u v w dx dx dx dx
d du cu c dx dx
d dv du uv u v dx dx dx
d dw dv du uvw u v u w v w dx dx dx dx
du dv d u v dx u dx dx v v2
d n du u nun1 dx dx
dF dF du (Regla de la cadena) dx du dx
du 1 dx dx du
dF dF du dx dx du
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
log a e du d log a u dx u dx
a 0,
a 1
d d 1 du ln u log e u dx dx u dx d u du a a u ln a dx dx d u du e eu dx dx Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com
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d v d v lnu d du dv u e ev lnu v ln u vuv1 uv ln u dx dx dx dx dx
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d du sen u cosu dx dx
d du cot u csc2 u dx dx
d du cos u sen u dx dx
d du sec u sec u tan u dx dx
d du tan u sec 2 u dx dx
d du csc u csc u cot u dx dx
d 1 du sen 1 u dx 1 u2 dx
2 sen 1 u
d 1 du cos1 u dx 1 u2 dx
0 cos1 u
d 1 du tan 1 u dx 1 u2 dx
2 tan 1 u
d 1 du cot 1 u dx 1 u2 dx
2
2
0 cot 1 u
d 1 du 1 du sec1 u dx u u 2 1 dx u u 2 1 dx
si si
0 sec1 u 2 1 2 sec u
d 1 du 1 du csc1 u 2 dx u u 1 dx u u 2 1 dx
si 0 csc1 u 2 si 2 csc1 u 0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d du senh u cosh u dx dx
d du coth u csc h2 u dx dx
d du cosh u senh u dx dx
d du sec h u sec h u tanh u dx dx
d du tanh u sec h2u dx dx
d du csc h u csc h u coth u dx dx
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d 1 du sen h-1u 2 dx u 1 dx d 1 du cos h-1u dx u2 1 dx
si si
d 1 du tanh 1 u dx 1 u2 dx
1 u 1
d 1 du coth1 u dx 1 u2 dx
u 1
d 1 du sec h-1u dx u u2 1 dx
cosh1 u 0, u 1 cosh1 u 0, u 1
o
u 1
si
sec h1u 0,
si
sec h1u 0,
d 1 du 1 du csc h -1u 2 dx u 1 u dx u 1 u 2 dx
0 u 1 0 u 1 u 0,
si
si
u 0
Tablas de Integrales
csc u cot udu csc u C
u dv uv v du u du n 1 u 1
n
n1
u
ln u C
e
du eu C
du u
C
n 1
tan u du ln sec u C
cot udu ln sen u C sec u du ln sec u tan u C
a du ln a C
csc udu ln csc u cot u C
sen udu cos u C
u
au
cos u du sen u C
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du a u
a
2
2
2
sen1
u C a
du 1 u tan 1 C 2 a a u
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sec
csc
2
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u du tan u C
2
udu cot u C
sec u tan u du sec u C
a 2 u 2 du
u
2
a 2 u 2 du
du u u a
a u
u 2 du
2
2
2
1 1 u sec C a a
du 1 ua ln C 2 a 2a u a
a
1 a 2 u2 a ln C a u u a 2 u2 du
u2
du 2
a 2 u2 C a 2u a 2 u2 du
u
2 3/ 2
a 2 u 2 du
a 2 u 2 du
u a
u 2 a2 a u 2 ln u a 2 u 2 C 2 2
2
a 2 u2
C
u 2 a2 u a u 2 sen 1 C 2 2 a
u 2 a 2 u 2 du
ln u a 2 u2 C
CICLO: III
du 1 ua ln C 2 u 2a u a
u 2 a2 a 2u 2 a 2 u 2 ln u a 2 u 2 C 8 8
a 2 u2 a 2 u2 du ln u a 2 u 2 C 2 u u
a 2 u2
2
u 2 a2 a u 2 ln u a 2 u 2 C 2 2
a 2 u2 a a 2 u2 du a 2 u2 a ln C u u
du
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u a4 u 2u 2 a 2 a 2 u 2 sen 1 C 8 8 a
a 2 u2 a a 2 u2 2 2 du a u a ln C u u
a 2 u2 1 2 u du a u 2 sen 1 C 2 u u a
u 2 a2 2 u a du u a ln u u 2 a 2 C 2 2
u 2 du
u
a 2 u2
a 2 u2
u 2 a2 u a u 2 sen 1 C 2 2 a
1 a a 2 u2 C 2 2 a ln u u a u du
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2
2
2
u 2 a 2 du
u 2 2 2 2 a4 2u a u a ln u u2 a 2 C 8 8
u2 a 2 a du u 2 a 2 a cos1 C u u
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du u2 a 2 u2
a
2
u 2 2 du 3
du
a 2 u2
3
2
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
1 a 2 u2 C 2 au
u a
a u 2
2
C
u 2 du 1 a bu 2b 3 a bu 2 4a a bu 2a 2 ln a bu C
u a bu a ln a bu C
2
du
1
u
u a bu au a du
1
2
b 2
ln
du u a 2
du u2 u2 a 2 du
u
2
a
2
udu
2
u a bu
du
u 2 du
a bu
2
2
a 1 ln a bu C b a bu b 2
1 b3
u
1 1 a bu 2 ln C a a bu a u a2 a bu 2a ln a bu C a bu
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n
u
2
u2 a 2 C a 2u u a 2 u2 a 2
C
du 1 a bu a ln C , si a 0 a bu a a bu a
2 a bu tan 1 C , si a 0 a a
a bu du du 2 a bu a u u a bu
a bu a bu b du du 2 u u 2 u a bu
a bu du
3
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 C 2 2
u2 du 2 8a 2 3b2u2 4abu a bu a bu 15b3
a bu
u2 a2
u
a bu C u
ln u u2 a 2 C
2
u 2 du
udu 1 a bu b a bu a ln a bu C
CICLO: III
u2 a 2 u2 a 2 du ln u u 2 a 2 C 2 u u
u 3a 4 u 2u 2 5a 2 a 2 u 2 sen 1 C 8 8 a
2
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u n du a bu n
2 3 u n a bu 2 na u n 1 a bu du b 2n 3
2u n a bu 2na u n 1 du b 2n 1 b 2n 1 a bu
du a bu b 2n 3 du n 1 n 1 a n 1 u 2a n 1 u a bu a bu
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u
a budu
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2 3 2 C 2 3bu 2a a bu 15b
udu 2 2 bu 2a a bu a bu 3b
sen
csc
udu 21 u 14 sen 2u C
cos
2
udu 21 u 41 sen 2u C
tan
u du tan u u C
cot
u du cot u u C
tan
2
cot
sen
2
u du n1 cosn1 u sen u
n 1 senn2 u du n
n 1 cosn2 u du n
u du
1 tan n 1u tan n 2 u du n 1
n
u du
1 cot n1 u cot n2 u du n 1
sec
n
u du
1 n2 tanu secn2 u secn2 u du n 1 n 1
csc
n
u du
1 n2 cot u cscn2 u cscn2 u du n 1 n 1
n
udu 13 2 sen2 u cos u C
3
cos udu 2 cos u sen u C 3
tan
u du n1 senn1 u cos u
n
n
CICLO: III
udu 21 csc u cot u 21 ln csc u cot u C
3
sen
2
cos
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1 3
3
2
u du 12 tan 2 u ln cos u C
cot
3
udu 21 cot 2 u ln sen u C
sen au sen bu du
sen a b u sen a b u C 2 a b 2 a b
sec
3
u du 21 sec u tanu 21 ln sec u tanu C
cos au cos bu du
sen a b u sen a b u C 2 a b 2 a b
sen au cos bu du
cos a b u cos a b u C 2 a b 2 a b
u
n
cos udu un sen u n un1 sen udu
sen u sen udu sen u u cos u C
u cos u du cos u u sen u C u
n
sen udu un cos u n un1 cos udu
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n
u cosm udu
sen n1 u cosm1 u n 1 sen n 2 u cosm u du nm nm sen n1 u cosm1 u m 1 sen n u cosm 2 u du nm nm
u cos
1
u du
2u 2 1 1 u 1 u2 cos u C 4 4
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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA 1 utan u du
sen
1
tan
CICLO: III
u 2 1 u tan 1u C 2 2
u du u sen 1 u 1 u 2 C
u
n
sen 1 u du
1 n1 u n1du 1 u sen u n 1 1 u2
, n 1
u du u cos1 u 1 u 2 C
u
n
cos1 u du
1 n1 u n1du 1 u cos u n 1 1 u2
, n 1
1
cos
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1
u du u tan 1u 12 ln 1 u 2 C
n 1 u tan udu
1 n 1 1 u n 1 du u tan u , n 1 n 1 1 u 2
2u 2 1 1 u 1 u2 u sen u du 4 sen u 4 C 1
ue
au
u e
du
n au
1 au 1 eau C a2
du
1 n au n n1 au u e u e du a a
e au e sen bu du a 2 b2 a sen bu b cos bu C au
e
au
cos bu du
ln udu u ln u u C u
ln u du
n
u n1 n 1 ln u 1 C n 1 2
u ln u du ln ln u C 1
e au a cos bu b sen bu C a 2 b2
senh udu cosh u C
sech u du ln tan
cosh udu senh u C
sech
tanh u du ln cosh u C
csch
coth udu ln senh u C
sech u tanh u du sech u C
sech u du tan
csch u coth u du csch u C
1
senh u C
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u C
2
u du tanh u C
2
u du coth u C
ua a2 a u 2 C 2au u du 2au u cos1 a 2 2 2
1 2
1 a u C cos a 2a u u 2
du
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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
2u au 3a 2 a3 a u C 2au u 2 cos1 a 6 2
u
2au u 2 du
2a u u 2 a u C du 2a u u 2 a cos1 2 a u
2a u u 2 2 2a u u 2 a u C du cos1 2 a u u
u 2du 2au u 2
u 3a 2
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2au u 2
CICLO: III
a u C 2a u u 2 a cos1 a 2au u u du
2
2a u u 2 C au u 2a u u2 du
3a 2 a u cos 1 C 2 a
Vectores A B A B cos
0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A1 B1 A2 B2 A3 B3
donde A A1 i A2 j A3 k , B B1 i B2 j B3 k
Son resultados fundamentales:
i j k Producto cruz: AxB A1 A2 A3 B1 B2 B3 A2 B3 A3 B 2 ˆi A3 B1 A1 B3 ˆj A1 B 2 A2 B1 kˆ
Magnitud del Producto Cruz
AxB A B sen
El operador nabla se define así: Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com
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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
CICLO: III
j k x y z
i
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales. U U U Gradiente de U = grad U U i j k U i j k z x y z x y
Divergencia de A = div A A i A1 i A2 j A3 k j k y z x
A1 A2 A3 x y z
x A1 i A2 j A3 k j k Rotacional de A = rot A xA i y z x
i
j
k
x
y
z
A1
A2
A3
A A A A A A 3 2 i 1 3 j 2 1 k y z z x x y Laplaciano de U = 2U U
2U 2U 2U x2 y2 z2
Integrales Múltiples
b
f2 ( x)
x a y f1 x
x a b
F x , y dydx
f2 ( x)
y f1 x
F x , y dy dx
donde y f1 x e y f 2 x son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
d
g2 ( y )
y c x g1 y
d g2 ( y ) F x , y dxdy F x, y dx dy y c x g1 y
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CICLO: III
donde x g1 ( y) , x g2 ( y) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. t s s(t ) a r (t ) dt
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .
En parámetro arbitrario: r (t ) t (t ) r (t )
En parámetro s:
Vector normal principal
n (t ) b (t )x t (t )
t ( s) r ( s) r( s) n ( s) r ( s)
Vector binormal
r xr (t ) b (t ) r x r (t )
r ( s) xr( s) b ( s) r( s)
Vector tangente unitario
Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo b t xn , n b xt , t nxb
Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial:
Ecuación paramétrica
x x0 y y0 z z0 x0 y0 x0
r r t 0 r t 0
Plano osculador t , n en t 0 Ecuación vectorial
Ecuación paramétrica
r r t0 r t0 xr t0 0
x x0 x 0 x 0
y y0 y 0 y 0
z z0 z 0 0 z 0
Curvatura y Torsión
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E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA
r t xr t t 3 r t
CICLO: III
r t r t xr t t 2 r t xr t
s r s
f ' ' ( x) [1 ( f ' ( x )) 2 ]
3
2
Plano Normal Ecuación vectorial:
Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 Plano Rectificante t , b en t
x0 x x0 y0 y y0 z0 z z0 0
0
0
0
Ecuación vectorial:
Ecuación paramétrica:
x - x0 x 0 y 0 z 0 y 0z 0
r r t0 n t0 0
y - y0 y 0 z 0 x 0 z 0x 0
z - z0 z 0 0 x 0 y 0 x 0y 0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
a
T
a T
. a
a
N
x a
a.N
Propiedades de la Divergencia
i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G )
ii) div ( F ) = div( F ) + ( grad ) F
iii) div ( F + G ) = G
rot ( F )
- F rot
(G )
Transformada de Laplace Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com
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CICLO: III
L
{ f (t )} e st f (t )dt 0
No
f(t)
F(s)
1
C (constante)
C s
2
tn
n! ,n=0y nN s n1
3
tn
(n 1) s n 1
4
eat
1 sa
5
senhat
a s a2
6
coshat
s s a2
7
senkt
k s k2
8
coskt
s s k2
9
e at f (t )
F (s a)
10
f (t a)U (t a)
e as F (s)
11
t n f (t )
(1) n F ( n) (s)
12
f (t ) t
2
2
2
2
F ( p)dp s
f ( n ) (t )
s n F (s) s n1 f (0) s n2 f ' (0) . . . f ( n1) (0)
f ( )d
F (s) s
13 t
14
, n > -1
0
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CICLO: III
t
f g f ( ) g (t )d
15
F ( s)G ( s)
0
f (t ) . Función periódica
1 1 e sT
16 de periodo T
T
f (t )e
st
dt
0
Fórmulas misceláneas Área en coordenadas polares
1 2 r dr 2
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t R
x at sen t Trabajo
W
y a1 cos t
b
a
a b Comp b a b
F dr
Longitud de arco de y f x
m x, y dA R
en
a, b a
b
1 ( y) 2 dx M y x x, y dA
M x y x, y dA
R
R
b
x
Centro de gravedad de una región plana
a b a
Longitud de arco en forma paramétrica L
xf ( x)dx ,
f ( x)dx
2
1 b f ( x)2 dx a y 2 b f ( x)dx a
2
dx dy dt dt dt
Momento de inercia de R respecto al origen I o x 2 y 2 x, y dA R
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x: S 2 F ( x) 1 f ( x) d x b
2
a
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com
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CICLO: III
b
V 2 t F (t )d t a
b
V f x dx
b
V A( x)dx
Cálculo del volumen
2
a
a
Ecuación diferencial de primer orden
y P( x) y Q( x)
ye
Solución
P ( x ) dx
Q( x )e
P ( x ) dx
dx k
t 2
Ecuación del resorte helicoidal
r (t ) cos t ,sen t ,
Derivada direccional
Du f x, y, z f x, y, z u ( u vector unitario)
Lq Rq
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC
Fuerza ejercida por un fluído
1 q E t C
b
F y L( y)dy a
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo
F A 2 x0 g A 2 x g
Series de Fourier Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L] f ( x)
a0 n x n x a n cos bn sin 2 n 1 L L
Donde 1 f ( x)dx L L
1 n x f ( x) cos dx L L L
an
Serie de Fourier para una función par en [-L, L]
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f ( x)
1 n x f ( x) sin dx L L L L
L
L
a0
bn
a0 n x a n cos 2 n 1 L
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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA L
a0
Donde
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2 f ( x)dx L 0
CICLO: III
2 n x f ( x) cos dx L0 L L
an
n x Serie de Fourier para una función impar en [-L, L] f ( x) bn sin L n 1
2 n x bn f ( x) sin dx L0 L L
Donde
Serie de Fourier para una función definida en [0, L]
f ( x)
a) Serie de Cosenos
a0 n x a n cos 2 n 1 L
L
2 a0 f ( x)dx L0
Donde
2 n x a n f ( x) cos dx L0 L L
n x f ( x) bn cos L n 1
b) Serie de Senos
2 n x bn f ( x) sin dx L0 L L
Donde
f ( x) Cn e
Serie Compleja de Fourier en [-L, L]
i n x L
Donde
Cn
1 2
f ( x) e
i n x L
dx
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