FUNCIONES REALES
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Índice 1.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL ...................................................................................... 2
2.
DOMINIO E IMAGEN DE LA FUNCIÓN ......................................................................................... 5 2.1. 2.2.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ................................................................................................................ 5 IMAGEN DE UNA FUNCIÓN ................................................................................................................. 7
3.
FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS, BIYECTIVAS ............................................................... 8
4.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES .................................................................................................. 10
5.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ....................................................................................................... 11
6.
FUNCIONES POLINÓMICAS ........................................................................................................ 13
7.
FUNCIONES RACIONALES .......................................................................................................... 15
8.
FUNCIONES PERIÓDICAS ........................................................................................................... 16
9.
FUNCIONES EXPONENCIALES ..................................................................................................... 19 9.1. 9.2.
10.
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ........................................................................................ 19 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .............................................................................................. 20 FUNCIONES LOGARÍTMICAS .................................................................................................. 22
10.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ................................................................................................... 23 10.2. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ............................................................................................. 24 11.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL .............................................................................. 27
12.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ............................................................................... 30
EJEMPLO: .................................................................................................................................................. 32 13.
CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO .......................................................... 33
13.1. COCIENTE DE POLINOMIOS ............................................................................................................... 33 13.2. FUNCIONES IRRACIONALES ............................................................................................................... 34 13.3. POTENCIAS ................................................................................................................................... 34 14.
LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO ............................................................................ 35
15.
CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO ..................................................................................... 36
16.
INDETERMINACIONES ........................................................................................................... 39
17.
SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES ........................................................................................... 40
18.
OPERACIONES CON LÍMITES .................................................................................................. 42
19.
CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN ............................................................................... 43
19.1. COCIENTE DE POLINOMIOS ............................................................................................................... 43 19.2. DIFERENCIA DE EXPRESIONES IRRACIONALES ........................................................................................ 44 19.3. POTENCIAS ................................................................................................................................... 44 20.
EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES.................................................................................. 45
21.
EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................................................... 48
22.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN .......................................................................................... 50
22.1. DISCONTINUIDAD EVITABLE .............................................................................................................. 52
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22.2. DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO FINITO .................................................................................... 53 22.3. DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO INFINITO.................................................................................. 54 22.4. DISCONTINUIDAD INEVITABLE ........................................................................................................... 55 23.
CONTINUIDAD Y ACOTACIÓN EN UN INTERVALO CERRADO ................................................... 55
24.
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN CONTINUA ......................................................................... 56
25.
DEFINICIONES Y TEOREMAS PARA FUNCIONES CONTINUAS ................................................... 57
25.1. 25.2. 25.3. 25.4. 25.5.
MÁXIMO, MÍNIMO ......................................................................................................................... 57 FUNCIÓN ACOTADA ........................................................................................................................ 58 TEOREMA DE BOLZANO‐WEIERSTRASS ............................................................................................... 60 TEOREMA DE BOLZANO ................................................................................................................... 61 TEOREMA DEL VALOR MEDIO ........................................................................................................... 63
26.
INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS ........................................................................................ 64
27.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO .......................................................................... 65
28.
DERIVADA LATERALES ........................................................................................................... 69
29.
DERIVADAS SUCESIVAS ......................................................................................................... 71
30.
TABLA DE DERIVADAS ........................................................................................................... 72
31.
ÁLGEBRA DE DERIVADAS ....................................................................................................... 73
32.
DERIVADA Y CONTINUIDAD .................................................................................................. 75
33.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE LA CADENA ............................................ 76
34.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA ..................................................................................... 77
35.
TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ................................................................................... 78
36.
EJERCICIOS DE DERIVADAS .................................................................................................... 80
37.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS ........................................................................................ 82
37.1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO .................................................................................... 82 37.2. MONOTONÍA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS ................................................................................... 85 37.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN USANDO LAS PROPIEDADES DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ....................... 90 38.
TEOREMA DE ROLLE .............................................................................................................. 94
39.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O LAGRANGE .......................................................................... 94
40.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO O DE CAUCHY ................................................. 96
41.
REGLA DE L’HÔPITAL ............................................................................................................. 97
1. Funciones reales de variable real Definición:
Una función real de variable real f es una aplicación que asigna a cada número real
x ∈ D , un único número real y = f (x) , y se representa formalmente por:
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f :D→ℜ x → f(x) = y Donde D ⊂ ℜ , siendo “x” la variable independiente e “y” la variable dependiente.
Ejemplo son funciones
f (x ) = 4 f (x ) = x + π f (x ) =
x 2+ x f (x ) = x 3 + x 2 − 6 y = sen( x) + cos( x) Ejemplo no son funciones
x2 + y2 = 1 x 2 · y + y 2 = 10
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En la figura siguiente, son funciones a, b, f. No son funciones c, d, e.
Son funciones
No son funciones
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2. Dominio e Imagen de la función 2.1. Dominio de una función Definición:
El conjunto D se denomina dominio de definición de la función f y se denota por dom( f ) y es el conjunto de los números reales x para los cuales existe f (x) :
dom( f ) = {x ∈ ℜ / f ( x) = y} Dominios de las funciones más usuales: Funciones racionales enteras o polinómicas: el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales, es decir, no existen puntos donde no esté definido el dominio.
Ejemplo Calcular el dominio de la función polinómica
f ( x) = x 6 + 4 x 3 − 2 x + 7 El dominio es todo el conjunto de los números reales,
dom( f ) = {x ∈ ℜ}
Funciones racionales fraccionarias: el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales, excluidos los ceros o las raíces del denominador. Ejemplo Calcular el dominio de la función fraccionaria
f ( x) =
x6 + 4x3 − 2x + 7 x2 −1
f ( x) =
x 6 + 4x 3 − 2x + 7 x 6 + 4x 3 − 2x + 7 = con lo que el denominador se anula en los ( x − 1)( x + 1) x2 −1
puntos 1 y -1.
dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≠ 1, x ≠ −1}
Funciones irracionales del tipo f ( x ) = n g ( x ) : si n es impar, el dominio coincide con el conjunto de los números reales. Si n es par, el dominio es el conjunto de los números reales tales que g ( x) ≥ 0 5/102
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Ejemplo Calcular el dominio de la función irracional
f (x) = x El dominio es todo el conjunto de los números reales mayores o iguales que 0,
dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≥ 0}
Funciones exponenciales: el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales, es decir, no existen puntos donde no esté definido el dominio. U
Ejemplo Calcular el dominio de la función polinómica
f ( x) = x 6 El dominio es todo el conjunto de los números reales,
dom( f ) = {x ∈ ℜ}
Funciones logarítmicas f ( x) = Log[h( x)] : el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales tales que h( x) > 0
Ejemplo Calcular el dominio de la función exponencial
f ( x) = Ln(−2 x + 4) El dominio es todo el conjunto de los números reales tales que
− 2 x − 4 > 0 ⇒ −2 x > 4 ⇒ 2 x < −4 ⇒ x < −2 , dom( f ) = {x ∈ ℜ / x < −2}
Funciones trigonométricas seno y coseno: el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales.
Ejemplo Calcular el dominio de la función
f ( x ) = cos( x − 2 x 2 ) El dominio es todo el conjunto de los números reales,
dom( f ) = {x ∈ ℜ}
Función trigonométrica tangente, f ( x) = tg[g ( x)] : el dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales menos cuando g ( x) ≠ πk , k = 1,2,3... .
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Ejemplo Calcular el dominio de la función
⎛1 ⎞ f ( x) = tg ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ El dominio es el conjunto de los números reales tales que
1 x ≠ k ·π , k ∈ ℵ ⇒ x ≠ 2·k ·π , k ∈ ℵ , dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≠ 2·k·π , k ∈ ℵ} 2 2.2. Imagen de una función Definición
El conjunto de todos los f (x ) , con x recorriendo el dominio de la función, se llama imagen de la función f (también se denomina recorrido de la función) y se denota por img ( f ) :
img ( f ) = { f ( x) / x ∈ dom( f )}
Ejemplo Calcular el dominio de la función
f ( x) =
5x x−4
Solución: La función existe siempre que el denominador sea distinto de 0:
x−4≠ 0⇒ x ≠ 4 Por tanto, dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≠ 4} o equivalentemente dom( f ) = ℜ − {4} Ejemplo Calcular el dominio de la función
f ( x) =
x 2 − 16
Solución: La raíz cuadrada de un número existe si el número es mayor o igual que 0.
{
}
Por tanto, dom( f ) = x ∈ ℜ / x > 16 o 2
dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ∈ (−∞,−4] ∪ [4, ∞)}
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Imagen
Domino
3. Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas Definición:
Si a cada valor del recorrido le corresponde exactamente un elemento en su función, la función se llama inyectiva.
Definición: Sea f : X → Y Si el recorrido de f es todo el conjunto Y , la función es sobreyectiva.
Definición:
Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
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4. Composición de funciones Definición:
Dadas dos funciones f : A → B y g : B → A tales que la imagen de f está contenida en el dominio de g , se define la función composición f o g : A → C como la función
f o g ( x) = f (g ( x)) , para todos los elementos x de A
Ejemplo La siguiente función es la composición de dos funciones polinómicas
f ( x) = 2 x g ( x) = x 2 Entonces:
f o g ( x) = f (g ( x) ) = f (x 2 ) = 2 x 2
g o f ( x) = g ( f ( x) ) = g (2 x ) = (2 x ) = 4 x 2 2
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Ejemplo La siguiente función es la composición de una función polinómica y una función trigonométrica
f ( x) = x 3 + 2 x − 7 g ( x) = sen( x) Entonces:
f o g ( x) = f ( g ( x) ) = f (sen( x )) = sen 3 x + 2 senx − 7
g o f ( x) = g ( f ( x) ) = g (x 3 + 2 x − 7 ) = sen(x 3 + 2 x − 7 )
5. Gráfica de una función Definición
Gráfica de una función f es el conjunto de puntos del plano ( x, y ) , tales que y = f (x) , es decir:
gráfica de f = {( x, y) / x ∈ dom( f ), y = f ( x)}
Ejemplo la gráfica de la función
f ( x) = sen( x) es
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Ejemplo la gráfica de la función
Ejemplo la gráfica de la función f ( x ) = x
3
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6. Funciones Polinómicas
Las Funciones Polinómicas son
n
f ( x ) = ∑ ai x i i =0
f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
Ejemplo Son funciones polinómicas
f (x ) = 5 x 4 + x 3 − x 2 + f (x ) = 4 f (x ) = x + π f (x ) = 5 x 4 + x 3 − x 2 + f (x ) = x 3 + x 2 − 6
4 x + 45 3
4 x + 45 3
Ejemplo La función polinómica f ( x ) = a se llama función constante
f (x) = 2
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Ejemplo La función polinómica f ( x ) = ax + b se llama recta
f (x) = 2x + −5
Ejemplo La función polinómica f ( x ) = ax + bx + c se llama parábola 2
f (x ) = − x 2 + x + 1
Proposición:
El dominio de las Funciones Polinómicas es toda la recta real.
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7. Funciones Racionales
Las Funciones Racionales son
n
f (x ) =
∑a x
i
∑b x
i
i =0 m
i =0
i
i
an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 f (x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0
Ejemplo Son funciones racionales
f (x ) =
5x 4 + x 3 − x 2 + x +π
f (x ) =
4 x
f (x ) =
x +π x + x2 − 6
4 x + 45 3
3
Proposición:
El dominio de las Funciones Racionales es toda la recta real menos cuando el denominador es 0
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Ejemplo
f (x ) =
2x − 1 El dominio de esta función es D( f ( x )) = {x ∈ ℜ − {0}} x2
8. Funciones Periódicas Definición:
Una función f (x ) es periódica, de periodo T si, y solo si, f ( x + T ) = f ( x) para todo x de su dominio.
f ( x + T ) = f ( x) T es el menor número que cumple tal condición.
Ejemplo Son funciones periódicas
f ( x ) = sen(x ) f ( x ) = cos(x ) f ( x ) = tg (x )
( )
f ( x ) = sen 2 x 2
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Ejemplo Hallar el periodo de la función
Por definición
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f ( x) = sen4 x
f ( x + T ) = f ( x) ⇒ sen[4(x + T )] = sen4x . Como senx tiene periodo 2π :
4( x + T ) = 4 x + 2π ⇒ 4T = 2π ⇒ T = Ejemplo Hallar el periodo de la función La función senx se repite cada suma de ambas se repetirá cada
π 2
f ( x) = senx + tgx
2π unidades y la función tgx π unidades.
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se repite cada
π unidades. La
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9. Funciones Exponenciales Definición:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace x corresponder la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x.
f ( x) = a x Como
+ , la función exponencial es una función de ℜ en ℜ .
a x > 0 para todo
El dominio de las Funciones Exponenciales es toda la recta real.
Ejemplo son funciones exponenciales
f (x ) = 2 x f (x ) = π x f (x ) = e x 9.1. Propiedades de la función exponencial Sean a y b reales positivos y x, y ∈ ℜ , entonces:
1.
2.
3.
a x ·a y = a x + y
ax x− y = a ay
(a )
x y
= a x· y 19/102
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4.
(a·b )x = a x ·b x x
5.
ax ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = x b ⎝b⎠
⎛a⎞ 6. ⎜ ⎟ ⎝b⎠ -
-
−x
bx = x a
Cuando a > 1 , si x < y , entonces a < a . Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. y x Cuando 0 < a < 1 , si x < y , entonces a < a . Esto significa que la función exponencial de base a menor que es estrictamente decreciente en su dominio. x
y
-
ax = ay ⇔ x = y .
-
Si 0 < a < b , se tiene:
-
Cualquiera que sea el número real positivo y 0 , existe un único número real x 0 tal que a x0 = y 0 . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.
9.2. Gráfica de la Función Exponencial La gráfica de la función exponencial, si la base es mayor que cero, es como la de la figura siguiente. Estas son tres gráficas de la función exponencial cada una con una base distinta. De las gráficas se puede ver que el dominio de la función exponencial es
(− ∞,+∞) y la imagen toda la recta real (0,+∞)
0 Toda función exponencial toma el valor 1 cuando x = 0 , esto es a = 1
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En las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (Fig. 1) y de base a < 1 (Fig. 2).
Fig.1
Fig.2
Cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial y = a x (Fig.1) no está acotada superiormente. Es decir, a
x
crece sin límite al aumentar la variable x. 21/102
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x
Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, a tiende a cero, cuando x tiende a − ∞ . Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial y = a x (Fig. 2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor x absoluto, es diferente. Así, a crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero x negativos y a tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. x
El hecho de ser la función exponencial a con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función Logarítmica). Cuando a = e, donde “e” es el número irracional cuya representación decimal con sus x primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284… La función exponencial e , se x llama función exponencial de base e y se denota por Exp(x) = e .
10.
Funciones Logarítmicas
Definición:
Sea a un real positivo fijo, a ≠ 1 y sea x cualquier real positivo, entonces:
y = Log a x ⇔ a y = x La función que hace corresponder a cada número real positivo su Logaritmo en base a ≠ 1 , denotada por y = Log a x , se llama función Logarítmica de base a, y, el número Log a x se llama Logaritmo de x en la base a. Definición:
Las Funciones Logarítmicas son:
f ( x ) = Log a x
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El dominio de las Funciones Logarítmicas es 10.1.
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(0,+∞)
Propiedades de los Logaritmos
Si a > 0 , y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces: 1. Log a
(a ) = b b
2.
Log a a = 1
3.
Log a1 = 0
4.
Log a ( x· y ) = Log a ( x ) + Log a ( y )
5.
6.
⎛x⎞ Log a ⎜⎜ ⎟⎟ = Log a ( x ) − Log a ( y ) ⎝ y⎠
( )
Log a x n = n·Log a ( x )
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces Log a x < Log a y . Es decir, la Función Logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1 , si 0 < x < y , entonces Log a x > Log a y . Esto es la Función Logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. Para todo número real y 0 , existe un único número real x 0 tal que Log a x0 = y 0 . Esta propiedad indica que la función Logarítmica es sobreyectiva.
Logb x =
Log a x ,b ≠1 Log a b
Si Log b m = x , y α ≠ 0 , entonces Log bα m α = x . (Invarianza)
Demostraciones: - Sea y = Log a ( a b ) .De acuerdo a la definición de Logaritmo se tiene:
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y = Log a ( a b ) ⇔ a y = a b ⇔ y = b . Esto es, b = Log a ( a b ) -
En
segundo
decir,
a Logab = b
(1)
lugar,
nuevamente
por
la
y = Log a b ⇔ a y = b . Es
definición
(2).
- De (1) y (2), se concluye que Log a ( a b ) = a Log a b = b .
α = Log a x
- Sea
y
β = Log a y
α
Log a x = α ⇔ a = x β
Log a y = β ⇔ a = y
, entonces:
( 1 ). ( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :
a α .a β = x· y ⇔ a α + β = x· y ⇔ Log a ( x· y ) = α + β
Es decir,
Log a ( x· y ) = Log a x + Log a y
α = Log a x
- Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean:
En efecto, si α ≥ β , y como a > 1, se tendría que con la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.
y
β = Log a y
α
α<β.
.Se prueba que
β
a ≥ b , es decir, x ≥ y en contradicción
- Según la definición de Logaritmo, Loga b = c, quiere decir que b = a . Tomando Logaritmos en base n, a esta última expresión, Logn b = c Logn a, pero c = Loga b. Entonces Loga b= Logn b / Logn a c
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Observaciones. i) La igualdad Log a ( a b ) = b es también válida para b < 0. ii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y Logarítmicas es el llamado número e (número de EULER). Los Logaritmos de base e son llamados Logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln o L. iii) Los Logaritmos que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la práctica son los correspondientes a la base 10, los cuales son llamados Logaritmos Decimales o Vulgares y se denotan por Log10 x o
Log x . iv) El Logaritmo decimal de un número (por ejemplo Log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera (en nuestro ejemplo 3) se le llama característica del Logaritmo y a la parte decimal (en nuestro ejemplo 545307) mantisa del Logaritmo.
10.2.
Gráfica de La Función Logarítmica 24/102
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La gráfica de la función logaritmo, si la base es mayor que cero, es como la de la figura siguiente. Estas son tres gráficas de la función logaritmo cada una con una base distinta. De las gráficas se puede ver que el dominio de la función logaritmo es
(0,+∞) y la imagen toda la recta real (− ∞,+∞)
Toda función logarítmica toma el valor cero cuando x = 1 , esto es log a (1) = 0
En las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de las funciones y = Log2 x e y = Log 1 x . 2
En la figura 3, se han trazado conjuntamente las curvas y = 2 x e curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.
Fig. 1
Fig. 2
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y = Log2 x . Las
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Fig.3
26/102
11.
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Valor absoluto de un número real
Definición
El valor absoluto a de un número real a es:
⎧ a si a ≥ 0 a =⎨ ⎩− a si a < 0
Ejemplo La representación gráfica de la función f ( x ) = x es
Es decir, el valor absoluto se trata del mismo número si éste es positivo o nulo y de su opuesto si éste es negativo. Por definición, el valor absoluto de un número es siempre no negativo y verifica:
i) a = − a ∀a ∈ R . El valor absoluto de un número y de su opuesto son siempre los mismos.
ii) ab = a b ∀a, b ∈R . El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos.
iii) a = 0 ⇔ a = 0 . El valor absoluto de un número es cero si y sólo si éste es cero. iv) a + b ≤ a + b . El valor absoluto de una suma es como máximo igual a la suma de los valores absolutos (desigualdad triangular). 27/102
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Ejemplo Calcular el valor absoluto de algunos números:
− 3 = 3 ; 4 = 4 ; − 3+ 5 = 2; − 5+ 3 = 2.
El valor absoluto de las expresiones literales no puede darse explícitamente y nos tenemos que referir a la definición. Por ejemplo: ⎧ x + y si x + y ≥ 0 ; x+ y =⎨ ⎩− ( x + y ) si x + y < 0
Cuando manejemos funciones conocidas también debemos utilizar la definición y resolver posteriormente las inecuaciones obtenidas:
⎧ 1 ⎪⎪ 1 = ⎨ sen x 1 sen x ⎪ − ⎪⎩ sen x
1 ≥0 sen x . 1 <0 si sen x
si
Ejemplo Comprobemos con un ejemplo que el valor absoluto de una suma es como máximo igual a la suma de los valores absolutos. En efecto:
−2+2 = 0 mientras que:
−2 + 2 = 2+2 = 4, por lo que escribimos:
−2+2 ≤ −2 + 2 . Sin embargo, el valor absoluto del producto:
( −2) 2 = − 4 = 4 coincide con el producto de los valores absolutos:
− 2 2 = 2⋅ 2 = 4.
Proposición: 1. x − a ≤ d si y solo si a − d ≤ x ≤ a + d (d > 0)
2.
x − a ≥ d si y solo si x ≥ a + d o x ≤ a − d (d > 0)
3. − a ≤ a ≤ a 4. k ≤ a si y solo si k ≤ a o a ≤ −k 5. a ≤ k si y solo si − k ≤ a ≤ k 28/102
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29/102
12.
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Límite de una función en un punto
Definición:
El límite de una función f (x ) , cuando x tiende a “a”, es el número L si se verifica:
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε Entonces:
lim f ( x ) = L x→∞
Ejemplo
(
)
lim x 2 − 2 x = 16 − 8 = 8 n→4
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Ejemplo
lim n→0
1 ex = x+2 2
Definición:
Dada f función decimos que existe el límite lateral por la derecha en un punto a, si se verifica que:
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε Entonces
lim
f ( x) = L
x→a +
Definición:
Dada f función decimos que existe el límite lateral por la izquierda en un punto a, si se verifica que:
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ f ( x) − L < ε Entonces
lim
f ( x) = L
x→a −
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Ejemplo:
⎧− 1 si x < 0 f (x) = ⎨ ⎩ 1 si x ≥ 0 El límite por la derecha es 1 y el límite por la izquierda es –1.
Proposición:
La condición necesaria y suficiente para que exista límite de una función f en un punto a es que existan los límites laterales y además coincidan.
Operaciones con límites:
Si
lim f ( x ) = L y lim g ( x ) = M
1.
lim( f ( x) + g ( x) ) = L + M
2.
lim ( f ( x )· g ( x ) ) = L·M
x→∞
n→∞
entonces:
x →∞
x→∞
⎛ f ( x) ⎞ L ⎟= si M ≠ 0 x →∞ g ( x ) ⎟ ⎝ ⎠ M
3. lim⎜⎜
4.
lim( f ( x) )
5.
lim (k · f ( x ) ) = k ·L, para cualquier k ∈ ℜ
x →∞
g ( x)
= LM
si L > 0 y M ≠ 0
x→∞
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Ejemplo Calcular el límite
⎛ ex ⎞ 1 1 + cos x ⎟⎟ = − 1 = − lim⎜⎜ n →0 x + 2 2 ⎝ ⎠ 2 ⎛ ex ⎞
1
⎟ = y lim (cos x ) = 1 ya que lim⎜⎜ n →0 x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 n→0
Ejemplo Calcular el límite
⎛ ex ⎜ lim⎜ x + 22 n → 0 ⎜ cos x ⎜ ⎝
⎞ 1 ⎟ ⎟= 2 =1 ⎟ 1 2 ⎟ ⎠
⎛ ex ⎞
1
(
⎟ = y lim cos x ya que lim⎜⎜ n →0 x + 2 ⎟ ⎠ 2 n→0 ⎝
13.
2
)=1
Cálculo del límite de una función en un punto
En Matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor 13.1.
Cociente de polinomios
a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 . Se puede dar el tipo de indeterminación m −1 x →a b x m + b + ... + b1 x + b0 m m −1 x
lim f ( x ) = lim x →a
0 0 Indeterminación
33/102
0 0
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Ejemplo
lim x →1
x 2 − 3x + 2 0 → se trata de una indeterminación. Factorizando el numerador x −1 0
( x − 1)( x − 2) x 2 − 3x + 2 lim = lim = lim( x − 2) = −1 x →1 x → 1 x →1 x −1 x −1
13.2.
Funciones irracionales
Indeterminación
0 0
Ejemplo
x −1 −1 0 → se trata de una indeterminación. Multiplicando numerador y denominador x−2 0
lim x→2
por el conjugado del numerador:
x −1 −1 = lim x→2 x−2
lim x→2
13.3.
(
)(
x −1 −1
(x − 2)(
) = lim
x −1 +1
)
x −1 +1
x→2
(x − 2)(
Potencias Indeterminación 1∞
Ejemplo
(
lim 1 + x 2 x→0
(
lim 1 + x 2 x →0
)
)
1 x2
1 x2
→ 1∞ se trata de una indeterminación.
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ = lim⎜1 + x →0 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ x2 ⎠ ⎝
1 x2
=e
34/102
x−2
)
x −1 +1
= lim x→2
(
1
)
x −1 +1
=
1 2
14.
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Límites de una función en el infinito
lim f ( x) = L si∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que x > δ ⇒ f ( x) − L < ε
x → +∞
lim f ( x) = L si∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que x < δ ⇒ f ( x) − L < ε
x → −∞
Cuando existen los límites en el infinito, aparecen las asíntotas horizontales
Ejemplo
lim − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 2 = −∞
x → −∞
Ejemplo
1 =0 x → −∞ x 3
lim x −3 = lim
x → −∞
Es la función representada en la siguiente figura
Ejemplo
lim Ln ( x ) = 0
x → −∞
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Ejemplo
⎛1⎞ lim Ln⎜ ⎟ = −∞ x →∞ ⎝ x⎠ Es la función representada en la siguiente figura
15.
Cálculo de límites en el infinito
El cálculo de los límites cuando x tiende a infinito se hace igual que los límites de sucesiones de números reales. Indeterminación
∞ ∞
En general:
⎧± ∞ si p > q a p x + a p −1 x + ... ⎪⎪ a p =⎨ lim si p = q q −1 n →∞ b x q + b b x ... + q q −1 ⎪ q ⎪⎩ 0 si p < q p
p −1
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Ejemplo
∞ x 3 − 2 x 2 − 3x + 2 se trata de una indeterminación. → 3 x → −∞ ∞ 4 x + 3x + 8 lim
x − 2 x − 3x + 2 − x − 2 x + 3x + 2 = lim = lim 3 x → +∞ x → +∞ − 4 x 3 − 3x + 8 4 x + 3x + 8 3
lim
x → −∞
2
3
(− x
)
− 2 x 2 + 3x + 2 1 x3 = 3 4 − 4 x − 3x + 8 3 x
2
3
(
)
Ejemplo
lim
x → −∞
lim
x → −∞
2x 4 4 3 x + 3x 2 + 8 x + 101000 3 2x 4 4 3 x + 3 x 2 + 8 x + 101000 3
→
∞ se trata de una indeterminación. ∞
=∞
Ejemplo
x 4 + 300 x 3 + 8000 x 2 + 10 x + 48 ∞ se trata de una indeterminación. → 5 x → −∞ ∞ x lim
x 4 + 300 x 3 + 8000 x 2 + 10 x + 48 =0 x → −∞ x5 lim
Indeterminación ∞ − ∞
Ejemplo: Este tipo de límites se suele resolver multiplicando y dividiendo por el conjugado.
lim
x→∞
(
)
x 2 + 1 − x 2 − 2 = lim
n→∞
(
)(
x2 +1 − x2 − 2 · x2 +1 + x2 − 2
(
x2 +1 + n2 − 2
37/102
)
) = lim
n →∞
(
3 x2 +1 + x2
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Indeterminación 1∞ x
⎛ 1⎞ La resolución de este tipo de límites se basa en que lim ⎜1 + ⎟ = e . Se transforman x→∞ x⎠ ⎝
⎛ 1⎞ ⎟⎟ los límites en lim ⎜⎜1 + x →∞ ⎝ cx ⎠
cx
dónde lim c x = ∞ . Este límite también vale el número e x→∞
x
⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x→∞ x⎠ ⎝
Ejemplo x
4⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ → 10 x→∞ x⎠ ⎝ x
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ 1 ⎟ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎜ lim⎜1 + ⎟ = lim 1 + = lim 1 + x →∞ x →∞⎜ x → ∞⎜ ⎛ x⎞⎟ ⎛ x⎞⎟ ⎝ x⎠ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝4⎠⎠ ⎝ ⎝4⎠⎠
⎛x⎞ ⎜ ⎟·4 ⎝4⎠
x
Ejemplo
1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ x→∞ x⎠ ⎝
3x
⎛ 1⎞ lim⎜1 + ⎟ x →∞ x⎠ ⎝
3x
→ 10 3
⎡⎛ 1 ⎞ x ⎤ = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = e 3 x →∞ x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝
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4
⎛x⎞ ⎡ ⎜ ⎟⎤ ⎝4⎠ ⎞ ⎛ ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 1 ⎟ ⎥ = e4 = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ x →∞ ⎜ x ⎛ ⎞ ⎢⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠ ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢
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Ejemplo
⎛ x +1 ⎞ 0 lim ⎜ ⎟ →1 x→∞ x − 2 ⎝ ⎠ x
x +1 ⎞ x +1 x − 2 ⎞ x +1 x − 2 ⎞ ⎛ x +1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ lim⎜ = lim⎜1 + − 1⎟ = lim⎜1 + − = lim⎜1 + − ⎟ ⎟ ⎟ = li x →∞ x − 2 x →∞ x →∞ x →∞ x→ x−2 ⎠ x −2 x −2⎠ x −2 x −2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ x
x
x
⎛ x−2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟· x 3 ⎠ ⎝ x−2 ⎠
x
⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎝ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎜ = lim 1 + = lim 1 + x →∞ ⎜ x → ∞⎜ ⎛ x −2⎞⎟ ⎛ x −2⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠⎠
16.
x
=e
⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ lim ⎜ x ·⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ x−2 ⎠ ⎠
x→∞ ⎜ ⎝
= e3
Indeterminaciones
Tipos de indeterminación. Son indeterminaciones cuando en un límite se dan los siguientes casos. Indeterminación
0 0
Indeterminación ∞ − ∞ Indeterminación 0·∞ Indeterminación
∞ ∞
Indeterminaciones ∞ 0 ; 0 ∞ ; 1∞ A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe).
39/102
17.
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Sucesión de números reales
Definición:
La sucesión de números reales es una función f definida en el conjunto de los números naturales que toman valores reales:
f :ℵ → ℜ n → f(n) = a n Se puede interpretar también una sucesión como una colección de infinitos números naturales, que toman valores reales:
{a n } = {a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,...} Ejemplo la sucesión cuyo término general es a n =
2n tiene por primeros términos n +1
⎧ 4 3 8 ⎫ ⎨1, , , ,...⎬ ⎩ 3 2 5 ⎭ La representación gráfica de esta sucesión es: 2,5 2 1,5 1 0,5
40/102
40
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
0
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Definición:
El límite de la sucesión a n cuando n tiende a ∞ , es el número L si
lim an = L si ∀ε > 0, ∃N ∈ ℵ tal que ∀n > N ⇒ an − L < ε n→∞
En la figura anterior, se observa que la sucesión a n =
2n tiende a 2. Se puede n +1
⎛ 2n ⎞ ⎟=2 ⎝ n +1⎠
demostrar que lim a n = lim⎜ Definición:
Una sucesión es convergente si tiene límite. Si no lo tiene se dice que es divergente. Una sucesión que no es convergente ni divergente se denomina oscilante.
Proposición:
Si una sucesión tiene límite, éste es único.
Definición: La sucesión a n es creciente si a n ≤ a n +1 para todo n ∈ℵ, y es decreciente si
a n ≥ a n +1 para todo n ∈ℵ. Se dice que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Ejemplo: la sucesión
{3,5,7,...}es creciente, mientras que ⎧⎨1, 1 , 1 , 1 ,...⎫⎬ es decreciente. ⎩ 2 4 6
⎭
Definición: La sucesión a n está acotada superiormente si a n ≤ K para todo n ∈ℵ, siendo K una cota superior de a n .
Ejemplo
41/102
La sucesión
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⎧ 1 1 1 ⎫ ⎨1, , , ,...⎬ está acotada superiormente y una cota superior es K=3 ⎩ 2 4 6 ⎭
otra cota superior es K=1.
Definición: La sucesión a n está acotada inferiormente si M ≥ a n para todo n ∈ℵ, siendo M una cota inferior de a n .
Ejemplo
{
}
La sucesión 3,5,7,... está acotada inferiormente y una cota inferior es M=0. Otra cota inferiores M=3.
Definición:
La sucesión a n está acotada si lo está superior e inferiormente.
Proposición:
Si una sucesión es monótona creciente y acotada superiormente será convergente. Análogamente, Si una sucesión es monótona decreciente y acotada inferiormente será convergente.
18.
Operaciones con límites
Si
lim a n = L y lim bn = M
1.
lim (a n + bn ) = L + M
2.
lim (a n ·bn ) = L·M
3.
lim (a n / bn ) = L / M
n→∞
n→∞
n→∞
n →∞
n→∞
42/102
entonces:
si M ≠ 0
lim(a n ) n = LM b
4.
n →∞
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si L > 0 y M ≠ 0
Si se suman o multiplican sucesiones que tienden a infinito, el resultado también tenderá a infinito.
Ejemplo
Sabido que
⎛ 2n ⎞ ⎛ n ⎞ lim(a n ) = lim⎜ ⎟ = 2 y lim(bn ) = lim⎜ ⎟ =1 ⎝ n + 1⎠ ⎝ n +1⎠
n ⎞ ⎛ 2n lim(a n + bn ) = lim⎜ + ⎟ = 2 +1 = 3 ⎝ n +1 n +1⎠ ⎛ 2n n ⎞ lim(a n ·bn ) = lim⎜ · ⎟ = 2·1 = 2 ⎝ n + 1 n + 1⎠ ⎛ 2n ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎞ ⎟⎟ = lim⎜ n + 1 ⎟ = = 2 ⎜ n ⎟ 1 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ n +1 ⎠
⎛a lim⎜⎜ n ⎝ bn
n
lim(a n )
bn
19.
⎛ 2n ⎞ n +1 1 = lim⎜ ⎟ =2 =2 ⎝ n + 1⎠
Cálculo del límite de una sucesión
19.1.
Cociente de polinomios
Indeterminación
∞ ∞
⎧± ∞ si p > q ⎪⎪ a p En general: lim si p = q = ⎨ q −1 n→∞ b n q + b b ... n + q q −1 ⎪ q ⎪⎩ 0 si p < q a p n p + a p −1 n p −1 + ...
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Ejemplo
3n 2 5n 6 5 6 3− + 2 − 2 + 2 2 2 3n − 5n + 6 n n =3=1 n = lim lim 2 = lim n 2 n n →∞ 6 n + 2 n + 5 n →∞ 6n n→∞ 2 5 6 2 2n 5 6+ + 2 + 2 + 2 2 n n n n n 19.2.
Diferencia de expresiones irracionales
Indeterminación ∞ − ∞
En general, se suelen resolver multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
Ejemplo
)
(
lim 2n 2 + 1 − n 2 − 2 = lim n→∞
= lim
n→∞
( 2n
2
n +3 +1 + n2 − 2
lim
n →∞
3 n
⎛ 1 2 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 1− 2 ⎟ ⎜ n n ⎟⎠ ⎝ 19.3.
( 2n
2
+1 + n2 − 2
)
)=
)
Dividiendo numerador y denominador por
n+
)(
+ 1 − n 2 − 2 · 2n 2 + 1 + n 2 − 2
n →∞
2
2
( 2n
= lim
n →∞
(
n
∞+0 = +∞ 2 + 0 + 1− 0
)
Potencias
Indeterminación 1∞
⎛ n→∞ ⎝
La resolución de este tipo de límites se basa en que lim ⎜1 +
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ los límites en lim ⎜⎜1 + n →∞ ⎝ cn ⎠
cn
dónde lim c n = ∞ . Este límite también vale el número e n→∞
44/102
n
1⎞ ⎟ = e . Se transforman n⎠
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Ejemplo n
n
n
n +1 ⎞ n +1 n − 2 ⎞ n +1 n − 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ n +1 ⎞ lim⎜ = lim⎜1 + − − = lim⎜1 + − 1⎟ = lim⎜1 + ⎟ ⎟ ⎟ n →∞ n − 2 n →∞ n →∞ n →∞ ⎝ n−2 n−2⎠ ⎝ n−2 n−2⎠ ⎝ n−2 ⎠ ⎠ ⎝ n
3 ⎞ ⎛ = lim⎜1 + ⎟ = n→∞ ⎝ n−2⎠ ⎛ n−2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟· n· ⎜ ⎟·⎜ 3 ⎠ ⎝ n−2 ⎠
n
⎞⎝ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎜ = lim 1 + = lim 1 + n → ∞⎜ n →∞ ⎜ ⎛n−2⎞⎟ ⎛n−2⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠⎠
20.
=e
Ejercicios resueltos de funciones
1) Simplificar:
Solución:
=
=
=
=
=
= 2025
2) Probar
(e (e
x
x
+ e−x
+e
)
−x 2
) − (e 2
x
− e −x
)
2
⎡ e x − e −x ⎤ · 1− ⎢ x −x ⎥ ⎣e + e ⎦
2
=
2e x e2x + 1
45/102
⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ lim ⎜ n· ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ n−2 ⎠ ⎠
n→∞ ⎜ ⎝
= e3
n
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Solución: Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción. Así:
También
En consecuencia:
.
3) Probar que si a > 0,
a ≠ 1 y x > 0, entonces,
Solución: Suponga que y = Log a x (1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que
x = a y (2).
De (2), se deduce que
. Pero,
(3). De (1) y (3), se concluye que:
4) Sea a > 0, x > 0 y además
. Determine el valor de x.
Solución: Si , entonces, en ambos miembros de la última igualdad, se obtiene:
46/102
. Tomando Logaritmo en base a
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. O Equivalentemente,
Despejando
y simplificando, se obtiene:
En consecuencia,
. 5) Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones: (1)
(2)
Solución: De la ecuación (2), se sigue que x e y son reales positivos. Además, se puede deducir que:
(3). De donde,
(4).
Como x, y son reales positivos, se sigue de (1) que
(5).
De (4) y (5), se deduce que:
. De donde,
. Sustituyendo el valor de y en la ecuación (1), se obtiene 6)
47/102
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7)
8) Log(x + 4) = 1 - Log(x - 5) Log(x + 4) = Log 10 - Log(x - 5) = Log (10/(x - 5)) x + 4 = 10/(x - 5) x2 - x - 30 = 0 P
P
x=6 x = - 5 (esta solución, no es válida). 9) Calcular el valor de Log2 64 B
B
Como 64 = 26 P
P
Log2 64 = Log2 26 B
B
B
B
P
P
Aplicando la definición de Logaritmo (Logaritmo de un número a es otro número b al que tenemos que elevar la base para obtener el número a), la solución es 6.
21.
Ejercicios propuestos
1) Simplificar:
(Exprese Todo en Potencias de Base 2 y 3) 2) Simplificar:
(Exprese Todo en Potencias de Base 2 y 3)
48/102
3) Resuelva en
ℜ
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la siguiente ecuación exponencial:
4) Use las propiedades de los Logaritmos para demostrar las siguientes identidades.
5) Resuelva la siguientes Ecuaciones Logarítmicas.
6) Si a > 1 y x > 1, pruebe que:
7) Determine el valor de x,
x ∈ ℜ x, sabiendo que:
8) Resolver: a) 32-x2=3 B
B
P
P
b) 42x+1 = (0,5)3x+5 P
P
P
P
c) 2x-1 + 2x + 2x+1 = 7 P
P
P
P
P
P
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 1024 ⎠
d) 0.25 3 x − ⎜
x −3
=0 49/102
e)
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⎛1⎞ 275 x +2 − ⎜ x ⎟ = 0 ⎝3 ⎠
22.
Continuidad de una función
En Matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. La siguiente función es continua:
La siguiente función es discontinua:
Definición:
50/102
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La función f es continua en un punto x0 si y solo si:
1. La función f está definida en x0 ( x0 pertenece al dominio de f ) 2. Existe lim f ( x) x→ x0
3. El límite en el punto es igual que la función en ese punto,
lim f ( x) = f ( x) x → x0
Definición: La función f es discontinua en un punto x0 si “no” cumple alguno de los puntos anteriores
Ejemplo La función f ( x ) =
1 es discontinua e el punto x = 0 pero continua en el resto de los puntos x
de la recta real, como se puede ver en la gráfica de la función
()
()
La función f x = sen x es continua en todos los puntos de la recta real, como se puede ver en la gráfica de la función
51/102
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Definición:
Si la función f ( x ) es continua para todos los puntos del intervalo (a, b ) , entonces la función es continua.
Si f : (a, b) → ℜ, f continua ⇔ f es continua ∀ x tal que x ∈ (a, b)
Definición:
Si f : [a, b] → ℜ y f continua ⇔ f es continua ∀ x tal que x ∈ (a, b) y además
∃lim y f ( x) = f (a) x →a +
∃lim y f ( x) = f (b) x →b −
Teorema:
Si una función f es continua en el punto a , entonces existe El recíproco no es cierto.
22.1.
Discontinuidad evitable
∃ lim f ( x) = L pero f (a) ≠ L x →a
52/102
lim f ( x ) . x→ a
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Ejemplo estudiar la continuidad en x = 1
⎧x2 −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ x − 1 ; si x ≠ 1 ⎪⎩ 1 ; si x = 1
x2 −1 lim = 2 , sin embargo f (1) = 1 , por tanto la función no es continua. x →1 x − 1 22.2.
Discontinuidad inevitable de salto finito
∃ lim+ f ( x) = L y ∃ lim f ( x) = K pero L ≠ K x →a
x →a −
La longitud del salto es d= L − K
53/102
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Ejemplo estudiar la continuidad en x = 0
⎧− 1; si x < 0 f ( x) = ⎨ ⎩ 1 ;i x ≥ 0
lim f ( x) = 1 y lim f ( x) = −1 y la longitud de salto es 1 − (− 1) = 2
x →0 +
22.3.
x →0−
Discontinuidad inevitable de salto infinito
Ocurre cuando no exista el límite, y alguno de los límites laterales (o ambos) es infinito.
Ejemplo estudiar la continuidad en x = 0
⎧1 ⎪ ; si x < 0 f ( x) = ⎨ x 2 ⎪⎩ 2 ; i x ≥ 0
lim f ( x) = 2 y lim f ( x) = +∞
x→0+
x →0−
54/102
22.4.
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Discontinuidad inevitable
También puede ocurrir que no exista ninguno de los límites laterales y no haya una discontinuidad de salto finito ni infinito.
⎛1⎞ ⎟ ⎝ x⎠
Ejemplo f ( x ) = sen ⎜
23.
Continuidad y acotación en un intervalo cerrado
Diremos que y = f(x) es continua en el (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b) Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si ∃ lim+ f ( x) = f (a) x→a
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si ∃ lim− f ( x) = f (a) x→a
Diremos que y = f(x) es continua en el [a, b] si: a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b) b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a. c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
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Ejemplo La figura siguiente representa una función continua en el intervalo (1, 6) La función continua en el intervalo [1, 6] La función continua en el intervalo [-6, 1) La unción es discontinua en 1
24.
Propiedades de una función continua
Si f y g son funciones continuas en x0 que pertenece al dominio de f y al dominio de g, también son continuas:
-
- f (x0 ) + g (x0 ) - a ⋅ f ( x 0 ) si a ∈ ℜ - f (x0 ) ⋅ g (x0 ) - f (x0 ) o g ( x0 ) -
f (x0 ) si g ( x0 ) ≠ 0 g (x0 )
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Ejemplo Dadas las funciones f ( x ) =
2x + 6 x +1
y g ( x ) = tg ( x ) + e continuas en x0 = 0 , son también x
continuas en x0 = 0 :
f (x ) + g (x ) =
2x + 6 x +1
+ tg ( x ) + e x
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2x + 6 ⎜ ⎟· f ( x ) = ⎜ ⎟· ⎝ 54 ⎠ ⎝ 54 ⎠ x + 1
f ( x )· g ( x ) =
2x + 6 x +1
·(tg (x ) + e x )
f ( x ) o g ( x ) = f ( g ( x ))
( ) (tg (x ) + e ) + 1
2 tg (x ) + e x + 6 x
2x + 6
f (x ) x +1 = g ( x ) tg ( x ) + e x
25.
Definiciones y Teoremas para funciones continuas
25.1.
Máximo, mínimo
Definición:
Se dice que f alcanza en x0 un valor máximo si se verifica que
f ( x0 ) ≥ f ( x) ∀x ∈ dom( f ) Definición:
Se dice que f alcanza en x0 un valor mínimo si se verifica que
f ( x0 ) ≤ f ( x) ∀x ∈ dom( f )
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25.2.
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Función Acotada
Definición:
Se dice que f está acotada si existe un número real k tal que:
− k ≤ f ( x) ≤ k ∀x ∈ dom( f )
Se dice que f está acotada superiormente si existe un número real k tal que:
f ( x) ≤ k ∀x ∈ dom( f )
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Se dice que f está acotada inferiormente si existe un número real k tal que:
k ≤ f ( x) ∀x ∈ dom( f )
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Teorema: Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] , entonces f está acotada en dicho punto.
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] , entonces f está acotada en dicho punto. 25.3.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema de Bolzano-Weierstrass: si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] , entonces f
∃k ∈ ℜ + tal que
f ( x) ≤ k ∀x ∈ dom( f )
alcanza máximo y mínimo en [a, b]
Se puede observar en la siguiente gráfica de una función la idea intuitiva del Teorema de Weierstrass, señalados con un círculo un máximo y un mínimo.
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25.4.
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Teorema de Bolzano
Teorema de Bolzano: Sea una función f tal que f : [a, b] → ℜ es continua en el intervalo cerrado [a, b] . Si el signo de f (a ) es diferente del signo de f (b) , esto es Si signo f (a ) ≠ signo f (b) Entonces, existe un número c que pertenece al intervalo cerrado [a, b] , c ∈ [a, b] , tal que f (c) = 0
Se puede observar en la siguiente gráfica de una función la idea intuitiva del Teorema de Bolzano
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Ejemplo
25.5.
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f (x) = − x + 1 cuando x pertenece a [− 5,5] Existe x = 1 tal que f (1) = 0
Teorema del Valor Medio
Teorema del Valor Medio: Sea una función f tal que f : [a, b] → ℜ es continua en el intervalo cerrado [a, b] . Entonces ∀k ∈ ℜ tal que f (a) ≤ k ≤ f (b) o f (b) ≤ k ≤ f (a) , entonces, existe
c ∈ [a, b] tal que f (c) = k
Se puede observar en la siguiente gráfica de una función la idea intuitiva del Teorema del Valor Medio
Ejemplo
f ( x) = x 2 cuando x pertenece a [0,2]. Si k=1.44, existe c=1.2 tal que f(1.2)=1.44
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26.
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Introducción a las derivadas
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la integral; ambos están relacionados por el Teorema Fundamental del Cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las Matemáticas previas, como Álgebra, Trigonometría o Geometría Analítica, del Cálculo. La derivada de una función en un punto es a la tangente de una curva en dicho punto. En la figura siguiente, la derivada en el punto de color rojo será la tg(α ) .
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje x. En la gráfica de la figura siguiente se ve que en el punto “a” y “c” la función ni crece ni decrece. En “b” la función decrece. La función en el punto “d” crece. Estas características podrán ser determinadas al calcular las derivadas de la función en estos puntos, como se verá a lo largo de este tema.
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27.
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Derivada de una función en un punto
Definición:
Sea f (x ) una función definida en un intervalo abierto I = (a, b) y sea x 0 ∈ I . Se llama derivada de la función f (x ) en el punto x0 , y se representa por f ' ( x0 ) , al siguiente límite, cuando existe y es finito:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ' ( x0 ) = lim h →0 h
Una función f (x ) derivable en todos los puntos pertenecientes a su dominio dom( f ) se denomina función derivable
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Son funciones derivables:
f ( x) = sen( x) f ( x) = x 3 − x − 2
f ( x) = x 2 − x − 2
No son funciones derivables:
f ( x) = x
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Ejemplo Hallar la derivada de la función f ( x ) =
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1 en el punto x=3. x
1 1 − −h −1 f (3 + h) − f (3) 1 = lim 3 + h 3 = lim = lim =− f ' (3) = lim h →0 h →0 h→0 3h(3 + h) h →0 (9 + 3h) h h 9 La función f ( x ) =
1 tiene la siguiente gráfica x
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. La recta en la forma punto pendiente tiene la siguiente expresión: y − y 0 = m( x − x 0 ) donde m es la pendiente de la recta. Si ecuación de la recta tangente a f (x ) en el punto x = a será:
y − f (a) = f ' (a)( x − a) Esta es la expresión de una recta en la forma punto-pendiente.
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Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) = − x + 1 en el punto x=2. 2
f (2 + h) − f (2) h(−h − 4) − h 2 − 4h − 3 − (−3) f ' (2) = lim = lim = lim = −4 h→0 h → 0 h → 0 h h h Entonces, ecuación de la recta tangente es:
y = f (2) + f ' (2)·( x − 2) Y simplificando
y = −4 x + 5 La gráfica de la función y de la recta tangente se puede ver en la siguiente figura
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28.
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Derivada laterales
Definición: Sea f (x ) una función definida en un intervalo abierto I = (a, b) y sea x 0 ∈ I . Se llama derivada lateral por la izquierda de la función f (x ) , en el punto x0 , −
y se representa por f ' ( x0 ) , al siguiente límite, cuando existe y es finito: −
f ' ( x 0 ) = lim− h→0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
Se llama derivada lateral por la derecha de la función f (x ) , en el punto x0 , y +
se representa por f ' ( x0 ) , al siguiente límite, cuando existe y es finito: +
f ' ( x0 ) = lim+ h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
Proposición:
f (x ) es derivable en el punto x0 si, y solo si, existen y son iguales las dos derivadas laterales en ese punto
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Ejemplo Calcular las derivadas laterales en el punto x = 2 de la función f ( x ) = 4 − x 2
⎧ 4 − x 2 si - 2 ≤ x ≤ 2 f ( x) = 4 − x = ⎨ 2 ⎩ x − 4 si x < −2 ó x > 2 2
La derivada por la izquierda en el punto x = 2 es:
f ' (2 − ) = lim− h→0
[
]
f (2 + h) − f (2) 4 − (2 + h) 2 − 0 − 4h − h 2 = lim− = lim− = lim− (−4 − h) = −4 h→0 h→0 h→0 h h h
La derivada por la derecha en el punto x = 2 es:
[
]
f (2 + h) − f (2) (2 + h) 2 − 4 − 0 4h + h 2 f ' (2 ) = lim = lim = lim = lim (4 + h) = 4 h→0+ h→0+ h→0+ h→0+ h h h +
La desigualdad de las derivadas laterales conduce a la no existencia de la derivada de la función en x = 2 . La derivada tampoco existe en el punto x = −2
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29.
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Derivadas sucesivas
Sea f ' ( x) la derivada de la función f (x ) en I = (a, b) . f ' ( x) es una función y si es derivable en I , su derivada se representa por f ' ' ( x ) . En general, las funciones definidas mediante el proceso de recurrencia de la derivación se representa por
df ( x) = Df ( x) dx d 2 f ( x) f ' ' ( x) = y ' ' = = D 2 f ( x) 2 dx d 3 f ( x) f ' ' ' ( x) = y ' ' ' = = D 3 f ( x) 3 dx ... f ' ( x) = y ' =
f
(n)
( x) = y
(n)
d n f ( x) = = D n f ( x) n dx
Ejemplo Hallar las derivadas n-ésimas de la función f ( x) = x
f ' ( x ) = px p −1 f ' ' ( x ) = p ( p − 1) x p − 2 ... f ( n ) ( x) = p ( p − 1)·...·( p − n + 1) x p − n
Ejemplo Hallar la tercera derivada de la función f ( x ) = x
f ' ( x) = 5 x 4 f ' ' ( x) = 5·4 x 3 f ' ' ' ( x) = 5·4·3x 2 = 60 x 2
71/102
5
p
30.
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Tabla de derivadas
Tabla e derivadas de las funciones más habituales, deducidas directamente de la definición de derivada:
FUNCIONES
DERIVADAS
y=x
y' = 0 y' = 1
y = xn , n ∈ ℜ
y '=n· x n−1
y = k , k ≡ cte.
y '=
y= x n
n·n x n −1
y' =
y = Ln x
1 x
y = log a x
1 y '= ·log a e x
y = ex
y' = e x
y = ax
y '=a x ·Ln a
y = sen x y = cos x
y ' = cos x y ' = − sen x
y' =
y = tg x
1 = 1 + tg 2 x 2 cos x y' = −
y = cotg x
1 sen2 x
y = sec x
y '=secx·tg x
y = cose c x
y '=−cosecx·cotg x y '=
y = arcsen x
y' =
y = arccos x
y' =
y = arc tg x
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1
1 1− x 2 −1 1 − x2
1 1 + x2
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Ejemplo Hallar la derivada de la función f ( x ) = x
20
f ' ( x ) = 20· x 20−1 = 20· x 19 Ejemplo Hallar la derivada de la función f ( x ) =
f ( x) =
1 = x − 20 ⇒ f ' ( x) = −20· x − 20−1 = −20·x − 21 20 x
Ejemplo Hallar la derivada de la función f ( x ) =
f ( x) =
1 7
x2
=
2 f ' ( x) = − x 7
31.
1 x 20
1 x
2 − −1 7
2 7
=x
−
2 7
1 7
x2
2
2 − −1 ⇒ f ' ( x) = − x 7 7 9
2 − 2 1 2 1 =− x 7 =− =− 9 7 7 7 7 7 x9 x
Álgebra de derivadas
Proposición: Sea f (x ) y g (x) dos funciones definidas y derivables en un mismo intervalo I y sea
x 0 ∈ I . Entonces existe la derivada de la función suma, diferencia, producto y cociente (si el denominador es distinto de ero. Estas derivadas son:
( f ( x) + g ( x) )' = f ' ( x) + g ' ( x) ( f ( x) − g ( x) )' = f ' ( x) − g ' ( x) ( f ( x)· f ( x)·)' = f ' ( x)·g ( x) + f ( x)·g ' ( x) '
⎛ f ( x) ⎞ f ' ( x)· g ( x) − f ( x)· g ' ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ = g 2 ( x) ⎝ g ( x) ⎠
73/102
Ejemplo Si
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f ( x) = senx y g ( x) = cos x Hallar:
( f ( x) + g ( x))' = (senx + cos x )' = cos x − senx ( f ( x) − g ( x) )' = (senx − cos x )' = cos x + senx ( f ( x)·g ( x) )' = (senx − cos x )' = cos x·cos x − senx·senx = cos 2 x − sen 2 x ' ⎛ f ( x) ⎞ cos x·cos x − senx·(− senx ) cos 2 x + sen 2 x ⎟ = (senx / cos x )' = (tgx )' = ⎜ = = ⎜ g ( x) ⎟ ⎠ ⎝
2
cos x
Ejemplo Hallar la derivada de la función
y =tg x =
2
cos x
1 =s cos 2 x
y = tg x
senx cos x
′ (senx )'·cos x − senx ·(cos x )' = cos 2 x + sen 2 x = 1 ⎛ senx ⎞ ⎟ = ⎜ cos 2 x cos 2 x cos 2 x ⎝ cos x ⎠ Y también:
′ (senx )'·cos x − senx ·(cos x )' = cos 2 x + sen 2 x = cos 2 x + sen 2 x = 1 + tg 2 x ⎛ senx ⎞ = ⎜ ⎟ cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x ⎝ cos x ⎠ Ejemplo Hallar la derivada de la función
y= senx·Lnx
y '= (senx·Lnx )' = (senx )' Lnx + senx·(Lnx )' = cos x·Lnx + senx·
Ejemplo Hallar la derivada de la función
y=
Ln(x ) arctg(x )
1 1 ·arctg ( x ) − Ln( x )· Ln( x ) 1+ x2 y' = = x arctg (x ) (arctg(x ))2 Ejemplo Hallar la derivada de la función y = arcsen( x )·e
y '=
ex 1− x
2
+ arcsen (x )·e x
74/102
x
1 x
32.
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Derivada y continuidad
Teorema:
Su una función f (x ) es derivable en un punto x0 , es continua en dicho punto. Si f (x ) es derivable ⇒ f (x ) es continua
El recíproco de este teorema no es cierto en general. Por ejemplo, la función f ( x ) = x es una función continua, pero no es derivable en el punto x = 0 . A los puntos donde la función es continua pero no es derivable se les denomina puntos angulosos La gráfica de la función f ( x ) = x se representa a continuación.
Ejemplo La función f ( x) = 2 x
20
es derivable, por tanto esta función es continua
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33.
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Proposición: Regla de la Cadena: Sea f ( x) = u' [v( x)] la función compuesta de u y v . Si existen las derivadas v ' ( x) y u' [v( x)] , entonces existe f ' ( x) y viene dada por:
f ' ( x ) = u' [v( x )]·v' ( x ) La regla de la cadena se aplica a funciones que son composiciones de tres o más funciones.
Ejemplo Calcular la derivada de
(
f ( x) = 2 x 4 + x
)
6
u yv
En primer lugar, conviene identificar
v ( x ) = 2 x 4 + x ⎫⎪ 4 ⎬ ⇒ u [v ( x )] = 2 x + x 6 ⎪⎭ u ( x) = (x )
(
)
6
v' ( x) = 8 x 3 + 1 u ' ( x) = 6 x 5 Aplicando la regla de la cadena:
(
)(
)
f ' ( x) = u[v( x)]·v' ( x) = 6 2 x 4 + x · 8 x 3 + 1 5
Ejemplo Calcular la derivada de
f ( x) = sen(5x + 5)
f ' ( x) = u[v( x)]·v' ( x) = [cos(5x + 5)]·(5)
(
)
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x ) = sen 3 x + 2 x − 1 2
( (
)) ( (
2
))
f ' ( x) = 2· sen 3 x + 2 x − 1 · cos 3 x + 2 x − 1 ·(6 x + 2 ) 2
2
f ( x) = arctg( Lnx) 1 1 1 f ' ( x) = (arctg ( Lnx) )' = ·(Lnx )' = · 2 2 1 + (Lnx ) 1 + (Lnx ) x
Ejemplo Calcular la derivada de
Ejemplo Calcular la derivada de
f ' ( x) =
f ( x) = Ln(sen( x))
1 ·cos( x ) = cot g ( x ) sen(x ) 76/102
34.
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Derivada de la función inversa
Proposición: Si f (x ) es derivable en x0 , ( x 0 ∈ I ⊆ ℜ ) con f ' ( x 0 ) ≠ 0 y admite función inversa
f −1 , entonces existe la derivada de f −1 en y 0 = f ( x0 ) y se verifica:
(f ) (y ) = −1 '
0
Ejemplo Calcular la derivada de Como
la
función
1 f ' ( x0 )
f ( x) = arctg( x)
arcotangente
es
inversa
a
la
tg ( f ( x)) = tg (arctg ( x)) = x . Derivando esta expresión:
(tg ( f ( x)))' = (x )' = 1 ⇔ [1 + tg 2 ( f ( x))]· f ' ( x) = 1 Se despeja
f ' ( x) =
f ' ( x)
1 1 = 1 + tg ( f ( x)) 1 + x 2
[
2
]
77/102
función
tangente,
se
verifica
35.
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Tabla de derivadas de funciones
De la regla de la cadena, se deduce la siguiente tabla de derivadas:
FUNCIONES
DERIVADAS
y = un
y '=n·u n−1·u '
y = Ln u
1 y '= ·u ' u 1 y '= ·u '·loga e u
y = log a u
y = eu
y'=eu ·u'
y = au
y '=a u ·u '·Lna
y = sen u
y '=cosu·u '
y = cos u
y '=−senu·u '
y = tg u
y '=
y = cotg u
y '=−
y = sec u
y '=secu·tgu·u '
y = cosec u
y'=−cosecu·cotgu·u '
y = arcsen u
y '=
y=arccosu
y '=
1 ·u ' sen 2 u
1 1−u 2 −1 1−u 2
·u ' ·u '
y = arc tg u
1 y '= 2 ·u ' 1+u
y = arccotg u
−1 y '= 2 ·u ' 1+u
78/102
1 ·u ' cos 2 u
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Ejemplo Calcular la derivada de f ( x ) = arctg (e ) 3x
f ( x) =
1
1 + (e
)
3x 2
[
]
· (e 3 x )' =
1
1 + (e
Ejemplo Calcular la derivada de
f ' ( x) =
)
3x 2
·(e 3 x )·3
f ( x) = Ln(cos 2 x)
1 ·(− sen 2 x )·2 cos 2 x
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x) = tg ( x ) 2
f ' ( x) =
1 ·2 x cos x 2
( )
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x ) = (1 + 3 x ) 3
( )[ 1 f ' ( x) = 3·(1 + x ) · · x 3
]
2
f ' ( x) = 3· 1 + 3 x · (1 + 3 x ) ' 2
3
−
2 3
2
1 2 1 1 − ⎞ ⎛ ⎞ − 23 ⎛ ⎞ − 23 ⎛ − 23 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎟ 3 3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ f ' ( x) = ⎜1 + x ⎟ · x = ⎜1 + x + 2 x ⎟· x = ⎜ x + 1 + 2 x 3 ⎟⎟ = ⎜⎜1 + 3 ⎟⎟ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
senx 1 + cos x cos x + cos 2 x + sen 2 x
2
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x) =
f ' ( x) =
cos x·(1 + cos x ) + sen 2 x
(1 + cos x )
2
=
(1 + cos x )
2
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x ) = Ln x 3
f ( x) = Ln3 x = (Lnx) ⇒ f ' ( x) = 3(Lnx) 3
Ejemplo Calcular la derivada de
f ' ( x) =
2
1 3Ln 2 x = x x
f ( x) = Ln(Lnx)
1 1 1 1 · = = Lnx x xLnx Ln x x
( )
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x) = e
(4 x +5 )
79/102
=
cos x + 1
(1 + cos x )
2
=
1
(1 + cos x )2
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f ' ( x ) = 4·e (4 x +5 )
Ejemplo Calcular la derivada de f ( x ) = a
x2
f ' ( x ) = 2 xa x Lna 2
36.
Ejercicios de Derivadas
1 Calcular a y b de modo que la función sea continua y derivable
⎧ x3 −1 x < 1 ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪ax + b x ≥ 1 ⎩ Para que la función sea continua se tiene que cumplir que los límites laterales existen y son iguales, la función está definida en el punto y coincide con el valor de los límites laterales. El único punto donde puede existir discontinuidad es en x=1.
lim f ( x) = lim− (x 3 − 1) = 0
x →1−
x →1
x →1+
x →1
lim f ( x) = lim− (ax + b ) = 0 ⇒ (a + b ) = 0
Se tiene que cumplir que
(a + b) = 0 si queremos que la función sea continua en x=1
Para que la función sea derivable se tiene que cumplir que las derivadas laterales existan y son iguales.
f ( x − )' = (x 3 − 1)' = 3 x 2 ⇒ f (1− )' = 3·12 = 3 f ( x + )' = (ax + b )' = a ⇒ f (1+ )' = a
Se tiene que cumplir que a = 2 si queremos que la función sea derivable en x=1 Se tiene sistema:
a=3
⎫ ⇒ b = −3 (a + b ) = 0⎬⎭ La función es:
80/102
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⎧ x3 −1 x < 1 ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪3x − 3 x ≥ 1 ⎩
2 Calcular la derivada de la función y = x . Estos problemas de una función elevada a la otra se resuelven con el uso del Logaritmo Neperiano x
Si y = x , entonces x
( )
Ln( y ) = Ln x x
Ayudándonos de las propiedades de los logaritmos y de la derivada del producto de dos funciones se tiene:
(Ln( y ))' = (Ln(x x ))' (Ln( y ))' = (x·Ln(x ))' 1 1 · y ' = Ln ( x ) + x· y x 1⎞ ⎛ y ' = ⎜ Ln (x ) + x· ⎟· y x⎠ ⎝ Como
y = x x , sustituimos este valor
( )
1⎞ ⎛ y ' = ⎜ Ln ( x ) + x· ⎟· x x x⎠ ⎝ Simplificando
( )
y' = (Ln( x ) + 1)· x x
3 Calcular la derivada de la función y =
x
81/102
y= x=x 1
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1 2 1 2
1
1 −1 1 − 1 − 1 1 1 1 y ' = ·x 2 = ·x 2 2 = ·x 2 = · 1 = · 2 2 2 2 2 2 x x
4 Dada la función, hallar a par que la función sea continua. ¿Existe algún valor de a que haga a la función derivable?
⎧ a x<0 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x x≥0 ⎩ Para que sea continua a = 0
La derivada por la derecha de
f (x) cuando x=0 es f ( x + )' =
existe, por tanto la función no es derivable en x=0.
37.
Aplicaciones de las derivadas
37.1.
Monotonía: crecimiento y decrecimiento
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( x )' = 12· 1x ⇒ f (0
+
)' no
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Definición: Se dice que f (x) es monótona creciente en el intervalo I si, y sólo si,
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
∀ x1 < x2 ∈ I
Se dice que f (x) es monótona decreciente en el intervalo I si, y sólo si,
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Si
la
desigualdad
∀ x1 < x2 ∈ I
de
la proposición es estricta, es decir, si f ( x1 ) < f ( x 2 ) ó f ( x1 ) > f ( x 2 ) , la función se llama estrictamente creciente o estrictamente decreciente, respectivamente.
Ejemplo Una función estrictamente creciente es
f ( x) = e x
Ejemplo Una función estrictamente decreciente es
f ( x) = e − x
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Ejemplo Una función
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f ( x) = e − x no es ni creciente ni decreciente
Teorema de la Monotonía: Sea la función f (x) definida y derivable en el intervalo (a, b ) , y x0 ∈ (a, b ) , entonces: i) Si f ' ( x0 ) > 0 la función es estrictamente creciente en x = x0 ii) Si f ' ( x0 ) < 0 la función es estrictamente decreciente en x = x0
Figura 1.1
Si se observa la figura, la derivada en el punto A, es cero (la recta tiene 0 grados de pendiente, tg (0) = 0 ), por tanto en el punto A la función ni crece ni decrece: f ' ( x) = 0
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La derivada en el punto B, es negativa (la tangente de un ángulo de más de 90º y menos de 180º es negativa, tg ( B) < 0 ), por tanto en el punto B la función es decreciente: f ' ( x) < 0 La derivada en el punto D, es positiva (la tangente de un ángulo de más de 0º y menos de 90º es positiva, tg ( D) > 0 ), por tanto en el punto D la función es creciente:
f ' ( x) > 0 Ejemplo Hallar los intervalos de monotonía de
f ( x) = x 3 − 3x + 2
f ' ( x) = 3x 2 − 3 Para calcular los intervalos 2 inecuación f ' ( x) > 0 , es decir, 3x − 3 > 0 Si
hacemos
3x 2 − 3 = 0 ⇒ x = ±1 .
(− ∞,−1), (− 1,1), (1, ∞ )
donde la función
función será creciente.
f ' ( x) < 0
37.2.
de crecimiento es necesario resolver la
La recta real queda dividida en tres intervalos en los intervalos (− ∞,−1), (1, ∞ ) y aquí la
f ' ( x) > 0
en el intervalo (− 1,1) y la función será decreciente.
Monotonía: máximos y mínimos relativos
Definición: Sea la función f (x) definida en el intervalo I . Se dice que tiene un máximo relativo en el punto x0 ∈ I , si y solo si existe un entorno de x 0 , J ⊂ I , tal que:
f ( x) < f ( x0 ) para todo x ∈ J
Sea la función f (x) definida en el intervalo I . Se dice que tiene un mínimo relativo en el punto x0 ∈ I , si y solo si existe un entorno de x 0 , J ⊂ I , tal que:
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f ( x) > f ( x0 ) para todo x ∈ J La Figura 1.1 tiene un máximo relativo en el punto A y un mínimo relativo en el punto C
Ejemplo
f ( x) = x 4 − 20x 2 + 10
cuando x ∈ [− 4,5]
Definición: Sea la función f (x) derivable en derivable en el intervalo I . Si existe un x0 ∈ I tal que f ' ( x0 ) = 0 , entonces x 0 se denomina punto crítico. En la Figura 1.1, los puntos A y C son los únicos puntos críticos de la función..
Teorema: Condición necesaria de Extremos Relativos Sea la función f (x) que tiene un extremo relativo en el punto x = x0 y existe f ' ( x0 ) , entonces:
f ' ( x0 ) = 0 Este teorema proporciona una condición necesaria, pero no suficiente, pues existen funciones que tienen la primera derivada nula en un punto y no tiene extremo en dicho punto. 86/102
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Ejemplo :Sea la función f ( x) = x , f ' ( x) = 3x ⇒ f ' (0) = 0 . En el punto un máximo ni un mínimo relativo, sino un punto de inflexión. 3
2
x = 0 no hay ni
f ( x) = x 3
Teorema: Criterio de la derivada segunda Sea f (x) una función que tiene derivable segunda en I intervalo (a, b ) , y x0 ∈ (a, b) tal que f ' ( x0 ) = 0 . Entonces: a) Si f ' ' ( x0 ) < 0 entonces f (x) tiene un máximo relativo en x = x0 b) Si f ' ' ( x0 ) > 0 entonces f (x) tiene un mínimo relativo en x = x0
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Ejemplo Hallar los extremos de la función
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f ( x) = x 3 − 3x + 2
⎧1 ⎩− 1
f ' ( x) = 3x 2 − 3 . Si hacemos 3 x 2 − 3 = 0 ⇒ x = ⎨
Los puntos x1 = −1, x 2 = +1 son puntos críticos. Se halla la segunda derivada de la función y se comprueba el signo de f ' ' ( x1 ), f ' ' ( x 2 )
⎧ f ' ' (+1) = 6 > 0 ⇒ mínimo relativo f ' ' ( x) = 6 x ⇒ ⎨ ⎩ f ' ' (−1) = −6 < 0 ⇒ máximo relativo
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Ejemplo Determinar los máximos y mínimos relativos de la función
f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12x
Se calculan los puntos críticos por medio de la derivada primera
⎧x =1 f ' ( x ) = 6( x 2 − 3 x + 2) = 0 ⇔ ⎨ que son los puntos críticos ⎩x = 2 Se calcula la segunda derivada
⎧ f ' ' (1) = −6 < 0 f ' ' ( x) = 12 x − 18) ⇔ ⎨ ⎩ f ' ' ( 2) = 6 > 0 En x=1 hay un máximo relativo. En x=2 hay un mínimo relativo.
37.3. Problemas de optimización usando las propiedades de la derivada de una función Ejemplo: Calcular los números positivos cuya suma sea 10 y su producto sea el máximo posible. Sean x e y los números que se desean calcular. Su suma es 10, x + y = 10 , su producto es
P = x· y Esta es la función sobre la que se desea calcular el máximo. Se debe poner P función solo de x o de y. La función que se desea maximizar es:
P( x) = x·(10 − x) = 10x − x 2 Se calcula la primera derivada y se iguala a 0:
P' ( x) = 10 − 2 x = 0 ⇔ x = 5 Solo queda verificar que x=5 es un punto máximo, por lo que hay que utilizar el criterio de la segunda derivada.
P' ' ( x) = −2 ⇒ P' ' (5) = −2 < 0
luego x=5 es un punto máximo
Los puntos buscados son x=5, y=5.
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Ejemplo Se necesita cercar un terreno rectangular, para pasto, con un alambre de 100m. El terreno está limitado por un muro de cemento. Hallar las dimensiones del terreno que proporciona la mayor cantidad de pasto.
Llamando S al área: S = x· y ; la función a maximizar, S , depende de dos variables x e y . Estas variables están relacionadas con el perímetro que son 100m. 2 x + y = 100 ⇒ y = 100 − 2 x Sustituyendo en la ecuación del área:
S = x·(100 − 2 x) Los extremos, si existen, son solución de
S '= 0
S ' = 100 − 4 x = 0 ⇒ x = 25m Hay que comprobar que es máximo. Por el criterio de la derivada segunda:
S ' = −4`< 0 ⇒ la solución hallada es un máximo Las dimensiones del rectángulo son x=25m, y=50m, y el área máxima 1250m2
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Ejemplo Calcular la base y la altura del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en una circunferencia de radio 2 cm. Sean x e y la base y la altura respectivamente del rectángulo
Por el teorema de Pitágoras x + y = 16 y el área del rectángulo es A = x· y . Sustituyendo el valor de y a partir de la relación anterior, se tiene que la función cuyo máximo se tiene que calcular es: 2
2
A( x ) = x· y = x· 16 − x 2 Se calcula la primera derivada igualándola a cero.
A' ( x) =
16 − x 2 16 − x
2
= 0 ⇔ 16 − x 2 = 0 ⇔ x = ±2 2
Como x está comprendido entre 0 y 4, la única solución posible es x = +2 2 . Para comprobar que se trata de un máximo, se utiliza el criterio de la segunda derivada. Este cálculo resultaría bastante complejo; además, se observa que tiene que ser un máximo, ya que un rectángulo de área mínima sería que tuviera un lado igual a cero, que no es el caso Así, el rectángulo que hace el área máxima es un cuadrado, x=y, de lado 2 2
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Ejemplo Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución: a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0 ,
x=
0.8 0.004
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f
f´ + 200 se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros Solución gráfica:
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38.
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Teorema de Rolle
Sea f (x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] , derivable en el intervalo abierto (a, b ) y además f (a) = f (b) . Entonces existe, al menos, un punto x0 ∈ (a, b) tal que
f ' ( x0 ) = 0
Ejemplo La función
f ( x) = x 2
es una función derivable. Como f (− 2 ) = f (2 ) = 4 , podemos aplicar el
teorema de Rolle y asegurara que existe
x0 ∈ (− 2,2) tal que f ' ( x 0 ) = 0 . En este ejemplo,
x0 = 0
39.
Teorema del Valor Medio o Lagrange
Sea f (x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] , derivable en el intervalo abierto (a, b ) . Entonces existe, al menos, un punto x0 ∈ (a, b) tal que
f (b) − f ( a ) = f ' ( x 0 )(b − a ) O
f ' ( x0 ) =
f (b) − f (a) (b − a)
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Ejemplo
Sea función f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 1) . Hallar un punto c en el intervalo (0,4 ) de modo que se verifique el Teorema del Valor Medio. 2
Solución:
[ ] La función es derivable en un intervalo abierto (0,4 ) La función es continua en un intervalo cerrado 0,4
Existe un punto c tal que
f ' (c ) =
f (b) − f (a) f (4) − f (0) ⇒ = f ' (c ) (b − a) (4 − 0)
f (4) = (4 − 2 ) (4 + 1) = 2 2
f (0) = (0 − 2) (0 + 1) = 4 f ' ( x) = ( x − 3)3 x ⇒ f ' (c) = (c − 3)3c 2
Entonces:
f (4) − f (0) 2−4 = f ' (c ) ⇒ = (c − 3)3c (4 − 0) 4−0 ⎧ ⎪⎪1 + ± + ± 6 36 48 6 2 21 =⎨ 3c 2 − 6c = 4 ⇒ 3c 2 − 6c − 4 = 0 ⇒ c = 6 6 ⎪1 − ⎪⎩ 21 La solución válida es 1+ que es la que pertenece al intervalo (0,4 ) 3
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21 3 21 3
40.
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Teorema del Valor Medio Generalizado o de Cauchy
Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] , derivables en el intervalo abierto (a, b ) , tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de
x0 ∈ (a, b) tal que
(a, b )
y g (b) ≠ g (a) . Entonces existe, al menos, un punto
f (b) − f (a) f ' ( x0 ) = g (b) − g (a) g ' ( x0 )
Ejemplo Hallar el valor de c en el intervalo (1,4) donde se cumpla el teorema de Cauchy, siendo 2 f (x ) = 3x + 2 y g (x) = x + 1
Solución: Las funciones son continuas y derivables en toda la recta real por ser polinómicas.
f (4) − f (1) f ' (c) = g (4) − g (1) g ' (c) f (1) = 5 f (4) = 14
g (1) = 2
g (4 ) = 17 f ' ( x ) = 3 ⇒ f ' (c ) = 3 g ' ( x ) = 2 x ⇒ g ' ( c ) = 2c 96/102
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Entonces:
14 − 5 3 9 3 45 5 = ⇒ = ⇒ 18c = 45 ⇒ c = ⇒ c = ∈ (1,4) 17 − 2 2c 15 2c 18 2
41.
Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital, como consecuencia de la relación entre los límites y las derivadas, desarrolla una técnica de resolución de derivadas cuando aparecen indeterminaciones. Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] , derivables en el intervalo abierto (a, b ) , tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de también existe lim x→ x0
(a, b ) .
Si x0 ∈ (a, b) ,
x → x0
f ( x) f ' ( x) = lim g ( x) x→ x0 g ' ( x)
3 − 3e 4 x x →0 x
lim
El límite es indeterminado del tipo derivables en todo de L’Hôpital
0 4x . Además, f ( x) = 3 − 3e ; g ( x) = x , son continuas y 0
ℜ , y en particular en el intervalo que contenga al cero. Aplicando la Regla
(
)
3 − 3e 4 x 3 − 3e 4 x ' − 12e 4 x lim = lim = lim = −12 x →0 x →0 x →0 (x )' 1 x Ejemplo Calcular
senx x→0 x
lim
0 y se puede aplicar la Regla de L’Hôpital: 0 (senx)' = lim cos x = 1 senx lim = lim x →0 x →0 (x )' x→0 1 x
El límite es indeterminado del tipo
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x→ x0
f ' ( x) g ' ( x)
f ( x) y son iguales: g ( x)
lim
Ejemplo Calcular
f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 y existe lim
Ejemplo Calcular
lim x →1
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2x − 2 Lnx
0 y se puede aplicar la Regla de L’Hôpital: 0 (2 x − 2)' = lim 2 = lim 2 x = 2 2x − 2 = lim lim x →1 Lnx x →1 ( Lnx )' x →1 ⎛ 1 ⎞ x →1 ⎜ ⎟' ⎝ x⎠
El límite es indeterminado del tipo
Ejemplo Calcular
lim x →0
1 − cos x x2
0 y se puede aplicar la Regla de L’Hôpital: 0 (1 − cos x )' = lim senx 1 − cos x = lim lim 2 x →0 x →0 x (x 2 )' x→0 2 x 0 El límite es de nuevo una indeterminación del tipo y se puede aplicar la Regla de L’Hôpital: 0 (1 − cos x )' = lim (1 − cos x )' ' 1 − cos x = lim lim 2 x →0 x →0 x (x 2 )' x→0 (x 2 )' ' (senx)' = lim cos x = 1 senx = lim lim x →0 2 x x →0 (2 x )' x →0 2 2 El límite es indeterminado del tipo
La Regla de L’Hôpital es válida para calcular límites laterales y límites cuando x → ∞ en los casos indeterminados de los tipos:
0 ∞ y 0 ∞
Con arreglos adecuados, los tipos 0·∞ y ∞ − ∞ se pueden tratar como los anteriores. ∞
Si el límite es de los tipos 1 ,0 , ∞ , se toman logaritmos.
Tipo
0
0
∞ ∞
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2 x 3 − 5x 2 + 2 x − 1 ∞ Ejemplo Calcular lim Es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital 3 x →∞ ∞ 3x − 4 x 2 x 3 − 5x 2 + 2 x − 1 6 x 2 − 10 x + 2 ∞ lim = lim Es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital 3 2 x →∞ x → ∞ ∞ 3x − 4 x 9x − 4 6 x 2 − 10 x + 2 12 x − 10 ∞ lim = lim Es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital 2 x →∞ x → ∞ 18x ∞ 9x − 4 12 2 12 x − 10 = lim = x →∞ x →∞ 18 3 18x
lim
ex ∞ Es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital x →∞ ln x ∞
lim
Ejemplo Calcular
ex ex = lim = lim xe x = ∞ x →∞ ln x x →∞ 1 x →∞ x
lim
Tipo ∞ − ∞
(
)
lim x 2 − 3x + 2 - (x + 1) que es del tipo ∞ − ∞ Multiplicando y dividiendo
Ejemplo Calcular
x →∞
por la expresión conjugada
lim
[(-x + 1) +
][
x 2 − 3 x + 2 · (-x + 1) − x 2 − 3 x + 2 (-x + 1) − x − 3 x + 2
x →∞
tipo
lim x →∞
] = lim x →∞
2
x -1 - x + 1 − x 2 − 3x + 2
es del
∞ . Aplicando la Regla de L’Hôpital ∞ x -1 - x + 1 − x − 3x + 2 2
= lim x →∞
1−
1 2x
=−
1 3
x 2 − 3x + 2
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟-⎜ x ⎟ x→0 x ⎝ ⎠ ⎝ e −1⎠
Ejemplo Calcular lim⎜
Es una indeterminación del tipo
∞−∞
⎛ ex −1− x ⎞ 0 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ Es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital lim⎜ ⎟ - ⎜ x ⎟ = lim⎜⎜ x x →0 x x → 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ e −1⎠ ⎝ x(e − 1) ⎠ ⎛ ex −1− x ⎞ ⎛ ex −1 ⎟ = lim⎜⎜ x lim⎜⎜ x x → 0 x (e x − 1) ⎟ ⎝ ⎠ x →0 ⎝ e − 1 + xe
⎞ 0 ⎟⎟ Es de nuevo indeterminación del tipo . Aplicando la 0 ⎠
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Regla de L’Hôpital
⎛ ex −1 lim⎜⎜ x x →0 e − 1 + xe x ⎝
⎞ ⎛ ex ⎟⎟ = lim⎜⎜ x x x ⎠ x→0 ⎝ e − +e + xe
⎞ 1 ⎟⎟ = ⎠ 2
Tipo 0·∞
Ejemplo Calcular
lim x 2 ·Lnx .
x →0 +
lim+ x 2 ·Lnx = lim+
x →0
x →0
∞ Lnx es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital 1 ∞ x2
1 - x2 Lnx = lim+ x = lim+ =0 lim+ x →0 x →0 − 2 x →0 1 2 x2 x3
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Tipo 1∞ −3
lim(1 + x ) x
Ejemplo Calcular
x →0
⎡ ⎢⎣
−3
−3
Llamando y = (1 + x ) x y tomando logaritmos Ln( y ) = Ln (1 + x ) x
⎤ −3 ⎥⎦ = x Ln(1 + x ) . Se
calcula el límite de esa expresión:
− 3Ln(1 + x ) 0 es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital x →0 x →0 x 0 −3 − 3Ln(1 + x ) (1 + x ) = −3 lim = lim x →0 x →0 1 x lim Ln( y) = lim
Si
( )
−3
lim Ln( y ) = −3 ⇒ Ln lim y = −3 ⇒ lim y = e −3 luego lim(1 + x ) x = e −3 x →0
Tipo 0
x →0
x →0
x →0
0
lim x senx
Ejemplo Calcular Llamando
x →0 +
y = x senx
y tomando logaritmos Ln ( y ) = senxLn ( x ) =
Ln ( x ) . Se calcula el límite 1 senx
de esa expresión:
1 0 Ln ( x) − sen 2 x x es del tipo . Aplicando la Regla de L’Hôpital lim+ = lim+ = lim+ x →0 x → 0 − cos x x → 0 − x cos x 1 0 senx sen 2 x − sen 2 x − 2senx cos x lim+ = lim+ = 0; x →0 − x cos x x →0 cos x − xsenx lim+ Ln( y ) = Ln lim+ y = 0 ⇒ lim+ y = e 0 = 1 ⇒ lim+ x senx = 1 x →0
[ ] x →0
x →0
x →0
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