RESISTENCIA DE MATERIALES Ing. Karina Martínez Morales
Unidad 4
CARGA AXIAL
4.1 DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE
4.1.1 Carga y área transversal constantes En muchos casos la barra tendrá un área A transversal constante y el material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una fuerza externa constante se aplica a cada extremo
entonces la fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En consecuencia, al integrar la ecuación se obtiene:
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes , o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso general:
4.1.2 Convención de signos Consideremos la barra mostrada en la figura, las fuerzas axiales internas “P”, calculadas por el método de las secciones en cada segmento, son PAB =+5 kN, PBC= 3kN y PCD= -7kN.
Aplicando la ecuación extremo D, tenemos:
para obtener el desplazamiento del extremo A respecto al
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga) mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acercará a D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para indicar este desplazamiento relativo
4.1.3 Ejemplo 1 La barra compuesta de acero A-36 mostrada en la figura consta de dos segmentos, AB y BD, cuyas รกreas transversales son AAB= 1 pulg2 y ABD= 2 pulg2. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento de B respecto a C.
SOLUCIÓN: Fuerza interna. Debido a la aplicación de las cargas externas las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas diferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra a continuación.
Desplazamiento. De la cubierta interior posterior tomamos el valor Eac=29(103)Ksi. Usando la convención de signos, esto es, fuerzas internas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es hacia arriba. Aplicando la ecuación
entre los puntos B y C, obtenemos:
Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
4.1.4 Ejemplo 2 La barra compuesta de acero A-36 (E = 210 GPa) mostrada en la figura consta de dos segmentos AB y CD, cuyas รกreas transversales son AAB =600 mm2 y ABD = 1200 mm2. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento relativo de B respecto a C
SOLUCIĂ“N Las fuerzas internas se determina usando el mĂŠtodo de las secciones
El desplazamiento relativo de A con respecto a D es:
El desplazamiento relativo de B con respecto a C es:
AquĂ B se aleja de C ya que el segmento se alarga
4.1.5 Ejemplo 3 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D estĂĄn empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 . Hallar tambiĂŠn el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2X105 MPa.
Solución.
Ecuación de deformación El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:
Aplicando la ley de Hooke:
Cรกlculo de las tensiones.
4.1.6 Ejemplo 4 El conjunto mostrado en la figura consiste en un tubo AB de aluminio con área transversal de 400 mm2. una barra de acero con diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 KN a la barra, determine el desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac=200 GPa y Eal =70 GPa.
SOLUCIÓN: Fuerza interna. El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra está sometida a una tensión de 80 KN y el tubo a una compresión de 80 KN.
Desplazamiento. Determinamos primero el desplazamiento del extremo C con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos;
El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con respecto al extremo B, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo es:
El signo menos indica que el tubo se corta, por lo que B se mueve hacia la derecha respecto a A. Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:
4.2 MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMETE INDETERMINADO Cuando una barra está fija sólo en un extremo y está sometida a una fuerza axial, la ecuación de equilibrio de fuerzas aplicada a lo largo del eje de la barra, es suficiente para encontrar la reacción en el soporte fijo. Sin embargo, si la barra está fija en ambos extremos entonces se tienen dos reacciones axiales desconocidas, y la ecuación de equilibrio se fuerzas se expresa como: +↑∑F = 0;
F B + FA – P = 0
En este caso la barra se denomina estáticamente indeterminada, ya que la ecuación de equilibrio por sí sola no es suficiente para determinar las reacciones. Para establecer una ecuación adicional, se requiere considerar la geometría de la deformación. Específicamente a una ecuación que determina las condiciones del desplazamiento se le llama condición cinemática o condición de compatibilidad. Una condición apropiada de compatibilidad requeriría que el desplazamiento relativo de un extremo de la barra con respecto al otro extremo fuese igual a cero, ya que los soportes de la barra con respecto al otro extremo están fijos. Por consiguiente, podemos escribir: Esta ecuación puede expresarse contérminos de las cargas aplicadas usando una relación carga-desplazamiento, que depende del comportamiento del material. Por ejemplo, si se tiene un comportamiento lineal elástico, puede usarse . Como la fuerza interna en el segmento AC es + FA y en el segmento CB la fuerza interna es – FB, la ecuación de compatibilidad puede escribirse como:
Suponiendo que AE es constante, podemos resolver simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y obtener los valores:
Ambos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre.
4.2.1 Ejemplo 1 La barra de acero mostrada en la figura tiene un diámetro de 5 mm. Está empotrado en la pared en A y antes de cargarla se tiene una holgura de 1 mm entre la pared en B´ y la barra. Determine las reacciones en a y en B´ cuando la barra se somete a una fuerza axial de P = 20 KN, como se muestra. Desprecie el tamaño del collarín en C. considere Eac = 200 GPa.
SOLUCIÓN: Equilibrio. Como se muestra en el D.C.L., supondremos que la fuerza P es suficientemente grande para que el extremo B de la barra entre en contacto con la pared en B´. El problema es estáticamente indeterminado y que hay dos incógnitas y sólo una ecuación de equilibrio. El equilibrio de la barra requiere; +→∑Fx = 0; - FA - FB + 20(103) N = 0
Compatibilidad. La condición de compatibilidad en la barra es: Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reacciones desconocidas usando la relación carga-desplazamiento, aplicada a los segmentos AC y CB, trabajando en unidades de newtons y metros, entonces:
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene: Dado que FB resultó positiva, el extremo B sí entra en contacto con la pared en B´ como se supuso originalmente. Por otra parte, si FB fuese una cantidad negativa, el problema sería estáticamente determinado, con FA = 20 KN FB = 0
4.3 MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE Es posible resolver también los problemas estáticamente indeterminados escribiendo la ecuación de compatibilidad y considerando la superposición de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre. A este método suele llamársele método de las fuerzas o método de las flexibilidades. Para escribir la ecuación necesaria de compatibilidad, escogeremos primero cualquiera delos dos soportes como “redundante” y retiraremos temporalmente su efecto sobre la barra. La palabra redundante, tal como se usa aquí, indica que el soporte no es necesario para mantener la barra en equilibrio estable, de manera que cuando se retira, la barra se vuelve estáticamente determinada. Entonces para este ejemplo usamos el soporte B como redundante.
Ningún desplazamiento en B
Usando el principio de superposición, la barra, con la carga original actuando sobre ella, (primer figura) es entonces equivalente a la barra sometida sólo a la carga externa P, más a la barra sometida sólo a la carga redundante desconocida FB.
Ningún desplazamiento en B
Desplazamiento en B cuando la fuerza redundante en B se retira
Desplazamiento en B cuando sólo está aplicada la fuerza redundante en B
4.3.1 Ejemplo 1 La barra de acero mostrada en la figura tiene un diámetro de 5 mm. Está fija a la pared en A y antes de aplicársele la carga se tiene una holgura de 1 mm entre la pared en B´ y la barra. Determine el tamaño del collarín en C. Considere Eac = 200 GPa.
SOLUCIÓN: Compatibilidad. Consideraremos aquí el soporte en B´ como redundante. Usando el principio de superposición tenemos:
Sustituyendo en la ecuación uno, obtenemos:
Equilibrio. Del diagrama de cuerpo libre.
4.4 DEFORMACIÓN AXIAL INELÁSTICA Un miembro puede ser diseñado de manera que la carga ejercida sobre este, ocasione que el material fluya y adquiera por consiguiente deformaciones permanentes. Tales miembros suelen fabricarse de un material muy dúctil como el acero recocido al bajo carbón. Un material que exhibe este comportamiento idealizado se denomina elástico-perfectamente plástico. Consideremos a la barra de la figura que está sometida a una carga axial. Si la carga genera un esfuerzo elástico σ=σ1 en la barra,
4.5 EJERCICIOS PARA RSOLVER
4-2.
La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respectó al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura s muestran el área de la sección transversal y el módulo de elasticidad para cada sección. Desprecie el tamaño de los collarines en B y en C. 4-3. Determine el desplazamiento en B con respecto a C de la flecha compuesta del problema 4-2.
4-5.
Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la figura. Si el área de la sección transversal de la barra es de 60 mm2, determine el desplazamiento de B y de A. Desprecie el tamaño de los coples en B, C y D
4-6.
La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diĂĄmetro de 30 mm y soporta la carga mostrada. Determine el desplazamiento de a con respecto a E. Desprecie el tamaĂąo de los coples.