RESISTENCIA DE MATERIALES Ing. Karina Martínez Morales
Unidad 8
PANDEO DE COLUMNAS
8.1 CARGA CRITÍCA Siempre que se diseña un miembro, es necesario se satisfagan los requerimientos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. Algunos miembros pueden someterse a cargas de compresión, y si estos miembros son largos y esbeltos la carga puede ser suficientemente grande como para ocasionar que se deflexionen lateralmente. Para ser específicos, los miembros largos sometidos a una fuerza de compresión axial se llaman columnas, y la deflexión lateral que sufren se llaman pandeo.
La carga axial máxima que una columna puede soportar cuando está apunto de pandearse se llaman carga crítica, Pcr, primer figura Cualquier carga adicional ocasionará que la columna se pandee y, por consiguiente, se deflexione lateralmente como se muestra en la segunda figura.
El valor intermedio de P, definido por kLθ/2 = 2Pθ,
es la carga crítica, en este caso:
Esta carga representa un caso de mecanismo en equilibrio neutro. Como Pcr es independiente del desplazamiento (pequeño) θ de las barras, cualquier perturbación ligera del mecanismo no lo hará perder el equilibrio, ni lo llevará a su posición original, si no que las barras permanecerán en su posición deflexionada. El punto de transición donde la carga es igual al valor crítico P = Pcr se llama punto de bifurcación, en este punto el mecanismo estará en equilibrio para cualquier valor pequeño de θ, medido a la derecha o a la izquierda de la vertical. Físicamente Pcr representa la carga para la cual el mecanismo está a punto de pandearse.
8.2 Columna ideal con soporte de pasador o articulados En esta sección se determinará la carga de pandeo crítica en una columna. La columna a considerarse es una columna ideal, (figura a) es decir, una columna perfectamente recta antes de cargarla, de material homogéneo y en la cual la carga se aplica a través del centroide de la sección transversal. Como una columna ideal es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, por fractura o por fluencia del material. Sin embargo, cuando se alcanza la carga crítica Pcr la columna está a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral F (figura b), ocasionará que la columna permanezca en la posición deflexionada cuando F deje de actuar (figura c). NOTA: Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que la columna se enderece, y cualquier incremento leve de P, más allá de la Pcr ocasionará incrementos adicionales en la deflexión lateral.
El que la columna permanezca o no estable o que se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial dependerá de su capacidad de recuperarse, la cual se basa en su resistencia a la flexión, por lo cual para determinar la carga crítica tenemos lo siguiente: 1
Esta ecuación supone que la pendiente de la curva elástica es pequeña* y que las deflexiones ocurren sólo por flexión. Cuando la columna está en su posición delfexionada, (figura a), el momento flexionante interno puede determinarse por medio del método de las secciones. Se considerará el D.C.L (figura b). En este, tanto la deflexión como el momento interno M se muestran en dirección positiva de acuerdo con la convención de signos. Si se suman los momentos, el momento interno es M = - Pv.
Por tanto la ecuación 1 se transforma en: 2 Esta es una ecuación diferencial de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. Mediante los métodos de las ecuaciones diferenciales o por sustitución directa en la ecuación 2 puede demostrarse que la solución general es: 3
Las dos constantes de integración se determina a partir de las condiciones de frontera en los extremos de la columna. Como v = 0 en x = 0, entonces C2 = 0. Como v = 0 en x = L, entonces:
Esta ecuación se satisface cuando C1 = 0; sin embargo, en tal caso v = 0 , la cual es una solución trivial que requiere que la comuna siempre permanezca recta, aún cuando la carga ocasione que la columna se vuelva inestable. La otra posibilidad es que:
La cual se satisface cuando:
O
4
El valor mínimo de P se obtiene cuando n = 1, de modo que la carga crítica para la columna es, por consiguiente: Esta carga suele denominarse como carga de Euler, en honor del matemático suizo Leonhard Euler, quien por primera vez resolvió este problema en 1757. La forma pandeada correspondiente se define mediante la ecuación:
Al igual que el mecanismo de dos barras descrito en la sección anterior, mediante la gráfica mostrada, pueden representarse las características de carga-deflexión de la columna ideal. El punto de bifurcación representa el estado neutro, donde la carga crítica actúa en la columna. Aquí, la columna está a punto de pandearse.
También es importante tener en cuenta que una columna se pandea respecto al eje principal de la sección transversal de menor momento de inercia (eje más débil). Por ejemplo, la figura mostrada se pandeará respecto al eje a-a y no respecto al eje b-b. En consecuencia los ingenieros tratan de alcanzar un equilibrio conservando los momentos de inercia iguales en todas las direcciones. La ecuación de pandeo para una columna soportada por pasadores (articulada en sus extremos) puede reescribirse y definirse como:
5 donde:
Para fines de diseño, la ecuación 5 puede también escribirse en una forma más útil, sustituyendo , donde A es el área de la sección transversal y r es el radio de giro de la sección transversal, por lo tanto:
Aquí,
8.3 Ejemplo 1
8.4 Ejemplo 2 Un perfil W 8 X 31 de acero A-36 mostrado en la figura a usar como columna articulada en sus extremos. Determine la carga acial máxima que podrá soportar antes de pandearse o de que el acero fluya. SOLUCIÓN El área transversal y los momentos de inercia para la columna son: A=9.13 pulg2, Ix =110pulg4 e Iy=37.1 pulg4. Por inspección, el pandeo ocurrirá respecto al je y-y ¿Por qué? Aplicando la ecuación 5 tenemos:
Cuando esta totalmente cargada, el esfuerzo de compresión promedio en la columna es: