MODULO II
En esta unidad aprenderás los principales casos de factorización, pon mucha atención!
FACTORIZACIÓN
Caso 1: Aplicando propiedad distributiva Factorizar significa escribir un producto y descomponerlos
en
números primos lo más que se pueda ejemplo 90= 10.9 pero no está factorizado completamente sino hasta que lo escribimos así; 90=2.5.3.3 De manera similar factorizar un polinomio significa escribirlo como un producto o multiplicación de polinomios más simples donde ya no se pueda factorizar más. Por lo tanto cuando escribimos pero no completamente hasta que se escribe y cuando llegamos a este punto entonces el polinomio se ha factorizado completamente. Para tener un mejor punto de vista y más claro recordemos las fórmulas de los productos notables por ejemplo; 1. 2. 3 4. 5. 6. 7. 8.
Factorizar los siguientes ejercicios 1) descomponemos como primer paso y luego escribirla y aplicando la propiedad distributiva tenemos que 2)
descomponemos como primer paso y luego
escribirla
procedemos a introducir los dos últimos
términos dentro del paréntesis precedido del signo, es decir, aplicamos propiedad distributiva con el signo – se tiene que; y volviendo a aplicar propiedad distributiva tenemos que
.
En la primera mitad del siglo III, Diofanto de Alejandría usa los símbolos algebraicos
3)
y enuncia las reglas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado
Caso 2: 2do caso Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando el producto de dos factores son iguales Ejemplos . . Una vez mostrado esto para proceder
a factorizar un trinomio
cuadrado perfecto y de manera ordenada es cuando el primer término y el tercero son producto de dos factores iguales
y
positivos como lo mencionamos en el párrafo anterior, y que al multiplicar un producto de cada termino entre ambos y por 2 y el signo del segundo término,
como resultado el mismo segundo
término, de ser así tomamos cada producto lo encerramos entre paréntesis colocando el signo del segundo término entre ambo y lo elevamos al cuadrado, es decir;
1er término 2do término Tomamos uno de cada uno y lo multiplicamos por 2 y por el signo del 2do
término,
resultado
el
es
decir,
segundo
término
obteniendo del
polinomio,
como
entonces
la
factorización quedaría de la siguiente manera;
Ejemplos
Tip. El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes
Entonces la factorización de:
Caso 3: por Ensayo y Error Al factorizar por este método nos pasa como en la vida, donde triunfamos después de muchos intentos, lo que no funciona se elimina de manera sistemática, el esfuerzo será recompensado tarde o temprano, veamos cómo funciona el proceso; 4
de
inmediato se piensa en dos posibilidades , entonces intentamos cuál de las dos posibilidades funciona:
Tip. Los primero cuadrados perfectos son:
¡Incorrecto! ¡Éxito¡
12 = 1 2
22 =4 2
4 = 16
5 =25
62= 36
72= 49
82= 64
92= 81
Ejemplos 1) 2) 3) especial ya que la
este caso es no está sola entonces
descomponemos el 1er y 3er termino de manera vertical, multiplicamos en cruz y luego sumamos ambos términos y si el resultado el igual al 2do termino del polinomio procedemos a factorizar, ejemplos;
4
32 = 9
Caso 4: Diferencia de cuadrados perfectos En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado delo sustraendo, o sea, –
; luego recíprocamente.
–
Factoricemos
–
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de sum2a de estas raíces
por la diferencia
. multiplico la –
y tendremos:
Tip. Hay algunos cuadrados que están escritos con cifras todas diferentes.
Caso 5: Cubo Perfectos en binomios En los productos notables se vio que y
Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:
Tener cuatro términos Que el primero y el último término sean cubos perfectos.
Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado
de
la
raíz
cúbica
del
primer
término
multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea más el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Ejemplos Hallar si [
]
[
]
es el cubo de un binomio
Veamos si cumple las condiciones expuestas antes. La expresión tiene cuatro términos
Tip. Las primeras potencias cubicas son: 13 = 1
23 = 8
La raíz cúbica de [
43= 64
53 = 125
] es
La raíz cubica de 1 es 1. 3[
]
, segundo término
[
]
, tercer término.
Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de
.
33= 27
Esperamos hayas comprendido todo lo explicado es esta unidad, Sรกcale provecho!