Geometría by Miguel Zazo González

GEOMETRÍA

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Índice

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ..................................................................................... 5

ÁNGULOS .................................................................................................................................. 5

MEDIDA DE ÁNGULOS ............................................................................................................... 6 3.1. 3.2. 3.3.

SISTEMA SEXAGESIMAL .................................................................................................................... 6 SISTEMA CENTESIMAL ..................................................................................................................... 8 SISTEMA CIRCULAR ......................................................................................................................... 9

CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES ................................................................................ 9

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................................................. 10 5.1. 5.2. 5.3.

TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................................................................................... 14 TANGENTE .................................................................................................................................. 14 RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA .............................................................................. 14

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................ 15

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS .................................................................................................... 16

ÁNGULOS OPUESTOS ............................................................................................................... 17

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º ............................................................................................. 18

10. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS......................................................................................................... 18 11. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SENO, COSENO Y TANGENTE ................................................... 19 12. FUNCIONES INVERSAS .............................................................................................................. 19 12.1. 12.2. 12.3.

ARCOSENO .................................................................................................................................. 19 ARCOCOSENO .............................................................................................................................. 20 ARCOTANGENTE ........................................................................................................................... 20

13. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 20 14. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA DOS ÁNGULOS ........................................................... 26 15. OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................. 30 16. ÁNGULO DOBLE ....................................................................................................................... 32 17. ÁNGULO MITAD ....................................................................................................................... 33 18. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................. 34 19. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS GENERALES ............................................................................... 36 19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6. 19.7. 19.8. 19.9.

TRIÁNGULOS SEGÚN LA LONGITUD DE LOS LADOS ................................................................................ 36 TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS .................................................................................................. 36 TEOREMA DE TALES ...................................................................................................................... 36 TRIÁNGULOS SEMEJANTES .............................................................................................................. 37 TEOREMA DE LA ALTURA ................................................................................................................ 37 ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO ..................................................................................................... 38 MEDIANA DE UN TRIÁNGULO Y BARICENTRO ...................................................................................... 39 BISECTRIZ DE UN TRIÁNGULO E INCENTRO ......................................................................................... 39 NOTACIÓN DE LOS LADOS Y ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO ...................................................................... 39

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20. TEOREMA DEL SENO ................................................................................................................. 40 21. TEOREMA DEL COSENO ............................................................................................................ 40 22. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 42 23. INTRODUCCIÓN A LOS VECTORES ............................................................................................. 45 24. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR ............................................................................................ 46 24.1. 24.2.

PUNTO DE APLICACIÓN, DIRECCIÓN, SENTIDO DE UN VECTOR ............................................................... 47 LONGITUD, NORMA, MAGNITUD O MÓDULO .................................................................................... 49

25. OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO ............................................................................. 51 25.1. 25.2.

SUMA DE VECTORES ..................................................................................................................... 51 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL: ............................................................................. 53

26. PRODUCTO ESCALAR ................................................................................................................ 54 27. PRODUCTO ESCALAR EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO ....................................................................... 56 28. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS ...................................................................................... 57 29. OTRAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES ................................................................................... 58 29.1. 29.2. 29.3.

DESIGUALDAD DE SCHWARZ ........................................................................................................... 58 DESIGUALDAD TRIANGULAR............................................................................................................ 58 VECTOR UNITARIO ........................................................................................................................ 58

30. INTRODUCCIÓN A LOS VECTORES EN R3 .................................................................................... 59 31. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR EN R3 ................................................................................... 60 32. OPERACIONES CON VECTORES EN EL ESPACIO R3 ...................................................................... 61 32.1. 32.2.

SUMA DE VECTORES EN R3 ............................................................................................................. 61 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL EN R3 ...................................................................... 62

33. PRODUCTO ESCALAR EN R3 ....................................................................................................... 62 34. PRODUCTO ESCALAR EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO EN R3.............................................................. 63 35. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS EN R3 ............................................................................. 63 36. OTRAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES EN R3 ......................................................................... 63 36.1. 36.2. 36.3.

DESIGUALDAD DE SCHWARZ ........................................................................................................... 63 DESIGUALDAD TRIANGULAR............................................................................................................ 64 VECTOR UNITARIO ........................................................................................................................ 64

37. VECTORES I, J, K........................................................................................................................ 64 38. INTRODUCCIÓN A LA RECTA ..................................................................................................... 65 39. ECUACIÓN DE LA RECTA ........................................................................................................... 66 39.1. 39.2. 39.3. 39.4. 39.5. 39.6. 39.7.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA .................................................................................................. 66 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA ............................................................................................. 67 ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA .................................................................................................. 68 ECUACIÓN EXPLÍCITA ..................................................................................................................... 68 ECUACIÓN CANÓNICA O SEGMENTARIA ............................................................................................ 70 ECUACIÓN PUNTO‐PENDIENTE ........................................................................................................ 71 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA .................................................................................................... 72

40. PENDIENTE DE LA RECTA .......................................................................................................... 73 41. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS .................................................................................................... 74 42. RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES ...................................................................................... 75 43. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ................................................................................. 75

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43.1. 43.2.

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RECTAS PARALELAS ....................................................................................................................... 75 RECTAS PERPENDICULARES ............................................................................................................. 76

44. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS ...................................................................................... 77 45. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO .............................................................. 78 46. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ................................................................................... 79 47. PROPIEDADES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO XYZ ................................................................ 80 47.1. 47.2. 47.3.

SUMA DE DOS VECTORES: ............................................................................................................... 80 EL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR ES: .............................................................................. 81 PROPIEDADES .............................................................................................................................. 81

48. MÓDULO DE UN VECTOR .......................................................................................................... 82 49. PRODUCTO ESCALAR ................................................................................................................ 82 50. ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES .................................................................................. 83 51. VECTORES ORTOGONALES ........................................................................................................ 83 52. VECTOR UNITARIO ................................................................................................................... 84 53. VECTORES ORTONORMALES ..................................................................................................... 84 54. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO ........................................................................................................ 85 55. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO ................................................................................ 85 55.1. 55.2. 55.3. 55.4.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN EL ESPACIO .............................................................................. 86 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA: ............................................................................................ 86 ECUACIONES CONTINUAS DE LA RECTA: ............................................................................................. 87 ECUACIÓN GENERAL O EXPLÍCITA: ................................................................................................... 87

56. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ................................................................................... 89 57. RESUMEN ................................................................................................................................. 90 58. ECUACIÓN DEL PLANO .............................................................................................................. 91 58.1. 58.2. 60.1.

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DEL PLANO ............................................................................................... 92 ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO ...................................................................................................... 92 ECUACIÓN CANÓNICA DEL PLANO .................................................................................................... 94

61. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO .................................................................................... 95 62. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS........................................................................................ 96 62.1. 62.2. 62.3.

LOS PLANOS SE CORTAN, SU INTERSECCIÓN ES UNA RECTA ..................................................................... 96 LOS PLANOS SE PARALELOS, NO TIENEN PUNTOS EN COMÚN .................................................................. 96 LOS PLANOS SON COINCIDENTES, SU INTERSECCIÓN ES UNO CUALQUIERA DE LOS PLANOS. ........................... 96

63. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS ....................................................................................... 97 63.1. 63.2. 63.3. 63.4. 63.5. 63.6.

SON PARALELOS, NO TIENEN PUNTOS EN COMÚN. LOS TRES PLANOS NO COMPARTEN NINGÚN PUNTO .......... 97 DOS SON PARALELOS, Y OTRO SE CORTA. LOS TRES PLANOS NO COMPARTEN NINGÚN PUNTO ...................... 97 TRES PLANOS QUE SE CORTAN EN UN PUNTO. LOS TRES PLANOS COMPARTEN UN SOLO PUNTO ..................... 98 LOS TRES PLANOS COMPARTEN UNA RECTA ........................................................................................ 98 TRES PLANOS SUPERPUESTOS. COMPARTEN TODOS SUS PUNTOS ............................................................ 99 TRES PLANOS NO COMPARTEN NINGÚN PUNTO PERO NO SON PARALELOS ENTE ELLOS ................................ 99

64. POSICIÓN RELATIVA DEL PLANO Y LA RECTA ............................................................................. 99 64.1. 64.2. 64.3.

SE CORTAN EN UN PUNTO. TIENE UN PUNTO EN COMÚN ...................................................................... 99 SON PARALELOS. NO COMPARTEN NINGÚN PUNTO ........................................................................... 100 LA RECTA PERTENECE AL PLANO. COMPARTEN LOS PUNTOS DE LA RECTA ................................................ 100

65. INTRODUCCIÓN A LAS CÓNICAS ............................................................................................. 100

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66. PARÁBOLA ............................................................................................................................. 101 66.1.

CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA ................................................................................................ 102

67. CIRCUNFERENCIA ................................................................................................................... 105 68. ELIPSE .................................................................................................................................... 108 68.1.

CARACTERÍSTICAS DE LA ELIPSE ...................................................................................................... 110

69. HIPÉRBOLA ............................................................................................................................. 112 69.1.

CARACTERÍSTICAS DE LA HIPÉRBOLA ............................................................................................... 114

70. POTENCIA DE UN PUNTO ........................................................................................................ 117 71. EJE RADICAL ........................................................................................................................... 118

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1. Introducción a la Trigonometría Trigonometría es un término derivado del griego que etimológicamente significa medida de triángulos. La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.

2. Ángulos Definición: Un ángulo α (alfa) está determinado por dos segmentos o líneas rectas que arrancan de un punto A, llamado vértice. El ángulo se genera girando en torno al vértice C, el lado inicial AC hasta la posición del lado final AB.

Definición: Ángulos coterminales son aquellos que tienen sus lados finales idénticos pero son ángulos diferentes. Estos ángulos difieren ente si un número entero de vueltas en torno al origen. Ejemplo: El ángulo 10º y (360º+10º)=370º son coterminales. Ejemplo: El ángulo 60º y 3360º son coterminales. Se diferencian en 10 vueltas

Definición: Una Circunferencia Goniométrica es aquella circunferencia que tiene radio 1 (unidad) 5/122

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3. Medida de Ángulos 3.1. Sistema Sexagesimal Las unidades son: º ‘ “

grado minuto segundo

1º = 60'

1' = 60" Se considera que la circunferencia está dividida en 360º por lo que al dividirla en cuadrantes, cada uno de ellos mide 90º. En el sistema sexagesimal el ángulo recto mide 90º.

Definiciones: - Se llaman ángulos agudos a los comprendidos entre 0º y 90º. - Ángulos obtusos son los comprendidos entre 90º y 180º. - Un ángulo llano mide 180º. - Un ángulo recto mide 90º

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- Dos ángulos son complementarios si suman 90º

- Dos ángulos son suplementarios si suman 180º.

- Ángulos opuestos son los que su suma es cero o 2π .

α y 2π − α suman 2π

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Ángulos que difieren 180º son aquellos que su diferencia es 180º

α y α + 180º difieren en 180º Ejemplo: 15º y 75º son ángulos complementarios ya que 15º+75º=90º. 5º y 175º son suplementarios, 5º+175º=180º. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º 35º y -35º (-35º se puede escribir también como 360º-35º=325º) son ángulos opuestos. 100º y 290º (180º+100º=290º) son ángulos que difieren 180º.

3.2. Sistema Centesimal Sistema Centesimal. Las unidades son: º ‘ “

grado minuto segundo

1º = 100 ' 1' = 100"

Se considera que la circunferencia está dividida en 400º por lo que al dividirla en cuadrantes, cada uno de ellos mide 100º. En el sistema centesimal el ángulo recto mide 100º.

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3.3. Sistema Circular Sistema Circular: los arcos se miden por su longitud en relación con el radio. La unidad de medida es el radián. Un radián mide el arco cuya longitud vale la del radio de la circunferencia donde está definido. La longitud de la circunferencia vale 2π veces el radio y un ángulo recto vale π/2 radianes.

4. Conversión entre grados y radianes Una vuelta a una circunferencia son 360º o 2π radianes; esta será la base para los cambios entre grados y radianes.

1 radian =

1º =

360º 180º = 2π π

⇒

180º x radianes = x· grados

2π π radianes = radianes 360º 180º

⇒

x grados = x· radianes 180º

Conviene recordar que la siguiente proporción se mantiene siempre constante

grados 180º = π radianes

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Ejemplo: 0.735 radianes=0.735·(180/ π)=42.1124º = 42º6’45” 42.1124º son 42º y 0.1124º 0.1124·60’ = 6.744’ 0.744’ = 0.744’·60” = 44.66” Ejemplo: 70º=70·(π/180)=1.2217 radianes.

Esta tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes:

5. Razones trigonométricas “Resolver” un triángulo es calcular los lados y los ángulos de este. Para ello se definen las razones trigonométricas que relacionan las longitudes de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180º

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Definición: Se denomina seno, coseno y tangente del ángulo α :

sen(α ) =

a c

cos(α ) =

b c

tg(α ) =

a b

La cosecante, secante y cotangente son las razones inversas del seno, coseno y tangente respectivamente. Definición: Se denomina cosecante, secante y cotangente del ángulo α :

cosec(α ) =

1 senα

sec(α ) =

1 cos α

Razones de los ángulos mas frecuentes:

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cotg (α ) =

1 tgα

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Ejemplo: Hallar la altura de la chimenea sabiendo que está a 20m y 60º de nuestra posición.

tg60º =

h ; h = 20m·tg60º = 20· 3 = 34.64m 20m

Ejemplo: Sabiendo que la hipotenusa de una triangulo rectángulo mide 2 metros, y uno de los catetos mide 1 metro, hallar el valor de los ángulos del triángulo. Por ser un triángulo rectángulo, uno de los ángulos mide 90º

senα =

1m ⇒ α = 30º 2m

β = 180 º −α = 60 º Según el cuadrante de la circunferencia, el seno, el coseno y la tangente tendrán los siguientes signos:

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Primer Cuadrante:

Segundo Cuadrante:

Tercer Cuadrante:

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Cuarto Cuadrante:

5.1. Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras

a 2 = b2 + c 2

5.2. Tangente Tangente de un ángulo

tgα =

senα cos α

5.3. Relación Fundamental de la Trigonometría

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Demostración de la Relación Fundamental de la Trigonometría. Del teorema de Pitágoras sabemos que:

(cateto1)2 + (cateto2)2 = (hipotenusa)2 a2 + b2 = c2 ; Dividiendo ambos términos por

c2 ⇒

a 2 b2 c2 + = ⇒ sen2α + cos2 α = 1 c2 c2 c2

A esta expresión se le llama Relación Fundamental de la Trigonometría:

sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 Las expresiones siguientes son equivalentes:

sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1

(senα )2 + (cos α )2 = 1 Ejemplo: Un ángulo agudo

tiene sen α =3/5. Hallar las restantes razones trigonométricas:

( 5)

sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − sen 2α = 1 − 3 tgα =

senα 3 = ; cos α 4

cot gα =

cos α 4 = ; senα 3

= 16

=4 25 5 1 5 1 5 cos ecα = = ; sec α = = senα 3 cos α 4

6. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90º. El ángulo complementario de α es β = (90º - α ), ya que α + β = 90 º

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• • •

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sen (90º - α ) = cos α cos (90º - α ) = sen α tg (90º - α ) = cos α /sen α = 1/tg α

Los ángulos α y β menores de 90º de un triángulo rectángulo son complementarios, ya que α + β + 90 º = 180 º

Ejemplo: Hallar el seno, coseno y tangente del ángulo 35º conocido el sen(55º)=k 35º y 55º son ángulos complementarios. Sen35º=cos55º= 1 − sen 2 55 º =

1− k 2

Cos35º=sen55º=k

tg35º=

1 cos 55º 1− k 2 = = tg 55º sen55º k

7. Ángulos suplementarios Son ángulos suplementarios si suman 180º. El ángulo suplementario de α es γ = (180º - α ), tal que α + γ = 180 º

• • •

sen (180º - α ) = sen α cos (180º - α ) = -cos α tg (180º - α ) = -tg α

Ejemplo: Hallar el seno, coseno y tangente del ángulo

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2π 3

El ángulo suplementario de

sen

3 2π π =sen = 3 3 2

cos

2π 1 π =-cos = − 3 3 2

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2π π 2π π es ya que + = π que son 180º. 3 3 3 3

2π π =-tg = − 3 3 3

8. Ángulos opuestos El ángulo opuesto de α es ϕ =- α tal que α + ϕ = 0 º o α + ϕ = 360 º

• • •

sen (- α ) = -sen α cos (- α ) = cos α tg (- α ) = -tg α

Ejemplo: Hallar el seno, coseno y tangente del ángulo

El ángulo opuesto de

sen

11π 11π π π es ya que + = 2π o equivalentemente 0 radianes. 6 6 6 6

11π π 1 =-sen = 6 6 2

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11π 6

cos

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3 11π π =cos = 6 3 2

3 11π π =-tg = − 3 6 3

9. Ángulos que difieren en 180º El ángulo que difiere de α en 180º es φ =( α +180º)

• • •

sen ( α + 180º) = -sen α cos ( α + 180º) = -cos α tg ( α + 180º) = tg α

Ejemplo: Hallar el seno, coseno y tangente del ángulo 225º 225º y 45º son ángulos que difieren 180º. sen225º=-sen45º= −

2 2

cos225º=-cos45º= −

2 2

tg225º=tg45º=1

10.

Reducción de ángulos

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Los ángulos de más de 360º son aquellos que giran más de una vuelta completa alrededor del origen. Un ángulo de más de 360º tiene que tener los lados en la misma posición que otro ángulo menor que 360º. La forma de reducir un ángulo α de más de 360º a su equivalente α ' de menos de 360º es la siguiente: Si α > 360º entonces α =360º · (Cociente) + Resto ⇒ α ' =Resto

El ángulo α ' es el resto de dividir α entre 360 ( α Y α ' son ángulos coterminales) Ejemplo: El ángulo 10000º =360º·27+280º; luego el único ángulo positivo menor que 360º que tiene los mismos lados que uno de 10000º es el ángulo 280º.

11.

Representación gráfica del seno, coseno y tangente

12.

Funciones Inversas

12.1.

Arcoseno Si y = sen( x ) entonces x = arcsen( y )

Ejemplo ¿Cuál es el arcoseno de

1 en el primer cuadrante? 2

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Como

sen30º =

12.2.

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1 1 , el arcoseno de es 30 º 2 2

Arcocoseno Si y = cos( x ) entonces x = arccos( y )

Ejemplo ¿Cuál es el arcocoseno de

Como

12.3.

cos 60º =

1 en el primer cuadrante? 2

1 1 , el arcocoseno de es 60 º 2 2

Arcotangente Si y = tg (x ) entonces x = arctg( y )

Ejemplo ¿Cuál es el arcotangente de 1 en el tercer cuadrante? Como tg 225 º = 1 , el arcotangente de 1 es

13.

225º

Problemas

Problema 1: Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º.

tgα =

h b

tg 45º =

h ⇒ h = 25m·tgα = 25m 25m

Problema 2: Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.

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tgα =

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h b

⎫ ⎪⎪ ⎬ h ⎪ tg 30º = b + 10m ⎪⎭ tg 60º =

h b

3 2 = h; 1 b 2

1 h 2 = 3 b + 10m 2

h 1 h ; = b 3 b + 10m h b= ; b = h· 3 − 10 3 h = h· 3 − 10 ⇒ h = 3h − 10 3 ⇒ h = 5 3 3 3=

Problema 3: Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río.

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tgα =

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h r

⎫ ⎪⎪ ⎬ h ⎪ tg 45º = r + 10 ⎪⎭ h r

tg 60º =

3 2 = h; 1 r 2 h 3= ; r h = r 3;

2 2 = h 2 r + 10 2 h r + 10 h = r + 10

r 3 = r + 10 ⇒ r =

10 = 13.6m 3 −1

h = r 3 = 23.6m 13.6m es la anchura del río 23.6m la altura del árbol Problema 4: Hallar el valor de sen x si sen x + cosec x = 5/2

senx + cos ecx =

5 2

1 5 = senx 2 2 2(senx ) + 2 = 5senx senx +

2(senx ) − 5senx + 2 = 0 2

5 ± 25 − 16 5 ± 3 = 4 4 senx1 = 2 senx =

senx2 =

1 2

Se descarta la solución senx=2 porque es mayor que uno Problema 5: Hallar el valor de x si sen2 x - 2cos2 x = 1 sen2 x - 2cos2 x = 1 Sen2 x + cos2 x = 1 Restando la primera ecuación menos la segunda: - cos2 x - 2cos2 x = 0 22/122

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3cos2 x = 0 cos x = 0; x= 90º o 270º 2 Problema 6: Hallar el valor de x senx + cos x = 1

senx + cos 2 x = 1 senx + 1 − sen 2 x = 1 sen 2 x − senx = 0 Hacemos un cambio de variable. Sea A = senx 2 2 La ecuación sen x − senx = 0 es igual ala ecuación A − A = 0

A2 − A = 0 A·( A − 1) = 0 Hay dos posibles soluciones a esta ecuación 1º A = 0 2º ( A − 1) = 0 Deshacemos el cambio de variable A = senx 1º Si A = 0 , entonces senx = 0

senx = 0 , entonces x = 0º o x = 180º

2º Si ( A − 1) = 0 ⇒ A = 1 , entonces senx = 1 = 0

senx = 1 , entonces x = 90º Esta ecuación tiene tres soluciones cuando 0º ≤ x ≤ 360º Que son:

x = 0º x = 90º x = 180º Problema 7:

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Problema 8:

Problema 9: Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

sen 2 A + cos 2 A = 1 cos A = 1 − sen 2 A = −

3 5

4 senA =− cos A 3 1 5 cos ecA = = senA 4 1 5 sec A = =− cos A 3 1 3 cot agA = =− 4 tgA tgA =

Problema 10: Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.

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12 a ; sen30º = ⇒ c = 24 c c b b ⇒ b = 12 3 cos A = ; con30º = c 24 C = 90º A + B + C = 180º ⇒ B = 180º −90º −30º = 60º

senA =

Problema 11 Un edificio proyecta una sombra de 150 metros cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

20º30' = 20.5º tg 20.5º =

h ; h = 150·tg 20.5º = 0.35·150 = 52.53m 150

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Problema 12 Principio de Medición del Arco de Meridiano para determinar el tamaño de la esfera terrestre: Eratóstenes, en el 276 A.C. dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 40233.6 Km. frente a los 40008 Km. considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%. He aquí como realizó los cálculos gracias a la Trigonometría:

Tierra

Poste α

Sombra

Arco α

Luz solar al mediodía Poste

De la relación

Radio =

Arco

2·π ·Radio Arco = se obtiene 2·π α

, α en radianes

α obtenido a partir de la longitud del poste y su sombra. El Arco fue medido entre Asuán y Alejandría a lo largo del Nilo y trasladándose en caravana. En realidad la altura se obtenía midiendo la profundidad de pozos en lugar de postes.

14.

Identidades trigonométricas para dos ángulos Identidad para la suma de ángulos:

sen(α + β ) = senα ·cos β + cos α ·senβ cos(α + β ) = cos α ·cos β − senα ·senβ

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Demostración de la expresión del coseno de la suma de dos ángulos: Si OB vale 1, es el radio de una circunferencia goniométrica.

cos(α + β ) =

OC = OC = OD − CD = OD − BE = OA·cos α − AB·senα = OB = OB·cos β ·cos α − OB·senβ ·senα = cos β ·cos α − senβ ·senα

Demostración de la expresión del seno de la suma de dos ángulos:

sen(α + β ) = − cos(α + (β + 90 )) = −[cos α ·cos(β + 90 ) − senα ·sen(β + 90 )] =

= −[cos α ·(− senβ ) − senα cos β ] = senα ·cos β + cos α ·senβ

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Del cociente de ambas expresiones se obtiene que

sen (α + β ) sen α ·cos β + sen β ·cos α = cos(α + β ) cos α ·cos β − sen α ·sen β dividiendo por cos α ·cos β

tg (α + β ) =

tgα + tgβ 1 − tgα ·tgβ tg (α + β ) =

tgα + tgβ 1 − tgα ·tgβ

Ejemplo: Conocidas las razones trigonométricas de 45º y de 30º, calcular las de 75º

2 · 2 2 cos 75 º = cos( 45 º +30 º ) = cos 45 º cos 30 º − sen 45 º sen 30 º = · 2 sen ( 45 º +30 º ) 6+ 2 = tg 75 º = tg ( 45 º +30 º ) = cos( 45 º +30 º ) 6− 2 sen 75 º = sen ( 45 º +30 º ) = sen 45 º cos 30 º + cos 45 º sen 30 º =

Identidad para la diferencia de ángulos:

sen(α − β ) = senα ·cos β − cos α ·senβ cos(α − β ) = cos α ·cos β + senα ·senβ tg (α − β ) =

tgα − tgβ 1 + tgαtgβ

Ejemplo: Deducid la primera expresión:

sen(α − β ) = sen(α + ( − β )) = senα ·cos( − β ) + cos α ·sen( − β ) = = senα ·cos β + cos α ·( − senβ ) = senα ·cos β − cos α ·senβ

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3 + 2 3 − 2

2 1 6+ 2 · = 2 2 4 6− 2 2 1 · = 2 2 4

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Ejemplo: Conocidas las razones trigonométricas de 45º y de 30º, calcular las de 15º

2 · 2 2 · cos15º = cos(45º −30º ) = cos 45º cos 30º + sen45º sen30º = 2 6− 2 sen(45º −30º ) tg15º = tg (45º −30º ) = = cos(45º −30º ) 6+ 2 sen15º = sen(45º −30º ) = sen45º cos 30º − cos 45º sen30º =

3 − 2 3 + 2

6− 2 21 · = 4 2 2 6+ 2 21 · = 4 2 2

Ejemplo: Conocidas las razones trigonométricas de 45º y de 30º, calcular las de 15º

3 − 2 3 + 2

6− 2 21 · = 4 2 2 6+ 2 21 · = 4 2 2

Ejemplo: sabiendo que sen(18º)=0.309 calcular: a) sen 72º En primer lugar se observa que 72º+18º=90º, luego estos dos ángulos son complementarios.

sen 218º + cos 2 18º = 1; cos 18º = 1 − sen 218º = 1 − (0.309) 2 = 0.951 sen72º = sen(90º −18º ) = cos 18º = 0.951 b) tg 162º 162º+18º=180º, luego estos ángulos son suplementarios.

sen162º = sen18º = 0.309; cos162º = − cos18º = −0.951 0.309 sen162º = = −0.325 tg162º = cos162º − 0.951

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Ejemplo: Calcular el seno de 255º Siendo un ángulo del tercer cuadrante, sabemos que su signo es negativo. Veamos que ángulo tiene el mismo valor absoluto en el primer cuadrante.

255º −180º = 75º 75º no es un ángulo notable, pero se puede descomponer como suma de dos ángulos notables:

75º = 45º +30º Sabemos que

sen75º = sen(45º +30º ) = sen 45º·cos 30º + sen30º·cos 45º =

6 2 2 3 1 2 · + · = + = 2 2 2 2 4 4

Entonces:

⎛ 6+ 2⎞ − 6− 2 ⎟= sen 255º = − sen 75º = −⎜⎜ ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ Recordad que:

15.

Otras Identidades trigonométricas

Otras identidades que permiten convertir sumas y restas de senos y cosenos en productos, y viceversa, son las siguientes:

A + B A − B ·cos 2 2 A + B A − B · sen senA − senB = 2 cos 2 2 A + B A − B cos A + cos B = 2 cos ·cos 2 2 A + B A − B cos A − cos B = − 2 sen · sen 2 e senA

+ senB

= 2 sen

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Demostración: Se parte de las expresiones conocidas:

sen(α + β ) = senα ·cos β + cos α ·senβ sen(α − β ) = senα ·cos β − cos α ·senβ Se suman y se restan:

sen(α + β ) + sen(α − β ) = 2·senα ·cos β sen(α + β ) − sen(α − β ) = 2·cos α ·senβ Si llamamos A = (α + β );

B = (α − β ) y sabiendo que

A + B (α + β ) + (α − β ) = =α 2 2 A − B (α + β ) − (α − β ) = =β 2 2 Obtenemos las expresiones:

A+ B A− B ·cos 2 2 A+ B A− B ·sen senA − senB = 2 cos 2 2 senA + senB = 2sen

De forma análoga, utilizando las expresiones

cos(α + β ) = cos α ·cos β − senα ·senβ cos(α − β ) = cos α ·cos β + senα ·senβ Se llega a demostrar:

A+ B A− B ·cos 2 2 A+ B A− B cos A − cos B = −2 sen ·sen 2 2

cos A + cos B = 2 cos

Ejemplo: Calcular

sen75º + sen15º

sen75º + sen15º = 2 sen

Calcular

75º +15º 75º −15º 90º 60º 2 3 6 ·cos = 2 sen ·cos = 2 sen 45º·cos 30º = 2· · = 2 2 2 2 2 2 2

cos 75º − cos15º 31/122

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75º +15º 75º −15º 90º 60º ·sen = −2·sen ·sen = 2 2 2 2 2 2 1 = −2·sen45º·sen30º = −2· · = − 2 2 2

cos 75º − cos15º = −2·sen

16.

Ángulo doble sen(2α ) = 2senα ·cos α cos(2α ) = cos 2 α − sen 2α tg (2α ) =

2tgα 1 − tg 2α

Se deducen estas expresiones sin más que hacer α = β .

sen 2α = sen(α + α ) = senα ·cos α + senα ·cos α = 2 senα ·cos α

cos 2α = cos (α + α ) = cos α ·cos α − sen α ·sen α = (cos α ) − (sen α ) = cos 2 α − sen 2α 2

Ejemplo: Calcular

sen120º

sen120 º = sen(2·60º ) = 2·sen60º·cos 60º = 2· Calcular

3 1 3 · = 2 2 2

cos120º 2

2 1 3 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ cos120º = cos(2·60º ) = cos 60º − sen 60º = ⎜ ⎟ − ⎜ = − =− ⎟ 4 4 2 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

Calcular tg120 º

tg120º = tg (2·60º ) =

2tg 60º 2· 3 = 2 1 − tg 60º 1 − 3

( )

2· 3 =− 3 1− 3

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17.

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Ángulo mitad sen

cos

α 2

=±

1 − cos α 2

=±

1 + cos α 2

senα 1 + cos α

Demostración de la primera expresión:

Sea θ =

2 cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ ⇒ cos 2θ = cos 2 θ − 1 + cos 2 θ ⇒ cos 2θ = 2·cos 2 θ − 1 ⇒ ⇒ cos 2θ + 1 = 2·cos 2 θ ⇒ cos 2 θ = ⇒ cos

α 2

=±

1 + cos α 2

Demostración de la tercera expresión

Sea θ =

cos 2θ + 1 1 + cos 2θ ⇒ cos θ = ± ⇒ 2 2

α 2

senα 1 + cos α

2 2 senθ cos θ 2 senθ cos θ 2·senθ cos θ senθ α sen 2θ = = = = = tgθ = tg 2 2 2 1 + cos 2θ 1 + cos θ − sen θ 2 cos θ 2·cos θ ·cos θ cos θ 2

Ejemplo: Calcular el seno y el coseno de 165º 330º/2=165º y 330º=-30º es el ángulo opuesto de 30º; cos (-30º)=cos30º

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2º cuadrante ⇒ sen165º = +

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1− 3 1 − cos 330º 1 − cos 30º 2 = 2− 3 =+ =+ 2 2 2 2

1+ 3 1 + cos 330º 1 + cos 30º 2 = − 2+ 3 2º cuadrante ⇒ cos165º = − =− =− 2 2 2 2

Ejemplo: Calcular la tangente de 165º

2º cuadrante ⇒ tg165º =

18.

−1 sen330º − sen30º 2 = −1 = = 1 + cos 330º 1 + cos 30º 1 + 3 2+ 3 2

Ecuaciones trigonométricas

Ecuaciones simples son aquellas ecuaciones en las que solo existe una razón trigonométrica. Ejemplo: Calcular α si tg α =1 tg α =1 se verifica para 45º y 225º y todos los deducibles de estos añadiendo vueltas completas, por ejemplo 45º+360º=405º o 225º+360º=585º La solución exacta es

=(45º+180º·n) donde n es un número entero.

Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación 2 sen ( β / 5) + 1 = 0

2sen( β / 5) + 1 = 0 ⇒ Si llamamos α = β / 5 entonces 2senα + 1 = 0 ⇒ senα =

α = −30º y α = 210º ⇒ β = 5α ⇒ β = −150º y β = 1050º

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−1 ⇒ 2

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Ejemplo:

α − sen α = 1 2 sen α − senα = 1 ⇒ Si llamamos x = senα entonces 2 x 2 − x = 1 ⇒ 2 x 2 − x − 1 = 0 x = 1 y x = − 1 ⇒ senα = 1 y senα = − 1 2 2 a )1º Opción : α = 90º +360º n con n ∈ Z (entero arbitrario ) b)2º Opción : α = −30º + 360º n α = 210º +360º n con n ∈ Z (entero arbitrario )

Hallar la solución de la ecuación 2 sen

Ecuaciones reducibles son aquellas que pueden transformarse, tras manipulaciones algebraicas y uso de identidades trigonométricas, en ecuaciones trigonométricas simples. Ejemplo: Hallar el ángulo α entre 0 y 180º tal que

cos 2 α = ( senα )·( senα − 1)

cos 2 α = ( senα )·( senα − 1) Sustituyendo cos 2 α = 1 − sen 2α 1 − sen 2α = sen 2α − senα ⇒ 2sen 2α − senα = 1 Y se resuelve igual que el ejemplo anterior

Ejemplo: Hallar el ángulo α entre 0 y 180º tal que

cos 2 α = ( senα )·( senα − 1)

cos 2 α = ( senα )·( senα − 1) Sustituyendo cos 2 α = 1 − sen 2α 1 − sen 2α = sen 2α − senα ⇒ 2sen 2α − senα = 1 Y se resuelve igual que el ejemplo anterior.

Ejemplo: Para que ángulos se verifica la ecuación

cos α + sen2α = ( senα + cos α ) 2

cos α + sen 2α = ( senα + cos α ) 2 cos α + 2 senα cos α = sen 2 α + cos 2 α + 2 senα cos α ⇒ ... ⇒ cos α = 1 ⇒ α = 360 º·n, ∀n ∈ Z ; En particular, en el primer cuadrante α = 0

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19.

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Resolución de triángulos generales

19.1.

Triángulos según la longitud de los lados

Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

• • •

19.2.

Equiláteros, si sus tres lados son iguales. Isósceles, si tienen dos lados iguales. Escalenos, si los tres lados son distintos.

Triángulos según sus ángulos

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Los triángulos se llamarán:

• • •

Acutángulo, si los tres ángulos son agudos Rectángulo, si tiene un ángulo recto. Obtusángulo, si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc. 19.3.

Teorema de Tales

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Teorema de Tales: Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas concurrentes son proporcionales.

Como consecuencia del teorema de Tales, toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados un nuevo triángulo semejante al primero:

ABC ∼ EDC 19.4.

Triángulos Semejantes

Triángulos semejantes son los que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si: - tienen dos ángulos iguales. - los tres lados proporcionales. - dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. 19.5.

Teorema de la Altura

Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:

h 2 = m·n

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Demostración: Por una parte tenemos que

tgC =

Igualando las dos expresiones

h m , y también tgC = n h

tgC =

h m = ⇒ h 2 = m·n n h

Ejemplo: Calcular la m y n en el triángulo rectángulo de la figura anterior sabiendo que h=6 y a=13 Tenemos dos ecuaciones:

h 2 = m·n a =m+n Sustituyendo valores:

6 2 = m·n 13 = m + n

n = (13 − m )

sustituyendo

6 = m·(13 − m ) = 13m − m ⇒ m − 13m + 36 = 0 2

primera

ecuación

13 ± 169 − 144 13 ± 5 = 2 2

m = 9 entonces n = 4

m = 4 entonces n = 9

19.6.

Ortocentro de un triángulo

Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. 38/122

19.7.

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Mediana de un triángulo y Baricentro

Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:

19.8.

Bisectriz de un triángulo e Incentro

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.

19.9.

Notación de los lados y ángulos en un triángulo

La notación para cualquier triángulo se denotará de la siguiente manera: “a”, “b”, “c” son las longitudes de los lados y A, B, C son los tres ángulos donde A denotará el ángulo opuesto al lado a, B el opuesto al lado b y C el opuesto al lado c.

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20.

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Teorema del Seno

El Teorema del Seno indica que para cada triángulo, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto

senA senB senC = = a b c

Demostración Lo demostraremos a partir de la altura. Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BCH son rectángulos los dos. Tenemos que:

Para encontrar la igualdad

a c = trazamos h desde el vértice B y procedemos igual senA senC

que antes.

Ejemplo: Sea A=30º, B=100º y c=50cm. Hallar las dimensiones del triángulo.

C = 180º −(30º +100º ) = 50º del teorema del seno : csenA 5sen30º senA senC = ⇒a= = = 32.63cm senC sen50º a c csenB 5sen100º senB senC = ⇒b= = = 64.28cm senC sen50º b c

21.

Teorema del Coseno

Teorema el Coseno referido al lado “a”:

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a 2 = b 2 + c 2 − 2bc·cos A

Demostración de un caso Notemos que el Teorema del Coseno es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Cuando c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que:

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

Usando la definición de coseno, se tiene

y por tanto

Sustituimos en la expresión para c2 y simplificamos:

terminando con esto la prueba de este caso.

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Ejemplo: Sea el triángulo con lados b=4.5km, c=6km y ángulo A=55º, hallar a. Del teorema del coseno

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc·cos A = 4.5 2 + 6 2 − 2·4.5·6·cos 55º = 25.277 ⇒ a = 25.277 = 5.028km

Ejemplo: Sea el triángulo con lados a=10, b=4, c=8 hallar el ángulo B Del teorema del coseno

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac·cos B cos B =

22.

a 2 + c 2 − b 2 10 2 + 8 2 − 4 2 148 = = = 0.925 ⇒ B = 22.33º 2·a·c 2·10·8 160

Problemas

Problema 1 Sabiendo que senx =

1 , hallar sen(x + 45º ) 4

sen(x + 45º ) = senx cos 45º + cos xsen45º 2

16 1 15 15 ⎛1⎞ ⎛1⎞ cos x = 1 − sen 2 x = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − ⎜ ⎟ = − = = 16 16 16 4 ⎝4⎠ ⎝ 16 ⎠ 1 2 2 15 2 30 sen(x + 45º ) = · · + = + = 4 2 2 4 8 8

2 + 30 8

Problema 2 Sabiendo que tgx =

1 , hallar tg 2 x 3

2 2 1 2 2tgx 3 = 3 = 3 = 3 = 2·9 = 2·3·3 = 3 = tg (2 x ) = 2 2 1 9 1 8 3·8 3·4·2 4 1 − tg x ⎛1⎞ − 1− 1− ⎜ ⎟ 9 9 9 9 ⎝ 3⎠ 2·

Problema 3

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Sabiendo que

tgx =

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1 3 , hallar tg3x

3 1 9 + 4 13 + 13 tg 2 x + tgx tg (3x ) = tg (2 x + x ) = = 4 3 = 12 = 12 = 3 1 12 − 3 9 9 1 − tg 2 x·tgx 1− · 43 12 12 Problema 4 2 Hallar el valor de x tal que cos x = cos x

No puedo dividir los dos miembros de la igualdad por cos x , porque no puedo asegurar que cos x ≠ 0

cos 2 x = cos x ⇒ cos 2 x − cos x = 0 ⇒ cos x·(cos x − 1) = 0 Hay dos soluciones a esta ecuación:

⎧ x = 90º cos x = 0 ⇒ ⎨ ⎩ x = 270º 1ª 2ª (cos x − 1) = 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 0º Problema 5 Si α está en el tercer cuadrante y tg α =5, hallar el valor del sen α y cos α

sen 2α + cos 2 α = 1; dividiendo por cos α ; tg 2α + 1 = sen α = − 1 − cos 2 α = − 1 −

1 1 1 ⇒ = 25 + 1 ⇒ cos α = − 2 2 cos α cos α 26

1 26

Problema 6 Demostrar la identidad

sen α 1 + cos α 2 + = sen α 1 + cos α sen α 1 + cos α sen α (1 + cos α ) 2 + sen α 2 + 2 cos α 2 + = = = sen α 1 + cos α (1 + cos α )·sen α (1 + cos α )·sen α sen α

Problema 7

· cos7º30' ) Hallar el valor exacto de x = (cos37º30' )( como 37º30' +7º30' = 45º y 37º30' −7º30' = 30 º entonces 45º −30º 45º +30º 43/122 cos = 2cos37º30' cos7º30' ⇒ 2 2 cos45º + cos30º 2+ 3 cos37º30' cos7º30' = = 2 4 cos45º + cos30º = 2cos

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Problema 8 Sabiendo que sen 40º=0.643 y cos40º=0.766 calcular: a) cos 50º cos50º=cos(90º-40º)=sen40º=0.643 b) sen140º sen140 º=sen(180º-40º)=sen40º=.643 c) sen20º

sen 20 º = sen

40 º 1 − cos 40 º 1 − 0.766 =+ =+ = 0.342 2 2 2

Problema 9 Resolver la ecuación senx + cos x = 1

cos x = 1 − senx ⇒ cos 2 x = (1 − senx ) ⇒ 1 − sen 2 x = 1 + sen 2 x − 2 senx (CV senx = s) ⇒ 1 - s 2 = 1 + s 2 − 2

2 s 2 − 2 s = 0 ⇒ 2 s ( s − 1) = 0 1) ⇒ senx = 0 ⇒ x = nπ ; n entero cualquiera 2) ⇒ senx = 1 ⇒ x =

π 2

+ 2nπ ; n entero cualquiera

Problema 10 Hallar las soluciones de la ecuación cosA=ctgA que cerifiquen 0º<A<360º

cos A ⇒ cos AsenA = cos A ⇒ cos AsenA − cos A = 0 ⇒ cos A( senA − 1) = 0 senA 1) ⇒ cos A = 0 ⇒ A = 90 º o A = 180º 2) ⇒ senA − 1 = 0 ⇒ senA = 1 ⇒ A = 90 º cos A =

Problema 11 Resolver el triángulo del que se conocen a=24cm, b=15cm y A=125º

senA senB bsenA = ⇒ senB = = 0.51197 ⇒ B = 30 º 47 '43' ' a b a C = 180 º − A − B ⇒ C = 24 º12 '17 ' ' senA senC asenC = ⇒c= = 12cm a c senA Problema 12 Resolver el triángulo del que se conocen c=120cm, A=85º y B=50º

C = 180 º − A − B = 45º senA senC csenA = ⇒a= = 169 .06 cm a c senC 44/122 senB senC csenB b = c ⇒ b = senC = 130 cm

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Problema 13 Dos lanchas salen de un embarcadero en direcciones que forman un ángulo de 70º, con velocidades respectivas de 50km/h y 40km/h ¿A que distancia estarán una de la otra al cabo de dos minutos? El triángulo que forman las lanchas es: b=50km/h·2minutos/60=5/3km que es lo recorrido por la primera lancha. c=40km/h·2minutos/60=4/3km que es lo recorrido por la segunda lancha. A=70º. Del teorema del coseno: a2=b2+c2-2·b·c·cosA=3.035 luego a=1.74 Problema 14 El faro más alto del mundo es el del Parque Yamashita en Yokohama y mide 106m de altura ¿Desde qué distancia se vería su punta con un ángulo de 1º? tg1º=106m/d d=106m/tg1º= 6072.73m Problema 15 Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350m, y alcanza una distancia de 108m; el golpe ha sido defectuoso y la dirección de la pelota forma un ángulo de 20º respecto de la dirección del hoyo ¿a qué distancia del hoyo a quedado la pelota? Aplicando el teorema del coseno a=(b2+c2-2·b·c·cosA)0.5=(3502+1802-2·350·180·cos20º)0.5=191.04m Problema 16 Una gaviota vuela en dirección noroeste a una velocidad de 30km/h. Al cabo de 15 minutos, ¿cuánto ha avanzado hacia el norte? ¿Y hacia el oeste? Distancia=30km/h · 15 minutos/60=7.5km; Distancia W=Distancia · cos45º=5.30m; Distancia N=Distancia · sen45º=5.30m;

23.

Introducción a los vectores →

Un vector se representa como v .Los vectores son la herramienta para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. que no pueden ser descritas tan solo por un número real. Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

45/122

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Dirección: la de la recta que lo contiene Sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha Módulo: la longitud del segmento

Un punto de aplicación del vector determina el origen del vector. Dados dos puntos del plano A = ( x1 , y1 ) y B = ( x 2 , y 2 ) , un vector queda determinado si se fija un orden entre estos puntos. El par de puntos ( A, B ) determina el vector que se representa por

⎯ ⎯→

A se denomina origen del vector y B el extremo del vector

24.

Características de un vector ⎯⎯→

Un vector

⎯⎯→

donde A = ( x1 , y1 ) y B = ( x 2 , y 2 ) se define por sus coordenadas

en el plano, es decir:

⎯⎯→

(v1 , v2 ) =

⎯⎯→

v ((x

− x1 ), ( y 2 − y1 ))

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Ejemplo Dados los puntos

A = (2,3) y B = (5,5)

⎯⎯→

AB = (5 − 2,5 − 3) ) = (3,2 )

Ejemplo Dados los puntos A = ( 2,−1) y B = (−5,7 ) ⎯ ⎯→

AB = (− 5 − 2,7 − (−1) ) = (− 7,8) ⎯⎯→

BA = (2 − (−5),−1 − 7 ) = (7,−8) ⎯⎯→

Ejemplo: dado el vector hallar el punto C

CD = (4,−2) , sabiendo que su extremo es el punto

CD = (4,−2 ) = (1,−7 ) − (c x , c y ) →

4 = 1 − c x ⇒ c x = −3

− 2 = (− 7 ) − c y ⇒ c y = −5

Por tanto el origen del vector es C = (− 3,−5)

24.1.

Punto de Aplicación, Dirección, Sentido de un vector

Definiciones:

47/122

D = (1,−7 )

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Punto de aplicación: Es el origen del segmento. Dirección: Mide la inclinación del segmento. El segmento puede ser horizontal, vertical o tener una inclinación determinada entre estas dos. Sentido: Dada una recta con una dirección determinada, nos podemos mover sobre ella, en dos sentidos (derecha o izquierda). Si los puntos A y B coinciden, esto es A=B, entonces el vector que determinan es el llamado vector nulo,

⎯⎯→

AA BB →

Ejemplo: ¿Cuál es la dirección del vector formado por el vector

(

)

CD = 1, 3 ?

La tangente del ángulo que forman es tgα =

3 = 3 ⇒ α = 60º 1

El vector tiene 60º respecto del eje de abscisas o eje X. →

Ejemplo: ¿Cuál es la dirección del vector formado por el vector

La tangente del ángulo que forman es tgα =

(

)

CD = 1,− 3 ?

− 3 = − 3 ⇒ α = −60º = 300 º 1

El vector tiene -60º respecto del eje de abscisas o eje X, está en el cuarto cuadrante →

Ejemplo: ¿Cuál es la dirección del vector formado por el vector

La tangente del ángulo que forman es tgα =

− 3 = 3 ⇒ α = 240º −1

48/122

(

)

CD = − 1,− 3 ?

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El vector tiene 140º respecto del eje de abscisas o eje X, está en el tercer cuadrante →

Ejemplo: ¿Cuál es la dirección del vector formado por el vector

La tangente del ángulo que forman es tgα =

(

)

CD = − 3, 3 ?

3 ⇒ α = 150 º −3

El vector tiene 150º respecto del eje de abscisas o eje X, está en el segundo cuadrante

24.2.

Longitud, Norma, Magnitud o Módulo

Definición: Longitud, Norma, Magnitud o Módulo: Es el tamaño del segmento. Se representa ⎯⎯→

por

AB , donde ⎯⎯→

AB ⎯⎯→

Si el vector es

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

= (v1 , v 2 ) , entonces su módulo es: ⎯⎯→

= v1 + v2 2

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Ejemplo: ⎯⎯→

Calcular el módulo del vector

⎯⎯→

AB = (x

donde A = ( 2,1) y B = ( 4,2)

− x1 , y 2 − y1 ) = (4 − 2) 2 + (2 − 1) 2 = 5

El módulo de un vector representa también la distancia entre los dos puntos que definen el vector. Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos A = (1, 2) y B = ( −4, −3) La distancia ente dos puntos es igual al módulo del vector que forman esos puntos, por tanto, la distancia es: ⎯⎯→

AB = (x

− x1 , y 2 − y1 ) = (1 − (− 4 )) 2 + (2 − (− 3)) 2 = 25 + 25 = 50

A los vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido (que sólo se diferencian en el punto de aplicación) se les llama equipolentes. ⎯⎯→

La equipolencia de

⎯⎯→

se representa como

Ejemplo: Son equipolentes los siguientes vectores

50/122

⎯⎯→

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El conjunto formado por todos los vectores fijos, equipolentes a uno determinado (por

⎧ ⎯⎯→ ⎫ AB ⎬ ⎩ ⎭

⎯⎯→

ejemplo AB ), se le llama vector libre y se representa por ⎨ Ejemplo: Sin

α = 30º y R=5, hallar el valor del segmento Ob, Oa

Oa ⇒ Oa = R·cos α R 1 Oa = 5·cos 30º = 5· = 2.5 2 cos α =

Ob ⇒ Ob = R·senα R 3 5· 3 Ob = 5·sen30º = 5· = 2 2 senα =

25.

Operaciones con vectores en el plano

25.1.

Suma de Vectores

v + w = (v 1 , v 2 ) + (w 1 , w 2 ) = (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 )

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Ejemplo: Calcular la suma de los vectores v = (1, 2), w = (5, - 9)

v + w = (1, 2) + (5, - 9) = (1 + 5,2 + (− 9 ))) = (6,−7 ) Ejemplo: Calcular la suma de los vectores v = (3,0), w = (1/2, - 6)

v + w = (3,0) + (1/2, - 6) = (7 / 2,−6) Propiedades de la suma: • •

Conmutativa: v + w = w + v Asociativa: (v + w ) + z = w + (v + z )

•

Elemento neutro: 0 = (0,0) , ya que v + 0 = 0 + v = v

•

Elemento simétrico: dado un vector v , existe otro vector − v = ( −v1 ,−v 2 ) tal que

v + −v = −v + v = 0

→

Ejemplo: el vector simétrico a

AB = (1,2) es (− 1,−2 )

52/122

•

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La suma de más de dos vectores se corresponde geométricamente con las siguientes ejemplos:

25.2.

Producto de un vector por un número real:

λ ·v = λ ·(v1 , v 2 ) = (λ ·v1 , λ ·v 2 ) El producto de un número por un vector tiene como interpretación geométrica la dilatación a contracción de un vector.

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Al multiplicar un número por un vector puede cambiar su módulo, su sentido pero nunca su dirección.

Ejemplo: Calcular el producto de 7/8 y v = (3,0)

7 / 8·v = (7 / 8·3,7 / 8·0) = (21 / 8,0) Ejemplo: Calcular el producto del escalar − 1 Y w = (− 8,−5 )

(− 1)·w = (− 1)(· − 8,−5) = (8,5)

26.

Producto Escalar

Sean v , w dos vectores de ℜ 2 . Se denomina producto escalar de estos dos vectores, y se representa por v·w , al número real

v·w = (v1 ·w1 + v 2 ·w2 ) Siendo v = (v1 , v2 ) y w = (w1 , w2 )

Propiedades:

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•

Conmutativa: v·w = w·v Distributiva respecto a la suma v·( w + z ) = v·w + v· z

•

Producto por escalar λ (v·w) = (λ v )·w = v·(λ w)

•

Se dice que dos vectores son ortogonales si producto escalar es nulo. Los vectores son perpendiculares, forman ente si un ángulo de 90º

v·w = 0

v⊥w

Estos vectores son ortogonales o perpendiculares, forman ente ellos un ángulo de 90º.

Ejemplo: Calcular

producto

escalar

los

vectores

(−2,3), (3,2) ( −2,3)·(3,2) = −2·3 + 3·2 = 0 (−2,3), (3,2) son vectores ortogonales Ejemplo: Calcular el producto escalar de los vectores (1,2), (5,−3)

(1,2)·(5,−3) = 1·5 + 2·( −3) = −1 Ejemplo:

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Calcular un vector perpendicular a (1, 2)

(1,2)·( x, y ) = 0 ⇒ x + 2 y = 0 Una solución de las infinitas soluciones de este sistema indeterminado es ( x, y ) = ( 2,−1)

Ejemplo: Encontrar un vector ortogonal al vector

v = (2,−3)

Este vector tiene infinitos vectores perpendiculares a él. Uno de ellos podría ser w sabiendo que

v·w = 0

v·w = (2,−3)·(w x , w y ) = 2·w x + ( −3)·w y Haciendo

wx = 3 y w y = 2 se tiene

v·w = (2,−3)( · 3,2 ) = 2·3 + (−3)·2 = 0 Por tanto

27.

v, w

son vectores ortogonales

Producto escalar en función del ángulo

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman

v·w = v · w ·cos ϕ El producto escalar representa geométricamente el producto de la norma de un vector →

→

por la proyección del otro sobre él. En la figura el producto escalar AC· AB = AH · AB

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→

En la figura siguiente, se ve que la proyección del vector A sobre B es A cosθ

28.

Ángulo formado por dos rectas

Se define el ángulo de dos rectas como el formado por sus vectores directores

v·w ϕ = arccos v·w Ejemplo: Calcular

el producto

escalar

los

vectores

(−2,3), (3,2) ( −2,3)·(3,2) = −2·3 + 3·2 = 0 (−2,3), (3,2) son vectores ortogonales

Ejemplo: Calcular el producto escalar de los vectores (1,2), (5,−3)

(1,2)·(5,−3) = 1·5 + 2·( −3) = −1 Ejemplo: Calcular un vector perpendicular a (1, 2)

(1,2)·( x, y ) = 0 ⇒ x + 2 y = 0

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Ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores (i + 2 j ), (5i − 3 j )

ϕ = arccos

v·w

= arccos

v· w

(1·5 + 2·( −3)) 12 + 2 2 · 5 2 + (−3) 2

= arccos

−1 −1 = arccos = 5· 34 170

= arccos(−0.076) = 94.39º

Ejemplo: Calcular el ángulo que forman entre sí los siguientes vectores

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ v = ⎜1,− ⎟, w = ⎜1, ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠

v·w ϕ = arccos = arccos v·w

= arccos

29.

⎛ 1⎞ 1 1·1 + ⎜ − ⎟· ⎝ 3⎠ 2 2

⎛1⎞ ⎛ 1⎞ 1+ ⎜ − ⎟ · 1+ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 3⎠

= arccos

1−

⎛1⎞ ⎛ 1⎞ 1+ ⎜ − ⎟ · 1+ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 3⎠

2 = 45º 2

Otras propiedades de los vectores

29.1.

Desigualdad de Schwarz

v ·w ≤ v · w Demostración:

por ser - 1 ≤ cos ϕ ≤ 1 ⇒ -1 ≤ 29.2.

v·w ≤ 1 ⇒ − v · w ≤ v·w ≤ v · w v·w

Desigualdad Triangular

v + w ≥ v+w 29.3.

Vector unitario

Es el vector cuyo módulo o norma es uno, esto es

u =1 58/122

1 6 2

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Dado un vector cualquiera, su vector unitario se obtiene dividiendo cada una de sus componentes por su módulo.

⎛v v v = (v1 , v 2 ) ⇒ u v = ⎜ 1 , 2 ⎜v v ⎝

⎞ ⎟ ⇒ uv = 1 ⎟ ⎠

Ejemplo:

⎛ 8 6 v = (8,6) ⇒ u v = ⎜⎜ , 2 2 82 + 6 2 ⎝ 8 +6

⎞ ⎛8 6⎞ ⎟⎟ = ⎜ , ⎟ ⎠ ⎝ 10 10 ⎠

Comprobación

⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛ 64 ⎞ ⎛ 36 ⎞ ⎛ 64 + 36 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⇒ uv = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟+⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ =1 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ 2

Ejemplo:

⎛ 3 4 , v = (3,4) ⇒ u v = ⎜⎜ 2 2 2 3 + 42 ⎝ 3 +4 2

⎞ ⎛3 4⎞ ⎟⎟ = ⎜ , ⎟ ⎠ ⎝5 5⎠

⎛3⎞ ⎛ 4⎞ ⇒ uv = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⎝5⎠ ⎝5⎠

30.

Introducción a los vectores en R3

Dados dos puntos del plano A = ( x1 , y 2 , z 3 ) y B = ( x 2 , y 2 , z 3 ) , un vector queda determinado si se fija un orden entre esto puntos. El par ( A, B ) determina el vector que se representa por

⎯⎯→

Z B

⎯ ⎯→

AB X

A Y

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Ejemplo:

Características de un vector en R3

31.

⎯⎯→

Un vector ⎯⎯→

(v1 , v 2 ) =

⎯⎯→

AB se define por sus coordenadas, es decir:

⎯⎯→

v ((x

− x1 ), ( y 2 − y1 ), ( z 2 − z1 ))

Ejemplo: Dados los puntos A = ( 2, −1, 2) y B = (−5,7,0) ⎯⎯→

AB = (− 5 − 2,7 − (−1) ) = (− 7,8,−2 ) ⎯⎯→

BA = (2 − (−5),−1 − 7 ) = (7,−8,2 ) Definición: Longitud, Norma, Magnitud o Módulo: Es el tamaño del segmento. Se representa ⎯⎯→

por

AB , donde ⎯ ⎯→

AB = (x

2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) 2

60/122

⎯⎯→

Si el vector es

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= (v1 , v2 , v3 ) , entonces su módulo es: ⎯⎯→

= v1 + v 2 + v3 2

Ejemplo: ⎯⎯→

Calcular el módulo del vector

donde A = ( 2,1,0) y B = ( 4,2,1)

⎯⎯→

AB ==

(4 − 2) 2 + (2 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 6

El módulo de un vector representa también la distancia entre los dos puntos que definen el vector. - A los vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido (que sólo se diferencian en el punto de aplicación) se les llama equipolentes. ⎯⎯→

La equipolencia de

⎯⎯→

se representa como

⎯⎯→

- El conjunto formado por todos los vectores fijos, equipolentes a uno determinado (por

⎫ AB ⎬ ⎭ ⎩ ⎧

⎯⎯→

ejemplo AB ), se le llama vector libre y se representa por ⎨

32.

Operaciones con vectores en el espacio R3 Suma de vectores en R3

32.1.

v + w = (v1 , v 2 , v 3 ) + (w 1 , w 2 , w 3 ) = (v1 + w 1 , v 2 + w 2 1 , v 3 Propiedades de la suma: • •

Conmutativa: v + w = w + v Asociativa: (v + w ) + z = w + (v + z )

•

Elemento neutro: 0 = (0,0) , ya que v + 0 = 0 + v = v

Elemento simétrico: dado un vector v , existe otro vector − v = (−v1 ,−v2 ,−v3 ) tal que

v + −v = −v + v = 0 61/122

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Producto de un vector por un número real en R3

32.2.

λ ·v = λ ·(v1 , v 2 , v 3 ) = (λ ·v1 , λ ·v 2 , λ ·v 3 ) Ejemplo: Calcular el producto del escalar − 2 Y w = (− 8, −5,6 )

(− 2 )·w = (− 2 )(· − 8,−5,6 ) = (16,10,−12 ) 33.

Producto Escalar en R3

Sean v , w dos vectores de ℜ 3 . Se denomina producto escalar de estos dos vectores, y se representa por v·w , al número real

v·w = (v1 ·w1 + v2 ·w2 + v3 ·w3 ) Siendo v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 )

Propiedades:

•

Conmutativa: v·w = w·v Distributiva respecto a la suma v·( w + z ) = v·w + v· z

•

Producto por escalar λ (v·w) = (λ v )·w = v·(λ w)

•

Se dice que dos vectores son ortogonales si producto escalar es nulo (los vectores son perpendiculares)

v·w = 0

v⊥w

Ejemplo: Calcular un vector perpendicular a (1,2,4)

(1,2,4)·( x, y , z ) = 0 ⇒ x + 2 y + 4 z = 0 Una solución de las infinitas de este sistema indeterminado es ( x, y , z ) = ( 2,−1,0)

62/122

34.

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Producto escalar en función del ángulo en R3

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman

v·w = v · w ·cos ϕ El producto escalar representa geométricamente el producto de la norma de un vector →

→

por la proyección del otro sobre él. En la figura el producto escalar AC· AB = AH · AB

35.

Ángulo formado por dos rectas en R3

Se define el ángulo de dos rectas como el formado por sus vectores directores

ϕ = arccos 36.

v ·w v·w

Otras propiedades de los vectores en R3

36.1.

Desigualdad de Schwarz

v ·w ≤ v · w Demostración:

por ser - 1 ≤ cos ϕ ≤ 1 ⇒ -1 ≤

v·w ≤ 1 ⇒ − v · w ≤ v·w ≤ v · w v·w

63/122

36.2.

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Desigualdad Triangular

v + w ≥ v+w

36.3.

Vector unitario

Es el vector cuyo módulo o norma es uno, esto es

u =1 Dado un vector cualquiera, su vector unitario se obtiene dividiendo cada una de sus componentes por su módulo.

⎛v v v ⎞ v = (v1 , v2 , v3 ) ⇒ uv = ⎜⎜ 1 , 2 , 3 ⎟⎟ ⇒ uv = 1 ⎜v v v⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo:

⎛ 3 ⎜ v = (3,4, 11) ⇒ u v = ⎜ ⎜ 32 + 4 2 + ⎝

( 11)

4 32 + 4 2 +

( 11)

11 32 + 4 2 +

⎞ ⎟ = 2 ⎟ ⎟ 11 ⎠

( )

⎛ 3 4 11 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ , , ⎝6 6 6 ⎠ 2

⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 11 ⎞⎟ =1 ⇒ uv = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎟⎠ 2

37.

Vectores i, j, k

Los vectores i, j , k son vectores unitarios ortogonales entre sí. Se corresponden con los vectores

i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) 64/122

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Cualquier vector se puede expresar en relación con estos vectores unitarios. Por ejemplo, el vector v = (v1 , v2 , v3 ) se puede expresar como v = v1 ·i + v 2 · j + v3 ·k Ejemplo: El vector v = (1,9,−23) es igual que el vector v = i + 9· j − 23·k Ejemplo: El vector w = 8i + j − 9k es igual que el vector w = (8,1,9 ) Ejemplo: En R3, vector z = i − 8k es igual que el vector z = (1,0,−8)

38.

Introducción a la recta

Una recta en el plano está definida por dos puntos. Por dos puntos distintos solo pasa una recta.

Una recta en el plano está definida de manera única igualmente por un vector y por un punto. La recta pasará por el punto y el vector indicará la dirección de la recta 65/122

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A se denomina origen del vector y B el extremo del vector

39.

Ecuación de la recta

Existen diferentes maneras de representar una misma recta en el plano. Cada una de estas formas recibe un nombre. Veamos las más habituales. 39.1.

Ecuación Vectorial de la recta

( x, y ) = p + λ v

66/122

( x, y ) = p + λ v

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∀λ ∈ ℜ

p = (a, b) v = (v1 , v2 )

Donde:

( x, y ) = p + λ v

∀λ ∈ ℜ

p = (a, b) : vector de posición o punto de aplicación v = (v1 , v 2 ) : vector director

λ : cualquier escalar →

Ejemplo: si una recta pasa por el punto p = (1,2 ) -vector de posición- y su vector director es →

v = (3,−2 ) , la ecuación vectorial de la recta es ( x, y ) = (1,2 ) + λ (3,-2 ) →

∀λ ∈ ℜ

→

Ejemplo: si una recta pasa por el punto p = (1,2 ) y por el punto q = (− 2,4 ) , un vector de esta →

recta es pq = q − p = (− 2,4 ) − (1,2 ) = (− 2 − 1,4 − 2 ) = (− 3,2 ) , y un punto cualquiera de la →

recta es, por ejemplo p = (1,2 ) La ecuación vectorial de la recta es ( x, y ) = (1,2 ) + λ (- 3,2

39.2.

Ecuación Paramétrica de la recta

x = a + λv1 y = b + λ v2

67/122

)

∀λ ∈ ℜ

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∀λ ∈ ℜ p = (a, b) : vector de posición v = (v1 , v2 ) : vector director Ejemplo: En el ejemplo anterior

x = 1 + λ (- 3)

y = 2 + λ (2 ) ∀λ ∈ ℜ

39.3.

Ecuación Continua de la recta

Si en cada una de las ecuaciones paramétricas se despeja el parámetro λ y se igualan los resultados se obtiene:

x−a y −b = v1 v2 Ejemplo: En el ejemplo anterior, tenemos que despejar

x −1 −3 y−2 y = 2 + λ (2 ) ⇒ λ = 2 x −1 y − 2 Igualando = −3 2

e igualar en las dos ecuaciones

x = 1 + λ (- 3) ⇒ λ =

39.4.

Ecuación Explícita

Despejando y de la ecuación continua se obtiene la ecuación explícita

y = mx + n A esta representación se le conoce también como ecuación Altura-Pendiente ya que dado un punto P ( 0, n ) y la pendiente m , se obtiene inmediatamente la expresión anterior. La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas o eje X.

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Ejemplo: En el ejemplo anterior, pasamos de la forma continua a la explícita

2( x − 1) 2( x − 1) 2 2 2 8 x −1 y − 2 +2⇒ y =− x+ +2⇒ y =− x+ ⇒ y=− = ⇒ y−2= 2 3 3 3 3 3 −3 −3 2 8 y =− x+ 3 3 Ejemplo: Si una recta cruza al eje de ordenadas por el punto 1 y tiene pendiente -0.5, la ecuación altura-pendiente o explícita es y=-0.5x+1

Ejemplo: Calcular el punto de corte de las rectas:

R1 : y = 2 x R 2 : y = 0,5 x + 3 R3 : y = − x + 6

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El punto de corte de R1 con R2 se calcula, en este caso, por el método de sustitución.

⎧R 2 : y = 0,5 x + 3 −3 =2 ⇒ − x + 6 = 0,5 x + 3 ⇒ −1,5 x = −3 ⇒ x = ⎨ − 1,5 ⎩ R3 : y = − x + 6 x = 2 ⇒ y = −2 + 6 = 4 El punto de corte de R1 con R2 es P12 = (2,4 ) El punto de corte de R2 con R3 se calcula, en este caso, por el método de sustitución.

⎧R1 : y = 2 x 3 ⇒ 2 x = 0,5 x + 3 ⇒ 1,5 x = 3 ⇒ x = =2 ⎨ R 2 : y = 0 , 5 x + 3 1 , 5 ⎩ x = 2 ⇒ y = 2·2 = 4 El punto de corte de R2 con R3 es P 23 = (2,4 ) De la misma manera se calcularía el corte de R1 con R3. Por la propiedad reflexiva, este punto es P13 = (2,4 )

39.5.

Ecuación Canónica o Segmentaria

En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.

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x y + =1 a b Ejemplo:

y = 2x + 3 ⇒ y − 2x = 3 ⇒ y +

x y x = 3⇒ + =1 1 3 3 − − 2 2

y x + =1 3 3 − 2 Ejemplo: Al representar de la siguiente recta se ve que el punto de corte con el eje de abscisa es (− 1,0 ) y el punto de corte con el eje de ordenadas es (0,2 )

y x + =1 2 −1

39.6.

Ecuación Punto-Pendiente

Dado un punto P(x1, y1) y la pendiente m

y − y p = m( x − x p )

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Ejemplo: La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por (-2, 1) con pendiente 2/3 es y1=2/3(x-(-2)), o sea: y-1=2/3(x+2)

39.7.

Ecuación General de la Recta

Se obtiene esta ecuación de la ecuación explícita o continua sin más que reordenando apropiadamente los términos de la ecuación

Ax + By + C = 0 En este caso, el vector (A, B) se llama vector característico de la recta y es perpendicular a la recta.

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Ejemplo la recta punto-pendiente y-1=2/3(x+2) es igual que la general 2x-3y+7=0 El vector característico es ( 2, − 3) que es perpendicular a la recta.

40.

Pendiente de la recta

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación respecto al eje x. La pendiente de la recta vertical no está definida ya que tg90º no está definida (no se puede dividir por cero).

y 2 − y1 x 2 − x1

si x 2 ≠ x1

Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(-2, 5), P2(3, 0) es

0−5 = −1 3 − ( −2 )

Esta pendiente corresponde a un ángulo de -45º o135º

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P1 = ( −2,5)

P 2 = (3,0)

m = −45º

41.

Ángulo entre dos rectas

Si m es la pendiente de la recta 1 y m’ de la recta 2, la tangente del ángulo que forman las dos rectas es:

tgγ =

m '− m 1 + m '·m

0º ≤ γ ≤ 90 º

Demostración: si A y B ’son las inclinaciones de las rectas 1 y 2 respecto al eje positivo de abscisa, entonces

tgγ = tg ( A − B) =

tgA − tgB m'− m = 1 + tgA·tgB 1 + m'·m

0º ≤ γ ≤ 90º

tgA = m' tgB = m

Ejemplo: ¿Ángulo que forman las rectas r: x+3y=0 y r’: 2x-4y+5=0? r: y=-1/3x; r’: y=x/2+5/4

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1 1 r:y=− x⇒m=− 3 3 x 5 1 r ': y = + ⇒ m = 2 4 2 1 1 + m'− m 2 3 = 1 ⇒ γ = 45º = tgγ = 1 ⎛ 1⎞ 1 + m'·m 1 + ·⎜ − ⎟ 2 ⎝ 3⎠

42.

Rectas horizontales y verticales

horizontal ⇔ y = b vertical ⇔ x = a Ejemplo:

y=3

x=3

43.

Rectas paralelas y perpendiculares

43.1.

Rectas paralelas

Si las rectas no se cortan entonces son paralelas y el ángulo entre ellas es 0º

r || r '

⇔

m = m'

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Ejemplo: Las rectas siguientes son paralelas

R1 : y = 2 x − 8 1 R2 : y = x 2

43.2.

Rectas perpendiculares

Si las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman es de 90º.

r ⊥ r'

⇔

m=−

1 m'

Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es cero.

Ejemplo: Sean las rectas R1 ( x, y ) = (1,2 ) + λ (3,-2 Y la recta R2

x−3 y = − 10 − 15

La recta R1 tiene como vector director al vector

)

∀λ ∈ ℜ

v = (3,-2 ) ya que está en forma vectorial. La

w = (- 10,-15 ) Si calculamos el producto escalar de estos vectores (- 10,-15 )·(3,-2) = -10·3 + (-15)·(-2) = 0 , recta R2, que está en forma continua, tiene como vector director entonces las rectas son perpendiculares.

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44.

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Ángulo formado por dos rectas

Se define el ángulo de dos rectas como el formado por sus vectores directores.

ϕ = arccos

v·w v· w

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Ejemplo: Sean las rectas R1 ( x, y ) = (1,2 ) + λ (3,-2

)

∀λ ∈ ℜ

Y la recta R2 y = x + 1 R1: Un vector director de R1 es

v = (3,-2 )

R2: Para hallar un vector director de R2, podemos hacerlo de varias formas. Un de ellas es encontrar dos puntos que pertenezcan a la recta y a continuación, hallar el vector que forman estos dos puntos.

0 = x + 1 ⇒ x = −1 . El primer punto es P1 = (− 1,0 ) Si x = 0 entonces y = 0 + 1 ⇒ y = 1 . El segundo punto es P 2 = (0,1) Si y = 0 entonces

Un vector director de R2 es

P1P2 = P2 − P1 = (0,1) − (− 1,0) = (1,1)

w = P1P2 = (1,1) El ángulo que forman las rectas R1 y R2 es:

ϕ = arccos

v·w

= arccos

v· w = arccos

45.

1 13 2

= arccos

(3,−2)(· 1,1) (3,−2)· (1,1) 1 26

= arccos

3·1 + (− 2 )·1 3 2 + (− 2 )

12 + 12

= arccos

3−2 9 + 4 1+1

= 78,69º

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano es analizar si se cortan, son coincidentes o son paralelas. Ejemplo: Hallar la posición relativa de la recta R1 y R2 R1: y = 7 x − 2 R2: y = 7 x + 3000 Como R1 y R2 tienen la misma pendiente, o son paralelas, o son coincidentes; como el punto de corte en el eje de ordenadas es distinto, son paralelas.

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R3: y = 3 x + 1 R4: 2 x − y = 0 Se obtiene de R4: y = 2 x y sustituyendo en R3 2 x = 3 x + 1 ⇒ x = − 1; y = −2 , luego las rectas se cortan en el punto ( − 1, − 2 )

R5: y = x + 3

⎧y = 3 + λ ⎩ x=λ

R6: ⎨

Pasando R6 a la forma explícita, se ve que las rectas R5 y R6 son coincidentes.

46.

Distancia de un punto a una recta

Se define la distancia entre un punto P y una recta r como la distancia mínima entre el punto y la recta. En la figura siguiente, la distancia más corta es la longitud del segmento PM

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Se puede demostrar la siguiente expresión para calcular la distancia de un punto a una recta, siendo la recta r : Ax + By + C = 0 y el punto P : ( x0 , y0 )

d (r , P) =

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

Ejemplo: Hallar la distancia al origen de la recta r : 3 x − 4 y − 25 = 0

d (r , O) =

47.

3·0 + 4·0 − 25 32 + (− 4 )

25 =5 5

Propiedades de los vectores en el espacio XYZ

Un vector v en el espacio está definido por sus coordenadas (v1, v2, v3) 47.1.

Suma de dos vectores:

v + w = (v1 , v 2 , v3 ) + (w 1 , w 2 , w 3 ) = (v1 + w 1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 )

80/122

47.2.

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El producto de un escalar por un vector es:

λ ·v = λ ·(v1 , v 2 , v 3 ) = (λ ·v1 , λ ·v 2 , λ ·v 3 )

Dadas las coordenadas de dos puntos en el espacio A= (x1, y1, z1) y B= (x2, y2, z2), el vector AB es:

AB = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 )

Ejemplo: (2, 4, -5) + (2, -9, 0.5)=(4, -5, -4.5) (-1/2)· (2, 4, -5)=(-1, -2, 2.5) El vector AB definido por los puntos A=(1, 2, 4) y B=(3, -1, -1) es AB =(3-1, -1-2, -1-4)= =(2, -3,-5)

47.3.

Propiedades

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números: 81/122

• • • •

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propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w) existencia de elemento neutro, que es el vector nulo (0,0,0), para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z) propiedad conmutativa, u + v = v + u

El producto de vectores por números (escalares) tiene las siguientes propiedades: • • • •

48.

propiedad distributiva con respecto a la suma de vectores, t·(u + v) = t·u + t·v propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares (t + s)·u = t·u + s·u propiedad asociativa mixta: t·(s·u) = (t·s)·u El escalar "1" también es elemento neutro para este producto, 1·u = u

Módulo de un vector

Dado un vector v = (v1, v2, v3), su módulo, longitud o norma es:

v = (v 1 , v 2 , v 3 ) = v1 + v 2 + v 3 2

Ejemplo: El módulo del vector

49.

(3,5,4) es

32 + 52 + 4 2 = 50

Producto Escalar

Se denomina producto escalar de dos vectores, y se representa por v·w , al número real

v·w = (v1 ·w1 + v 2 ·w2 + v3 ·w3 ) Siendo

v = (v1 , v2 , v3 ) w = (w1 , w2 , w3 )

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman

v·w = v · w ·cos ϕ El producto escalar representa geométricamente el producto de la norma de un vector por la proyección del otro sobre él. 82/122

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Ejemplo:

(3,5,4) y (1,0,−2) es (3,5,4)·(1,0,−2) = 3·1 + 5·0 + 4·(−2) = −5

El producto escalar de los vectores

Propiedades del producto escalar: 1.- Conmutativa

v ·w = w ·v 2.- Distributiva respecto de la suma:

v ·( w + u ) = v ·w + v ·u 3.- Producto por escalar

λ ( v·w ) = (λ v)·w = w·(λ w )

50.

Ángulo formado por dos vectores Se define el ángulo de dos rectas como el formado por sus vectores directores.

ϕ = arccos

v· w v·w

Ejemplo: El coseno del ángulo que forman los vectores

cos ϕ =

51.

(3,5,4)·(1,0,−2) 32 + 5 2 + 4 2 12 + 0 2 + (−2) 2

(3,5,4) y (1,0,−2) es

−5 3·1 + 5·0 + 4·(−2) = ⇒ ϕ = 108.43º 50 5 250

Vectores Ortogonales

Vectores Ortogonales son aquellos cuyo producto escalar es nulo. El ángulo que forman entre ellos 90º. Son perpendiculares Ejemplo: El producto escalar de los vectores (3,5,4) y (−4,0,3) es (3,5,4)·(−4,0,3) = 0 luego estos vectores son ortogonales, y el ángulo que forman ente ellos es 90º

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Ejemplo 5.2: Encontrar uno de los infinitos vectores que es perpendicular a

(

v = (1,2,−2)

)

Se sabe que el vector w buscado es aquel que v·w = (1,2,−2 )· w x , w y , w z = 0

v·w = (1,2,−2 )·(w x , w y , w z ) = (w x + 2·w y − 2·w z ) = 0

w = (0,1,1) se cumple que v·w = (1,2,−2)( · 0,1,1) = (0 + 2·1 − 2·1) = 0 por tanto este es un

vector perpendicular a v

52.

Vector unitario

Vector unitario es el vector cuyo módulo o norma es uno, esto es, u =1 Dado un vector cualquiera, su vector unitario se obtiene dividiendo cada una de sus componentes por su módulo.

⎛v v v ⎞ v = ( v1 , v2 , v3 ) ⇒ uv = ⎜ 1 , 2 , 3 ⎟ ⇒ u v = 1 ⎜v v v⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo:

⎛ 3 4 1 , v = (3,4,1) ⇒ uv = ⎜⎜ , 2 2 2 2 2 2 2 3 + 4 +1 3 + 4 2 + 12 ⎝ 3 + 4 +1

53.

⎞ ⎛ 3 4 1 ⎞ ⎟=⎜ , , ⎟ ⇒ uv = 1 ⎟ ⎠ ⎝ 26 26 26 ⎠

Vectores Ortonormales

Vectores ortonormales son aquellos cuyo producto escalar es nulo y su módulo es uno.

Ejemplo: Los vectores (1,0,0) , (0,0,1) y (0,1,0) son ortonormales entre ellos. A estos vectores se les suele denominar:

i = (1,0,0 ) j = (0,1,0 ) k = (0,0,1)

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54.

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Bisectriz de un ángulo

Se obtiene un vector bisectriz, que será la bisectriz a dos vectores dados, sumando los vectores unitarios de estos.

Ejemplo: La bisectriz de los vectores

(3,4,1) y (3,5,4) es

4 1 ⎞ ⎛ 3 5 4 ⎞ ⎛ 3 50 + 3 26 4 50 + 5 26 50 + 4 26 ⎞ ⎛ 3 ⎟ , , , , , , ⎜ ⎟+⎜ ⎟ = ⎜⎜ 10 13 10 13 ⎟⎠ ⎝ 26 26 26 ⎠ ⎝ 50 50 50 ⎠ ⎝ 10 13

55.

Ecuaciones de la recta en el espacio

85/122

55.1.

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Ecuación Vectorial de la recta en el espacio

( x, y , z ) = p + λ v

∀λ ∈ ℜ

p = (a, b, c) : vector de posición v = (v1 , v2 , v3 ) : vector director

λ : cualquier escalar Ejemplo: si una recta pasa por el punto p = (0, 1, 2) -vector de posición- y su vector director es →

v = (3, -2, 1), la ecuación vectorial de la recta es

( x, y , z ) = (0,1,2 ) + λ (3,-2, 1 )

55.2.

∀λ ∈ ℜ

Ecuación Paramétrica de la recta:

⎧ x = a + λ v1 ⎪ ⎨ y = b + λv2 ⎪ z = c + λv 3 ⎩ ∀λ ∈ ℜ p = (a, b, c) : vector de posición v = (v1 , v2 , v3 ) : vector director

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Ejemplo: hallar la ecuación paramétrica del ejemplo anterior

x = 0 + λ (3) y = 1 + λ (- 2 ) z = 2 + λ (1 ) ∀λ ∈ ℜ

55.3.

Ecuaciones Continuas de la recta:

Si en cada una de las ecuaciones paramétricas se despeja el parámetro λ y se igualan los resultados se obtiene:

x−a y −b z −c = = v1 v2 v3 Ejemplo: Hallar las ecuaciones continuas de la recta que pasa por el punto p = (-3, 1, 2) con →

vector director v = (1, 0, -4)

x + 3 y −1 z − 2 = = =λ 1 0 −4 El cero en el denominador denota que y-1=0, estos es y=1. Pasando a la forma paramétrica:

x =λ −3

y =1 z = − 4λ + 2

55.4.

Ecuación General o Explícita:

Operando con las ecuaciones continuas se obtienen las ecuaciones implícitas:

Ax + By + Cz + D = 0 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Se verá más adelante que la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 es la ecuación de un plano en el espacio, y al cortarse dos planos en el espacio estos forman una recta.

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Ejemplo Hallar las ecuaciones implícitas de la recta

x + 3 y −1 z − 2 = = 1 2 4

⎧ 2x + 6 = y −1 ⎧2 x − y + 7 = 0 x + 3 y −1 z − 2 = = ⇒⎨ ⇒⎨ 1 2 4 ⎩4 y − 4 = 2 z − 4 ⎩ 4 y − 2 z = 0 Ejemplo: Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta:

x + 2 y + 3z − 8 = 0 2x − 3y − z + 5 = 0 Tomando y=

x + 3 z = 8 − 2λ 2 x − z = −5 − 3λ Resolviendo en x, z:

x = λ −1 y=λ z = −λ + 3 Para determinar las ecuaciones de una recta se necesita conocer: a) Un punto de la recta y un vector director. 88/122

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b) Dos puntos A(a, b, c) y A’(a’, b’, c’) de la recta; problema que se reduce al caso anterior considerando como vector director:

AA' = (a − a ' , b − b ' , c − c ')

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(0, 1, 2) y B=(1, 0, -1) Un vector director es

BA = A − B = (0, 1, 2) - (1, 0, - 1) = (-1, 1, 3)

x y −1 z − 2 = = −1 1 3

56.

Distancia de un punto a una recta

Se define la distancia entre un punto P y una recta r como la distancia mínima entre el punto y la recta. En la figura siguiente, la distancia más corta es la longitud del segmento PM Se puede demostrar la siguiente expresión para calcular la distancia de un punto a una recta, siendo la recta r : Ax + By + Cz + D = 0 y el punto P : ( x0 , y0 , z 0 )

d (r , P) =

Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2

89/122

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Ejemplo: Hallar la distancia ente el punto P : (2,−1,0 ) y la recta

d (r , P) =

57.

3·2 + 4·(− 1) + 1·0 32 + 4 2 + 12

2 2 26 26 = = 26 13 26

Resumen

90/122

r : 3x + 4 y + z = 0

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Dada la ecuación en forma general, pasar a forma continua y paramétrica.

58.

Ecuación del plano

Sea un plano π del que se conocen un punto P ( p1 , p 2 , p3 ) y dos vectores no paralelos cualesquiera v(v1 , v2 , v3 ) y w( w1 , w2 , w3 )

91/122

58.1.

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Ecuación Paramétrica del Plano

La Ecuación Paramétrica del Plano surge porque un plano queda definido por un punto del plano y dos vectores directores.

⎧ x = p1 + λ ·v1 + μ ·w1 ⎪ ⎨ y = p2 + λ ·v2 + μ ·w2 ⎪ z = p + λ ·v + μ ·w 3 3 3 ⎩

Ejemplo: hallar la ecuación paramétrica del plano que pasa por los puntos P(1, 0, 3), R(0, 1, 5) y S(2, -4, -1) Vector

PR(− 1,1,2) y vector PS (1,−4,−4) Las ecuaciones paramétricas son:

⎧ x = 1− λ + μ ⎪⎪ ⎨ y = λ + 4·μ ⎪ z = 3 + 2·λ − 4·μ ⎩⎪

58.2.

Ecuación General del Plano

Desarrollando estas ecuaciones se llega a la Ecuación General del plano:

Ax + By + Cz + D = 0 El vector ( A, B, C ) es un vector normal al plano π , esto es, es perpendicular al plano. A este vector se le denomina vector normal al plano N

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59. Ejemplo: Hallar la ecuación del plano delimitado de vértices A (1, 2, -1), B(3, 4, 0) y C(4, 2, 2) Dos vectores que determinan este plano son:

AB = (3,4,0) − (1,2,−1) = ( 2,2,1) AC = ( 4,2,2) − (1,2,−1) = (3,0,3) Ecuación paramétrica del plano:

⎧ x = 1 + λ ·2 + μ ·3 ⎪ ⎨ y = 2 + λ ·2 + μ ·0 ⎪ z = 1 + λ ·1 + μ ·3 ⎩ Se trata de eliminar los parámetros para conseguir la ecuación general del plano. Lo haremos por el método de Gauss intentando resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales con incógnitas λ, μ :

⎛2 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

x −1 ⎞ ⎛1 3 ⎟ ⎜ y − 2⎟ ~ ⎜ 2 0 ⎜2 3 3 z − 1 ⎟⎠ ⎝ 3 z −1 −3 x − 2z + 1 3 0

z −1 ⎞ ⎟ y − 2⎟ ~ x − 1 ⎟⎠ ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟ ~ ⎜0 2 x − 4 z + 2 + y − 2 z ⎟⎠ ⎜⎝ 0

z −1 ⎞ z −1 ⎞ ⎛1 3 ⎛1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y − 2 z ⎟ ~ ⎜ 0 − 3 x − 2 z + 1⎟ ~ ⎜0 − 6 ⎜ 0 − 3 x − 2 z + 1⎟ ⎜0 − 6 y − 2 z ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 z −1 ⎞ ⎟ −3 x − 2z + 1 ⎟ 0 2 x + y − 6 z + 2 ⎟⎠

La ecuación general del plano es 2 x + y − 6 z + 2 =0 Ejemplo: Hallar la ecuación paramétrica que pasa por el punto

x y −1 z − 5 = = 2 −5 −6 60. Un vector director de la recta es Un punto que es del plano Q (0,1,5)

v(2,−5,−6) que es además un vector de del plano

93/122

P (1,0,3) y la recta

(

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)

Otro vector del plano es PQ − 1,1,2 La ecuación paramétrica del plano es:

⎧ x = 1 + 2·λ − μ ⎪ ⎨ y = −5·λ + μ ⎪ z = 3 − 6·λ + 2·μ ⎩ Ejemplo: Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene el punto (2, 2, 1) y tiene como vector normal a (-1, 1, 3). Se tiene que el plano es -x+y+3z+D=0 y el punto P(2, 2, 1) pertenece al plano, por tanto se cumple

− 2 + 2 + 3·1 + D = 0 ⇒ D = − 3

60.1.

Ecuación canónica del Plano

Sabemos que P (a,0,0 ) es un punto del eje OX, Q(0, b,0 ) es un punto del eje OY,

R (0,0, c ) es un punto del eje OZ.

La ecuación del plano que pasa por estos tres puntos puede escribirse:

x y z + + =1 a b c

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Ejemplo: Halla la ecuación canónica que del plano 3 x + 2 y − 6 z = 6 Si (a ,0,0) entonces 3a = 6 ⇒ a = 2 Si (0, b,0) entonces 2b = 6 ⇒ b = 3 Si (0,0, c ) entonces − 6 c = 6 ⇒ c = − 1

La ecuación canónica del plano es

61.

x y z + + =1 2 3 −1

Distancia de un punto a un plano

Sea un plano π y un punto P exterior al plano. La distancia del punto P al plano π es la longitud del segmento PQ , siendo Q la proyección ortogonal de P sobre π . Si P ∈ π , entonces la distancia es cero. Sea el punto P ( p1 , p 2 , p 3 ) y el plano π : Ax + By + Cz + D = 0 , se define la distancia de un punto a un plano como:

A· p1 + B· p2 + C · p3 + D

d = dist ( P, π ) =

A2 + B 2 + C 2

Ejemplo: Hallar la distancia del punto P(1, 2, 5) al plano

d = dist ( P, π ) =

2·1 + 2·2 + (−1)·5 − 5 2 + 2 + (−1) 2

π : 2x + 2 y − z − 5 = 0

4 3

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62.

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Posición relativa de dos planos

Las tres posiciones posibles de dos planos π 1 , π 2 en el espacio son: 62.1.

Los planos se cortan, su intersección es una recta

Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π 2 : 2x + y − z = 0 62.2.

Los planos se paralelos, no tienen puntos en común

Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π2 : x + y + z = 2 62.3. Los planos son coincidentes, su intersección es uno cualquiera de los planos.

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Ejemplo:

π 1 : 2x + 2 y + 2z = 2 π2 : x + y + z =1

63.

Posición relativa de tres planos

Las posiciones posibles de tres planos π 1 , π 2 , π 3 en el espacio son: 63.1. Son paralelos, no tienen puntos en común. Los tres Planos no comparten ningún punto

Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π2 : x + y + z = 2 π3 : x + y + z = 3

63.2. Dos son paralelos, y otro se corta. Los tres Planos no comparten ningún punto

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Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π2 : x + y + z = 2 π 3 : 3x + y − z = 0 63.3. Tres planos que se cortan en un punto. Los tres planos comparten un solo punto

Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π2 : y + z = 2 π 3 : −z = 1 63.4.

Los tres planos comparten una recta

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Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π 2 : x − 2y + z = 2 π 3 : 2x − y + 2z = 3

63.5.

Tres planos superpuestos. Comparten todos sus puntos

Ejemplo:

π1 : x + y + z = 1 π 2 : 2x + 2 y + 2z = 2 π 3 : 3x + 3 y + 3z = 3 63.6. Tres planos no comparten ningún punto pero no son paralelos ente ellos

Ejemplo:

π1 : x + 5y − z = 5 π 2 : 2x + 3y − 4z = 1 π 3 : x − 2 y − 3z = 2

64.

Posición relativa del plano y la recta

64.1.

Se cortan en un punto. Tiene un punto en común 99/122

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64.2.

Son paralelos. No comparten ningún punto

64.3.

La recta pertenece al plano. Comparten los puntos de la recta

65.

Introducción a las Cónicas

Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Lamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

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66.

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Parábola

Definición: La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. La ecuación de una parábola

y = Ax 2 + Bx + C Ejemplo La ecuación de la parábola y = 3 x + x − 2 tiene la siguiente representación 2

La ecuación de la parábola y = − x − x + 3 tiene la siguiente representación 2

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La ecuación de una parábola

x = Ay 2 + By + C Ejemplo La ecuación de la parábola x = − y − y + 3 tiene la siguiente representación 2

66.1.

Características de la Parábola

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p) Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

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Ecuación canónica de la parábola La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y 2 = 2 px Hay otros tres casos elementales de parábolas: Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es

y 2 = −2 px Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es

x 2 = 2 py Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es

x 2 = −2 py Parábola con vértice en un punto cualquiera Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos: Eje horizontal y foco a la derecha:

( y − y 0 )2 = 2 p ( x − x 0 ) 103/122

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Eje horizontal y foco a la izquierda:

( y − y0 )2 = −2 p(x − x0 )

Eje vertical y foco por encima:

( x − x 0 )2 = 2 p ( y − y 0 )

Eje vertical y foco por debajo:

(x − x0 )2 = −2 p( y − y0 )

Reducción de la ecuación de una parábola: Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ejemplo: Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma: (y - y0)2 = ± 2p(x - x0) ó (x - x0)2 = ± 2p(y - y0) La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo(x - x0)2 = ± 2p(y - y0) 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 ⇒ 2x2 + 8x = -3y + 5 ⇒

x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuación:

Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

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67.

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Circunferencia

Definición: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. La ecuación general de la circunferencia es:

(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 Donde el punto (a, b ) es el centro de la circunferencia y r el radio de la misma.

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r. La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es: d(X, O) = r, es decir:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 Desarrollando los cuadrados se tiene: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2 x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:

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x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3. La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

⇒ x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9 x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0 Ejemplo: Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).

Así la ecuación es:

x - 2x + 1 + y - 2y + 1 = 13 2

x + y - 2x - 2y - 11 = 0 Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)? Resolución: La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

Así, la ecuación pedida es:

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Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0 Resolución: El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

La ecuación es:

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5 5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0

Ejemplo: La ecuación x + y + 6 x − 14 y − 6 = 0 representa Determine su centro C(h, k) y su radio r. 2

Luego el centro de la circunferencia es C (−3,7) y el radio r = 2

x 2 + y 2 − 4x + 6 y + 3 = 0

( x − 2 )2 + ( y + 3 )2 − 4 − 9 + 3 = 0 (x − 2)2 + ( y + 3)2 = 10 C (2,−3) r = 10

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circunferencia.

64 = 8

Ejemplo: La ecuación x + y − 4 x + 6 y + 3 = 0 representa Determine su centro C(h, k) y su radio r. 2

una

circunferencia.

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Elipse

Definición: La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Ecuación general de una elipse:

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 a

su centro en el punto ( x0 , y 0 )

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal. Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal, respectivamente.

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Definición:

El valor e =

c , que está comprendido entre 0 y 1, se llama excentricidad de la elipse a

La circunferencia es una elipse de excentricidad 1

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68.1.

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Características de la Elipse

Se puede calcular viendo la gráfica de la elipse que a 2 = b 2 + c 2 El foco c =

a2 − b2

El cálculo del semieje secundario es b =

La excentricidad de la elipse es

a2 − c2

a2 − b2 a

Ecuación canónica de la elipse La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-c, 0) es

Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto ( x0 , y 0 ) , los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante un vector. Entonces el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x0, y - y0). Por tanto, su ecuación es:

Ecuación de una elipse vertical Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:

Ejemplo: Reducir la ecuación 4 x + 9 y − 8 x + 18 y − 23 = 0 . Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. 2

Se agrupan los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los términos en y: (4x2 - 8x) + (9y2 + 18y) - 23 = 0 Se saca factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término de segundo grado: 4(x2 - 2x) + 9 (y2 + 2y) - 23 = 0 Se opera en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto:

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x2 - 2x = x2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)2 - 1 y2 + 2y = y2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)2 - 1 La ecuación se puede escribir: 4[(x-1)2 - 1] + 9[(y + 1)2 - 1] - 23 = 0 4(x - 1)2 + 9(y +1)2 = 36 Se divide entre 36:

Centro de la elipse: (1, -1) Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro.

Los focos son Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse: (1 ± 3, -1), lo que da los puntos (4, -1) y (-2, -1) (1, -1 ± 2), lo que da los puntos (1, 1) y (1, -3) Ejemplo: Hallar los elementos de la elipse 25x2 + 16y2 - 50x + 64y - 311 = 0 Resolución: (25x2 - 50x) + (16y2 + 64y) - 311 = 0 25(x2 - 2x) + 16(y2 + 4y) - 311 = 0 x2 - 2x = x2 - 2 · 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 - 1 y2 + 4y = y2 + 2 · 2y + 22 - 22 = (y + 2)2 - 4 Sustituyendo, la ecuación es: 25(x - 1)2 - 25 + 16(y + 2)2 - 64 - 311 = 0 25(x - 1)2 + 16(y + 2)2 = 25 + 64 + 311 = 400

Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, no puede ser a2 = 16 y b2 = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical. Entonces:

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El centro es (1, -2) Los vértices son: (1 ± 4, -2), o sea (-3, -2) y (5, -2) (1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3) Los focos son (1, -2 ± 3), es decir (1, -5) y (1, 1)

69.

Hipérbola

Definición: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. Ecuación general de una hipérbola:

(x − x0 )2 − ( y − y0 )2 a

su centro en el punto ( x0 , y 0 )

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La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto. A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar

. Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

Definición:

El valor e =

c , que es mayor que 1, se llama excentricidad de la hipérbola a

Ecuación canónica de la hipérbola La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es

En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:

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69.1.

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Características de la Hipérbola

Asíntotas de una hipérbola Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:

Pero, para valores grandes de x,

≈ x, siempre que a sea un número fijo.

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola. Cálculo práctico de las asíntotas de una hipérbola

Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0),

vertical será:

Ejemplo 5.1: Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x2 - 9y2 - 8x + 36y + 4 = 0. Hallar su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas. Resolución: Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado: (4x2 - 8x) - (9y2 - 36y) + 4 = 0 4(x2 - 2x) - 9(y2 - 4y) + 4 = 0

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Se completan cuadrados en los paréntesis: x2 - 2x = x2 - 2 · 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 - 1 y2 - 4y = y2 - 2 · 2y + 22 - 22 = (y - 2)2 - 4 Se sustituye en la ecuación: 4(x - 1)2 - 4 - 9(y - 2)2 + 36 + 4 = 0 4(x - 1)2 - 9(y - 2)2 = 4 - 36 - 4 = -36 Se divide entre -36:

Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son a = =2yb= =3 Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) y (1, 4).

Asíntotas:

Ejemplo 5.2: representación de las hipérbolas y − x = 1 y x − y = 1 2

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70.

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Potencia de un punto

En la siguiente gráfica se puede ver una descripción de cuerda, secante y tangente.

Definición: Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias desde el punto P a las intersecciones con la circunferencia por una secante arbitraria, A y A’

Potencia = Pot (P ) = PA · PA' La potencia es independiente de la secante elegida. Observa que Pot (P) es positiva si P exterior a la circunferencia, y negativo para P interior. P = 0 si P pertenece a la circunferencia. La distancia tendrá distinto signo según se vea en un sentido o en otro. No estamos hablando de la distancia Euclídea, que no tiene en cuenta el signo. La Potencia es mayor que cero si el punto P está fuera de la circunferencia

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La Potencia es menor que cero si el punto P está dentro de la circunferencia

La Potencia es cero si el punto P está en la circunferencia; la distancia de P a A, PA=0.

71.

Eje Radical

Definición:

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de puntos

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con igual potencia respecto de las mismas.

Si un punto está sobre el eje radical, su simétrico respecto de la recta que une los centros de las circunferencias también está sobre dicho eje. Por esta razón, el eje radical es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias. •

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar encontrando el punto medio (M en la figura) del segmento de recta determinado por los puntos de contacto de una de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

•

Si las circunferencias son tangentes, el centro radical pasa por el punto de contacto de ambas circunferencias.

•

Si las circunferencias son secantes, el eje radical pasa por lo puntos de intersección de las circunferencia puesto que ambos tienen potencia nula respecto de ambos círculos.

•

Si una de las circunferencias es interior a otra, se puede obtener el eje radical usando un círculo auxiliar (a en la figura) que sea secante a las circunferencias dadas. Se debe elegir la circunferencia auxiliar de forma tal que los ejes radicales de esta y las circunferencias dadas se corten. El punto de intersección de ambos ejes (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas. 119/122

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Ejemplo: Hallar el eje radical de las circunferencias

x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 10 = 0 4 x 2 + 4 y 2 − 32 x − 12 y − 37 = 0 Restando de la primera ecuación la segunda multiplicada por 4 tenemos:

4 x 2 + 4 y 2 − 32 x − 12 y − 37 = 0

(

− 4· x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 10 = 0

)

4 x 2 + 4 y 2 − 32 x − 12 y − 37 = 0 − 4 x 2 − 4 y 2 + 8 x − 8 y + 40 = 0 − 24 x − 20 y − 3 = 0 La ecuación general del eje radical es − 24 x − 20 y − 3 = 0 Ejemplo: Hallar el eje radical de las circunferencias

x 2 + y 2 + 3x − y − 2 = 0 120/122

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x 2 + y 2 − 2x + 5 y − 3 = 0 Restando la primera ecuación de la segunda tenemos:

x 2 + y 2 + 3x − y − 2 = 0

− (x 2 + y 2 − 2 x + 5 y − 3) = 0 5x − 6 y + 1 = 0

La ecuación general del eje radical es 5 x − 6 y + 1 = 0

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