RESISTENCIA DE MATERIALES Ing. Karina Martínez Morales
Unidad 9
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE ÁREAS
9.1 CENTROIDE DE UN ÁREA El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área. Si el área tiene una forma arbitraria, como la mostrada en la figura (a), las coordenadas x y y que definen la posición del centroide C se determinan usando las fórmulas:
Los numeradores en estas ecuaciones representan el “primer momento del elemento” de área dA respecto a los ejes y y x, respectivamente, los denominadores representan el área total A de la sección.
Áreas compuestas: un área puede ser seleccionada o dividida en varias partes de figuras más simples. Siempre que se conozca el área y la localización del centroide de cada una de estas “figuras compuestas”, puede eliminarse la necesidad de integrar para determinar el centroide de toda el área. En este caso , deben utilizarse ecuaciones análogas a la ecuación , salvo que los signos de sumatoria reemplazarán a las integrales, es decir:
Donde representan las distancias algebraicas o coordenadas x, y del centroide de cada una de las partes, y A representa la suma de las áreas de las partes o simplemente el área total.
9.1.1 Ejemplo 1
SOLUCIÓN II Usando los mismos dos segmentos, el eje x puede situarse en la parte superior del área, como se muestra en la figura, aquí
El signo negativo indica que C está situado por debajo del origen, lo que era de esperarse
SOLUCIÓN III Es posible también considerar el área transversal igual a un rectángulo grande, menos dos rectángulos pequeños
El digno negativo indica que C está situado por debajo del origen, lo que era de esperarse
9.2 MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA Hay unos temas en la mecánica de materiales que requieren la evaluación de una integral del segundo momento de un área, es decir: Esta integral se conoce como el momento de inercia de un área. Para mostrar como se define, considere la figura mostrada situada en el plano x-y Por definición, los momentos de inercia del elemento diferencial dA respecto a los ejes x y y son , respectivamente. Para toda el área, el momento de inercia se determina mediante la integración, es decir:
También podemos formular el segundo momento del elemento diferencial respecto al polo 0 o eje z. Éste se conoce como el momento polar de inercia, . Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para toda el área, el momento polar de inercia es:
Una relación entre
es posible, puesto que
Teorema del eje paralelo para un área. Si se conoce el momento de inercia de un área respecto a un eje centroidal, su momento de inercia puede determinarse respecto a un eje paralelo usando el teorema de los ejes paralelos. Para derivarlo, hallemos el momento de inercia del área sombreada mostrada en la figura. En este caso, un elemento del diferencial del área dA se localiza a una distancia arbitraria y´ del eje centroidal x´ mientras que la distancia fija ente los ejes paralelos x y x´ se definen como dy. Como el momento de inercia de dA respecto al eje x es de Entonces para toda el área:
El primer término del lado derecho representa el momento de inercia del área respecto al eje x´, . El segundo termino es cero, puesto que el eje x´ pasa por el centroide C del área, es decir, puesto que El resultado final es por consiguiente: Y para y : Y por último, para el momento polar de inercia respecto a un eje perpendicular al plano x-y y que pasa por el polo 0 (eje z) tenemos: La forma de cada una de las ecuaciones anteriores establece que el momento de inercia de un área respecto a un eje es igual momento de inercia del área respecto a un eje paralelo que pasa por el “centroide” más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes.
9.2.1 Ejemplo 1 Determine el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje centroidal x´ de la viga T mostrada en la figura. SOLUCIÓN I El área se divide en dos rectángulos, tal como se muestra en la figura y se determina cada eje centroidal y su distancia al eje x´. Asumiendo que el momento de inercia de este rectángulo respecto a su eje centroidal es . Aplicando el teorema del eje paralelo a cada rectángulo y sumando los resultados se obtiene:
SOLUCIÓN II Usando los mismos dos segmentos, el eje x puede situarse en la parte superior del área, como se muestra en la figura, aquí
El digno negativo indica que C está situado por debajo del origen, lo que era de esperarse
SOLUCIÓN III Es posible también considerar el área transversal igual a un rectángulo grande, menos dos rectángulos pequeños
El digno negativo indica que C está situado por debajo del origen, lo que era de esperarse
9.2.2 Ejemplo 2 Calcule los momentos de inercia del área de la sección transversal de la viga mostrada en la figura respecto a los ejes centroidales x y y SOLUCIÓN La sección transversal puede considerarse como compuesta de tres áreas rectangulares A, B y D (mostradas en la figura). Para el calculo, en la figura se localiza el centroide de cada uno de estos rectángulos. El momento de inercia de un rectángulo respecto a su eje centroidal es . Por consiguiente, usando el teorema del eje paralelo para los rectángulos A y D, los cálculos son los siguientes:
Los momentos de inercia para toda la secci贸n transversal son entonces:
9.3 PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA El momento de inercia de un área es diferente según el eje respecto al cual se calcule. El producto de inercia para el elemento diferencial dA mostrado en la figura, localizado en el punto (x,y), se define como . Por tanto, para toda el área A, el producto de inercia es:
Al igual que el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud elevadas a la cuarta potencia, es decir m4, mm4 o pie4, pulg4. Sin embargo, como x o y puede ser una cantidad negativa, mientras que el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero, según la posición y orientación de los ejes coordinados.
Por ejemplo, el producto de inercia para un área será cero si el eje x o el eje y es un eje de simetría en ella. Considere el área sombreada mostrada en la figura, donde para cada elemento diferencial dA localizado en el punto (x,y) existe un elemento correspondiente dA localizado en (x,-y). Como los productos de la inercia para estos elementos son, respectivamente, su suma algebraica o la integración de todos los elementos de su área escogidos de esta manera se cancelarán entre sí. En consecuencia, el producto de inercia para el área total resulta cero. De la definición de también se desprende que el “signo” de esta cantidad depende del cuadrante en donde el área está localizada. Tal como se muestra en la segunda figura el signo de cambiará al girar el área de un cuadrante al siguiente.
9.3.1 Teorema de los ejes paralelos Considere el área sombreada mostrada en la figura, donde x´ y y´ representan un juego de ejes centroidales, y x y y representan un juego correspondientes de ejes paralelos. Como el producto de inercia de dA con respecto a los ejes x y y es , entonces, para toda el área:
El primer término del lado derecho representa el producto de inercia del área con respecto al eje centroidal . El segundo y el tercero son cero puesto que los momentos del área se toman respecto a los ejes centroidales. Si se tiene en cuenta que la cuarta integral representa el área total A, tenemos como resultado fina:
9.3.2 Ejemplo Calcule el producto de inercia del área de la sección transversal de la viga mostrada en la figura respecto a los ejes centroidales x y y. Solución La sección transversal puede considerarse como compuesta de tres áreas rectangulares A, B y D (figura 2). En la figura se muestran las coordenadas del centroide de cada uno de estos rectángulos. Debido a la simetría, el producto de inercia de cada rectángulo es cero respecto a un conjunto de ejes x´, y´ que pasan a través del centroide del rectángulo. Por consiguiente, la aplicación del teorema del eje paralelo a cada uno de estos rectángulos da: Rectángulo A:
Rectรกngulo B:
Rectรกngulo D:
El producto de inercia para toda la secciรณn transversal es entonces:
9.4 MOMENTOS DE INERCIA DE UN ÁREA RESPECTO A EJES INCLINADOS En el diseño mecánico o estructural, en ocasiones es necesario calcular los momentos y el producto de inercia de un área con respecto a un par de ejes x´ y y´ inclinados cuando se conocen los valores de . Tal como se muestra en la figura, las coordenadas del elemento de área dA con respecto a los dos sistemas de coordenadas se relacionan mediante las ecuaciones de transformación:
Con estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA respecto a los ejes x´ y y´ se transforman en:
Desarrollando cada expresión e integrando, y teniendo en cuenta que , se obtiene:
Estas ecuaciones trigonométricas caso:
pueden
simplificarse
mediante
las
identidades en cuyo
Nótese que si se suman la primera y la segunda ecuaciones, se ve que el momento polar de inercia respecto al eje z que pasa por el punto O es independiente de la orientación de los ejes x´ y y´; es decir:
9.4.1 Ejemplo Determine los momentos principales de inercia del área de la sección transversal de la viga mostrada en la figura A-16 con respecto a ejes que pasan por el centroide C. SOLUCIÓN Los momentos y el producto de inercia de la sección transversal con respecto a los ejes x, y son:
Usando la ecuación calculamos los ángulos de inclinación de los ejes principales x´ y y´ son:
Por tanto, tal como se muestra en la figura
Los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes x´ y y´ se determinan con la ecuación: