Unidad 6 flexión by Mkarina

RESISTENCIA DE MATERIALES Ing. Karina Martínez Morales

Unidad 6

FLEXIÓN

6.1 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se llaman vigas. En general, las vigas son rectas y largas que tienen secciones transversales constantes y a menudo se clasifican según el modo en el que están soportadas. Por ejemplo, una viga simplemente apoyada está soportada por un pasador en un extremo y por un rodillo en el otro.

Una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro.

Y una viga con voladizo tiene uno o ambos extremos libres situados más allá de los soportes.

Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la viga. Por lo tanto se necesita determinar la fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo en la viga. Una manera de hacerlo es expresar V (cortante) y M (momento) como funciones de la porción x a lo largo del eje de la viga. Esas funciones de fuerza cortante y momento flexionante pueden trazarse y representarse por medio de gráficas llamadas diagramas de cortante y momento. Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas.

En la unidad 1 usamos el método de las secciones para determinar la fuerza cortante V y el momento flexionante M en un punto específico. Sin embargo, si tenemos que determinar V y M como funciones de x a lo largo de una viga, entonces es necesario localizar la sección imaginaria o corte a una distancia x arbitraria desde el extremo de la viga y calcular V y M en términos de x. Respecto a esto, la selección del origen y de la dirección positiva para cualquier x seleccionada es arbitraria. Con frecuencia, el origen se localiza en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma hacia la derecha.

En general, las funciones de fuerza cortante y momento flexionante internos obtenidas en función de x serán discontinuas, o bien sus pendientes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida cambia o donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto, las funciones de cortante y momento deben determinarse para cada región de la viga localizada entre dos discontinuidades cualesquiera de carga. Por ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas x1, x2 y x3 para describir la variación de V y M a lo largo de la viga en la siguiente figura.

Esas coordenadas serán validas sólo dentro de las regiones de A a B para x1, de B a C para x2 y de C a D para x3. Aunque cada una de esas descripciones coordenadas tienen el mismo origen, esto no tiene que ser siempre el caso. Antes bien, es más fácil expresar V y M como funciones de x1, x2 y x3 con orígenes en A, C y D, como se muestra en la siguiente figura. Aquí x1 es positiva hacia la derecha y x2 y x3 son positivas hacia la izquierda.

6.1.1 CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA VIGAS Es necesario establecer una convención de signos que nos permita definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos “positivos” y negativos”. Aunque la convención de signos es arbitraria , la más frecuentemente usada en la práctica ingenieril se muestra en la siguiente figura, en la cual, las direcciones positivas requieren que la carga distribuida actúe hacia abajo sobre la viga, que la fuerza cortante interna genere una rotación horaria del segmento de viga sobre el cual actúa y que el momento interno genere compresión en las fibras superiores del segmento.

6.1.2 Ejemplo 1 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada.

SOLUCIÓN Reacción en los soportes: Primero se determinan las reacciones en los soportes de acuerdo al diagrama.

Funciones de fuerza cortante y momento flexionante: La viga se secciona a una distancia x arbitraria del soporte A, extendiéndose dentro de la región AB Las incógnitas V y M se indican actuando en sentido positivo sobre la carga derecha del segmento, de acuerdo con la convención de signos. Aplicando las ecuaciones de equilibro se obtiene:

1 2 Para un segmento izquierdo de la viga que se extiende una distancia x dentro de la región BC.

El diagrama de fuerza cortante representa una gráfica de las ecuaciones 1 y 3 y el diagrama de momento flexionante representa una gráfica de las ecuaciones 2 y 4. Note que las ecuaciones pueden verificarse, ya que V = dM/dx en cada caso. También –w = dV/dx = 0, ya que no hay carga distribuida sobre la viga, ni entre A y B, ni entre B y C

6.1.3 Ejemplo 2 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada.

SOLUCIÓN Reacción en los soportes: Primero se determinan las reacciones en los soportes de acuerdo al diagrama.

Funciones de fuerza cortante y momento flexionante: Este problema s similar al ejemplo anterior, en el que deben usarse dos coordenadas x para expresar la cortante y el momento en toda la longitud de la viga.

Para el segmento dentro de la regi贸n AB tenemos:

Para el segmento dentro de la regi贸n BC tenemos:

Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante: Cuando se grafican las funciones anteriores se obtienen los diagramas, en este caso advierta que la fuerza cortante es constante en toda la longitud de la viga; es decir, que no se afecta por el momento concentrado M0 que actĂşa en el centro de la viga. AsĂ como una fuerza crea un salto en el diagrama de fuerza cortante (ejemplo anterior), un momento concentrado crea un salto en el diagrama de momento flexionante.

6.1.4 Ejemplo 3 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada.

SOLUCIÓN Reacción en los soportes: Primero se determinan las reacciones en los soportes de acuerdo al diagrama.

Funciones de fuerza cortante y momento flexionante: En la siguiente figura se muestra un D.C.L del segmento izquierdo de la viga. La carga distribuida sobre este segmento está representada por su fuerza resultante sólo después de que el segmento se aísla como un D.C.L. Dado que el segmento tiene una longitud x, la magnitud dela fuerza resultante es wx. Esta fuerza actúa a través del centroide del área que comprende la carga distribuida a una distancia x/2 desde el extremo derecho. Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos

1 2 Estos resultados para V y M pueden verificarse notando que dV/dx = -w. Esto es correcto, y que w actúa hacia abajo. Advierta también que dM/dx = V, como era de esperarse.

Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante: Estos diagramas, se obtienen graficando las ecuaciones 1 y 2. El punto de fuerza cortante nula puede encontrarse con la ecuación 1:

En el diagrama de momento vemos que este valor de x representa el punto sobre la viga donde se presenta el máximo momento, ya que según la ecuación 2, la pendiente V =dM/dx = 0. De la ecuación tenemos:

6.1.5 Ejemplo 4 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada.

SOLUCIÓN Reacción en los soportes: La carga distribuida se reemplaza por la resultante y las reacciones se determinan.

1 2 Estos resultados para V y M pueden verificarse notando que dV/dx = -w. Esto es correcto, y que w actúa hacia abajo. Advierta también que dM/dx = V, como era de esperarse.

Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante: Estos diagramas, se obtienen graficando las ecuaciones 1 y 2. El punto de fuerza cortante nula puede encontrarse con la ecuación 1:

6.1.6 Ejemplo 5 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada.

SOLUCIÓN Reacción en los soportes: La carga distribuida se subdivide en un componente triangular y en un componente rectangular de carga; luego éstas se reemplazan por sus fuerzas resultantes. Las reacciones se muestran a continuación.

Funciones de fuerza cortante y momento flexionante: En la figura se muestra un D.C.L del segmento izquierdo. Igual que antes, la carga trapezoidal se reemplaza por una distribución rectangular y una triangular. La intensidad de la carga triangular en la sección se encuentra por proporción. Se muestra también la fuerza y la posición resultantes de cada carga distribuida. Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:

2 La ecuación 2 puede verificarse considerando que dM/dx = V, esto es, mediante la ecuación 1. También w = -dV/dx = 2 + 2/9x. Esta ecuación se cumple, ya que cuando x=0, w=2kip/pie, y cuando x = 18 pies, w = 6kip/pie.

Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante: Las ecuaciones 1 y 2 están graficadas en la siguiente figura. Como el punto de momento máximo dM/dx =V = 0, entonces, de la ecuación 1,

Escogiendo la raíz positiva, Entonces de la ecuación 2,

6.1.7 Ejemplo 6 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y Funciones de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada. momento flexionante: Como se tiene una discontinuidad de carga distribuida y también una carga concentrada en el centro de la viga, deben considerarse dos regiones de x para describir las funciones de fuerza cortante y momento flexionante en toda la viga. Ambas coordenadas SOLUCIÓN tendrán su origen en A y x1 es válida de A Reacción en los soportes: Las reacciones hacia B, mientras que x2 es valida de B en los soportes se han determinado y se hacia C. muestran en el siguiente diagrama.

0 ≤ x1 < 5 m,

1 2

5 m < x2 ≤ 10 m,

4 Estos resultados pueden verificarse aplicando w = -dV/dx y V = dM/dx. También cuando X1= 0, las ecuaciones 1 y 2 dan V= 5.75 kN y M = 80 kN·m; cuando x2=10, las ecuaciones 3 y 4 dan V = -34.25 kN y M = 0. Estos valores concuerdan con las reacciones en los soportes mostradas en el D. C. L.

Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante: Las ecuaciones 1 al 4. Es de suma importancia observar las discontinuidades que ocurren en los puntos de fuerza y momento concentrado.

6.2 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas y momentos concentrados, así como a cargas distribuidas, la determinación de V y M como funciones de x y el posterior trazo de esas ecuaciones puede resultar muy tedioso. Regiones de carga distribuida: consideremos la viga mostrada en la primer figura, que está sometida a una carga w = w(x) arbitrariamente distribuida y a una serie de fuerzas y momentos concentrados. En la segunda figura se muestra un D.C.L de un pequeño segmento de la viga, con longitud Δx.

Como este segmento se ha escogido en una posición x a lo largo de la viga donde no existe una fuerza o un momento concentrado , los resultados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de carga concentrada. Advierta que todas las cargas mostradas sobre el segmento actúa en sus direcciones positivas según la convención de signo, además, tanto la fuerza como el momento no resultante que actúan sobre la carga derecha del segmento debe incrementarse por una cantidad finita para mantener el segmento en equilibrio. La carga distribuida ha sido reemplazada por una fuerza resultante w(x) Δx que actúa a una distancia k(Δx) del extremo derecho, donde 0<k<1. Aplicando las dos ecuaciones de equilibrio al segmento tenemos:

Dividiendo Δx y tomando el límite cuando Δx→0, se obtiene:

Pendiente del diagrama = de fuerza cortante en cada punto

Pendiente del diagrama = momento flexionante en cada punto

- Intensidad de la carga distribuida en cada punto

- Fuerza cortante en cada punto

Estas dos ecuaciones proporciona un medio conveniente para trazar rápidamente los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en una viga. El diagrama de fuerza cortante puede construirse observando que en cada punto a lo largo de la viga la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad (negativa) de la carga distribuida en un punto (primer ecuación). En otras palabras, si w es positiva, es decir, si actúa hacia abajo, entonces la pendiente del diagrama de fuerza cortante será negativa.

6.3 Ejercicios para resolver Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en B ejercen solo reacciones verticales sobre la flecha.

El dispositivo mostrado se usa para soportar una carga. Si la carga aplicada a la manija es de 50 lb, determine las tensiones T1 y T2 en cada extremo de la cadena y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para el brazo ABC.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en D ejercen solo reacciones verticales sobre la flecha. La carga estรก aplicada a las poleas en B, C y E.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la barra que estรก soportada por un pasador en A y por una placa lisa en B. La placa se desliza dentro de la ranura, por lo que no puede soportar una fuerza vertical, pero si puede soportar un momento.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en B ejercen solo reacciones verticales sobre la flecha. Exprese tambi茅n la fuerza cortante y el momento flexionante en la flecha en funci贸n de x dentro de la regi贸n 125 mm < x < 725 mm.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. Sugerencia: La carga de 20 kip debe reemplazarse por cargas equivalentes en el punto C sobre el eje de la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga compuesta que estรก conectada en B por un pasador, soportada por un pasador en A y empotrada en C.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. Determine tambi茅n la fuerza cortante y el momento flexionante en l viga en funci贸n de x, donde 3 pies < x < 15 pies.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en la viga c贸mo funciones de x, para 4 pies < x < 10 pies.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga compuesta. Los tres segmentos estรกn conectados por pasadores en B y en E.

La viga T estรก sometida a la carga mostrada. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga.

La viga estĂĄ soportada en A por un pasador y descansa sobre un cojinete en B que ejerce una carga uniforme distribuida sobre la viga en sus dos pies de longitud. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga si ĂŠsta soporta una carga uniforme de 2 kip/pie.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. Los dos segmentos estĂĄn unidos entre sĂ en B.

Determine la distancia a en que debe clocarse el soporte de rodillo de manera que el valor mĂĄximo absoluto del momento sea mĂnimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para esta condiciĂłn.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en la viga en funciones de x.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento como funciones de x.