Continuidad de funciones

Analysis Continuidad

OpenUepc.com 1.1.4.5

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.5 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.5

CONTINUIDAD

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/).

El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto.

Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente.

Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009

+

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 Historia.............................................................................. ¡Error! Marcador no definido.

Aplicaciones ...................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Objetivos Mínimos ............................................................ ¡Error! Marcador no definido.

CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................... ¡Error! Marcador no definido.

La idea de límite ................................................................ ¡Error! Marcador no definido.

Limite de un función en el infinito ..................................... ¡Error! Marcador no definido.

Limite de un función en un punto ...................................... ¡Error! Marcador no definido.

Límites infinitos de una función en un punto ..................... ¡Error! Marcador no definido.

Límites infinitos de una función en el infinito .................... ¡Error! Marcador no definido.

Propiedades de los limites de funciones ............................. ¡Error! Marcador no definido.

Calculo de límites .............................................................. ¡Error! Marcador no definido.

Indeterminaciones.............................................................. ¡Error! Marcador no definido.

Límites de funciones trigonométricas. ............................ ¡Error! Marcador no definido.

FUNCIÓN CONTINUA ....................................................................................................... 3 Continuidad de las funciones elementales .......................................................................... 5 Tipos de discontinuidad ..................................................................................................... 5 Asíntotas de una función.................................................................................................... 8 Operaciones con funciones continuas. .............................................................................. 10 Propiedades de las funciones continuas ............................................................................ 11 Teorema del signo ........................................................................................................ 11 Teorema de acotación .................................................................................................. 11 Teorema de Bolzano (o del valor medio) ...................................................................... 12 Idea intuitiva del Teorema de Bolzano ......................................................................... 12 Teorema de Weiestrass ó de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo) ............ 13 Idea intuitiva del Teorema de Weiestrass ..................................................................... 14 Teorema de Darboux o de los valores intermedios........................................................ 14

| 1

+

INTRODUCCIÓN

| INTRODUCCIÓN 2

+

FUNCIÓN CONTINUA Definición: Función continua.

Una función f se dice que es continua si su dibujo se puede realizar de un solo trazo.

Función continua

Función discontinua

Esta definición dada en los primeros niveles de secundaria, aunque válida, es poco rigurosa, y no nos sirve de mucho a la hora de demostrar las propiedades de la continuidad ni desarrollar toda la teoría que sigue a partir de aquí, por eso es necesario formalizar este concepto de una manera mucho más rigurosa a partir del concepto de límite.

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto, incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite. No obstante si f(x) sí está definida en x0 y f(x0) = l entonces surge la definición de continuidad La función de la izquierda no está definida 1 en x0 = 0 y por lo tanto no existe el lim 2 y x 0 x sin embargo tiene límites por la derecha 1 1 lim 2   y por la izquierda lim 2   x 0 x x 0 x en ese punto. Es más, no solo tiene lçímites sino que incluso coinciden.

| FUNCIÓN CONTINUA 3

+

Definición: Función continua en un punto Se dice que la función f es continua en un punto x0∊ℝ si se verifican las tres condiciones: 1. La función f está definida en x0, es decir, existe f(x0) 2. Existe lim f ( x) x  x0

3. Se cumple que lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0

La definición de continuidad esta pues totalmente ligada a la definición de límite hasta tal punto que podemos decir: f continua en x 0  Existe lim f ( x)  f ( x0 )    0   0 / x  x0    f ( x)  f ( x0 )   x  x0

Es decir, que si fijamos un entorno de f(x0) de radio ε, que denotaremos E(f(x0), ε), podemos encontrar un entorno de x0 de radio δ, que depende de ε y llamaremos E(x0, δ), de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(x0, δ) exceptuando el propio x0, se tiene que su imagen f(x0) está en el entorno E(f(x0), ε) Teorema Si y = f(x) es continua en x0 entonces existe el lim f ( x) (La demostración es inmediata) x  x0

Demostración Es inmediata de la propia definición de continuidad Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como contraejemplo tenemos la x2 1 función f ( x)  que en x0 = 1 verifica que lim f ( x)  2 y lim f ( x)  2 x 1 x 1 x 1 Ejemplo Vamos a comprobar que lim 2 x  6 x 3

Tomamos  = 0.1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0.1, ǀf(x) - 6ǀ<0.1 ⇒ ǀ2x-6ǀ<0.1 ⇒ -0.1<2x-6<0.1 ⇒ 5.9<2x<6.1 ⇒ 2.95<x<3.05 ⇒... ... ⇒ 3-0.05<x<3+0.05 ⇒ ǀx-3ǀ<0.05 luego debemos tomar  = 0.05 Para cualquier  que tomemos todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre encontraremos un  apropiado.

En general para esta función : ǀf(x) - 6ǀ< ⇒ ǀ2x-6ǀ< ⇒ -<2x-6< ⇒ 6-<2x<6+ ⇒ 3-/2<x<3+/2 ⇒ ǀx-3ǀ</2 luego debemos tomar  = /2.  depende siempre del valor de  que tomemos . | FUNCIÓN CONTINUA 4

+

Definición: Continuidad en un intervalo Una función f se dice que es continua en un intervalo (a,b) de la recta real si lo es en cada uno de sus puntos.

Definición: Discontinuidad en un punto Si una función f no es continua en un punto x0∊ℝ se dice que f presenta una discontinuidad en x0.

Continuidad de las funciones elementales Funciones polinómicas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas

Son siempre continuas en todo ℝ Son continuas en todo ℝ La función logarítmica no está definida para el intervalo (-∞,0 ] luego ahí no es continua El seno y coseno son continuas La tangente es discontinua para x 

Funciones racionales

  k 2

Una función racional es de la forma f ( x) 

k 

P( x ) ; con P(x) y Q(x) Q( x )

dos polinomios.

Esta función presenta discontinuidad si Q(x) =0 Las raíces pares de números negativos no exiasten en ℝ luego en este conjunto no son continuas.

Funciones con radicales

Tipos de discontinuidad Existen 3 tipos de discontinuidad   

Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto finito Discontinuidad de salto infinito

Caso 1: Discontinuidad evitable (1ª especie) Este primer tipo de discontinuidad ocurre cuando la función no está definida en ese punto. Más concretamente: 1. O bien la función f no está definida en x0, es decir, no existe f(x0) 2. O bien no se cumple que f ( x0 )  lim f ( x) que x  x0

Pero sí se cumple la segunda propiedad que lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) x  x0

x  x0

x  x0

Se llama evitable porque si redefinimos la función en x0 de | FUNCIÓN CONTINUA 5

+

manera que f ( x0 )  lim f ( x) la función sería continua x  x0

Ejemplo 1  x  1 si x<0 La función f ( x )   2 , no está definida para x0 = 0, luego no puede ser  x  1 si x>0 continua en ese punto a pesar de que lim f ( x)  lim f ( x)  1 . x  x0

x  x0

Ejemplo 2

 x  1 si x<0  si x=0 , sí está definida para x0 = 0, y vale f(0) = 0, pero La función f ( x)   0  x 2  1 si x>0  no coincide con los límites laterales que valen 1: lim f ( x)  lim f ( x)  1  f (0)  0 . x  x0

x  x0

Caso 2: Discontinuidad inevitable de salto finito (2ª especie) La discontinuidad de segunda especie o no inevitables ocurren cuando la función sí está definida en ese punto, pero presenta un salto en su traza, es decir, cuando f(a) existe pero no existe lim f ( x) porque sus límites laterales, aunque existen, no x  x0

coincide el límite por la derecha lim f ( x) con el límite por x  x0

la izquierda lim f ( x) x  x0

Ejemplo si x  0  x La función f ( x )   2 , si está definida  x  1 si x>0 para x0 = 0, pues f(2) = 2, sin embargo lim f ( x)  0 y x  x0

lim f ( x)  1

x  x0

Caso 3: Discontinuidad inevitable asintótica Esta discontinuidad es también inevitable ó de 2ª especie y se produce cuando alguno de los dos límites laterales, o bien lim f ( x) , o bien lim f ( x) , son infinitos. x  x0

x  x0

Caso 4 Esencial Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos).

Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

| FUNCIÓN CONTINUA 6

+

Definición: Valor Verdadero Si una función f tiene una discontinuidad evitable en x0, llamaremos verdadero valor de la función en x0 al lim f ( x) . Dicho valor es el que convierte a la función en continua. x  x0

Definición: Salto Si una función f tiene una discontinuidad de salto en x0, llamaremos salto de la función en x0 al valor lim f ( x)  lim f ( x) . x  x0

x  x0

| FUNCIÓN CONTINUA 7

+

Asíntotas de una función Definición: Ramas infinitas Cuando en la gráfica de una función f encontremos un tramo en el que la función se aleja indefinidamente diremos que la función presenta una rama infinita.

Definición: Asíntota Cuando una función f presenta una rama infinita que se aproxima indefinidamente a una recta, sin llegar a contactarla, se dice que esa recta es una asíntota de la función Definición: Rama asintótica Cuando una función f presenta una rama infinita que se aproxima a una asintóta se dice que la rama infinita es una rama asintótica.

Definición: Rama parabólica Cuando una función f presenta una rama infinita que no es asintótica se denomina rama parabólica.

Definición: Asíntota horizontal Cuando una función f verifique que lim f ( x )  l ó que lim f ( x)  l la recta horizontal de x 

x 

ecuación y = l se denomina asíntota horizontal de la función f(x).

Definición: Asíntota Vertical Si existe un x0 tal que lim f ( x)   o x  x0

lim f ( x)  

x  x0

decimos que la recta

vertical de ecuació x = x0 es una asíntota vertical para la función f(x)

Definición: Asíntota oblícua Cuando una función f verique que f ( x) lim m y lim  f ( x)  mx   b x  x  x diremos que la función f presenta una asíntota oblicua en la recta y = mx + b.

| FUNCIÓN CONTINUA 8

+

Ejemplo 1 Calcular y representar las asíntotas de la función f ( x) 

x2  x  1 x2

Ejemplo 2

x2  x Calcular y representar las asíntotas de la función f ( x)  2 x 1

Ejemplo 3 Calcular y representar las asíntotas de la función f ( x) 

3 x3  2 x 2  5 x2 1

| FUNCIÓN CONTINUA 9

+

Operaciones con funciones continuas.

Sean f y g dos funciones continuas en x0, se tiene entonces que: a) b)

f  g es continua en x0. f  g es continua en x0. f c) es continua en x0 si g(x0) ≠ 0 g d) f g es continua en x0 suponiendo que f(x0) > 0 (para que tenga sentido la potencia).

Teorema Si f es continua en x0 y g es continua en f(x0) entonces g ∘ f es continua en x0.

Demostración f g  f ( x)   g  f ( x) Consideramos. x   a, b 

Dado ε>0 Por ser g continua en f(x0) entonces   0 / f ( x)  f ( x0 )    g  f ( x)   g  f ( x0 )    Por ser f continua en x0 dado el δ anterior   0 / x  x0    f ( x)  f ( x0 )   De ambas desigualdades en conjunto se tiene que: Dado ε>0 ⇒   0 / x  x0    f ( x)  f ( x0 )    g  f ( x)   g  f ( x0 )   

| FUNCIÓN CONTINUA 10

+

Propiedades de las funciones continuas Teorema del signo

  una función continua en todo (a,b) entonces si f(x0)  0, existe un entorno Sea f :  a, b   E(x0,) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Demostración Dicho en palabras se demostraría diciendo: “Sea f(x) una función continua en x0 siendo f(x0) distinto de 0, entonces existe un entorno de x0 en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(x0)”.

Haciendo con demostración rigurosa en notación matemática sería: Supongamos que f(x0) > 0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).

Dado  

f ( x0 )  0 , como f es continua en x0 se tiene que 2

  0 / x  x0    f ( x)  f ( x0 )  

 f ( x0 ) 3 f ( x0 )  , Es decir, si x   x0   , x0     f ( x)   f ( x0 )   , f ( x0 )       2   2 Por lo tanto: f(x) > 0. (c.q.d.)

Nota: Si x0 = b (respectivamente x0 = a) entonces existe  un tal que f toma en (b-,b) (respectivamente (a,a+) el mismo signo que f(x0).

Teorema de acotación

  una función continua en [a,b] y x0(a,b) entonces existe  > 0 tal que f es Sea f :  a, b   acotada en E(x0,).

Demostración Tomemos   1  0 . Por la continuidad de f(x) en x0 se tiene que:

  0 / x   x0   , x0     f ( x)   f ( x0 )   , f ( x0 )      f ( x0 )  1, f ( x0 )  1

 f ( x0 )  1, f ( x0 )  1 es un intervalo acotado, por lo tanto f está acotada en el entorno  x0   , x0    . de modo que

| FUNCIÓN CONTINUA 11

+

Teorema de Bolzano (o del valor medio)

  una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos Sea f :  a, b   en los extremos a y b del intervalo, es decir, c(a,b) tal que f(c) = 0.

sign f(a)  sign f(b).

Entonces existe

Demostración Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).  ab Si f    0 el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en  2  dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).

Sea I1=[a1,b1] el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

 a b  Si f  1 1   0 el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el  2  proceso anterior.

De esta manera se obtiene una sucesión de intervalos I1  I 2  I3  ...  I n  ... de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo.

Dicha sucesión define un número real c∊(a,b). Demostremos que f(c) = 0.

Supongamos que f(c) ≠ 0, entonces por el Teorema del Signo existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los intervalos Ii , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción, lo que implica que necesariamente f(c) = 0.

Consecuencia: Si f es continua en [a,b] y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) entonces ∃c∊(a,b)/ f(c) = k. (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x) = f(x) - k) Idea intuitiva del Teorema de Bolzano Vamos a hacer la demostración de forma gráfica que, aunque no es una demostración formal, sirve para que entendamos la idea de fondo que subyace en este teorema.

Si f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) estarán situados, uno por encima del eje X y otro por debajo.

Como por hipótesis la función f es continua, necesariamente su gráfica describirá una curva que una los dos puntos. | FUNCIÓN CONTINUA 12

+

Entonces, necesariamente la curva en su trayecto del uno al otro punto tendrá necesariamente que cortar al eje X. Ejemplo En el dibujo adjunto, vemos una función que en los puntos 2 y 6 toma valores de signo contrario, en 2 es negativa y en 6 es positiva. Como la función es continua, partiendo de (2,f(2)) necesariamente en algún momento tendrá que cruzar el eje X en busca del (6,f(6)).

Teorema de Weiestrass ó de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo)

  es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos Si f :  a, b   una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

Demostración f está acotada en [a,b].

ab y los 2 subintervalos [a,x0] y [x0,b] y f no está acotada en uno de ellos al menos, al cual llamaremos I1.

Supongamos que no lo está, consideremos entonces el punto medio x0 

Dividimos I1 en dos mitades y llamemos I2 a aquella mitad de las dos (al menos) en la que f no está acotada. Repetimos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión I1  I 2  I3  ...  I n  ... de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f no está acotada.

Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] se tiene que f es continua en c por lo que, aplicando el Teorema de Acotación, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los Ii donde la función no estaba acotada, por lo que llegamos a una contradicción.

Por lo tanto, f está acotada en [a,b]. f alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).

Si f está acotada en [a,b] entonces x   a, b  m, M / m  f ( x)  M siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior.

Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x) = M, el teorema estará demostrado. | FUNCIÓN CONTINUA 13

+

Supongamos entonces que no, que x   a, b 

f ( x)  M

1 una función que es continua en [a,b]. g necesariamente es M  f ( x) 1 1  k  f ( x)  M  x   a, b  que f(x) acotada en [a,b] ⇒ k   / M  f ( x) k alcanza un máximo absoluto en [a,b] Sea g ( x) 

Idea intuitiva del Teorema de Weiestrass La interpretación de que este teorema es cierto es de una evidencia absoluta, no así su demostración rigurosa como acabamos de ver.

Es decir, Weiestrass nos dice que si f es continua, entonces desde (a,f(a)) y (b,f(b)) tendrá que haber un trazo continuo, y es obvio deducir que en este camino f tendrá un máximo y un mínimo absoluto, si no los tuviera sería como pensar que la función crecería o decrecería hasta el infinito en algún momento de la traza, lo cual sería una contradicción con la afirmación de que f es continua

Teorema de Darboux o de los valores intermedios

  una función continua en el intervalo [a,b] , entonces f toma todos los Sea f :  a, b   valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Demostración Es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.

Como vemos en el dibujo, en su traza desde (a,f(a)) hasta (b,f(b)) la función, al ser continua, verifica que todos los puntos del intervalo (f(2),f(6)) del eje Y son imagen de algún punto de [2,6].

Es decir, para cualquier punto m del intervalo m∊[f(a),f(b)] existe c∊[a,b] tal que f(c) = m. | FUNCIÓN CONTINUA 14

+

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×



| FUNCIÓN CONTINUA 15

+

Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta de límite) En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:

Leithold Ejercicios 2.1

Soluciones 1. Solución:

2. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 16

+

3. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 17

+

4. Solución:

Continuidad de una función

Criterios de continuidad de una función en un número

| FUNCIÓN CONTINUA 18

+

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).

Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

Teoremas

de continui dad

| FUNCIÓN CONTINUA 19

+

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.

Soluciones

| FUNCIÓN CONTINUA 20

+

1. Soluciรณn:

x

-4

0

2

f (x)

-6

-2

0

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusiรณn: f es discontinua en -3.

2. Soluciรณn:

x

-6

-1

0

2

3

5

6

9

h(x)

-0.5

-1

-1.25

-2.5

-5

5

2.5

1

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusรณn: f es discontinua en 4.

| FUNCIร N CONTINUA 21

+

3. Solución:

x

-4

-3

-2

-1

0

8

y

-0.5

-1

0

1

0.5

0.1

4. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 22

+

x y

-6

-2

-1

0.025 0.125 0.2

0 0.25

1

2

6

0.2 0.125 0.025

5. Solución

Por lo tanto, f es discontinua en 0. | FUNCIÓN CONTINUA 23

+

6. Solución:

7. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 24

+

x ... y ...

...

-2

-1

0

1

2

...

8. Solución:

9. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 25

+

10. Solución:

11. Solución:

12. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 26

+

13. Solución:

14. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 27

+

15. Soluciรณn:

16. Soluciรณn:

17. Soluciรณn:

18. Soluciรณn:

| FUNCIร N CONTINUA 28

+

19. Solución:

20. Solución:

21. Solución:

| FUNCIÓN CONTINUA 29

+

| FUNCIÓN CONTINUA 30

+

U⌀ℕℤℚℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯B ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯⨁ ⨂✘✔×

| FUNCIÓN CONTINUA 31