REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTA DE INGENIERÍA LARA-CABUDARE
Participante: Cordero Ricardo CI: 24001557 Sergio Alberto CI: 20669292 Marleny de Parra SAIA D Matematica IV JUNIO 2014
Contenido Capítulo I .......................................................................................................................... 3 El Problema ................................................................................................................. 3 Capítulo 2. ........................................................................................................................ 7 Marco teórico.................................................................................................................... 7 CIRCUITO RC ............................................................................................................. 10 CIRCUITO RL .............................................................................................................. 12 OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC ................................................................ 14 CIRCUITO RCL............................................................................................................ 14 CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES ................................................. 14 CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO ......................................... 16 CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES ............................................................. 17 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RCL ...................................................... 18 CONCLUSIONES .......................................................................................................... 19 RECOMENDACIONES ................................................................................................ 20
Capítulo I El Problema Planteamiento del problema: Con frecuencia es útil y esencial, analizar el comportamiento de un Circuito RLC, antes de ser empleado en la construcción de un dispositivo. Algunas técnicas de análisis, se centran en la utilización de ecuaciones diferenciales, que facilitan el tratamiento matemático del problema. En el análisis del circuito RLC prevalece la utilización de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, con coeficientes constantes. Aplicar las ecuaciones diferenciales al análisis del circuito RLC, permite describir por ecuaciones diferenciales, utilizando las leyes de Kirchoff. La consecuente resolución de las mismas nos permite encontrar las ecuaciones del los circuitos RLC, cuyo análisis nos lleva a conclusiones sobre el comportamiento de los mismos.
Objetivos Generales: Analizar la aplicación de las ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas de electricidad, mediante la resolución de las ecuaciones diferenciales correspondientes a circuitos RLC. Objetivos Específicos: Plantear la metodología empleada en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Plantear las leyes que rigen los circuitos RLC. Plantear y analizar la ley de Kirchoff. Plantear y resolver las ecuaciones diferenciales correspondientes a un circuito RLC. Analizar las ecuaciones correspondientes a un circuito RLC.
Justificación: El uso de circuitos es parte de la vida diaria pues aparatos cotidianos que hacen un poco más fácil nuestro entorno tiene como base un circuito eléctrico para su funcionamiento, ahora la información que se va a estudiar se basa en el circuito RCL para lo cual se necesitan ciertos conceptos básicos de electromagnetismo. La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito produce un sistema de segundo orden, es decir uno caracterizado por la ecuación diferencial lineal que incluye una derivada de segundo orden o dos ecuaciones diferenciales lineales simultáneas de primer orden. La selección de una onda que viene de una emisora se efectúa mediante un circuito eléctrico que consta de una bobina de inductancia L y un condensador de capacitancia variable C. La onda electromagnética entrante genera en el circuito RLC sintonizador o circuito oscilador primario, que es un circuito resonante. La respuesta exponencial es invariablemente una función exponencial decreciente del tiempo, teniendo a un valor constante al hacerse infinito el tiempo. Para el análisis de dichos dispositivos, se utilizan distintas estrategias entre ellas nos encontramos el modelaje matemático de los mismos, a través de las ecuaciones diferenciales. Para la resolución de dichas ecuaciones diferenciales se emplean los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes. El estudio de los circuitos RLC, constituye un eslabón importante en el pensulm de estudio de las diferentes carreras técnicas, que están relacionadas con el área de las tecnologías de la comunicación.
Alcances y limitaciones: La investigación abarca aplicaciones básicas de las ecuaciones diferenciales al estudio de los sistemas RLC, circuitos amortiguados y no amortiguados mediante la aplicación de principios básicos de la electricidad. No cubrirá aplicaciones mas avanzadas como el estudio de la función de transferencia. Se limitará por lo tanto a las aplicaciones básicas citadas en el párrafo anterior.
Capítulo 2.
Marco teórico Antecedentes de la investigación A partir de que Benjamín Franklin demostró, en 1752, que los rayos son chispas eléctricas gigantescas, descubrimiento de la electricidad; grandes inventos fueron revolucionando este concepto, pues las grandes distancias cada vez se fueron acercando. 1836 año en que Samuel F. B. Morse creo lo que hoy conocemos Telégrafo. Tomas Edison, en 1874, desarrolló la telegrafía cuádruple, la cual permitía transmitir dos mensajes simultáneamente en ambos sentidos. A pesar de este gran avance, no era suficiente lo que lograba comunicar, es decir, esto era insuficiente pues se requería de algún medio para la comunicación de la voz. Ante esto, surge el teléfono, construido con bobinas capacitores y resistencias, inventado por Alexander Graham Bell, que logra la primera transmisión de la voz en 1876. Los sistemas de ecuaciones diferenciales se usan en teoría en ingeniería en telecomunicaciones en señales para obtener la salida de un sistema cuando tenemos una entrada determinada. Suponiendo que el sistema está descrito por una ecuación diferencial de segundo orden, lo que se hace es aplicar alguna transformada en ambos miembros (se utilizan por ejemplo las transformadas de la place, de Fourier, o la transformada Z si se trabaja con señales discretas), y se obtiene la respuesta en frecuencia. Anti transformando la respuesta en frecuencia obtenemos la respuesta al impulso (respuesta del sistema cuando la entrada es un impulso eléctrico). Esa respuesta al impulso describe completamente el sistema, y es lo más útil que podes sacar de un sistema LTI utilizado en la ingeniería en telecomunicaciones dando así mucha más importancia a nuestra carrera.
Bases Teóricas 1. Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n, con coeficientes constantes: 1.1.
Caso homogéneo
La forma general de esta ecuación es:
ay (t ) by (t ) cy (t ) 0 Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
a2 b c 0 De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos: Caso 1:
1 2 , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es: y(t ) C1e 1t C2 e 2t Caso 2:
1 2 , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es: y(t ) C1e t C2 te t Caso 3: 1 i , 2 i , raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:
y(t ) C1e 1t C2 e 2t
(Solución compleja)
y(t ) C1et cos t C2 et sen t
(Solución real)
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la combinación lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos funciones se conoce como base de soluciones de la EDO homogénea. 1.2.
Caso no homogéneo
La forma general de esta ecuación es:
ay (t ) by (t ) cy (t ) f (t ) Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:
ay (t ) by (t ) cy (t ) 0 y la solución es de la forma:
y(t ) yh (t ) y p (t ) , donde yh es la solución de la homogénea asociada, y y p es una solución particular del problema no homogéneo que se obtiene a partir de uno de los métodos: coeficientes indeterminados o la variación de parámetros. Método De Los Coeficientes Indeterminados Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas: polinomios en t función exponencial eat combinaciones lineales de cos(t) y sen(t) Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO. El caso más general es:
f (t ) e ht p(t ) cos(t ) q(t ) sen(t ) Donde h, 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n. La función de prueba general es:
y p (t ) et k1 k 2 t k n1t n cost l1 l 2 t l n1t n sent
donde k, l son los coeficientes a determinar. Si i son las raíces de la homogénea asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), yp(t) debe multiplicarse por t. Método de variación de los parámetros Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:
y p v1 y1 v2 y 2 Donde v1 y v2 se obtienen del sistema:
v1 y1 v 2 y 2 0 v y v y f (t ) 2 2 1 1 a donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:
W
y1 y1
y2 0 y 2
Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo. CIRCUITO RC Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.
Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero. q La segunda regla de Kirchoff dice: V I·R C Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador. V En un tiempo igual a cero, la corriente será: I cuando el R condensador no se ha cargado. Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a: Q = C·V
CARGA DE UN CONDENSADOR Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la dq corriente I se sustituye por (variación de la carga dependiendo de la dt variación del tiempo): dq q R=V– dt C
V dq q = – R R·C dt Esta es una ecuación Diferencial. Se pueden Separar variable
dq VC q dt R·C dq dt q VC R·C
Al integrar se tiene
dq
dt
q VC R·C t K RC Como : q(0) 0 0 ln 0 VC K RC K ln VC ln q VC
t ln VC RC t ln q VC ln VC RC q VC t ln VC RC ln q VC
Despejando q q VC e RC q VC VCe RC VC t
q VC·(1 e El voltaje será
t
t RC
)
v c (t ) = V e
t RC
DESCARGA DE UN CONDENSADOR
q , la C razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el dq circuito, estará dada remplazando I = en la ecuación de diferencia de dt potencial en el condensador: q = Q e-t/RC Donde Q es la carga máxima Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es I· R
La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo: I = Q/(RC) e-t/RC Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial. CIRCUITO RL Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.
Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz. Esta fem está dada por:
V = -L (inductancia)
dI dt
Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será dI positivo y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el dt inductor.
V I·R L
Según kirchhoff:
dl dt
IR = Caída de voltaje a través de la resistencia. Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución: x = (V/R) – I Sustituyendo en la ecuación:
Integrando:
es decir;
dx = -dI
L dx · =0 R dt
x+
dx R dt x L dx R x L dt ln
x R ·t x0 L
x x0e
Despejando x:
x0
Debido a que
Rt L
V R
El tiempo es cero
V V –Rt / L –I= e R R
Y corriente cero
I( t ) =
V (1 - e –Rt / L) R
El tiempo del circuito está representado por = L/R I=
V (1 – e – 1/) R
Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero.
Para verificar la ecuación que implica a y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e – 1/ Se sustituye:
V = (IR) + [L (dI / dt)] V = [ (V/R) (1 – e – 1/)R + (L V/ L e – 1/)] V – V e – 1/ = V – V e – 1/
OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la resistencia.
En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q 2máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar. En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 ) CIRCUITO RCL CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES
La combinación particular de elementos ideales es un modelo adecuado para varias partes de comunicación, por ejemplo, representa una parte importante de algunos de los amplificadores electrónicos que se encuentran en cualquier receptor de radio, haciendo posible que una gran amplificación de
tensión dentro de una gran banda estrecha de frecuencias de la señal y una amplificación casi cero fuera de la banda. En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros. Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede mostrarse que la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal como se muestra en la figura. Las pérdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a) la resistencia óhmica de la bobina. Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia : V 1 t dV Vdt i( t 0 ) C 0 t R L 0 dt Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a supuesto para i . v = Aest permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario. Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:
d2 (v 1 v 2 )
1 d(v1 v 2 ) 1 (v 1 v 2 ) 0 2 R dt L dt Se ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así tenemos la forma de la repuesta natural. v = A1es1 t + A2es2t En donde s1 y s2 son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s1t y s2t deben ser adimensionales. Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ √ LC por ω0 (omega). ω0 = 1/ √ LC C
Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina o coeficiente de amortiguamiento exponencial y lo representamos por α (alfa). α = 1/ 2RC esta última expresión descriptiva se utiliza porque α es una medida de la rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s1 y s2, reciben el nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en paralelo es: v(t) = A1es1 t + A2es2t
CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO Es evidente que si LC > 4R2 C 2, α será mayor que ω0 y α2 será mayor que ω02. En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s 1 como s2 serán reales. Además las siguientes desigualdades, √ α2 - ω02 < α 2 2 (-α -√ α - ω0 ) < (-α + √ α2 - ω02 ) < 0 se puede aplicar para mostrar que tanto s1 como s2 son números reales negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s 2 es mayor que el de s1, el término que contiene a s2 tiene un decrecimiento más rápido y para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite. V(t) → A1es1 t → 0 cuando t → ∞ AMORTIGUAMIENTO CRITICO El caso superamortiguado está caracterizado por : α > ω0 o LC > 4R2 C 2, Y conduce a valores reales negativos para s1 y s2 y una respuesta expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas. Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que α y ω 0 sean iguales, es éste caso muy especial que se denomina amortiguamiento crítico. Así pues el amortiguamiento se consigue cuando: α = ω0 o LC = 4R2 C 2 o L = 4R2 C Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente manera: v(t) = A1es1 t + A2es2t Debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el segundo es t veces una exponencial negativa.
CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO El coeficiente de amortiguamiento α disminuye mientras que ω 0 permanece constante, α2 se hace menor que ω2 y el radicando que aparece en las expresiones de s1 y s2 se vuelve negativo. Utilizando números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal; esta
respuesta se compone enteramente de cantidades reales, siendo necesarias las cantidades complejas solo para la deducción. La ecuación se puede escribir como: v(t) = e-αt (A1ejwd t + A2e -jwd) escribiendo de la otra forma se obtiene: v = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt) Si estamos considerando el caso subamortiguado, hemos dejado aun lado los números complejos. Esto es cierto, ya que como α, ω d y t son cantidades reales, también v(t) a de ser una cantidad real y por tanto B 1 y B2 son cantidades reales.
CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES Queremos obtener la repuesta natural de un circuito modelo compuesto por una resistencia física concentrada por el circuito LC en serie o en uno RCL, o bien las perdidas óhmicas y las del núcleo ferromagnético de la bobina, o puede ser utilizada para representar todos estos y otros dispositivos que absorban energía. En caso especial el valor de la resistencia real puede incluso a ser exactamente igual que la resistencia medida para el alambre con el que se ha construido la bobina física. El circuito RCL es el dual del circuito RCL en paralelo. Las condiciones iniciales para la tensión del condensador y la corriente de la bobina son equivalentes a las condicione iniciales para la corriente de la bobina y la tensión del condensador; la respuesta de la tensión se convierte en una repuesta de corriente. Utilizando el lenguaje dual y obtener, de este modo, una descripción completa del circuito RCL en serie, la ecuación serie: i(t) = A1es1 t + A2es2t La forma de la respuesta críticamente amortiguada es: i(t) = A1es1 t + A2es2t y el caso subamortiguadores puede escribirse como i(t) = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt) es evidente que si trabajamos en términos de lo parámetros α, ω 0, y ωd , las formas matemáticas de las repuestas para situaciones duales son idénticas. Un incremento de α en cualquiera de los circuitos en serie o en paralelo, manteniendo ω0 constante, conduce a una respuesta superamortiguada. La única precaución que hay que tener es en el cálculo de α, que es 1/2RC para el circuito en paralelo y R/2L para el circuito en serie; así pues aumenta α aumentando la resistencia en serie o disminuye la resistencia en paralelo.
RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RCL Considerando ahora aquellos circuitos RCL en los que se introducen fuentes de C–C que producen respuestas forzadas, las cuales no se desvanecen cuando el tiempo se hace infinito. La solución general se obtiene por el mismo procedimiento seguido para los circuitos RL y RC: la respuesta forzada se determina completamente, la respuesta natural se obtiene en una forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias, la repuesta completa se escribe como suma de las repuestas forzada y natural y por último se determina y aplican las condiciones iniciales a las respuesta completa para hallar los valores de las constantes. En consecuencia, aunque básicamente la determinación de las condiciones para un circuito que contenga fuentes de c – c no es diferente para los circuitos. La repuesta completa de un sistema de segundo orden, consta de una repuesta forzada, que para una exitación de c – c es constante, vf (t) = vf Y una repuesta natural: vn(t) = Aes1t + Bes 2t . Por tanto, v(f)= vf + Aes1t + Bes 2t Supondremos ahora que ya ha sido determinadas s1, s2 y vf a partir del circuito, quedan por hallar A y B la última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t, y la sustitución del valor conocido de v para t = 0+, nos proporciona por tanto, una ecuación que relacione Ay B. Es necesario otra relación entre A y B y ésta se obtiene normalmente tomando la derivada de la repuesta e introduciendo en ella el valor conocido de dv/dt para t = 0+. dv/dt = 0 + s1Aes1t + s2Bes 2t Resta determinar los valores de v y dv/ dt para t = 0+, como ic = C dvc / dt, debemos reconocer la relación entre valor inicial de dv/dt y el valor inicial de la corriente de algún condensador. El objetivo es hallar el valor de cada una de las corrientes y tensiones tanto t=0- como para t=0+; conociendo estas cantidades los valores la derivadas requeridas pueden calcular fácilmente. La corriente constante que pasa por la bobina exige una tensión cero a través de ella, vL(0 -) = 0. Y una tensión constante a través del condensador exige que pase por el una corriente cero, iC(0 -) =0.
CONCLUSIONES Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC. Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en los circuitos RC. Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así como el tiempo dado por la relación entre resistencia e inductancia. Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC. Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.
RECOMENDACIONES El estudio de circuitos lleva en si un conceptos básicos se deben ser analizados para poder entender que es un circuito RCL Se debe distinguir que es un elemento pasivo y uno activo, saber donde están ubicados en el circuito Para un estudio de redes el RCL se convierte en un tema importante para su diseño y utilización