Integral indefinida Problemas by Miguel Perez

Analysis Integral indefinida. Problemas

OpenMaths.com 1.1.4.7.2

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.7.1 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.7.1

INTEGRAL INDEFINIDA (Problemas)

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 26/01/2010

EJERCICIOS PROPUESTOS

∫(x

+ x3 + x 2 + x + 1) dx

 1

∫  x ∫x

∫

x3 dx

x2 3

∫(x

1 1 1 + +  dx x3 x 2 x 

− 2 x − 10 ) dx

∫ ( sin x + 3 tan x ) dx ∫(x

∫ (t

− 1) dx 2

− 1) tdt

2 x3 − 7 x 2 − 4 dx ∫ x2 2 x3 − 4 ∫ x dx

∫ 2 x (1 + x )

2 3

∫ x( x

− 3) dx

∫ cos x sin 

∫  3x ∫

xdx

+ cos x +

x2 1 + x3

  dx x2 + 1  7

x2 ∫ 2x3 − 7 dx

∫ (1 + tan x )

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 1

2 x ∫ 5 x ⋅ e dx

∫ sin x ⋅ e

∫

cos x

∫ 5x

⋅ sin x3dx

13x

∫ cos (5x) ∫ csc

3xdx

 x −1  sec2   dx  x 

∫x

∫ sec 2 x ⋅ tan 2xdx ∫ x ⋅ csc x

cot x 2 dx

sin 2 x dx 2 2x

∫ cos

∫

2 1 − 4 x2 1

∫ 1+ 9x ∫ 6x

∫

1 2

−1

1 25 x 2 + 1 1

∫ 4− x

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 2

∫

9 − x 2 dx

∫

8 − x 2 dx

∫ x ln xdx = ∫ x sin xdx = ∫e ∫x

sin xdx = 1 + xdx =

2 x 2 − 10 x + 2 ∫ x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 dx x2 ∫ ( x − 1)3 dx

2x2 − x − 3 ∫ x4 + x2 dx 3x 5 -2x 4 -3x 3 +11x 2 -12x+6 ∫ 3x 4 - 6 x3 + 9 x 2 -12 x + 6 dx = ...

∫ sin

x ⋅ cos4 xdx

∫ sin ∫ sin

x ⋅ cos 3 xdx

x ⋅ cos 2 xdx

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 3

Soluciones 1 5 1 4 1 3 1 2 1 x + x + x + x + x +C 5 4 3 2 −1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 ∫  x 4 + x3 + x 2 + x  dx = ∫ x4 dx + ∫ x3 dx + ∫ x2 dx + ∫ x dx = 4 x5 − 3x4 − 2 x3 + ln x + C

∫(x

∫x

∫

+ x3 + x 2 + x + 1) dx = ∫ x 4 dx + ∫ x 3dx + ∫ x 2 dx + ∫ xdx + ∫ 1dx =

3 2

x2 2 9 x3 dx = ∫ x 2 x dx = ∫ x dx = +C = x +C 7 9 +1 2

−2 3

x2 3

7 2

4 3

x3 3 dx = ∫ x 2 x dx = ∫ x dx = + C = 3 x7 + C 4 7 x2 +1 3

∫(x

1 1 1 − 2 x − 10 ) dx = ∫ x 2 dx − 2 ∫ xdx − 10 ∫ 1dx = x3 − 2 x 2 − 10 + C = x 3 − x 2 − 10 + C 3 2 3

∫ ( sin x + 3tan x ) dx = ∫ sin xdx + 3∫ tan xdx = − cos x − 3ln cos x + C ∫(x

∫ (t

− 1) dx = ∫ ( x 4 − 2 x 2 + 1) dx = ∫ x 4 dx − 2 ∫ x 2 dx + ∫ 1dx = 2

(

− 1) tdt = ∫ t

)

t − t dt = ∫ t

5 2

1 5 2 3 x − x + x+C 5 3 1 2

2 7 2 3 t − t +C 7 3

tdt − ∫ tdt = ∫ t dt − ∫ t dt =

2 x3 − 7 x 2 − 4 x3 x2 1 1 1 2 7 dx = dx − dx − 4∫ 2 dx = 2∫ xdx − 7∫ 1dx − 4∫ 2 dx = x 2 − 7 x + 4 + C 2 2 2 ∫ ∫ ∫ x x x x x x 5 −1 7 1 3 3 x 2x − 4 1 4 4 7 ∫ x dx = 2∫ x dx − 4∫ x dx = 2∫ x 2 dx − 4∫ x 2 dx = 7 x 2 + 8 x 2 + C = 7 x + 8 x + C 1 − x2 ) ( u ( x) 4 ∫ u '( x) ( u( x) ) dx = 4 + C = 4 + C 4

∫ 2 x (1 + x )

2 3

= {

u ( x ) =1− x 2 ;u '( x ) = 2 x

x 2 − 3) ( 1 1 1 u ( x) 2 2 +C = +C 2 x ( x − 3) dx = ∫ u '( x)u ( x)dx = 2∫ 2 2 2 4 2

∫ x(x

− 3) dx

= {

u ( x ) = x 2 −3;u '( x ) = 2 x

( sin x ) + C u ( x) 4 x xdx = u x u x dx = + C = cos sin '( ) ( ) ( ) ∫ ∫ { 4 4 u ( x ) =sin x ;u '( x ) =cos x 4

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 4

∫ 3x

+ cos x +

x +1

1 2

x +1

dx = x3 + sin x + 7 ln x + x 2 + 1 + C

2 u ( x) 1 3x 2 2 u '( x) 2 1 + x3 dx = dx = ∫ dx = +C = +C 3 ∫ 1 + x3 3 2 u ( x) 3 3 1 + x3 u ( x )=1{ 3 2 + x ;u '( x ) =3 x

∫

x2 ∫ 2 x3 − 7 dx

∫ (1 + tan x )

= {

u ( x ) = 2 x3 − 7;u '( x ) = 6 x

∫ 5x

sin x −u '( x) dx = = x − dx = tan x − 2ln u ( x) + C = tan x − 2ln cos x + C tan 2 ∫ { u x cos x ( ) u ( x ) = cos x ;u '( x ) =− sin x

⋅ e x dx cos x

u ( x )=cos x;u '( x )=− sin x

∫ 5x

= {

u ( x )= x ;u '( x )=

⋅ sin x3dx

13x 2

∫ csc 2

1 2 x

2∫

= {

3 xdx

5 5 5 5 3x 2 ⋅ sin x3dx = ∫ u '( x) ⋅ sin u ( x)dx = − cos u ( x) + C = − cos x 3 + C ∫ 3 3 3 3 2

= {

− ∫ − sin x ⋅ ecos x dx = ∫ u '( x) ⋅ eu ( x) dx = −eu ( x) + C = −ecos x + C

ex dx = 2∫ u '( x) ⋅ eu ( x ) dx = 2eu ( x ) + C = 2e x + C 2 x

u ( x ) = x3 ;u '( x ) = 3 x

∫ cos (5x)

3 5 5 5 5 3 3x 2 ⋅ e x dx = ∫ u '( x) ⋅ eu ( x ) dx = eu ( x ) + C = e x + C ∫ 3 3 3 3 2

= {

∫x

= {

u ( x ) = x3 ;u '( x ) = 3 x

∫ sin x ⋅ e

ln 2 x3 − 7 1 6 x2 1 u '( x) 1 dx = ∫ dx = ln u ( x) + C = +C 6 ∫ 2 x3 − 7 6 u ( x) 6 6 2

dx = ∫ (1 + 2 tan x + tan 2 x ) dx = ∫ ( sec2 x + 2 tan x ) dx = ∫ sec2 xdx + 2∫ tan xdx = ...

... = tan x + 2∫

∫

dx = x3 + sin x + C + 7 ∫

u ( x )=( 5 x ) ;u '( x ) =50 x

13 50 x 13 u '( x) 13 13 2 dx = ∫ 2 dx = tan u( x) + C = tan ( 5x ) + C 2 2 ∫ 50 cos (25x ) 50 cos u( x) 50 50

1 −1 −1 −1 −3csc 2 3 xdx = ∫ u '( x) csc 2 u ( x)dx = cot u ( x) + C = cot 3 x + C ∫ 3 3 3 3 u ( x ) =3 x ;u '( x ) = 2 = {

 x −1  sec2   dx  x 

= { u ( x)=

x −1 1 ;u '( x ) = 2 x x

3∫

1  x −1  2 sec2   dx = 3∫ u '( x)sec u ( x)dx = 3tan u ( x) + C = ... 2 x  x 

 x −1  ... = 3 tan  +C  x 

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 5

1 1 1 2sec 2 x ⋅ tan 2 xdx = ∫ u '( x)sec u ( x) tan u ( x)dx = sec u ( x) + C = ... ∫ 2 2 2 u ( x ) = 2 x ;u '( x ) = 2

∫ sec 2 x ⋅ tan 2xdx =

= {

1 ... = sec 2 x + C 2

∫ x ⋅ csc x ... =

cot x 2 dx

= {

u ( x ) = x 2 ;u '( x ) = 2 x

−1 −1 −2 x ⋅ csc x 2 cot x 2 dx = −u '( x) ⋅ csc u ( x) cot u ( x)dx = ... ∫ 2 2 ∫

−1 −1 csc u ( x) + C = csc x 2 + C 2 2

sin 2 x −1 −2sin 2 x −1 u '( x) 1 1 dx = dx = dx = + C = +C 2 2 2 ∫ ∫ x u x u x x 2 x u ( x ) =cos 2{ 2 cos 2 2 ( ) 2 ( ) 2 cos 2 x ;u '( x ) =−2sin 2 x

∫ cos

∫

2 1 − 4 x2 1

∫ 1 + 9x ∫

= {

u ( x ) = 2 x ;u '( x ) = 2

∫

1 − ( 2x )

dx = ∫

u '( x) 1 − u ( x) 2

dx = arcsin u ( x) + C = arcsin 2 x + C

1 3 1 u '( x) arctan u ( x) arctan 3x dx = ∫ dx = +C = +C 2 2 ∫ 3 1 + ( 3x ) 3 1 + u ( x) 3 3 u ( x ) =3 x ;u '( x ) =3 = {

1 25 − 16 x 2

1 = { 5∫ 4x 4

u ( x )=

;u '( x ) =

5 4 ⋅ 4 5

1 arcsin u ( x) u '( x ) dx = ∫ dx = +C = 2 2 4 4 − u x 1 ( ) x 4   1−    5 

arcsin 4

4x 5 +C

2 3 3x ⋅ arcsin 1 1 2 2arctan u ( x) u '( x) 2 3 ∫ 4 + 3x2 dx = {= 4 ∫  2 dx = 4 3 ∫ 1 + u( x)2 dx = 4 3 + C = 2 3 2 + C 3x 3x 3 u ( x )= ;u '( x ) = 1+   2 2  2 

∫x

∫ 6x ... =

1 2

x −9

1 2

−1 1

2 6

1 1 arcsec u ( x) u '( x) dx = ∫ dx = +C = ∫ 2 2 3 x  x 3 u ( x) u ( x) − 1 3 x 1 u ( x ) = ;u '( x ) = 3 3   −1 3 3 = {

= { u ( x ) = 6 x ;u '( x ) = 6

1 3

1 ∫ 6

(

)

6x −1

dx =

arc sec

1 u '( x) 1 1 u ( x) − 1 ⋅ ln + C = ... dx = 2 ∫ 6 u ( x) − 1 6 2 u ( x) + 1

6x −1 +C 6x +1

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 6

x 3 +C

∫

1 2

25 x + 1

1 5∫ u ( x ) = 5 x ;u '( x ) =5 = {

(5x )

dx =

1 u '( x) 1 dx = ln u ( x ) + u ( x) 2 + 1 + C = ... ∫ 2 5 5 u ( x) + 1

1 ... = ln 5 x + (5 x) 2 + 1 + C 5 1 ∫ 4 − x 2 dx

1 = { 2∫ x 1

u ( x ) = ;u '( x ) = 2 2

1 x 1+ + 1 '( ) 1 1 1 ( ) 1 u x u x 2 2 +C dx = ∫ dx = ⋅ ln + C = ln 2 2 2 1 − u ( x) 2 2 1 − u ( x) 4 1− x x 1−   2 2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 7

Ejemplo 1 2

∫

x = 9 − x dx = ∫ 3 1 −   dx ∫3 { 3 x = 3sin t ; dx =3cos tdt 2

(

)

1 − sin 2 t 3cos tdt = ∫ 9 cos 2 tdt = ...

9 9 9 9 9 9 1 1  ... = 9 ∫  + cos 2t dt = t + ∫ ( 2 cos 2t )dt = t + sin 2t + C = t + sin 2t + C = ... 2 4 2 4 2 4 2 2  2 9 9 x x x  9   arcsin + ... = t + ( 2sin t cos t ) + C = 1−    + C { 2 4 2 3 3  3   2  x x  x sin t = ;cos t = 1− ;t = arcsin 3

   3

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 8

Ejemplo 2 Aplicando directamente el resultado teórico:

∫

x x 8  + 8 − x 2 dx =  arcsin 8 − x2  + C 2 8 8 

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 9

Ejemplo 1

∫ x ln xdx = Solución Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral 1  u = ln x ⇒ du = dx  x2 x2 1 x 2 ⋅ ln x 1 2 x dx = − x +C  x ln xdx = ln x ⋅ − ∫ 2 2 x 2 4 x2  ∫ dv = xdx ⇒ v = ∫ xdx = 2 

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 10

Ejemplo 2

∫ x sin xdx = Solución Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral u = x ⇒ du = dx

  x sin xdx = − x ⋅ cos x − ∫ − cos xdx = − x cos x + sin x + C dv = sin xdx ⇒ v = ∫ sindx = − cos x  ∫ 

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 11

Ejemplo 3

∫e

sin xdx =

Solución Para esta integral hay que realizar dos veces el método u = sin x ⇒ du = cos xdx  x x x  e sin xdx = e sin x − ∫ e cos xdx = ... dv = e x dx ⇒ v = ∫ e x dx = e x  ∫  Si nuevamente integramos por partes ∫ e x cos xdx resulta u = cos x ⇒ du = − sin xdx  e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx x x x∫ dv = e dx ⇒ v = ∫ e dx = e   Entre ambas resulta:

(

)

x x x x x ∫ e sin xdx = e sin x − e cos x + ∫ e sin xdx ⇒ ∫ e sin xdx =

ex ( sin x − cos x ) + C 2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 12

Ejemplo 4

∫x

1 + xdx =

Solución u = x ⇒ du = cos xdx

 2x  2 3  ∫ x 1 + xdx = 3 dv = 1 + xdx ⇒ v = (1 + x )  3  2x 4 3 5 ... = (1 + x ) − (1 + x ) + C 3 15

(1 + x )

−∫

2 3

(1 + x )

dx = ...

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 13

Ejemplo

A A  2 x 2 − 10 x + 2 2 x 2 − 10 x + 2  A dx = ∫ x3 − 2 x2 − 5x + 6 ∫ ( x − 1)( x + 2 )( x − 3) dx = ∫  x −11 + x +2 2 + x −3 3  dx = ... Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3: A 2 x 2 − 10 x + 2 A A = 1 + 2 + 3 = ... ( x − 1)( x + 2 )( x − 3) x − 1 x + 2 x − 3

... =

A1 ( x + 2 )( x − 3) + A2 ( x − 1)( x − 3) + A3 ( x − 1)( x + 2 ) = ... ( x − 1)( x + 2 )( x − 3)

... =

( A1 + A2 + A3 ) x 2 + ( − A1 − 4 A2 + A3 ) x + ( −6 A1 + 3 A2 − 2 A3 ) 3 ( x − 1)

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 2 = A1 + A2 + A3  A1 = 1  −10 = − A1 − 4 A2 + A3  A2 = 2 2 = −6 A1 + 3 A2 − 2 A3  A3 = −1 De donde: 2 x 2 − 10 x + 2 1 2 1 ∫ x3 − 2 x 2 − 5x + 6 dx = ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x + 2 ) dx − ∫ ( x − 3) dx = ...

... = ln x − 1 − 2 ln x + 2 − ln x − 3 + C

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 14

Ejemplo  A x2 x2 A2 A3  1 dx dx = = + +  ∫ ( x − 1)3 ∫ ( x − 1)( x − 1)( x − 1) ∫  x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)3  dx = ...   Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3:

A1 ( x − 1) + A2 ( x − 1) + A3 A3 x2 A1 A2 = + + = = ... 3 ( x − 1)3 x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1)3 ( x − 1) 2

... =

A1 x 2 + ( A2 − 2 A1 ) x + ( A1 − A2 + A3 )

( x − 1)

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 1 = A1 A1 = 1   0 = A2 − 2 A1  A2 = 2 A1 = 2 0 = A1 − A2 + A3  A3 = A2 − A1 = 1 De donde: 1 2 1 x2 ∫ ( x − 1)3 dx = ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1)2 dx + ∫ ( x − 1)3 dx = ... ... = ln x − 1 −

2 1 − +C ( x − 1) 2 ( x − 1)2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 15

Ejemplo

 A A Mx + N  2 x2 − x − 3 2 x2 − x − 3 dx dx = = ∫ x4 + x2 ∫ x2 ( x2 + 1) ∫  x1 + x22 + ( x2 + 1)  dx = ...   Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N: 2 2 2 2 x 2 − x − 3 A1 A2 Mx + N A1 x ( x + 1) + A2 ( x + 1) + ( Mx + N ) x = + + = = ... x4 + x2 x x 2 ( x 2 + 1) x 2 ( x 2 + 1) A1 + M ) x3 + ( A2 + N ) x 2 + ( A1 + A2 ) ( ... = x 2 ( x 2 + 1)

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 0 = A1 + M  M = 1 2 = A2 + N  N = 5  −1 = A1  A1 = −1 −3 = A2  A2 = −3 De donde: x 2x2 − x − 3 1 3 5 ∫ x 4 + x 2 dx = −∫ x dx − ∫ x 2 dx + ∫ ( x 2 + 1)dx + ∫ ( x 2 + 1)dx = ... ... = − ln x +

3 1 + ln x 2 + 1 + 5 arctan x + C x 2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 16

Ejemplo 3x 5 -2x 4 -3x 3 +11x 2 -12x+6 ∫ 3x 4 - 6 x3 + 9 x 2 -12 x + 6 dx = ... Dividiendo los polinomios resulta (x+4/3) de cociente y -4x3+11x2-2x-2 de resto por lo que 4 4 −4 x3 + 11x 2 − 2 x − 2 −4 x3 + 11x 2 − 2 x − 2   dx x dx ... = ∫  x +  + 4 = + + 3 2 ∫  3  ∫ 3 ( x − 1)2 ( x 2 + 2 ) dx = ... + + x x x x 3 3 6 9 -12 6 1  1444 4 24444 3 424 3 cociente

resto divisor

A2 Mx + N  4 1  A   dx = ... + ... = ∫  x +  dx + ∫  1 + 3 3  x − 1 ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 )     Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N: A A2 Mx + N −4 x 3 + 11x 2 − 2 x − 2 = 1 + + 2 = ... 2 2 2 x − 1 ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2 )

( A1 + M ) x3 + ( − A1 + A2 − 2M + N ) x 2 + ( 2 A1 + M − 2 N ) x + ( 2 A1 + 2 A2 + N ) 2 ( x − 1) ( x 2 + 2 ) Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: −4 = A1 + M  M = 10 11 = − A1 + A2 − 2M + N  N = −8  −2 = 2 A1 + M − 2 N  A1 = −14 −2 = 2 A1 + 2 A2 + N  A2 = 17 De donde:  4 1 1 1 1 x  ... = ∫  x +  dx +  −14 ∫ + 10 − 8 dx + 17 ∫ dx dx dx 2 ∫ ( x2 + 2) ∫ ( x 2 + 2 )  = ... 3 3 x −1  − 1 x ( )  

... =

1 1 8 x2 4 x  + x +  −14 ln x − 1 − 17 + 5ln x 2 + 2 − arctan +C 2 3 3 ( x − 1) 2 2 

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 17

Ejemplo 3 4 ∫ sin x ⋅ cos xdx ={

t = cos x ; dt =− sin xdx ; sin x = 1− t 2

−

∫ (1 − t )

2 3

⋅t4

−1 1− t

dt = − ∫ (1 − t 2 )

3−1 2

⋅ t 4 dt = − ∫ ( t 4 − t 6 ) dt = ...

cos 5 x cos 7 x t5 t7 − +C = − − +C 5 7 5 7

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 18

Ejemplo

∫ sin

x ⋅ cos3 xdx = {

t = sin x ; dt = cos xdx ; cos x = 1− t 2

∫ t (1 − t ) 4

2 3

1 − t 2 dt = ∫ t 4 (1 − t 2 ) dt = ∫ ( t 4 − 2t 6 + t 8 ) dt = ... 2

t 5 2t 7 t 9 cos5 x cos 7 x cos9 x − + +C = − − + +C 5 7 9 5 7 9

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 19

Ejemplo x 1 1 − cos 2 2 x  1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  2 2 2 x xdx dx sin ⋅ cos = = ∫ ∫  2   2  ∫ 4 dx = 4 − 4 ∫ cos 2 xdx = ... x 1 1 + cos 4 x x x 1 x x 1 dx = − − ∫ cos 4 xdx = − − sin 4 x + C − ∫ 4 4 2 4 8 8 4 8 32

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 20

BOLETIN 1. NIVEL 2º BACH 1. Integra las siguientes funciones: ( x 2 − 1) 2 b) a) ∫ dx x

∫ x cos

∫ xe

∫e

∫

 1

∫  x

 + tg x  dx 

x dx

− x2

cos x dx

∫ (2 x

∫ arccos

 sen 6 x 5   + ∫  sen 3x 7 − 8 x  dx

x dx

+ 3) 2 dx

x 3 + 2x + 1 ∫ x 2 − x dx 2 sen x dx n) ∫ cos 5 x

∫ sen ( 2 − 3 x) dx

+ 2 ) e x dx

x2 −1 dx f) ∫ 3 x − 3x + 1

x 3 − 12 x + 10 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx dx m) ∫ 2 x − 5x + 6 x

2x + 1 dx e) ∫ 2 x +1

∫ (4 x

∫e

t) w)

∫

dx x

1 − 4x 4

∫ (x

− 3 x + 1) ln x dx

ln x dx x2 x3 + 1 dx o) ∫ 3 x − 3x + 2 l)

∫

5x 3 + 4x 2 − x − 3 dx ∫ x2

∫x

∫

sen x dx

3x 2 + 6 x x 3 + 3x 2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 21

Soluciones

2 9 4 5 x − x +2 x +C 9 5 1 c) − 2 − ln | cos x | +C 2x a)

b) (4 x 2 + 2)e x − 8( xe x − e x ) + C

sen x 2 +C d) 2

e) ln x 2 + 1 + arctg x + C

1 2 g) − e − x + C 2

  x 3 3x 2 1 3 + x  ln x − x 3 + x 2 − x + C i)  − 2 9 4   3

x2 + x − ln x + 4 ln x − 1 + C 2

m) − ln x − 2 + ln x − 3 + C

1 ln x 3 − 3 x + 1 + C 3 4 5 x + 4x3 + 9x + C 5

x2 1 1 + 4 x + ln x − 1 + ln x − 3 + C 2 2 2

1 1 l) − ln x − + C x x n)

1 +C 2 cos 4 x

2 7 7 − ln x + 2 + C ln x − 1 − 3( x − 1) 9 9

1 x e sen x + e x cos x + C 2

1 cos(2 − 3 x) + C 3

3 5 3 x + 4 x − ln x + + C 2 x

(

)

5 x +C s) 2 ln 5

t) − xe − x − e − x + C

u) − x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C

v) x arccos x − 1 − x 2 + C

w) y)

1 arcsen 2 x 2 + C 4

2 x 3 + 3x 2 + C

1 5 sen 3x − ln 7 − 8 x + C 3 8

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 22

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 1. Calcular las siguientes integrales: a)

b) ∫ 3 x − 2 dx

3 ∫ 2 x dx

∫

x dx

∫

x dx

∫ (x ) 3

∫x

−2

∫ (x

1 ∫ x 2 dx

∫

x dx x

∫ (x

+ 1) 2 2 x dx

∫ (x

− 5 x − 5 ) dx

x dx

2. Calcular las siguientes integrales: b) ∫ ( x 2 + 1) 2 x dx a) ∫ ( x + 1) 2 dx d) ∫ ( x 3 + 1)3 x 2 dx

+ 1) x 2 dx

e) ∫ x j)

∫

−

2 3

5 x dx

Calcular las siguientes integrales: a) ∫ ( 2 x − x 2 ) dx

b) ∫ ( 2 x 2 + 6 x + 4 ) dx

d) ∫ ( 4 + t + 2 t 2 ) dt

e) ∫ ( 0,3t 2 + 4t ) dt

1   f) ∫  5 x − x 2  dx 5  

3. Calcular las siguientes integrales: 1 2x + 1 b) ∫ 2 dx dx a) ∫ 2 (2 x + 1) ( x + x + 1) 2

1 dx d) ∫ 2 x + 2x + 1 g)

∫

x +1 dx x +1

x2 dx e) ∫ 3 ( x + 1) 5 h)

∫x

1 − x 2 dx

4. Calcular las siguientes integrales: 1 2 dx a) ∫ dx b) ∫ x ax

1 dx d) ∫ 3x + 5

ex dx e) ∫ 1+ ex

5. Calcular las siguientes integrales: b) ∫ e − x dx a) ∫ e x dx 2

d) ∫ e − x · x dx

e) ∫ e sen x cos x dx

c) ∫ ( x 3 − 6 x 2 + 9 x − 4 ) dx

∫ (2 x + 1)

∫

1 + x dx

x 3 x 2 +1

x2 dx c) ∫ 3 6x + 1 f)

∫ x ln x dx c) ∫ e 2 x dx f)

∫

e arcsen x 1− x2

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 23

6. Calcular las siguientes integrales: b) ∫ 3 cos ( 2 x + 6 ) dx a) ∫ cos ( 2 x) dx e) ∫ sen

d) ∫ sen ( 2 x + 5) dx

x dx 6

7. Calcular las siguientes integrales: 1 1 a) ∫ b) ∫ dx dx 2 1 + ( x + 1) 1 + (3 x + 12) 2

sec2 x dx d) ∫ 1 + tg 2 x

∫ x ln

∫x

e x dx

∫ x cos x

∫ x sen ( x

dx + 2 ) dx

x3 ∫ 1 + x8 dx

ex dx e) ∫ 1 + e2x

8. Integrar por partes: a) ∫ xe x dx b) ∫ x sen x dx e)

∫x

sen x dx

9. Calcular las siguientes integrales: 2x + 1 x −1 dx dx b) ∫ 2 a) ∫ 2 x − 2x − 6 x + x−6

x2 +1 dx d) ∫ x −1

2 x 2 − 8x − 1 dx g) ∫ 2 2x − 7x + 3

x3 − x 2 + 1 dx h) ∫ ( x − 1) 4

∫x

1 dx − 5x + 6

x dx

cos x dx

∫ x cos x dx

h) ∫ ln 2 x dx

1 + 2x

∫ 1+ x

∫x

x+2 dx − x−6

x 2 − 3x + 1 dx i) ∫ 2 x + 2x + 1

Fuente: Ana Fraga Vila

| EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES 24

SOLUCIONES a) 1

b) 4

x +C 4 3 2

−

2x +C 3

3 +C x 4 3

3x +C 4

−

1 +C 5x 5 5 3

−

1 +C x

2 x +C

2x +C 5

3x 3 + C 3 2

2 5x +C 3

2 3 4 5 6 7 8 9

( x + 1) 3 +C 3

( x 2 + 1) 2 +C 2

( x 2 + 1) 3 +C 3

( x 3 + 1) 2 +C 2

( x 3 + 1) 2 +C 6

x9 5 + 4 +C 9 4x

x2 −

x3 +C 3

2x 3 + 3x 2 + 4 x + C 3

9x 2 x4 − 2x 3 + − 4x + C 4 2

t 2 2t 3 4t + + +C 2 3

−

1 +C 2( 2 x + 1)

0,1t 3 + t 2 + C

−

1 +C x + x +1 2

2 5x 2 1 − x3 + C 3 15

−

1 +C 4( 2 x + 1) 2

| SOLUCIONES 25

1 − +C x +1

−

2( x + 1) 2 +C 3

(1 − x 2 ) 2 − +C 3

3x 2 + 1 +C 3

1 12( x 3 + 1) 4 3

2 ( x + 1) + C

2 ln | x | + C

1 ln | 3x + 5 | +C 3

ex + C

−

1 cos (2 x) + C 2

1 −2 x e +C 2

b) e)

− sen ( 2 x + 5) + C

1 ln | x | +C a

ln (1 + e x ) + C

− e −x + C

ln (ln | x |) + C

1 2x e +C 2

e sen x + C

1 ln (6 x 3 + 1) + C 6

e arcsen x + C

3 cos (2 x + 6) + C 2 e)

− 6sen

1 cos ( x 2 ) + C 2

x +C 6

1 − sen ( x 2 + 2) + C 2

1 arctg cos (2 x) + C 2

3 cos (2 x + 6) + C 2

1 cos ( x 2 ) + C 2 d)

− sen ( 2 x + 5) + C

− 6sen

x +C 6

1 − sen ( x 2 + 2) + C 2

| SOLUCIONES 26

a) d)

b) sen x − x cos x + C

xe x − x + C

cos x + xsen x + C

x 2 ln x x 2 − +C 2 4

x 2 e x − 2 xe x + 2e x + C

(2 − x ) cos x + 2 xsen x + C g) 2 xsen x + ( x 2 − 2)sen x + C

10.

h) x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x + C

ln ( x 2 + 2 x + 1) + C

1 ln ( x 2 − 2 x − 6) + C 2

arctg x + ln ( x 2 + 1) + C d) 2 ln | x − 1 | +

x2 + x+C 2

9 ln | 2 x − 1 | 7 ln | x − 3 | − + x+C 10 5

i) − 5 ln | x + 1 | −

ln | x − 3 | − ln | x − 2 | + C

h) ln | x − 1 | +

f) ln | x − 3 | + C

12 x 2 − 2 x + 1 +C 6(1 − x 3 )

5 +C x +1

| SOLUCIONES 27

BOLETIN 1. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales:

∫ 2x

∫ 3x

−2

dx dx

(x ) c) ∫

2 3 −

∫ d) x

−

2 3

e) ∫

∫

∫x

x dx 3

x dx x dx

∫ i)

x dx x

∫

5 x dx

| SOLUCIONES 28

SOLUCIÓN BOLETIN 1 a) ∫ 2 x 3 dx =2

x4 x4 +C = +C 4 2

b) ∫ 3x −2 dx = 3

x −1 −3 +C = +C −1 x x −5 1 +C = − 5 +C −5 5x

∫( )

1 1 x −1 −2 dx = x dx = +C = − +C ∫ x2 ∫ −1 x

∫x

2 − +1 3

x3 dx = +C = + C = 3x 3 + C 2 1 − +1 3 3 x

x dx = ∫ x dx =

∫x

∫

2 3

dx = ∫ x −6 dx =

1 2

∫

−

−2

1 +1 2

2 3 x x +C = +C = x +C 1 3 3 +1 2 2 1

1 3

3 2

3 x3 x3 x dx = ∫ x dx = +C = + C = x3 x + C 1 4 4 +1 3 3 1 2

x dx = ∫ x · x dx = ∫ x 1 2

x x dx = ∫ dx = ∫ x x x

−

1 2

3 2

2 x2 x2 dx = +C = + C = x2 x + C 3 5 5 +1 2 2

dx =

x −

1 − +1 2

1 +1 2

+C =

1 2

x +C = 2 x +C 1 2

∫

5 x dx = ∫ (5 x)

1 2

dx = 5

1 2

∫x

1 2

dx = 5

1 +1 2

3 2

x x 2 2 5 x3 + C = x 5 x + C +C = 5 +C = 1 3 3 3 +1 2 2

| SOLUCIONES 29

BOLETIN 2. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: a) ∫ ( x + 1) 2 dx b)

∫ (x

+ 1 ) 2 x dx

∫ (x

+ 1 ) 2 2 x dx

d) ∫ ( x 3 + 1 ) 3 x 2 dx e)

∫ (x

+ 1 ) x 2 dx

∫ (x

− 5 x − 5 ) dx

| SOLUCIONES 30

SOLUCIÓN BOLETÍN 2

a) b) c) d) e) f)

( x + 1) 3 +C 3 ( x 2 + 1) 2 2 ∫ ( x + 1)2x dx = 2 + C ( x 2 + 1) 3 2 2 x + x dx = +C ( 1 ) 2 ∫ 3 ( x 3 + 1) 2 3 2 ∫ ( x + 1)3x dx = 2 + C 1 ( x 3 + 1) 2 3 2 3 2 x + x dx = x + x dx = +C ( 1 ) ( 1 ) 3 ∫ 3∫ 6 x9 x −4 x 9 5 x −4 8 −5 8 −5 ∫ ( x − 5x ) dx = ∫ x dx − ∫ 5x dx = 9 − 5 − 4 + C = 9 + 4 + C 2 ∫ ( x + 1) dx =

| SOLUCIONES 31

BOLETIN 3. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: a) ∫ ( 2 x − x 2 ) dx b) ∫ ( 2 x 2 + 6 x + 4 ) dx c)

∫ (x

− 6 x 2 + 9 x − 4 ) dx

d) ∫ ( 4 + t + 2 t 2 ) dt e) ∫ ( 0 , 3 t 2 + 4 t ) dt f)



∫ 

5x −

1 2 x  dx 5 

| SOLUCIONES 32

SOLUCIÓN BOLETIN 3

a) b) c) d) e) f)

x2 x3 x3 2 ∫ (2x − x ) dx = 2 2 − 3 + C = x − 3 + C 2x3 x3 x2 2 4 ( 2 x + 6 x + 4 ) dx = 2 + 6 + x + C = + 3x 2 + 4 x + C ∫ 3 2 3 4 3 2 9x 2 x x x x4 3 2 3 ∫ ( x − 6 x + 9x − 4) dx = 4 − 6 3 + 9 2 − 4x + C = 4 − 2 x + 2 − 4x + C t 2 2t 3 2 ( 4 + t + 2 t ) dt = 4 t + + +C ∫ 2 3 2

∫ (0,3t

+ 4 t ) dt = 0,1t 3 + 2 t 2 + C

1 2 1 2 1 1 2 1 (5 x ) 3 / 2 1 x 3  1/ 2 5 5 5 ( 5 ) x x dx = x dx − x dx = x dx − x dx = − +C = −  ∫  ∫ ∫5 5  5∫ 5∫ 5 3 5 3 2 2 x3 = (5 x ) 3 − +C 15 15

| SOLUCIONES 33

BOLETÍN 4. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: 1

∫ (2 x + 1)

∫ (x

∫ ( 2 x + 1)

∫x

x2 ∫ ( x 3 + 1) 5 dx

∫

1 + x dx

∫

x +1 dx x +1

∫x

∫

2x + 1 dx + x + 1) 2 1

1 dx + 2x + 1

1 − x 2 dx x

3x2 + 1

| SOLUCIONES 34

SOLUCIÓN BOLETÍN 4

1 1 1 (2 x + 1) −1 1 −2 dx = ∫ 2(2 x + 1) dx = +C = − +C a) ∫ 2 2 2 −1 2(2 x + 1) (2 x + 1) 2x + 1 ( x 2 + x + 1) −1 1 2 −2 +C = − 2 +C dx = ∫ (2 x + 1)( x + x + 1) dx = b) ∫ 2 2 −1 ( x + x + 1) ( x + x + 1) c)

1 1 1 (2 x + 1) −2 1 −3 2 ( 2 1 ) = + = dx x dx +C = − +C ∫ (2 x + 1) 3 ∫ 2 2 −1 2(2 x + 1) 2

1 1 ( x + 1) −1 1 −2 = = ( + 1 ) = dx dx x dx +C = − +C ∫ x 2 + 2 x + 1 ∫ ( x + 1) 2 ∫ −1 ( x + 1)

x2 1 1 ( x 3 + 1) −4 1 −5 2 3 = + = dx x x dx +C = − +C 3 ( 1 ) ∫ ( x 3 + 1) 5 ∫ 3 3 3 −4 12( x + 1) 4

2 ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 / 2 +C = +C 3 3 2 ( x + 1)1 / 2 dx = + C = 2 x +1 + C 1 2

∫

x + 1 dx = ∫ ( x + 1)1 / 2 dx =

∫

x +1 dx = ∫ ( x + 1) −1 / 2 x +1

(1 − x 2 ) 3 1 1 (1 − x 2 ) 3 / 2 2 1/ 2 2 ( 1 ) − x − x dx = − + C = − +C 3 2∫ 2 3 2 2 1 1 (3 x + 1)1 / 2 2 x 2 −1 / 2 dx = ∫ 3 x (3 x + 1) dx = (3 x 2 + 1) + C +C = 2 1 3 3 3 3x + 1 2

2 h) ∫ x 1 − x dx = −

∫

| SOLUCIONES 35

BOLETÍN 5. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales:

∫ x dx

∫ ax dx

x2 ∫ 6 x 3 + 1 dx

∫ 3 x + 5 dx

ex ∫ 1 + e x dx

∫ x ln x dx

| SOLUCIONES 36

SOLUCIÓN BOLETÍN 5

∫ x dx = 2 ln | x | +C

∫ ax dx = a ln | x | +C

x2 1 18x 2 1 3 = dx ∫ 6 x 3 + 1 18 ∫ 6 x 3 + 1 dx = 18 ln | 6 x + 1 | +C 1 1 3 1 dx = ∫ dx = ln | 3x + 5 | +C d) ∫ 3x + 5 3 3x + 5 3 x e dx = ln | 1 + e x | +C e) ∫ x 1+ e 1 f) ∫ dx = ln | ln | x || +C x ln x c)

| SOLUCIONES 37

BOLETÍN 6. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: a) ∫ e x dx b)

∫e

−x

∫e

− x2

∫e

∫

dx dx

sen x

· x dx cos x dx

e arcsen x 1− x2

| SOLUCIONES 38

SOLUCIÓN BOLETÍN 6

a) b)

∫e ∫e

dx = e x + C

−x

dx = − ∫ − e − x dx = − e − x + C

1 1 2e 2 x dx = e 2 x + C ∫ 2 2 2 2 1 1 2 d) ∫ e − x · x dx = − ∫ e − x · (-2x) dx = − e − x + C 2 2 sen x sen x e) ∫ e cos x dx = e +C c)

∫e

∫

dx =

e arcsen x 1− x

dx = e arcsen x + C

| SOLUCIONES 39

BOLETÍN 7. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: a) ∫ cos ( 2 x ) dx b)

∫ 3 cos ( 2 x + 6 ) dx

∫ x cos x

d) ∫ sen ( 2 x + 5 ) dx e) ∫ sen

x dx 6

∫x

∫

sec 2 ( 2 x ) dx

∫

sec 2

sen ( x 2 + 2 ) dx

x dx 3

| SOLUCIONES 40

SOLUCION BOLETIN 7

∫ cos (2 x) dx = 2 ∫ 2 cos (2 x) dx = sen (2 x) + C

∫ 3 cos (2 x + 6) dx = 2 ∫ 2 cos (2 x + 6) = 2 sen (2 x + 6) + C

∫ x cos x

d) e) f) g) h)

1 1 2 x cos x 2 dx = sen x 2 + C ∫ 2 2 1 1 ∫ sen (2 x + 5) dx = 2 ∫ 2 sen (2 x + 5) dx = − 2 cos (2 x + 5) + C x x x 1 ∫ sen 6 dx = 6∫ 6 sen 6 dx = −6 cos 6 + C 1 1 2 2 2 ∫ x sen ( x + 2) dx = 2 ∫ 2 x sen ( x + 2) dx = − 2 cos ( x + 1) + C 1 1 2 2 ∫ sec (2 x) dx = 2 ∫ 2 sec (2 x) dx = 2 tg (2 x) + C 1 2 x x 2 x ∫ sec 3 dx = 3∫ 3 sec 3 dx = 3 tg 3 + C 2

dx =

| SOLUCIONES 41

BOLETÍN 8. NIVEL 1º BACH Calcular las siguientes integrales: 1

∫ 1 + ( x + 1)

∫ 1 + ( 3 x + 12)

x3 ∫ 1 + x 8 dx

sec 2 x ∫ 1 + tg 2 x dx

ex ∫ 1 + e 2 x dx

| SOLUCIONES 42

SOLUCIÓN BOLETÍN 8

∫ 1 + ( x + 1)

∫ 1 + (3x + 12)

1 4x3 1 x3 dx = arctg x 4 + C = dx 2 ∫ 1 + x8 ∫ 4 1 + (x 4 ) 4

dx = arctg ( x + 1) 2 + C

dx =

1 3 1 dx = arctg (3 x + 12) + C 2 ∫ 3 1 + (3 x + 12) 3

sec 2 x dx = arctg (tg x) + C = x + C d) ∫ 1 + tg 2 x

ex 1 2e x dx = ∫ dx = arctg e x + C e) ∫ 2x 2x 2 1+ e 1+ e

| SOLUCIONES 43

BOLETÍN 9. NIVEL 2º BACH Calcular las siguientes integrales por partes: a)

∫ xe

∫ x sen

∫ x ln x dx

∫ x cos

∫x

e x dx

∫x

sen x dx

∫x

cos x dx

∫ ln

dx x dx

x dx

| SOLUCIONES 44

Acabo de ver este aporte en otro lugar y quise compartirlo de inmediato. Es Ăştil y muy rĂĄpido.

| SOLUCIONES 45

SOLUCIÓN BOLETÍN 9 a)

∫ xe

u=x

haciendo

dv = e x dx

∫ xe b)

du = dx v = ex

dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C

∫ x sen

x dx

u=x

haciendo

dv = sen xdx

∫ x sen c)

du = dx v = − cos x

x dx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sen x + C

∫ x ln x dx u = ln x

haciendo

dv = xdx

du =

1 dx x

x2 v= 2

x 2 ln x x 2 ln x 1 x 2 ln x x 2 x2 1 ∫ x ln x dx = 2 − ∫ 2 x dx = 2 − 2 ∫ xdx = 2 − 4 + C d)

∫ x cos x dx haciendo

u=x

dv = cos xdx

du = dx v = sen x

| SOLUCIONES 46

∫ x cos e)

∫x

x dx = x sen x − ∫ sen xdx = x sen x + cos x + C

e x dx

haciendo

u = x2

dv = e x dx

∫x

du = 2 xdx

v = ex

e x dx = x 2 e x − 2 ∫ xe x dx

haciendo en esta última integral u = x

du = dx

dv = e x dx

∫x

(

sen x dx

u = x2 dv = sen xdx

du = 2 xdx v = − cos x

sen x dx = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos xdx

haciendo en esta última integral u = x dv = cos xdx

∫x

)

e x dx = x 2 e x − 2 ∫ xe x dx = x 2 e x − 2 xe x − ∫ e x dx = x 2 e x − 2 xe x + 2 e x + C

haciendo

∫x

v = ex

du = dx v = sen x

(

)

sen x dx = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos xdx = − x 2 cos x + 2 x sen x − ∫ sen xdx =

= − x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C g)

∫x

cos x dx

haciendo

u = x2 dv = cos xdx

∫x

du = 2 xdx v = sen x

cos x dx = x 2 sen x − 2 ∫ x sen xdx

haciendo en esta última integral u = x dv = sen xdx

∫x

du = dx v = − cos x

(

)

cos x dx = x 2 sen x − 2 ∫ x sen xdx = x 2 sen x − 2 − x cos x + ∫ cos xdx =

= x 2 sen x + 2 x cos x − 2 sen x + C

| SOLUCIONES 47

∫ ln

x dx

haciendo

u = ln 2 x

dv = dx

∫ ln

1 du = 2 ln xdx x

v=x

1 x dx = x ln 2 x − 2∫ x ln x dx =x ln 2 x − 2∫ ln x dx x

haciendo en esta última integral u = ln x dv = dx

∫ ln

du =

1 dx x

v=x

1   x dx = x ln 2 x − 2 ∫ ln x dx = x ln 2 x − 2 x ln x − ∫ x dx  = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x + C x  

| SOLUCIONES 48

BOLETÍN 10. NIVEL 2º BACH Calcular las siguientes integrales:

2x + 1 dx + x−6

∫x

∫1+ x

x −1 dx − 2x − 6

1 + 2x 2

x2 + 1 dx x −1

∫

∫x

2x 2 − 8x − 1 ∫ 2 x 2 − 7 x + 3 dx

1 dx − 5x + 6 x+2 dx − x−6

∫

x4 − 3x2 − 3x − 2 dx x3 − x2 − 2x

∫

x3 − x2 + 1 dx ( x − 1) 4

∫

x 2 − 3x + 1 dx x2 + 2x + 1

∫

x 4 + x 3 − 13 x 2 − 4 x + 12 dx x 4 − 5x 2 + 4

| SOLUCIONES 49

Vamos a 3x + 5 f ( x) = 3 x − x2 − x +1

Ejemplo:

descomponer

fracciones

simples

función

racional

El denominador se descompone como (x+1)·(x-1)2. Entonces podremos descomponer como f ( x) =

A B C 3x + 5 = + + 2 2 x −1 x − x − x + 1 x + 1 ( x − 1) 3

Multiplicando la igualdad anterior por (x+1)·(x-1)2 resulta 3x+5=A(x-1)2+B(x+1)+C(x+1)(x1) Dando valores: Para x=1 tenemos 8=2B⇒B=4 Para x=-1 tenemos 2=4A⇒A=1/2 Para x=0 (por ejemplo) tenemos 5=A+B-C⇒C=-1/2 −1 1 4 3x + 5 2. 2 Entonces tenemos que: 3 = + + x − x 2 − x + 1 x + 1 ( x − 1) 2 x − 1

Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial ó neperiana. En nuestro caso 1 −1 3x + 5 4 1 4 1 2 2 ∫ x 3 − x 2 − x + 1dx = ∫ x + 1dx + ∫ ( x − 1) 2 dx + ∫ x − 1dx = 2 ⋅ ln x + 1 − x − 1 − 2 ⋅ ln x − 1 + K

| SOLUCIONES 50

SOLUCIÓN BOLETÍN 10 a) b) c) d) e)

2x + 1 dx = ln | x 2 + x − 6 | +C + x−6 x −1 1 2x − 2 1 2 ∫ x 2 − 2 x − 6 dx = 2 ∫ x 2 − 2 x − 6 dx = 2 ln | x − 2 x − 6 | +C 1 + 2x 1 2x 2 2 ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 + x 2 dx + ∫ 1 + x 2 dx = arctg x + ln (1 + x ) + C x2 +1 2  x2  = + + 1 = + x + 2 ln | x − 1 | +C dx x dx  ∫ x −1 ∫  x −1 2 1 ∫ x 2 − 5 x + 6 dx Descomponiendo del denominador en factores x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)

∫x

Descomponiendo en fracciones 1 A B A( x − 3) + B( x − 2) = + = = 2 ( x − 2)( x − 3) x − 5x + 6 x − 2 x − 3

simples

De donde 1 = A( x − 3) + B ( x − 2) Si x = 2 ⇒ 1 = −A

⇒

A = −1

Si x = 3 ⇒ 1 = B Por tanto f)

∫x

1 −1 1 dx = ∫ dx + ∫ dx = − ln | x − 2 | + ln | x − 3 | +C x−2 x−3 − 5x + 6

x+2 dx − x−6 Descomponiendo del denominador en factores x 2 − x − 6 = ( x + 2)( x − 3)

∫x

Descomponiendo en fracciones x+2 A B A( x − 3) + B( x + 2) = + = = 2 ( x − 2)( x − 3) x − 5x + 6 x + 2 x − 3

simples

De donde x + 2 = A( x − 3) + B ( x + 2) Si x = −2 ⇒ 0 = −5A Si x = 3 ⇒ 5 = 5B Por tanto g)

∫x

⇒

A=0

B=1

x+2 1 dx = ∫ dx = ln | x − 3 | +C x−3 − x−6

2 x 2 − 8x − 1 x+2 x+2   ∫ 2 x 2 − 7 x + 3 dx = ∫ 1 − 2 x 2 − 7 x + 3  dx = ∫ dx − ∫ 2 x 2 − 7 x + 3 dx

| SOLUCIONES 51

Descomponiendo del denominador x 2 − 7 x + 3 = ( 2 x − 1)( x − 3)

esta

última

integral

Descomponiendo en fracciones x+2 A B A( x − 3) + B(2 x − 1) = + = = 2 ( x − 2)( x − 3) x − 7x + 3 2x − 1 x − 3

factores simples

De donde x + 2 = A( x − 3) + B ( 2 x − 1) Si x =

1 2

⇒

5 5 =− A 2 2

Si x = 3 ⇒ 5 = 5B

⇒

A = −1

B=1

Polo tanto 2 x 2 − 8x − 1 1 x+2  −1  ∫ 2 x 2 − 7 x + 3 dx = ∫ dx − ∫ 2 x 2 − 7 x + 3 dx = x −  ∫ 2 x − 1 dx + ∫ x − 3 dx  =

x+ h)

1 2 1 1 dx − ∫ dx = x + ln | 2 x − 1 | − ln | x − 3 | +C ∫ 2 2x − 1 x−3 2

x 4 − 3x 2 − 3x − 2 x+2  ∫ x 3 − x 2 − 2 x dx = ∫  x + 1 − x 3 − x 2 − 2 x Descomponiendo del denominador de x 3 − x 2 − 2 x = x ( x − 1)( x + 2)

x+2  dx  dx = ∫ x d x + ∫ dx − ∫ 3 x − x 2 − 2x  esta última integral en factores

Descomponiendo en fracciones x+2 A B C A( x + 1)( x − 2) + Bx( x − 2) + Cx( x + 1) = + + = 2 x( x + 1)( x − 2) x − 7x + 3 x x + 1 x − 2

simples

De donde x + 2 = A( x + 1)( x − 2 ) + Bx ( x − 2) + Cx ( x + 1) Si x = 0

⇒ 2 = −2A

⇒

A = −1

1 3

Si x = −1 ⇒ 1 = 3B

⇒

Si x = 2

⇒ 4 = 6C

⇒

Por tanto

x 4 − 3x 2 − 3 x − 2 x+2 dx = x d x + dx − 3 2 3 ∫ x − x − 2x ∫ ∫ ∫ x − x 2 − 2 x dx =

2 3

| SOLUCIONES 52

1 2 1 2 x −1 x2 3 3 = +x−∫ dx − ∫ dx − ∫ dx = + x + ln x − ln | x + 1 | − ln | x − 2 | +C 2 x x +1 x−2 2 3 3 2

x3 − x2 +1 ∫ ( x − 1) 4 dx Descomponiendo en fracciones simples

x3 − x2 + 1 A B C D A( x − 1) 3 + B( x − 1) 2 + C ( x − 1) + D = + + + = x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 ( x − 1) 4 ( x − 1) 4 De donde

x 3 − x 2 + 1 = A( x − 1) 3 + B ( x − 1) 2 + C ( x − 1) + D

Si x = 1 ⇒ D = 1, por lo tanto x 3 − x 2 = A( x − 1) 3 + B ( x − 1) 2 + C ( x − 1) Si x = 0

⇒ −A + B − C = 0

Si x = −1

⇒

Si x = 2

⇒

−8A + 4B − 2C = −2

⇒ A = 1; B = 2; C = 1;

A+B+C=4

 1 2 1 1  x3 − x2 + 1  dx = Luego ∫ dx = ∫  + + + 4 2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) 4   x − 1 ( x − 1) =∫

1 2 1 1 dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx = 2 3 x −1 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) 4

= ln | x − 1 | + 2 ∫ ( x − 1) − 2 dx + ∫ ( x − 1) − 3 dx + ∫ ( x − 1) − 4 dx =

= ln | x − 1 | +2 = ln | x − 1 | −

( x − 1) −1 ( x − 1) −2 ( x − 1) −3 +C = + + −1 −2 −3

2 1 1 − − +C 2 x − 1 2( x − 1) 3( x − 1) 3

5x 5x x 2 − 3x + 1   ∫ x 2 + 2 x + 1 dx = ∫ 1 − x 2 + 2 x + 1  dx = ∫ 1 dx − ∫ x 2 + 2 x + 1 dx

Descomponiendo del x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2

denominador

Descomponiendo en fracciones simples

esta

última

integral

factores

A B A( x + 1) + B 5x = + = 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 | SOLUCIONES 53

De donde 5 x = A( x + 1) + B Si x= −1 Si x = 0

−5 = B 0=A−5 ⇒ A=5

Por 5x 5 x − 3x + 1 −5 ∫ x 2 + 2 x + 1 dx = ∫ dx − ∫ x 2 + 2 x + 1 dx = x − ∫ x + 1 dx − ∫ ( x + 1) 2 dx =

tanto

= x − 5 ln | x + 1 | +5∫ ( x + 1)

−2

( x + 1) −1 5 dx =x − 5 ln | x + 1 | +5 + C = x − 5 ln | x + 1 | − +C −1 x +1

 x 3 − 8x 2 − 4 x + 8  x 4 + x 3 − 13x 2 − 4 x + 12 x 3 − 8x 2 − 4 x + 8  dx = ∫ dx + ∫ k) ∫ dx = ∫ 1 + x 4 − 5x 2 + 4 x 4 − 5 x 2 + 4  x 4 − 5x 2 + 4  Descomponiendo del denominador de esta última integral en factores: x 4 − 5 x 2 + 4 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) Descomponiendo en fracciones simples x 3 − 8 x 2 − 4 x + 12 A B C D = + + + = ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) x − 1 x + 1 x − 2 x + 2

A( x + 1)( x − 2)( x + 2) + B( x − 1)( x − 2)( x + 2) + C ( x − 1)( x + 1)( x + 2) + D( x − 1)( x + 1)( x − 2) ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) 3 2 De donde x − 8 x − 4 x + 8 =

= A( x + 1)( x − 2)( x + 2) + B ( x − 1)( x − 2)( x + 2) + C ( x − 1)( x + 1)( x + 2) + D ( x − 1)( x + 1)( x − 2)

Si x = 1

⇒ −3 = −6A

Si x = −1

⇒ 3 = 6B

Si x = 2

⇒ −24 = 12C

Si x = −2

Por lo tanto

⇒ ⇒

⇒ −24 = −12D

A= B=

1 2

⇒ C = −2 ⇒ D=2

x 4 + x 3 − 13x 2 − 4 x + 12 x 3 − 8x 2 − 4 x + 8 = x dx + ∫ ∫ ∫ x 4 − 5x 2 + 4 dx = x 4 − 5x 2 + 4

| SOLUCIONES 54

= x+

1 dx 1 dx dx dx 1 1 + ∫ − 2∫ + 2∫ = x + ln | x − 1 | + ln | x + 1 | −2 ln | x − 2 | +2 ln | x + 2 | +C ∫ 2 x −1 2 x +1 x−2 x+2 2 2

| SOLUCIONES 55

PROBLEMAS PROPUESTOS PAU x 5 + 4 x 3 + x 2 + 3x + 2 ∫ x 4 + 3x 2 + 2 dx (PAU Galicia 1988) 1. 2 (PAU Galicia Septiembre 1989) 2. ∫ ( x − 2 x − 3)(ln x) dx

x4 ∫ x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1 dx (PAU Galicia Junio 1990) 3. 2 4. ∫ x 3 e − x dx (PAU Galicia Septiembre 1990) x1 / 3 ∫ x1 / 3 + 3 dx (PAU Galicia Septiembre 1990) 5. ln x 6. ∫ 2 dx (PAU Galicia Septiembre 1991) x 1 ∫ e x − 1 dx 7. (PAU Galicia Septiembre 1991) −x 8. ∫ x e dx (PAU Galicia Junio 1994) 5x + 8 dx (PAU Galicia Junio 1994) 2 + x −3 x 10. ∫ dx (PAU Galicia LOGSE Junio 1995) 1 + (x2 )2 9.

∫ 2x

3e x dx (PAU Galicia LOGSE Junio 1995) 11. ∫ 1+ ex 12. ∫ (4 x 2+3) e x dx (PAU Galicia Septiembre 1995) 0

13.

∫

14.

∫ sen

15.

∫ ln

−1

3 x Ln ( x) dx (PAU Galicia Septiembre 1996)

cos x dx (PAU Galicia LOGSE Septiembre 1997) 3 x x dx (PAU Galicia LOGSE Septiembre 1997)

5 x 2 + 6 x + 16 ∫ x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 dx (PAU Galicia Septiembre 1998) dx 17. ∫ (PAU Galicia LOGSE Septiembre 1998) 2 + x2 18. ∫ x sen ( x ) dx (PAU Galicia LOGSE Septiembre 1998) 16.

19.

∫

x 1 + x 2 dx (PAU Galicia CN Septiembre 2000)

3x − 2 dx (PAU Galicia LOGSE CN Septiembre 2004) + x +1 x3 + x + 2 dx (PAU Galicia LOGSE CN Septiembre 2005) 21. ∫ x2 + 3 x+5 dx (PAU Galicia LOGSE CN Junio 2008) 22. ∫ 2 x + 4x + 3 20.

∫x

| SOLUCIONES 56

23. 24. 25. 26. 27.

∫e 0

∫

ln 5

∫

(2 x − 1) dx (PAU Galicia LOGSE CN Septiembre 2008) e

(1 + e )

x 2

dx (PAU Galicia LOGSE CN Junio 2009)

2 3 x + 3x + 3x dx (PAU Aragón COU CN Junio 2000) x 2 + 3x + 2

2 0

∫

x3 cos x dx (PAU Aragón COU CN Septiuembre 2000)

( log x ) x

dx (PAU Madrid COU CN junio 2000)

| SOLUCIONES 57

SOLUCIONES PROBLEMAS PROPUESTOS PAU 2

1 x + arctg x + ln ( x 2 + 2) + C 2 2

3 2   x3 x x  − x 2 − 3x  (ln x) − + + 3 x + C 9 2  2.  3

1 1 3 + ln ( x 2 + 1) + C 3. x + ln x − 1 − 2 ( x − 1) 4 2 4. −

1 − x2 2 e ( x + 1)+ C 2

5. x − 6. −

9 2/3 x + 27 x1 / 3 − 81 ln x 1 / 3 + 3 + C 2

1 1 ln x − + C x x

7. 2 arctg

x e − 1+ C

8. − x · e x − e x+ C 9. 10.

1 arctg x 2 + C 2

(

)

11. 3 ln 1 + e x + C 12. (4 x 2 − 8 x + 11) e x+ C 13.

3 e4 + 1 16

14. −

1 +C 2 sen x

15. x ln x – x + C 16. 3 ln | x − 2 | + 2 ln | x + 2 | +

17.

6 +C x+2

x 2 arctg +C 2 2 | SOLUCIONES 58

18. â&#x2C6;&#x2019;x cos (x) + sen (x) + C. Fuente: http://www.inetor.com/indefinidas/ejercicios_integrales.html

Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

| SOLUCIONES 59

22 | SOLUCIONES 60

2 Calcular las integrales logarĂtmicas:

11 3 Resolver las siguientes integrales exponenciales: | SOLUCIONES 61

9 4 Calcular las integrales trigonomĂŠtricas:

4 | SOLUCIONES 62

15 5 Resolver la integrales trigonomĂŠtricas:

| SOLUCIONES 63

5 6 Calcular las integrales:

6 6 Problemas de integrales 1Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25. 2De las infinitas funciones primitivas de la función y = x² - x + 1, ¿cuál es la que para x = 3 toma el valor 5? | SOLUCIONES 64

3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto P(0, 4). 4Escribe la función primitiva de y = x² + 2x cuya representación gráfica pasa por él punto (1, 3). 5Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x² + 5x − 2. 6Hallar la primitiva de la función

, que se anula para x = 2

| SOLUCIONES 65

SOLUCIONES Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

| SOLUCIONES 66

| SOLUCIONES 67

| SOLUCIONES 68

| SOLUCIONES 69

| SOLUCIONES 70

| SOLUCIONES 71

Calcular las integrales logarĂtmicas:

| SOLUCIONES 72

| SOLUCIONES 73

| SOLUCIONES 74

Resolver las siguientes integrales exponenciales:

| SOLUCIONES 75

| SOLUCIONES 76

Calcular las integrales trigonomĂŠtricas:

| SOLUCIONES 77

| SOLUCIONES 78

| SOLUCIONES 79

| SOLUCIONES 80

Resolver la integrales trigonomĂŠtricas:

| SOLUCIONES 81

| SOLUCIONES 82

| SOLUCIONES 83

Calcular las integrales:

| SOLUCIONES 84

| SOLUCIONES 85

1Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

2De las infinitas funciones primitivas de la función y = x² - x + 1, ¿cuál es la que para x = 3 toma el valor 5?

x=3y=5

3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto P(0, 4). f '(x) = 2 f(x) = 2x + C | SOLUCIONES 86

4=2·0+C f(x) = 2x + 4

4Escribe la función primitiva de y = x² + 2x cuya representación gráfica pasa por él punto (1, 3).

5Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x² + 5x − 2.

6Hallar la primitiva de la función

, que se anula para x = 2 | SOLUCIONES 87

Foro con integrales muy difĂcles http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=5612

| SOLUCIONES 88

Bueno aquí va: Como

, tenemos:

Luego hacemos

Así

Y como

(Esto porque:

Y además

. Con esta hacemos

)

y por

partes:

| SOLUCIONES 89

Entonces:

Como dijimos desde un principio entonces:

http://foro.migui.com/smf/index.php/topic,4690.0.html

| SOLUCIONES 90

| SOLUCIONES 91

Como la integral es par en el producto

, mediante el cambio

gif.latex?\int \frac {dx}{\sin^2 x + \tan^2 x} = \int \frac {\frac {dw}{1+w^2}}{\frac {w^2}{1+w^2} + w^2} = \int \frac {dw}{2w^2 + w^4} = \int \frac {dw}{w^2(2+w^2)} = \int \frac 12 \frac {(2+w^2) - w^2}{w^2(2+w^2)} = gif.latex?= \frac 12 \int \frac {dw}{w^2} - \frac 12 \int \frac {dw}{2+w^2} = - \frac 12 \frac 1w - \frac 12 \frac {1}{\sqrt 2} \arctan \frac {w}{\sqrt 2} + C =

http://foro.migui.com/smf/index.php/topic,4690.0.html

| SOLUCIONES 92

http://latex.codecogs.com/gif.latex? \begin{eqnarray*} \int {(1 + \sen ^2 x)\sec ^3 x~dx} &=& \int {\frac{{1 + \sen ^2 x}} {{\cos ^3 x}}~dx}\\ &=& \int {\frac{1} {{\cos x}} \cdot \frac{{1 + \sen ^2 x}} {{\cos ^2 x}}~dx}\\ &=& \int {\sec x\left( {\sec ^2 x + \tg ^2 x} \right)~dx}\\ &=& \int {(\sec x\tg ^2 x + \sec ^3 x)~dx}\\ &=& \int {(\sec x\tg x)'~dx}\\ &=& \sec x\tg x + k,~~k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}

| SOLUCIONES 93

Bueno, no estoy muy convencido pero vamos alla

gif.latex?\int \frac{\sin x \cos x }{1+2\cos^{2}x\sin^{2}x} \,dx=\int \frac{\sin x \cos x }{1+2\cos^{2}x\sin^{2}x} \cdot\frac{2}{2} \,dx=\int \frac{2 \sin x \cos x }{2+4\cos^{2}x\sin^{2}x} \,dx

gif.latex?\int \frac{2 \sin x \cos x }{2+4\cos^{2}x\sin^{2}x} \,dx=\int \frac{\sin 2x}{2+\sin^{2} 2x} \,dx=\int \frac{\sin 2x}{2+(1 - \cos^{2} 2x)} \,dx=\int \frac{\sin 2x}{3-\cos^{2} 2x} \,dx

gif.latex?\frac{-1}{2} \int \frac{1}{3-t^{2}} \,dt=\frac{1}{2} \int \frac{1}{(t+\sqrt{3})(t-\sqrt{3})} \,dt=\frac{-1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln {\frac{t+\sqrt{3}}{t-\sqrt{3}}}

| SOLUCIONES 94

;

gif.latex?\int \frac{1+ \cos x}{\sin x} \,dx = \int \frac{ \cos x}{\sin x} \,dx + \int \frac{1}{\sin x} \,dx = \int \frac{ \cos x}{\sin x} \,dx + \int \cosec{x} \frac{\cosec{x}+\cotg{x}}{\cosec{x}+\cotg{x}} \,dx =

gif.latex?= \int \frac{ \cos x}{\sin x} \,dx - \int \frac{\cosec{x}\cotg{x}-\cosec^2{x}}{\cosec{x}+\cotg{x}} \,dx = \ln{(\sin {x})} - \ln{(\cosec{x}+\cotg{x})} +C

| SOLUCIONES 95

A veces el ver un integrando poco amigable nos produce urticaria...

http://latex.codecogs.com/gif.latex? \begin{eqnarray*} begin{eqnarray*} \int {\frac{{e^x frac{{e^x (x - 4)}} {{x^5 }}~dx} &=& \int \ {x^{ - 5} e^x (x - 4)~dx}\\ &=& \int {(e^x x^{ - 4} - 4e^x x^{ - 5} )~dx}\\ &=& \int int {(e^x \cdot x^{ - 4} )'~dx}\\ &=& \frac{{e^x frac{{e^x }} {{x^4 }} + k \end{eqnarray*} /> end{eqnarray*}

La marat贸n va de pelos, aprenderemos muchas cosas

| SOLUCIONES 96

Bueno en este caso he utilizado el cambio .He estado provando resolverla de alguna forma distinta pero de momento no se me ha ocurrido

gif.latex?\int \frac{2 \sin^{2} x}{3-4\cos^{2} x} \,dx=\int \frac{2 (\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}})^{2}}{34(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}})^{2}} \cdot \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\int \frac{ \frac{2t^{2}}{1+t^{2}}}{3-\frac{4}{1+t^{2}}} \cdot \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=

http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\int \frac{ \frac{2t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac{3+3t^{2}-4}{1+t^{2}}} \cdot \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\int \frac{ \frac{2t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac{3t^{2}-1}{1+t^{2}}} \cdot \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\int \frac{ \frac{2t^{2}}{1+t^{2}}}{3t^{2}1}\,dt=\int \frac{ 2t^{2}}{(3t^{2}-1)(1+t^{2})}\,dt

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{ 2t^{2}}{(3t^{2}1)(1+t^{2})}=\frac{A}{t-\frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{B}{t+\frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{Ct+D}{t^{2}+1}

La determinaci贸n de constantes me da

| SOLUCIONES 97

gif.latex?\int \frac{ 2t^{2}}{(3t^{2}1)(1+t^{2})}\,dt=\frac{\sqrt{3}}{4} \int \frac{1}{t\frac{\sqrt{3}}{3}}\,dt - \frac{\sqrt{3}}{4} \int \frac{1}{t+\frac{\sqrt{3}}{3}}\,dt + 2 \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt =\frac{\sqrt{3}}{4} \ln \left|\frac{t\frac{\sqrt{3}}{3}}{t+\frac{\sqrt{3}}{3}}\right| + 2 \arctan t

Otro metodo

Se me ha ocurrido un metodo distinto para atacar la integral, no se si coincidirĂĄ con el de KÂŽizalid

Ahora debo resolver

Hay otra forma de afrontarlo bien fĂĄcil de recordar:

| SOLUCIONES 98

http://foro.migui.com/smf/index.php/topic,4690.25.html

| SOLUCIONES 99

gif.latex?\int \frac {dx}{\sin u \cos^3 u} = \int \frac {\sin^2 u + \cos^2 u}{\sin u \cos^3 u} \, du = \int \frac {\sin u}{\cos^3 u} \, du + \int \frac {du}{\sin u \cos u} = - \int \frac {d \cos u}{\cos^3 u} + \int \frac {2 \, du}{\sin 2u} =

| SOLUCIONES 100

Empiezo con la de signo menos:

Por partes:

Juntando todo:

La del signo mรกs la he hecho igual

| SOLUCIONES 101

Lindo problemita ^^ http://latex.codecogs.com/gif.latex? \begin{eqnarray*} \int {\frac{1} {{1 - x^4 }}~dx} &=& \frac{1} {2}\int {\frac{{(1 + x^2 ) + (1 - x^2 )}} {{(1 + x^2 )(1 - x^2 )}}~dx} \hfill \\ &=& \frac{1} {2}\left( {\int {\frac{1} {{1 x^2 }}~dx} + \int {\frac{1} {{1 + x^2 }}~dx} } \right) \hfill \\ &=& \frac{1} {2}\left[ {\frac{1} {2}\left( {\int {\frac{1} {{x + 1}}~dx} - \int {\frac{1} {{x - 1}}~dx} } \right) + \arctg x} \right] \hfill \\ &=& \frac{1} {4}\left( {\ln \left| {\frac{{x + 1}} {{x - 1}}} \right| + 2\arctg x} \right) + k \end{eqnarray*}

| SOLUCIONES 102

La respuesta es

En cierto modo esta es parecida a la anterior. Sea

o bien

la cual, mediante el cambio

pasa a ser

Si sumamos ĂŠsta y la anterior

| SOLUCIONES 103

La segunda integral suponiendo que es entre 0 e infinito (entre -infinito e infinito el mathematica me dice que salen complejos ).

Ahora nos fijamos en las derivadas de

Volvamos a la integral:

Por partes:

Donde el primer término está evaluado entre 0 e infinito (no sé como se pone en latex :oops: ) y es 0. Así queda:

| SOLUCIONES 104

Si n es impar, por simetrĂa la integral es 0. Para n par, integrando por partes, me sale una formula recursiva.

Solucion:

Bien, es cierto

Los denominadores se pueden poner como ahora. f(n)=(n-1)f(n-2) es el factorial de (n-1)

| SOLUCIONES 105

Sea f(x) definida de la siguiente forma

si x pertenece a Q con si x no pertence a Q o

. .

| SOLUCIONES 106

Bueno. Si tenemos

, entonces

y derivando

Así que

Respecto a la integral de la función "rara", habría que definir con precisión toda una teoría de integración como la de Lebesgue (basada en funciones simples, etc...). Aquí sólo voy a definir lo que necesite y sólo sobre la recta real. Función característica de un conjunto

Función simple es aquella que sólo toma un número finito de valores. Pueden escribirse como

Medida de un conjunto de Borel es una aplicación donde es el -álgebra de los Borelianos (en los conjuntos abiertos) que cumple una serie de propiedades (ver, por ejemplo la wiki). La medida (de Lebesgue) de un boreliano (abierto)

es la cantidad

. La medida de conjuntos de cardinal finito o numerable es nula y por tanto la medida de intervalos cerrados

es idéntica a la del

correspondiente abierto . Esto puede demostrarse a partir de la subaditividad de las medidas, es decir, la relación

| SOLUCIONES 107

Con donde es un -álgebra (por ejemplo el de los Borelianos). Las medidas serán -aditivas, es decir, la desigualdad anterior colapsará cuando los

sean disjuntos.

Integral de una función simple en un intervalo

Donde los los

cumplen

y además

, es decir,

son un recubrimiento interior de Lebesgue del intervalo.

Y por fin llegamos a la definición de la integral de una función contínua en la teoría de Lebesgue como

Definamos entonces en

la función de Dirichlet como

Entonces Puesto que los racionales son numerables y por tanto su medida es nula. Para la función de Fortuna la integral es nula por este mismo razonamiento. Da igual los valores que tome la función sobre los racionales (incluso si es infinito en todo ) puesto que al tener los racionales medida nula, no aportan nada al valor de la integral. | SOLUCIONES 108

¿Cuál es la curva sobre la que se integra? Si no uno no puede aplicar el teorema del residuo a gusto. O al menos una sula vez X-P

Si encierra al punto z = 1, el resultado es

Si no encierra ni contiene al punto z = 1, el resultado es 0. Si contiene al punto... Me da mucha pereza coger y mirar a qué tiende la integral de una curva con un granito circular de diámetro E y hacer tender E a cero, son casi las tres de la mañana X-P

| SOLUCIONES 109

Teniendo en cuenta que para series geométricas con

(siempre

) podemos escribir

Puesto que en todo el intervalo de integración se cumple integramos por partes (o usando la función

. Si

) llegamos a

Así que Donde hemos definido la función de Riemann como una serie armónica:

de forma que para

Puede probarse que

llegamos a

. Así que la integral de Adamecius vale

| SOLUCIONES 110

donde W(z) es la función Omega de Lambert

Bueno,hacemos el cambio W(z)=x,y entonces Así:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int W^{2}(z)dz=\int \dfrac{z^{2}}{e^{2W(z)}}dz=\int \dfrac{x^{2}e^{2x}}{e^{2x}}(x+1)e^{x}=\int x^{2}e^{x}dx+\int x^{3}e^{x} dx ,y el resto es fácil

| SOLUCIONES 111

con

...por tocar un poco las narices

| SOLUCIONES 112

INTEGRALES ESPECIALM;ENTE DIFICILES

| SOLUCIONES 113

COMPENDIO DE ESTRATEGIAS Para integrar una función debes tener presente estos consejos: 1º Observa si es inmediata o si puedes convertirla en potencial, jugando con las propiedades de los exponentes. Ejemplo

∫ (1 + cos x ) dx ; ∫ x dx ; ∫ 2 2

dx ; ∫ x 2 x 3 dx

2º Examina si en el integrando existe tanto una función como su derivada. En este caso será por cambio de variable Ejemplo ∫ sin x ⋅ cos x dx ; ∫

ln x dx x

3º Examina si en el integrando hay una parte del mismo que al derivarlo se obtenga una función más sencilla. En este caso se debe intentar hacerla por partes Ejemplos

∫x

sin x dx ; ∫ ln x dx ; ∫ x n ln x dx ; ∫ ln 2 x dx ; ∫ arctan x dx ; ∫ x n e x dx

4º Ten presente que cualquier cociente polinómico tiene solución descomponiéndolo en fracciones algebraicas con denominadores irreducibles y para ello debes saber resolver las integrales siguientes: 1

∫ x ± a dx ; ∫ a + x

dx ; ∫

1 1 dx ; ∫ 2 dx y en general 2 a−x ax + bx + c

∫

( a2 ± x2 )

5º Las integrales trigonométricas ∫ sin n x dx ; ∫ cos n x dx ; ∫ tan n x dx y tienen siempre solución y debes saber hallarla. La integral ∫ sin n x ⋅ cos m x dx dependiendo de los exponentes n y m tiene estrategias de resolución diferentes. 5º Son integrales especialmente difíciles a nivel de secundaria

∫

sin x dx ; ∫ sin x 2 dx x

resueltas en

Estos consejos de estrategias son sólo introductorios. Para profundizar te aconsejo el libro de Demidovich cuya versión on-line puedes encontrar en http://mpec.sc.mahidol.ac.th/RADOK/physmath/mat12/start.htm | SOLUCIONES 114

| SOLUCIONES 115

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλµξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘6⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×

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