Projecte final de carrera. Salvador Serra, Moisès Morató.

Desembre 1999

PROJECTE FINAL DE CARRERA

Estudi i simulació del nucli d’un conductivímetre.

Autors Moisès Morató Güell Salvador Serra Abellán

Projecte final de carrera

Cap铆tol 1 Presentaci贸 del Projecte 1.1 1.2 1.3

Proposta i objectius Fases del projecte Contingut

Projecte final de carrera

1.

INTRODUCCIÓ

1.1

PROPOSTA I OBJECTIUS

El present projecte va sorgir com a proposta del Departament de Màquines i Motors Tèrmics de l’U.P.C., davant el seu dubte sobre el funcionament correcte del Conductivímetre instal·lat en l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers Industrials de Barcelona. L’objectiu inicial era la comprovació de funcionament del conductivímetre per comparació TCFCM N-20 adquirit, així com la preparació de la instrumentació necessària.

Una primera fase experimental per tal de comprovar el mecanisme funcional del conductivímetre i familiarització amb els elements que el composen, evidencià que la precisió obtinguda en les experiències era prou deficient, com alguns experimentadors havien comprovat amb anterioritat.

Aquest fet va ser el decisiu per tal que el Departament decidís definir clarament l’objectiu final del projecte, com una avaluació dels paràmetres influents del conductivímetre en aquest aspecte. De la mateixa manera, s’acordà que seria de profund interés la investigació, sense modificar els paràmetres principals del conductivímetre, de factors tant metodològics com instrumentals per tal de millorar la precisió en la mesura de conductivitats, essent aquesta la funció principal que està definida en un conductivímetre.

1.2

FASES DEL PROJECTE

En una primera fase del projecte, s’analitzen amb profunditat els antecedents, entre els quals

es

destaquen

el

procediment

d’obtenció

de

resultats,

arquitectura

del

conductivímetre, elements de mesura principals (termoparells) i d’altres factors no menys importants com el factor humà.

Un cop recapitulades aquestes dades, es van documentar els coneixements amb assistències a Empreses i Departaments diversos, entre els quals cal destacar les visites a un proveidor de termoparells (SEDEM) i especialistes en mesures de caràcter físic en el Laboratori General d’Assaigs i Investigacions pertanyent a la Generalitat de Catalunya.

Projecte final de carrera

La segona fase consisteix en l’anàlisi complert del sistema actual i procediment, en el qual es detecten els elements cabdals que afecten a la determinació de la conductivitat, amb els quals es passa a atacar mitjançant diverses estratègies la metodologia i pràctica realitzada fins el moment.

FASES DEL PROJECTE

Conductivímetre

Termopars

Procediment

Peces

Factor humà ANTECEDENTS 1.- Grans errors en l’obtenció de conductivitats.

2.- Manca d’operativa.

3.- Acceptació a priori d’hipòtesis simplificatives.

4.- Assignació injustificada d’errors.

Desenvolupament de nou mètode per a millores

EXPERIMENTACIÓ TCFCM N-20 Holometrix (Planta 7 ETSEIB)

Mètode IN SITU Creació de metodologia

Aplicació

-SEDEM -LGAI (Generalitat de Catalunya) -Dpt. Cibernètica ETSEIB

Contrast

CONSULTES I DOCUMENTACIÓ

Detecció d’elements que afecten a la determinació de la conductivitat

Anàlisi del sistema actual

EXPERIMENTACIÓ TCFCM N-20 Holom etrix (Planta 7 ETSEIB)

correcció

SIMULACIÓ blocs de programes SIMUL

RESULTATS Fig. 1.1 Esquema del procediment de treball en el projecte

Projecte final de carrera

Amb totes aquestes dades, s’inicia una nova fase d’experimentació, en la qual s’introdueix l’anomenat Mètode In Situ, que depura els erros sistemàtics que sorgeixen en els elements de mesura, i per extensió, en el càlcul d’estimació de la conductivitat tèrmica.

Unaltra estratègia que reforça l’anterior ha estat la simulació numèrica del nucli funcional del conductivímetre. Aquesta fase ha comportat l’elaboració de diversos programes informàtics que han donat com a resultat una quantificació de l’error existent en la determinació de la conductivitat, respecte el model teòric utilitzat fins ara.

Aquesta nova fase serà contrastada amb la fase anterior i serà la determinant per a la construcció d’una nova metodologia o procediment de treball, proposat a fi i efecte de millorar la precisió en la mesura, que és l’objectiu principal marcat com a fita en aquest projecte.

Com a aportació principal d’aquest projecte, cal destacar la definició d’un mètode experimental a seguir, si es volen eliminar aquells factors que distorsionen el càlcul i per tant, el valor final estimat per a la conductivitat. Poden ser atractives per amplificar aquestes millores el canvis en l’instrumentació proposats, de baix cost en relació amb la inversió inicial del conductivímetre. També es proposen d’altres millores secundàries, de caràcter mediambiental, i de facilitat de maneig, exposades en el Capítol 11.

1.3

CONTINGUT

En la recerca d’informació per a l’inici de la pròpia investigació, ha estat sorprenent la quantitat d’informació trobada, elaborada al llarg de molts anys, tant en la recerca de conductivitats de diferents materials, com en la investigació dels diferents elements que hi participen en les diferentes màquines, essent la termometria del termoparell la que es deriva ha estat la més atractiva tant per les seves múltiples aplicacions en el món tecnològico-industrial com en el camp de laboratori. El ràpid desenvolupament tecnològic durant les darreres décades han generat un increment en l’esforç per eixamplar els coneixements de les propietats dels materials. Aquesta afirmació és veritablement certa per aquelles propietats i valors necessaris per a l’avaluació de la transferència de calor, i

Projecte final de carrera

és vital per dissenyar més convenientment els elements que intervenen en la transferència d’energia calorífica, tals com l’enginyeria nuclear, la investigació espacial i d’altres àrees de la tecnologia moderna.

A més de la directa aplicació dels valors de les propietats en l’enginyeria computacional i de disseny, existeix la necessitat dels científics (i de la Ciència) que intenten predir els valors de les propietats per mecanismes estadístics, i que requereixen d’acurada informació bàsica per verificar i provar els seus models. La predicció teòrica de les propietats és de gran importància quan aquesta propietat necessita d’unes condicions on la mesura n’és del tot impossible.

S’ha cregut oportú, incloure en la Memòria del present Projecte, i per introduir al consultant al tema essencial en el qual es fonamenta el funcionament del conductivímetre, uns capítols d’iniciació tant en la teoria de la transferència de calor (Capítol 2), com dels diferents mètodes i mecanismes dels clàssics conductivímetres

existents (Capítol 3), fent menció especial els que tenen com a fonamentació la transferència de calor en règim permanent, amb flux longitudinal, i de mesura per comparació en el Capítol 5. Una breu però alhora interessant introducció a la teoria dels termoparells en el Capítol 4 fonamenta el coneixement d’aquests elements per aquelles persones que desconeixien els efectes sobre els quals es fonamenten.

En el Capítol 6 s’elabora una teoria sobre les possibilitats dels aïllaments i les maneres d’optimitzar-los. Si es passa al Capítol 7 es troben diverses classificacions i tipologies d’errors que es porten a terme en qualsevol experimentació en general.

Aquests capítols fonamenten el coneixement previ necessari per escometre, en tots els detalls, els Capítols 8, i 9, on s’explica l’experimentació realitzada i les conclusions que s’han obtingut, així com una valoració dels paràmetres de disseny que hi juguen en el càlcul d’estimació de la conductivitat cercada. La simulació numèrica amb la varietat de lligams entre variables és comentada en el Capítol 10, amb una introducció teòrica a aquest tipus de simulació.El Capítol 11 i últim de la memòria inclou de manera resumida les conclusions generals que s'han obtingut, i les propostes que d’aquestes conclusions es deriven. La nova adquisió de material necessària per ampliar encara més les millores en l’equip actual és nomenat en aquest Capítol.

Projecte final de carrera

Capítol 2 Fonaments teòrics de la transferència de calor 2.1 2.2 2.3

Concepte de la conducció de calor La llei fonamental Factors que afecten a la conductivitat tèrmica dels materials

Projecte final de carrera

2

FONAMENTS TEÒRICS DE LA TRANSFERÈNCIA DE CALOR PER CONDUCCIÓ

2.1

CONCEPTE DE LA CONDUCCIÓ DE CALOR

El fenòmen de la conducció en sòlids és comunment interpretat com un simple canvi intermolecular d’energia cinètica. Així, si les molècules d’un material conductor en el final d’una vareta són escalfades, aquestes entren ràpidament en moviment i, per comunicació mitjançant impactes elàstics amb les seves veines de menor energia cinètica, es van posant successivament en moviment, i així segueix en tota la longitud de la vareta. Una versió alternativa a aquesta es dibuixa a partir de la derivació de la conducció de calor a partir del concepte de la direcció o corrent dels electrons; els bons conductors de calor són també bons conductors del corrent elèctric, i des d’aleshores que la conducció de l’electricitat és recollida en la teoria del corrent d’electrons lliures, sembla lògic atribuir la conducció de calor al moviment d’electrons lliures o de valència (Llei de WiedemannFranz). En ambdues teories, el que en transició es refereix com calor, en el procés propi de transició és conegut com conducció.

Mentres el veritable mecanisme de la conducció de calor no és completament entés d’una manera estricta (Sch 55), les lleis que governen aquest fenòmen són conegudes fermament i conseqüents amb la Termodinàmica clàssica, i la llei particular que caracteritza el fenòmen de la transferència de calor pot ésser establerta directament a partir de l’evidència experimental.

2.2

LA LLEI FONAMENTAL

Una conseqüència de la segona llei de la Termodinàmica i de l’experiència és la que el calor es pot intercanviar entre dos sistemes només si els dos sistemes són a diferent temperatura, i que la direcció d’aquest flux de calor parteix des del sistema d’alta al sistema de baixa temperatura.

Les condicions fonamentals per a la transferència de calor per conducció en l’interior d’un sòlid són:

Projecte final de carrera

a) que existeixi un gradient de temperatura, i b) que el flux resultant sigui en la direcció de decreixença de la temperatura.

Si el flux prové en proporció constant, aleshores la primera llei de la termodinàmica ens diu que aquesta energia calorífica es conserva en tota la llargària del flux.

La llei bàsica que defineix quantitativament la conducció de calor s’atribueix al matemàtic francès Jean Fourier (1768-1830). Respecte la Fig. 2.1, la forma unidimensional d’entendre la Llei de Fourier estableix que la quantitat de calor dQ conduïda (o circulant) en la direcció x d’un sòlid de material homogeni en un temps dt és proporcional al producte de l’àrea de conducció A (normal al flux que segueix en la direcció x) pel gradient de temperatura ∂T/∂x existent en un límit determinat. La proporció entre la quantitat de flux circulant per unitat de temps i aquest producte és una propietat pròpia de la conducció tèrmica del material coneguda com conductivitat tèrmica λ.

Fig. 2.1 Conducció tèrmica unidireccional

Si l’expressem aritmèticament

dQ ∂T = −λA dt ∂x

(2.1)

Projecte final de carrera

El signe negatiu és fixat arbitràriament, per tal d’obtenir el flux de calor Q positiu en el sentit de temperatures decreixents. El tipus de procés mostrat segons l’ equació (2.1), on la temperatura T és funció del temps t i de l’espai x, és conegut com conducció transitòria, i que contrasta amb el procés anomenat conducció estable, on la temperatura T només és funció de l’espai. En aquest tipus darrer de conducció, tenim que dQ/dt = Q/t = q, resultant

q = −kA

dT dx

(2.2)

L’equació (2.1) definida com a Llei de Fourier, per a un flux transitori en un conductor lineal, és deriva a partir de l’equació diferencial general establerta per a un volum tridimensional.

Considerem un paral·lelepípede de material conductor, mostrat a la Fig. 2.2. Tractem el cas general que el volum V=dxdydz genera un calor intern qT’’’, i que la conductivitat λT del material no és uniforme, sino que depén de la temperatura. La quantitat total de calor que travessa el diferencial de superfície dydz a una x vé donat per

 ∂T  dQx = −dydz λT x dt ∂x  

(2.3)

Fig. 2.2 Balanç d’energia tèrmica en un volum diferencial

El gradient està expressat com a una derivada parcial, on T és també una funció de y i de z. Per a determinar la corresponent quantitat de calor que abandona l’element a la posició

Projecte final de carrera

x+dx, prenem F(x,T)=λ T∂Tx/∂x i fem un increment dx a la posició x. Si operem, negligint els termes a partir del 2on ordre, s’obté

F ( x + dx, T ) = F ( x, T ) +

∂T ∂F ∂  ∂T  dx = λT x +  λT dx ∂x ∂x ∂x  ∂x 

(2.4)

i per tant

 ∂T ∂  ∂T   dQx + dx = −dydz λT x +  λT dx dt ∂x ∂x  ∂x   

(2.5)

i es pot fer l’equació anàloga per a la conducció en les direccions y i z. La quantitat de calor que incrementa l’energia interna de l’element volumètric vé donat com

dE = Cwdxdydz

∂T dt ∂t

(2.6)

i evidentment el calor total generat en el volum es correspon amb

dQg = qT///Vdt = qT/// dxdydzdt

(2.7)

Seguidament, es poden combinar els vuit components ( dos per a cada direcció, el calor generat i el calor total), ja que s’ha de complir la conservació de l’energia.

dQx + dQ y + dQz + dQg = dQx + dx + dQ y + dy + dQz + dz + dE

(2.8)

que si desenvolupem,

∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂T ///  +  λT  λT  +  λT  + qT = Cw ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  ∂t

(2.9)

L’equació amb derivades i diferencials més general per a la conducció de calor té la mateixa forma, però on λT, C, w i qT’’’ són substituides per

λ(x,y,z,T), C(x,y,z,T),

w(x,y,z,T) i q’’’(x,y,z,T,t), és a dir, amb la seva dependència espacial, temporal i de temperatura. Per altra banda, l’ equació (2.9) inclou la majoria dels casos de més interés.

Per exemple, si la conductivitat tèrmica del sistema és uniforme, aleshores el camp de temperatura T(x,y,z,t) satisfarà l’equació general de la conducció de calor

∂ 2T ∂ 2 T ∂ 2 T qT/// 1 ∂T + + + = λ α ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(2.10)

Projecte final de carrera

on tenim una constant α que agrupa

α=

λ Cw

i es coneix amb el nom de difusivitat

tèrmica , una propietat dels materials conductors.

A partir de l’equació (2.10) es poden aplicar dues condicions diferents. Una és la condició de no-generació de calor interna, qT’’’=0, de manera que la temperatura T(x,y,z,t) ha de complir l’equació de Fourier

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 α ∂t

(2.11)

i l’altra condició, a partir de (2.10), és que si bé hi ha generació de calor, però les temperatures es mantenen estables (constants respecte el temps), aleshores T(x,y,z) haurà de complir l’equació de Poisson

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T qT/// + + + =0 λ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(2.12)

Si apliquem les dues condicions a la vegada; condició estàtica i no generació de calor, el camp de Temperatura T(x,y,z) complirà l’equació de Laplace

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(2.13)

S’ha tractat en aquest capítol l’equació de Fourier, bàsica en el mecanisme del conductivímetre per comparació que ens ocupa. La seva determinació per evidència i a través de les equacions del balanç energètic serveixen per fonamentar l’experimentació realitzada, i extreure les conclusions que en els Capítols 8 i 9 es mostren. Queda per conèixer els valors de conductivitats tèrmiques d’alguns materials, així de la seva dependència versus altres factors més coneguts.

Projecte final de carrera

2.3

FACTORS QUE AFECTEN A LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA DELS MATERIALS

La conductivitat tèrmica d’un cos depén de nombrosos factors (Mis 65), entre els que podem destacar : A) La composició química i la puresa, essent aquesta determinant pels cristalls B) La constitució física pels sòlids, en particular: a) el grau de cristal·lització, així com la grandària dels cristalls, b) la porositat, la forma i la grandària dels porus, així com la seva orientació, c) les anisotropies, la direcció del flux pot tenir una gran influència, particularment en certs sistemes cristal·lins, d) el corrent tèrmic, és a dir les temperatures prèvies que té el cos i la velocitat de refredament, C) La temperatura mitjana D) La importància del flux de calor E) La pressió.

En el cas especial dels metalls, des dels primers estudis sobre l’electricitat, era aparent que els metalls eren tan bons transmissors de calor com tan bons conductors de l’electricitat. D’aquí vingué la idea natural d’admetre que el ‘transport’ de la calor i de l’electricitat es portava de la mateixa manera.

La conducció és l’únic mètode de transmissió d’energia tèrmica en les fases sòlides. La transferència de calor mitjançant la conducció és un fenòmen que s’efectua de mol·lècula a mol·lècula i s’aconsegueix a través de dos mecanismes.

El primer és la interacció mol·lecular, en el qual les mol·lècules de més energia cedeixen energia tèrmica a mol·lecules veïnes amb un estat energètic inferior (indicat per la seva temperatura). Aquest tipus de transferència té lloc en tots els sistemes formats per

Projecte final de carrera

mol·lècules, tant sols és necessari que existeixi un gradient de temperatura per que aquest tipus de transmissió s’efectuï. Evidentment l’estat d’agregació de la matèria serà un paràmetre que afectarà enormement a la conducció, per tant la facilitat per a conduir el calor per conducció augmenta en l’ordre de gasos, líquids i sòlids.

El segon mecanisme de transferència de calor per conducció és el degut als electrons lliures, els quals es presenten principalment en els sòlids metàl.lics purs. La concentració d’electrons lliures varia considerablement per a les aleacions metàl.liques i és molt baixa per als no metalls. La facilitat que tenen els sòlids per a conduïr la calor varia directament amb la concentració d'electrons lliures. En consequència s'hauria d'esperar que els metalls purs fossin els millors conductors de la calor, fet que està confirmat per l'experiència.

Interacció mol.lecular Electrons lliures

Conducció total

Per als gasos, els valors de la conductivitat tèrmica mostren un increment amb l'augment de la temperatura, fet que es deu a l'agitació tèrmica de les mol·lècules gasoses a temperatures elevades que provoca un major freqüència de col·lisions, augmentant així l'intercanvi mol.lecular.

Se ha desenvolupat una gran quantitat de treball analític en la predicció de la conductivitat tèrmica en els gasos monoatòmics. Prenent com a hipòtesis que la mol.lècula de gas és una esfera rígida, l'equació resultant per a la conductivitat és la següent :

λ=

1 π

3

2

⋅d2

k3 ⋅T m

(2.14)

On d és el diàmetre mol.lecular estimat, k la constant de Boltzmann, T la temperatura absoluta i m la massa per mol.lècula.

Projecte final de carrera

Aquesta equació prediu la conductivitat tèrmica en funció de la temperatura i independent de la pressió. La dependència de la temperatura és una mica dèbil comparada amb els resultats experimentals, no obstant és acceptable fins a una pressió de 10 atmosferes.

A la taula següent es mostra les conductivitats d’alguns sòlids: Extret de Transferència de calor aplicada a la Ingenieria. James R. Welty.

λ (W/mK) Material

20 ºC

100 ºC

200 ºC

228.45 385.95 292.49 73.21 35.13 172.20 92.94 70.09 588.44 62.31 162.69 29.25 112.50

228.45 379.02 294.22 67.50 33.40 167.53 82.55 72.52 410.18 58.84 150.57 29.77 109.03

230.18 368.64 297.68 54.69 29.77 158.19 63.86 75.29 361.72

121.50 106.96 1.12 12.22 16.27 42.92

127.9 51.23 13.83 17.31 42.92

147.63 46.38 17.20 22.50 39.63

0.19 1.12 0.04

0.22

1.16

1.45

Metalls Alumini Coure Or Ferro Plom Magnesi Niquel Platí Plata Estany Tungsté Urani Zinc

133.26 33.92 100.38

Aleacions Alumini 2024 Llautó (70% Cu 30 % Zn) Ferro fos Nicrom V Acer inoxidable Acer dolç (1% C) No metalls Asbest

0.16

Argila refrectària Llàmina de suro Terra diatomàcea (pols) Vidre de finestra Vidre, Pyrex Marga arenosa 4% (H2O) Llana de roca

0.05 0.78 1.09 0.93 0.04

0.06

En els materials sòlids i líquids, a diferència dels gasos , la conductivitat tèrmica és essencialment independent de la pressió. La conductivitat en metalls purs tenim la

Projecte final de carrera

presència d'electrons lliures que augmenten considerablement les capacitats de conducció de calor com també de la conducció elèctrica. Són molt conegudes les propietats de conducció elèctrica dels metalls purs, i són les mateixes característiques físiques que l'originen, les que també són responsables de que aquests materials siguin millors conductors de la calor.

Projecte final de carrera

Capítol 3 Mecanismes de mesura conductivitat tèrmica 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5

Introducció a la mesura de la conductivitat tèrmica Generalitats Mètodes d’avaluació del camp de temperatures Mesura de conductivitats en sòlids Mesures en sòlids de baixa conductivitat Experimentació en règim permanent Experimentació en règim transitori Mesures en sòlids metàl·lics Experimentació amb mètodes dinàmics Experimentació amb mètodes estàtics Conclusions

de

la

Projecte final de carrera

3

MECANISMES DE MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA

3.1

INTRODUCCIÓ A LA MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA

3.1.1

GENERALITATS

L’estudi de la transferència de calor per conducció està afectat principalment amb la distribució de temperatura i la seva història en les estructures sòlides. En certs casos, la determinació del camp de temperatures constitueix la solució per a la determinació de la transferència de calor. Exemples d’això succeeix en el disseny de bobines elèctriques, àleps de turbines, i d’altres estructures que han de treballar en les límits de temperatura permesos. El disseny de sistemes d’altes temperatures com vehicles supersònics ó reactors nuclears comporta el problema addicional de les altes tensions tèrmiques, i és aquí unaltra vegada on el còmput d’aquesta tensió tèrmica depèn directament del coneixement de la distribució de les temperatures existents.En algunes aplicacions, el flux de calor travessa estructures com parets planes, tubs, així com superfícies canviadores de calor, i ocasionalment pot ésser necessari el càlcul del domini de temperatures i el flux. Sempre s’estarà per sobre el coneixement de la temperatura, perque en tots els casos és la distribució de temperatures qui determina la transferència de calor, i aquesta és, en general, impossible d’obtenir sense la primera, exceptuant l’experimentació directa.

3.1.2

MÈTODES D’AVALUACIÓ DEL CAMP DE TEMPERATURES

Es disposa essencialment de quatre mètodes per a l’avaluació d’aquests camps de temperatura: (1) analític, (2) gràfic, (3) numèric, i (4) experimental.

Mètode analític El mètode analític deriva a una solució matemàtica per a la temperatura com a funció de les coordenades espai i temps. La solució ha de satisfer les equacions diferencials característiques de les qual ha derivat, així com també d’unes condicions inicials de contorn per a cada problema en particular. En quasi tots els casos, es necessària una

Projecte final de carrera

simplificació pràctica del sistema que aporta a una aproximació, amb la que la solució obtinguda en aquestes circumstàncies no és “exacta”.

Mètodes gràfics Les tècniques gràfiques es basen en les propietats dels dominis de les equacions i dels principis numèrics, tenint com a principal avantatge el d’obtenir ràpidament una primera aproximació a la solució.

Mètodes numèrics El mètode numèric està basat en les diferències finites, i s’ha convertit en una tècnica computacional d’aproximació. Aquest mètode és preferit per la seva flexibilitat, i acostuma a dar bones solucions aproximatives al problema, sobretot quan aquest és intractable de manera analítica. Com el mètode gràfic, tanmateix, per dreçar el sistema numèric és necessària una possible parametrització.

Mètode experimental Finalment, el mètode directe d’experimentació se sol reservar per aquells tipus de problemes que no poden ésser tractats convenientment pels mètodes abans esmentats.

En el cas del conductivímetre, la informació final que es cerca és la de la conductivitat d’un material, essent necessària la coneixença del flux calorífic sense saber-ne aquesta conductivitat. Al no disposar d’aquesta dada, s’hauria de trobar el camp de temperatures de la única manera possible: fent servir el mètode experimental.

La conductivitat tèrmica pot ser mesurada en qualsevol aparell que faciliti les condicions de contorn requerides en una solució particular de l’equació de la conducció tèrmica de Fourier.

ρc

dT ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T   +  λz =  λx  + λy  dt ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 

(3.1)

Projecte final de carrera

Per a un medi isotròpic, l’equació anterior queda

∂T = a∇ 2T ∂t

(3.2)

Aquesta equació és aplicada normalment a una geometria uni-direccional i la difusivitat tèrmica a pot ésser avaluada de la distribució de temperatures T mesurades com a funció del temps t. La conductivitat tèrmica pot ser determinada a partir de la capacitat tèrmica cρ.

En el cas uni-dimensional de temperatures en règim permanent, i amb λ ≠ f(T), l’ equació (3.2) es transforma en

d 2T =0 dx 2 o bé

q = −λA

(3.3)

dT dx

per

q = constant

(3.4)

per tal de determinar directament la conductivitat tèrmica. Pràcticament totes les mesures de la conductivitat tèrmica són basades en les equacions anteriors (3.3) i (3.4); en canvi, les condicions de contorn establertes en varis instruments i les correccions necessàries difereixen d’un material a unaltre. És per això que s’estudia la determinació per als fluids i per als sòlids separadament. El cas dels sòlids és la que interessa per al conductivímetre en qüestió.

3.2

MESURA DE CONDUCTIVITATS EN SÒLIDS

La conductivitat tèrmica dels sòlids varia entre valors tan baixos com la que tenen els gasos, a valors extremadament elevats. Els valors més elevats s’observen en els metalls, especialment en aquells que tenen conductivitat elèctrica elevada. Aquest ampli rang fa entendre que s’hagi de tractar separadament els casos de sòlids de conductivitat elevada i els de baixa conductivitat. Per a ambdós casos, es podran fer experimentacions tal que la recopilació de dades i mesures es faci o bé en règim transitori, o bé en règim permanent. L’evolució de la informàtica i la rapidesa de captació de dades dels sensors

Projecte final de carrera

versus una funció temporal permet actualment operar en un règim transitori sense que els errors deguts a la temporalitat de les dades afectin a la determinació de la conductivitat.

3.3

MESURES EN SÒLIDS DE BAIXA CONDUCTIVITAT

3.3.1

EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM PERMANENT

L’equació (3.4) és principalment aplicada en fluxes lineals o radials de calor. Per a fluxos lineals, els aparells usats tenen l’aspecte mostrat a la Fig. 3.1 ; instruments similars, amb possibilitat de múltiples capes de substàncies són utilitzades. Les capes poden ésser gruixudes ja que la convecció lliure no afecta. En el cas de líquids i gasos, el contacte tèrmic amb les plaques escalfadores i refredadores estava assegurat, i l’increment de temperatura en la “mostra” era la de les plaques, que es mesurava per sensors localitzats en les superfícies conductores d’aquestes plaques.

Fig.3.1 Mecanisme de mesura de sòlids de baixa conductivitat

Per medis de baixa conductivitat, on la resistència de contacte no és la que més afecta, s’utilitzen les mateixes tècniques per a mesurar la ∆T. Com més bon conductors siguin aquests materials (aïllants), serà més important en aquests casos, el bon contacte entre el material i les superfícies de l’escalfador i el refredador.

Una resistència de contacte baixa i uniforme normalment s’esdevé cada cop més difícil a mesura que s’incrementa la temperatura i per a materials més conductors. En aquests casos és avantatjós proveir un pobre, però uniforme contacte mitjançant capes aïllants

Projecte final de carrera

entre les superfícies escalfadores i refredadores amb la peça. Això porta a la reducció dels problemes de contacte tèrmic quan es pertorben els gradients de temperatura.

3.3.2

EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM TRANSITORI

Aquest tipus de proves són comunes per a la determinació de medis porosos. Per a mesures de petites mostres, hi ha desenvolupat el mètode transitori (anomenat “flash” o “pulsació de calor”) on una alta intensitat d’energia de curta durada és absorbida en la superfície d’una mostra fina. La difusivitat tèrmica és determinada per la forma de la corba de la temperatura versus el temps i l’espai.

Molts dels instruments i mètodes, tant en règims permanents o transitoris, poden ésser aplicats per a la mesura de la conductivitat dels metalls. Senzillament serà necessari aplicar alguns condicionants per a aquests casos.

3.4

MESURES EN SÒLIDS METÀL·LICS

Com s’havia avançat anteriorment, la determinació de la conductivitat tèrmica necessita de la determinació d’un camp de temperatures, per a la determinació de la transferència de calor. Si coneixem prèviament els valors de conductivitats d’un sistema, podem emprar un mètode analític, o gràfic, per a sistemes simples. Si el sistema és més complex, aleshores es pot optar per a una discretització del sistema, i utilitzar els mètodes numèrics computacionals, per a determinar el camp de temperatures. Si el sistema és difícil de simular per ordinador, però és factible realitzar un model real, aleshores es comptarà amb el mètode experimental.

Aquest mètode experimental no necessita de la coneixença del valor de la conductivitat per a determinar el camp de temperatures, ja que el trobarem realment i el podrem mesurar, això si, amb un grau d’error degut a les medicions, com s’ha comentat en els apartats anteriors. Per tant, aquest mètode ha de permetre, per a geometries senzilles, comparar la distribució de temperatures seguint altres mètodes (per exemple l’analític), i poder determinar la conductivitat tèrmica que tenim en l’experiment.

Projecte final de carrera

Els mètodes utilitzats en la mesura del coeficient de conductivitat tèrmica poden ser dividits en dos grans grups: estàtics o dinàmics, depenent del règim en que es realitzen les lectures que serviran per al càlcul de la conductivitat.

Els mètodes estàtics treballen amb la hipòtesis que el règim assolit és estacionari. En règim estacionari, les equacions implicades en la transferència de calor depenen únicament de coordenades geomètriques i el temps no intervé com a variable. Els mètodes estacionaris presenten com a principal avantatge la facilitat en ser mesurats, i exigeixen menys correccions. El conductivímetre del qual s’ocupa el present estudi treballa amb aquest mètode estàtic.

3.4.1

EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES DINÀMICS

En els mètodes dinàmics la temperatura és funció de l’espai i del temps. Per poder analitzar el comportament d’un sistema dinàmic necessitem l’ajut d’una computadora i d’un conjunt d’hipòtesis de difícil comparació amb la realitat. Per exemple, la pressió a que es sotmeten les peces determinen d’una manera molt important la resistència tèrmica entre les superfícies (convecció-conducció), i cal tenir en compte que la pressió de contacte entre les peces varia a l’evolucionar la temperatura. La necessitat de la computadora és deguda a que en un instant t és impossible de mesurar la temperatura de varis punts, i per tant s’ha de fer d’una manera automàtica en un diferencial de temps prou petit. Per aquestes i d’altres causes, és extremadament difícil determinar amb exactitud l’evolució de tots els paràmetres que intervenen en tot el procés. Per tant és poc recomanable utilitzar mètodes dinàmics per a determinar la conductivitat, ja que el tractament matemàtic és tant artificiós que la divergència amb la realitat pot ser molt gran.

3.4.2

EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES ESTÀTICS

S’acudeix, doncs, a solucions estàtiques, que tot i essent més senzilles que les anteriors donen un millor resultat, ja que la facilitat d’obtenir bones mesures és molt més gran i no intervé la variable temps.

Projecte final de carrera

Els models estàtics també presuposen un seguit d’hipòtesis i solucions simplificades i generalment són que les línees de flux de calor se suposen rectes i paral·leles i que les isotermes són plans paral·lels i perpendiculars a les línees de flux. La major part d’aquests estudis estàtics es basen en la determinació d’aquest flux calorífic que atravessa una superfície coneguda, medint aquest flux mitjançant calorímetres especials.

Dins aquest grup de mesures estàtiques, trobem dos mètodes diferents segons la manera de determinar aquest flux calorífic: A) Mètode de mesura absoluta B) Mètode per comparació

Mètode de mesura absoluta Es pren el material a estudiar en forma de placa circular, la qual es disposa sobre una placa conductora escalfada elèctricament, tot això en un sistema format per dos vasos cilíndrics plens d’aigua. El got exterior fa el paper d’anell de guarda i impedeix les pèrdues de calor per la superfície lateral del vas interior. L’aigua continguda en els vasos es porta a ebullició, la quantitat de calor transmesa per la part de la placa que s’estudia, en contacte amb la base del vas interior, es determina per la quantitat d’aigua vaporitzada en aquest vas, la qual és recollida en la proveta després de condensada. (Fig.3.2)

Fig. 3.2 Determinació del flux calorífic amb mètode de mesura absoluta

Projecte final de carrera

Un aparell més avançat que es sol utilitzar té l’aspecte de la Fig. 3.3. La mostra es subjecta dins un contenidor, i està perforada pels seus extrems superior i inferior. Per l’extrem inferior s’hi acopla un escalfador elèctric, mentre que l’extrem superior és refredat per aigua circulant freda. Un forn de guarda que envolta la peça, té un escalfament i un refredament molt similar a la peça, per tal de tenir una distribució de temperatures semblant. La peça és més aviat llarga, que no pas ample, i té un gradient elevat de temperatura entre els seus extrems. La distribució de temperatura longitudinalment, és mesurada per varis termoparells, distanciats de manera coneguda, permetent el càlcul de la conductivitat tèrmica a diferents temperatures.

Fig. 3.3 Mètode de mesura absoluta amb cilindre de guarda

Alguns mètodes, degut a que els metalls poden escalfar-se directament a partir d’un corrent elèctric, s’aprofiten d’aquest fenòmen amb instruments basats en l’anomenant “mètode directe d’escalfament elèctric”.

Per a una geometria cilíndrica, l’ equació (3.5) és

 ∂ 2 T ∂ 2 T 1 ∂T  ∂λ + λ  2 + 2 + r ∂r  ∂T ∂r  ∂x

(3.5)

 ∂T  2  ∂T  2   ∂E  2  ∂E  2  I ∂T ∂T + + k = cρ      +  −µ   A ∂x ∂t  ∂x   ∂r    ∂x   ∂r  

Projecte final de carrera

on k és la conductivitat elèctrica, E el potencial elèctric, I el corrent elèctric, A la secció de la mostra, i µ el coeficient Thompson de calor (veure capítol 4).

La influència del calor de Thompson pot ser minúscul si es mesuren petits gradients de temperatura. Si s’utilitzen mostres primes que permeten menystenir el gradient radial, aleshores l’equació (3.5) es simplifica a

∂ 2 T ∂λ  ∂T   ∂E  +   + k  =0 2 ∂T  ∂x  ∂x  ∂x  2

λ

2

(3.6)

Si s’assumeix que λ ≠ f(T) aleshores eliminem el segon terme quedant l’equació

∂ 2T  ∂E  + k  =0 2 ∂x  ∂x  2

λ

(3.7)

Kohlrausch aplicà aquesta equació en una prova amb el condicionant que els extrems de la mostra són a temperatura constant, i el flux radial de calor és minimitzat per aïllament.

En aquestes circumstàncies, s’obté un perfil axial de temperatures a partir del qual el rati de les conductivitats tèrmica i elèctrica pot ser avaluat. Coneixent la conductivitat elèctrica, s’està en condicions de determinar la conductivitat tèrmica.

Negligint pèrdues de calor radials en la mostra, s’obté la primera relació de Kohlrausch

λ 1 ( E1 − E 2 ) 2 = k 2 T2 − T1

(3.8)

Bode, K.H. (“Eine neue Methode zur Messung der Wärmeleitfähigkeit von Metallen bei hohen Temperaturen”) provà d’escalfar cables molt prims, els extrems dels quals estaven a la mateixa temperatura, i generava a la mostra la mateixa quantitat de calor que anava perdent radialment per radiació les parets d’una cambra de buit termoestàtica. La distribució de temperatures era uniforme al llarg del cable (només hi havia una distribució radial de temperatura) , i l’assumpció feta per al calor de Thompson a l’ equació (3.6) es complia. Angell M.F. (“Thermal Conductivity at High Temperatures”) establí una distribució uniforme de temperatura a la zona central d’una llarguíssima mostra (a

Projecte final de carrera

temperatures fredes en els seus extrems). La conductivitat tèrmica de les seves mesures podia ésser avaluada per

λ=

1 ∆E I 4π L ∆T

(3.9)

on ∆E és la caiguda de potencial observada sobre una longitud L en la zona uniforme de temperatures i ∆T és la diferència de temperatures radial a la mateixa regió.

Un dels aparells clàssics de mesura directa, correspon al d’escalfament directe.

Els mètodes d’escalfament elèctric directe, on la temperatura es manté pel pas d’un corrent elèctric a través de la mostra, es feren populars per a la determinació de la conductivitat a altes temperatures (>1500ºC). Existeixen diferents tècniques i variants incloses dins la classificació d’escalfament directe, començant pel mètode Kohlraush utilitzat abans de 1900. En general, els mètodes d’escalfament directe tenen algunes avantatges (HTD 69) respecte d’altres mètodes: a) les propietats termofísiques (com la resistivitat elèctrica, emitància hemiesfèrica, emitància espectral, coeficient Seebeck i calor específica,...) poden ser determinades simultàniament o successivament en la mateixa mostra b) els aparells i les tècniques experimentals acostumen a ser més senzilles que altres mètodes.

Comunment amb d’altres mètodes, s’usen per mesurar conductivitats tèrmiques a temperatures elevades, i els resultats obtinguts per diferents mètodes d’escalfament directe acostumen a ser àmpliament diferents. A més, els resultats finals dependran de l’anàlisis matemàtic i de les suposicions adoptades que s’adoptin; per exemple, la integració tenint en compte o no de les diferencials de segon ordre en les equacions.

Una

comparació

dels

resultats

experimentals

obtinguts

per

un

bon

nombre

d’investigadors, per a un material en concret, serveix per avaluar els diferents mètodes.

L’aparell experimental va ser dissenyat per a ser flexible. Era necessari per tal de permetre diferents condicions de contorn i permetre a les diferents geometries de les

Projecte final de carrera

mostres la seva mesura. Les mostres en forma de cables, cilindres o tubs són suspeses verticalment entre dos electrodes. Les proves es realitzen sota el buit per eliminar la convecció i minimitzar els efectes a la superfície. La potència regulable és aplicada a la mostra, on es fan mesures elèctriques i de temperatura.

Mètode per comparació Coneixent el valor de la conductivitat tèrmica d’un material, i prenent aquest com a patró, es pot determinar el coeficient de conductivitat tèrmica d’unaltre material. Aquest és el principi de funcionament del conductivímetre en estudi. S’ajunten dues plaques, una de conductivitat tèrmica coneguda λ 1, i unaltre de conductivitat desconeguda λ2. S’estableix un règim permanent tal que el mateix flux travessa ambdues plaques, i per tant

λ1 ∆T1 λ 2 ∆T2 = e1 e2

(3.10)

amb la mesura de les temperatures es pot determinar λ2. Una de les dificultats de l’ús d’aquest mètode rau en el temps que es necessita per arribar a l’estabilització de les temperatures.

Com es desprén de la descripció anterior, el determinar el valor numèric de λ és una operació delicada, i els valors indicats per a una mateixa matèria per diferents experimentadors, a vegades difereixen bastant: això s’explica perque el valor de λ varia molt amb l’estat físic de la matèria i la seva composició. L’acer fos no presenta el mateix valor de λ que l’acer laminat. Les impureses tenen també una marcada influència: per exemple, per a l’or en estat pur s’ha trobat λOR = 266 Kcal/m2·h·ºC/m. Amb un 0,2% d’impureses de les quals 0,1% era ferro es troba que λOR = 155 Kcal/m2·h·ºC/m. El coure també ens presenta un λ COURE = 346 Kcal/m2·h·ºC/m, mentres que el coure comercial té una conductivitat λCOURE com. = 300 Kcal/m2·h·ºC/m.

El valor de λ serà també molt variable segons la compacitat de la matèria de que es tracti; per exemple, la fibra de amiant presenta quan el seu pes específic és de 0,7 Kgs/dm 3 una conductivitat λ 0,7 = 0,165 Kcal/m2·h·ºC/m, baixant notablement si la fibra està menys compactada: per a 0,39 Kg/dm3 té una λ 0,39 = 0,0775 Kcal/m2·h·ºC/m. Aquesta variabilitat

Projecte final de carrera

també es trobarà quan el material pugui tenir diferentes composicions granulomètriques com succeeix amb les arenes utilitzades per al moldeig de metalls, en el formigó, etc...

Un anàlisi més ampli, amb el tractament de les desviacions possibles, es tracta en el Capítol 9, on el seguiment de les experiències provocaren un estudi de les desviacions de cada mesura i les seves aportacions en el resultat final.

A la vegada, i depenent de la geometria, els mètodes de mesura es poden classificar en dos grups principals : Els mètodes de flux de calor radial i els mètodes de flux de calor longitudinal.

Mètode de flux de calor radial Aquest mètode presuposa que el flux de calor en la mostra és radial, i per tant, les superfícies isotèrmiques són un conjunt de superfícies cil.líndriques centrades en l'eix de la mostra.

Fig. 3.4 Geometria cilíndrica

El mètode de flux radial es basa en la mesura directa de la conductivitat tèrmica, és a dir mesurant la potència i increments tèrmics entre dos punts a diferents radis de la mostra.

Per a un cilindre amb flux radial de calor, tenim que la potència que l'atravessa és :

q&r =

Ti − To ∗ (2πλL )  ro  ln    ri 

(3.11)

Projecte final de carrera

Fig. 3.5 Distribució de temperatures amb flux travessant geometria cilíndrica

La potència es genera en el nucli de la mostra mitjançant resistències elèctriques centrals, per tant , determinant T0 i Ti a dos radis diferents de la mostra, obtenim la conductivitat tèrmica aillant λ de l'equació 3.11.

La potència suministrada pot mesurar-se elèctricament, determinant la intensitat i la caiguda de potencial. Les temperatures es determinen mitjançant termopars.

Aquest mètode és senzill en concepte, però presenta agunes dificultats experimentals.

Per assegurar unes superfícies isotèrmes en el centre del cilindre i flux radial (Fig. 3.4), la relació longitud / diàmetre ha de ser aproximadament 4 com a mínim: això suposa utilitzar mostres grans. Aquest mètode és especialment indicat per mesurar conductivitats en metalls, aillants de tuberia i en materials que puguin ser fabricats per extrussió.

Mètode de flux de calor longitudinal La mesura de λ per aquest mètode es basa en la determinació del gradient tèrmic en una mostra que s'escalfa per un costat i es refreda per l'altre. El flux de calor ha de mantenirse en una direcció, i per tant les superfícies isotermes són plans perpendiculars a la direcció del flux (Fig. 3.6). És el cas del conductivímetre en estudi, malgrat que s’utilitzin peces cilíndriques geomètricament parlant.

Projecte final de carrera

Fig. 3.6 Flux de calor longitudinal

Amb la finalitat d'aconseguir una direcció longitudinal del flux i evitar perdues laerals s'utilitzen guardes calorífiques, les quals pretenen que en cada punt tinguin la mateixa temperatura que la mostra adjacent, impedint així la fuita de calor en sentit transversal.

3.5

CONCLUSIONS

A partir d’aquests dos mètodes, s’han creat múltiples aparells Conductivímetres; alguns per mesura directa i d’altres per comparació. Al llarg dels anys, diversos experimentadors han trobat resultats diferents per a diversos materials utilitzant aquests aparells, i s’ha elaborat una àmplia bibliografia al respecte, així com una documentació de consulta realitzada a partir de conferències on s’exposaven els resultats d’aquesta pràctica. La dificultat sovint en l’estimació d’un material concret rau, com s’ha vist, d’una manera experimental en la determinació amb la seva imprecissió del camp de temperatures, fet que confirmem amb l’experimentació realitzada i comentada en el Capítol 8. Però unaltre factor és la homogeneïtat de les peces, la puresa del material.

Per a l’obtenció d’un major afinament en el resultat, es troba amb que l’assumpció d’una distribució linial de temperatura (degut a una dependència de la conductivitat també lineal versus la temperatura) és inadmissible des del punt de vista teòric. Però amb unes condicions concretes per a alguns materials, complint que per a un gradient de temperatura suficientment petit, el factor de segon ordre de la dependència de la conductivitat respecte a la temperatura sigui mínimament menyspreable, és pot donar per acceptable aquesta simplificació. Una vegada hi ha una recopilació de dades de

Projecte final de carrera

conductivitat per a un material concret al llarg d’un ampli espectre de temperatures, es pot deduir si la dependència del tipus λ(T)= a + b·T + c·T2 té un caràcter fortament no-lineal, i introduir factors de correcció a l’hora de determinar la transferència de calor al llarg de la peça d’aquest material.

35 Projecte final de carrera

Capítol 4 La termometria del termoparell 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.6

Introducció Principis fonamentals Estimació dels errors en la mesura de la temperatura Mesura de la temperatura en sòlids Tipus de termoparells Rang de temperatura Protecció atmosfèrica Materials de contacte Limitacions mecàniques Termoparells tipus K

36 Projecte final de carrera

4

LA TERMOMETRIA DEL TERMOPARELL

4.1

INTRODUCCIÓ

A causa dels seus varis avantatges, els termoparells han estat llargament utilitzats tant en la recerca científica, així com en la termometria a nivell industrial. Són ben senzills, consisteixen normalment en dos cables, una unió estable de referència, i un sistema de potenciòmetre. Alguns sistemes de termoparells més complexos consisteixen de moltes unions separades o termopiles, però el principi fonamental segueix essent el mateix.

Poden ser ben llargs (per permetre una protecció mecànica o corrossiva) o ben petits (per tenir una resposta ràpida i una capacitat tèrmica petita). Els cables petits son utilitzats en sistemes criogènics, essent molt fràgils i flexibles; en canvi els de longitud major que s’usen en forns solen estar instal·lats i són generalment rígids.

Amb un disseny acurat, els encapsulaments dels termòmetres poden conviure en ambients corrossius. Els termoparells poden usar-se sobre un ampli rang de temperatures, des de Heli líquid a –270 ºC a altes temperatures en forns de 2200 ºC. Però són necessàries diferentes aleacions per poder treballar en temperatures extremes.

Moltes de les combinacions de termoparells dónen pràcticament una relació lineal entre la seva sortida de mesura i un ampli rang de temperatures. Aquesta propietat porta a una calibració i a uns mètodes d’instrumentació que són tant simples com precisos. A diferència dels termòmetres de resistència, els termoparells no tenen l’efecte d’autoescalfament. Aquesta característica és molt important en estudis de calorimetria precisa i en recerca criogènica.

El nombre de combinacions de termopars potencials és virtualment infinita, pero afortunadament hi ha un bon munt d’estandaritzats. Aquesta normalització ha permès una disponibilitat molt difosa a un preu raonable, permetent intercambiabilitat de materials entre diferents subministradors i companyies.

Per tant, els sistemes de termoparells són fàcils d’utilitzar: amb una sèrie d’aparells com multímetres, potenciòmetres portàtils, són utilitzats amb freqüència. La necessitat d’una unió estable de referència ha d’ésser evitat per moltes aplicacions amb la inserció d’una unió de compensació de temperatura; aquesta és la pràctica més comuna en la indústria que s’hi dedica.

37 Projecte final de carrera

A l’any 1821 Thomas Johann Seebeck descobrí l’existència de la corrent termoelèctrica mentres experimentava amb circuits de bismut-coure i bismut-antimoni. Ell veié que quan les unions de diferents metalls eren escalfades a diferentes temperatures, es generava una emf (força electromotriu). Si es formava un circuit tancat, s’induïa una corrent , que anomenen termoelèctrica. Pocs anys abans Becquerel havia demostrat que la unió entre platí i pal·ladi es podria utilitzar per mesurar la temperatura. Aproximadament una década més tard, Jean Peltier descobrí un efecte tèrmic inusual, quan feia circular petites corrents externes a través de les unions de diferents cables termoparells. Quan una corrent travessava una unió en un sentit, aquesta es refredava; quan el corrent circulava en sentit contrari, la unió s’escalfava. Amb l’ajuda de les noves teories desenvolupades de la Termodinàmica, William Thomson fou capaç de mostrar que els dos efectes estaven relacionats. Ell deduí les equacions fonamentals que s’utilitzen avui dia. Les teories de la Termoelectricitat han arribat a ésser polides i complexes, malgrat que són innecesàries pel seu ús a la pràctica (EGo 76). Una revisió fou preparada per Pollack per a la American Society for Testing and Materials.

4.2

PRINCIPIS FONAMENTALS

Els principis fonamentals necessaris per entendre els circuits termoelèctrics més simples poden ser expressats en tres efectes, i tres lleis que es deriven de les equacions fonamentals.

L’efecte Seebeck es descriu segons la Fig. 4.1. Si un circuit està format tal que consisteix de dos conductors diferents A (positiu) i B (negatiu), units en ambdós extrems, i a temperatures diferents T1 i T2, aleshores un corrent flueix dins el circuit en la direcció indicada. Si aleshores tallem el circuit en el cable A, aleshores tenim una diferència de potencial creada en aquest esvoranc, que s’anomena Voltatge de Seebeck (també se sol dir voltatge termoelèctric, emf...).

38 Projecte final de carrera

Fig 4.1 L’efecte Seebeck

Per a una diferència petita de temperatures, el canvi en la diferència de potencial que dóna l’obertura en el cable A vé donada per

dE s = α A, B dT

(4.1)

on αA,B és el coeficient Seebeck (o potència termoelèctrica) per la combinació dels materials A i B a la temperatura T. La caiguda de potencial per un rang de temperatures vé donat per

E s = ∫ α A , B dT T2

(4.2)

T1

El coeficient de Seebeck es pot obtenir diferenciant la funció de E s(T), o també mitjançant la relació

α A, B = α A, R + α R , B

(4.3)

on R indica un material estàndar de referència.

L’efecte Thomson pot ésser entés amb l’ajuda de la Fig. 4.2. Quan un corrent circula a través d’una unió de conductors desiguals, el calor és absorbit (T 2+∆T) o alliberat (T1-∆T) per les unions. Si el corrent elèctric circula en la mateixa direcció que la corrent Seebeck, aleshores el calor és absorbit en la unió calenta (i viceversa). Aquest efecte és utilitzat en l’escalfament o refredament termoelèctric. La relació és la que segueix

dQ p = π A ,B Idt

(4.4)

39 Projecte final de carrera

on dQp és la quantitat de calor, πA,B és el coeficient de Peltier, I el corrent elèctric, i dt el temps transcorregut. L’efecte Peltier està estretament lligat amb l’efecte Seebeck.

Fig. 4.2 L’efecte Thomson

La relació entre ambdós fou derivat per Thomsom com segueix

π A, B = (σ A − σ B )dT

(4.5)

on σ és el coeficient de Thomson per un conductor definit per

ET1 ,T2 = ∫ σ A dT T2

(4.6)

T1

Literalment l’efecte Thomson és defineix com el canvi en capacitat tèrmica de un conductor (de secció unitat) quan una quantitat unitat de càrrega elèctrica flueix a través d’ell en un gradient de temperatura de 1 K. Les tres lleis bàsiques de la termotècnia pràctica es troben descrites en la ASTM STP 470. Aquestes són: 1.”Llei dels metalls homogenis – un corrent termoelèctric no pot ser soportat en un circuit d’un únic material homogeni, per més que varii la seva secció, només per l’aplicació de calor” Per tant, com a mínim, seran dos materials diferents els necessaris per a un circuit termoelèctric. S’ha de notar que les imperfeccions físiques o químiques poden fer que un material sigui efectivament no homogeni.

40 Projecte final de carrera

2.”Llei de metalls intermedis – la suma algebràica de les forces termoelectromotius (voltatges) en un circuit composat de qualsevol nombre de materials diferents és zero si tot el circuit és a una temperatura uniforme” Un tercer material no homogeni pot afegir-se sempre a un circuit si és tant llarg com una regió isoterma. A partir d’aquesta llei, representada en la Fig. 4.3, tenim la conseqüència que el mètode d’unió dels cables termopàrics, per exemple la soldadura, subjecció, contacte de mercuri, etc..., no afecta al resultat de la sortida si la unió és isotèrmica.

Unaltra conseqüència és que si els voltatges termoelèctrics de dos materials són coneguts respecte a un material de referència, els seus voltatges respecte els altres poden ser determinats per addició, com és mostra a la Fig. 4.4 més endavant.

Fig. 4.3 Llei de metalls intermedis. El voltatge termoelèctric no queda afectat per la inserció del material C

41 Projecte final de carrera

Fig.4.4 Determinació per addició dels voltatges termoelèctrics

3.”Llei de les temperatures intermèdies – si dos metalls homogenis diferents produeixen una emf de valor E1, quan les unions estan a temperatures T1 i T2, i produeixen una emf de valor E 2 quan les temperatures de les unions són T 2 i T3, aleshores la emf generada quan les unions estan a T1 i T 3 serà la suma E1+ E2.”

Un resultat d’aquesta llei es que els termoparells calibrats per a una temperatura de referència, poden ser fàcilment corregits per a unaltra temperatura de referència. Unaltra aplicació d’aquesta llei es la disponibilitat d’ús de cables d’extensió (allargaments) sense malmetre el voltatge resultant.

4.3

ESTIMACIO DELS ERRORS EN LA MESURA DE LA TEMPERATURA

És extensament reconegut que la sortida d’un sensor, com un termoparell o un termòmetre, representa una aproximació de la temperatura en un lloc dins un fluid o un sòlid. Hi ha una varietat de factors que causen desviacions entre el valor de sortida i la temperatura real en el punt d’interés. Primer de tot, la presència d’una sonda mateixa pot modificar les condicions tèrmiques en el punt i els seus voltants, alterant així la distribució de la temperatura. Això passa, per exemple, quan el calor és condueix desde

42 Projecte final de carrera

l’empalmament del termoparell al llarg dels cables conductors. Un segon i major factor és que el sensor pot comunicar-se amb d’altres ambients propers al que estem mesurant.

A més, certes característiques bàsiques de la transferència energètica i procesos d’emmagatzemament energètic tendeixen a afavorir l’aparició d’errors en la mesura de la temperatura. Un cas característic és que el canvi de calor per convecció no pot tenir lloc sense una diferència de temperatures. Unaltre és la dissipació viscosa que ocurreix en la superfície adjacent d’un cos situat enmig d’un flux d’alta velocitat. En addició, en els processos transitoris, la capacitat tèrmica d’un sensor provoca una diferència de temperatura entre el sensor i el fluid.

La tasca dels sensors dissenyats per petits errors és agreujada pel factor que els aïllants tèrmics perfectes no existeixen. Això contrasta amb la situació de les mesures elèctriques, on essencialment els aïllants perfectes són fàcilment aconseguibles.

Amb un disseny curós, és possible reduir els errors de mesura resultants d’una o més causes abans esmentades. Per exemple, els coeficients de transferència de calor per convecció poden ser incrementats mitjançant l’increment local de la velocitat del fluid adjacent al sensor. El canvi mitjançant radiació amb l’entorn es pot reduir encobrint el sensor. És assumit aquí que la informació relacionada amb el disseny de la sonda pot ser obtinguda a partir de les referències abans esmentades i de l’ampli ventall d’informació que trata sobre el tema. El propòsit d’aquest apartat és revisar les fonts d’error en la mesura de temperatura i la discussió analítica dels models que es poden emprar en l’estimació d’aquests errors.

Una finalitat aparentment natural de l’anàlisi seria proporcionar fòrmules aproximadament precises de correcció que s’usarien per ajustar la sortida d’un sensor i tenir aleshores valors acurats de la temperatura. En canvi, a la pràctica, els problemes de la transferència de calor que afecten a les sondes de temperatures són tan complexes que no permeten a fer anàlisis precisos. Fins i tot quan els ordinadors son usats per facilitar la solució, relativament els models analítics simples són quasi apropiats. Avui en dia, una finalitat real d’anàlisi és proporcionar estimacions de l’ordre de la magnitud dels errors

43 Projecte final de carrera

que poden ser esperats en la mesura de temperatures. Els anàlisis dónen consells per les sondes així com suggereixen paràmetres de correlació per tests de calibració.

4.4

MESURA DE LA TEMPERATURA EN SÒLIDS

La nostra atenció es centra ara en els models computacionals d’estimació d’errors en la mesura de temperatures en estat estable en sòlids. Es poden trobar vàries situacions: mesura de la temperatura de la superfície d’un sòlid, termoparell insert dins un sòlid... En el nostre cas ens interessa aquest darrer cas.

TERMOPARELL INSERT DINS UN SÒLID

Fig. 4.5 Inserció d’un termoparell dins un sòlid

Un diagrama esquemàtic del problema és mostrat a la Fig. 4.5. Un termoparell és situat en un forat fet dins la superfície; a més, és emplaçat amb una mica d’adhesiu, com per exemple, epoxi. Per fora del sòlid, el termoparell es condueix enmig d’un fluid, la temperatura del qual és Tf. El cable és tant llarg que al final pren la temperatura del fluid Tf.

44 Projecte final de carrera

El termoparell serveix aleshores com un canal a través del qual el calor pot fluir-hi cap a dins, o cap a fora, del sòlid. Així que el calor és conduit, es provoquen dos tipus d’errors de mesura de la temperatura. Primerament, hi ha un increment o disminució de la temperatura del sòlid. En segon lloc, degut a la presència del adhesiu, hi ha una diferència de temperatura addicional entre el sòlid i la unió termopàrica. Si el sòlid és un metall, aleshores el segon d’aquests efectes és dominant. Per tant, en una primera aproximació, la temperatura del sòlid s’assumeix que és influenciada per la presència del termoparell.

El model analític i l’expressió resultant de l’error de temperatura es deuen a Moffat (Mof 68) Temperature Measurement in Solids: Errors Due to Thermal Resistance between the Thermocouple and the Specimen, personal communication. Consta d’imaginar-se que el cable del termopar està format de dues parts: (1) el segment que està introduit en el sòlid i (2) el segment que està dins el fluid, tal i com es mostra a la Fig. 4.5. La línea discontínua 0-0 representa la superfície. Aleshores Moffat tractà per separat els problemes d’ambdues regions. Aquestes solucions impliquen també la temperatura T 00 en la interfície entre les dues regions. Imposant, però, la condició de flux de calor continu a la interfície 0-0 es pot determinar T00. Un cop és coneguda aquesta temperatura, l’error de temperatura a la unió és calculable fàcilment.

A la regió 1 el cable termoparell es comporta com una aleta situada en un entorn uniforme de temperatura. L’adhesiu aporta una resistència tèrmica

ln( r3 / r2 ) 2πk a

(4.7)

on ka és la conductivitat tèrmica de l’adhesiu, i r2 i r3 són, respectivament, els radis externs del cable termopàric i de l’adhesiu. Llavors, la resistència R 1 pel flux de calor radial dQr/dx des del cable termopar fins al sòlid es:

R1 =

ln( r2 / r1 ) ln( r3 / r2 ) + 2πk i 2πk a

(4.8)

45 Projecte final de carrera

on r2 i r1 representen els radis equivalents en el cas que el termopar tingui aïllant de conductivitat ki.

Si T00 és la temperatura en el plà 0-0, la teoria d’aletes ens facilita la següent expressió de la quantitat de flux de calor que travessa la interfície 0-0 cap a la regió 1.

Q1 =

~ ~ kA (T00 − TS )tanh(k AR1 ) −1 / 2 L R1

(4.9)

~ La quantitat k A és el producte conductivitat-àrea per una conducció axial a través dels cables termopars, i L és la longitud de la sonda en la regió d’estudi. L’ equació (4.9) no té en compte de la transferència de calor a la pròpia unió, però pot ser inclosa utilitzant una expressió alternativa d’aquesta teoria.

La tranferència de calor que travessa el plà 0-0 desde la regió 2 és expressada per una equació similar a l’anterior, però amb canvis a la nomenclatura: R1→R2 i (T00-TS)→ (Tf-T00). A més, la longitud del cable és suficientment llarga com perque tanh≈1.

Q2 =

~ kA (T f − T00 ) R2

(4.10)

L’expressions per Q1 i Q2 s’han d’igualar, del que surt

T00 − TS =

T f − TS ~ 1 + R2 / R1 tanh(k AR1 ) −1 / 2 L

(4.11)

Tornant a la regió 1 i tornant a utilitzar la teoria d’aletes, la temperatura Ttc de la unió del termopar es pot expressar en termes de T 00 com segueix:

Ttc − TS 1 = ~ T00 − TS cosh(k AR1 ) −1 / 2 L

(4.12)

46 Projecte final de carrera

Combinant les equacions (4.11) i (4.12) adequadament, es pot trobar una equació per l’expressió de l’error Ttc-TS

  Ttc − TS 1 1 =   ~ ~ T f − TS cosh( k AR1 ) −1 / 2 L 1 + R2 / R1 tanh(k AR1 ) −1 / 2 L 

(4.13)

Donat un valor a Tf-TS, l’error de temperatura és accentuat per petites profunditats L, ~ grans valors de k A , valors elevats de la resistència tèrmica R1 i petits valors de la resistència R2. Aquestes normes qualitatives semblen físicament raonables.

L’estimació dels errors en la mesura de temperatures de sòlids en règim transitori és una tasca molt més dificultosa que la de règims permanents. Una revisió a les publicacions referides al tema indiquen que un model físic bastant simple comporta a un gran problema matemàtic, el centre del qual és tractar amb equacions de derivades parcials, inclús si l’espai depenent és monodimensional. Les solucions numèriques trobades amb l’ajut dels ordinadors han pogut avançar en aquest camí, emperò quasi bé sempre cada problema s’ha de modelar més o menys individualment, per arribar a un ordre requerit d’estimació d’error.

4.5

TIPUS DE TERMOPARELLS

Molts dels treballs de mesura de temperatura amb termoparells poden fer-se adequadament per un dels molts estandaritzats que existeixen. La utilització d’un d’aquests tipus és sovint recomanable, sempre i quan el suposat acompliment no sigui totalment tant satisfactori com amb una selecció concreta. La raó d’això, és naturalment, que les despeses extres han d’ésser defugides. L’ús de materials comuns és realment disponible amb un estoc ampli de termoparells de característiques conegudes i de qualitat. També, els endarreriments dels coneixements en l’aplicació és molt més gran per aquestes combinacions menys usades.

47 Projecte final de carrera

La funció d’un termoparell pot deteriorar-se sota moltes condicions i aplicacions adverses.

De fet, no s’han trobat termoparells que actuin successivament per a tots els requisits d’ús. A ran d’això, s’ha de tenir un compromís en la selecció del tipus més satisfactori d’entre un conjunt de candidats per a un ús particular. Les limitacions dels termoparells fan desitjable catalogar i descriure les consideracions principalment respecte l’entorn en termes de rang de temperatura, protecció atmosfèrica, materials de contacte i limitacions mecàniques.

4.5.1

RANG DE TEMPERATURA

L’acompliment funcional dels termoparells varia majorment amb la temperatura. Molts materials que són utilitzats a altes temperatures degut a que els seus elevats punts de fusió, són menys satisfactoris que d’altres amb moderats punts de fusió a menors temperatures. Els requeriments d’actuació en un determinat rang de temperatures, a part d’altres factors ambientals, condueix de facto, a una classificació dels termoparells per a usos criogènics, usos generals (temperatures moderades) o aplicacions d’elevada temperatura. Aquesta és una classificació convenient ja que generalment un usuari estarà interessat en només un d’aquests tres rangs i pot generalment escollir el material dels termoparells més adequat.

4.5.2

PROTECCIÓ ATMOSFÈRICA

Els efectes atmosfèrics són importants per a temperatures moderades i altes, degut a que les reaccions químiques i processos de difusió es produeixen ràpidament sota aquestes condicions. Una atmosfera inerta és necessària en molts casos, especialment per a operacions tèrmiques de llarga durada; el buit pot utilitzar-se com a alternativa, però la vaporització dels materials dels termoparells poden arribar a ser notables a temperatures extremes. Alguns dels metalls nobles tenen característiques excelents per a atmosferes oxidants entre mitjanes i altes temperatures, però cap dels metalls és òptim per a ambients reductors. Aquestes restriccions fan necessari l’aïllament del termoparell respecte l’entorn per alguns serveis. Pous de termopars, sondes o cables embeinats són

48 Projecte final de carrera

la solució al respecte. En aquesta última opció, la junta dels cables termopàrics pot estar soldada a la part interior de la funda, o bé estar totalment aïllada mitjançant un aïllant posat entremig.

4.5.3

MATERIALS DE CONTACTE

Els termoparells necessiten sovintment d’un suport mecànic, així com d’un aïllament elèctric. El contacte amb el material a mesurar és sovint un requisit per a l’obtenció d’un valor real de temperatura del material, més que no pas del seu entorn. Tots aquests materials han d’ésser compatibles amb el termoparell per evitar l’error per contaminació progressiva. La contaminació és, moltes de les vegades, el major problema a altes temperatures, on les reaccions químiques prenen part d’una manera important. A més de tot això, els processos metalúrgics com la interdifusió entre metalls pot ocòrrer. També la resistivitat elèctrica dels aïllants disminueix. Aquestes consideracions deuen ser observades en el disseny o aplicació de termoparells per a altes temperatures, particularment en el rang comprès entre 1600 i 1800 ºC. Per a baixes temperatures on materials orgànics o bé plàstics poden usar-se com aïllants, existeixen menors limitacions. Malgrat tot, s’han de vigilar les reaccions químiques en medis corrossius sempre.

4.5.4

LIMITACIONS MECÀNIQUES

Un dels majors avantatges declarats dels termoparells com a sensors de temperatura és el petit tamany que la unió i el cablejat poden prendre. La seva adaptabilitat en les instal·lacions en punts concrets, muntatges petits o bé localitzacions inaccessibles és ilimitada. Hi ha disponible una variabilitat en els dissenys termopàrics; els conductors poden ésser cables tant petits de fins a 0,02 mm. Pel que fa al tamany físic i adaptabilitat per a condicions especials, hi ha menys limitacions amb l’ús de termoparells que amb qualsevol altre tipus de sensor de temperatura.

49 Projecte final de carrera

En entorns mecànics durs, on les vibracions, cops, expansions tèrmiques o la càrrega estructural són factors importants, la instal·lació de termoparells ha de ser dissenyada apropiadament. En general, l’eludició d’aquest tipus de limitacions és similar a la resolució de problemes. Existeixen comptades situacions on el disseny de l’instal·lació es torna molt especialitzat.

Una característica elèctrica d’un termoparell instal·lat pot dependre de limitacions de tamany i d’altres conceptes mecànics, com el temps de resposta a un canvi sobtat de temperatura. El tamany final d’un termoparell és, al final, un compromís entre un curta instal·lació per a l’obtenció d’una ràpida resposta i una instal·lació més abrupte per evitar les vibracions i els cops.

4.6

TERMOPARELLS TIPUS K

Un termoparell de base metall amb el nom comercial de Chromel-P vs Alumel fou desenvolupat per la Hoskins Manufacturing Company i fou emprat per aplicacions industrials durant el període de la Primera Guerra Mundial. Adams (1920) revisà els termoparells en ús en aquest temps i va incloure taules i d’altres dades a aquesta parella.

Lohr (1920), en aquesta línia, desenvolupà en termes de processos de selecció d’aleacions, que el conduiren a una tria de metalls utilitzats avui dia. Les taules de referència foren preparades per Roeser, Dahl, and Gowens (1935) en la National Bureau of Standards, i més endavant per l’equip de Shenker (1955) en la circular de la NBS núm.

561. Jones (1969) convertí les taules NBS a la Escala Internacional Pràctica de Temperatura (International Practical Temperature Scale - IPTS) de 1968, pel rang comprès entre –180 a +1300 ºC en increments d’un grau. Gottlieb (1971) proporcionà dades per a la correcció de la IPTS-48 cap a la IPTS-68.

El termoparell Chromel-P vs Alumel ha estat complementat per parelles similars produïdes per d’altres fabricants. Actualment, aquests termoparells s’adapten a les taules de referència NBS_561 amb una desviació de ±2.2 ºC des de 0 a 277ºC, i ±0,75% a partir de 277ºC i fins a 1260ºC. Són denominats com termoparells Tipus K, fent servir el sistema de classificació aceptat per molts fabricants i pel conjunt d’organitzacions

50 Projecte final de carrera

interessades. L’ús comú del nom original ha persistit, tanmateix, com que ChromelAlumel és sinònim de la designació Tipus K. D’acord amb Starr & Wang (1969), el rang recomanat per termoparells tipus K és generalment el comprés entre 0 i 1260 ºC amb les toleràncies facilitades anteriorment; també es disposa en el mercat de termoparells amb cables de major qualitat, que permeten tenir per al mateix rang de temperatura, una tolerància de desviació igual a la meitat de la tolerància estàndard. En l’annex es troba la taula, de la qual es pot graficar la corba voltatge versus temperatura en la Fig. 4.6 . El potencial termoelèctric varia per sobre el rang de 0 a 1000ºC, però és aproximadament 40 µV/ºC. 60000

f.e.m. (10e-6 V)

50000

40000

30000

20000

0

10000

1600

1400

1200

1000

800

600

400

-10000

200

-200

-400

0

Temperatura (ºC)

Fig. 4.6 Corba dels termoparells tipus K

Roeser i Wensel (1941) presentaren un informe l’èxit en l’intent de trobar equacions de la forma

V = aT + bT 2 + cT 3 per a la corba de calibratge en l’interval de 0 a 300ºC. Una equació basada sobre tres punts de calibració a 100, 200 i 300ºC portaven a errors de 1ºC. El mateix feren per al rang comprès entre –190 i 0ºC. L’equació resultant no portava a un error superior a 2 µV en qualsevol punt.

51 Projecte final de carrera

Els termoparells de tipus Crom-Alumini no poden ésser calibrats i utilitzats sempre amb tant alta precissió i repetitivitat com alguns dels altres termoparells, malgrat això acostumen a ser clarament superiors en altres aspectes si els lleus errors són aceptables.

En algunes aplicacions aquestes petites desviacions poden ser eliminades bé amb un tractament de calor previ de calibració, o bé sense excedir-se d’un límit de temperatura.

La falta de repetiment i les seves conseqüèncioes foren estudiades per varis investigadors, i els seus resultats mostraven una regió de inestabilitat reversible de caràcter metal·lúrgic en els aliatges del Crom entre 300 i 550 ºC. Dins aquesta regió el potencial termoelèctric depèn de la temperatura, el temps d’exposició, i l’historial tèrmic previ del termoparell.

Unaltre efecte que provoca un petit error fou observat per Wintle i Salt (1967) en els seus estudis sobre termoparells de Crom i Alumini. Trobaren que els instruments de mesura fabricats a partir de la mateixa remesa de cables exhibien generalment diferències de l’ordre de ±0,25% de la temperatura indicada. A més a més, les corbes de calibració es desviaven amb forma de punxa, si bé en petites quantitats, i que en un curt interval de temperatura eren com corbes suaus. Aleshores una corba real diferencial no podia ser dibuixada sense primerament plotejar un gran nombre de punts de calibració sobre el rang d’interés. Un límit d’error de ±0,75ºC era acotat per corbes de calibració amb dades separades 20ºC. En vistes d’aquesta condició es podia suggerir que la tolerància específica per a una remesa concreta de cables sería si més no que ± (0,75ºC+0,25% de T) a partir de la calibració obtinguda per una mostra d’aquesta remesa.

Projecte final de carrera

Capítol 5 Introducció a la realitat del conductivímetre per comparació 5.1 5.2 5.2.1 5.2 2 5.2.3 5.3 5.4 5.5

Introducció Equacions bàsiques i contrastació Introducció Problemàtica Comprovació de hipòtesis en el càlcul de la conductivitat Resistència Tèrmica de Contacte Modelització de superfícies Conclusions

Projecte final de carrera

5.

INTRODUCCIÓ A LA REALITAT DEL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ

5.1

INTRODUCCIÓ

En

aquest capítol s’introdueix la

realitat física

del comportament tèrmic del

conductivímetre per comparació, realitat llunyana dels models simplificats que es donen als nombrosos llibres de termodinàmica.

Aquest capítol s’endinsarà amb profunditat

sobre els efectes de la resistència tèrmica que provoquen les interfícies entre peces, creant salts considerables de temperatura en aquestes, dificultant enormement l’obtenció d’un perfil de temperatures extern forçat que pugui assimilar-se a la distribució interna

Perfil intern Perfil extern

Fig.5.1 Diferència entre perfils de temperatura interna i externa.

En el present capítol es proposarà un model de superfícies per a comprendre com es realitza aproximadament el contacte entre dues superfícies. El contacte entre superfícies es una dada molt important per a altres estudis per saber quin percentatge de transmissió de calor es realitza per conducció o convecció gasosa. El model de superfícies proposat en aquest treball és propi, i no pretén ser un patró exhaustiu del comportament en el contacte entre dos cossos, ja que l’estudi profund d’aquest tema suposa tot un món encara avui no totalment conegut, per tant s’ha de prendre el model proposat com un

Projecte final de carrera

model de tendències, que explica com evoluciona la superfície de contacte enfront de l’apropament de dos cossos.

5.2

EQUACIONS BÀSIQUES I CONTRASTACIÓ

5.2.1

INTRODUCCIÓ

S'ha estat experimentant al llarg d'un any amb un conductivímetre per comparació model TCFCM-120. El funcionament d'aquest es basa en fer passar un flux de calor a través de tres mostres. Dues de les mostres són de material i conductivitat coneguda, són les mostres de referència, entre mig de les quals s’hi situa una mostra de conductivitat desconeguda. Les tres peces tenen la mateixa secció amb la finalitat de garantir un flux (W/m^2) uniforme.

1

2

3 Q Fig.5.2 Disposició de peces en el conductivímetre

El conductivímetre per comparació es basa en el fet que per les tres peces es veuen travesades pel mateix flux de calor, aleshores és fàcil determinar la conductivitat de la peça central aplicant la primera llei de Fourier.

La primera llei de Fourier estableix que el flux de calor és proporcional al gradient de temperatura. Per a un estudi monodimensional com aquest, l'expressió de la primera llei de Fourier és :

q& dT = −λ A dx

(5.1)

Projecte final de carrera

Aplicant l'equació de conducció de Fourier (considerant la conductivitat mitjana a cada peça i un gradient lineal per a cada mostra) s’arriben a les següents igualtats:

λ1 . A1 .

∆T ∆T1 ∆T = λ2 . A2 . 2 = λ3 . A3 . 3 ∆x1 ∆x 2 ∆ x3

(5.2)

Experimentalment es mesura el gradient de temperatura prenent les temperatures en els nuclis de les peces mitjançant orificis que estan fets a distancies conegudes.

∆x1

∆x2

∆x3

Fig.5.3 Situació dels orificis per permetre l’alotjament dels termopars

Si es considera que el flux de calor és el mateix, que les seccions de les peces són les mateixes, i la conductivitat a la temperatura mitjana de cada mostra i les distàncies a que es prenen els increments de temperatures son les mateixes, llavors es pot escriure que :

λ1 . ∆T1 = λ2 . ∆T2 = λ3 . ∆T3 On λi és la conductivitat i ∆Ti és l'increment de temperatura en la peça i. La conductivitat que es busca és λ 2, i totes les demés variables son conegudes, per tant, una mesura que se sol fer de la conductivitat tèrmica sol contemplar els dos resultats (superior i inferior) ja que matemàticament mai es troba la igualtat exacta de fluxos entre la peça 1 i 3.

Projecte final de carrera

Així doncs, el valor experimental de la conductivitat tèrmica que s'agafa és el següent.

λ2 =

λ1 .∆T1 + λ3 .∆T3 2.∆T2

(5.3)

On λi és la conductivitat a la temperatura mitjana a que es troba la peça i.

En aquesta senzilla equació i condicions de contorn es basa el conductivímetre per comparació.

En resum, el conductivímetre per comparació necessita un flux uniforme que travessi una columna de peces i la coneixença prèvia de la conductivitat de les dues peces extremes. un cop determinats els increments de temperatura en cadascuna de les tres peces, l'obtenció de la conductivitat és inmediata amb l'equació anterior (5.3).

Projecte final de carrera

5.2.2

PROBLEMÀTICA

Paradoxalment aquest mètode, tot i tenir un fonament tant senzill i una formulació d'equacions també senzilles, l' obtenció de resultats precisos, ha estat fins ara dificultós.

El perquè d' aquesta dificultat, s'ha trobat en la llarga experimentació al llarg d'un any amb el conductivímetre per comparació.

Els problemes principals han estat :

-dificultat en la determinació del gradient de temperatura en cada peça.

-precissió relativa insuficient dels termopars.

-col.locació de les peces.

-manca d'una operativa en la recullida de dades (correció in situ).

• Dificultat en la determinació del gradient de precissió

El càlcul de la conductivitat en conductivímetres per comparació es limita en primer terme al càlcul de gradients de temperatures, per tant, la bondat dels resultats depèn exclusivament en primera instància de la precissió en que es determinin els gradients de temperatura. En particular en aquest estudi, els gradients a determinar es mesuren en longituts relativament petites, les quals comporten a errors no despreciables que dificultaran una bona apreciació del gradient real. Aquest fenomen s’explica detalladament en els capítols 8 i 9.

• Precissió relativa insuficient dels termopars.

Aquest problema afecta directament al problema anterior, ja que la manca de precissió introdueix un error en el càlcul del gradient de temperatura. Tot i que els termopars tenen una precissió considerable, la necessitat d’obtenir la diferència relativa real de temperatures entre dos punts molt propers dificulta molt l’avaluació del gradient tèrmic.

Projecte final de carrera

Encara que la precissió dels termopars pugui ser en error percentil (%) molt petit, per a temperatures elevades, un error de 1º entre dos termopars a la mateixa temperatura de 300º suposa introduir una font d’error en l’avaluació del gradient de temperatures. És per aquest fet que s’ha introduit el sistema de referenciació in situ per al càlcul de la conductivitat tèrmica.

A tall d’exemple s’introdueix el següent cas : Es tenen dues peces de conductivitat 40 Wm -1K-1 i 10 Wm-1K-1 respectivament, ambdues amb un gruix de 25 mm.

Peça A: λ=40

Peça B: λ=10

Si es posen les dues peces en columna sota un gradient de 50º, s’obindria en teoria una distribució de temperatures com la següent :

Peça B: λ=10

Fig.5.4 Distribució teòrica de temperatures.

10º

40º

Peça A: λ=40

Projecte final de carrera

El qué significa que s’obtindría un gradient teòric de 0,4º per mm en el primer tram i 1,6º per mm en el segon.

Donant una longitut de18 mm entre cada forat de lectura de termopars, s’obtindría pel primer tram, una diferència de lectures en els termopars de :

18mm.0,4 º

mm

= 7,2º

I similarment en el segon:

18mm.1,6 º

mm

= 28,8º

El quocient dels quals donen evidentment la relació de conductivitats. λA

λB

=

28,8º =4 7,2º

Si es suposa que es té un une error de 1º per a cada termopar, en el pitjor dels casos es podria obtenir el següent resultat respecte al quocient de increments de temperatura: λA

λ B error

=

28,8 + 2 = 5,92 7,2 − 2

Discrepant un 48 % del valor real.

• Col.locació de les peces

Un problema no tèrmic, encara que no per aixó menys important ha estat la dificultat d’aconseguir un bon centratge de les peces de la columna. El problema es deu en gran part al sistema de premsapeces, el qual una gran majoria de vegades fa rotar les peces i les descentra.

Aquest problema seria fàcilment solventable amb un premasapeces de diferent concepció. (Fig.5.5).

Projecte final de carrera

• Manca d’operativa en la

La operativa que s’utilitzava anteriorment per extreure el

recollida de dades

valor de la conductivitat porta implicita una acumulació d’errors que actualment s’ha solventat amb la referenciació in situ i tractament posterior de dades. Aquests temes són ampliament exposats en el capítol 8 i 9.

5.2.3 COMPROVACIÓ DE HIPÒTESIS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT En un primer contacte amb el conductivímetre, era sabut que els resultats obtinguts fins aleshores per altres investigadors no havien estat satisfactoris. Així mateix, el fabricant, alertava que un error entre les potències obtingudes en les peces superior i inferior havien d'estar per sota el 30 %, d'altre banda s'haurien de desestimar els resultats.

Aquest 30 % dona una idea aproximada de la precissió d’ aquest conductivímetre per comparació.

En les primeres proves que es van realitzar al laboratori es van confirmar les observacions d'altres investigadors : Els resultats obtinguts discrepaven dels esperats, els gradients de temperatures es desviaven entre un 20 i un 30 % dels resultats esperats.

En un primer moment es va creure en la necessitat de comprobar si totes les suposicions i simplificacions fetes en el model eren realment aplicables al conductivímetre. Les simplificacions acceptades són:

-

Conductivitats constants de les peces. La conductivitat de les peces és constant , és a dir :

λ ( x, y, z , T ) = ctant.

-

Flux

uniforme.

Es

considera

transversalment les peces.

que

el

flux de

calor

travessa

Projecte final de carrera

Conductivitat constant La primera simplificació que es fa en el procés de determinació de la conductivitat, és suposar la conductivitat de la peça constant (a la temperatura mitjana de la peça). La conductivitat essencialment per a un metall és funció de la seva temperatura, per tant, la peça tindrà una conductivitat diferent al llarg del seu eix longitudinal. En els càlculs que es realitzen, però,per a determinar la conductivitat s’utilitza sempre la conductivitat a la temperatura mitjana de les mostres, per tant és una simplificació en la que és considera un amitjanament de les propietats conductores de la peça. Es presenten en l’annex 9 algunes gràfiques de diferents materials on s'observa la dependència de la conductivitat amb la temperatura.

Es va desestimar en un principi aquesta simplificació i es va incloure en les equacions una λ variable (lineal) λ=a+b.T. amb la sorpresa que els resultats continuaven essent quasi els mateixos que suposant λ =ctant, amb una diferència de resultat entre λ constant i λ variable de 10-6 unitats. Aquesta curisositat queda revelada en l’annex 4.

Evidentment, la simplificació de λ(T) =ctant era prou bona, posteriorment es va comprobar que la conductivitat versus temperatura, per a la gran majoria de casos varia lentament i linealment en els intervals de temperatura a que es troba cada peça, posteriorment es va arribar a la conclusió, que pel increment de temperatures en que es troben les peces (20 graus màxim) la conductivitat es pot considerar o aproximar perfectament per una recta. λ=a+b.T. En aquest cas, considerant la conductivitat tèrmica com una funció lineal de la temperatura, el resultat que s'obté de la conductivitat incògnita, és exactament la mateixa que havent considerat la conductivitat de la peça a la temperatura mitjana. Per tant la simplificació de considerar λ(T) =ctant, és correcta.

Aquesta afirmació queda demostrada en l’annex 4.

Projecte final de carrera

Flux uniforme Una segona simplificació que es fa en aquest model, i fonamental per al càlcul de la conductivitat, és el que fa referència al flux uniforme de calor a través de les tres peces.

Exigir un flux de calor uniforme al llarg de les peces (sentit vertical), és en difinitiva, exigir una distribució de plans isotèrmics (horitzontals) , és a dir, al voltant de les tres peces i per a qualsevol alçada s'ha de tenir la mateixa temperatura en el pla horitzontal per a garantir la nulitat de flux radial.

Per a aconseguir un flux unidireccional de calor o el qué és el mateix, plans horitzontals isotèrmics (Fig.5.5) al voltant de les tres peces, es poden utilitzar bàsicament metodologies :

1-disposar al voltant de les tres peces una resistència molt més gran que la que suposa la pròpia pila de peces, a la fi de conduir forçosament el flux de calor a través de les peces.

2-disposar al voltant de les peces un dispositiu , que iguali en cada alçada la temperatura de la pila central. Així, al establir un grup de superficíes planes isotèrmiques, el flux de calor, forçosament haurà de prendre la direcció perpendicular a aquests, és a dir atravessant les tres mostres.

Superfícies isotermes

Flux de calor

Plans isotèrmics

dues

Projecte final de carrera

El conductivímetre TCFCM utilitza una combinació dels dos mètodes anteriors, potenciant així l'efecte final. La pila central, amb les tres peces ,està envoltada d'un forn de guarda que s'encarrega de mantenir un gradient lineal de temperatures el més semblant possible a la pila central a la mateixa vegada que les mostres estan envoltades de pols altament aillant (pols de diatomàcees).

Premsapeces

Forn de guarda

Pols aïllant

Fig.5.5 Identificació del forn de guarda.

Aquest forn de guarda, senzillament és una anell exterior a la pila, del qual es pot controlar la temperatura dels seus dos extrems, així es té la possibilitat d'aconseguir un gradient lineal de temperatura a l'entorn de les tres peces : Pila

Forn de guarda

Fig.5.6 Distribució teòrica de temperatures al forn de guarda.

Projecte final de carrera

Entre la pila central, composada per les tres peces, i el forn de guarda es diposita aïllant, per potenciar més l’efecte de conducció del flux en sentit longitudinal. L'aïlllant sol ser pols de diatomàcees, la conductivitat d'aquestes sol èsser de l'ordre de 100 vegades menys conductora que els metalls. En valor absolut, la conductivitat de les diatomàcees és de (0,02÷0,08) W/mK.

La distribució de temperatures al llarg del nucli central s'ha pogut comprobar experimentalment amb una única peça de gran longitut. El resultat ha estat que les distribucions de temperatures interiors segueix una forta tendència lineal com era d'esperar i no s'hi han trobat anomalies. Els resultats sobre l’anàlisis de la peça única estan desenvolupats en el capítol 8.

Com preveu la teoria, en la pila central es tenen dos gradients diferents, un per a la mostra i una altre per les dues referències (Fig. 5.7).

Pila

Forn de guarda

Fig.5.7 Distribució teòrica de temperatures de la pila.

Projecte final de carrera

En realitat s'ha trobat que a més d' aquesta diferència de pendents (tal i com preveu la primera llei de Fourier) es tenen uns salts de temperatura importants en les interfícies (Fig 5.8).

Pila

Forn de guarda Fig.5.8 Distribució real de temperatures de la pila.

Aquest salt de temperatures és degut a que en les interfícies coexisteixen nous fenòmens de transferència tèrmica : conducció gaseosa, convecció i radiació. D'aquests tres nous fenòmens, el que pren més rellevància enfront dels altres és la conducció gaseosa. Fent càlculs (annex 7), s'arriba al següent resultat sobre el paper que hi juga cada tipus de transferència.

Conducció gas

Radiació

Conducció sòlid

Convecció

Fig.5.9 Proporció de transferència calorífica pels diferents mètodes.

Projecte final de carrera

En el gràfic anterior (Fig.5.9) observem com els dos mètodes més rellevants de transferència de calor són les conduccións. Les àrees són proporcionals a les potències (Watts) que travessen les interfícies per a cada tipologia de transferència. Així, tot i tenint la conducció per sòlids una transferència superficial (Watts/m2) molt superior a la conducció per gasos, la superfície de contacte és percentualment molt inferior a la superfície on la continuitat física es veu interrompuda i per tant la transferència total per conducció sòlid-sòlid es veu reduïda dràsticament, havent de compartir protagonisme amb la transferència amb la conducció gasosa. El paper que pren ara la conducció gasosa en la interfície provoca un salt tèrmic en aquesta.

Com es veurà, aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que la conducció gasosa transmet la potència amb menys eficiència que la conducció a través de sòlids, a consequència d'aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder continuar aportant el mateix flux de calor a la interfície que a través de les peces. A grans trets, i abans d'aprofundir en el comportament del flux en les interfícies cal fixar-se en que aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient tèrmic en les interfícies, per tant es preveu que el fenomen de la conducció sòlid-sòlid perdi molta importància en les interfícies. Quan més importància tingui la conducció gasosa en les interfícies de contacte més elevat serà el salt tèrmic. Per tant, es preveu ja, que la superfície real de contacte en les interfícies passarà a tenir un valor molt petit compararat amb la secció total de les peces.

Projecte final de carrera

5.3

RESISTÈNCIA TÈRMICA DE CONTACTE

Un estudi previ en les interfícies de contacte es necessària per a comprendre la forta discontinuitat de temperatures que tenen lloc en aquestes :

Fig 5.10 Interfícies i superfícies de contacte.

Si es consideren ara dues peces sòlides en contacte com s'il.lustra a la Fig.5.10, amb els costats aïllats de manera que el calor flueix únicament en direcció axial, el flux de calor ha de ser el mateix a través de les dues peces sota condicions de estat estacionari. La experiència mostra que el perfil de temperatura actual varia aproximadament com es mostra en la Fig.5.11 La caiguda de temperatura en el el pla de contacte entre ambdós materials és el resultat d'una resistència tèrmica de contacte.

Forta caiguda de temperatura Pla de contacte

Fig.5.11 Distribució real de temperatures al llarg de la columna

Projecte final de carrera

Tot i essent les superfícies de contacte entre les peces molt pulides per aconseguir un gran nombre de punts de contacte i així facilitar el pas de calor per conducció sòlid-sòlid, realment sempre es tenen microcavitats i escletxes entre les peces, fet que comporta a l’existència de punts entre les superfícies de contacte on no es té continuitat física material, per tant , la conducció i convecció gasosa intervenen el l'intercanvi de calor a les interfícies.

Una senzilla modelització de la interfície :

Fig.5.12 Modelització d’interfícies.

La figura 5.12 esquematitza el contacte entre dues peces. En el contacte entre dues superfícies existeixen zones on queda garantida la continuitat física, mentre que altres zones queden mancades d'aquesta continuitat, i per tant la transferència d'energia es realitzen per fenomens de convecció i conducció gasosa.

Les distàncies que separen les discontinuitats entre les superfícies depenen fonamentalment de l'acabat de les superfícies d'aquestes. Per a modelitzar el contacte entre les superfícies es pren una distància mitjana que és representativa de la separàció entre dues superfícies en tots els seus punts on el contacte és inexistent. A aquesta distància representativa l'anomenem Lg . Serà important tenir en compte que Lg<<L, on L és la longitut de dues peces superposades (Fig.5.12).

Projecte final de carrera

El procés de pulit de les superfícies també determina en gran part la proporció de superfícies en contacte. Però és important tenir en compte que la quantitat d'àrea de contacte entre les dues superfícies és molt inferior a l'àrea de discontinuitat física (buits).

A la superfície total o la secció de tranferència de calor l'anomenarem Atot o A, la superfície en la que queda garantida la continuitat física l'anomenarem Acond i la resta de superfície Aconv (Fig.5.12).

Es compleix la següent igualtat :

Atot = Aconv + Acond

(5.4)

fent un balanç d'energia entre els dos material A i B obtenim :

q = λA . A.

T1 − T2 A T2 A − T2 B T − T3 = = λB . A. 2 B ∆x A 1 / hc . A ∆x B

(5.5)

On a la quantitat 1 / hc . A se l'anomena resistència tèrmica de contacte, i hc es denomina coeficient de contacte o coeficient de convecció. Aquest factor pot ser de vital importància en certes aplicacions, degut a les diferents situacions de transferència de calor que involucren unions mecàniques de dos materials.

Cap superfície real és perfectament llisa, i es creu que la rugositat de la superfície pren un paper molt important en la resistència de contacte.

Existeixen dos contribucions principals a la transferència de calor en la unió :

1- La conducció sòlid a sòlid en els punts de contacte.

2- La conducció a través dels gasos atrapats en els espais buits creats pel contacte.

Projecte final de carrera

El segon factor representa la major resistència al flux , ja que la conductivitat tèrmica del gas és bastant més petita que la dels sòlids.

Podem escriure per al flux de la unió tenint en compte la nomenclatura

q=

T2 A − T2 B T2 A − T2 B T2 A − T2 B = + λf . Aconv .

Lg / 2. λA . Acond + Lg / 2. λB . Acond Lg 1 / hc . A

(5.6)

On Lg és l'espesor mitjà de l'espai buit i λf és la conductivitat tèrmica del fluid que omple l'espai buit. A és l'àrea de secció transversal total de les barres. Si resolem hc , el coeficient de convecció s'obté :

hc =

 1  Acond 2λA . λB Aconv ⋅ ⋅ + ⋅ λf  Lg  A λA + λB A 

(5.7)

En la majoria de casos, l'aire és el fluid que omple els buits i λf és petita comparada amb

λA i λB . Si l' àrea de contacte és petita, la major resistència tèrmica resulta de l'espai buit.

El problema principal respecte a aquesta senzilla teoria ha estat determinar els valors efectius de Acond , Aconv i Lg . La determinació d'aquests paràmetres són estremadament difícils de determinar.

La superfície de contacte és un paràmetre determinant per aconseguir una conducció de la calor òptima. Per aconseguir que la superfície de contacte entre dues cares augmenti es pot recòrrer a pressionar una cara contra l'altre a fi i efecte de augmentar els punts de contacte. El conductivímetre TCFCM disposa d'un pertit cargol per pressionar les peces, però bàsicament el seu servei és mantenir les tres peces inmòbils durant el muntatge del procés.

La pregunta que es questiona ara, és determinar com efecte la pressió a que es sotmeten les peces sobre la superficie total de conducció. Es proposa a continuació un model de superfícies, per a poder valorar a grans trets quins poden ser els valors de les àrees.

Projecte final de carrera

5.4

MODELITZACIÓ DE SUPERFÍCIES

Si amb un comparador de precissió s'escaneja una superfície pulida i es recullen diferents mesures aleatòries del relleu de la superfície, s'obtíndrà una base de dades de les característiques d'aquesta, és a dir, de la diferència d'alçades relatives entre diferents punts.

palpador

superfície

Projecte final de carrera

Ara bé, la superfície mesurada amb comparador difereix de la superfície real ja que el palpador no pot seguir realment totes les depressions existents o microcavitats. palpador superfície

Així doncs, la superfície mesurada és el resultat de l’exploració, amb l’ajuda d’instruments de mesura de la superfície real. Aixó explica en part la diferència que existeix entre la superfície real i la superfície mesurada. La diversitat d’instruments i les diferents tècniques poden donar a partir d’una mateixa superfície real, superfícies de mesura diferents.

Si una superfície es talla per un pla normal a ella mateixa s’obté una corba anomenada perfil de la superficie. És a partir d’aquest perfil que s’examinen els diferents defectes de superfície.

ondulació Direcció del perfil geomètric

estries

Escales en µ 200 2 Fig.5.13 Secció aumentada de material pulit

Projecte final de carrera

Els defectes geomètrics es reparteixen en tres ordres de magnitut : n Defectes de primer ordre.

Són els defectes de forma. Per exemple desviacions d’alineació, desviacions de rodonesa, etc. n Defectes de segon ordre.

Es caracteritzen per una línea ondulada. S’obtenen fent l’envolvent superior que passa per la majoria de sortints. Aquesta envolvent és la que aproximadament detecta el palpador del comparador. n Defectes de tercer ordre.

Caracteritzen la rugositat de lasuperfície.

Els defectes de tercer ordre son els defectes constituïts per les estries o sots. Els defectes de quart ordre son defectes aperiòdics.

És necessari estudiar estadísticament el relleu de les superficies amb la finalitat de preveure el seu comportament en el contacte amb una altre superficie.

Els resultats d’una exploració d’una superfície poden ser molt diferents depenent de la exactitut en que es mesura. No és el mateix mesurar la superfície real amb sistemes microscòpics que amb sistemes mecànics. Amb sistemes microscòpics es coneix el relleu de la superfície fins als defectes de tercer ordre, mentre que amb sistemes mecànics només s’arriba a detectar el defectes de segon ordre, i si aquests no són molt acurats, ens quedem amb defectes de primer ordre.

Projecte final de carrera

Si per exemple es fes un histograma de la superfície real d’un disc de vinil, la seva aparença seria semblant a la següent:

superfície disc de vinil

Freqüència absoluta

25

valls

20

crestes

15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

pr of un di t a t

Suposem que tenim una superfície i tres aparells de mesura diferents amb precisions i formes diferents:

1

2

3

El palpador nº 1 mesura quasi exclusivament les

crestes

s’obtindran superficie

de

la

superficie,

només els

per

tant

màxims d’aquella

Projecte final de carrera

El palpador nº 2 (realment seria amb sistemes microscòpics), mesura molt afinadament la realitat de la superfície real, i per tant es tindria

una

lectura

quasi exacta de

la

superfície al detectar els defectes de tercer ordre

El palpador nº 3 captaria les ondulacions dels defectes de segon ordre i i té una precissió intermitja als palpadors nº 1 i nº2.

Si es realitza un histograma real de la superfície (palpador nº 2), es tindria un histograma com ara el següent:

CRESTES

.

VALLS

Projecte final de carrera

Realment però, el que interessa per a aquest estudi són les crestes dels materials, ja que són aquestes les primeres en entrar en contacte amb una altre superfície.

Si es fa un histograma de les crestes de la superficie (palpador nº1)el que s’obté tendeix a la forma :

En principi, s’assimilarà la distribució de màxims del material (crestes) a una distribució normal, distribució millorable per a altres estudis en els quals s’adoptin distribucions diferents a partir de valors reals.

A continuació es proposa el model normal per a la distribució d’alçades de conjunts de crestes d’un material. Evidentment aquest és un model, i si fos necessari, els models poden ser perfeccionats si s’obtenen dades de cada superfície en concret per obtenir-ne la seva distribució d’alçades. Partim d’una secció augmentada de material de superfície pulida :

Projecte final de carrera

A continuació s’associa a cada cresta un molla :

Fig.5.14. Modelització d’ una superfície

En teoria, la distribució d’alçades de les crestes ha de seguir una distribució normal : F(t)

Fig.5.15 Distribució gaussiana

Realment la distribució gaussiana té els seus límits en aquest model, ja que es preveuen models superficials que difereixin substancialment del model Gaussià.

Projecte final de carrera

A partir d’ara, si no es diu el contrari, les distribucions a que es farà referència al llarg d’aquest capítol són referents a les crestes del material. Les crestes són els primers punts del material en entrar en contacte amb una altre superfície, és per aquest fet que ara ens centrarem en les crestes del material.

Per a una superfície pulida es tindrà un rang reduit de la distribució de crestes mentre que per a una superfície poc pulida, el rang o domimi de lectures serà més gran

Superfície molt pulida superfície poc pulida

Fig.5.16 Distribucions d’alçades de diferents qualitats de superfícies

Suposem que tenim dues superfícies ben definides, és a dir, amb la distribució de crestes (Fig.5.14 i Fig.5.15).

El comportament de la superfície és semblant al d'un conjunt de molles de diferents longituts, oposades unes contra les altres (Fig 5.17). Aquest model, encara que en principi es apropiat, ja que els materials en que es treballa son metalls i aquests presenten una llei lineal en el primer tram de la corba elàstica (tensió-deformació), té els seus limits en les deformacions plàstiques degudes a grans pressions que succeixen en microzones. :

Fig.5.17 Apropament de dues superfícies

Projecte final de carrera

El procés de contacte entre dues superfícies és la següent : En un primer moment prenen contacte els punts de les dues superficies que sobresurten més, en el model de les molles, entrerien en contacte primer el punts als quals la suma de les llargades de la molla fos màxima. A partir d'aquest punt, per aconseguir que més punts de la superfície estiguin en contacte serà necessari pressionar les dues superfícies, ja que ara la existeixen molles en contacte i ofereixen resistència a l’aproximació d’ambdues.

Evidentment, quan més es vulguin aproximar les dues superfícies, una major pressió s'haurà d'exercir , ja que un major nombre de molles estarà en contacte.

La llei de Hook estableix :

σ = E .ε

(5.8)

On σ és la tensió aplicada, ε és la deformació unitària i E és la constant de proporcionalitat entre les tensions i les deformacions coneguda com a mòdul dèlasticitat, el seu valor depèn del tipus de materials. Aquesta llei és vàlida únicament en el tram lineal de les deformacions enfront dels esforços.

Alguns valors de E de materials més usuals són :

Material

E, Kg/cm2

Acer

(2.-2,2.).10^6

Coure

10^6

Fusta

10^5

Alumini

0,675.10^6

Ferro fos

(0,75-1,6).10^6

Plàstic de fibra de vidre

(0,18-0.40).10^6

En la figura següent fig 5.18 es modelitza la superfície d'una de les cares de les peces. Xo és l'increment entre el punt més alt de la superfície i el més baix. Com que el model està matematitzat per una corba de Gauss, matemàticament la probabilitat de trobar un punt a

Projecte final de carrera

qualsevol alçada o profunditat de la superfície no és diferent de zero. Evidentment, físicament aquest cas no és així, ja que existeix una acotació per els punts més elevats, i una altre pels punts més baixos. S'ha agafat en aquest cas una distància significativa de Xo que representi la realitat, una aproximació de Xo de 6 desviacions tipus, es a dir , 6σ, distància que inclou el 99.8 % de punts de la superfície.

Per a facilitar el modelatge, es farà interaccionar la superfície real (de molles) amb una superfície totalment plana, la penetració de la qual dins de la superfície modelitzada ve donada pel paràmetre X.

Es prendrà com a referència zero tres desviacions tipus més enllà de la mitjana de les crestes. Per tant el pla zero seria el pla extrem de la superfície.

Fig.5.18 Modelització

Ara, per aplicar l'equació de Hook és necesari conèixer prèviament quin valor de la superfície de contacte tenim per a cada x donat. Evidentment per x=0→ S=0 , i per x=Xo → S=So. Tot i que el model que es proposa aquí només serveix per els primers moments de contacte, ja que només es contempla la conexió entre crestes i no de la superfície total, conexió per a la qual s’hauria d’arribar a deformacions plàstiques.

Projecte final de carrera

La modelització prèvia que hem fet de la superfície mitjançant la corba de Gauss a partir de les dades experimentals

del

relleu

de

la

superfície ens donen una funció matemàtica f(t). Per a una distància arbitrària x a partir del punt més allunyat

de

la

superfície,

l’àrea

donada sota la corba fins al punt X es la probabilitat de trobar crestes més petiques que la distància X , Aquesta probabilitat ve donada per l'àrea continguda

fins

aquest

Fig.5.19 Àrea i probabilitat

punt

(Fig.5.19).

Per exemple, si x=0, la probabilitat de que una distància o en la modelització, una molla toqui la superfície totalment plana és del 0,14%. si X=X0=6σ la probabilitat de que aquesta mateixa molla toqui el pla teòric és del 99.86 %.

Evidentment, aquesta àrea sota de la funció, representa la totalitat de la superfície que està en contacte de les dues superfícies (perfectament plana-modelitzada). Per tant, la funció que representa la superfície de contacte en funció de la distància de penetracio x és la següent :

S ( x) = So.∫ f (t ).dt X

0

(5.9)

On So és la superfície total que formarien totes les crestes del material i f(x) la funció de probabilitat.

Projecte final de carrera

fig 5.20 Probabilitat a profunditat X.

Per fer el calcul de l'expressió de la llei de Hook , serà necessari integrar la expressió anterior :

F ( x) = ∫ f (t ).dt

(5.10)

S ( x ) = So. F ( x )

(5.11)

X

0

Llavors:

Matemàticament, resulta : si x=0

→ S(x) ≈ 0

si x=X0 → S(x) ≈ S0 Plantejem ara la llei de Hook per al model proposat en la fig 5.20.

σ = E.ε

(5.12)

Projecte final de carrera

Aquesta llei és vàlida per a cada molla del model proposat.

Fig.5.21. escurçament d’un molla

Tenim que ε és per a cada molla, el seu escurçament dividit per a la seva longitut inicial, és a dir :

ε=

X X0

(5.13)

Per a poder aplicar la llei de Hook al conjunt de molles s'escull una ε representativa de l'escurçament de totes les molles.

ε=

X X0

(5.14)

N ( x) = E.ε S ( x)

(5.15)

N ( x) X = E. S ( x) X0

(5.16)

S'han de donar ara els valors correponents als valors mitjans de l'equació anterior. El valor de X 0 , tenint en compte que és la longitut mitjana de les molles del model en estat de repòs.

El valor de

X

és el valor representatiu de l'escurçament mitjà de totes les molles al ser la

superfície modelitazada penetrada per una superfície plana perfecte una distància x. Si totes les molles tinguessin la mateixa longitut, el valor representatiu de l'escurçament de les molles seria evidentment x, ja que totes elles prendrien contacte amb la superfície

Projecte final de carrera

teòricament plana al mateix temps i totes minvarien amb el mateix valor. En el model presentat les longituts de les molles presenten però una distribució de campana de Gauss, per tant, no totes les molles prenen contacte en el mateix moment amb la superfície teòrica, per tant, s'ha de fer una estimació de quina és la disminució de la longitut mitjana total de les molles per a una penetració x donada.

En la Fig.5.22 per a una penetració de x donada, la mitjana representativa de les longituts totals, és la mitjana (centre de gravetat de l'area sota la corva fins al punt x ).

X

x Fig. 5.16

Per tant

∫ t. f (t ).dt ∫ f (t ).dt X

x=

0

X

(5.17)

0

Si x és el valor mitjà de les profunditats en referència a la molla més llarga, llavors el tram mitjà comprimit és x − X .

El mateix efecte tenim amb el valor promig de les molles ( X 0 ) per a una distància x donada. El valor de X 0 serà doncs la distància entre el punt de base les molles i el punt

Projecte final de carrera

de mitjana de longituts de molles entre 0 i X. Es a dir :

∫ t. f (t ).dt = 6σ − ∫ f (t ).dt X

X0

0

(5.18)

X

0

Substituint tots els valors en

N ( x ) = E.

(x − X ) ⋅ S ( x) X0

(5.19)

S'arriba a : (Tenint en comte que Xo comença a la base (6 sigma)

X   t. f (t ).dt   X ∫   0 ⋅E  ∫ f (t ).dt  ⋅ S 0 ⋅  x − X  0  f (t ).dt   ∫   0 N ( x) = X ∫ t. f (t ).dt 6σ − 0 X ∫ f (t ).dt

(5.20)

0

I substituint per f(t) :

(t−µ ) X   − 2.σ 2 2 t . e .dt   µ ( t − ) X ∫  1  − 2.σ 2 ⋅E .dt  ⋅ S 0 ⋅  x − 0X (t − µ )2 ∫ e  − σ . 2π  0  2.σ 2   e dt . ∫0   N ( x) = 2 (t − µ ) 2

∫ 6σ −

X

0

∫

t.e

X

0

e

−

−

2.σ

(t−µ ) 2.σ 2

2

.dt

2

.dt

(5.21)

Projecte final de carrera

I desenvolupant igualment per a la superfície, obtenim :

 (t−µ )2   X   −  1 2.σ 2  S ( x) =  ∫ .dt .So ⋅e   0 σ . 2π   

On N(x) : força a aplicar per aconseguir penetrar una profunditat x So

: secció total

E

: mòdul d'elasticitat

µ

: profunditat mitjana

σ

: desviació tipus de les mostres.

La tipologia general de la funció anterior (5.20) és la següent :

10

N(x) 8

6

4

2

0 0

2

4

6

8

10

x Fig.5.23. Esforç versus desplaçament

(5.20)

Projecte final de carrera

La tipologia de (5.22) pren la forma :

1

S(x)/S0

0 0

2

4

6

8

10

X

Fig.5.24. escurçament d’un molla

El significat de les gràfiques anteriors està plenament d'acord amb el que cabria presuposar del comportament del contacte entre dues superfícies. Respecte a la primera gràfica (Fig.5.23) el comportament és l'esperat, per a penetracions o aproximacions petites entre les superfícies de l'ordre de 1σ la força que s'ha de fer per aproximar dites superfícies és manté constant a quasi zero, aquest comportament és d'esperar ja que els contactes en aquest primer instant són pocs. a mesura que la distància de penetració va augmentant, l'esforç puja subtadament. A partir d'un punt (aproximadament 6 σ) l'esforç que s'ha de fer per continuar aproximant les dues superficies és lineal. Aquest comportament s'ha de donar, ja que ha partir d'una certa pressió, la superfície total de contacte roman quasi constant, aleshores la llei de Hook és vàlida macroscòpicament i els increments de longitut passen a ser proporcionals a les tensions.

Respecte a la segona gràfica (Fig.5.24) el resultat també és l'esperat amb el model, a partir d'una certa distància de penetració, la superfície contactada per una altre superficie totalment plana convergeix cap a la superfície o secció total So.

Projecte final de carrera

L'equació (5.21) que ens relaciona N(x) amb x hauria de convergir amb la llei de Hook per a valors suficienment grans, ja que a partir d'una x elevada (x>6σ) els termes següents convergeixen cap a les següents expressions :

X

∫ f (t ).dt

lim

x → + inf

X

lim

x → + inf

→ 1

(5.23)

→ 3σ

(5.24)

0

∫ t.e

−

( t − µ )2 2.σ 2

.dt

0

X

∫e

−

(t − µ ) 2 2.σ 2

.dt

0

Llavors, l'expressió assoleix la forma :

N ( x) =

S 0 .( x − 3σ ) S .( x − 3σ ) ⋅E = 0 ⋅E 6σ − 3σ 3σ

(5.25)

Reordenant termes :

N ( x) ( x − 3σ ) = E. S0 3σ

(5.26)

Equació que concorda amb la llei de Hook i per tant convergeix amb la teoria macroscòpica.

Aquest estudi preliminar es necessari si es vol conèixer previament quina totalitat de la superfície de dues peces està en contacte per a determinar

Acond . Una utilitat

important, però poc fiable és fer una estimació de l'esforç a que s'han de mantenir les peces a fi i efecte d'assegurar un contacte mínim. Aquest estudi tant sols intenta modelitzar a petits trets el comportament en el contacte entre dos superfícies. Les mancances del model poden ser moltes, com per exemple la no contemplació de la

Projecte final de carrera

plastificació puntual de microzones on la pressió pot superar la pressió del material de fluència. En aquestes zones es donaria un contacte superficial del quasi el 100 %, invalidant en part la distribució estadística donada. Tot i tenint en compte aquestes deficiències, el model ens ajuda a representar en una primera aproximació aquest comportament.Un cas teòric a aplicar al model donat pot contrastar-se amb dades reals extretes de diferents assajos.

Considerem dues superficies de 20 cm2 amb una distribució de superfície de (0-0,6) mm. σ=0,1 i E=2100000. i la mitjana 3. S'obté :

x

N(Kg) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

S(%) 0 1,0709 5,4207 15,696 36,458 75,3911 145,181 266,304 471,191 810,014 1358,91

E=2100000 sigma=1

0 0,05159 0,1205 0,2117 0,3311 0,4859 0,6847 0,9374 1,2553 1,6514 2,14

P (Kg/cm2) Pefec (Kg/cm2) 0 0 0,053545 103,789494 0,271035 224,925311 0,7848 370,713274 1,8229 550,558744 3,769555 775,788228 7,25905 1060,17964 13,3152 1420,43951 23,55955 1876,80634 40,5007 2452,50696 67,9455 3175,02336

Superf=20 cm2

12

1600

120

1400

10

100 80

1200 Superfície(%)

60

N(x)

1000 800 600

40

8

20 0 0

1

2

3

4

5

6

6 4

400 2

200 0

0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

x

Fig.5.25 Esforç a compressió

0,1

0,12

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

x

Fig.5.26 Superfície de contacte

0,12

Projecte final de carrera

1

10

100

1000

1

2,25 2 0,1

inc(N)/inc(S)

% superfície

1,75 1,5 1,25 1

0,01

0,75 0,001

0,5 0,25 0 0

200

400

600

800

1000 1200 1400 1600

0,0001

Pressió (Kg/cm2)

N(kg)

Força(Kp)

Força(Kp)

Fig.5.27 Superficie vs esforç

Fig.5.28 Guany marginal

Per a validar aquest resultat és necessari contrastar-ho amb els resultats obtinguts amb diversos assajos realitzats a laboratori. El nostre model en que la superfície de contacte entre dues superfícies pulides les superfícies de les quals presenten una distribució normal i que la rugositat en aquesta sigui de varis ordres de magnitut inferior als diàmetres d'aquestes, prediu que per aconseguir superfícies de contacte porcentualment petites (1%) es necessiten pressions elevades 23 Kg/cm2, i per arribar a contactes de un 2% de superfície es necessitarien uns 70 Kg/cm2 . Per a percentatges més elevats de contacte superficial (15%), s'haurien de sotmetre les peces unes compressions impracticables de 40.000 Kg/cm2, evidentment, el material ja hauria passat pel punt de fluència. Per tant el model no és aplicable a partir de pressions elevades, o el qué és el mateix, a partir de percentatges d'area de conducció elevades.

Per tant, és important tenir en compte que aquest model és vàlid només en el tram lineal (compressions-deformacions), i s'ha de tenir especial atenció en considerar que aquest deix de ser vàlid en quan les pressions que s'obtenen sobrepassen el límit de fluència del material. Quan s'arriba a aquest punt, que realment s'inicia per zones microscòpiques on s'ha rebasat el límit de fluència, és produeix una plastificació i localment pren contacte un elevadíssim percentatge d' àtoms, millorant així la conducció. Evidentment, si fos de vital importància assegurar un contacte molt elevat, tant sols caldria exposar les dues peces a

Projecte final de carrera

la compressió de fluència de la mostra de menor tensió de fluència, així ens asseguraríem un contacte superficial elevat. Però el principal problema en que ens trobem és que els metalls en que s'està treballant presenten una tensió de fluència elevada, de l'ordre de uns quants milers de Kg/cm^2 , tenint en compte que les seccions tenen uns 20 cm^2, les pressions a donar serien massa elevades i es necessitarien premses descomunals. Ens centrarem doncs únicament en les tensions que produeixen deformacions lineals.

Per tant, aquest model prediu que un gran increment de pressió no comporta a una millora apreciable (en el tram lineal compressions-deformacions) de conducció a partir d'una area efectiva de contacte de un 1%.

Ara comprovarem si efectivament l'àrea de contacte és percentualment tant petita com prediu el nostre model :

Fig.5.28

Anem a determinar de quin ordre és l'area de conducció, per tant , en la comprovació següent suposarem que tant la peça A com la B estan fetes amb el mateix material.

Podem escriure doncs

λA ⋅ A ⋅

T2 − T2 B T2 B − T2 A T2 B − T2 A = λA ⋅ Acond ⋅ + λgas ⋅ Aconv ⋅ ∆x Lg Lg

(5.27)

Projecte final de carrera

Si despreciem la part deguda únicament a convecció obtenim el següent resultat :

% Acond < 100.

T2 − T2 B Lg .

T2 B − T2 A ∆x

(5.28)

Que ens acota superiorment el percentatge de superfície en contacte.

Per al valor de

Lg

podem recòrrer a determinar l' estat de les superfíces amb un

comparador, per poder determinar el valor mitjà d'aquest.

Comprovem de quin ordre és aquesta superfície introduïnt valors característics obtinguts a laboratori : T2-T 2B

= 10

T2B-T2A

= 5

x

= 2 cm

Lg

= 0.001 cm

L’expressió (5.28) dóna un valor de % Acond < 0.1 fet que concorda amb el model , ja que preveu una superfície de contacte ínfima.

Projecte final de carrera

5.5

Conclusións

La conclusió final sobre aquest apartat és la següent :

Per a tenir una bona conducció en les interfícies, el millor és aconseguir un bon poliment de les superfícies, si aquestes presenten concavitats o convexitats, els punts de contacte entre ambdues poden arribar a ser del tot insignificants (<<0.01 %). En el cas de presentar la superfície punts no pulits que sobresurtin, afectaran aquests punts que sobresurten als seus inmediats veïns impossibilitant-los de mantenir un contacte amb la superfície contrària i afectant greument la conducció. En els millor dels casos, si aconseguim un bon acabat de les superfícies l'alçada dels punts d'aquesta han de seguir una normal, ja s'ha vist que tot i així la superfície de contacte és ínfima, però no despreciable. Per tant s'ha d' aconseguir un bon puliment de les superfícies de contacte i pressionar-les durant els assajos.

Tenint en compte que a partir de pressions relativament baixes s’aconsegueix el millor increment en la conducció i que per arribar a un percentatge de superfície notable s’han de practicar compressions, un disseny que presenti un equip que permeti grans compressions és innecesari, realment donant una pressió mecànica manual és suficient, ja que el rendiment marginal (fig.5.28) és molt més important a compressions baixes.

S'ha vist la importància del fenomen de la convecció. La convecció transmet la calor amb més dificultat que la conducció, per tant, al participar ambdues (convecció + conducció) en la transferència de calor en les interfases, el salt de temperatura a la interfase serà forçosament major que en el cas d'existir continuitat únicament sòlida, ja que ara , la resistència que ofereix la interfície és major, per tant, per a garantir un mateix flux de calor s'ha d'incrementar el salt tèrmic.

Quan més elevat sigui el percentatge de convecció entre les dues superfícies (enfront la conducció) , més gran serà el salt tèrmic. Aixó és degut a que al treballar en paral.lel els dos sistemes, i al tenir un coeficent de transferència més baix la convecció que la conducció, quan major importància té la convecció més gran ha de ser el salt de temperatura a fi i efecte de mantenir la potència constant al llarg de la peça.

Projecte final de carrera

La solució òptima seria poder aconseguir que en les interfícies, la conducció fos el més gran possible enfront a la convecció, ja que quan més important és el paper de la conducció, més fàcilment la potència travessa la mostra, d'aquesta manera s'aconsegueix millorar l'objectiu de tenir un flux de calor axial el més gran possible enfront de pèrdues laterals.

Per aconseguir un paper més important de la conducció enfront de la convecció es pot recòrrer a diferents solucions : pulir les superficies de contacte, col.locar líquid conductor a la interfície, pressionar mínimament les peces... peró totes elles no evitaran una caiguda sobtada de temperatura a la interfície ja que el percentatge en aquesta que careix de contacte directe és molt elevat, per tant qualsevol sobreesforç en aquesta direcció careix de sentit i s’han de buscar en consequència altres mètodes per aconseguir l’objectiu inicial: un flux longitudinal de calor i el més gran possible.

Projecte final de carrera

Capítol 6 Mètodes d’aïllament 6.1 6.2 6.3

Introducció Mètodes d’aíllament Conclusions

Projecte final de carrera

6

MÈTODES D’AÏLLAMENT

6.1

INTRODUCCIÓ

L’aillament tèrmic és un dels requisits que ha de cumplir un bon conductivímetre per apropar-se a les condicions d’idealitat. Aquest aïllament tèrmic, a més, s’ha de cumplir només en una determinada direcció.

L’aïllament tèrmic ha estat per a l’enginyeria un dels reptes a vèncer per aconseguir un mateix objectiu, minimitzar la transferència de calor. En la industria alimentaria , en la construcció i empreses de tots els àmbits s’utilitzen diverses tipologies d’aïllament tèrmic per

aconseguir

diversos

objectius

(estalvi

energètic,

refredaments

elevats,

escalfaments ...). En l’última decada s’han aconseguit aïllants millors i més barats, tot aixó gràcies a la recent investigació en un dels camps en plena expansió en el món de l’enginyeria, els aïllants. Un dels exemples més importants aconseguits en aquesta dècada han estat la dels materials anomenats aerogels, d’una densitat comparable a la de l’aire i conductivitat tèrmica extremadament baixa.

Per a un conductivímetre, l’aïllament tèrmic és extremadament important, ja que es pretén obtenir un flux de calor en una direcció determinada (axial) i anul.lar les fuites de calor radials. Per aconseguir aquest objectiu d’aillament es pot recòrrer a vàries tècniques, desde materials de baixa conductivitat, fins a sistemes més sofisticats com forns de guarda que dificulten la transmissió radial de calor.

Projecte final de carrera

6.2.

AÏLLAMENTS

La transferència de calor es pot produir per tres fenòmens,: conducció, radiació i convecció. Coneixent la naturalesa de la transfència de cadascuna d’elles es poden realitzar diferents metodologies per a frenar el trasvàs energètic de flux de calor.A continuació es farà una breu explicació de la metodologia emprada per a reduir cadascun dels trasvassos d’energia.

•Aïllaments per a la conducció.

L’expressió de la primera llei de la transferència de calor ens diu que el flux de potència tèrmica és proporcional algradient de temperatures, essent la constant de proporcionalitat la conductivitat tèrmica del material.

q dT = −λ ⋅ Ax dx

(6.1)

I que en el cas particular de paret plana amb conductivitat constant l’expressió de flux de potència es tradueix a la senzilla igualtat següent :

Ta Tb

λ

d

Fig.6.1

q ∆T Ta − Tb = −λ ⋅ = −λ ⋅ Ax ∆x d

(6.2)

Projecte final de carrera

En el cas de tenir un seguit de materials conexes (disposició en sèrie) es té la següent igualtat per al trasvàs energètic.

Ta

q Ta − Tb = −λ ⋅ da db dc Ax + + λ A λ B λC

Tb λA

λB

λC

(6.3)

Fig.6.2

Similarment a com passa en els corrents elèctrics, la diferencia de temperatures entre els extrems del seguit de peces representaria el diferencial de potencial, els termes di/λ i serien les resistències que composarien el circuit i el flux de calor per unitat de superfície correspondria a la intensitat elèctrica.

Per a una distribució en forma cil.líndrica, es té una transmissió de potència com la següent :

Do

To Ti

qr = Di

Fig.6.3

Ti − To  Do  ln    Di  2πλL

(6.4)

Projecte final de carrera

En el cas de tenir un seguit de superfícies cil.líndriques conexes, el flux de calor radial que s’establiria degut a l’increment de temperatura entre els dos extrems seria : To

Ti

qr = n

Ti − To  D  ln  n   Dn −1 

∑ i =1

(6.5)

2πλ n L

Fig.6.4

En el cas del conductivímetre, la tipologia cil.líndrica és la més escaient per prendre el model d’aïllament lateral, i simplificant el problema, es pot associar en un primer model la (Fig.6.4) on una de les capes estaria composada per a un aillant, és a dir d’un material

amb una λ baixa. Les altres capes representarien el recipient on està contingut l’aillant i altres parts del conductivímetre, en el centre estaria disposada la columna de peces.

Com es pot veure en l’equació (6.5) l’aillant juga el paper de resistència dins d’una cadena de resistències, és a dir forma part del sumatori de resistències per conducció.

qr = n

∆T Ti − To = n  D  ln  n  ∑ Ri =1  Dn −1 

∑ i =1

2πλ n L

(6.6)

Projecte final de carrera

L’expressió d’ aquesta resistència és la següent :

 D  ln  n  D Rn =  n −1  2πλ n L

(6.7)

Analitzant-la s’arriba a les següents conclusions :

• El pes de la resistència tèrmica de l’anell d’aïllant

α

és inversament proporcional a la conductivitat tèrmica de l’aillant, per tant interessa evidentment un material amb conductivitat baixa.aïllant

Fig.6.5

λ

•La resistència es proporcional al logaritme de la relació de diàmetres que forma l’anell. Per tant, una relació gran entre diàmetres comporta a un

α

aillament elevat. Com que el diàmetre intern de l’aillant està acotat per la geometria del propi conductivímetre, només es pot jugar amb el diàmetre exterior, fet que condiciona que no

Do/Di

s’utilitzin gruixos elevats d’aïllant per què tant sols s’aconsegueix augmentar la resistència en l’ordre del logaritme de la relació de diàmetres, el que significa, a grans trets, que grans augments en gruix d’aïllants no comporten a grans resistències d’aïllament tèrmic.

Fig.6.6

Projecte final de carrera

Com a conclusió d’aquesta primera part dedicada a la conducció, es té que per a tenir una gran resistència a la conducció és necessari tenir una material aillant (baixa conductivitat) amb un gruix de paret suficient, però no per que aquest tingui un gruix molt elevat, s’aconseguiran efectes aillants proporcionals.

•Aïllaments per a la convecció.

La convecció és el mecanisme de transferència de calor característic de les interfícies, normalment sòlid-fluid. La fòrmula que permet calcular la potència transmesa per aquest medi, entre una superfície a temperatura To i un fluid a T∞ és :

q = hc A(T0 − T∞ )

(6.8)

Aquesta agitació pot ser espontània a causa de la varició de la densitat amb la temperatura, o afavorida mitjançant l’aportació d’energia externa, el primer cas es denomina convecció natural i el segon convecció forçada.

La convecció es tracta d’un fenomen complex, que s’inicia amb la conducció a través de les mol.lècules del fluid adherides a la superfície del sòlid. Posteriorment aquest procés continua gràcies al moviment dels paquets de mol.lècules que afavoreix la potència tèrmica transmesa.

Per a l’estudi de la convecció s’utilitzen paràmetres adimensionals que defineixen el comportament del sistema. Aquest paràmetres són :

•Nre. De Reynolds

Re L =

•Nre. De Prantl

Pr =

ν α

ρvL µ

Relació entre les forces d’inèrcia i les forces viscoses.

Quocient entre mecànica i tèrmica

les

difusivitat

Projecte final de carrera

•Nre. De Grashof

Gr =

βg (To − T∞ ) L3 ν2

•Nre. De Nusselt

Nu =

hc L λ

La seva arrel cuadrada té un paper anàleg, en el cas de la convecció natural, al desenvolupat pel ReL en la convecció forçada. β és el coeficient de dilatació volumètrica.

A partir d’aquest paràmetre s’obté el coeficient de convecció.

Així mateix, és molt freqüent trobar-se a la pràctica amb fenòmens de transferència de calor en que intervenen l’aigua i l’aire, en aquest cas és possible fer l’estudi mitjançant les fòrmules simplificades per a aquests dos elements. En general aquestes fòrmules proporcionen valors més ajustats i són en general, d’ús més senzill. A més existeixen fòrmules simplificades per altres fluids, fòrmules que són la síntesi de la interpolació de multitut d’experiencies elaborades per investigadors.

En el cas del conductivímetre, la convecció quasi no intervé en la transferència energètica, ja que entre les peces i el conductivímetre no existeixen pràcticament volums de fluids, a més, tenint en compte que les experiències es poden realitzar en el buit, la transferència per convecció queda totalment anulada. Així doncs, a efectes pràctics no es contempla la convecció, ja que aquesta ja no apareix com a forma de trasvàs energètic, o dit d’una altre manera, l’objectiu d’anul.lar aquesta transferència s’aconseguit a priori al ser aquesta ja quasi nul.la.

Projecte final de carrera

•Aïllaments per a la radiació.

Suposem que tenim dues plaques metàl.lique molt properes, amb un coeficient d’emisivitat ε i a diferent temperatura, la transferència de calor per unitat de superfície establerta entre ambdues degut a la radiació ve donada per la següent eqüació:

Tm

Tn

σ (Tm4 − Tn4 ) q = 1 1 A0 + −1 εm εn

(6.9)

On σ és la constant de Boltzman i el seu valor és 5,67E-8 W/m2K4,ε1 i ε2 són les esmisivitats corresponents a cadascuna de les plaques.

Per a simplificar el desenvolupament següent suposarem que les plaques tenen la mateixa emisivitat εm=εn=ε, llavors la igualtat anterior pren la forma següent :

εσ (Tm4 − Tn4 ) q ε = = σ (Tm4 − Tn4 ) A0 2 −ε 2−ε

(6.10)

Projecte final de carrera

Si col.loquem una placa entre mig de les dues anteriors i mantenim les temperatures de les plaques extremes : Les equacions de transferència passen a ser : Tm

T1

Tn

q ε ε = σ (Tm4 − T14 ) = σ (T14 − Tn4 ) A1 2−ε 2−ε

(6.11)

Sumant les dos expresions últimes obtenim :

(T 4 − Tn4 ) ε q = σ m A1 2−ε 2

(6.12)

Amb el que s’obté : q A q ε = σ (Tm4 − Tn4 ) = 0 A1 2−ε 2

Fig.6.7

(6.13)

Per tant, posant una placa metàl.lica intermitja a les del primer cas, rebaixem la transferència energètica per radiació fins a la meitat.

En el cas de posar s plaques intermitges entre les dues a temperatures T m i Tn amb el mateix ε, s’obté el següent resultat :

Tm

T1

T2

Ts-1

...

s plaques intermitges Fig.6.8

Ts

Tn

Projecte final de carrera

Les equacions de transferència energètica són : q A

= s

ε ε ε ε σ (Tm4 − T14 ) = σ (T14 − T24 ) = ... = σ (Ts4−1 − Ts4 ) = σ (Ts4 − Tn4 ) 2−ε 2−ε 2−ε 2−ε

(6.14)

Sumant les s+1 últimes expresions obtenim :

Tm4 − Tn4 q ε = σ A s 2−ε s +1

(6.15)

Com a resultat obtenim que si entre dues plaques d’emisivitat ε s’en situen un nombre s, la potència que es transmet és s+1 vegades més petita que en el cas de no existir plaques

Aquest cas és considerant com de plaques infinites, o el que és el mateix, que la distància que separa les plaques sigui molt més petita que la dimensió de les plaques.

En el conductivímetre, si es volgués apantallar la radiació, seria lògic fer-ho disposant de plaques cil.lindriques al voltant de les peces . Per tant, la reducció de potència degut a l’apantallament per plaques s’ha de prendre com a aproximació de l’ordre de magnitud.

Quan més juntes estiguin les làmines cil.lindriques i més estret sigui el gruix total que ocupent totes elles, més ens acostarem al càlcul anterior (6.15).

apantallament per radiació

Projecte final de carrera

D’aquest apartat es conclou que l’aillament que és produiria en un apantallament per làmines cil.lindriques, seria aproximadament el que ens dona la següent expresió:

q 1 =K A n: plaques n +1

(6.16)

Per tant, on s’aconsegueix una reducció més important de flux de calor és en les primeres plaques,

Potència transmesa (%)

reducció de perdues per radiació 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

nº de plaques

Fig.6.9 Reducció de pèrdues per apantallament

Anem ara a comparar dos dels sistemes d’aïllaments, l’aïllament per conducció i l’aillament per apantallament a la radiació.

Partirem d’entre dues plaques planes d’alumini paraleles situades a 10 cm de distància (ordre de magnitut del problema tractat en aquest estudi) i

300 K

Tsup

cadascuna d’elles a diferent temperatura, una d’elles a 300 K (25ºc)i l’ altre a Tsup. L’aïllament

10 cm

per conducció es basarà en un material de baixa conductivitat,

mentre

que

l’aïllament

per

apantallament tèrmic consistirà en extreure l’aire d’entre les plaques i situar-hi un conjunt de pantalles paraleles d’alumini.

Fig.6.10

Projecte final de carrera

Les solucions proposades són les següents :

A

B

300 K

Tsup

300 K

Tsup

λ

Plaques d’alumini

aillant

Fig.6.11

La potència transmesa pel tipus d’aillament A,sense tenir en compte el signe, és :

q T sup− 300 =λ 0,1 A

(6.17)

Mentre la potència transmesa pel tipus d’aillament B, es del tipus :

q ε T sup 4 − 300 4 = σ A 2−ε n +1

(6.18)

On n és el nombre de plaques interposades. És d’especial interés per l’objectiu d’aquest apartat escriure (6.18) en el format :

q ∆T = A ℜ

(6.19)

Projecte final de carrera

Per poder apreciar de que depèn la “resistència tèrmica” en el cas de la radiació.

Desenvolupant :

q ε T sup 4 − 300 4 ε (T sup 2 + 300 2 )(T sup + 300)(T sup − 300) = σ = σ A 2−ε n +1 2−ε n +1

(6.20)

Reordenant termes :

(T sup − 300) n +1

q = A

(T sup 2 + 300 2 )(T sup + 300).

(6.21)

ε σ 2 −ε

Per tant la resistència tèrmica serà l’expressió :

ℜ=

n +1

ε (T sup + 300 )(T sup + 300). σ 2 −ε 2

(6.22)

2

En el que es comprova que la resistència tèrmica és proporcional al nombre de plaques que s’interposin, i inversament proporcional al coeficient d’emissió.

És especialment important veure que l’efectivitat de la resistència tèrmica depèn de les temperatures, ja que els termes de temperatures del denominador penalitzen molt en altes temperatures la resistivitat tèrmica, i per tant es preveu que la funció d’apantallament tèrmic sigui efectiva a temperatures moderades peró no a altes temperatures. Aixó implicarà que en el disseny d’aillament és molt important saber en quin rang de temperatures es mourà l’experimentació per determinar quin mètode d’aillament escollir. A grans trets, ja es preveu que per a zones properes al nucli s’hauria d’utilitzar material aillant, i per les zones més externes (més fredes) s’hauria d’utilitzar apantallament tèrmic.

Projecte final de carrera

Per a comparar els dos mètodes, de forma aproximada, es calcula quan s’estableix un mateix trasvàs de potència pels dos mètodes d’aillament, igualant les dues expresions (6.17) (6.18) s’obté :

q T sup− t inf ε T sup4 − T inf 4 = =λ σ A ∆x 2−ε n +1

(6.23)

Desenvolupant el segon terme

q T sup− t inf =λ = A ∆x

(T sup− T inf) n +1 (T sup2 + T inf 2 )(T sup + T inf)

(6.24)

ε σ 2−ε

Simplificant

λ = ∆x

(T sup2 + T inf 2 )(T sup + T inf) n +1

ε σ 2 −ε

(6.25)

Si es vol comparar el nombre de plaques necessaries per tenir el mateix efecte que un material de conductivitat λ que separa dues plaques situades a 10 cm de distància amb la placa més freda a 300 K i plaques de emisivitat ε=0,1, es té la següent expressió :

n=

(T sup2 + 3002 )(T sup+ 300)0,1ˆσ ⋅ 0,1 − 1 λ

(6.26)

Projecte final de carrera

Que representada gràficament s’ obté :

nº plaques equivale nts

100 lamda=0,1 lamda=0,05

10

lamda=0,02 lamda=0,01

1 300

500

700

900 Tsup

Fig.6.12

Gràfica de la qual se n’extreuen les següents conclusions : •Per a baixes temperatures, les plaques a posar que equivalen a 10 cm. de gruix d’aillant entren dins un rang assequible (2-10 plaques).

•Per a temperatures moderades, amb un petit nombre de plaques (2-10 plaques) s’aconsegueixen aillaments tant importants o més com els aconseguits per aïllaments tant sofisticats com poden ser els aerogels.

•Per a temperatures elevades de Tsup i aillaments elevats es necessita una gran quantitat de plaques paraleles (60-100 plaques), fet que queda limitat per l’espai fixat inicialment pel recinte aillant de 10 cm. Així mateix també s’ha de valorar l’eficiència d’un aillant en els 10 cm. d’espai disponible.

Per tant, els camps d’utilització de cadascun dels dos mètodes dependrà del rang de temperatures que ens trobem i de l’aillament que es vulgui donar. Per a importants gradients de temperatura els mètodoes d’aillament més adequats seran els material aïllants (aerogels, pols de diatomàcees...) mentre que per a salts més moderats de gradients i per a temperatures amb valor absolut més baixes, és interesant pensar en

Projecte final de carrera

adoptar un mètode per apantallament tèrmic. La combinació dels dos mètodes promet els millors resultats.

A continuació es presenten diverses configuracions de sistemes d’aïllament, combinant l’apantallament (radiació) i aillament material. Aquestes configuracions es comparen amb el cas de tenir una peça cil.líndrica sense aillament (cas 8).

Els càlculs de potència s’han realitzat de forma simpificada ja que el que es pretén es comparar si existeix una substancial millora emprant un determinat mètode. El nostre objectiu és determinar quin tipus de disseny aillant obté millors resultat.

Per a obtenir un resultat orientatiu de quina és la millor configuració, s’ha calculat per diversos dissenys d’aillaments, quina potència es dissipa a través d’ells, evidentment, el millor serà aquell disseny que dificulti més el trasvàs d’energia calorífica.

Les variables usades per aquests càlculs, s’els li ha donat un valor realista del que es té en realitat , tant per el que fa a la conductivitat de les diatomàcees com per a constant d’emisivitat o al coeficient de convecció.

Els càlculs realitzats sobre aquests diferents dissenys estan inclosos en l’annex nº 8.

Projecte final de carrera

Les diferents configuracions de prototipus candidates a millor disseny són els següents :

Fig.6.13

El cas 8, desprovist de qualsevol aïllament és el cas de referència per poder valorar la resta de casos. Ha tots els models se’ls li ha calculat quina potència dissipen si la columna interior està a 773 K i exteriorment es té una temperatura de 293 K, els demés paràmetres (diàmetres, conductivitats, emisivitats ...) estan definits en l’annex 8.

Projecte final de carrera

Els valors obtinguts de les potències dissipades per a cada model, són els següents :

250

224 193

W/m

200 150 100

94,66 76,72

70,28

64,24

60,61

CAS5

CAS7

50 0 CAS1

CAS2

CAS3

CAS4

CAS8

Fig.6.14

Com s’aprecia, el cas 8 és el cas amb més dissipació energètica ja que no està provist de cap tipus d’aïllament, les restants tipologies estan provistes d’aillament, aíllaments que redueixen la potència dissipada, sense ser valors excepcionalment importants.

Tots els model proposats tenen en comú dues plaques metal.liques que conformen el recinte en el qual s’ha de dissenyar el model òptim per garantir un aillament el més gran possible. Aquest recinte està acotat per les parets 2 i 7.Aquest recinte finalment està envoltat per una cúpula de vidre amb la qual s’aconsegueix aconseguir el buit en tot l’interior.

El cas 4, contempla només el recinte anterior sense introduir parts aillants en el seu interior, evidentment, aquest és el que fa pitjor la funció d’aïllant.

Els demés casos són fets per una combinació de diferents sectors dins d’aquest recinte en el qual es disposa de subsectors amb aillant i altres amb càmeres de buit confinades entre plaques metal.liques.7

El cas 3, la seva eficàcia depèn en gran part de la proximitat de les plaques d’alumini que s’utilitzen per apantallar, quan més properes estiguin aquestes, més s’aproximaran a la geometria de plaques planes, amb la inmediata consequència que s’obtindran millores en l’aíllament proporcional al nombre de plaques.

Projecte final de carrera

El següent gràfic presenta la potència dissipada versus la proximitat de les plaques :

aïllament

potè ncia perduda [w /m ]

95 90,7

90

85 81,8 80 76,7 75

73,97 72,53

70 0

5

10

distància entre làm ines [m m ]

Fig.6.15

El model 5 és el model en que tota la capacitat del recinte s’ha utilitzat pols aillant per actuar com a aïllant, la reducció de potència dissipada respecte el cas 8 és important, amb una reducció de potència dissipada del 71 %.

Els casos 1 i 2 son diferents propostes de combinacions d’aillament (apantallament + pols diatomàcees), fent una funció prou bona però encara no òptima.

El més important a observar en la gràfica (Fig 6.14) anterior, és el disseny amb menys pèrdues (73 % d’aillamet respecte cas 8), aquest és el model 7, i és una combinació dels mètodes d’aillament amb aillant i amb apantallament tèrmic, disposant en les zones de més gradient tèrmic material d’aillament (pols de diatomàcees) i en la zona exterior, amb menys gradient tèrmic s’utilitza aillament per apantallament tèrmic. Aquest fet confirma la teoria introduida en aquest apartat, en el que s’ha demostrat que l’aillament per apantallament és millor en petits gradients de temperatura i per a temperatures baixes en valor absolut. Per tant, el millor disseny de conductivímetre és una combinació del dos mètodes, en el qual l’apantallament tèrmic té la seva màxima eficiencia a baixes temperatures i l’aillament amb pols és més rendible a altes temperatures .

Projecte final de carrera

6.3

CONCLUSIONS

Despres d’analitzar les diverses tipologies d’aillaments amb diferents dissenys, s’ha arribat a la conclusió que el millor model proposat per a aconseguir un aillament òptim, és disposar d’una primer recinte amb material aillant i a continuació un recinte amb plaques metàl.liques que actuin per apantallament tèrmic. Aquest resultat ha estat comprobat i contrastat amb diferents models en el capítol anterior, i, efectivament els millors resultats es donen per la distribució descrita.

Plaques metal.liques Columna central

aíllant

Fig.6.16

L’aillament proposat d’altes prestacions és especialment útil per incorporar en conductivímetres que no disposen de forn de guarda, i per tant la seva efectivitat per a la determinació de la conductivitat depèn fonamentalment de les garanties d’aillament.

Un punt especialment important a tenir en compte és que l’aillament a obtenir per a la conducció està acotat, és a dir, els valors mínims de conductivitat que podem disposar en el nostre conductivímetre ve donat per la naturalesa de l’aillant emprat. Els millors aillants coneguts fins ara (aerogels) estan en l’ordre de 0,02 Wm-1K-1. A efectes pràctics aixó suposa que al tenir un recinte limitat per disposar de l’aillament, el poder d’aillament emprant aillants està limitat.

Projecte final de carrera

En el cas exposat en el capítol anterior en el que es disposava de dues plaques a diferents temperatures

Tinf

Tsup

10 cm

Fig.6.17

l’aillament màxim actual que es pot aconseguir, és de :

A Tinf

Tsup

λ

q A∆T

=λ⋅ x

1 1 W = 0,02 ⋅ = 0,2 2 ∆x 0,1 m K

(6.27)

aillant

Fig.6.18

Per tant, disposant del millor aillament que ens permet la tecnologia actual se’ns dissiparien 0,2 Watts per metre quadrat de superfície per cada grau de diferència entre ambdues plaques. Suposant una diferència de 50º entre plaques s’obtindria una perdua energètica de 10 watts per metre quadrat.

Encara que aquesta potència sigui minsa, és la potència mínima que es pot arribar mitjançant aquesta tecnologia. Per tant, queda preguntar si és possible disminuir encara més aquests 10 W/m2.

Projecte final de carrera

Si recorrem a la segona possibilitat d’aillament per apantallament tèrmic suposant emissivitats iguals per a tots els components: B

300 K

Tsup

q T sup 4 − 300 4 ε = σ A 2−ε n +1

(6.28)

Plaques d’alumini Fig.6.19

Suposant que es tinguin 350 K de T sup, desenvolupant .

q 350 4 − 300 4 19,5 = 5,67 E − 8.0,05 = W / m2 A n +1 n +1

Per tant, per aquest cas, es veu que posant aproximadament tres plaques, s’aconsegueix una efecte aillant de la mateixa qualitat que amb l’aillament més sofisticat que es coneix, i superar-lo ampliament posant més plaques entre les dues plaques extremes, tot dependrà del nombre de plaques que càpiguen en el recinte, suposant que hi poguèssim posar aproximadament 19 plaques intermitges (5 mm de separació entre cadascuna d’elles), s’aconseguiria rebaixar la potència fins a 1 Wm-2K-1, el que suposa una millora respecte el màxim possible mitjançant aïllants importantíssima.

El principal avantatge doncs de l’apantallament tèrmic és que la seva eficiència es pot fer en teoria tant gran com es vulgui, ja que la potència dissipada es inversament proporcional al nombre de plaques que es col.loquin en el recinte. Això però està acotat

Projecte final de carrera

realment per a la tècnica, ja que el nombre de plaques possibles (en el cas real cil.lindriques) dependrà de la mínima proximitat que la tècnica permiti col.locar.

En segon lloc anotar que el grau de rendiment de l’apantallament tèrmic depèn dels rangs de temperatura en que es mogui l’experimentació. Com s’ha demostrat anteriorment, a altes temperatures l’apantallament tèrmic deixa de tenir efectivitat i passa a tenir protagonisme l’aillament per conducció. Per tant, combinant las característiques més favorables de cadascuna de les dues tipologies d’aillament s’aconsegueix un recinte amb l’ efecte aïllant òptim.

119 Projecte final de carrera

Capítol 7 Els errors experimentals 7.1 7.2 7.3

en

les

mesures

Introducció a les medicions Nocions generals sobre la precisió i els errors de les medicions Exemple d’aplicació en els termoparells

120 Projecte final de carrera

7.

ELS ERRORS EN LES MESURES EXPERIMENTALS.

7.1

INTRODUCCIÓ A LES MEDICIONS

S’anomena medició el procés que consisteix en obtenir, mitjançant experiments, la relació numèrica entre una magnitud subjecta a medició i un cert valor adoptat com a unitat de referència.

El número que expressa la relació entre la magnitud subjecta a medició i la unitat de mesura, s’anomena valor numèric de la magnitud subjecta a medició (Pre 80); aquest valor pot ser enter o fracció, però és un número abstracte. El valor de la magnitud, adoptat com a unitat de mesura, s’anomena dimensió d’aquesta unitat.

A l’escollir les unitats de mesura es necessari adoptar el factor de ‘comoditat’, és a dir, el resultat de les medicions s’ha d’expressar, tant com sigui possible, per un valor ‘còmode’, ni molt gran ni molt petit.

Si la unitat de medició és representada en forma d’una mostra concreta, anomenada mesura, aleshores el procés de mesura consisteix en comparar directament la magnitud subjecta a medició amb la mesura, com l’expressió material de la unitat de medició.

En aquells casos quan la comparació directa és impossible o és difícil de realitzar, la magnitud que ha de ser mesurada es transforma en qualsevol altra magnitud física, relacionada unívocament amb la que ha de ser mesurada i més còmode per a la medició.

Per exemple, la medició de la temperatura mitjançant un termòmetre de líquid, es redueix a la determinació de la longitud de la columna de líquid expressada en divisions de l’escala, mentre que la medició de la temperatura amb un termòmetre de resistència, es redueix a la determinació de la resistència elèctrica.

Segons el procediment usat per a obtenir el valor numèric de la magnitud cercada, les medicions es poden dividir en dos tipus: directes i indirectes. directes Medicions indirectes Tipus de medicions segons el procediment

121 Projecte final de carrera

Medicions directes Es consideren directes aquelles medicions, el resultat de les quals s’obté directament de les dades experimentals. En aquest cas, el valor de la magnitud cercada s’obté comparant-la directament amb les mesures o mitjançant instruments de medició graduats segons les unitats respectives.

A l’efectuar medicions directes, el seu resultat s’expressa en les mateixes unitats que la magnitud subjecta a medició.

Les medicions directes són una varietat molt difosa de medicions tècniques. Entre les mateixes figuren les medicions de longitud mitjançant un metre, de la temperatura a partir d’un termòmetre, de la pressió amb un manòmetre, etc.

Medicions indirectes A les medicions indirectes pertanyen les que el seu resultat s’obté a partir de les medicions

directes

d’altres

magnituds enllaçades,

mitjançant

una

dependència

determinada, amb la magnitud cercada.

En una forma general, la magnitud cercada ‘x’ pot ésser determinada mitjançant una certa dependència funcional y=f(x1,x2,x3,. ..), on x1,x2, x3,... són els valors de les magnituds que es mesuren directament.

Per exemple de medicions indirectes, tenim la determinació de despesa de gas, líquid o vapor a partir del salt de pressió.

Les medicions indirectes s’utilitzen en la tècnica i en les investigacions científiques en aquells casos on és impossible o molt difícil la medició directa de la magnitud cercada, o quan la medició indirecta permet obtenir uns resultats més precisos.

Segons la destinació de les medicions i l’exactitud amb que s’han d’efectuar, aquestes es divideixen en medicions de laboratori (precises) i medicions tècniques.

122 Projecte final de carrera

Per principi de medició s’entén el conjunt de fenòmens físics sobre els quals es fonamenten les medicions, per exemple, la medició de la temperatura utilitzant l’efecte termoelèctric. Per mètode de medicions s’entén el conjunt de procediments relacionats amb l’aplicació dels principis i els medis tècnics de medició.

El procès de medició, les maneres de realitzar-lo i els aparells usats, depenen de la magnitud que ha de ser mesurada i els mètodes i condicions de medició existents. A l’efectuar medicions termotècniques, s’usa ampliament el mètode d’avaluació directa, el mètode de comparació amb la mesura i el mètode de zero. d’avaluació directa Mètodes de medicions

de comparació de zero

Mètode d’avaluació directa Per mètode d’avaluació directa s’entén el mètode de medició en el qual el valor de la magnitud que ha de ser mesurada es determina directament pel dispositiu de lectura de l’aparell de medició d’efecte directe, per exemple, la medició de la pressió amb un manòmetre. Aquest és el mètode més difós sobretot en condicions industrials.

Mètode de comparació El mètode de comparació amb la mesura és quan la magnitud subjecta a medició es compara amb la magnitud de la mesura reproduible, per exemple, la medició de la f.e.m. del termòmetre termoelèctric, o de la tensió de la corrent contínua en un compensador, comparant-la amb la f.e.m. d’un element normal. Aquest mètode s’anomena sovint mètode de compensació.

123 Projecte final de carrera

Mètode de zero S’anomena mètode de zero aquest que l’efecte de la magnitud subjecta a medició s’equilibra totalment pel defecte de la magnitud coneguda, de manera que, com a resultat, el seu efecte recíproc es redueix a zero. En aquest cas l’aparell emprat només serveix per a enregistrar el moment en que s’assoleix l’equilibri, és a dir, el moment quan la seva indicació es redueix a zero. Per si mateix, l’aparell no mesura res i per això s’anomena així.

7.2

NOCIONS GENERALS SOBRE LA PRECISIÓ I ELS ERRORS DE LES MEDICIONS.

Al mesurar qualsevol magnitud, encara que ho fem amb molta cura, sempre obtindrem un resultat quelcom alterat. Les causes d’aquesta alteració poden ésser diferents. Les alteracions poden originar-se degut a l’ús de mètodes i aparells de medició defectuosos, la inconstància de les condicions de medició i una sèrie d’altres causes. Les alteracions que es produeixen a l’efectuar qualsevol tipus de mesura, determinen els errors de medició, és a dir, la divergència del resultat de la medició respecte el valor veritable de la magnitud mesurada.

L’error de medició pot expressar-se en unitats de la magnitud mesurada, o sia, en forma d’error absolut que és la diferència entre el valor obtingut durant la medició i el valor veritable de la magnitud mesurada. L’error de medició també pot expressar-se en forma d’error relatiu de medició, el qual és la relació amb el valor exacte de la magnitud mesurada. Però si parlem amb exactitud, aquest valor romandrà sempre incògnit, desconegut, i tan sols podrem trobar l’avaluació aproximada de l’error de medició.

L’error resultant d’una medició permet revelar les xifres dubtoses del valor numèric d’una magnitud, que s’obté com a resultat de la medició. El valor referit s’arrodoneix d’acord amb l’ordre numèric de la xifra significativa de l’error, o sia, el valor numèric del resultat d’una medició ha de finalitzar en una xifra del mateix ordre que el valor de l’error. A l’arrodonir els valors de les medicions es recomanable aprofitar les regles dels càlculs aproximatius.

Els errors de medició, segons el caràcter de les causes que els originin, solen classificarse en errors aleatoris, sistemàtics i greus.

124 Projecte final de carrera

a) aleatoris

errors instrumentals errors deguts al mètode de medició Tipus d’errors

b) sistemàtics

(segons les causes)

errors subjectius errors deguts a l’instal·lació errors metòdics

c) greus

Errors aleatoris Per error aleatori s’entén l’error de medició que varía casualment al mesurar repetits cops una mateixa magnitud. Aquests errors són provocats per factors que no es poden determinar en el procés de medició i sobre els quals és impossible exercir influència. La presència d’errors aleatoris pot sostenir-se només en realitzar medicions repetides de una mateixa magnitud i amb la mateixa cura. Si al repetir les medicions s’obtenen valors numèrics iguals, això no vol dir que no hi han errors aleatoris, sino que són insuficients tant la precisió com la sensibilitat del mètode o els aparells de medició.

Els errors aleatoris son inconstants respecte al seu valor i signe. No poden determinar-se per separat i provoquen la inexactitud del resultat de medició. Emperò, mitjançant la teoria de la probabilitat i els mètodes estadístics, aquests errors poden ésser determinats i caracteritzats quantitativament en el seu conjunt, d’una manera tant més segura com major sigui el nombre d’observacions realitzades.

125 Projecte final de carrera

Errors sistemàtics Per error sistemàtic s’entén l’error de medició que roman constant o varia d’una manera regular al mesurar repetides vegades una mateixa magnitud. Si els errors sistemàtics són coneguts, aleshores, si tenen valors i signes determinats, aquests poden corregir-se.

S’anomena correcció el valor d’una magnitud –homònima a la que es medeix-, el qual s’afegeix al valor obtingut durant la medició amb l’objectiu d’eliminar l’error sistemàtic.

S’ha de notar que la correcció que s’introdueix en les indicacions d’un aparell de mesura s’anomena correcció de la indicació de l’aparell; la correcció que s’afegeix al valor nominal de la mesura s’anomena correcció del valor de la mesura. En alguns casos s’utilitza el factor de correcció, o sigui, el nombre pel qual es multiplica el resultat de la medició amb la finalitat d’eliminar l’error sistemàtic. Generalment es distingeixen les següents varietats d’error sistemàtic: els errors instrumentals, els errors deguts al mètode de medició, els errors subjectius, els errors deguts a la instalació i els errors metòdics. a) Per errors instrumentals de medició s’entenen els que depenen dels errors dels aparells de medició emprats. A l’utilitzar aparells de precisió elevada, els errors instrumentals, provocats pels errors dels instruments, poden eliminar-se introduint correccions. Però els errors instrumentals dels medis tècnics de medició d’ús comú no poden ésser eliminats, ja que a aquests medis tècnics, al comprovar-los, no se’ls proporciona correccions. b) Per error del mètode de medicions s’entén el que succeeix a partir de la imperfecció del mètode usat. Tal error surgeix amb freqüència a l’usar nous mètodes, així com a l’aplicar equacions aproximatives que representen, sovint, una aproximació inexacta de la dependència real entre les magnituds. L’error del mètode de medicions s’ha de prendre en consideració a l’avaluar l’error dels aparells, i en particular, el del dispositiu de mesura, i en molts casos, també l’error del resultat de les medicions. c) Els errors subjectius (típics de les medicions no automàtiques) s’originen a conseqüència de les particularitats individuals de l’observador, per exemple, degut al retard o a l’avançament a l’enregistrar el moment de qualsevol senyal, la interpolació incorrecta al llegir les indicacions dins dels límits d’una divisió de l’escala, a causa del paralatge, etc...

126 Projecte final de carrera

d) Els errors d’instalació surten a partir de la incorrecta instalació de l’agulla de l’aparell de medició en la marca inicial de l’escala, o a la imperfecta instalació del propi aparell. e) Els errors metòdics de les medicions son els que es determinen a partir de les condicions (o la metodologia) de medició d’una magnitud ( la pressió, la temperatura...) i no depenen de l’exactitud dels aparells usats. L’error metòdic pot aparèixer, per exemple, degut a la pressió excessiva de la columna de líquid en la línia de connexió, si el aparell mesurador de la pressió s’instala més amunt o més avall on hi ha aquesta pressió, i al mesurar la temperatura amb un termòmetre termoparell juntament amb un aparell de medició, degut a les condicions d’intercanvi tèrmic en el medi ambient on es vol mesurar la temperatura, o degut al canvi de temperatura de l’objecte, provocada pel mateix termòmetre en el procés de medició.

A l’efectuar medicions, sobretot en les precises, es necesari tenir en compte que els errors sistemàtics poden alterar considerablement els resultats de les mateixes. Per això, abans de començar a mesurar s’han d’assenyalar totes les possibles fonts d’errors sistemàtics i prendre mesures per eliminar-les o determinar-les. Malgrat tot, pràcticament és impossible establir unes regles absolutes per a detectar i eliminar els errors sistemàtics, doncs hi han massa variats els procediments per a mesurar magnituds diferents. A més, al realitzar mesures no automàtiques, la seva precissió depèn molt dels coneixements i l’experiència de l’experimentador. Hi ha, però, algunes regles generals per eliminar els errors sistemàtics.

Per tal de precisar les variacions possibles dels errors instrumentals, cal sotmetre els aparells a un control sistemàtic.

Per eliminar els errors d’instal·lació, tant a l’efectuar medicions precisions com tècniques, cal un curós i adequat muntatge dels aparells de medició. Si les causes son les pertorbacions exteriors (temperatura, moviment, vibració), aleshores la seva influència s’ha de tenir en compte.

127 Projecte final de carrera

Errors greus Per error greu d’una medició s’entén aquell que supera molt l’error estimat en unes condicions determinades.

Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, el resultat de la medició pot alterar-se no només a causa dels errors abans esmentats, sino també a un error d’unaltre tipus, el qual només apareix en règim dinàmic, i per això s’anomena error dinàmic dels aparells de medició. Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, l’error dinàmic pot aparèixer degut a la incorrecta elecció dels aparells de mesura o que aquests no corresponen a les condicions de medició. A l’elegir l’aparell es necessari conèixer les seves propietats dinàmiques, així com la llei de variació de la magnitud que ha de mesurar-se.

Per regla general, les medicions precises es repeteixen diferents cops i es fan amb aparells d’alta precisió. Repetint les medicions es pot reduir la influència dels errors aleatoris sobre el resultat final, i per tant, elevar l’exactitud de les mateixes. S’ha de tenir en compte, però, que inclús en condicions favorables, l’exactitud de la medició no pot superar l’exactitud de control dels aparells.

A l’utilitzar mesures tècniques utilitzades ampliament en la indústria, i sovint en condicions de laboratori, s’utilitzen aparells d’ús comú, als quals no se’ls hi proporciona correccions.

7.3

EXEMPLE D’APLICACIÓ EN ELS TERMOPARELLS

A continuació i aplicat particularment a aquest projecte s’analitza la dispersió de la lectura de temperatures degut a la imprecisió dels termopars i del posicionament d’aquests.

En primer lloc es consideren les següents hipòtesis: els termopars donen una lectura per a una certa temperatura segons una normal centrada en el valor nominal donat pel fabricant i una certa desviació tipus denominada σtermo. Així mateix també es pren com a hipòtesi que segueix una distribució probabiística normal de Gauss la posició que ocupa

128 Projecte final de carrera

l’extrem del termopar respecte l’eix de la peça, aquesta distribució té una desviació tipus σpos.

Per a una lectura en un cert termopar i intervenen doncs dos focus d’errors i poden ser gràficament visualitzats com segueix:

Punt B

T T(A) Distr. B

α Distr. A

Punt A

Fig. 7.1 Desviacions aleatòries en els termoparells

En el gràfic anterior s’observa l’acumulació d’errors degut a la imprecisió pròpia del termopar i del posicionament exacte del termopar.

129 Projecte final de carrera

En primer lloc, el termopar no queda exactament col.locat en el punt desitjat, i el taladre també té un cert valor de desviació. En definitiva, on es pren la temperatura de la peça serà en un punt A dins d’una distribució de probabilitats A. Això significa que s’està prenent una temperatura d’un termopar a una coordenada que realment es desconeix. La distribució de probabilitats d’aquest posicionament se li assigna una desviació tipus de valor σpos. A més de l’error del coneixement de la posició on exactament es pren la temperatura, es té un error adidional de lectura del termopar. Si es fixa la posició de la peça perfectament i es determina la temperatura d’aquell punt, aquest valor també presentarà una incertesa degut al marge de tolerància d’aquell termopar. Aquest error existeix tot i encara que el termopar estigui cal.librat i no s’ha de confondre amb l’error de temperatura del tercer apartat. L’error de precissió de temperatura del termopar sol ser molt més petit que l’error degut a un descentament d’aquest. A la lectura del termopar se li assigna un valor de desviació tipus σtermo.

L’anàlisi matemàtica dóna com a resultat total una desviació tipus per l’error conjunt de precisió de termopar i de posicionament :

2 σ total = σ termo +

σ 2pos cos 2 (α )

(7.1)

Finalment i com a ressolució d’aquest punt , la solució per atenuar l’efecte d’aquestes imprecisions irradicables és la de la repetició de mesures a fi i efecte de tenir la màxima mostra de resultats i per tant un rang de confiança del valor de la conductivitat més reduït.

Però el veritable error que més afecta en l’actualitat a la realització pràctica d’experiments en el conductivímetre, és l’error sistemàtic existent entre un termoparell i unaltre, com queda evident en el Capítol 8, i la seva eliminació relativa segons la proposta explicada en el Capítol 11.

130 Projecte final de carrera

Capítol 8 Verificació experimental conductivímetre TCFCM N-20 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Introducció a les experiències Les primeres experiències Experiències amb càlcul de Qmàx i Qmín El factor diàmetre La repetitivitat en les experiències La pila única i la referenciació de termoparells

del

131 Projecte final de carrera

8.

VERIFICACIÓ EXPERIMENTAL DEL CONDUCTIVÍMETRE TCFCM N-20.

8.1

INTRODUCCIÓ A LES EXPERIÈNCIES

En aquest capítol s’explica les diferentes experiències que s’han realitzat, a partir d’uns objectius que es cercaven en cada una d’elles. Aquests objectius anaven evolucionant, intentant trobar un camí a partir del qual es podría crear una operativa sistemàtica que fés obtenir resultats cada cop més precisos.

Es parteix d’unes condicions de funcionament suposades, que s’han de comprovar, i per tal de comprovar, altrament dit avaluar, una certa millora, és imprescindible definir un cert valor relacionat amb la precisió o qualitat de les mesures, i conèixer en quin rang es troba aquest valor en l’estatus inicial de partida.

Altrament, i suposant que aquest valor (o valors) relacionat amb la precisió pot ésser millorable, s’han de buscar les suposades causes per les quals no ho és, i comprovar la seva implicació en el resultat. Aquestes causes van des de la temperatura de l’aigua de refredament, el cabal d’aigua circulant, el tipus de termoparell, l’alineació de les peces, les magnituds de les peces (alçada, diàmetre, forats...) i d’altres. També es planteja que el sistema d’aïllament de la columna central no és la correcta mitjançant pols de diatomea, i sigui més útil fer el buit dins el forn de guarda. En resum, es dubta de tot i tot és suscitable de provocar l’error més important.

Com més endavant es comprova en l’explicació de les experiències realitzades, també les peces facilitades pel Departament de certs materials, com l’Inconel, són dubtoses de pertànyer a la mateixa naturalesa, i per tant, òbviament no obtenim el resultat esperat segons les nostres taules de conductivitats a diferentes temperatures.

Per tal d’eliminar i comprovar les diferents causes d’error, s’ha utilitzat tant l’experimentació (que es el que més tracta aquest capítol), així com l’anàlisi paramètrica (Veure capítol 9) o el càlcul per simulació numèrica (tractat en el capítol 10).

A mesura que el nombre d’experiències creix, es veu la necesitat de crear una metodologia de recollida de dades, que es la presentada més àmpliament en l’annex.

132 Projecte final de carrera

També, i a mesura que s’han anat fent les experiències, s’han trobat millores que no afecten al resultat, però si a la comoditat o a d’altres factors, que han anat formant una sèrie d’objectius de segon terme.

8.2

LES PRIMERES EXPERIÈNCIES

Primer de tot, s’han comprovat que els termoparells que pertanyen al Forn de Guarda, anomenats des de TC7 fins a TC12, corresponen a les lectures observades en el lector.

Efectivament, si toquem amb un filferro calent les puntes termopàriques que eixen en la superfície del Forn de Guarda, veiem que el valor donat en mV en l’aparell creix per moments. Comprovem que les posicions de cada termopar corresponen a les indicades en el manual: el TC7 és el situat en la posició més elevada, i el TC12 és el més inferior del grup de 6 termoparells localitzats en la part superior. Altrament es comprova que el termoparell anomenat TC15 Lower Guard Heater Controller és el localitzat en la part més inferior de la superfície del Forn de Guarda.

La mateixa prova es fa similarment, als termoparells connectats en les posicions TC1 a TC6 (que correspondran a aquells termoparells que s’hauran d’introduir en la pila central), així com els TC13 Main Heater Controller i TC14 Auxiliary Heater Controller, que són els que fixaran la temperatura superior i inferior de la pila central.

La primera prova en que es passa a tractar les lectures dels termoparells (donades en mV) a valors de temperatura (en K o ºC) la fem a temperatura ambient. Sense muntar cap dispositiu especial, i deixant els extrems dels termoparells connectats a l’aire, obtenim unes temperatures semblants a la temperatura ambient. Per passar de la lectura electrònica a un valor de temperatura, podem fer-ho per dos camins diferents: a) taules b) fòrmula de regressió Cal comprovar si són semblants aquestes dues maneres de fer-ho, i en quin marge de temperatures es pot aplicar tant una com l’altra. Per principis, és preferible sempre la utilització de taules, facilitades pel proveidor o fabricant dels elements termopàrics, o bé les que proporcionen Associacions com l’ ASTM, abans que emprar mètodes a partir

133 Projecte final de carrera

d’una equació de regressió, ja que aquesta no s’adaptarà fidelment a la corba en tots els seus punts (ja que necessitaríem una equació de infinits termes). Però sovint, aquestes fòrmules de regressió poden resultar útils pel seu ús, ja que amb una petita calculadora programable o bé un senzill programa informàtic, permet obtenir ràpidament el valor cercat només introduïnt el valor d’entrada, i estalviar la feina de fer la regressió lineal entre dos punts de la taula (amb el perill que això pot comportar de cometre errors manuals d’operació).

El fabricant OMEGA de termoparells, facilita en el seu manual “The Temperature HandbookTM” tant una taula de conversió, com una equació de regressió. Si s’estudia en el rang de temperatures que es preveu es farà servir en les experiències de 200 ºC a 250 ºC, es pot comprovar la linealitat de la funció en aquest rang, així com la divergència que comet la corba versus la taula. Els valors en taula corresponen a: ºC

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

200

8138

8178

8218

8258

8298

8338

8378

8418

8458

8499

8539

210

8539

8579

8619

8659

8699

8739

8779

8819

8860

8900

8940

220

8940

8980

9020

9061

9101

9141

9181

9222

9262

9302

9343

230

9343

9383

9423

9464

9504

9545

9585

9626

9666

9707

9747

240

9747

9788

9828

9869

9909

9950

9991

10031 10072 10113 10153

Revised Thermocouple Reference Tables, Type K, Pàg. Z-168 The Temperature Handbook, OMEGA 1995

I l’equació de regressió facilitada, per a Termoparells tipus K, es de ordre 8, i indica que és vàlida per a un rang d’entre 0 ºC i 1370 ºC, amb un error acotat de ±0.7 ºC:

T = 0.226584602 + 24152.109· ⋅x + 67233.4248 ⋅ x 2 + 2210340.682 ⋅ x 3 − − 860963914.9 ⋅ x 4 + 4.83506E10 ⋅ x 5 − 1.18452E12 ⋅ x 6 + 1.38690E13 ⋅ x 7 − − 6.33708E13 ⋅ x 8 T = Temperatura en ºC ; x= Voltatge del termoparell en KV

(8.1)

134 Projecte final de carrera

En la següent taula es mostren alguns valors obtinguts per la fòrmula de regressió, i la seva comparació amb el que corresponen segons la taula

emf (mV)

T taula (ºC)

Tregressió (ºC)

Ttaula-Tregressió (ºC)

8138

200

200.0575

-0.0575

8539

210

209.9425

0.0575

8940

220

219.8168

0.1832

9343

230

229.7277

0.2723

9747

240

239.6492

0.3324

10153

250

249.6042

0.3958

Si s’expressa en un gràfic, es pot veure l’evolució del comportament de la corba

Temperatura (ºC)

temperatura versus emf

250 240 230

taula

220

equació

210 200 8130

8630

9130 9630 emf (10e-6 V)

10130

Fig. 8.1 Temperatura respecte lectura del termoparell tipus K segons taula i equació regressora

En el gràfic superior no es poden distingir molt bé les dues corbes que relacionen la emf amb la Temperatura, però si es grafica la diferència Ttaula – Tequació per veure l’evolució d’aquest terme, s’aprecia més ampliament la difèrencia entre un mètode i l’altre:

135 Projecte final de carrera

0,5000

Diferència (ºC)

0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0,0000 -0,1000 8130

8630

9130

9630

10130

e.m.f. (10e-6 V)

Fig. 8.2 Diferència de la temperatura entre taules i equació regressora

es comprova la creixent separació del valor donat per l’equació regressora i el valor facilitat per la taula. La separació màxima per a aquest rang arriba quasi a 0,4 ºC. Si suposem correctes les relacions entre la temperatura i la força electromotriu facilitades per la taula, aleshores aquestes diferències corresponen a l’error que s’obtindria fent servir les equacions de regressió. Aquest tipus d’error està clarament tipificat en el Capítol 7, com un error sistemàtic degut al mètode de medició.

Es comprova en la Fig. 8.1 la linealitat força constatable, si més no en aquest rang de temperatura, d’amplada 50 ºC. El coeficient de Seebeck, correspon a uns 40 µV / ºC, per tant, a un error de lectura de 1 µV li correspon un error de 0,025 ºC, 16 vegades més petit que el trobat per fer servir una equació de regressió.

No ha de ser, emperò, infravalorat el mètode d’obtenció de la temperatura a partir d’equacions regressores, ja que l’error donat segueix una linealitat, i per tant, per a rangs petits de diferències de temperatura, els dos errors es poden compensar (l’equació de Fourier ens parla de ∆T, i no de temperatures absolutes), i per tant, si tenim un material d’una certa conductivitat que faci tenir gradients petits de temperatura, podem assumir que els dos errors seran comparables. En el cas de l’Inconel, les mostres mesuren uns gradients d’aproximadament uns 10 ºC, i per tant, no és tant l’error provocat per fer servir un mètode de mesura o unaltre, Exemple:

TC1: 9747 µV

⇒

Tequació= 239,6492 ºC (Ttaula=240 ºC)

TC2: 10153 µV

⇒

Tequació= 249,6042 ºC (Ttaula=250 ºC)

136 Projecte final de carrera

Això provoca que ∆T= TC2 - TC1 = 9,955 ºC (equació) = 10 ºC (taula), per tant l’error obtingut en el càlcul del gradient correspon a –0,045 ºC (un 4,5‰ del gradient “real”). On es denota més la mancança de fiabilitat de l’ús de l’equació és quan cerquem valors absoluts de temperatura com per exemple la temperatura mitjana del gradient anterior, Tmitjana= (TC1+TC2)/2 = 244,6267 ºC (equació) = 245 ºC (taula) , representant una desviació de –0,3733 ºC respecte el valor esperat segons taula. És important saber, per tant, si la utilització d’equacions regressores pot influir molt o poc en el resultat dels càlculs. De moment, sembla que afecta poc en el càlcul del gradient quant aquest és petit (només ho hem verificat en un rang concret de 200 a 250 ºC, i en el cas més òptim quan més a prop de 250 ºC més constant es feia la diferència respecte el valor obtingut a taula. La utilització, però, d’un simple ordinador on tinguem introduïda la taula del tipus de termoparell a utilitzar, i un simple programa que interpoli el valor d’entrada entre dos valors de la taula, evitarà cometre l’error obtingut anteriorment descrit, tenint en compte que encara a la nostra mesura de temperatura li afecten d’altres errors, o bé, que la precissió necessària no sigui l’adequada. El mètode escollit en les experiències, doncs, serà la transformació de lectura de força electromotriu a temperatura a partir de la taula.

emf

TAULA

Temperatura

Presentem, ara si, els resultats obtinguts a partir de la lectura de 9 termoparells connectats, amb la punta descoberta en l’aire en repòs. Després d’esperar uns 10 minuts, per tal que el contacte físic de la nostra mà amb el cable no hagi pervertit el resultat de la medició, veiem que la pantalla mostra els valors estables de força electromotriu següents;

137 Projecte final de carrera

fem

940

904

937

933

927

922

917

910

903

T (ºC)

23.5122 22.6250 23.4390 23.3415 23.1951 23.0732 22.9500 22.7750 22.6000

Tots els valors es mostren propers, i tenen com a mitjana una temperatura de 23,0568 ºC (valor més probable estadísticament).

temperatura (ºC)

24 23,5 23 22,5 22 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fig. 8.3 Valors de temperatura per als 9 termoparells

S’observa que entre el valor màxim (23,5122 ºC) i el valor mínim (22,60 ºC) es distribueixen la resta de valors sense destacar cap mena de localització especial, ni cap anomalia extrema, sino que uniformement existeixen valors al llarg de tot el rang.

L’amplitud del rang (valor màxim – valor mínim) correspon a una amplada de 0.9122 ºC (que podríem representar com si a un valor central T se li sumés una desviació maximal ± 0,4561 ºC).

Tenim una primera aproximació dels errors comesos per aquests 9 termoparells. Si cerquem la relació entre l’interval d’error i el valor esperat de 23,06 ºC, trobem el percentatge d’error màxim comés entre aquests 9 termoparells,

percent. d ' error =

± 0.4561 × 100 = 1.98% 23.06

Aquest error és perfectament normal, i per tant haurem de conviure amb ell, ja que el fabricant compleix l’especificació advertida (vegeu Capítol 4) dels límits d’error dels termoparells tipus K;

138 Projecte final de carrera

LÍMITS D’ERROR TERMOPARELLS K (el que sigui més gran) per a T < 0ºC

→

2,2ºC

ó 2%

per a T > 0ºC

→

2,2ºC

ó 0,75%

Existeixen en el mercat termoparells millors que presenten, per a temperatures superiors a 0 ºC, un error maximal de 1,1ºC o bé 0,4%, com també es pot solicitar una calibració personificada dels termoparells (molt més costosos, i més endavant es discutirà sobre la seva impracticabilitat en el nostre cas).

Un problema semblant a l’anterior, a l’aplicació de taules o fòrmules de regressió per a la conversió d’una lectura d’una magnitud per passar-la a una dada en unaltre magnitud, es presenta quan es té la necessitat d’avaluar la conductivitat tèrmica d’un material a una certa temperatura. Recordem que en el conductivímetre per comparació, per avaluar el cabal de calor circulant pel conjunt de mostres, es necessari aplicar l’equació de Fourier si no es disposa d’elements quantificadors d’energia calorífica circulant.

Les peces mostres que el Departament ha facilitat són les que el fabricant suministra amb la màquina, i són de Inconel 718 i Electrolytic Iron. En el manual de la màquina també s’inclouen unes taules de conductivitat d’ambdós materials, així com les seves equacions regressores. conductivitat (W/mK)

30 25 20 15 10 5 0 -200

0

200

400

600

800

1000

Temperatura (ºC) Fig. 8.4 Gràfica de la conductivitat de l’Inconel 718 versus la temperatura

139 Projecte final de carrera

λ INCONEL 718 ≈ 4.45 + 2.853 ⋅ 10 −2 T − 2.4555 ⋅ 10 −5 T 2 + 4.1805 ⋅10 −9 T 3 +

(8.2)

+ 4.6635 ⋅ 10 −11 T 4 − 5.3952 ⋅ 10 −14 T 5 + 1.7767 ⋅ 10 −17 T 6 λ en (W/mK) ; T en (K)

Es pot observar la força linealitat de la conductivitat tèrmica de l’Inconel 718 respecte la temperatura, fet que permet gaudir de la simplicitat de poder interpolar linealment a partir de la taula de valors, on la conductivitat vé definida en un interval de 5ºC. Els valors de la conductivitat tèrmica dels materials, degut a la seva variabilitat i dificultat de mesura, no acostumen a donar-se amb una gran precissió, com en les taules donades, on la màxima precissió és de 0,01 W/mK. Si restem els valors donats per taula, als que corresponen utilitzant l’equació de regressió, i els grafiquem, obtenim la corba següent en funció de la temperatura,

desviació conductivitat (W/mK)

0,1

0,05

0 -200

0

200

400

600

800

1000

-0,05

-0,1

temperatura (ºC) Fig. 8.5 Desviació de la conductivitat de l’Inconel segons el mètode taula / equació regressora

Es pot observar que a la zona al voltant dels 300 ºC tindrem la major desviació per l’ús de fòrmules de regressió, superant els 0,05 W/mK (representa un 0,31% d’error per a la conductivitat a aquesta temperatura, i és 10 vegades superior a la precisió facilitada per les taules). La fòrmula ens està facilitant la conductivitat del material a uns 3 ºC per sota de la temperatura de referència. Cal determinar amb quin pes pot afectar aquesta desviació en el nostre càlcul. Com s’ha comentat anteriorment, per al càlcul experimental s’ha d’optar, ja que es disposa, de les taules facilitades.

140 Projecte final de carrera

La determinació del material de referencia en les proves experimentals ha de permetre la coneixença el més exacte

possible del valor de la conductivitat en el rang de

temperatures d’estudi. Un material que la seva conductivitat sigui el més constant possible hauria de ser l’idoni.

conductivitat (W/mK)

100 80 60 40 20 0 -200

0

200

400

600

800

1000

temperatura (ºC) Fig. 8.6 Gràfica de la conductivitat de l’Electrolytic Iron respecte la temperatura

L’Electrolytic Iron té una conductivitat no tant lineal, decreixent amb la temperatura i més elevada.

Per a les experiències, es treballa amb 3 peces d’Inconel 718, de 25,4 mm d’alçada entre les seves dues superfícies de contacte, de 25 mm de diàmetre, i amb dos forats cecs, de diàmetre 1.6 mm, que arriben a l’eix del cilindre, interseparats 19.05 mm, i a una distància cada un d’ells de la superfície de 3.18 mm.

El manual de l’aparell facilita les coordenades dels termoparells del Guard Furnace, prenent com a plà de referència l’anomenat Top Sink , que es la superfície de contacte refredadora, on es munta la Resistència Inferior d’escalfament de la pila ( Fig. 5.5). Les coordenades són: termopar

7

8

9

10

11

12

15

alçada (mm)

177,6

111,25

104,9

98,55

92,2

85,85

41,4

141 Projecte final de carrera

Com es pot comprovar, els termoparells 7 al 12 estan iso-distanciats respecte el següent 6,35mm, mentres que el termoparell 15 està en la posició més baixa. El selector de que disposa el Conductivímetre, serveix per a les diferentes mides de piles centrals a mesurar. Podem tenir a vegades conjunts que seran més o menys alts. Com que l’aïllament consisteix en tenir el mateix gradient tant a la pila central com en el forn de guarda, i sovint tindrem peces més llargues o més curtes, el termoparell que controlarà la temperatura superior en la pila hauria d’estar a la mateixa alçada que el termoparell que comandarà la temperatura superior en el forn de guarda. Com que els termoparells en el forn de guarda són fixos, s’ha proporcionat aquest selector de termoparell entre el 7 i el 12, per cercar el que estigui més a prop del termoparell de la pila central.

La nostra primera curiositat es centra ara, a partir dels resultats d’un muntatge de 3 peces d’Inconel (veure experiència 0.1), els resultats trobats en el forn de guarda, en la seva part superior. Les temperatures de control han estat de 240 ºC en la part superior, i de 180 ºC en l’escalfador auxiliar, provocant així un gradient d’uns 60 ºC entre els termoparells que controlen la temperatura superior i inferior en la pila central (números 13 i 14), o bé entre aquells que controlen el forn de guarda (en aquest cas el TC7, i com sempre en la part inferior el TC15).

Cal observar que després de 2,5 hores aproximadament, sembla que el sistema hagi arribat a un estat estacionari, perque els valors mostrats en les pantalles dels controladors PID de les temperatures asolides pels termoparells de control s’han estabilitzat, i per altra banda coincideixen amb els valors introduïts. Malgrat tot, si llegim els valors en el multivoltímetre, veiem que cada termoparell oscila entre uns valors límits de manera molt lenta. Això es provoca quan hi passa corrent per les resistències a impulsos, per tal d’estabilitzar les temperatures de control, i per tant provoca petites turbulències de temperatura, sobretot en els termoparells més a prop dels escalfadors.

Les més petites oscilacions poden ser degudes, segons la bibliografia consultada, a sorolls elèctrics i petitíssimes variacions locals de la temperatura, com veurem més endavant. Es prenen els valors que es veuen que queden més estabilitzats en el temps, obtenint el resultat següent:

142 Projecte final de carrera

TERMOPAR

LECTURA

TEMPERATURA

(µV)

(ºC)

TC1

9367

230.60

TC2

8874

218.35

TC3

8710

214.27

TC4

8265

203.18

TC5

8080

198.52

TC6

7512

184.30

TC7

9732

239.62

TC8

9542

234.93

TC9

9331

229.71

TC10

9242

227.50

TC11

8974

220.85

TC12

8822

217.07

TC13

9714

239.18

TC14

7313

179.32

Resultats experiència 0.1 Als valors llegits, se’ls hi ha aplicat la taula de conversió comentada anteriorment. S’han arrodonit els resultats a dues xifres decimals de temperatura, ja que si el coeficient de Seebeck resulta d’uns 40 µV/ºC, per a un error de lectura mínim de 0,5 µV, li corresponen 0,012 ºC, que sería la precisió que facilita la taula. També la localització pot afectar.

Malgrat tot, ja hem vist que ha estat dificultosa la lectura perque els valors llegits anaven oscilant, així com també que el termoparell dóna un error natural que pot arribar a 2.2ºC d’error en aquest cas. Si grafiquem isodistancialment els valors de TC7 a TC12, obtenim el gràfic següent:

240

Temperatura

235

230

225

220

215 7

8

9

10

11

12

termoparell

Fig. 8.7 Distribució de temperatures en el forn de guarda

Dels resultats en general es pot comprovar com TC7 ≅ TC13.

Del gràfic es comprova una forta linealitat entre els termoparells d’estudi. S’indica amb una línia vermella la unió tèrmica teòrica entre TC7 i TC12 (el que s’hauria d’haver esperat). Això no és així, degut bàsicament als errors facilitats pels termoparells i tot el

143 Projecte final de carrera

procés de lectura. Això, i el fet que les conductivitats no són constants, pot provocar alteracions en la teorica linealitat de les temperatures.

Analitzem més acuradament els resultats:

TC7-TC8 = 4.69 ºC TC8-TC9 = 5.22 ºC TC9-TC10 = 2.21 ºC TC10-TC11 = 6.65 ºC TC11-TC12 = 3.78 ºC Mitjana=(TC7-TC12)/5 = 4.51 ºC

S’observa que si entre cada 2 termoparells hi hauria d’haver 4.51ºC (ja que la mitjana és el valor més probable), les diferències més greus són les que separen TC10TC11=6.65ºC que s’allunyen 2.14ºC del valor esperat. Per sota hi ha TC9-TC10 = 2.21ºC que té un error de 2.3ºC respecte el valor desitjat.

Cal tenir en compte, que encara que sembli gran aquest error, està dins dels paràmetres assumibles i aceptables, ja que l’error d’un termoparell pot ser de 2.2 ºC, i per calcular la diferència de temperatures calen dos termoparells (duplicant l’error acceptable), però l’estadística diu que l’error suma no serà la suma dels errors, sinó quelcom més petit (si els errors es comporten com a distribucions normals). Mirant el gràfic, es veu que l’element comú que distorsiona per més i per menys aquests dos gradients és el termoparell TC10, que dóna un valor massa elevat. Si suposem correctes els valors extrems TC7 i TC12 (més que res perque al ser als extrems, el rati temperatura/distància serà més correcte), podem calcular el valor de TC10 a partir de la línea vermella.

El valor esperat TC10linial= TC12 + 2·Mitjana = 226.09 ºC, i el TC10 lectura = 227.50 ºC, essent l’error de la lectura respecte l’esperat de +1.41ºC. A partir de l’anàlisi dels valors trobats a la pila central, formada per 3 peces d’Inconel 718, amb forats distanciats segons la Fig. 8.8

144 Projecte final de carrera

Fig. 8.8 Mostra

Si tenim en compte la mida de la resistència, i de la peça que posiciona el termoparell núm. 14, controlador de la Temperatura Auxiliar, es pot obtenir les cotes dels termoparells 1 al 6. Es busquen aquí les diferentes posicions dels termoparells per graficar adequadament els resultats (els termoparells no estan isodistanciats com en el guard furnace) Les resistències tenen una amplaza en la direcció ‘z’, de 35 mm. Els termoparells controladors ‘MAIN 13’ i ‘AUX 14’ estan localitzats en dues peces cilíndriques, d’igual diàmetre que la pila central, i d’alçada 6.4 mm (el termoparell està en el plà mig d’aquesta peça).

TEMPERATURA

Alguns càlculs d’interès:

(mm)

(ºC)

TC13

120,83

239.18

TC1-TC2 = 12.25 ºC TC3-TC4 = 11.09 ºC TC5-TC6 = 14.22 ºC

TC1

114,45

230.60

TC2

95,4

218.35

TC3

89,04

214.27

(TC1-TC6) / (Z1-Z6) = 0.6626 ºC/mm

TC4

69,99

203.18

TC5

63,63

198.52

TC6

44,58

184.30

(TC1-TC2) / (Z1-Z2) = 0.6430 ºC/mm (TC3-TC4) / (Z3-Z4) = 0.5821 ºC/mm (TC5-TC6) / (Z5-Z6) = 0.7465 ºC/mm

TC14

38,2

179.32

TERMOPAR ALÇADA

tmitjana1= 224.475 ºC tmitjana2= 208.725 ºC tmitjana3= 191.41 ºC

gradients:

S’observen diferències (notables?) entre els gradients de les 3 peces (el que és el mateix entre les diferències de termoparells en cada peça). S’analitzen a continuació diferents aspectes:

145 Projecte final de carrera

225

tc1 tc2

215

tc3

205

tc4 tc5

195

temperatura (ºC)

235

tc6

185 175 125

115

105

95

85

75

z(tc) (mm)

65

55

45

35

exp 0.1

Fig. 8.9 Resultats en pila central formada per les 3 peces

a) La diferència entre els gradients trobats Si s’accepta la hipòtesi que el material d’estudi té conductivitat tèrmica constant, aleshores les diferències de temperatura de cada peça haurien de ser iguals. Si es numeren les peces de dalt a baix, la peça núm. 2 té un salt de temperatura de 11.09 ºC, mentres que la tercera té una diferència de 14.22 ºC que suposa un increment de 3.13 ºC corresponent a un 28.22% de diferència. Malgrat que sembli una diferència molt elevada, 3.13 ºC d’error entre un salt i unaltre és perfectament comprensible amb la precisió anotada en els termoparells. Comença, però, a ser preocupant aquesta admisibilitat en els errors dels termoparells, ja que es comprova que relativament uns resultats aparentment semblants apareixen amb diferències notables percentuals.

Apareix, en el càlcul del gradient, el factor distància. El fet que un forat practicat a les peces de 1.6 mm de diàmetre per allotjar un termoparell, i es suposi que la lectura feta pel termoparell sigui justament en el centre del forat, sembla un xic atrevit. Consultat un fabricant de termoparells, la resposta sobre la localització de la unió termopàrica dintre de la ‘camisa’ del termoparell fou que es troba en el mig, seguint un procés molt acurat. Òbviament, s’ha de suposar una dispersió en aquest posicionament. Cal veure i analitzar si dintre del marge d’aquests 1.6 mm, un desplaçament de la lectura pot afectar molt el

146 Projecte final de carrera

nostre resultat, però en qualsevol cas és un factor a tenir en compte, que afegeix dispersió i error en el càlcul final. Si més no, mínimament s’ha d’esperar una localització de la unió termopàrica seguint una distribució normal.

Un anàlisi ràpid i senzill és que quan més gran sigui el gradient de temperatura, més afectarà aquesta indeterminació de la localització, ja que repercutirà en el valor llegit pel termoparell. Per exemple, si un termoparell està localitzat en una pila on hi passa un flux de calor que provoca un gradient com l’experiència d’estudi de 0.66 ºC/mm aproximadament, i la localització del termoparell pot estar dins una tolerància per error de ± 0.5 mm, aleshores l’error de lectura de temperatura degut a aquest motiu sería de: Error de temperatura = Gradient x Tolerància dist. = 0.66 ºC/mm · ± 0.5 mm = ± 0.33 ºC .

No es un factor numèricament important, però s’ha de tenir en compte, i posteriorment s’haurà de cercar si existeix alguna manera de decrementar-lo per tal de poder ser menystingut.

Tornant a l’experiència anterior, si es vol justificar l’error dels salts de temperatura entre les peces 2 i 3, continuant amb la suposició de conductivitat constant i suposant que les lectures dels termoparells són exactes i no tenen cap altre error a més del produït per la localització, la suma milimètrica dels errors de posicionament faria igualar els dos gradients. Com que la peça 2 té un salt més petit de temperatura , vol dir que els termoparells introduits en la peça 2 estan més a prop que aquests 19,05 mm, mentres que en la peça 3 estan més separats. Simulant aquesta situació, i considerant que la distància de desviació és la mateixa per tots, tenim

∆T2 ∆T3 = d − 2e d + 2e

(8.3)

on d són els 19.05 mm teòrics entre els termoparells, s’obté e = 1.1779 mm.

Com que aquesta desviació (repartida equitativament entre els 4 termoparells) és superior als ±0.8 mm de marge que tenim en cada banda del termoparell (ja que té diàmetre 1.6 mm), es comprova que hi han d’altres factors, a part d’aquesta posibilitat de

147 Projecte final de carrera

descentratge de la unió termopàrica, com pot ser l’error assumible dels termoparells, encara que també hi ha la possibilitat de que el flux de calor sigui diferent en bona mesura en les dues peces, que suposaria tenir greus problemes amb la filosofia de l’aparell.

Evidentement el nostre problema és aconseguir amb la màxima precisió els valors de d i ∆T, que són els paràmetres que ens afecten en el càlcul de la conductivitat per comparació (a més de la conductivitat de la mostra patró). Per millorar la distància, tenim 2 factors en quant a la seva determinació ja que la distància possible a prendre realment està compresa en l’interval d±φforat . Per disminuir aquest interval, millorant la precisió relativa, s’ha d’augmentar d i disminuir φforat en el possible. S’ha de tenir en compte que els forats no estiguin massa aprop dels extrems per evitar la no uniformitat de temperatures en aquella zona.

Tot aquest anàlisi s’ha de comprovar però amb les dades de conductivitat del material emprat, ja que fins ara s’ha treballat amb la hipòtesi de conductivitat constant. Degut a que l’Inconel 718 té conductivitat més gran quan més gran és la temperatura, i si el flux de calor ha de ser constant

λ1 ∆T1 λ 2 ∆T2 λ3 ∆T3 = = d d d

(8.4)

aleshores degut a que λ 1 > λ 2 > λ3 , tenim que per complir l’equació hauríem d’obtenir ∆T1 < ∆T2 < ∆T3, la qual cosa es compleix entre la 3ª peça i les altres, però no entre les peces 1 i 2.

b) El desplaçament per sota i per sobre de les temperatures respecte la teòrica.

Si els termoparells de control estan en consonància amb el forn de guarda, igualant aquest el gradient amb la pila central per evitar fluxos radials, es nota que la pila 1 té les temperatures per sota de la línia teòrica, la peça 2 intersecta i la peça 3 té les temperatures més altes que el forn de guarda a la seva alçada. En un principi es podria

148 Projecte final de carrera

sospitar que el flux intenta “escapar-se” en la zona de la peça 1, cap a l’exterior (sobreescalfant la pols i el forn de guarda), i després torna en la part més inferior cap a la pila central. El que simplement passa es que entre els termoparells 2 i 3, i entre els 4 i 5, existeixen unes interfícies de contacte de peces que provoquen un salt de temperatura degut a la resistència tèrmica existent. En les interfícies coexisteixen dos fenòmens: la conducció i la convecció. Aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que la convecció transmet la potència amb menys eficiència que la conducció, a conseqüència d’aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder continuar aportant el mateix flux de calor. A grans trets, i sense aprofundir en el comportament del flux en les interfícies cal fixar-nos en que aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient tèrmic en les interfícies, per tant es preveu que el fenòmen de la conducció hi perd importància. Quanta més importància tingui la convecció més elevat serà el salt tèrmic, i per tant la superfície de contacte en les interfícies passa a tenir un valor molt petit comparat amb la secció total de les peces. Uns factors importants que decanten la balança cap a una interfície amb molta convecció o molta conducció, és el grau de rugositat de les peces, així com la pressió que s’exerceix a la pila central.

Per comprovar sobre quin rang es troba aquest salt de temperatura, i a partir dels resultats obtinguts en l’experiència 7.0, podem calcular aproximadament la temperatura en els extrems comuns de les peces, a partir de la regressió.

Fig. 8.9 Situació dels termoparells en les peces mostra

Si prenem unes coordenades com les de la figura anterior per a cada peça, i escrivim l’equació

Ti ( z ) = a i z i + bi

(8.5)

149 Projecte final de carrera

per a cadascuna de les peces i i cercant els valors a i b per cada equació, PEÇA 1 TC1=230.60 ºC Z(1)= 22.23 mm TC2=218.35 ºC Z(2)= 3.18 mm PEÇA 2 TC3=214.27 ºC Z(3)= 22.23 mm TC4=203.18 ºC Z(4)= 3.18 mm PEÇA 3 TC5=198.52 ºC Z(5)= 22.23 mm TC6=184.30 ºC Z(6)= 3.18 mm

a1=0.6430

b1=216.30

a2=0.6047

b2=201.26

a3=0.7465

b3=181.93

s’obtenen les equacions individuals per a cada peça

T1 = 0.6430z1 + 216.30 T2 = 0.6047 z 2 + 201.26

(8.6)

T3 = 0.7465z 3 + 181.93 Comparem les Temperatures inferior i superior de les peces en les dues interfícies Tinf1=216.30 ºC Tsup2 =216.62 ºC

∆T = -0.32 ºC!!

Tinf2=201.26 ºC Tsup3 =200.89 ºC

∆T = 0.37 ºC

Es comprova un cert error, ja que teòricament, la Temperatura inferior de la peça 1 hauria de ser en tot cas superior a la superior de la peça 2. Això és degut clarament a les desviacions de les lectures (i cal tenir en compte que aquí s’ha suposat conductivitat constant). Recordem l’anomalia detectada en el sub-apartat anterior, on es trobava erroni trobar un gradient de temperatura major en la peça 1 que en la 2. En qualsevol cas, de moment sembla que el salt de temperatura sigui petit per a aquesta configuració, si fem cas al segon salt de 0.37ºC, pràcticament inapreciable.

Implementem ara el concepte de conductivitat tèrmica, cercant els valors en l’experiència d’estudi. Tal i com s’explica en l’Annex 4, per calcular el flux de calor circulant per una pila només ens cal saber el valor de la conductivitat tèrmica a la temperatura mitjana del gradient d’estudi, si acceptem que la conductivitat és funció lineal de la temperatura.

150 Projecte final de carrera

Retrobant les temperatures mitjanes de cada pila i buscant la conductivitat tèrmica a aquestes a partir de la interpolació de taules, s’obtenen les següents dades:

PEÇA 1: Tmitj = 224.475 ºC

⇒

λ1 = 14.59055 W/mK

⇒

Q1=9382.37 W/m

PEÇA 2: Tmitj = 208.725 ºC

⇒

λ2 = 14.30705 W/mK

⇒

Q2=8328.88 W/m

PEÇA 3: Tmitj = 191.410 ºC

⇒

λ3 = 14.00538 W/mK

⇒

Q3=10454.41 W/m

2 2 2

Veiem que els fluxos de calor calculats són diferents, quan la teoria ens diu que haurien de ser iguals. Fixant-se en la diferència, es comprova que tenim més flux de calor on hi ha més gradient de temperatura (pila 3,TC5-TC6 = 14.22 K), i que on hi havia menys gradient (pila2, TC3-TC4 = 11.09 K) hi ha menys flux, quedant amb valor entremig la pila 1. Això desemboca a la conclusió que els gradients han predominat en el càlcul degut a les seves desviacions, és a dir, són massa desiguals.

Si es calcula el percentatge d’error màxim entre cabals, prenent com a referència el més petit:

Q3 / Q2 = 1.255 ⇒ 25.5% d’error Segons el manual del Conductivímetre TCFCM-N20, quan els fluxos han estat més diferents del 20%, aleshores es suggereix que hi ha hagut un problema en el muntatge global, o amb la mesura d’algunes temperatures en la pila central. Si el “balanç d’energia” és millor que el 5% és un indicatiu que estem davant d’un test excel·lent. Si el balanç es troba entre el 5% i el 20% aleshores el test es considera acceptable. Malgrat tot, com és de lògica, indica que ens podem trobar amb un test de baixa precisió en la mesura de la conductivitat tot i tenint que els fluxos siguin perfectament iguals, ja que es poden tenir problemes amb la mesura de temperatures en la mostra de testeig.

Si prenem la mitjana entre Q2 i Q3, obtenim el valor Q2,3 = (Q2 + Q3)/ 2 = 9391.645 W/m2, molt proper al flux de calor Q1, només un 0.0988 % més de diferència, el que hauria estat una dada excel·lent per al càlcul de la conductivitat en la peça 1.

Pero el manual ens indica que posicionarem la peça d’estudi en el mig de la pila central (és a dir, en la posició 2), i que per trobar el flux que passa per 2 es troba la mitjana entre Q1 i Q3 com a valor més probable. La diferència entre aquests fluxos extrems Q1 i Q3 és del 11.42% i per tant en principi és una prova acceptable.

151 Projecte final de carrera

En comparació de mitjanes, en aquest cas s’obtenen uns valors molt diferents: Q1,3 = (Q1+Q3)/2 = 9918.39 W/m

2

Q2= 8328,88 W/m

2

tenint la mitjana un 19.0843 % més que el valor Q2 esperat. Si es calcula la conductivitat trobada en la peça 2 seguint els passos indicats en el manual,

λ2 =

Q1,3· d ∆T2

(8.7)

es troba un valor λ2exp= 17.0374 W/mK per a l’Inconel a la temperatura mitjana de la peça 2 de 208.725 ºC, mentres que segons taules, el valor correspon a 14.307 W/mK.

El valor trobat té, respecte el valor esperat, una sobreestimació del 19.08%, semblantment com la mitjana dels fluxos Q 1,3 tenia respecte Q2.

NOTA: L’Inconel 718 presenta la conductivitat trobada de 17.0374 W/mK a la temperatura de 369.8375 ºC (161.11 ºC per sobre de la temperatura d’estudi).

Es pot cloure aquesta experiència amb l’afirmació que no ha complert els objectius esperats, si bé que el balanç entre els fluxos Q1 i Q3 és acceptable, el resultat de la conductivitat trobada un 19.08% per sobre del que s’esperava, no compleix la precissió de entre el ±5% i ±10% que el manual contempla. A més, la temperatura a la qual correspon la conductivitat trobada (369ºC) no es troba ni tant sols al llarg de la pila central (compresa entre els 240 ºC i els 180ºC). És suposa que els errors en les conductivitats trobades depenen també de la funció d’aquestes respecte la temperatura, pendent d’estudi en el següent capítol.

La curiositat respecte el dubte de fer servir taules per als termoparells, i per a les conductivitats de l’Inconel, o bé la utilització de funcions regressores, fa comparar per a aquesta experiència els resultats seguint el mètode emprat fins ara, Taules, o bé els que s’haurien obtingut amb les funcions. Els resultats són els que es presenten:

152 Projecte final de carrera

(W/mK)

Taules

Funcions

Dif (%)

Q1

9382.37

9416

+0.36

Q2

8328.88

8355

+0.31

Q3

10454.41

10432

-0.21

Amb les dispersions que s’han trobat en l’esperiència estudiada, l’efecte de servir un mètode o unaltre no és important amb aquestes diferències, ja que hi han altres factors que afecten molt més. Si les experiències fossin més precises, aleshores si serà convenient d’eliminar aquesta dispersió.

Per últim, cerquem d’una manera aproximada, sobre quins valors haurien d’haver estat les diferències de temperatura en cada pila. Si considerem com a valor més probable del flux circulant la mitjana dels 3 fluxos, Q1,2,3= (Q1+Q2+Q3)/3 = 9388.55 W/m2 i considerem que les conductivitats trobades a la temperatura mitjana de cada pila no varien excessivament de les reals, es pot trobar ∆Ti = Q1,2,3·d / λi, que després dels càlculs es troba ∆T1 =12.26 ºC

8.3

;

∆T2 =12.50 ºC

;

∆T3 =12.77 ºC

EXPERIÈNCIES AMB CÀLCUL DE Qmàx I Qmín

Per especular sobre la teoria que un dels factors importants és la localització de la unió termopàrica, per intentar justificar les diferències entre els fluxos de calor, i amb l’objectiu de cercar una acotació al valor del cabal calorífic per trobar uns límits (raonables?) a la conductivitat tèrmica cercada, es realitzen dues experiències, a temperatures més elevades que l’anterior.

Els valors per al nostre cas corresponen a: d=19.05 mm

∅=1.7 mm

⇒

d màx= d + ∅ = 20.75 mm

d mín= d - ∅ = 17.35 mm

La pràctica consisteix en trobar, per a les peces 1 i 3 (superior i inferior), uns valors màxims i mínims del flux de calor circulant, a partir de les distàncies mínima i màxima respectivament, suposant que les temperatures trobades no tenen més error que aquest,

153 Projecte final de carrera

Fig. 8.10 Indicacions de la distància màxima i mínima en les peces

el de la localització. S’ha comprovat anteriorment que no era prou suposar aquesta deslocalització, ja que les diferències entre els gradients era massa elevada, i aquest factor d’estudi no podia solament ser el causant d’aquesta desviació. Emperó, pot ser interessant fer una anàlisi amb dades experimentals:

TC1:

451.6 ºC

∆T1=19.1 ºC

TC2:

432.5 ºC

Tm1=442.05 ºC

TC3:

423.0 ºC

∆T2=20.9 ºC

TC4:

402.1 ºC

Tm2=412.55 ºC

TC5:

392.9 ºC

∆T3=24.8 ºC

TC6:

368.1 ºC

Tm3=380.5 ºC

λ1=18.3075 W/mK λ2=17.7934 W/mK λ3=17.2360 W/mK

Experiència 0.2

Es comprova primerament els resultats teòrics considerant la distància d.

∆T1 = 18355.55 W / m 2 d ∆T2 Q2 = λ 2 = 19521.37 W / m 2 d ∆T Q3 = λ3 3 = 22438.46 W / m 2 d Q1 = λ1

S’observa un flux de calor més gran en la peça posicionada en la part més inferior, i menys flux en la peça superior, quedant la peça del mig amb un cabal intermedi.

154 Projecte final de carrera

La diferència relativa entre els cabals extrems (3 respecte 1) és del 22.24% (deixaria de ser una bona experiència). Malgrat tot, degut a que la mitjana entre els fluxos extrems es trobarà propera al cabal a cercar Q2, el resultat que s’obtindrà serà molt proper al teòric: 2

Q13= (Q1 + Q3) / 2 = 20397 W/m . (representa només un 4.48% d’error respecte Q2 experimental).

Fem l’anàlisi de distàncies màxima i mínima “possible”:

Q1màx = λ1

∆T1 = 20154.08 W / m 2 d mín

Q1 mín = λ1

∆T1 = 16851.72 W / m 2 d màx

Q3 màx = λ3

∆T3 = 24637.05 W / m 2 d mín

Q3 mín = λ3

∆T3 = 20600.13 W / m 2 d màx

Això representa fer un interval aproximadament del ±10% de cada cabal. Per tant, si el cabal real Q del flux uniforme que travessa la peça ha de complir les condicions següents:

Q1mín < Q < Q1màx

Q 3mín < Q < Q3màx

que en el nostre cas es converteixen en condicions incompatibles, ja que Q3mín > Q1màx.

S’haurien de suposar unes deslocalitzacions dels termoparells una mica més grans, per tal de tenir solapació entre els dos intervals, i per tant, teòricament, es trobaria que el flux estaria en la intersecció d’aquests intervals, que coincidiria en un punt aproximadament igual a la mitjana entre el cabal mínim de la peça 3 i el cabal màxim de la peça 1. Però com hem vist abans, potser es casualitat que la peça 2 tingui un cabal aproximadament igual a la mitjana dels cabals 1 i 3, mentres que aquests difereixen un 22%.

Sense desmuntar la pila central de peces, tornem a fer una altra experiència, amb temperatures encara més elevades. Els resultats i càlculs referents a temperatures mitjanes, salts de temperatura i conductivitat són els següents:

155 Projecte final de carrera

TC1:

523.9 ºC

∆T1=19.4 ºC

TC2:

504.5 ºC

Tm1=514.2 ºC

TC3:

495.5 ºC

∆T2=21 ºC

TC4:

474.5 ºC

Tm2=485 ºC

TC5:

464.9 ºC

∆T3=24.3 ºC

TC6:

440.6 ºC

Tm3=452.75 ºC

λ1=19.5556 W/mK λ2=19.05 W/mK λ3=18.4995 W/mK

Experiència 0.3

S’observa, respecte l’experiència anterior, una similitud en l’ordre dels resultats: les peces tenen, en l’ordre 1 a 3, un salt de temperatura creixent. La conductivitat tèrmica, com sembla lògic, és cada cop més petita (ja que la temperatura mitjana de cada peça és decreixent, i no queda desvirtuada per les desviacions de lectura). Això porta a uns resultats de cabals anàlegs als anteriors:

∆T1 = 19914.89 W / m 2 d ∆T2 Q2 = λ 2 = 21000 W / m 2 d ∆T3 Q3 = λ3 = 23597.78 W / m 2 d Q1 = λ1

Aquesta vegada, la relació diferencial de Q3 respecte Q1 és del 18.5% (ha millorat una mica, però està en el mateix ordre). La mitjana Q 13=21756.333 W/m2 només està un 3,6% per sobre del que s’ha trobat experimentalment a Q2.

Només observant aquesta correlació entre els últims 2 experiments, entre els quals no s’ha fet cap desmuntatge del conjunt ni s’han tocat els termoparells de la seva posició, es poden sospitar dues causes possibles: a) Les 3 peces de mateix material, Inconel718, no són exactament iguals, de la mateixa naturalesa: tenen conductivitats una mica diferents, que si es coneguessin amb exactitud, calcularíem cabals més semblants entre les 3 peces. b) Pot afectar en el resultat dels cabals la localització geomètrica dels termoparells (efecte de distància d ± error), i com que no s’han tocat els termoparells, es repeteixen els efectes de la mateixa manera relativa.

156 Projecte final de carrera

Tenint en compte aquestes dues possibles causes, es podria buscar una relació aproximada del tipus

Q2 = αQ1 + βQ3

(8.8)

que sempre es compliria si no es toquessin les peces d’ordre ni els termoparells. Això ens indica que és necessària una identificació de les peces, per saber si canviant-les d’ordre es pot deduir alguna cosa. També ens porta a una personificació dels termoparells, no tant per l’efecte de la deslocalització, ja que la seva posició final en la peça pot quedar totalment girada respecte a unaltre experiència, sino globalment per la seva desviació respecte un valor de referència.

Si es suposa en l’experiència 0.3, que com a càlcul del flux és acceptable la mitjana dels cabals Q13, calculem quina seria la conductivitat trobada seguint el mecanisme:

λ2(485ºC) = Q13·d / ∆T2 = 19.74 W/mK que representa a l’igual que els fluxos un 3.6% d’error respecte el valor esperat de 19.05 W/mK. (La conductivitat trobada correspon per a l’Inconel 718 a la temperatura de 524.3 ºC). Òbviament, l’aplicació d’aquesta última equació per trobar el valor estimat de la conductivitat de la peça, hi intervé el factor deslocalització geomètrica. Cerquem ara aquesta dispersió ideal que si la coneguéssim amb exactitud trobariem la conductivitat esperada de 19.05 W/mK.

d*=λ*·∆T2 / Q13 = 18.39·10-3 m = 18.39 mm Això representa una desviació de la distància termopàrica de –0.66 mm, que està dins dels límits raonables.

Si s’intenta analitzar el perquè en aquesta experiència 0.3 hem trobat una major proximitat en els fluxos extrems, que a la vegada la seva mitjana s’ha apropat al valor experimental en la peça 2 (en conjunt s’ha trobat de manera molt sensible una millor experimentació) que respecte l’exp. 0.2, es pot deduir que la causa rau en la quantitat de flux tèrmic circulant. Si es comparen:

157 Projecte final de carrera

EXP. 0.2

Q123= 20105.13 W/m2

∆T 16= 83.5 K

λ2=17.7934 W/mK

EXP. 0.3

2

∆T 16= 83.3 K

λ2=19.05 W/mK

Q123= 21504.22 W/m

El flux circulant en l’exp. 0.3 és un 6.96% més gran que l’exp. 0.2, i no perque s’hagi aplicat un gradient més gran de temperatura (que són quasi-iguals), sino perque al realitzar-se a temperatures més elevades, les conductivitats són un 7% més grans.

Malgrat tot, no es troba perquè hauria de ser millor l’experiència a major temperatura (major flux), ja que els errors en els termoparells fins i tot poden ser més grans a més temperatura, les distàncies queden afectades de la mateixa manera, i la conductivitat segueix essent igual de lineal en ambdós rangs de temperatura. L’únic del que es pot sospitar és que a més flux de calor, el mecanisme del conductivímetre (escalfadors, refredadors, controls PID, forn de guarda) funciona de manera més correcta. Són punts que s’hauran de comprovar en futures experiències, però es constata amb l’experiència 0.1, que era a temperatures més baixes, i la dispersió entre els cabals més diferents era del 25.5%. Si ens fixem que aleshores aquesta dispersió corresponia entre les peces 2 i 3, es pot arribar a la conclusió anterior que les peces poden ésser quelcom diferents per naturalesa (encara que el factor termoparell està pendent d’estudi).

Si ordenem els cabals trobats per a les tres experiències de menor a major, i cerquem les variables de relació α i β a partir de les exp. 02 i 0.3 segons:

Q = α Qm + β Q M

exp.

Qm

Q

QM

0.1

8328.88

9382.37

10454.41

0.2

18355.55

19521.37

22438.46

0.3

19914.89

21000

23597.78

s’obtenen els valors α = 0.7693

i

β = 0.2406.

Si apliquem aquests factors de linealitat als fluxos corresponents a l’exp. 0.1, trobem Q*2= α·Qm + β·QM = 8922.74 W/m2 (només un 4.89 % menys que el Q experimental).

158 Projecte final de carrera

8.4

EL FACTOR DIÀMETRE

Fins ara s’ha tractat el flux de calor com el flux per unitat de superfície (en W/m2), ja que al tenir teòricament una pila formada per 3 peces de diàmetre constant i igual a 50 mm, per tal de tenir un flux el més uniforme possible, no calia diferenciar-les i aplicar cada vegada un diàmetre diferent.

S’ha comprovat anteriorment com les desviacions en la distància inter-termopàrica podien influir en el resultat final. Comprovem-ho ara per al factor diàmetre. Les peces hauran de ser mecanitzades en principi, per tal de tenir el diàmetre desitjat. És obvi que les perforacions practicades a les peces per a la localització dels termoparells és un clar impediment per tal de tenir una situació teòrica impecable de pila central uniforme, però està clar que és la manera com treballa el conductivímetre.

També en el disseny del conductivímetre imposa una certa geometria, que en el cas del diàmetre, és de 50 mm, ja que les peces mostra són així. En el capítol 9 s’explica com aquest diàmetre de peça, és òptim per a les dimensions del forn de guarda que es té.

Per a la valoració de l’efectivitat de dispersió del flux de calor degut a la dispersió de diàmetre, tenim que l’àrea de la peça teòrica és A=πr2.

El rati que compara aquest flux teòric vé amb relació inversa al quadrat de la relació entre radis (o diàmetres)

q 2 A πR 2  R  Q * A* = = * = *2 =  *  q A πR Q R  A

(8.9)

Fent un exemple numèric, si el diàmetre té 1 mm menys dels 50 mm corresponents (un 2% d’error), aleshores pertoca per aquest motiu un error en l’estimació del flux (per unitat d’àrea) de +4.12%.

Aquest efecte podria explicar les inexactituds dels fluxos dins un rang, però no explica gensmenys les diferències trobades anteriors de fins el 25,55% de desviació entre fluxos, degut a que la mecanització de les peces es troba força correcta.

Mesurades amb un peu de rei les 4 peces d’Inconel, els seus diàmetres són: 49,9 mm, 50 mm, 49,85 mm i 49.85 mm.

159 Projecte final de carrera

Si el diàmetre és pogués creixer tant com vulguèssim, aleshores una millora directament relacionada seria que la perforació de les peces per als termoparells no seria (relativament) tant important.

Altres factors que poden afectar al càlcul, degut a que afecten a la teoria bàsica de funcionament del conductivímetre, seria la no linealitat de les 3 peces. Els seus eixos tenen segur una descentricitat, que en les interfícies provocaria unes línies de flux no simètriques, podent arribar a perjudicar la lectura dels termoparells (que està només a només a 3.18 mm de les interfícies).

8.5

LA REPETITIVITAT EN LES EXPERIÈNCIES

L’experimentació sembla que dóna resposta a algunes de les preguntes que inicialment, i sense conèixer profundament el mecanisme tèrmic del conductivímetre, es poden presentar. La comparació entre experiments poden donar com a conclusió que hi han efectes pràctics que segons la teoria no es contemplen. Un d’ells, és conèixer fins a quin grau dues experiències, amb les mateixes peces i les mateixes entrades de temperatures límits, poden donar resultats diferents, degut a que el muntatge geomètric poden haver petitíssimes desviacions de col·locació de peces.

TERMOPAR LECTURA (µV)

TEMPERATURA TERMOPAR

LECTURA (µV)

(ºC)

TEMPERATURA (ºC)

TC1

9769

240.61

TC1

9787

241.05

TC2

9209

226.65

TC2

9226

227.07

TC3

8785

216.05

TC3

8801

216.45

TC4

8132

199.71

TC4

8147

200.09

TC5

7841

192.44

TC5

7855

192.79

TC6

7311

179.21

TC6

7324

179.53

TC7

9893

243.69

TC7

9907

244.03 239.96

TC8

9731

239.66

TC8

9743

TC9

9503

233.98

TC9

9514

234.26

TC10

9385

231.04

TC10

9395

231.29

TC11

9084

223.52

TC11

9092

223.72 219.90

TC12

8931

219.70

TC12

8939

TC13

9709

239.11

TC13

9717

239.31

TC14

7306

179.08

TC14

7313

179.26

TC15

7297

178.86

TC15

7303

179.01

EXPERIÈNCIA 1.1

EXPERIÈNCIA 1.2

160 Projecte final de carrera

Es comença en aquest punt a personificar les peces per tal de situarles en l’ordre que ens interessi. Partim amb els resultats de l’exp. 1.1. i exp. 1.2. mostrats a la taula anterior.

Amb les lectures anteriors, es poden calcular els corresponents fluxos de calor: exp.

QI

QII

QIII

QI/QII

QI/QIII

1.1

10785.74

12249.89

9661.14

0.88047

1.116405

1.2

10808.96

12274.29

9683.95

0.88061

1.116172

1.1/1.2

0.997851

0.998012

0.997644

Aquestes dues experiències han estat realitzades amb 3 peces d’Inconel718, que s’han anomenat I,II i III i han estat posicionades des de la part superior a inferior. Les temperatures de control, tant per a la pila central com pel forn de guarda han estat de 240 ºC i de 180 ºC. Després d’anotar les lectures de l’experiment 1.1 havent passat unes 4 hores, s’ha esperat 2 hores més per tal d’estabilitzar més el llarg transitori.

Els resultats dels cabals difereixen, semblantment a les experiències anteriors, però entre ambdues lectures, es nota un creixement del cabal circulant, de manera uniforme en les 3 peces ja que les relacions dels cabals són molt semblants.

Aquesta experiència continua confirmant una diferència dels cabals calculats segons uns paràmetres de distància i de conductivitat suposats, i aquesta dispersió pot ser deguda en part a que la distància inter-termopàrica pot ser diferent en cada cas, provocant una dispersió per la localització dels termoparells (vegeu Capítol 7). Així mateix la naturalesa del material pot provocar que les peces mostra tinguin una conductivitat tèrmica real molt diferent entre elles, fent que el camp de temperatures provocat sigui diferent.

Realitzem, sense desmuntar la pila de l’experiència anterior, una prova amb tots els controladors de temperatura marcant 210 ºC (temperatura mitjana de les temperatures extremes anteriors 240ºC i 180ºC). Servirà aquesta experiència per continuar valorant les diferències entre les lectures dels termoparells que, teòricament, estan mesurant tots la mateixa temperatura.

Les lectures són les següents:

161 Projecte final de carrera

TERMOPAR

LECTURA (µV)

TEMPERATURA (ºC)

TC1

8528

209.62

TC2

8617

211.85

TC3

8534

209.77

TC4

8567

210.59

TC5

8587

211.09

TC6

8616

211.82

TC7

8544

210.02

TC8

8530

209.67

TC9

8435

207.29

TC10

8447

207.59

TC11

8293

203.74

TC12

8281

203.44

TC13

8500

208.92

TC14

8513

209.24

TC15

8500

208.92

Tots els termoparells tenen lectures molt aproximades, exceptuant els termoparells més inferiors del forn de guarda, que presenten temperatures uns 7ºC inferiors a les esperades.

Les lectures bàsiques de la pila central (TC1 a TC6), presenten com a temperatures més diferents la TC1=209.62 ºC i la TC2=211.85 ºC. Això representa una diferència entre aquestes dues lectures de 2.23 ºC, que és una diferència comprensible a partir de les especificacions dels termoparells tipus K. Semblantment com s’ha fet amb les peces que s’han personalitzat per veure si sempre existeix una relació entre elles, s’hauran de personalitzar els termoparells per saber si existeix una relació entre dos termoparells concrets.

EXPERIÈNCIA 1.3

A partir d’aquest resultat, s’ha desmuntat l’experiment global 1 i es torna a muntar de la mateixa manera, amb el mateix ordre de peces, per passar a realitzar l’experiència 2.

L’únic element que no es repeteix són els termoparells, que els anem agafant a l’atzar i els anem posicionant a les diferentes peces.

La primera lectura la farem a partir de introduir les mateixes temperatures de control que les experiències 1.1 i 1.2, és a dir 240 i 180 ºC. El resultat en els cabals, comparativament amb l’experiencia 1, són els següents:

exp.

QI

QII

QIII

QI/QII

QI/QIII

1.1

10785.74

12249.89

9661.14

0.88047

1.116405

2.1

10601.11

11368.10

9469.52

0.93253

1.119498

1.1/2.1

1.017416

1.077567

1.020235

Aquesta experiència en comparació amb la exp. 1.1 es comporta de diferent manera de com es comportava la exp. 1.2 respecte la mateixa exp. 1.1. Els resultats, si bé defineixen la mateixa tendència, difereixen relativament entre ells, notant-se que la peça II és la que té una pertorbació major.

162 Projecte final de carrera

És pot deduir que la tendència més forta que fa que els fluxos continuin tenint l’ordre QII > QI > QIII és degut a les peces (bé per material o per distància termopàrica/diàmetre), però també hi ha un factor termopàric que fa que les relacions entre els cabals que en un mateix muntatge fa que sigui força constant, puguin variar entre dos experiments anàlegs.

Per poder constatar aquesta suposició anterior, amb el mateix muntatge es predisposa a fer la lectura corresponent a l’exp. 2.2, que consisteix a posar com a temperatures de control els valors de 140 ºC i 100 ºC per el MAIN HEATER i el AUX HEATER respectivament. Els resultats dels cabals així com els comparatius entre ells són els que es mostren a la taula següent:

exp.

QI

QII

QIII

QI/QII

QI/QIII

2.1

10601.11

11368.10

9469.52

0.93253

1.119498

2.2

6999.49

6602.08

5838.82

1.06019

1.198785

1.514555

1.721896

1.621821

2.1/2.2

El balanç ha estat malaurat. Per començar, ja no es té que la peça II té el cabal més gran de les tres. Les relacions entre l’exp. 2.1 i l’exp. 2.2 tenen major diferència, per tant, que els valors que s’havien trobat en les relacions de l’exp. 1.1 versus exp. 1.2.

Per buscar les causes d’aquestes anomalies dintre de les anomalies que tenen els cabals, es pot suposar que a menor temperatura, els resultats dels cabals s’alteren perque els gradients de temperatura s’han vist afectat per un error relatiu major. També s’ha fet l’observació dels valors que mostra la Unitat Lectora temporalment, i s’arriba a la conclusió que les e.m.f. mostrades oscil·len en un entorn aproximat de ±15 µV que equival a ±0.375 ºC. Tot això impulsa a la recomanació d’executar l’experiment 2.3 realitzat a temperatures superiors a la realitzada en l’experiència 2.1, concretament a 400ºC com a temperatura superior i 340 ºC com a temperatura inferior, i no a temperatures tant baixes com l’exp.

2.2.

163 Projecte final de carrera

Però aquest experiment no es pot realitzar, ja que la resistència superior ha sofert un reescalfament molt elevat de manera contínua, degut a que el termoparell que controla aquesta resistència superior s’ha averiat, provocant que el PID sempre troba una temperatura inferior a la introduïda, escalfant contínuament la resistència. El muntatge s’ha desmontat per tal de reparar la citada resistència.

Es passa al muntatge d’una nova experiència, consistent en fer passar un flux de calor a les mateixes peces, però aquesta vegada s’ha optat per canviar l’ordre de les peces I,II i III, posicionant la peça II en la posició superior 1, la peça III en la posició intermèdia 2 i la peça I a la part inferior 3. Els termoparells, com fins ara, s’han escollit de manera aleatòria. S’han fet dues lectures (dos experiències); una amb un gradient aplicat d’entre 180ºC i 140ºC (exp. 3.1), i el gradient típic d’entre 240ºC i 180ºC (exp. 3.2). Els fluxos resultants i les seves corresponents relacions s’expressen a la taula següent:

exp.

QI

QII

QIII

QI/QII

QI/QIII

3.1

7852.35

7260.14

5325.41

1.081570

1.474506

3.2

13116.46

11509.01

9082.60

1.139660

1.444130

3.1/3.2

0.598663 0.6308222

0.586331

En les relacions entre els resultats de l’exp.3.1 i exp.3.2 es nota una petita diferència, però tots els valors estan entorn del valor que el flux de cada peça una a una en l’experiment 3.1 és 0.60 vegades aprox el flux de cada peça en l’experiment 3.2. Les variacions poden venir degut a que, com s’ha comentat anteriorment, els fluxos baixos deguts a petits salts de temperatura (o bé a baixes temperatures), poden alterar-se més fàcilment.

Pel mateix motiu, les relacions entre peces en la primera experiència varien un xic respecte les mateixes relacions en la segona experiència, però es mantenen força constants si tenim en compte la variació dels fluxos que arriben a l’experiència 3.1 fins el 47% entre les peces I i III. El que és important notar, és que ara tenim la relació de QI > QII > QIII , , a l’igual que l’experiment 2.2, en les dues experiències, diferenciant-se del que succeïa a les

164 Projecte final de carrera

experiències 1.1, 1.2 i 2.1. El que hi ha en comú sempre és que la peça III sempre té un cabal molt inferior a les peces I i II, arribant a tenir la peça I un flux 47% major que la peça III (QI / QIII = 1.47), mentres que les relacions dels fluxos de les peces I i II (QI / QII ) solen estar entre 0.88 i 1.14 ( major flux en I que en II o a la inversa).

Podem fer la hipòtesi atrevida, degut als paràmetres amb els que estem jugant, que les peces I i II poden tenir naturalesa o comportament semblant, i la diferència entre els seus fluxos sigui deguda a variacions provocades per termoparells, o bé al procés de muntatge, posicionament o al comportament del conductivímetre (refredament lateral, ...).

Però es pot desconfiar de la peça III per un comportament anòmal (distància entre termoparells més petita, Inconel pertorbat, etc...).

Per estudiar com ha afectat el canvi de localització de les peces I, II i III en l’experiment 2 respecte les anteriors, es fa la comparació entre experiències que han tingut les mateixes temperatures extremes, en aquest cas s’escull la experiència 2.1 i l’experiència 3.2, realitzades amb un gradient comprés entre 240ºC i 180ºC. Cal tenir en compte que l’aleatorietat dels termoparells que s’han usat pot tenir implicació directa important, i podria donar pas a suposicions incorrectes.

Les relacions dels fluxos entre les dues experiències, les podem fer de dues maneres: a) relacionant de manera que la peça personalitzada com I es relaciona amb ella mateixa, sigui la seva situació que sigui, o bé b) relacionant les peces superiors entre si, les que ocupen la posició intermèdia entre si i les inferiors entre si.

Si relacionem les peces independentment de la seva situació:

exp.

QI

QII

QIII

QI/QII

QI/QIII

QII/QIII

2.1

10601.11

11368.10

9469.52

0.93253

1.119498

1.200494

3.2

13116.46

11509.01

9082.60

1.139660

1.444130

1.267233

2.1/3.2

0.808229

0.987756

1.042600

165 Projecte final de carrera

S’observa que les relacions QI /QII i QI /QIII tenen valors molt dispars entre les dues experiències. mentres que la relació QII/QIII es manté força més constant entre els dos experiments. Es pot observar, aleshores, que la peça I té un comportament molt diferent en cadascuna de les proves: mentres que en l’exp. 2.1 té un flux intermedi que les altres dues peces (posicionada en la peça superior), a l’exp. 3.2 té un flux superior que les altres dues (quan està posicionada en la part inferior). Això es reflecteix també en les relacions de fluxos de cada peça; mentres que les peces II i III tenen fluxos molt propers en cadascuna de les experiències (0.98 i 1.04), la peça I difereix un 20%. Aquest fet provoca que mentres en l’exp. 2.1 tenim una diferència de fluxos del 20% entre la peça II i la peça III, en l’experiment 3.2 la diferència creix fins el 44% entre les peces I i III. Per tant la repetitivitat sembla, es veu compromesa pel posicionament de peces, però cal tenir en compte que potser l’aleatorietat dels termoparells pugui tenir molt a veure en aquest sentit.

Comprovem els resultats segons el posicionament, i no segons les peces:

exp.

Q1

Q2

Q3

Q1/Q2

Q1/Q3

Q2/Q3

2.1

10601.11

11368.10

9469.52

0.93253

1.119498

1.200494

3.2

11509.01

9082.60

13116.46

1.267149

0.877447

0.692458

0.92111

1.251634

0.721956

2.1/3.2

S’observa que no existeix cap correspondència en els ratis dels fluxos. La peça intermèdia 2 té en l’experiment 2.1 el flux més gran de les tres, mentres que en la següent experiència té el flux més petit. Per tant, es pot concloure que la repetitivat depen clarament de les peces mostra que es facin servir.

El seu posicionament també pot implicar alguna desviació, però la variabilitat observada es pot entendre sobretot si ens fixem en les peces i no depén d’on les posem que el seu comportament seguirà essent el mateix. Per a una bona experimentació per trobar la conductivitat tèrmica d’una mostra, s’haurà de testejar molt bé prèviament les peces mostra que s’utilitzarà.

166 Projecte final de carrera

8.6

LA PILA ÚNICA I LA REFERENCIACIÓ DE TERMOPARELLS

Degut al diferent comportament de la peça 1 en les experiències 2.1 i 3.2, una possible causa que se li atribueix és la desviació provocada pels termoparells en cada cas. Per a això, i fugint de la variabilitat eventual entre les peces mostra i la seva posició, es prepara una peça de llargària igual al conjunt pila central formada per 3 peces. Aquesta peça, que l’anomenarem Pila Única, és de material acer, i es desconeix la seva conductivitat. Però la seva utilitat és per a l’observació dels termoparells i la seva dependència entre ells.

Aquesta peça de 80 mm de longitud i de diàmetre 50mm té practicats 7 forats interespaiats 10 mm, i allunyats de les 2 cares superior i inferior també 10 mm. Com a principal avantatge, és que no hi han interfícies, i en teoria tota la pila és de la mateixa naturalesa, mateix material. Desconeixem la conductivitat tèrmica del material, ja que desconeixem el material en si i la seva composició. Si prenem com a referència la conductivitat tèrmica de l’acer al carboni 1.5%C en l’interval de 273 K a 875 K, que té com a equació regresora: λAcer = 36 –0.0083· (T-273)

T en K

i per tant té una variabilitat de la seva conductivitat de 0.0083 W/mK 2, que en un interval de 100 K representaria només 0.83 W/mK de diferència (només un 2.3% de variació).

Això permet esperar que els intervals de temperatura hauran de ser força constants.

Fig. 8.11 Localització dels termoparells i experimentació amb peça única

167 Projecte final de carrera

Per al conjunt d’experiències 4, el forat del mig no s’ha ocupat amb cap termoparell.

Les distàncies d(1-2)=d(2-3)=d(4-5)=d(5-6)= 10 mm i d(3-4)=20 mm.

La primera experimentació es realitza introduint les temperatures de control MAIN a 240 ºC i AUX a 200 ºC. Es fa una primera lectura 4.1, i es deixa reposar tota una nit, després de la qual es fa la lectura 4.2. Es nota que els valors no han variat gaire, i per tant, es suposa que s’ha arribat a un transitori força estable. S’observa, però, que els termoparells posicionats al forn de guarda varien més amb el temps que els termoparells de la pila central, que són més estacionaris. Els valors de transició, però, no varien més de 0.25ºC. Les lectures són les expressades en la següent taula:

TERMOPAR

LECTURA (µV)

TEMPERATURA (ºC)

TC1

9608

236.5986

TC2

9446

232.5614

TC3

9102

223.9736

235

TC4

8653

212.7461

230

TC5

8463

207.9924

TC6

8174

200.7623

TC7

9861

242.8672

210

TC8

9735

239.7597

205

TC9

9550

235.1538

200

TC10

9470

233.1598

TC11

9228

227.1211

TC12

9127

224.5983

TC13

9715

239.2622

TC14

8114

199.2617

TC15

8100

199.1616

245

TEMP. (ºC)

240

225 220 215

PILA CENTRAL FORN GUARDA 50

70

90

110

ALÇADA (mm)

Fig. 8.12 Temperatures segons exp. 4.2

EXPERIÈNCIA 4.2

Es pot comprovar una forta linealitat en les temperatures de la Pila Central, degut bàsicament a la inexistència d’interfícies que provocaven salts. Com a més discordants d’aquestes temperatures, sembla que la TC2 té la temperatura una mica per sobre de la tendència general, així com la TC5. A primera vista, el forn de guarda té en la seva posició superior un comportament similar i paral·lel al de la pila central, malgrat que

168 Projecte final de carrera

sembla que obtinguem temperatures una mica més grans (possiblement per desajustos en les mides d’alçada) Calculant només els gradients en la pila central, i agafant distàncies diferents cada vegada s’obtenen els següents resultats:

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 10 mm: TC1-TC2 = 4.0373 ºC TC2-TC3 = 8.5877 ºC TC4-TC5 = 4.7537 ºC TC5-TC6 = 7.2300 ºC

(TC1-TC2)/D (TC2-TC3)/D (TC4-TC5)/D (TC5-TC6)/D

= 403.73 ºC/m = 858.77 ºC/m = 475.37 ºC/m = 723.00 ºC/m

S’obtenen unes diferències de temperatures molt diferents entre si.

Si es calcula la mitjana i la desviació estandard dels gradients: MITJANA = 615.2175 ºC/m

DESVIACIÓ=212.30 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les peces mostres) TC1-TC3 = 12.6250 ºC TC3-TC4 = 11.2276 ºC TC4-TC6 = 11.9837 ºC

(TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m

MITJANA = 597.2717 ºC/m

DESVIACIÓ =34.97 ºC/m

Ha millorat amb gran quantitat la desviació tipus. Cal tenir en compte que només hi havia 3 dades.

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm.

TC2-TC4 = 19.8153 ºC TC3-TC5 = 15.9813 ºC

(TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m

MITJANA = 596.61 ºC/m

DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm.

TC1-TC4 = 23.8526 ºC TC2-TC5 = 24.5690 ºC TC3-TC6 = 23.2113 ºC

(TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m

MITJANA = 596.94 ºC/m

DESVIACIÓ = 16.98014 ºC/m

169 Projecte final de carrera

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm.

TC1-TC5 = 28.6063 ºC TC2-TC6 = 31.799 ºC

(TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m

MITJANA = 604.053 ºC/m

DESVIACIÓ = 45.151 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)

Diferència de temperatures separades 60 mm: TC1-TC6 = 35.8363 ºC

(TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m

Òbviament, per causes d’estadística, només són comparables les desviacions estàndards de mostres d’igual número de dades. Si comparem les de D=20 mm, i les de D=40 mm, on tenim 3 dades en cada cas, la desviació estàndard es redueix a la meitat (de 34ºC/m a 16ºC/m). Si comparem les desviacions de les mostres de 2 dades (com les de D=30 mm i les de D=50 mm) també s’obté una reducció de la meitat: de 90 ºC/m a 45 ºC/m (i això que no hem doblat els 30 mm per passar a 60 mm, sinó que ens quedem a D=50 mm).

S’observa que per a més dades, la desviació és inferior, però cal fixar-se en el cas de D=10 mm, on tenim 4 dades i tenim la desviació de 212 ºC/m. El que si que queda clarivident és que per a aproximar millor el càlcul del gradient s’ha tenir distàncies com més grans millor.

Això dóna a pensar que és favorable INTENTAR EXPERIMENTAR amb dues peces, de conductivitat coneguda, més grans, en comptes de tres peces més petites com actualment s’està fent. Una altra raó per a EXPERIMENTAR amb dues peces, és que, al no tenir tants forats (només es necessitaran 2 a cada peça, per tant 4 en total), no es distorsionarà tant el flux de calor que travessa el cilindre.

Un condicionant en contra d’experimentar amb dues peces, és la suposada simetria que s’obté amb el Guard Furnace (Forn de Guarda) actualment amb les 3 peces, però aquesta asimetria que obtindríem, és molt petita, i no afectarà gaire al nostre flux, ja que tenim un bon aïllant entre la pila i el forn de guarda. Càlculs realitzats amb les dades de la Diatomea, dónen un flux de calor, per a una diferència de temperatura constant al llarg de la pila de 10ºC (cas més desfavorable), de 0,4496 W, és a dir, un 1,7% del flux que travessa la pila. En estat estacionari, però, seria molt inferior, i en qualsevol cas, es pot regular les temperatures del forn de guarda.

170 Projecte final de carrera

Fig. 8.13 Tipologies de camp de temperatura en pila central

S’observa en la Fig. 8.13 la simetria citada anteriorment. Les peces patró A tenen la mateixa conductivitat, mentres que la peça desconeguda B té una conductivitat que serà inferior o superior a A en el rang de temperatures d’estudi. Tenint en compte aquesta diferència de conductivitats i les resistències de contacte, s’observa que les corbes de temperatures seran com la vermella en el cas que la conductivitat de B sigui més petita que la del material A. En el cas contrari tenim la corba groga. El forn de guarda segueix una corba més o menys lineal representada de color blau.

Segons el fabricant de termoparells SEDEM consultat, el problema real dels termoparells és el fons d’escala. Això vol dir que cada termoparell té una corba característica pròpia que relaciona la e.m.f. que dóna amb la temperatura mesurada. Els errors no són constants, si no que depenen de la temperatura a la qual es mesura.

L’error que s’obté per la indeterminació de la localització dels termoparells (la inexactitud de la distància) no és tan gran com es podia pensar, ja que SEDEM asegura que els termoparells que venen incorporats amb màntel, van soldats en el centre de la punta, i que això es fa microscòpicament. Aquest fet pot semblar inútil, ja que no serveix en el nostre cas tenir molt ben localitzat el punt del sensor de temperatura, si la lectura que dóna depén d’un fons d’escala desconegut.

Només pot ser útil quan d’aquest

termoparell previ a la seva instalació, se li ha fet un calibratge.

171 Projecte final de carrera

Per veure si és efectiu un calibratge, seguidament s’analitza la prova consistent en sotmetre el conjunt a una temperatura constant, introduint en els quatre controladors PID la temperatura de 240ºC, que era la superior en les experiències anteriors. Aquest calibratge el podem qualificar d’atrevit, ja que els termoparells estan separats, i no tenim la certesa que tota la peça estigui a la mateixa temperatura. Però els resultats obtinguts són molt interesants de seguir amb la mateixa operativa d’abans. Posteriorment es fa una prova similar, però ara introduïnt la temperatura de 200 ºC. Els resultats d’aquestes dues experiències 4.3 i 4.4 es troben en la taula adjunta.

TERMOPAR

LECTURA (µV)

TEMPERATURA

TERMOPAR

LECTURA (µV)

(ºC)

TEMPERATURA (ºC)

TC1

9723

239.4612

TC1

8096

198.8115

TC2

9787

241.0529

TC2

8160

200.4121

TC3

9703

238.9636

TC3

8078

198.3613

TC4

9732

239.6851

TC4

8106

199.0616

TC5

9801

241.4010

TC5

8153

200.2371

TC6

9730

239.6353

TC6

8114

199.2617

TC7

9753

240.2074

TC7

8130

199.6618

TC8

9729

239.6104

TC8

8113

199.2366

TC9

9624

236.9971

TC9

8022

196.9610

TC10

9640

237.3954

TC10

8035

197.2861

TC11

9496

233.8080

TC11

7904

194.0111

TC12

9493

233.7332

TC12

7902

193.9611

TC13

9709

239.1129

TC13

8091

198.6864

TC14

9720

239.3866

TC14

8103

198.9865

9712

239.1875

TC15

8092

198.7114

TC15

EXPERIÈNCIA 4.3

EXPERIÈNCIA 4.4

Podríem fixar-nos una altra vegada entre els valors màxims i mínims de cada experiència i notar que en principi són variacions acceptables. Es podria notar que en el forn de guarda existeixen els termoparells núm. 11 i 12 que destaquen per donar les temperatures més inferiors i allunyades. Però no ens interessa de moment el conjunt de termoparells, sinó que centrarem l’atenció en els TC1 a TC6 que són els de la pila central, i els que en definitiva, dónen lectures amb les quals s’opera per obtenir el resultat final.

172 Projecte final de carrera

Si de cada experiència, “prenem” com a termoparell referència el TC1, que correspondría a aquell termoparell que dóna la temperatura exacta, i restem a cada lectura dels altres termoparells la temperatura llegida per TC1, obtenim la desviació que dóna cada termoparell.

di = TCi – TC1

⇒ TCi* = TCi – d = TCi – TCi + TC1 = TC1

essent TCi* la temperatura del termoparell TCi un cop se li aplica la correcció de la seva desviació.

Verifiquem, per als termoparells indicats abans, les seves desviacions:

Termoparell

Desviació a 4.3

Desviació a 4.4

TC2

+1.5917

+1.6006

TC3

-0.4976

-0.4502

TC4

+0.2239

+0.2501

TC5

+1.9398

+1.4256

TC6

+0.1741

+0.4502

Verifiquem que per a cada termoparell són diferentes les desviacions, però és curiós el paral·lelisme entre les dues experiències. No és d’extranyar que les desviacions siguin diferentes per a cada experiència, ja que la desviació, tal com informava SEDEM, era funció de la temperatura. El que passa és que per a petits intervals de temepratura, aquesta desviació és manté aproximadament igual. El resultat seria similar si s’hagués pres com a termoparell de referència qualsevol altre. El que passa és que quan corregim les temperatures, el valor absolut de la temperatura potser diferirà del valor físic real, depenent de la bondat del valor de referència.

Passem, doncs, a corregir els resultats de l’experiència 4.2 amb aquestes desviacions.

Com que la peça té un gradient de 40ºC, les desviacions calculades segons l’exp. 4.3 a 240ºC no són les millors per als termoparells que llegeixen valors al voltant de 200ºC, i a

173 Projecte final de carrera

la inversa. Per això, es corregeixen els TC1, TC2, TC3 amb les desviacions de l’exp. 4.3, i els TC4,TC5,TC6 es corregeixen amb les desviacions de l’exp. 4.4.

Tot seguit, es compara l’estudi realitzat anteriorment calculant els diferents gradients segons diferentes distàncies, i les seves desviacions, i es compara sense i amb correcció.

Termoparell

Temp. 4.2 (ºC)

TC1

236.5986

236.5986

TC2

232.5614

230.9697

TC3

223.9736

224.4712

TC4

212.7461

212.4961

TC5

207.9924

206.5669

TC6

200.7623

200.3122

SENSE CORREGIR

Temp. 4.2 corregida (ºC)

AMB CORRECCIÓ

Si prenem les diferències de temperatures distanciades D=10 mm: *

(TC1-TC2)/D = 403.73 ºC/m (TC2-TC3)/D = 858.77 ºC/m (TC4-TC5)/D = 475.37 ºC/m (TC5-TC6)/D = 723.00 ºC/m

(TC1-TC2) /D = 562.90 ºC/m * (TC2-TC3) /D = 649.84 ºC/m * (TC4-TC5) /D = 592.93 ºC/m (TC5-TC6)* /D = 625.46 ºC/m

MITJANA = 615.2175 ºC/m DESVIACIÓ=212.30 ºC/m

MITJANA = 607.7819 ºC/m DESVIACIÓ = 37.93 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les peces mostres) *

(TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m

(TC1-TC3) /D = 606.37 ºC/m (TC3-TC4)* /D = 598.76 ºC/m (TC4-TC6)* /D = 609.19 ºC/m

MITJANA = 597.2717 ºC/m DESVIACIÓ =34.97 ºC/m

MITJANA = 604.7736 ºC/m DESVIACIÓ = 5.3981 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm. *

(TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m

(TC2-TC4) /D = 615.79 ºC/m * (TC3-TC5) /D = 596.81 ºC/m

MITJANA = 596.61 ºC/m DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m

MITJANA = 606.2987 ºC/m DESVIACIÓ = 13.4169 ºC/m

174 Projecte final de carrera

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm. *

(TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m

(TC1-TC4) /D = 602.56 ºC/m * (TC2-TC5) /D = 610.07 ºC/m * (TC3-TC6) /D = 603.97 ºC/m

MITJANA = 596.94 ºC/m DESVIACIÓ = 16.98014 ºC/m

MITJANA = 605.5362 ºC/m DESVIACIÓ = 3.9889 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm.

(TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m

(TC1-TC5)* /D = 600.64 ºC/m * (TC2-TC6) /D = 613.15 ºC/m

MITJANA = 604.053 ºC/m DESVIACIÓ = 45.151 ºC/m

MITJANA = 606.89 ºC/m DESVIACIÓ = 8.8480 ºC/m

Diferència de temperatures separades 60 mm: (TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m

*

(TC1-TC6) /D = 604.7736 ºC/m

La millora és, indubtablement, substancial. Si ens fixem en els valors de gradients formats a partir de D=20 mm, s’observa que passem de tenir gradients tant diferents des de 561 ºC/m fins al valor de 631 ºC/m (un interval de 70 ºC/m), mentre que un cop s’han corregit les lectures termopàriques, l’entorn es redueix entre 599 ºC/m a 609 ºC/m (només un interval de 10ºC/m, una setena part).

Aquesta variabilitat, inclús, queda millorada si fixem els gradients a partir de D=40 mm (és a dir, peces més grans). L’interval queda reduït a 6ºC/m, tenint una desviació tipus els 3 gradients de 4ºC/m.

A part d’aquestes experiències, es realitza unes altres isotèrmiques a 100ºC (exp. 4.5), a 220ºC (exp. 4.6) i una final posant com a temperatures extremes 250ºC i 210ºC (exp.

4.7), els resultats de les quals es poden consultar en els annexos. La conclusió és que es fa inevitable una correcció per comparació dels termoparells amb un de referència, i l’estudi de tenir major distància entre els termoparells. A el mètode d’escalfar tota una peça a una temperatura isoterma, i aplicar la ‘calibració’ dels termoparells, l’anomenem ‘Referenciació in situ’. De fet, no podem parlar de calibració, ja que s’escull un termoparell a l’atzar com el de referència, però en principi no ens importa gaire si la seva lectura és la més aproximada a la temperatura real.

175 Projecte final de carrera

En aquest moment, s’ha procedit a col·locar una etiqueta a cada termoparell, de manera que els tindrem numerats.

Es creu oportú seguir el comportament d’aquests termoparells a temperatures més elevades ja que en aquest conductivímetre, el rang de treball pot arribar fins els 1000 ºC. Per a portar a terme la comprovació d’errors relatius entre els sis termoparells (per tal d’eliminar el que clarament és coneix com error sistemàtic), es va idear el següent muntatge: Es va disposar del mateix conductivímetre, el qual disposa de quatre controladors PID que tenen com a finalitat mantenir els dos extrems de la pila i els extrems del forn de guarda a unes temperatures concretes. L’objectiu final es mantenir la pila a temperatura uniforme mantenint els controladors PID tots a la mateixa temperatura. A més, es dissenya una peça especial per a la col·locació dels sis termoparells: es tracta d’una peça cilíndrica metàl·lica, en la qual s’hi practiquen sis forats radials.

Fig. 8.14 Peça per a la referenciació permanent dels termoparells

Aquesta peça pretén que les lectures llegides pels sis termoparells estiguessin el més possible concentrades en un sol punt de la peça, a fi i efecte de poder evitar pertorbacions degudes a una possible imperfecte isotèrmia. En aquesta experiència, l’objectiu de la isotèrmia és una dificultat més afegida, ja que els controladors PID presenten certes oscil·lacions periòdiques característiques del sistema (acoplament) i pertorbacions mínimes degudes al fenòmen del ‘soroll’. En definitiva, la condició d’isotermicitat no està garantida, però no es cap problema si tenim en compte que els petits canvis de lectura donats pels termoparells segueixen cicles d’uns quatre minuts, i

176 Projecte final de carrera

les lectures dels sis termoparells poden ésser preses en un lapse de temps considerablement més petit (20 segons) fet que tenint en compte que el punt de lectura de temperatures pels sis termoparells és localment el mateix i que les oscil·lacions de temperatures a més eren quasi insignificants (0.8 ºC), els resultats de les lectures dels sis termoparells poden esser considerats perfectament sota condicions d’estat estacionari a efectes de l’objectiu a aconseguir.

Els resultats es troben als Annexos. Aquesta taula de referenciació, permet corregir les lectures mitjançant la interpolació, respecte un dels termoparells.

El problema que es planteja és que quan els termoparells que han estat referenciats respecte aquest mètode, un cop s’haguessin trencat, s’haurien de tornar a referenciar un paquet nou de termoparells. Però si el sistema funciona, una referenciació que pot durar una semana de pràctica, permet tenir un conjunt de termoparells amb una taula de correccions per molt de temps.

En el gràfic següent, mostrem l’evolució de les lectures dels 6 termoparells en un entorn d’entre 180-220 ºC. Veiem que són força lineals, mentre que entre ells les diferencies son

t 180 185 190 195 200 205 210 215 220

TC1 7344 7557 7761 7962 8160 8367 8565 8776 8970

TC2 7367 7582 7787 7988 8186 8393 8589 8800 8992

TC3 7273 7482 7684 7883 8077 8278 8473 8684 8876

TC4 7268 7476 7678 7877 8071 8274 8469 8680 8872

TC5 7264 7471 7673 7871 8063 8258 8453 8663 8855

TC6 7297 7503 7704 7903 8092 8299 8493 8702 8895

Lectura emf (10e-6V)

una mica notables.

8700 8200 7700 7200 1

2

3

4

5

6

Termoparell

Fig. 8.15 Resultats en la referenciació permanent dels termoparells

L’experiència 5.1 es composa de 3 peces d’Inconel, però en aquest cas s’ha substituit la peça III, que en principi era sospitosa de tenir alguna errada, per la peça IV. El posicionament, de dalt a baix segueix l’ordre I,II i IV. Per error, s’ha posat la peça I a l’inrevés, de manera que la localització del TC13 (MAIN) la tenim localitzada a l’alçada de

177 Projecte final de carrera

TC2. No es cap problema, ja que el selector de MAIN GUARD el posicionem al TC10 coincidint aproximadament amb aquesta alçada. A més, servirà aquesta prova per veure si s’arriba a un transitori més estable, pel fet de tenir la temperatura de control MAIN més lluny de la resistència. Al veure que les temperatures oscil·laven molt, especialment la del TC1 (per estar entre la resistència focus i el termoparell de control), s’opta per fer un auto-tunning, acció que fa estabilitzar molt bé la situació. Les temperatures de control han estat de 230ºC i 180 ºC, ja que no permetia el sistema arribar a una temperatura superior en el MAIN. El resultat en els termoparells principals en l’experiència, i afegint-hi el factor correcció per taula, han estat els següents:

EMF (µV)

Temp (ºC)

EMF (µV)

Temp (ºC)

5.1

5.1

5.1 corregit

5.1 corregit

TC1

9962

245.40

9962

245.40

TC2

9406

231.56

9386

231.06

TC3

8972

220.72

9067.35

223.11

TC4

8350

205.17

8444.17

207.52

TC5

7992

196.21

8086.78

198.58

TC6

7276

178.34

7322.79

179.50

TC

La correcció s’ha fet a partir d’interpolar en la taula de referenciació el valor dels termoparells 2 a 6 respecte el TC1. Per tant el valor de cada termoparell és el que correspondria a la lectura del TC1 si estigués posat a cada lloc.

Els resultats de fluxos de calor són els que segueixen: Q1=10750.52 W/m

2

Q1corregit=11135.01 W/m

Q2=11737.06 W/m

2

Q2corregit=11790.34 W/m

Q3=13077.64 W/m2

2 2

Q3corregit=13988.24 W/m2

El resultat ha estat decebedor. Mentres que la diferència dels fluxos més gran en l’experiència sense calibrar ha estat de un 21.6%, aquesta augmenta fins el 25.62% en quant s’aplica la suposada referenciació. Dóna a entendre que els termoparells es comporten entre ells de manera diferenta quan estan muntats d’una manera o unaltre.

178 Projecte final de carrera

Degut a que l’experiència 5.1 s’ha realitzat en principi d’una manera anòmala, descartem continuar provant fent isotermes a aquest muntatge, i es passa a l’experiència següent.

Es passa a experimentar amb el material Electrolytic Iron, per veure el seu comportament. Estem parlant d’un material de major conductivitat que l’Inconel 718 a les temperatures d’estudi, i amb una mica més de pendent respecte la temperatura.

L’experiència 6.1 la realitzem amb les temperatures de control 240ºC i 190ºC. Degut a que el material és diferent, i per tant es calenta de manera diferent, després d’un temps raonable es comprova que les temperatures han arribat a un transitori molt oscil·lant. Es fa un auto-tunning de manera que el sistema cerca els seus paràmetres Proporcional, Derivador i Integrador de manera automàtica, arribant a un transitori força més estable.

Es treu la conclusió, doncs, que per a cada experiència s’haurà de fer un self-tunning. Els resultats obtinguts són:

TC1:

9815

241.75 ºC ∆T1= 9.0629 ºC

λ1=58.4226 W/mK

TC2:

9451

232.69 ºC Tm1=237.2175 ºC

Q1=27794.26 W/m

TC3:

8882

218.47 ºC ∆T2= 10.8570 ºC

λ2=60.1172 W/mK

TC4:

8448

207.62 ºC Tm2=213.0456 ºC

Q2=34262.15 W/m

TC5:

8128

199.61 ºC ∆T3= 11.5718 ºC

λ3=61.4704 W/mK

TC6:

7665

188.04 ºC Tm3=193.8260 ºC

Q3=37339.70 W/m

2

2

2

S’observen a priori dues característiques: a) el cabal ha crescut respecte les altres proves: estem a l’ordre de 35000 W/m 2. b) la diferència entre cabals és molt gran: 34.34% entre el màxim i el mínim.

El primer fet és degut al creixement de la conductivitat tèrmica del material, que provoca també que els gradients de temperatura en les peces sigui inferior. El que no sabem és el factor que limita el cabal: en aquesta experiència només hem posat en les temperatures de control 50 ºC de diferència, ja que més no permetia el sistema. En canvi, amb l’Inconel, era difícil pujar de 60ºC de gradient, però tot i això el cabal era inferior. A més cabal, podem tenir més gradient de temperatura, que en principi sembla favorable a tenir millor precisió.

179 Projecte final de carrera

Podem asumir que la característica b) és deguda a la imprecisió de la conductivitat tèrmica, ja que depén més fortament de la temperatura, i un error de temperatura provoca una desviació en la conductivitat més gran que no pas en les peces anteriors. Per tant, el fet que el manual digui que una experimentació no sigui vàlida a partir d’una diferència superior del 20% entre els seus gradients, no pot ser generalitzable, ja que dependria de les peces mostra.

Si s’intenta cercar la conductivitat a la peça 2, a partir de Q 1 i Q3: Q=(Q1+Q3)/2 = 32566.98 W/m2

⇒ λ2=Q·d/∆T = 57.14 W/mK

El resultat esperat era de 60.12 W/mK, per tant no està tant malament. Això ratifica el fet que encara que els cabals difereixin molt, es pot trobar (per sort?) un bon resultat, mentres que no es pot assegurar que trobant una bona similitud entre cabals el resultat sigui òptim.

Si apliquem la taula de referenciació als resultats de 6.1, obtenim: Q1=28734.7037 W/m

2

2

Q2=33776.5587 W/m

Q3=40417.8144 W/m

2

diferenciant-se aquests valors un 40,65 %, pitjor encara que sense referenciació.

El resultat de conductivitat cercat és similar al trobat sense referenciar.

El muntatge de les experiències 7 és similar al 6, però ara l’ordre de les Electrolytic ha variat, posant les peces en l’ordre 2,3,1 cap avall. L’objectiu és veure si els cabals continuent tenint l’ordre QI < QII < QIII com a l’experiència anterior.

A l’experiència 7.1 les temperatures de control són 240ºC i 190 ºC. Els resultats són:

TC1:

9772

240.68 ºC ∆T1= 9.6401 ºC

λ1=58.5312 W/mK

TC2:

9385

231.04 ºC Tm1=235.85985 ºC

Q1=29619.25 W/m

TC3:

8938

219.87 ºC ∆T2= 11.6818 ºC

λ2=60.0580 W/mK

TC4:

8471

208.19 ºC Tm2=214.0334 ºC

Q2=36828.63 W/m

TC5:

8153

200.24 ºC ∆T3= 12.197 ºC

λ3=61.4517 W/mK

TC6:

7665

188.04 ºC Tm3=194.1385 ºC

Q3=39345.21 W/m

2

2

2

180 Projecte final de carrera

Ara, Q1=QII, Q2=QIII , Q3=QI. Es compleix que els cabals són més grans quan més avall, però no ha estat en funció de les peces: ara Q II < QIII < QI. La primera sospita rau en el Forn de Guarda, que treu flux de calor per la part superior i n’injecta per la part inferior (veure gràfic). Però el que es creu la causa més probable, és que els termoparells, que han estat posicionats en el mateix ordre que anteriorment, provoquen sempre aquesta desigualtat.

240

TEMP. (ºC)

230 220 210 200

PILA CENTRAL

190

FORN GUARDA

180 40

60

80

100

120

ALÇADA (m m )

Fig. 8.16 Resultats en l’experiment 7.1

La diferència entre cabals màxima és del 32.84%.

Si cerquem la conductivitat per la peça 2=III, trobem λobtinguda=56.2316 que correspon a la T=272ºC (uns 60º C més del que toca).

Per tal d’eliminar la posibilitat abans esmentada que el forn de guarda sigui el causant de la diferència de cabals entre peces, es realitza l’experiència 7.2, similar a l’anterior, però consistent en regular el forn de guarda per tal que linealment sigui més semblant a la pila central, i no tingui tanta desviació en els extrems. Per a aquest ajust, es pren com a referència la peça central de la pila, i el seu gradient (T 3-T4)/d. Si es perllonga aquest gradient fins a les alçades del MAIN GUARD i AUX GUARD, s’obtenen les temperatures de control 235 ºC i 193 ºC. Els resultats obtinguts a 7.2, en temperatura, són pràcticament iguals que a 7.1, la qual cosa ens elimina la possibilitat que el forn de guarda sigui un causant directe important d’anomalies a la pila central, que sembla sigui un avantatge.

181 Projecte final de carrera

Experiència 7.1

Experiència 7.2

TC1:

9772

240.68 ºC

TC1:

9770

240.63 ºC

TC2:

9385

231.04 ºC

TC2:

9387

231.09 ºC

TC3:

8938

219.87 ºC

TC3:

8936

219.82 ºC

TC4:

8471

208.19 ºC

TC4:

8473

208.24 ºC

TC5:

8153

200.24 ºC

TC5:

8145

200.04 ºC

TC6:

7665

188.04 ºC

TC6:

7660

187.92 ºC

Els resultats de 7.2 referents a fluxos són 29313 W/m 2, 36513 W/m2 i 39108 W/m2 respectivament, essent la diferència màxima del 33%.

Es fan experiències similars 7.3. i 7.4 que no aporten cap novetat ni millora substancial (veure els resultats experimentals en els annexos).

Un cop eliminades les possibilitats que el forn de guarda sigui l’actuant i causant que la relació de fluxos es mantingui tant diferent i alhora ordenada tal que Q II < QIII < QI, ja que les peces tampoc sembla que siguin diferents i provoquin aquesta desigualtat, es prepara l’experiment 8 que consta de: -

tenir el mateix ordre de peces que l’exp. 7: és a dir, de dalt a baix les peces són la 2, 3 i 1.

-

canviar l’ordre de termoparells: en aquest ordre TC5,TC6 per a la peça superior 2, mantenir TC3 i TC4 per la peça central 3 i posar els TC1 i TC2 a la peça inferior 1.

-

Mantenir el gradient de temperatures que en 7.1: 240 i 190 ºC per els MAIN i els AUX.

Notem que en aquestes experiències s’estan cercant causes d’error, i no s’està experimentant ni ajustant temperatures per tal d’obtenir la màxima precisió.

Els resultats a l’experiment 8.1 són els següents:

Experiència 8.1 TC5:

9766

240.53 ºC ∆T1= 13.8092 ºC

λ1=58.6824 W/mK

TC6:

9212

226.72 ºC Tm1=233.6261 ºC

Q2=42538.71 W/m

TC3:

8784

216.02 ºC ∆T2= 11.5335 ºC

λ2=60.2846 W/mK

TC4:

8323

204.49 ºC Tm2=210.2563 ºC

Q3=36498.30 W/m

TC1:

8166

200.56 ºC ∆T3= 10.5991 ºC

λ3=61.3790 W/mK

TC2:

7742

189.96 ºC Tm3=195.2626 ºC

Q1=34150.24 W/m2

2

2

182 Projecte final de carrera

Ens trobem que la diferència és del 24.5%, però el que és més important, és que l’ordre de fluxos ara pertany a: Q2 > Q3 > Q1, totalment a l’inrevés que abans. En termes de termoparells, equival a dir que Qtc56 > Qtc34 > Qtc12, i aquesta desigualtat si que s’ha mantingut en les tres experiències 6.1, 7.1 i 8.1.

Es pot concloure que els termoparells són els causants principals de desigualtats de fluxos, sense desestimar però, altres causants. S’haurà de tendir a fer experiments de manera que després d’una correcció de temperatures, el resultat s’avingui millor per tenir més precisió, i un dels pocs (únic?) indicadors que tenim fins el moment és el càlcul de fluxos de peces conegudes.

Un dels mètodes que poden ajudar és el Mètode In Situ comentat anteriorment. Unaltre que pretén fer el mateix: trobar les desviacions aproximades de cada termoparell per cercar les temperatures més exactament, s’aconsegueix mitjançant la permutació dels termoparells.

Fig. 8.17 Permutació dels termoparells en les peces

En els punts 1 i 2 de la peça es tenen les temperatures reals T1 i T2 respectivament.

Quan es posen els termoparells TC1 i TC2 en la posició A, aquests dónen com a lectures TC1 = T1 + dTC1

TC2 = T2 + dTC2

∆TA= TC1-TC2=T1-T2+dTC1-dTC2

essent dTC1 i dTC2 els errors sistemàtics dels termoparells 1 i 2 respectivament.

Quan intercanviem els termoparells, les lectures que es perceben i el gradient trobat correspon a: TC1 = T2 + dTC1

TC2 = T1 + dTC2

∆TB= TC2-TC1=T1-T2+dTC2-dTC1

183 Projecte final de carrera

i si busquem la mitjana dels dos gradients trobats en les dues posicions: ∆T = (∆T A + ∆T B) / 2 = (T1-T2+dTC1-dTC2 + T1-T2+dTC2-dTC1)/2 = (2·T1 – 2·T2)/2 = T1 – T2.

Per tant, trobariem el gradient real de temperatures. Aquest mètode, però, implica mig desmuntar l’experiment, sense desmuntar la pila central, però intercanviant els termoparells de lloc. Aquest fet topa amb la repetitivitat d’experiències. El segon posicionament potser no repeteix de la mateixa manera el camp de temperatures, i per tant les condicions de mesura queden alterades. A més, al tocar els termoparells poden quedar de diferent manera fent que la seva desviació sistemàtica hagi variat.

Per comprovar unaltra vegada la repetitivitat d’experiments, es fa l’experiment 8.2, on es troben petites desviacions respecte l’experiment 8.1 respecte temperatura (la màxima correspon a 0.7 ºC en el termoparell núm. 6). Els cabals, però, si que difereixen bastant, degut bàsicament a que com que l’Electrolytic Iron té una conductivitat amb una dependència lineal respecte la temperatura molt elevada, una petita desviació en el càlcul de la temperatura mitjana, fa que la conductivitat a aquesta temperatura varii en ambdós casos, provocant diferències en els fluxos.

Malgrat tot, fem l’experiment 8.3 consistent en permutar dos a dos els termoparells de cada peça. Per tant l’ordre de dalt a baix serà de 6 a 1 decreixent.

Experiència 8.3 TC6:

9702

238.94 ºC ∆T1= 10.0201 ºC

λ1=58.6642 W/mK

TC5:

9300

228.92 ºC Tm1=233.9286 ºC

Q2=30856.80 W/m

TC4:

8885

218.55 ºC ∆T2= 11.0572 ºC

λ2=60.1188 W/mK

TC3:

8443

207.49 ºC Tm2=213.0205 ºC

Q3=34894.76 W/m

TC2:

8217

201.84 ºC ∆T3= 12.6491 ºC

λ3=61.3589 W/mK

TC1:

7711

189.19 ºC Tm3=195.5133 ºC

Q1=40742.01 W/m

2

2

2

Es pot observar, com només fent aquesta permutació, els fluxos varien l’un a l’altre fent que ara tornem a tenir QII < QIII < QI. La relació entre fluxos extrems representa una variació entre ells del 32%.

184 Projecte final de carrera

Si apliquem la pràctica abans comentada, fent les mitjanes de temperatures, i també per sobre de les conductivitats es troben els següents resultats:

2

∆T2= 11.565 ºC

λ2=58.6613 W/mK

Q2=35612.49 W/m

∆T3= 11.058 ºC

λ3=60.2035 W/mK

Q3=34945.54 W/m2

∆T1= 11.699 ºC

λ1=61.3828 W/mK

Q1=37695.82 W/m

2

Els fluxos s’assemblen ara molt més, ja que existeix només una diferència màxima del 7.87% entre ells.

Si es simulés que es cerca la conductivitat de la peça central 3, tenim Qmig= (Q2+Q1) / 2 = 36654.1528 W/m2. λtrobada= Q·d/∆T= 63.14 W/mK. I la conductivitat esperada a la temperatura de 211,6 ºC és 60.20 W/mK, per tant s’ha produït un error del 4.88%.

Si ho féssim a l’experiment 8.3 tal cual, la λtrobada= Q·d/∆T= 61.68 W/mK, mentres que la conductivitat esperada a la temperatura de 213.02ºC és de 60.12 W/mK, obtenint per tant un error de només 2.60%. Tornem a tenir casos on tenint càlculs de fluxos de calor molt diferent entre les peces, la seva mitjana no s’allunya tant (per casualitat de desviacions de termoparells) del flux esperat en la peça incògnita.

El conjunt d’experiències 9 serveix per comprovar l’efectivitat del Mètode In Situ versus la Taula Referenciació realitzada independentment. S’utilitza la Peça Única, posant els termoparells seguits i en ordre. L’experiment 9.1 es realitza amb un gradient petit (180 a 160 ºC), i la 9.2 serveix per a la correcció amb el mètode In Situ. Com que no es coneix el material de la peça ni la seva conductivitat, s’estudien les diferències de temperatura que haurien de ser molt semblants.

L’exp. 9.1 dóna com a diferències:

TC1-TC2= 2.0928 ºC

TC3-TC4= 3.0085 ºC

TC5-TC6= 2.6817 ºC

185 Projecte final de carrera

Entre els valors de 2.0928ºC i 3.0085ºC existeix una diferència del 43.75% molt elevada.

Si s’aplica la correcció a partir de l’exp. 92 el resultat és: TC1-TC2= 2.7393 ºC

TC3-TC4= 3.48 ºC

TC5-TC6= 2.83 ºC

Ara la diferència maximal correspon a un 27.03%: molt millor però encara excessiu.

Si s’aplica la correcció a partir de les dades de Referenciació de termoparells: TC1-TC2= 2.58 ºC

TC3-TC4= 2.74 ºC

TC5-TC6= 3.63 ºC

Tornem a tenir una diferència del 40.69%, que és excessivament alta. Donem per supost que el sistema de referenciació de termoparells previ no és el millor mètode per calcular les desviacions sistemàtiques dels termoparells, i s’opta per fer servir el Mètode In Situ com el millor per a la correcció i millorament de les experiències. Aquest mètode ajuda sensiblement al càlcul dels gradients en les peces, però no em diu res sobre la temperatura mitjana real, que pot influir negativament en les peces de conductivitat amb forta dependència lineal amb la temperatura. Per millorar aquest aspecte, només cal tenir gradients elevats, i per aconseguir-ho es fa necessari tenir distàncies intertermopàriques elevades i quan més diferencial de temperatura millor.

La resta d’experiències constaten el mateix que el trobat fins el moment i no aporten res de nou. Per a la millora de l’experimentació, que en teoria hauria de permetre calcular valors de conductivitat més propers, sense dependre de la sort d’escollir termoparells, s’han trobat el mètode, així com les circumstàncies més òptimes que poden ajudar a assolir l’objectiu.

En aquest capítol s’han trobat les conclusions d’una manera totalment experimental, malgrat els recursos de que es disponien. En altres capítols s’estudien els diferents paràmetres a partir de l’ajuda del càlcul numèric, o bé s’analitza d’una manera més paramètrica (amb les suposicions pertinents) els factors que intervenen en el procés de funcionament del conductivímetre.

186 Projecte final de carrera

També en els annexos es pot trobar l’experimentació realitzada amb una bomba d’aigua, reciclada per a l’ocasió. Aquesta iniciativa partí del Departament, ja que la primera sospita d’aquest era que no circulava prou aigua pel conductivímetre, no refrigerant-se prou aquest, impedint tenir un flux uniforme. Els resultats amb o sense bomba són pràcticament constants, ja que quan s’imposen temperatures amb els PID i les resistències, l’efecte refrigerant queda anul·lat. Senzillament, si s’anul·la la resistència inferior (posant 0ºC per exemple en el PID AUX HEATER), el flux que aconseguirà tenir la pila central serà el màxim amb les condicions de contorn establertes, i augmentant el flux d’aigua pràcticament no s’aprecia cap millora substancial. Seria necessari aplicar a l’aigua una mescla de refrigerant i connectar-ho tot a una màquina refredadora. En els annexos es troben alguna proposta.

187 Projecte final de carrera

Capítol 9 Anàlisi dels paràmetres de disseny i de les variables de mesura 9.1 9.2 9.3 9.4

Introducció Anàlisi modal d’efectes Anàlisi de paràmetres fonamentals en el càlcul de la conductivitat tèrmica Ordres de magnitud en l’error del càlcul de la conductivitat

188 Projecte final de carrera

9.

ANÀLISI DELS PARÀMETRES DE DISSENY I DE LES VARIABLES DE MESURA

9.1

INTRODUCCIÓ

Després de les nombroses experiències realitzades i comentades algunes d’elles en el capítol anterior, s’han extret unes conclusions preliminars que han format la base que conformarien les millores oportunes tant en el mètode de realització de les pràctiques, com d’alguns dels paràmetres que conformen el mecanisme. S’han dut a terme canvis que milloren el càlcul de la conductivitat, i es proposen d’altres canvis que, malgrat no tenir la certesa que milloraríen, s’haurien d’experimentar. Per a això, caldria incorporar nous elements i adquirir noves peces.

L’objectiu d’aquest nou capítol és comprovar d’una manera més analítica les relacions entre paràmetres, i la seva optimització versus el càlcul final de la conductivitat. És una manera de comprovar algunes de les conclusions percebudes durant l’experimentació.

No vol dir això que tota l’experimentació realitzada hagi estat supèrflua i innecessària.

L’experimentació ha estat útil per comprovar algunes causes que eren evidents a primer cop d’ull, com que el gradient sotmés a les peces ha de ser el major possible, ja que numéricament, l’error produit pels termoparells que evoluciona d’una manera més o menys constant en un rang de temperatures, influeix molt menys. També l’experimentació ha ajudat a copsar el funcionament real del conductivímetre, i la seva comparació amb el funcionament teòric. Ha assegurat que el forn de guarda té una distribució tèrmica aproximadament igual a la teòrica, i que el funcionament electrònic de termoparells i lectures és correcte. En l’experimentació han sortit dubtes d’alguns paràmetres, com per exemple el diàmetre de les peces, i que per falta de medis no s’han provat. Per subsanar aquesta mancança, s’ha aprofitat la teoria del càlcul numèric a partir d’elements finits simulant els efectes i cercant els valors òptims. Es troba doncs que el diàmetre aconsellat pel proveidor del conductivímetre és prou òptim.

Fem en primer terme un anàlisi intuitiu de les possibles causes, i recerca de tots els paràmetres que poden afectar en el càlcul final de la mesura de la conductivitat. Més endavant, podem establir un rang en els errors que hi intervenen, ja que en

189 Projecte final de carrera

l’experimentació hem obtingut una idea clara de la magnitud dels errors en les mesures, així com en els mètodes que es fan servir per al càlcul.

9.2

ANÀLISI MODAL D’EFECTES

De la teoria a la pràctica hi ha un munt de desviacions i de no homogeneitats que alteren el nostre procés. De l’eliminació de les possibles variabilitats es trobarà un mètode o procés d’experimentació, si bé no òptim, millor que el que sense cap control de les entrades de valors ni correccions posteriors tindríem.

Si bé és cert que el nucli important del procés del conductivímetre es troba en la pila central, el seu entorn més proper (forn de guarda i aïllament) pot afectar molt sensiblement en el resultat. El sistema de refrigeració, així com tots els útils de mesura hi estan abocats a l’error. La simple introducció d’elements de mesura dins el sistema ja altera aquest, essent imposible la seva medició.

Com en qualsevol altre procés en la indústria, podem dividir les possibles causes d’error en el resultat final a factors com: Factor humà, mètodes, materials i maquinària. I dintre d’aquests grans grups, podem intuir alguns aspectes més concrets per al nostre cas.

En la figura següent es mostra alguns d’aquests factors classificats en cada grup, i també queden marcats en vermell algunes de les seves causes. A grans trets, però, són els que afecten al mètode de càlcul de la conductivitat.

Fig. 9.1 Anàlisi modal de fallades i efectes

190 Projecte final de carrera

Comentem per sobre cada grup de factors:

a) El factor humà: Hem vist que la repetitivitat de les experiències, agafant els mateixos termoparells i les mateixes peces mostra no estava garantida. No hi havia grans diferències, però els resultats no eren el mateixos. Podem donar com a causes directes d’aquest fenòmen l’habilitat de l’operari en fer el muntatge de les peces centrals. L’arrenglerament de les peces pot influir en que el flux circuli més o menys bé, ja que hi haurà una resistència tèrmica o unaltra. En general, però, serà prou òptima i el seu efecte en el resultat final serà inapreciable. També pot afectar la pressió amb que l’operari munta el conjunt, provocant major contacte directe entre les peces. D’altres seria el bon posicionament dels termoparells dins les peces, la col·locació d’olis de contacte, etc...Com a punt final, l’operari que ha de llegir les dades pot adonar-se o no de la variació en el temps de les temperatures, per una mala selecció dels paràmetres PID, obtenint una lectura errònia. b) Les peces mostra intervenen en el procès, i el coneixement de la seva conductivitat tèrmica en el càlcul. Paràmetres geomètrics poden alterar tant una cosa com unaltra: el diàmetre o bé la distància intertermopàrica. La seva conducció (si es homogènia o no) influirà en el procés, mentres que el coneixement per part nostra del valor mig d’aquesta influirà en el càlcul. Si la seva conductivitat depén de la temperatura en ordres de segon terme de manera important, aleshores les suposicions de conductivitat lineal i simplificació dels càlculs serà falsa. La rugositat en les seves superfícies de contacte permetrà un millor contacte, o bé la mecanització dels forats que allotgen els termopars pot determinar alteracions en el flux o no. c) El mètode de càlcul també influeix. Com s’ha comentat anteriorment, les simplificacions per conductivitats lineals pot ser a voltes inapropiada, així com el coneixement de la conductivitat del material. La utilització d’equacions regressores o taules per interpolar poden variar el resultat. El refiament, segons el mètode estàndard, de si tenim fluxos iguals a les dues peces mostres l’experiment ( i per tant el resultat final) ha estat un èxit i el resultat gaudeix d’una garantia impecable, pot portar-nos a errors importants.

191 Projecte final de carrera

d) El funcionament teòric de flux constant al llarg d’una pila central, amb un aïllant perfecte en tot el seu contorn, ha de ser l’objectiu a assolir amb tot el conjunt d’elements que conformen el conductivímetre. Com se sap que això no és cert en el 100%, ja que l’aïllant no és perfecte, les temperatures poden variar de forma temporalment i mínima fins i tot en el seu estat transitori, degut als paràmetres PID i a la pròpia idiosincràcia de l’aparell, i com elements més importants en el càlcul estan les lectures facilitades pels termoparells que tenen les desviacions pròpies d’aquests instruments, és interesant conèixer, i si es pot fitar, l’error que poden provocar aquestes causes.

Algunes d’aquestes possibles causes ja s’han tractat en altres capítols d’aquesta memòria, i fins i tot s’han descartat els seus possibles efectes negatius sobre el càlcul final en un cert ordre de magnitud. Destaquem en el següent apartat aquells paràmetres que afecten bàsicament el càlcul, dins del funcionament teòric del conductivímetre.

9.3

ANÀLISI DE PARÀMETRES FONAMENTALS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA.

Una de les característiques que més sobten en aquest tipus de conductivímetres, és la necessitat imperiosa de contrastar la nostra peça desconeguda amb dues peces mostra de conductivitat coneguda. Aquest fet, en teoria, està pensat per saber amb un cert criteri de qualitat, si l’experimentació s’ha realitzat satisfactòriament. Seria una espècie de control, per saber si el flux circulant per la primera mostra es manté, dins d’una variabilitat raonable, constant fins passar per la segona mostra després d’atravessar la peça posada a prova.

Aquesta comprovació, però, no pot ser igual per a tots els possibles tipus de peça mostra, ja que hi hauran algunes que degut a la seva conductivitat variable amb la temperatura, farà trontollar el càlcul del seu flux de calor de manera diferent. Com s’ha vist amb els dos tipus diferents de materials, Inconel718 i Electrolytic Iron, la desviació de fluxos era en principi diferent en un cas i unaltre. No es pot deduir que el comportament del conductivímetre sigui sensible a la peça mostra introduïda, sino que hi ha una dependència amb el factor lineal de la conductivitat versus la temperatura. Aquest

192 Projecte final de carrera

projecte intenta demostrar, si bé amb matissos, que és preferible prescindir d’aquesta comprovació, si a la vegada això permet obtenir major precisió.

En comptes de tres peces, es poden muntar dues de manera que la coneguda serveix per conèixer el flux circulant, que substituint en l’equació permet trobar la conductivitat de la segona. El fet de necessitar només dues peces, permet que aquestes siguin de major longitud, fent aplicables gradients més grans a cada peça, i disminuint l’error en el càlcul.

De fet, si en teoria el flux circulant és el mateix, o a la pràctica molt poc diferent, degut al bon aïllament, no es creu necessària aquesta comprovació ni cap amitjanament entre dos fluxos.

Per l’anàlisi dels diferents paràmetres, s’utilitza l’equació que iguala el flux circulant per la peça coneguda (c) a la desconeguda (d), com si de dues peces es tractessin.

El cabal calorífic circulant es pot expresar com segueix:

Q = λc

∆Tc ∆Td = λd dc dd

(9.1)

És clar que en cada d’aquestes magnituds que cal mesurar, tindrem una desviació o error respecte la mesura correcta, que em comportarà un error en la magnitud que vull calcular: λ d.

Si aïllem λ d respecte les altres variables, i diferenciem respecte cadascuna d’elles, ens queda:

λ d = λc

∆Tc d d ∆Td d c

(9.2)

(9.3)

 1 ∂λ d =   ∆Td· d c

  λ · ∆T · d λ · ∆T · d  ∆Tc· d d· ∂λc + λc· d d· ∂∆Tc + λc· ∆Tc· ∂d d − c c d ∂∆Td − c c d ∂d c  ∆Td dc  

193 Projecte final de carrera

Si volem que ∂λ d ↓↓ per tal de tenir un error baix, caldria tenir en primer terme, segons l’equació, ∆Td ↑↑ i dc ↑↑. Per tant, peça coneguda el més gran posible, i tenir una diferència de temperatura elevada a la peça desconeguda. Fins aquí segueix bàsicament el que l’experimentació demostrava amb la peça única: a més distanciament entre termoparells per calcular el gradient menys variabilitat existia entre les diferents dades.

També en experimentacions on el gradient aplicat era molt baix, l’error entre fluxos calculats era superior que en d’altres on els gradients eren més elevats. De moment, però, dóna aquestes condicions per una peça i per l’altra, però de fet, són les mateixes condicions: si necessito tenir un gradient elevat a la peça desconeguda, una de les maneres és tenint una peça llarga, i com més distància tingui en la peça coneguda, més gradient tindré per a un mateix flux de calor.

També ens diu, segons els factors que acompanyen les diferents derivades parcials, que en principi: -La conductivitat coneguda hauria de ser baixa: λc ↓↓ -La diferència de temperatura en peça coneguda també baixa: ∆T c ↓↓ -La grandària de la peça desconeguda petita: d d ↓↓ Aquestes condicions son incompatibles si s’analitzen d’aquesta manera: no em poden demanar tenir una gran diferència de temperatura en la peça desconeguda, si aquesta a la vegada ha de ser el més petita posible. Això només es posible tenint un cabal molt elevat, condició que es contraposa amb conductivitat coneguda petita.

Si arreglem l’equació, però, substituint λc per

λd

∆Td· d c = λc ∆Tc· d d

(9.4)

aleshores ens queda una funció, on hi ha una magnitud que ens afecta molt, la conductivitat desconeguda, però que no ens la podem triar, ja que és la que volem.

1  1 1 1 1 ∂λ d = λd  ∂λ c + ∂∆Tc + ∂d d − ∂∆Td − ∂d c  ∆Tc dd ∆Td dc  λc 

(9.5)

194 Projecte final de carrera

Aquí s’observa que preferentment, la conductivitat desconeguda hauria de ser petita (però és una cosa que no es pot escollir). Clarament, l’error en el càlcul de la conductivitat depén d’aquesta. Si és molt elevada, els fluxos seràn elevats, i l’error també serà superior.

De fet, es pot trobar l’error relatiu de la conductivitat a cercar:

∂λ d 1 1 1 1 1 = ∂λc + ∂∆Tc + ∂d d − ∂∆Td − ∂d c ∆Tc dd ∆Td dc λd λc

(9.6)

No és nova la informació que facilita aquesta equació: el que interessa és diferencies grans de temperatura i distàncies grans (peces grans, o el que és el mateix termoparells allunyats). El primer terme on apareix la conductivitat de la mostra coneguda, no ens indica que la conductivitat hagi de ser elevada, sino que el seu error respecte aquesta ha de ser el mínim possible. Si la conductivitat és elevada, però el seu coneixement és menys exacte, ens trobem amb un error similar.

Per tant, tenim acotat l’error que produirem si coneixem cadascun d’aquests paràmetres, i si prenem la hipòtesis que el cabal calorífic circulant és constant en tota la pila (que no tenim pèrdues laterals=conductivitat pols aïllant=0). En el cas real, això no és així, i per tant hauríem d’afegir unaltre paràmetre que ens afegiria error al càlcul de la conductivitat desconeguda.

Per a determinar quin grau d’imprecisió em dóna la no constància del cabal al llarg de la pila, fem servir el càlcul numèric per a simular diverses situacions, i així optimitzar la situació on tenim mínimes pèrdues laterals.

Fixem-nos, però, en els paràmetres inicials abans esmentats, suposant en principi cabal de calor constant: •

El coneixement de la conductivitat ha d’esser el màxim exacte possible. Sembla

evident, però encara podem fer servir algun aspecte que millorarà aquest factor. Si

195 Projecte final de carrera

desenvolupem en funció de la temperatura la conductivitat dels materials, tenim una funció

λ c = a + b·T + c·T2 + ... que si diferenciem respecte la temperatura obtenim

∂λ c / ∂T = bT

(9.7)

la qual cosa implica que ∂λ c = bT· ∂T , implicant el coneixement exacte de la temperatura en l’error de la conductivitat tèrmica de la mostra, però en funció del factor b. Amb peces de conductivitat creixent / decreixent fortament relacionada amb la temperatura (b elevades en valor absolut), un petit error en l’estimació de la temperatura mitjana comportarà un greu error en la conductivitat, provocant una falsa valoració del flux. Per tant, escollirem mostres de conductivitat força constant amb la temperatura (factor de correlació b petit). Aquest fenòmen s’ha pogut comprovar en l’experimentació realitzada entre les peces d’Inconel 718 i les d’Electrolytic Iron.

Per altra banda, al tenir la

conductivitat coneguda en el denominador, sembla que aquesta hagi de ser el més elevada possible, però estarà condicionada als altres factors, com ja es veurà.

•

Si ens fixem en els termes que acompanyen els diferencials de gradient de

temperatura, aquests es poden comparar entre ells, ja que depenen de la casuística dels termoparells: ∂∆T c ≈ ∂∆T d ≈ ∂∆T. Aquest terme té una sèrie d’errors, però s’ha trobat una manera de disminuir-los, eliminant aquest error sistemàtic que diferencia un termoparell d’unaltre, mitjançant el Mètode In Situ. Si agrupem aquests factors:

1 1 ∂∆Tc − ∂∆Td ∆Tc ∆Td

i volem fer mínima aquesta expressió, i tenint en compte que els diferencials de temperatura son equivalents (varien segons una llei probabilística normal),

1 1 ∂∆T − ∂∆T = 0 ∆Tc ∆Td

(9.8)

1 1 − =0 ∆Tc ∆Td

(9.9)

equival a dir que

196 Projecte final de carrera

o el que és el mateix, que els gradients han de ser aproximadament iguals, i a la vegada, el més grans possibles.

•

De forma anàloga a l’anterior, si agrupem els factors que acompanyen els diferencials

de distàncies, i els fem equiparables, trobem que les distàncies intertermopàriques han de ser aproximadament iguals, i a la vegada, el més grans possibles.

•

D’aquestes dues últimes afirmacions, tenim que les peces han d’esser de dimensions

aproximadament iguals, ja que si no, en una tindríem un error petit de distanciament, però en l’altre descompensaria al tenir-ne un de gran. Igualment, amb els gradients de temperatura. Tenint en compte això, si el flux circulant ha de ser el mateix segons l’ eq. 9.1

Q = λc

∆Tc ∆Td = λd dc dd

i reunifiquem els paràmetres estudiats, trobem

λc ∆Td d c = ≈1 λ d ∆Tc d d

(9.10)

és a dir, que les peces desconeguda i mostra han de ser aproximadament de la mateixa conductivitat, a la temperatura mitjana d’estudi. Més endavant ho justificarem tèrmicament, mitjançant el model numèric. Evidentment comporta un mètode iteratiu d’experimentació, on a base d’anar provant peces mostra s’anirà trobant cada cop amb més exactitud el valor de la conductivitat del material d’estudi.

L’espai en el nostre conductivímetre el tenim limitat, per tant les peces no les podrem agafar tant grans com voldrem (però si més grans que en disseny actual, si passem de tres peces a dues). Degut a que s’ha augmentat la distància entre termoparells, la diferència de temperatura entre ells ha augmentat per un mateix cabal de calor. Però encara hi caben d’altres aspectes que apunten en aquesta direcció i que provoquen millores. Senzillament, al passar de tres a dues peces, hem eliminat una interfície de contacte, amb la seva corresponent resistència tèrmica, fet que hem provoca un major flux de calor.

197 Projecte final de carrera

Les actuacions següents serien: 1.- Intentar incrementar el cabal de calor, per tal de tenir diferències de temperatura superiors. Aquí es tractaria d’intentar eliminar la resistència amb l’aigua (la resistència inferior n’és una). S’hauria d’incrementar el coeficient de convecció amb l’aigua freda (n’és prou freda?). El fet que refredessim l’aigua uns pocs graus la seva temperatura (fet costós) no incrementaria fortament el cabal de calor. S’han d’aplicar altres actuacions que provoquen millores més notables.

2.- No limitar les resistències, sinó sotmetre les peces a uns gradients forts. Posar una temperatura elevada en el Main, i tancar la resistència AUX (a ambient). Que la peça estigui sotmesa al seu gradient màxim (a menys que refredessim més l’aigua). No tenen sentit, doncs, les experimentacions on s’apliquen gradients molt petits, ja que s’ha comrpovat que aquest aspecte és el que queda afectat principalment pels errors sistemàtics dels termoparells, que son per altra banda, un dels més importants a priori.

9.4

ORDRES DE MAGNITUD EN L’ERROR DEL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT

Mitjançant l’equació s’ha trobat la relació dels paràmetres i les seves desviacions respecte l’error en el càlcul de la conductivitat. Però no hem vist cap valor numèric, per donar una orientació en quins termes treballa el conductivímetre.

Si prenem tal qual l’equació 9.6, i substituíssim els valors dels paràmetres i de les seves desviacions per unes valoracions aproximades, cauríem en un error estadístic. Cal tenir en compte que aquestes desviacions dels paràmetres segueixen una llei aproximadament natural, i que pot ser perfectament comparable amb una normal, per tant no podem sumar aritmèticament els factors (ni restar-los ja que s’anularien gran part dels errors), sino que s’ha d’aplicar la suma estadística de variabilitats normals.

Suposarem que el valor mig de la desviació o error és zero. Aleshores, que el valor màxim i mínim de la desviació queda comprés pel 99,73% dels casos, és a dir, un interval de ±3σ.

198 Projecte final de carrera

Fig. 9.2 Llei probabilística normal mostrant el 99.73% de la distribució

Aplicant la suma estadística, s’obté que la desviació estàndard de la suma és:

σ suma =

∑σ

i

Calculem per a l’experimentació que s’ha fet amb l’Inconel718, els valors que contribueixen en l’error final: La conductivitat de l’Inconel718 té un factor de correlació b amb la temperatura igual a 2.853·10-2, que suposa que per a un error en la determinació de la temperatura de ±2 K aproximadament (cal recordar la teoria dels termoparells tipus K), una variabilitat igual a ±2 x 2.853·10-2 = 0.0576 W/mK. Aproximadament el valor mig de la conductivitat estava voltant els 20 W/mK, representant en total una variabilitat de ± 0,002853.

Els gradients de temperatura poden estar alterats per cada un dels dos termoparells que s’utilitzen per calcular el gradient. Si cada termoparell pot tenir una variabilitat de ±2 K, la variabilitat de la diferència de temperatures no serà la suma aritmètica d’aquests dos, sinó una suma estadística, de valor igual a (2 2+22)1/2 = 2.82 K aproximadament. Els gradients, degut a aquesta variabilitat eren molt diferents, però estaven de l’ordre de 12_K. Veiem que aquesta variabilitat relativa és molt important: ±2.82/12= 0.235.

La variabilitat en les distàncies tampoc no és greu aparentment, però ja es va veure que amb gradients elevats, un error en la distància pot repercutir seriosament. Hi poden intervenir 2 factors: a) que els dos forats estiguin més o menys a prop entre ells, degut a la mecanització. b) que el forat de 1.7 mm, al ser més gran que el termoparell de 1.6 mm de gruix, permeti que aquest balli o quedi posicionat amb una certa llibertat.

199 Projecte final de carrera

En quant al primer factor, les 4 peces d’Inconel presenten unes distàncies entre termoparells de 19, 19.075, 19.05 i 19.075 mm respectivament. Aquesta mesura s’ha fet a partir de les mides màxima i mínima entre forats. Si la distància teòrica pertany al valor de 19.05 mm, podríem estar parlant de una variabilitat màxima de ±0.1 mm en aquest aspecte.

Respecte el segon factor, queda un joc entre el termoparell i el forat de 0.1 mm, que representa una desviació possible de ±0.05 mm, que per als dos termoparells, i no cal ser tant estricte de caure en la suma estadística, representa un joc total de ±0.1 mm.

En conjunt podríem estar parlant del voltant de ±0.15 mm de desviació de distància intertermopàrica, que representaria respecte la d teòrica, una desviació relativa de ±0.008.

∂λd λd

∂λc λc

∂∆Tc ∆Tc

∂d d dd

∂∆Td ∆Td

Fig. 9.3 Simulació estadística maximal de les desviacions dels paràmetres afectats

∂d c dc

200 Projecte final de carrera

Si sumen estadísticament aquests valors, trobarem l’ordre de magnitud, molt aproximadament, de l’error relatiu de la conductivitat de la mostra desconeguda d’estudi.

D’una manera gràfica, tenim un arbre o piràmide que representa els valors de cada desviació relativa en cadascun dels nodes inferiors, i la suma total queda reflectida en el node superior (Fig. 9.3) . (Per a aquest grafisme s’ha utilitzat un software que realitza simulacions de tolerancies, anomenat 1-Dcs, utilitzat en el disseny i desenvolupament de peces) Aquesta variabilitat relativa de ±0.3325 (un 33% maximal d’error), representa per a la conductivitat aproximada en l’experimentació de 12 W/mK, un error absolut de ±4 W/mK. Recordem que aquesta seria la màxima desviació que comprendria quasi el 100% de les experimentacions. En l’experimentació realitzada s’han trobat casos de ±2 W/mK, que representaria un 15% aproximadament.

La pregunta inmediata és com variaria aquest rati de desviació, si implementem les millores que proposa el present estudi: -Peces més llargues (veure annexos) que permeterien tenir unes separacions entre termoparells de fins 37 ÷ 40 mm.

-Aplicar el mètode In Situ que permeteria rebaixar notòriament la variabilitat normal dels termoparells, ajustant els seus nominals. És difícil afitar l’error en el gradient, ja que en teoria, aquest seria zero, però degut a que el mètode pot tenir petitíssimes variacions de temperatura en fer l’experimentació isoterma, i el propi sistema de conversió per taules/equacions, continuaria provocant un error aproximat de fins 0.5 K. Aquestes actuacions farien variar el gradients llegits en les peces. En el mateix supòsit que tinguéssim Inconel718, aleshores estariem sobre uns gradients de 23 K. L’error relatiu de temperatures seria ara de ±0.5 K/23K = 0.022.

L’error relatiu de les distàncies correspondria ara a : ±0.15 mm/37 mm = 0.004.

Aplicant aquests valors a la piràmide de toleràncies establerta anteriorment, trobem una millora en la variabilitat final.

201 Projecte final de carrera

Aquesta millora considerable consisteix en reduir l’error maximal possible al 3% en aquest cas, tenint en compte que, a l’igual que en el cas anterior, només s’ha tingut en compte els paràmetres bàsics del càlcul. Quan el resultat queda millorat notablement, quedant el seu error maximal possible tant petit, els altres factors que no s’han tingut en compte adquireixen major importància: en la suma estadística, quan un valor és molt petit comparablement amb l’altre sumant, pràcticament no afecta gaire en el resultat de la suma.

∂λd λd

∂λc λc

∂∆Tc ∆Tc

∂d d dd

∂∆Td ∆Td

Fig. 9.4 Simulació estadística amb les millores aplicades

∂d c dc

Projecte final de carrera

Capítol 10 Aplicació de mètode numèric en el Conductivímetre per comparació 10.1.

10.2.

10.2.1.

10.2.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

Introducció Introducció a les diferències finites Aproximació a les derivades en diferències finites Discretització del continu Característiques del model Discretització Els 4 models Ressolució pel mètode directe Precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica Anàlisi de la potència Conclusions

Projecte final de carrera

10

MÈTODE NUMÈRIC APLICAT EN EL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ

10.1

INTRODUCCIÓ

Una de les principals eines que s'ha fet servir en aquest projecte ha estat la simulació numèrica.

Aquesta ha estat una eina decisiva per a valorar quins són els paràmetres fonamentals a tenir en compte en un conductivímetre per a obtenir uns bons resultats en l'estimació de la conductivitat tèrmica.

L'objectiu principal de la utilització de la simulació numèrica ha estat determinar quin comportament i distribució real segueixen les temperatures en l'interior del nucli del conductivímetre (Fig.10.1) en estat estacionari per certes condicions de contorn.

Un cop determinat el comportament de les temperatures en el nucli del conductivímetre es podrà valorar el grau de fiabilitat que hi ha

realment

al

suposar

les

hipòtesis

simplificatives (flux axial, geometria constant sense forats ...) que es prenen per a calcular la conductivitat. Així mateix, les diferents condicions de contorn que es poden imposar NUCLI

al conductivímetre numèric determinarà quin o quins són els dissenys que ajuden a obtenir un millor resultat de la conductivitat tèrmica.

Fig. 10.1 (disseny amb forn de guarda)

Projecte final de carrera

La simulació numèrica permet determinar quin és l'estat que assoleix la pila en condicions properes a les reals i contrastar amb les hipòtesis simplificatives.

Si el model numèric dona resultats allunyats dels resultats esperats , caldrà fer una rectificació dels valors donats pel conductivímetre real, o en el pitjor dels casos renunciar a obtenir el valor de la conductivitat tèrmica amb l'expressió simplificada (6.2) ja que la desviació dels resultats (teòrics/reals) seria massa gran, invalidant l'expressió simplificada aplicada al conductivímetre.

Si els resultats que caldria esperar amb l'expressió simplificada (6.2) coincideixen amb els del model numèric, llavors es té certesa que les hipòtesis simplificatives es compleixen i l'expressió simplificada és vàlida.

En definitiva, la simulació numèrica ajuda a determinar si l'expressió que es fa servir per trobar la conductivitat :

λ1 = λ2 .

∆T 2 ∆T 1

s'ajusta a la realitat del conductivímetre per comparació.

De l'estudi numèric s'extreuran les variables (diàmetre de les peces,conductivitat de la pols aillant, lloc on es pren la lectura amb els termopars...) que afecten més directament al càlcul de la conductivitat i que efecten directament a les hipòtesis simplificatives.

Un cop obtinguts els resultats de la simulació es poden emprar aquests per a millorar el conductivímetre, redissenyar les peces, o per a reajustar el valor de les dades obtingudes.

Projecte final de carrera

10.2

INTRODUCCIÓ A LES DIFERÈNCIES FINITES

Els mètodes de resolució analítica no poden abordar la majoria de geometries i condicions de contorn que es plantegen en els problemes habituals d’enginyeria.

La dificultat que representa voler determinar per un sistema donat una distribució contínua (infinits valors) de temperatura, es redueix dràsticament si ens conformem a obtenir tan sols una distribució discreta. (nombre finit).

Aquest mètode consisteix en el fet d’aproximar les derivades pel quocient incremental que s’obté emprant les temperatures d’un nombre finit de punts convenientment escollits, l’anomenada distribució discreta de temperatures.

Plantejant en diferències a cada punt l’equació diferencial que governa la conducció de la calor, la 2ª de Fourier, obtenim un sistema d’equacions algebraiques, que un cop resolt ens permet trobar l’esmentada distribució.

10.2.1 APROXIMACIÓ DE LES DERIVADES EN DIFERÈNCIES FINITES EMPRANT EL DESENVOLUPAMENT DE TAYLOR • Primera derivada en diferències En la resolució numèrica d’un problema de conducció de calor emprant computadores digitals, el primer pas és transformar l’equació diferencial que governa el fenomen substituint les derivades parcials per diferències. Per aquest procediment obtenim un sistema d’equacions algebraiques que resolem emprant les quatre operacions aritmètiques bàsiques; l’anomenat càlcul numèric, que les computadores realitzen tan eficaçment.

Projecte final de carrera

Sigui T(x) una funció que es pot desenvolupar en sèrie de Taylor. Aleshores el desenvolupament de Taylor de les funcions T(x+h) i T(x-h) en el punt x resulta,

T ( x + h ) = T ( x) + hT ' ( x) +

h2 h3 T ' ' ( x) + T ' ' ' ( x) + ...

2!

3!

(10.1)

T ( x − h) = T ( x) − hT ' ( x) +

h2 h3 T ' ' ( x) − T ' ' ' ( x) + ...

2!

3!

(10.2)

Aïllant T’(x) de l’equació (10.1),

T ' ( x) =

T ( x + h) − T ( x ) h h2 T ( x + h) − T ( x ) − T ' ' ( x) − T ' ' ' ( x)... = + O ( h) h 2 6 h

(10.3)

Anomenem primera diferència endavant a l’expressió que aproxima T’(x) amb un error de l’ordre de l’increment considerat.

T ( x + h) − T ( x ) h Aïllant T’(x) de l’equació (10.2) obtenim la primera diferència enrera,

T ' ( x) =

T ( x ) − T ( x − h) + O ( h) h

Sumant les equacions (10.3) i (10.4) resulta la primera diferència central,

T ' ( x) =

T ( x + h) − T ( x − h) + O(h 2 ) 2h

• Notació Introduïm la notació següent: x=ih

;

x + h = ( i + 1 ) h;

x-h=(i-1)h

T (x) = Ti

;

T (x + h) = Ti+1

;

T(x – h) = Ti-1

(10.4)

Projecte final de carrera

T ' ( x) =

dT  ≡ Ti ' dx  i

;

T ' ' ( x) =

; d 2T  ≡ T ' ' i  dx 2  i

h T (x + ) ≡ T 1 i+ 2 2

Primera derivada: Amb la notació establerta escrivim les diferències anteriors,

Ti ' =

Ti +1 − Ti + O ( h) h

Primera diferència endavant (FD)

Ti ' =

Ti − Ti −1 + O ( h) h

Primera diferència enrera (BD)

Ti ' =

Ti +1 − Ti −1 + O(h 2 ) 2h

Primera diferència central (CD)

Podem veure gràficament que la diferència central representa una aproximació millor.

Desenvolupant T(x+h) en el punt x+h/2 obtenim una altra expressió que ens serà útil per aproximar la T’’(x)

T'

T

i+

h ( x+ ) 2

1 2

=

=

T ( x + h) − T ( x ) + O (h 2 ) h

Ti +1 − Ti + O(h 2 ) h

•Segona derivada en diferències Desenvolupem per Taylor la funció T(x+2h) i T(x-2h) en el punt x:

T ( x + 2 h) = T ( x) + 2 hT ' ( x) + 2h 2T ' ' ( x) +

4 3 h T ' ' ' ( x) + ...

3

(10.5)

Projecte final de carrera

T ( x − 2h) = T ( x) − 2hT ' ( x) + 2 h 2 T ' ' ( x) −

4 3 h T ' ' ' ( x) + ...

3

(10.6)

Eliminant T’(x) entre les equacions (10.1) i (10.3) obtenim la segona diferència endavant (FD):

T ' ' ( x) =

T ( x) − 2T ( x + h ) + T ( x + 2h) − hT ' ' ' ( x) + ... h2

(10.7)

Eliminant T’(x) entre les equacions (10.2) i (10.4) obtenim la segona diferència enrera (BD):

T ' ' ( x) =

T ( x − 2h ) − 2T ( x − h) + T ( x) + hT ' ' ' ( x) − ... h2

Eliminant T’(x) entre les equacions (1) i (2) obtenim la segona diferència central (CD):

T ' ' ( x) =

T ( x − h) − 2T ( x) + T ( x + h) 1 2 − h T ' ' ' ( x) + ...

12 h2

• Resum de primeres i segones diferències Emprant la notació establerta anteriorment, exposem en forma de resum algunes aproximacions en diferències de la primera i segona derivada.

Derivades de 1er ordre: a) Fórmules de 2 punts

T 'i =

Ti +1 − Ti + O ( h) h

Primera diferència endavant (FD)

Projecte final de carrera

T 'i =

Ti − Ti −1 + O ( h) h

Primera diferència enrera (BD)

b) Fórmules de 3 punts

T 'i =

Ti +1 − Ti −1 + O (h 2 ) 2h

Primera diferència central (CD)

T 'i =

− 3Ti + 4Ti +1 − Ti + 2 + O (h 2 ) 2h

Primera diferència endavant (FD)

T 'i =

Ti − 2 − 4Ti −1 + 3Ti + O (h 2 ) 2h

Primera diferència enrera (BD)

Derivades de 2on ordre a)

Fórmules de 3 punts

T ' 'i =

Ti − 2Ti +1 + Ti + 2 + O ( h) h2

Segona diferència endavant (FD)

T ' 'i =

Ti −2 − 2Ti −1 + Ti + O ( h) h2

Segona diferència enrera (BD)

T ' 'i =

Ti −1 − 2Ti + Ti +1 + O(h 2 ) 2 h

Segona diferència central (CD)

Projecte final de carrera

b) Fórmules de 4 punts

T ' 'i =

2Ti − 5Ti +1 + 4Ti + 2 − Ti +3 + O(h 2 ) h2

Segona diferència endavant (FD)

T ' 'i =

− Ti −3 + 4Ti − 2 − 5Ti −1 + 2Ti + O(h 2 ) 2 h

Segona diferència enrera (BD)

Substituint en una equació diferencial les derivades per les seves aproximacions en diferències, convertim un problema inabordable en la resolució d’un sistema de equacions algebraic, en general amb un nombre considerable de incògnites.

• Representació en diferències finites d’un problema de conducció bidimensional en estat estacionari En un punt (x,y) interior del sòlid es verifica la segona equació de Fourier, que en règim estacionari resulta,

∂ 2T ∂ 2T g& ( x, y ) + + =0 λ ∂x 2 ∂y 2

Siguin (x,y) les coordenades del node A, representatiu del domini ombrejat a la figura.

x = i∆x y = j∆y T ( x, y ) = T (i∆x, j∆y ) ≡ Ti , j g& ( x, y ) = g& (i∆x, j∆y ) ≡ g& i , j

D’acord amb la notació escollida prèviament,

Ti −1, j − 2Ti , j + Ti +1, j ∂ 2T  = 2  ∂x  i , j (∆x) 2

Ti , j −1 − 2Ti , j + Ti , j +1 ∂ 2T  = 2  ∂y  i , j ( ∆y ) 2

Projecte final de carrera

Substituint a l’equació segona de Fourier, arribem a l’expressió algebraica,

Ti −1, j − 2Ti , j + Ti +1, j (∆x)

Si

2

∆x = ∆y

+

Ti , j −1 − 2Ti , j + Ti , j +1 ( ∆y )

2

g& i , j = 0

i

+

g& i , j λ

=0

resulta,

Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti, j −1 − 4Ti , j = 0

O bé

Ti , j =

∑ Temperatures

que envolten el node " i" 4

= Mitjana aritmètica

10.2.2 DISCRETITZACIÓ DEL CONTINU • Domini, node i malla Anomenem discretitzar el fet de substituir el model continu de la matèria per una partició o mosaic d’aquesta.

Anomenem domini a cada element discret d’aquest mosaic, i node el seu centre on considerem concentrada tota la seva massa. Quan més fina és la discretització, més s’aproxima la temperatura del node al valor mitjà de la temperatura del domini. El mateix succeeix a la resta de propietats assignades al node.

Enllacem els nodes amb línies o conductes ficticis per on suposarem que es transfereix la calor, la qual cosa constitueix l’anomenada malla o retícula.

Dos nodes i i j estaran connectats o enllaçats, si la línia o el conducte que els uneix és normal a la superfície comuna entre els dos dominis respectius.

Projecte final de carrera

•Discretització del temps En règim transitori algunes temperatures canvien al llarg del temps. Determinar l’evolució de les temperatures en qualsevol instant representa en la majoria dels problemes reals d’enginyeria tèrmica una dificultat inabordable.

Si ens conformem a conèixer la distribució de temperatures en cada interval de temps, el problema es torna més fàcilment resoluble.

Per tant, subdividim o discretitzem el temps en intervals ∆t i els numerem de forma que a l’interval n li correspon l’instant de temps t=n·∆t.

Tin representa la temperatura del node i en l’instant tn=n·∆t.

10.2.3 EQUACIÓ EN DIFERÈNCIES MITJANÇANT EL MÈTODE DEL BALANÇ • Equació general del balanç d’energia Suposem un domini i com el de la figura

δsi

i

δjs j

Representem per Kji la conductància entre el node j i el node i. (Conductància de la paret plana).

Essent s un punt de la frontera entre els dos dominis

K ji = K ij =

1 1 = δ js R js + Rsi δ + si λ j Aij λi Aij

Projecte final de carrera

Considerem l’instant t comprès entre tn i tn+1

0

1

2 ... n

n+1

to

t1

t2 ... tn < t < tn+1

interval temps

Temps en funció de l’interval: tn = n·∆t < t < tn+1 = (n+1)·∆t

El balanç d’energia amitjanat del node i en l’instant de temps t tal que tn < t < tn+1, i prenent com a volum de control el domini del node i resulta, t

dE  ∂Q  = σ  +0  dt  i dt  i t

∂Q  dt  i t

representa tota la potència que s’aporta al node i en l’instant t.

t

dEσ  és la variació en el temps de l’energia continguda en el node i a l’instant t. dt  i Representem per qtj→i la potència que el node j cedeix al node i en l’instant t, que d’acord amb el conveni establert, serà positiva quan el node guanya potència,

q tj →i = K tji (T jt − Ti t )

q( tj →i > 0 si T > T ) j i

N ∂Q  = ∑ K tji (T jt − Tit ) + g& itVi dt  i j =1 t

Per tant

t Essent g& i la potència generada en l’instant t en el node i de volum Vi.

n +1 dEσ  − Ti n t ∂T  t Ti = ( ρ i V i ci ) = ( ρ iVi ci ) dt  i ∂t  i ∆t t

t

Projecte final de carrera

Si igualem, resulta l’equació general del balanç d’energia per al node i en l’instant tn < t < tn+1, N

∑ K tji (T jt − Ti t ) + ( g& iVi ) t = Cit j =1

Ti n +1 − Ti n ∆t

C it = (ρ iVi ci ) t , capacitat calorífica del node i en l’instant t Partim d’unes condicions inicials (variables conegudes) per trobar el valor de les variables en l’interval següent.

Interval n

→

Interval n+1 →

variables conegudes variables desconegudes

• Mètode explícit Es calcula la potència aportada al node i en funció de les variables conegudes en l’instant de temps tn que correspon a l’interval n (tn=n·∆t).

Considerant per tant t = tn en l’equació general del balanç d’energia i posant el supraindex n per representar el temps tn = n·∆t resulta,

N

∑K j =1

n ji

(T jn − Ti n ) + ( g& iVi ) n = C in

Ti n +1 − Ti n ∆t

N= nombre de nodes en contacte amb el node i.

Ti n +1 =

  ∆t ∆t  N n n K ji T j + ( g& iVi ) n  + 1 − n n ∑ C i  j =1   Ci

N

∑K j =1

n ji

 n Ti 

Aquesta equació determina la temperatura del node i en un instant tn+1 a partir de les temperatures del sistema en un instant anterior tn.

Projecte final de carrera

Si escollim un interval de temps ∆t de manera que el segon claudàtor resulti positiu, la solució és estable.

∆t ≤

Condició d’estabilitat

C in

,

N

∑K j =1

∀i

∀n

n ji

•Mètode implícit Es calcula la potència aportada al node i en funció del valor de les variables a l’instant de temps tn+1 en el qual totes les temperatures són desconegudes.

Considerant per tant t=tn+1 i posant el supraíndex n+1 a les temperatures per identificar-ne l’instant, resulta: N

∑ K nji+1 (T jn +1 − Ti n+1 ) + ( g& iVi ) n+1 = Cin +1 j =1

Ti n +1 − Ti n ∆t

Cada equació conté n+1 incògnites essent N el nombre de nodes en contacte amb el node i.

Essent NT el nombre de nodes de temperatura desconeguda del sistema, haurem de resoldre un sistema de NT equacions amb NT incògnites. Aquest mètode és intrinsicament estable per qualsevol valor de l’interval ∆t.

Quan més fina sigui la discretització en l’espai i en el temps, la solució obtinguda s’aproximarà millor a la distribució real de temperatures.

Quan el nombre d’incògnites és gran resulta pràctic resoldre el sistema d’equacions, per un mètode iteratiu com per exemple el de Gauss-Seidel, ja que el procés d’acumulació d’errors d’arrodoniment és molt més reduït que en els mètodes directes.

Per emprar aquest mètode aïllem de l’equació del node i la temperatura Tin+1,

Ti n + Ti n +1 =

 ∆t  N n +1 n +1 K ji T j + ( g& iVi ) n +1  n +1  ∑ C i  j =1  ∆t N n +1 1 + n +1 ∑ K ji C i j =1

Projecte final de carrera

Si n → ∞ , Tin+1 → Ti (estacionari) com es pot comprovar fàcilment.

• Mètode mixt o de mitjana ponderada: Crank-Nicolson (F=0.5) Sigui F un factor de ponderació inferior a la unitat. En aquest mètode calculem la potència que rep el node i com la suma ponderada amb els factors F i 1-F de les potències tèrmiques calculades en funció de les temperatures de l’instant n i n+1 respectivament.

N n   N n +1  ∂Q  n n +1 & = F q + ( g V ) ( 1 F ) + −   ∑ q j →i + ( g& iVi )  ∑ → j i i i  dt  i  j =1   j =1  A l’instant n totes les variables són conegudes, i per tant el primer claudàtor resultarà ser una constant en l’equació del node corresponent.

L’equació del balanç per al node i resulta,

N  N  F ∑ K nji (T jn − Ti n ) + ( g& iVi ) n  + (1 − F ) ∑ K nji+1 (T jn +1 − Ti n +1 ) + ( g& iVi ) n +1  =  j =1   j =1  n +1 n T − Ti = ( FC in + (1 − F )Cin +1 ) i ∆t Si anomenem

q iF = F ( g& iVi ) n + (1 − F )( g& iVi ) n +1

C iF = FC in + (1 − F )C in +1

Obtenim una expressió més compacta del mètode mixt o de la mitjana ponderada , N

N

j =1

j =1

F ∑ K nji (T jn − Ti n ) + (1 − F )∑ K nji+1 (T jn +1 − Ti n +1 ) + q iF = C iF

Ti n +1 − Ti n ∆t

Si aïllem la temperatura del node i en l’instant tn+1 resulta,

Ti n +1

N N N C F  F ∑ K nji T jn + (1 − F )∑ K nji+1T jn +1 +  i − F ∑ K nji Ti n + q iF j =1 j =1 j =1  ∆t  = F N Ci + (1 − F )∑ K nji+1 ∆t j =1

Projecte final de carrera

Condició d’estabilitat

∆t ≤

C iF

, ∀i

N

F∑K j =1

∀n

n ji

Si assignem al paràmetre F el valor 0.5 el mètode mixt o de mitjana ponderada s’anomena de Crank Nicolson. En aquest mètode, el càlcul de la potència aportada al node en l’interval de temps comprès entre tn i tn+1 es realitza de la manera següent: -

50% emprant les temperatures de l’instant tn (explícit)

-

50% emprant les temperatures de l’instant tn+1 (implícit)

En cas de ser acceptable considera que la capacitat calorífica del node és independent de la seva temperatura (almenys en l’interval de treball), aleshores la condició d’estabilitat es converteix en la següent, Condició d’estabilitat (F=0.5 ; Cin=Cin+1):

∆t ≤

0.5C in + 0.5C in +1 N

0.5∑ K j =1

n ji

=

2C in

= 2∆t EXPLICIT

N

∑K j =1

n ji

∀i

∀n

Projecte final de carrera

10.3

CARACTERÍSTIQUES DEL MODEL

En el model numèric no cal tenir en compte les simplificacions a que sotmet evaluar la conductivitat amb les hipòtesis de flux uniforme, i per tant, es pot abordar un model més complex i proper a la realitat, un model que incorpora forats en la geometria de les peces, conductivitats variables, salts tèrmics elevats a les interfícies de contacte i on les condicions de contorn a aplicar poden ser variades (perfil de temperatures de forn de guarda, aillament total, aillament parcial, pols amb conductivitat variable, aïllaments superiors...). Aquesta diversitat de possibilitats poden ser valorades mitjançant models numèrics amb la finalitat d'observar com es comporten les temperatures en el nucli del conductivímetre per a diferents condicions.

El model numèric del nucli del conductivímetre presenta les següents característiques: • Gran nombre de nodes • El model contempla dues peces en la pila • Cada peça té practicats dos orificis • Interfícies • Pols Aïllant • Simetria • Les condicions de contorn

A continuació s'especifica detalladament cadascuna de les anteriors característiques.

Projecte final de carrera

• Gran quantitat de nodes El nombre de nodes utilitzats varen ser 6006, aquesta va ser la màxima quantitat de nodes que permetia el programa en que es va realitzar la simulació. Tot i que el nombre pot semblar molt gran, per a tenir una precissió prou acurada de la temperatura en un cert punt (±1mm.) fa falta una discretització d'aquest ordre. Cal afegir la gran influència sobre el nombre de nodes totals que té la petita dimensió dels forats que travessen la peces fins els eixos geomètrics de les peces. No ha estat un inconvenient

triar

un

nombre gran de nodes, ja que

la

característica

geomètrica de

cadascun

d'ells,

com

així

Semisecció transversal

la

conductivitat depenen tant sols de la seva posició en l'espai, aquest fet fa que la implementació informàtica que

s'ha

utilitzat

sigui

senzilla i la dificultat de programació

sigui

la

mateixa per un nombre alt com baix de nodes. La discretització

que

s’ha

utilitzat ha esta la que millor

s’adaptava

geomètricament, en aquest cas

evidentment

discretització

ha

cil.líndrica (Fig.10.2).

la estat

Fig. 10.2

Projecte final de carrera

L'efecte més important que comporta l'elecció d'un gran nombre de nodes és la determinació de temperatura en un punt concret del nucli, aportant una major precissió en els resultats obtinguts.

En darrer terme cal anotar que les representacions gràfiques 3-D amb una gran quantitat de nodes ens donen una informació visual molt millor, progressiva i sense discontinuitats, afavorint una millor interpretació de la distribució interna de temperatures.

Fig.10.3 Exemple de resultat numèric

L’exemple superior (Fig.10.3) és una mostra dels resultats visuals que s’obtenen gràcies a una elevada densitat de nodes, en aquest gràfic estan representats 924 nodes d’una secció característica. Com es pot comprobar, l’efecte visual és considerablement bo, i la interpretació de el qué està passant en l’interior de la peça té una interpretació intuitiva senzilla.

Projecte final de carrera

• El model contempla dues peces en la pila En el model real TCFCM se'n tenen tres, a fi i efecte d'obtenir una simetria tèrmica.

Aquesta reducció d’una peça és deguda a que amb la simulació ja es consideren les condicions de contorn i no és necesari disposar de tres peces amb la finalitat d'aconseguir una simetria de perfils tèrmics determinats. El principal avantatge de disposar de dues peces està en la determinació del gradient de temperatures (dada fonamental per al càlcul de la conductivitat), ja que en l'espai en que s'alotjaven tres peces, ara se n'alotgen dues, per tant els punts de mesura s'allunyen i ens permeten obtenir amb més precissió el gradient tèrmic.

d

d’

d

d’ d

Fig.10.4 Diferents disposicions de peces

Els dos gràfics superiors (Fig.10.4) denoten la millora de distància que s’obté al considerar dues peces en lloc de dues per a una mateixa alçada determinada. Com s’ha fet menció anteriorment, aquest augment de la distància permetrà determinar el gradient tèrmic amb més precissió.

Projecte final de carrera

• Orificis en les peces Cada peça té practicats dos orificis fins al seu centre, els quals permetran determinar les temperatures en l'interior de les peces mitjançant termopars. aquests taladres en el model són aproximats per uns forats de geometria en forma de falca i se'ls associa una baixa conductivitat. La petita dimensió d'aquests orificis repercutirà evidentment en el nombre de nodes que tindra el model numèric ja que implica un afinament més gran de la discretització en aquella zona.

Forat simulat (b)

Forat real (a)

Fig.10.5

El tenir en compte fins i tot els petits forats en el model numèric Fig.10.5(b) repercutirà en una millora i fiabilitat dels resultats finals, ja que el model contempla petits detalls com aquests forats practicats que comportan a una distorsió de la geometria completament cil.índrica que en un principi es considera en primera aproximació Com es podrà

Projecte final de carrera

comprobar més endavant, el taladres practicats quasi bé no provoquen distorsions sobre els resultats previstos, peró en aquest estudi no s'han volgut obviar cap possibilitat de introducció d'errors en la determinació de la conductivitat i per tant s'han tingut en compte possibilitats que a priori podríen ser considerades irrellevants.

• Interfícies.

Entre peça i peça (en el model numèric) n'existeix una altra de baixíssima conductivitat (Fig. 10.6.b), aquesta simularà la interficie entre peces. Ja s'ha vist en la part teòrica, que

l'existència d'una interfície suposa un salt tèrmic important, aquest salt tèrmic es simula amb un conjunt de nodes de molt baixa conductivitat, que ofereixin una resistència tèrmica igual a la que provocaria la interfície real (Fig. 10.6.b).

detall microcóspic.

Fig.10.6.a

Fig.10.6.b

La imatge superior mostra com la interfíce (Fig.10.6.a), encara que allisada, si es mostra amb prous augments presenta realment la superfície contactada per a un reduït grup de punts, pels quals es transmet part de la potència, però perdent una gran rellevància, ja que en la interfície es troben majoritariament discontinuitats, per tant, la transferència de potència deixa un paper important al medi gasós, pel qual es tindran fenòmens de

Projecte final de carrera

conducció gasosa i convecció. Degut a la petita distància que separa les dues cares, la conducció gasosa pren protagonisme en la tranferència energètica sobre la convecció.

Globalment, el més important a afectes pràctics per la simulació, és que en les interfícies es produeixen augments de resistències tèrmiques, fet que es considerat en els diversos models de conductivímetres, aportant així un comportament molt més realista a la simulació.

Projecte final de carrera

• Pols Aïllant.

Les peces estan envoltades de material de baixa conductivitat: la pols de diatomees (Fig.10.7), responsable en gran part de disminuir les perdues de calor en sentit radial. La

pols estarà representada per un conjunt de nodes també de baixa conductivitat.

Fig.10.7 Nucli de conductivímetre

Projecte final de carrera

Simetria.

Es considera en la pila un pla de simetria (Fig.10.8), tant tèrmic com geomètric, si és un pla de simetria tèrmica, evidentment, a través d'aquest no hi pot fluir calor i les pendents de temperatures en aquest pla han de ser forçosament zero. Aquesta simetrització de la pila facilita la implementació del programa numèric, ja que només es té en compte la meitat de nodes que en una peça sencera , paralelament s'augmenta la velocitat de execució del programa i es necessita menys memòria RAM, fet que permet escollir un nombre de nodes (6006) el doble de gran que sense tenir en compte l'efecte de la simetria tèrmica.

Fig.10.8 simetria tèrmica i geomètrica

Projecte final de carrera

• Les condicions de contorn .

Diferentment a l'equacio (10.8) que només és vàlida per a condicions molt determinades, s'han creat quatre models numèrics amb diferentes condicions de contorn per a poder valorar la resposta tèrmica de cada opció. Els resultats numèrics d'aquests quatre models seran posteriorment analitzats per a extreure'n conclusions respecte al millor model, i sobretot, quines discrepàncies presenta cada model respecte a un anàlisis simplificat. Els quatre models representen quatre possibilitats de conductivímetres, desde el més senzill, amb aïllament lateral, fins al més complex que incorpora forn de guarda. Posteriorment en el present capítol es tractaran individualment cadascun d’aquests quatre models per aprofundir sobre el seu comportament.

λ1 = λ2 .

∆T 2 ∆T 1

(10.8)

Projecte final de carrera

10.4.Discretització La discretització que s'ha utilitzat en els quatre models ha estat la cil.líndrica, ja que aquesta és la configuració geomètrica del nucli. La part discretitzada del nucli comprèn:

-dues peces centrals que conformen la pila -interficie entre ambdues peces, -pols aillant al voltant de les peces -orificis practicats a les dues peces per alotjar els termopars.

Els quatre models que s'han elaborat numèricament tenen condicions de contorn diferents, fet que suposa canviar certes parts de la implementació dels programes que simulen l’estat estacionari dels quatre nuclis.

La simulació es limita a estudiar el nucli del conductivímetre i es pren com a límit el forn de guarda, ja que en aquest punt es coneixen les condicions i aquest és un fet que fa d’aquest un bon límit per indicar-hi les condicions de contorn.

La discretització que s’ha portat a terme ha estat molt afinada i s’han utilitzat més de 6000 nodes per a modelitzar el nucli. En aquells llocs on es requeria una precisió més gran s’han utilitzat nodes més petits per poder adaptar-los a la geometria requerida. Aquesta gran quantitat de nodes per a la simulació no és un fet gaire usual, ja que es tracta d’un nombre elevadíssim de nodes, però la geometria del problema a afavorit el poder desenvolupar una programació basada en la parametrització del problema. Gràcies a aquests dos fets s’ha pogut escollir aquest gran nombre de nodes, resultant-ne com a consequència més important la precisió dels resultats obtinguts amb el model numèric.

Com avantatge indirecta però no menys important, és la gran facilitat que ofereix el programa numèric per poder variar multitut de paràmetres com són: geometries de les peces, forats, conductivitats de les peces, conductivitat de la pols ... resultant-ne doncs un programa altament rentable a nivell de flexivilitat de programació. Aquesta gran flexibilitat que permet el programa numèric a permés fer multiples avaluacions sobre els efectes que comporta en fer variacions de conductivitats, diàmetres de les peces, interfícies i així poder valorar en últim terme quins són els paràmetres fonamentals a tenir

Projecte final de carrera

en compte en un conductivímetre per comparació. La única desaventatge que presenta un programa com aquest és el temps d’execució, sobretot el mètode directe (Ap.10.6), el qual pot tardar vàries hore a donar l’estat estacionari.

A continuació es presenta esquemàticament on queda localitzada la zona discretizada en el programa de simulació numèrica.

Projecte final de carrera

CONDUCTIVÍMETRE NUCLI

discretització

Fig.10.9

Projecte final de carrera

La discretització nodal que s’ha utilitzat en als quatre models ha estat la mateixa.

Cada node de la discretització pot ser localitzat espaialment pels tres paràmetres (i,j,k).

Aquests tres paràmetres prenen una gran importància en el desenvolupament del programa de simulació ja que són l'eix vertebral de tota la implementació numèrica.

El significat de cadascun d'ells és el següent :

Fig.10.10

i: El paràmetre i indica en quin nivell en direcció axial es troba el node (i,,j,k). Es té un total de 33 nivells enumerats del 0 al 32. Cada nivell pot tenir assignat una alçada diferent, aquesta ve donada per l'expressió ALT(i). Els nivells 0 i 32 donen les condicions de contorn superior i inferior.

j: Aquest paràmetre indica quina és la posició en sentit radial d'un node (i,j,k). El nombre de nivells en aquesta direcció és de 14 i estan enumerats de l'1 al 14. En el nivell 14 (direcció j) estan implicites les condicions de contorn. AMP(j) és l'expressió que dona

Projecte final de carrera

el gruix del node en la direcció radial. El nivell 14 dona les condicions de contorns laterals.

k: Marca quin nivell en direcció a l'angle k es troba el node. ANG(k) és l'expressió que determina quin angle li pertany a un node situat en una posició (i,j,k). es té un total de 13 divisions en aquesta parametrització , enumerades de l'1 al 13.

La discretizació en aquest cas s’ha reduït a la meitat ja que es tracta d’un problema simètric, per tant la solució queda reduïda a solucionar mitja peça. Qualsevol configuració del conductivímetre ha de cumplir: n =13

∑k n =1

n

= 180

En la figura següent es representa la discreització en sentit j i k. la part sombrejada correspon a una secció transversal de les peces i la part més clara corrrespon a la pols.

Es interessant obsevar com la discretització és més acurada a mesura que s’aproxima a la zona on estan practicats els forats, amb la finalitat de poder aproximar més el valor en aquesta zona on la geometria requereix d’una discretització més acurada,i a més, és la zona on es prenen els inputs per calcular la conductivitat i per tant s’hi ha de destinar un esforç suplementari per obtenir un afinament millor en la discretització.

Fig.10.11 Discretització cil.líndrica

Projecte final de carrera

És interessant el fet que ALT(i), AM(j) i ANG(k) , les tres expressions que donen l'alçada, amplada i angle d'un cert nivell, siguin tres vectors, ja que faciliten la discretització, que pot efectuar-se d'una manera personalitzada i permet afinar més en punts com els forats, o variar les dimensions de les peces per a fer diferents experimentacions amb geometries diverses.

En resum, la parametrització del nucli del conductivímetre permet flexivilitzar qualsevol modificació sobre aquest (dimensions, conductivitats diferents...) amb la finalitat de comprobar diferents configuracions que es vulguin probar.

El fet de situar qualsevol punt del nucli del conductivímetre amb els paràmetres (i,j,k) permet fer una implementació fàcil del programa numèric. Així doncs, per exemple, la conductivitat d'un node situat en un punt (i,j,k) pot ser coneguda tant sols per la posició d'aquest node. De la mateixa manera també pot ser coneguda la superfíce de contacte entre dos nodes amb la seva posició (i,j,k) .

Aquesta parametrització del problema numèric facilita enormement el seguiment i ressolució del problema , ja que una ressolució "clàssica " del problema necessitaria una matriu (6006x6006) i amb les eines disponibles és un objectiu impossible , tant per a la memòria necessaria com per al temps de construcció de la matriu.

Cadascun dels quatre models ha necessitat atenció especial en les condicions de contorn, ja que per a unes mateixes posicions (i,j,k) de dos models diferents, les situacions termodinàmiques poden ser molt diferents (isotermia, aïllament...), és per aixó que en l’annex 2 es detalla exhaustivament com s’ha procedit per a definir l’àmbit de veinatge per als nodes de cadascun dels quatre models estudiats.

En quan a les mesures relatives de les peces utilitzades en el model numèric està detallat exhaustivament a l’annex 3, en aquest annex es donen les mides emprades en aquest estudi. La implementació del programa permet fer modificacions sobre la geometria de les peces, fet que pot ser utilitzat per altres laboratoris que utilitzin peces de mides diferents.

Projecte final de carrera

Equació fonamental

El mètode escollit per a trobar la solució en estat estacionari a esta el mètode explicit. En l'expressió que s'arribava en l'episodi (10.2.3) s'obtenia :

N

∑K j =1

n ji

(T jn − Ti n ) + ( g& i .Vi ) n = Cin .

Ti n+1 − Ti n ∆t

(10.9)

Tenint en compte que l'aportació de potència interna g& i és nul.la, i que es busca la sol.lució en estat estacionari ( Ti n+1 = Ti n ) l'expressió anterior (10.9) queda simplificada a : N

∑K j =1

n ji

(10.10)

(T jn − Ti n ) = 0

Si s'ailla la temperatura del node i, s'obté :

N

Ti n =

∑K j =1

n ji

. T jn

(10.11)

N

∑K j =1

n ji

com la solució no depèn del temps, podem eliminar el supraíndex n, ja que la solució en l'estacionari no es funció del temps, finalment l'expressió anterior queda reduïda a :

N

Ti =

∑K j =1

ji

. Tj

N

∑ K ji j =1

Aquesta ha estat l’equació emprada per obtenir la solució en el model numèric.

(10.12)

Projecte final de carrera

Determinació de la conductància.

En la determinació de les temperatures en estat estacionari, cal determinar la conductància entre dos nodes conectats i-j tal i com expressa l'equació (10.12). Aquest valor serà calculat en funció de la posició espaial de cada parell de nodes i de la conductivitat en aquella regió de l'espai. Per avaluar el valor de la conductància entre dos nodes utilitzant la parametrització tant sols cal disposar de la localització del node i, i la direcció espaial del segon node j. (No confondre nodes i,,j o k amb paràmetres i,,j o k).

Les direccions en que pot estar conectat un node poden ser 6, aquestes han estat nombrades com es pot veure en la figura ( Fig. 10.12). Es té un node central (i,j,k), el qual està envoltat per sis nodes, aixó és el cas general, ja que en particular, depenent de la posició del node en questió pot tenir també 5,4 ó 3 nodes veins .Així per exemple, per a indicar un node inmediatament superior al (i,j,k) tant sols s’ha de pujar un pis , és a dir el node (i,j,k+1). Aixó resulta ser una gran avantatge ja que les característiques de qualsevol node queden establertes sabent la seva adreça (i,j,k).

Fig.10.12 Veinatge d’un node

Projecte final de carrera

Per a poder evaluar la conductància, és necessari disposar dels valors anteriorment citats: (i,j,k) amb els quals el programa numèric determinarà la seva posició, contactes amb nodes veïns i conductivitats. És per aquest motiu que s'han creat una sèrie de funcions que ens donen aquests valors donat un valor del la situació espaial d'un node (i,j,k). Aquestes han estat les següents.

-CONDUCT(i,j,k) : expressió que evalua el valor de la conductivitat d'un node situat en un ninxol (i,j,k). Aquesta expressió s'evalua en una funció específica del programa que localitza quina conductivitat està associada en aquell lloc ocupat pel ninxol(i,j,k). Els valors que pot retornar poden ser: conductivitat de la peça superior CONDA, conductivitat de la peça inferior CONDB, conductivitat de la interfície CONDS, conductivitat dels forats CONDF o conductivitat de la pols CONDP.

-SUMAMP(j) : expressió que evalua el radi exterior d'un node situat a un nivell de profunditat radial j.

El seu valor en expressió matemàtica és :

SUMAMP( j ) =

n= j

∑ AMP( j) n =1

(10.13)

-AMP(j) : expressió que dona el valor d'amplada en direcció radial d'un node (i,j,k).

Aquests valors son introduits previament per l'usuari per definir la geometria de la peça.

-ALT(i) : expressió que dona el valor de l'alçada d'un node situat en un ninxol (i,j,k).

-ANG(k) : expressió que dona el valor de l'angle o sector ocupar per a un node (i,j,k).

Aquests últims tres valors són introduïts previament per l'usuari per a definir la geometria de la peça i concretar la localització dels forats.

Projecte final de carrera

Un cop definides les funcions anteriors, ja es pot donar el valor de les conductàncies que estableix un node genèric i amb els nodes que l'envolten, aquestes són : Ki1, Ki2, Ki3, Ki4, Ki5, i Ki6:

Ki6 Ki2

Ki3 Ki4

Ki1 Ki5

i les seves expressions desenvolupades són :

Ki1 =

1 AMP ( j ) 2 CONDUCT (i , j , k ).SUMAMP ( j − 1). ANG ( k ). ALT ( i )

Ki 3 =

+

AMP ( j −1)

2

CONDUCT (i , j − 1, k ).SUMAMP ( j − 1). ANG ( k ). ALT (i )

1 AMP( j ) 2 CONDUCT (i , j , k ).SUMAMP( j ). ANG( k ). ALT ( i )

+

AMP ( j −1) 2 CONDUCT ( i , j + 1, k ).SUMAMP( j ). ANG( k ). ALT ( i )

Projecte final de carrera

Ki 2 =

(

SUMAMP ( j − 1) +

AMP ( j ) 2

)⋅

1 ANG ( k ) 2

CONDUCT ( i , j , k ) ⋅ AMP ( j ) ⋅ ALT ( i )

Ki 4 =

(

SUMAMP ( j − 1) +

AMP ( j ) 2

)⋅

1 ANG ( k ) 2

CONDUCT ( i , j , k ) ⋅ AMP ( j ) ⋅ ALT ( i )

Ki 5 =

+

+

(SUMAMP( j − 1) + AMP ( j ) 2 )⋅ ANG2( k +1) CONDUCT (i , j , k + 1) ⋅ AMP ( j ) ⋅ ALT ( i

(SUMAMP( j − 1) + AMP ( j ) 2 )⋅ ANG2( k −1) CONDUCT (i , j , k − 1) ⋅ AMP ( j ) ⋅ ALT ( i )

1 ALT (i ) 2 AMP( j ).CONDUCT(i , j , k ). SUMAMP( j −1) + AMP( j ) . ANG( k ) 2 

Ki 6 =

+

ALT (i −1)

2 AMP( j ).CONDUCT(i −1, j , k ). SUMAMP( j −1) + AMP( j ) . ANG( k ) 2 

1 ALT ( i ) 2 AMP ( j ).CONDUCT ( i , j , k ). SUMAMP ( j −1) + AMP ( j ) . ANG ( k )  2 

+

ALT ( i +1) 2 AMP ( j ).CONDUCT ( i +1, j , k ). SUMAMP ( j −1) + AMP ( j ) . ANG ( k )  2 

Projecte final de carrera

10.5

ELS QUATRE MODELS

Per a complementar la investigació d’aquest treball s’ha recurrit a la simulació mitjançant el mètode numèric. S’ha creat un programa base, el qual permet simular la distribució de temperatures assolides en el nucli del conductivímetre. Aquest programa base té quatre variants, cadascuna d’elles respon a quatre diferents condicions de contorn. Les quatre condicions de contorn simulen desde un conductivímetre senzill amb només aïllament fins a un conductivímetre amb forn de guarda com el que s’ha utilitzat per a realitzar les diferents experiencies. Aquests quatre models han estat creats per poder comparar quin disseny és millor i extreure conclusions per a cada conductivímetre en particular.

La investigació mitjançant simulació ha estat realitzada desde dues òptiques, la comparació i la determinació directa.

El mètode de comparació, consisteix en proveir de totes les dades necessaries al programa de càlcul (conductivitats de peces, conductivitat de la pols, resistència interficial, condicions de contorn...) per a determinar quines son les temperatures que s’assoleixen en els nodes on estarien ubicats els termopars en el conductivimetre, amb la finalitat de determinar quina és la relació de gradients entre ambdues peces. Un cop determinada la relació de gradients es compara amb la relació de conductivitats reals coneguda, conductivitats ja escullides a priori introduïdes al programa. Comparant ambdós resultats se’n extreu quina és la valoració de la lambda real per a un determinat valor de tots el paràmetres que conformen el model. Un cop fetes multituts de simulacions variant diferents paràmetres (diàmetre de les peces, conductivitat de la

pols ...) es

procedirà a analitzar quins factors influeixen més en el conductivímetre i quines correccions es poden fer per millorar els resultats. Tot aquest procés es fa per cadascún dels quatre models numèrics amb la finalitat de poder comparar a més a més quines són les diferències existents per als quatre conductivímetres sota les mateixes condicions.

La gran qualitat de les imatges se simulació s’ha obtingut gràcies al refinat nivell de discretització. Les imatges visualitzades en els quatre models representen una secció longitudinal amb quasi un miler de punts.

Projecte final de carrera

En el gràfic següent (Fig.10.13) es representa la logística seguida en la metodolgia per comparació, la finalitat de la qual es poder comparar la relació de conductivitats coneguda a priori amb la relació de conductivitats calculada a partir del model numèric:

Valors introduits

-λ(peça A) -λ(peça B) -λ(pols) -Tsup -Tinf -....

Simulació

+-[_]----------------------------SIMUL60 ¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void) ¦{ ¦ float conduct(int i,int j,int k); ¦ float sumamp(int j,double *AMP); ¦ int m,n,o,i,j,k,b,t; ¦ float ***TV; ¦ double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[ ¦ double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6;

Resultats

T1 T2 T3 T4

λA calc= f (T1,T2,T3,T4) λB

λA real λB VALORACIÓ

λA real λB = k% λA calc λB

Fig. 10.13 Valoració d’eficiència del conductivímetre

Projecte final de carrera

La segona metodologia que s’ha emprat en el càlcul numèric ha estat la determinació directa de la conductivitat. Aquest mètode ha requerit modificacions del programa base.

S’ha introduït un petit algoritme, el qual a partir de les dades de les lectures dels quatre termopars i de la conductivitat coneguda d’una de les peces calcula quina és la conductivitat de la peça incògnita. Aquest segon mètode és explicat amb deteniment en l’apartat 10.6 i a l’annex 1.

A continuació es presentaran els quatre programes utilitzats pel mètode de comparació.

Els quatre programes han estat provats amb diferents variables, amb la finalitat de determinar com varia la precisió de determinació de lambda al moure els diferents paràmetres. El programa base es fàcilment modificable per a poder simular altres condicions de contorn a més a més dels quatre models aquí indicats.

A continuació es presenten individualment cadascun dels quatre models :

Projecte final de carrera

1-Conductivímetre-70 (11).

Aquest conductivímetre té la totalitat de la part superior del nucli (arena i peça) a la mateixa temperatura

(Tsup) i tota la part inferior (arena i peça a una determinada

temperatura (Tinf). Aquesta consideració físicament és traduible a que superiorment i inferiorment es disposaria de dues peces d’alta conductivitat que forçarien ambdós extrems de la pila a estar a una determinada temperatura constant. Aquest cas no és exactament el que es presenta en el conductivímetre amb el qual s’ha treballat a laboratori, però introduint dues peces s’obtindria fàcilment aquest nou prototipus de conductivímetre.

Peces metàl.liques d’alta conductivitat

Forn de Guarda

Peça A

Peça B

Fig. 10.14

Com es pot apreciar en la (Fig.10.14) les peces que conformen part del nucli estan envoltades primerament per pols que actua com aïllant, que limita aquesta amb el forn de guarda, el qual es capaç de presentar una distribució lineal de temperatures. D’altra Pols

banda , les dues peces estan limitades superior i inferiorment per les dues plaques metàl.liques d’alta conductivitat, plaques que hauran d’assegurar la constancia de les temperatures en els nivells més superior i inferior.

Projecte final de carrera

La principal característica d’aquest és que lateralment presenta un forn de guarda que proporciona una distribució lineal de temperatures.

A continuació es presenta esquemàticament les temperatures perifèriques en el nucli en el cas present.

T

Tsup Tinf

T T sup T inf

Fig 10.14a

El gràfic superior (Fig10.14a) representa les temperatures perifèriques que assoleix el conductivimetre i que són la base de partida per determinar les temperatures internes. La temperatura al llarg del cilindre que forma part del forn de guarda, la temperatura descèn de forma lineal, aminorant així perdues laterals, les dues plaques suerior i inferior estan cadascuna a una deterninada tempertura constant.

Aquest conductivímetre físicament estaria construït com el conductivímetre de laboratori TCFCM peró estaria provist de dues peces metàl.liques d'alta conductivitat, una a cada extrem de la pila

Projecte final de carrera

La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior del nucli com les següents:

Zona 1

Zona 2 Zona 3

Material A

Material B

Pols

Nucli

Fig. 10.14 b

Aquesta primera representació gràfica dona informació visual prou bona per a poder interpretar qué esta succeint a l’interior del nucli del conductivímetre. En primer lloc les condicions de contorn forçades pel forn de guarda que força a mantenir un gradient de temperatures lineals s’observa amb tot detall en la perifèria del gràfic. En segon lloc, la part central està constituïda per un seguit de tres canvis de superfícies, començant desde

Projecte final de carrera

la part superior (zona 1) amb una pendent lleu (material A) fins arribar a una gran pendent (zona 2) en un petit espai (interfície) per a continuar amb una superfície (zona 3,material B) de pendent superior a la del material A. La relació de les pendents de la zona 1 i la zona 2 són les relacions de conductivitats entre ambdós materials. La pols està envoltant les peces i confinada dins del forn de guarda, així, les condicions de contorn per a la pols perifèrica és la que en dona el forn de guarda i superiorment i inferiorment a temperatura constant gràcies a les peces que es disposen d’alta conductivitat. Es pot apreciar perfectament com la pols actua com un amortidor tèrmic entre la distribució de temperatures del forn de guarda i les temperatures assolides a la pila.

Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Projecte final de carrera

2- Conductivímetre-61 (60).

Aquest conductivímetre no té guard furnace, però lateralment té un aïllament elevat.

Aquest és un conductivímetre més senzill de disseny ja que no disposa de forn de guarda, peró ja es preveu que si l'aillament lateral no és molt bo, els resultats poden ser molt allunyats d'una situació ideal amb flux teòricament únicament axial. Per a la implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no existeix flux de calor.

Peça metàl.lica d’alta conductivitat

Peça Peça A A

pols Aïllant Peça B

Peça metàl.lica d’alta conductivitat

Aïllant total

Fig. 10.15

En els resultats extrets per el model numèric, donen a aquest model de conductivímetre els pitjors resultats d’avaluació de la conductivitat. Només s’obtenen resultats bons si es disposa d’un excelent aïllament lateral.

Projecte final de carrera

La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior del nucli com les següents:

Material A

Material B

Pols

Nucli

Fig.10.16

Com es pot observar en aquest cas, diferentment a l’anterior, al no disposar de forn de guarda, les altes temperatures assolides a les peces centrals es veuen bruscament disminuides quan es surt dels límits de les peces. Es pot observar també que les distribucions de temperatures dins del nucli són lineals, donant encara validesa a aquest senzill conductivímetre. La bondat dels resultats d’un conductivímetre que no disposi de forn de guarda serà funció bàsicament de la conductivitat de la pols.

Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Projecte final de carrera

3- Conductivímetre-50 (40).

Aquest model està provist de forn de guarda. La pols a la part superior i inferior forma una aillament perfecte. Aquest model de conductivímetre és el que més s'acosta al conductivímetre TCFCM que s’ha utilitzat a laboratori. Físicament és molt semblant al model Conductivímetre-70 , i la única diferencia existent entre els dos està en que en el conductivímetre-50 es continua tenint aïllant tèrmic per la part superior de la pila, i no es força a la pols a tenir una determinada temperatura en els nivells superior i inferior de la pila, semblantment com succeix en el model numèric conductivímetre-70. Per a la implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no existeix flux de calor,

Peça metàl.lica d’alta conductivitat

Forn de guarda

Peça A

pols Peça B

Aïllant total Fig. 10.17

En la ilustració superior s’observa esquemàticament la disposició dels diferents elements que constitueixen el nucli.

Projecte final de carrera

Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com els següents : Zona 1 Zona 2

Zona 3

Material A

Material B

Pols

Nucli

Fig. 10.18

Projecte final de carrera

Gràficament s’observa el forçament lineal de temperatures a que sotmet el forn de guarda en la perifèria del nucli. Les peces estan també forçades a mantenir una certa temperatura en els seus extrems. En aquest cas, diferentment al cas 1, no es té la pols superior forçada a mantenir la mateixa temperatura que les peces en els seus extrems, formant-se ara unes valls en el que abans era una distribució lineal forçada. Així mateix es denota una transició de tempertaures suaus desde el nucli fins al forn de guarda , fet que fa suposar que els resultats en aquest model seran satisfactoris. Al igual que els demés models, les superfícies que representen les temperatures de les peces (zona1 i Zona 3) presenten un comportament fortament lineal. La relació de pendents entre ambdues serà quasi exactament la relació de conductivitats.

Projecte final de carrera

4- Conductivímetre-80 (22).

Aquest model de conductívimetre no té forn de guarda però està totalment aillat (lateralment i axialment) Aquest seria en principi el conductivímetre més ideal de els quatre modelitzats, ja que força al flux de calor a entrar per la cara superior de la peça superior i a sortir per la cara inferior de la peça inferior. Aquesta afirmació es podrà comparar posteriorment amb els resultats obtinguts.

Peça A

Peça B

Pols

Aïllant total

Peça metàl.lica d’alta conductivitat

Fig. 10.19

En la ilustració superior (Fig.10.19) s’observa esquemàticament la disposició dels diferents elements que constitueixen el nucli d’aquest model en concret.

Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Projecte final de carrera

Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com el següents

Material A

Material B

Pols

Nucli

Fig.10.20

En el gràfic 10.20 es pot observar la suavitat de transició que presenten les temperatures desde les peces fins a l’extrem de la pols. La pols externa també presenta una distribució de temperatures molt amortida. Aquest fet és degut al aillament perfecte que presenta la part externa. A priori es preveuen grans resultats per aquest model de conductivímetre.

Projecte final de carrera

10.6

RESSOLUCIÓ PER MÈTODE DIRECTE

El programa base que resol els quatre estats estacionaris dels models corresponents se li ha introduït una modificació per aconseguir un programa que dongui una solució directa.

Els quatre programes realitzats pels quatre models consisteixen en donar tots els paràmetres necessaris (conductivitats, geometria, consicions de contorn...) amb la finalitat de trobar un estat estacionari final, és a dir que a partir de totes les dades predeterminades s’obté un valor final de les temperatures del nucli. (10.13).

El que s’aconsegueix amb aquest nou programa és que a partir de les lectures de quatre termopars i la conductivitat de la peça coneguda (dades que s’obtenen a laboratori) el programa calcula quina a de ser la conductivitat de la peça incògnita per què realment es tinguin les condicions de temperatura que donen els quatre termopars.

A continuació es presenta gràficament el procés directe :

Dades d’entrada

Programa

-Termopar 1 -Termopar 2 -Termopar 3 -Termopar 4 -Conductivitat A

+-[_]----------------------¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void)

Resultat

CONDUCTIVITAT B

El programa directe té la seva màxima utilitat per afinar directament el resultat donat per la lectura dels quatre termopars.

La implementació del programa ha estat més laboriosa que els quatre programes de models, sobretot perquè s’han de moure varies variables a la vegada fins aconseguir la convergència de les dades cap als valors predeterminats de temperatures als quatre termopars. El mètode que s’ha emprat per solucionar el sistema multivariable és totalment propi, i el funcionament d’aquest s’explica amb tot detall a l’annex1.

Projecte final de carrera

Les aplicacions d’aquest programa són de màxima importància en el laboratori, ja que el programa treballa amb les dades obtingudes pels termopars i la conductivitat coneguda d’una de les peces.. La seva màxima utilitat en serà el servei a laboratoris per valorar amb més precissió la conductivitat obtinguda a partir de la lectura dels termopars.

Projecte final de carrera

10.7

PRECISSIÓ D’AVALUACIÓ DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA

La precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn del model de conductivímetre utilitzat i de les condicions experimentals a que es veu sotmesa l’experiència en la determinació de la conductivitat. Els conductivímetres provistos de forn de guarda es perfilen com els millors candidats a donar un bon resultat de la conductivitat tèrmica. La precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn també de variables diferents al disseny del propi conductivímetre, variables com la conductivitat de la pols, conductivitat relativa de les peces, diàmetres de les peces, distribució de temperatures en els extrems de la pila... Així doncs, aquest capítol pretén determinar quins són els paràmetres fonamentals que prenen lloc en la determinació de la conductivitat a fi i efecte de poder valorar quina és la seva implicació i com efecte a l’error de mesura de la conductivitat.

Per a aconseguir aquest propòsit s’ha recorrregut a fer 160 simulacions en les quals s'han modificat les variables de les quals es volia valorar el seu efecte en el càlcul de la conductivitat.

En primer lloc s’ha escollit una geometria genèrica com la que s’estableix a l’annex 3, geometria realista de les condicions que es donen en peces per a conductivímetres.

En segon lloc, un cop establert el valor de cadascuna de les variables, s’ha executat el programa corresponent i s’ha extret el valor de les temperatures on estarien situats els quatre termopars:

T[28][1][1] T[20][1][1] T[12][1][1] T[4][1][1]

Fig.10.21

Projecte final de carrera

A continuació s’ha determinat la relació entre el quocient d’increment de temperatures de cada peça amb el cocient de conductivitats tèrmiques que ja són conegudes a priori:

T28 − T20 T12 − T4 ∗ 100 COND ( B) COND ( A) Relació que permet saber amb quin grau de precissió es determina una conductivitat tèrmica d’una peça desconeguda per a un determinat model sota determinades condicions geomètriques i de contorn. Fent aquest procés amb el resultat de 160 proves s’obtenen valors d’un alt valor qualitatiu per poder determinar quines són les principals variables que afecten al valor de estimació de la conductivitat tèrmica.

A continuació es presenten els diferents resultats graficats obtinguts en les 160 simulacions (annex 6) sota diferents condicions en els quatre models de conductivímetre per a cadascun dels paràmetres que influeix en la precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica. S’han escullit 5 paràmetres que es perfilen com a candidats a ser variables d’alta dependència en l’estimació de la conductivitat tèrmica, aquests han estat:

a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols. b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície. c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces. d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats. e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.

En els següents apartats es presenten el resultats obtinguts de la precissió dels quatre conductivímetres versus les 5 variables proposades mitjançant la simulació numèrica.

Projecte final de carrera

a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols.

A priori s’intueix que la conductivitat de la pols juga un paper decisiu en la determinació de la conductivitat tèrmica. Quan més petita sigui la conductivitat de la pols millor serà el resultat de la valoració de la conductivitat ja que menys flux de calor escaparà de forma radial cap a fora del nucli, fent que la majoria de flux vagi en la direcció axial i així el procés s’acosti més al teòric de flux perfectament axial.

El gràfic obtingut a partir de les simulacions és el següent :

100

precissió (%)

80

SIM UL40 SIM UL60

60

SIM UL11 SIM UL22

40 20 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

conductivitat pols (W/mK)

Fig.10.22

En el gràfic superior es confirma que quan menys conductora és la pols, més bons resultats s’extreuen en la valoració de la conductivitat tèrmica. El model que dona millor resultat és el model SIMUL22 , model que presentaba una aïllament total més enllà de la pols. Els dos models que poseeixen forn de guarda (SIMUL40 i SIMUL11) també presenten un bon comportament comparat amb el model SIMUL22 però d’inferior qualitat.

Realment per aquest tres models anteriors , fins a una conductivitat de la pols unes 20 vegades inferior a la conductivitat de les peces presenta uns resultats prou bons d’aproximadament un 80 a 90 % de precissió.

Evidentment a aquest error de

configuració termica, posteriorment s’hi haurà de sumar els errors de termopar. En quan al model 60 que es troba desprovist de forn de guarda i el seu aillament lateral depèn

Projecte final de carrera

exclusivament de la qualitat de la pols, es veu greumet afectat per un augment de la conductivitat de la pols.

D’aquest primer apartat se n’extreu la necessitat de precisar d’una bona pols aïllant per a la mesura de la conductivitat tèrmica , sobretot per a mesurar la conductivitat de peces amb conductivitat molt baixa.

Projecte final de carrera

b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície.

Un altre dels paràmetres que s’ha volgut estudiar ha estat la conductivitat tèrmica que s’associa a la interfície, on existeix un fort gradient de temperatures degut al trencament de conducció per sòlid. En principi es preveu que una disminució de la conductivitat interficial efecti negativament al resultat de la precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica, ja que suposa una resistència adicional per el flux axial, afavorint una dissipació radial del flux de calor. D’altre banda però, com que la resistència tèrmica també depèn del gruix associat a la interfície, i aquesta és molt petita en relació a les magnituts de les peces, es preveu que aquest no sigui un paràmetre molt rellevant. Els resultats aportats per als programes de simulació han estat els següents:

100 98

precisió(%)

96 94 SIMUL40 SIMUL60 SIMUL11 SIMUL22

92 90 88 86 84 82 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 conductivitat interficial(W/mK)

Fig.10.23

En els tres models (SIMUL22,SIMUL11 i SIMUL40) no existeix quasi bé cap tipus de dependència entre el valor de la precissió de la determinació de la conductivitat tèrmica i la conductivitat interficial. Només en el model SIMUL60 es comproba que existeix una dependència per a conductivitats baixes de conductivitat interficial, però aquest model ja presenta greus distorsions de la precissió a qualsevol rang, empitjorant encara més per a conductivitats molt petites de la interfície.

Projecte final de carrera

c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces.

La grandària de les peces és un dels paràmetres importants per aconseguir una bona apreciació de la conductivitat tèrmica, ja que és important que s’aconsegueixi un gran flux de calor axial respecte al flux que es dissipa radialment. El flux axial flueix a través d’una secció que és proporcional al quadrat del diámetre de la peça,en canvi el flux dissipat radialmet creix linealment amb el diàmetre per a unes mateixes condicions, per tant un

Precissió(%)

diàmetre gran afavoreix una bona determinació de la conductivitat tèrmica.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

SIM UL40 SIM UL60 SIM UL11 SIM UL22

0

10

20

30

40

50

60

diàm etre de la peça (m m )

Fig.10.24

En el gràfic superior s’observa clarament com un radi petit implica una pitjor precissió de la conductivitat tèrmica, tot i que els conductivímetres provistos de forn de guarda i aïllament

total més enllà de la pols presenten un comportament molt millor que el

conductivímetre sense forn de guarda (SIMUL60) el qual és molt sensible a una disminució dels diàmetres de les peces.

Projecte final de carrera

d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats.

Una de les recomanacions que es fan per l’ús del conductivímetre en els manuals és que s’usin peces amb conductivitats tèrmiques el més semblant possibles, és a dir que per a obtenir una bona mesura de la conductivitat tèrmica s’haurien de tenir diferents patrons de mesura que cubrissin diferents rangs de conductivitat tèrmica, en una primera mesura es determinaria de quin ordre és la conductivitat tèrmica d’una determinada peça i un cop determinada la conductivitat no s'hauria de donar encara aquesta per bona, sobretot si surt que la conductivitat de la peça incógnita és molt diferent de la peça patró. El que s’ha de fer en un segon pas és posar novament la peça incògnita amb una peça patró de conductivitat el més semblant a la conductivitat donada en el primer assaig, i agafar el resultat del nou assaig com a bó. Aquesta consideració es veu reflexada en el gràfic següent, obtingut a partir de dades de diverses simulacions :

100

95

Zona 1

precisió(%)

Zona 2 90

SIM UL40 SIM UL60 SIM UL11 SIM UL22

85

80

75 0

10

20

30

40

50

60

70

conductivitat A(W/mK)

Fig.10.25

80

90 100

Projecte final de carrera

El gràfic anterior (Fig.10.25) es veu com varia la precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica de la conductivitat tèrmica quan es varia la conductivitat tèrmica d’una de les peces. S’ha fixat la conductivitat de la peça inferior (peça B) amb un valor de 10 W/mK i s’ha variat el valor de la conductivitat de la peça A. El resultat de la precissió es veu efectat per dos fenòmens: • Resistència tèrmica de la peça A.

El primer dels fenòmens afavoreix a una bona precissió de la conductivitat tèrmica quan més gran sigui el valor de la conductivitat tèrmica, ja que quan més gran sigui aquest menys resistència tèrmica efectuen ambdues peces i per tant afavoreixen un flux axial en detriment d’un flux radial que és sinònim de divergència amb la hipòtesis de flux totalment axial.

D’aquest primer punt és important tenir en compte que al actuar ambdues peces en sèrie, la resistencia tèrmica total és la suma directa de les resistències tèrmiques parcials, i per tant si s’augmenta molt la conductivitat tèrmica de la peça B (λB) (disminuir la resistència tèrmica) només passa a tenir efecte global la resistència de la peça A, per tant es preveu que per a grans conductivitats de la peça A (zona2) no es tinguin grans variacions de precissió en la conductivitat, ja que la resistència total passa a ser funció exclusivament de la resistència fixada (resistència B).

Peça RES A Peça B RES B

Fig.10.26

Res total = Res(peça A) + Res(peça B) Si Res(peça A) → 0 llavors: Restotal ≅ Res(peça B)

Projecte final de carrera

En canvi si la conductivitat de la peça A (λA) passa a ser molt més petita que la de B (λB), és a dir s’augmenta molt la resistència tèrmica de la peça A (zona 1), es passa a tenir la situació següent : Restotal = Res(peça A) + Res(peça B) Si Res(peça A) → ∝ llavors: Restotal ≅ Res(peça A)

És a dir, passa a jugar un paper important la conductivitat de la peça A, per tant es preveuen fortes variacions de la precissió de la conductivitat en la zona de conductivitat baixa de la peça A. (zona 2).

Aquests fets queden palesos perfectament en el (Fig.10.25) on en la zona de conductivitat alta de A (zona 1) la variació de precissió de λ és mínima , en canvi a la zona de baixa conductivitat (zona 2), la precissió de λ passa a ser funció fortament depenent de λA. •Diferència de conductivitats entre les dues peces.

El segon fenomen és degut a la diferència de conductivitats entre les dues mostres. Quan més semblants siguin ambdues mostres més precissió s’obtindrà en l’apreciació de la conductivitat tèrmica. Aixó és degut a la simetria que s’obté en el perfil de temperatures i en segon lloc per questió de sensibilitat, el qual té efecte si la peça patró té una conductivitat molt més elevada que la peça mostra.

λA λB

Fig. 10.27

Es determina la conductivitat de la peça desconeguda A com :

λ A (T ) = λ B (T ).

∆T B ∆T A

(10.14)

Projecte final de carrera

La sensibilitat de la determinació de λA pot ser associada al quocient de temperatures de l’equació anterior (10.14) Si l’increment de temperatures superior és molt més gran que l’inferior, es tindrà que per un petit error d’avaluació de l’increment inferior existirà un error gran en la determinació de λA. També repercuteix en la determinació de la conductivitat una diferència elevada de conductivitats de la següent manera : Si es tenen conductivitats semblants es tindrà un perfil de temperatures com ara:

λA

Temperatura forn de guarda Temperatura columna

λB

Fig. 10.28

I si es tenen conductivitats molt diferents s’obtenen perfils com els següents :

λA

Temperatura forn de guarda Temperatura columna

λB

Fig.10.29

La diferència entre els dos és clara, mentre en la (Fig.10.28) el forn de guarda fa perfectament la seva funció intentant aconseguir una distribució de temperatures el més semblant possibles a la pila, en el segon (Fig.10.29) cas la el forn de guarda no fa la seva funció, i fins i tot pot agreujar la precissió de determinació de la conductivitat ja que la temperatura del forn s’allunya notablement de la distribució de temperatures de la pila, per tant quan es té una diferència elevada de conductivitats entre ambdues peces es poden assolir errors importants.

Projecte final de carrera

e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.

Una de les conseqüencies de la imposició de flux perfectament axial, és que la distribució de temperatures al llarg de les peces han de formar plans isotèrmics. En un principi en la experimentació les peces es veuen calentades per resistències elèctriques les quals s’encarreguen de’aportar el gradient necesari per aconseguir un flux de calor a través de les peces. Se suposa que la temperatura d’ambdues peces en els extrems amb contacte amb les resistències són a temperatura constant.

Superfície a temperatura constant

Fig.10.30

Evidentment les temperatures als extrems de les peces no seran perfectament isotèrmiques sinó que tindran variacions respecte als plans isotèrmics teòrics:

Fig.10.31

Projecte final de carrera

Mitjançant els models numèrics es pot evaluar quina és la influencia d’una distribució de temperatures no uniforme sobre l’apreciació de la conductivitat tèrmica. A continuació es presenta un dels resultats gràfics obtinguts per simulació (diver50), en el qual s’ha forçat tant a la peça superior com inferior en els seus extrems a mantenir diferents:

distorsions

distorsions

Material A

Material B

Pols

Nucli

Fig.10.32

temperatures

Projecte final de carrera

Per a considerar aquesta influencia sobre la precisió de determinació de la conductivitat tèrmica, en els programes numèrics

corresponents

als

2xDifer

quatre

models s’ha optat per modificar les temperatures als nodes superiors i inferiors i obligar a un sector de la

peces Distribucions De Tª als extrems de les peces

superficie a tenir una temperatura i la resta

a

una

altre

(Fig.10.33)

així

s’estableix una distribució no uniforme de temperatures i el model divergeix de les condicions d’idealitat. S’han probat diferents increments de temperatures per

a

aquestes

distribucions

no

Fig.10.33

uniformes en els extrems de les peces.

En el gràfic adjunt s’observa quina distribució de temperatures s’ha utilitzat per a estimar aquest efecte (Fig.10.33).

Els resultats obtinguts per als quatre diferents models variant el salt de temperatura del gràfic anterior han estat els següents :

100

Precissió(%)

95 90 P recissió M 40 P recissió M 60

85

P recissió M 11 P recissió M 22

80 75 70 0

2

4

6

diferencia de Tª

Fig.10.34

8

10

Projecte final de carrera

S’observa que, evidentment quan més gran és el salt de temperatura en els extrems de les peces, la precissió dels conductivímetres decau. Tots els models presenten una caiguda fortament lineal fins a salts de ± 10º. La variació de precissió deguda a la variació de distribució uniforme de temperatures en els extrems de la pila són considerablement petits, ja que per a diferències de temperatures de ±5ºC =(10º) es tenen variacions de precissió respecte a una superfície amb distribució uniforme de temperatura de només un 90 ÷95 %.

Dels quatre models presentats aquí, el que té la precissió que devalla amb menys rapidesa, és el model 40, model provist de forn de guarda .

Els valors de precissió han estat obtinguts amb els programes lleugerament modificats dels originals. Aquests són DIVER50, DIVER61,DIVER70 i DIVER80 que corresponen al model 40,60,11 i 22 respectivament.

Projecte final de carrera

10.8

ANÀLISI DE LA POTÈNCIA

En aquest apartat s’analitza com varia la potència al llarg de la columna central per poder comparar els quatre models entre si i amb la situació teòrica de flux perfectament axial que s’hauria de donar en el cas ideal.

Per tractar la potència s’ha calculat per cada altura (i) de cada ninxol quina potència es transmet al ninxol inmediatament inferior, i quina potència es transmet cap a la pols, l’estudi i comparació de les potències entre els quatre models són significatives de la qualitat de disseny de cadascun d’ells.

Discretització

Q entrada axial AVALUACIÓ DE POTÈNCIES PER NIVELL

i+1 i i-1 Q sortida axial

Fig.10.35

Q Sortida lateral

Projecte final de carrera

En el gràfic anterior (Fig.10.35) s’observen les potències que a continuació seran analitzades. Per a un pis (i) de una de les dues peces com les del gràfic es té que per la part superior (i+1) hi entra una potència Qentrada

axial

i part d’aquesta és transmesa a la

peça inferior (i-1) com a Qsortida axial. L’energia que flueix radialment per el pis (i) de la peça s’anomena Qsortida lateral.

En estat estacionari i sense generació interna de calor, per a cada volum de control intern que s’esculli la potència entrant ha de ser forçosament igual a la potència de sortida, per tant s’ha de cumplir la següent igualtat :

Q& entradaaxial = Q& sortidaaxial + Q& sortidalat eral

(10.15)

Amb la igualtat anterior s’arriba una igualtat que lliga la potència axial amb la radial al llarg de l’eix geomètric de les peces:

En primer lloc es defineix per a un diferencial de llesca de peça les magnituts que intervenen en el flux de calor :

Q ax(x+dx) x

Q rad(x)

dx

Q ax(x) Fig.10.36

Projecte final de carrera

D’on es pot escriure:

QRad ( x ) = QAx ( x + dx ) − QAx ( x )

(10.16)

Multiplicant i dividint per les superfícies:

S Rad ⋅

QRad ( x)  Q Ax ( x + dx) Q Ax ( x)  = −  ⋅ S Ax S Rad S Ax S Ax  

(10.17)

Reordenant :

Q S

( x) = Rad

SA 2. π . R. dx

Q ⋅ S

( x + dx ) − ax

Q S

 (x)  ax

(10.18)

d'on :

 Q π ⋅ R2 d  Q ( x) = ⋅  ( x) S Rad 2.π .R dx  S ax 

(10.19)

s'obté que la potència dissipada per unitat de superfície radialment és proporcional a la derivada de la potència dissipada per unitat de superfície axialment al llarg de la peça.

Si es té en compte que la direcció de la “x” és en sentit contrari al gradient establert per fer aquesta correspondència, per definir correctament l’equació anterior, s’ha de canviar de signe, arribant finalment a:

 Q R d Q ( x) = − ⋅  ( x) S Rad 2 dx  S ax 

Per al cas teòric de flux axial la potència lateral Qsortida

lateral

(10.20)

és zero. En el cas real es

tindran transferències energètiques radials. A continuació es presenten els resultats obtinguts mitjançant la simulació numèrica per a diferents situacions de contorn i s’analitzarà quin comportament general assoleixen cadascun dels quatre models proposats. Per seguir les següents anàlisis, s’ha de tenir en compte que es presentaran dos tipus de resultats, la potència axial per unitat de superficie que entra per la cara

Projecte final de carrera

superior de cada nivell i la potència radial que entra lateralment per cada node de cada nivell, ambdós escullits en signe positiu si els fluxes entren cap l’interior de les peces.

Q entrada axial

Definit

positiu

Definit

positiu

i+1 i

Q Sortida lateral

i-1 Q sortida axial

Fig.10.37 definició de signe

NOTA: La distribució de temperatures s’ha accentuat respecte a la realitat, ja que el que s’intenta reflectir en el fenomen és el fet conceptual i no valors numèrics, per tant s’ha optat per la visualtzaciódels processos que tenen lloc en cada model.

Projecte final de carrera

•MODEL 40 (SI51) El model 40 es el model numèric que simula un nucli de conductivímetre provist de forn de guarda i aïllament tèrmic superiorment i inferiorment.

Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL40 i creant-ne un de nou (SI51) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.35) Tant el programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a l’annex 5.

MODEL 40 A B

C

Fig.10.38

Per a un model com el (10.38) provist de forn de guarda i aïllat superiorment i inferiorment s’ha analitzat com es comporten el flux de calor al llarg de la peça, i el comportament de aquestes és analitzat en els subapartats següents.

Projecte final de carrera

Potència axial en el model 40 En la gràfica (Fig.10.39) es pot obsevar un decreixement progressiu inicial de la potència que passa per un mínim per passar a pujar seguidament. La zona A és la que correspon a la peça superior, la potència és decreixent, aixó és degut a que les temperatures de la peça A són superiors a les temperatures de la pols que l’envolta i per tant una part del flux surt per les parets de la peça fet que es tradueix amb una disminució de la potència axial a mesura que es progressa cap a la interfície. A la zona B es produeix un mínim en la potència axial, a partir d’aquest punt es passa a la peça B on la potència passa a ser una funció creixent degut a que a la zona C, la temperatura del voltant de les peces és superior a la de les parets de la peça B. En consequència s’estableix un flux de calor entrant a la peça B fet que es reflexa en la funció creixent en aquesta zona.

Potència axial 3800 Potència (W/m2)

3780 Zona C

3760 3740

Zona A

3720 3700 3680

Zona B

3660 29

19

nodes

9

Fig.10.39 Potència axial

-1

Projecte final de carrera

Potència radial o lateral en el model 40 La potència lateral és aquella que surt o entra radialment per la superfície de les peces.

Quan més gran sigui aquesta, major serà la discrepància amb el model teòric de flux axial constant. Un valor negatiu de la potència radial indica un flux de calor surtint de la peça en direcció a la pols.

Respecte la potència lateral, aquesta pot ser evaluada de dues maneres, directament amb els resultats del programa numèric o indirectament a partir de la potència axial, ja que si es coneixen les potències d’entrada i sortida per cada pis,es pot mitjançant la igualtat (10.15) obtenir el valor de la potència radial.

Potència Lateral 300 Potència (W/m2)

200 Zona C

100 Zona A

0

Zona B

-100 -200 -300 29

19

9

-1

nodes Fig.10.40 Potència lateral

Així com es pot observar en la gràfica (10.40) de la potència lateral o radial es reflecteix clarament la relació que existeix entre la derivada de la gràfica (10.39) y la gràfica (10.40).

El valor 0 s’assoleix en el punt de la gràfica de la potència axial on es troba el mínim.

En la primera part de la gràfica (10.40) presenta un valor negatiu, aixó significa que existeix un flux de calor cap a l’exterior de la peça A, aquesta afirmació pot ser contrastada amb la (Fig. 10.38) on efectivament les temperatures de la peça A són

Projecte final de carrera

superiors a la pols que l’envolta. A l’inrevés succeix a la zona C on les temperatures de la peça són inferiors a la pols que l’envolta. La potència (W/m2) dissipada radialment pel cas aquí tractat és unes 36 vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment.

A continuació (Fig.10.41) es reflecteix la correspondència entre la derivada de la potència axial y la potència radial que ja s’expresava en la identitat (10.20).

Potència Axial

f’’=0

3800 f’’=0

Potència (W/m2)

3780 3760 3740 3720 3700

f’=0

3680 3660 -1

Potència Radial

9

nodes

19

29

Potència (W/m2)

300 200

g=0

100 0 -100

g’=0

-200 g’=0

-300 -1

9

19 nodes

Fig.10.41 Relació potències axial i radial

29

Projecte final de carrera

•MODEL 60 (SI62) Aquest model és el més senzill i no està provist de forn de guarda .

Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL60 i creant-ne un de nou (SI62) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a l’annex 5.

MODEL 60

Fig. 10.42 Model sense forn de guarda

Per al model 60 es tenia una distribució de temperatures com la de la figura superior , el primer fet important a és que la columna sempre està perdent calor radialment i no es té cap punt on hi hagi una entrada de potència, aquest fet es veu clarament representat en les gràfiques que analitzen les potències axials i radials al llarg de l’eix de la columna.

Projecte final de carrera

Potència axial en el model 60

En primer lloc a la gràfica (10.43) es reflecteix clarament la afirmació anterior ja que la potència axial al llarg de la peça decreix continuament, desde els nodes superiors (30) fins a nodes inferiors (1). La pendent sempre és negativa (tenint en compte la situació decreixent dels nodes), amb el clar significat que en cap zona de la geometria de la columna hi ha una aportació de calor “cap dins d’ella”.

Potència Axial

Potència (W/m2)

4200 4100 4000 3900 3800 3700 3600 3500 3400 30

20

10

0

nodes Fig.10.43 potència axial del model sense forn de guarda.

La potència axial manté sempre el mateix signe, fet evidencial que corrobora el fet que el flux de calor de la columna central sempre flueix cap a l’exterior, no havent-hi cap punt de la perifèria de la columna central que tingui la temperatura inferior a la pols que l’envolta fet que es comprova en la distribució de temperatures tridimensional (Fig.10.42).

Projecte final de carrera

Potència radial o lateral en el model 60 La potència (W/m2) dissipada radialment (absolutament) pel cas aquí tractat és unes 14 vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment (absolutament), clarament molt inferior al model anteriorment analitzat, fet que demostra la inferior qualitat d’aquest conductivímetre.

Potència Lateral

-100 -200 -300 -400 -500

Potència (W/m2)

0

-600 30

20

10

0

node s Fig.10.44 potència radial del model sense forn de guarda.

A l’inici del gráfic es té un decrement continuat de la potència que surt lateralment per la columna. Aquest fet és degut evidentment al increment de diferències de temperatura entre la peça i la pols que l’envolta. En la zona de la interfície hi ha un salt qualitatiu de canvi substancial del flux dissipat lateralment, existeix un fort salt cap a una pèrdua d’energia lateral més petita, fenomen degut al decrement de la temperatura entre la columna i la pols a partir de la interfície.

Projecte final de carrera

•MODEL 11 (SI70) Aquest model estava provist de forn de guarda i forçava tant als extrems com a la pols extremes a mantenir una temperatura constant.

Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL11 i creant-ne un de nou (SI70) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden consultar a l’annex 5.

La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :

MODEL 11

Fig.10.45 potència radial del model amb forn de guarda

Per a aquesta distribució de temperatures s’ha obtingut la següent distribució de potències com les que es presentaran en l’apartat següent.

Projecte final de carrera

Potència axial en el model 11

En quan a la potència axial s’observa un comportament similar al del model 40, únicament destacar que el rang de potència al llarg de la columna és més petit, degut principalment al forçament a la pols a mantenir superiorment i inferiorment una temperatura igual a la columna en els seus extrems.

Potència Axial

Potència(W/m2)

3780 3760 3740 3720 3700 3680 3660 30

20

10

0

nodes Fig.10.46

Potència radial o lateral en el model 11 En quan al comportament de la potència radial, aquest és també similar al comportament del model 40.

Potència Lateral Potència Lateral

Potència (W/m2)

300 200 100 0 30

20

10

0

-100 -200 -300

node s Fig.10.47

Projecte final de carrera

• MODEL 22 (SI81) Aquest model estava provist d’aïllament total més enllà de la pols que recubreix la columna central així com als extrems superiors i inferiors.

Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL80 i creant-ne un de nou (SI81) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden consultar a l’annex 5.

La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :

MODEL 22

Fig. 10.48

A continuació es presenta el comportament de les potències axials i radials al llarg de la peça.

Projecte final de carrera

Potència axial en el model 22 El comportament de la potència axial en aquest model també presenta un comportament similar als models 11 i 40, on a la part superior de la peça existeix una diferencia de temperatura entre la peça i la pols que va disminuint progressivament cap a les parts inferiors, arribant a un mínim en la zona de la interfície per tornar a crèixer a continuació, fenomen que es compren perfectament si s’observa el gràfic 3D de la distribució de temperatures (Fig.10.48).

Potència Axial

Potència (W/m2)

3800 3780 3760 3740 3720 3700 3680 3660 3640 30

20

10 nodes Fig. 10.49

0

Projecte final de carrera

Potència radial en el model 22

La potència axial evidentment també té un comportament semblat als models 11 i 40 on la peça superior está perdent flux lateral de calor i la inferior n’ está rebent.

Potencia lateral 300 Potència (W/m2)

200 100 0 30

20

10

0

-100 -200 -300

nodes Fig. 10.50

Projecte final de carrera

Una vegada ja analitzats els quatre models de conductivímetre, si es comparan els fluxes mitjans de potència axial amb els fluxes mitjans de potència radial, s’obté un coeficient estimatiu de la relació entre les dues transferències. n = 30

Coef =

∑ Potència _ axial / Àrea _ axial

n =1 n = 30

∑ Potència _ radial / Àrea _ radial

(10.21)

n =1

Quan més gran sigui aquest coeficient, millor serà en principi la qualitat del disseny del conductivímetre, ja que serà indicatiu de que la potència majoritariament flueix en sentit axial i les pèrdues laterals són mínimes.

Per a cadascun dels quatre conductivímetres s’han valorat aquests coeficients, els valors dels quals són : Per al model 40 Coef =36,82 Per al model 60 Coef =14,11 Per al model 11 Coef =51,30 Per al model 22 Coef =34,17

Per tant, a priori es pot preveure que els models 22 y 40 tenen un disseny amb el que s’aconsegueix una apreciació de la conductivitat tèrmica similar. El model 11 dona el millor resultat , per tant sembla ser que aquest serà el model candidat a donar els millors resultats d’avaluació de conductivitat tèrmica. Els coeficient del model 60 dona a aquest el pitjor coeficient, evidenciant el que ja se suposava a priori, ja que aquest model és el més senzill.

Projecte final de carrera

Comparativa grĂ fica dels diferents coeficients per als diferents models.

MODEL 60

MODEL 11

60 40 20 0 SI51 SI62 MODEL 40

S1 SI71

SI81 MODEL 22

Projecte final de carrera

10.9

CONCLUSIONS

Un cop analitzat el comportament de la precissió de la determinació de la conductivitat enfront de diferents variables i del comportament de les potències per als diferents models, es poden treure conclusions respecte als efectes de les variables i a la qualitat dels diferents models de conductivímetres. A continuació es presenten resumits els resultats gràfics del capítol 9.7.1.

En quan a la precissió d’avaluació s’havien obtingut les següents gràfiques:

80

80 Precissió

100

precissió

100

60 40

60 40 20

20

0

0 0

0,5

1

0

1,5

20

conductivitat pols

60

Fig.10.52

100

100 98 96 94 92 90 88 86 84 82

95 90 precissió

precissió

Fig.10.51

85 80

0

0,5

1

1,5

2

2,5

75 0

conductivitat interficial

10

20

30

40

50

60

70

80

c o n d u c ti v it a t A

Fig.10.53

Fig.10.54

SIM UL40 SIM UL60 SIM UL11 SIM UL22

100 95 Precissió

40

diàmetre de la peça (mm)

90 85 80 75 70 0

2

4

6

diferencia de Tª

Fig.10.55

8

10

90

1 00

Projecte final de carrera

Les conclusions a que s’arriba després d’analitzar els gràfics anteriors són:

1- L’ aíllament de la pols garanteix una bona apreciació de la conductivitat de la peça sempre que la conductivitat de la pols sigui d’un ordre de unes 20 vegades inferior a la de les peces de la columna. Fig.10.51.

2- El diàmetre de les peces de la columna ha de ser el més gran possible a fi i efecte de donar protagonisme al flux que flueix axialment enfront del flux lateral de calor.

Fig.10.52.

3- El salt de temperatura que es produeix en la interfície es irrellevant per al càlcul de la conductivitat tèrmica Fig.10.53.

4- Les conductivitats de la peça mostra i de la peça incógnita han de ser el més semblant possibles per aconseguir un resultat òptim. Aquest fet influirà en la metodologia per a l’obtenció de la conductivitat tèrmica . Fig.10.54.

5- Un distribució de temperatures no uniforme en els extrems de la pila no agreuja notablament el resultat de la apreciació de la conductivitat tèrmica. Fig.10.55.

6- El millor model és el que presenta aïllament total a partir de la pols que envolta la pila, aquest és però un cas teòric per referenciar la bondat dels resultats dels altres models de conductivímetre.

7- Els millors models reals són els que estan provistos de forn de guarda, amb resultats molt allunyats del model sense forn de guarda el qual difícilment sobrepassa el 80% d’efectivitat en la mesura de la conductivitat en el millor dels casos.

Aquest resultats donen el camí per a obtenir una millor precissió de la conductivitat tèrmica. Existeixen però altres variables que no poden ser valorades numèricament i que afecten d’una manera molt important a la determinació de la conductivitat com és per exemple la precissió dels termopars o la posició exacte dels termopars. Posteriorment s’analitzara en el capítol 4 la influència de tots els paràmetres que influeixen en la valoració de la conductivitat a part dels aquí estudiats per tenir en compte tots els efectes possibles.

289 Projecte final de carrera

Capítol 11 Crítica i proposta de millores 11.1 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.3 11.4

Crítica a la metodologia actual Proposta de millors Referenciació In situ Canvi de dimensions de les mostres Aplicacions de factors de correcció Altres millores secundàries Estructura final en el procediment

290 Projecte final de carrera

11.

CRÍTICA I PROPOSTA DE MILLORES

11.1

CRÍTICA A LA METODOLOGIA ACTUAL

L’experimentació realitzada fa constatable el fet que el criteri establert pel fabricant del Conductivímetre per a donar com a bona una mesura és erroni, i no proporcional. Aquest criteri consisteix en que si els dos fluxos calculats en les peces mostres conegudes no difereixen més d’un 20% podem donar com a satisfactòria l’experimentació realitzada.

Aquest fet, a més de ser incorrecte, ja que s’han donat els dos casos inversos, no és ni proporcional per les dues causes següents: •

Una experimentació A en que els fluxos difereixin menys que una experimentació B

no significa que el valor estimat per a la conductivitat en l’experimentació A tingui major índex de confiança que el trobat en l’experimentació B. •

El fet que dos fluxos siguin més o menys iguals depén dels errors que provoquen els

termoparells, que si bé són sempre del mateix ordre, afecten relativament més o menys depenent dels tamany dels gradients que mesuren. I que els gradients siguin més o menys grans depén (si sempre tendim a fer experimentacions amb el major gradient possible) de les difusivitats dels materials que conformen la pila central. Per tant, depenent d’aquesta propietat tèrmica tindrem experimentacions més o menys satisfactòries, que aleatòriament podran donar resultats correctes, però no fiables. Però la

qualitat de l’experimentació

no

haurà depengut

només

de

la traça

de

l’experimentador, ni de la correcta alineació de les mostres.

La manca de fiabilitat demostrada en el procés actual, fa que sigui necessària l’aplicació de millores. Les directrius marcades en aquest Projecte fan que el procés sigui més fiable, però elimina degut a les limitacions geomètriques el criteri d’èxit en l’experimentació realitzada, essent necessari el control i manteniment eventual dels elements que conformen el dispositiu de mesura: termoparells, forn de guarda, resistències.

El procediment proposat no dificulta excesivament l’experimentació, ja que el muntatge del dispositiu es manté igual, i només cal corregir les temperatures de control per fer la

291 Projecte final de carrera

referenciació In Situ. I si l’experimentador vol, pot aplicar la simulació numèrica via computadora introduïnt les temperatures corregides per a obtenir el valor de la conductivitat cercada, o bé aplicar els factors de correcció facilitats per les taules segons especificacions de diàmetres de peces, diferència entre conductivitats i d’altres paràmetres de disseny.

Antic procediment

1- Experimentació

Lectures

Conductivímetre

2- Aplicació teoria placa plana λ1. A1.

Equació simplificada

Flux unidireccional

3- Resultats 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 -400

-200

0

200

400

∆T1 ∆T = λ2 . A2 . 2 ∆x1 ∆x2

600

800

1000

1200

Temperature(C)

Fig. 11.1 Esquema del procediment actual

292 Projecte final de carrera

Es detalla a continuació la sèrie de millores proposades en el nou procediment de treball per al conductivímetre TCFCM - N20, i que poden ser aplicables a d’altres conductivímetres de tipologia semblant.

11.2

PROPOSTA DE MILLORES

Les millores bàsiques que proposa aquest Projecte es fonamenten en 3 canvis; dos de metodologia, i un de caràcter geomètric: a) Referenciació In Situ b) Canvi de dimensions de mostres c) Aplicacions de factors de correcció facilitats per la simulació numèrica

11.2.1 REFERENCIACIÓ IN SITU Tal i com en l’experimentació (Capítol 8) s’ha demostrat que la causa fonamental de dispersió en els resultats vé donada pels termoparells, el comportament del qual (error sistemàtic) varia en diferentes condicions: al doblar-se, a l’estar en un camp de temperatures diferents, i altres factors no controlables com expliquen els manuals dels proveïdors de termoparells.

Els errors que presentaven parells de termopars en diferents experiències eren prou grans com per no prendre les característiques de cada termopar com a constants per a diferents situacions.

Com exemple es presenten aquests dos gràfics (Fig. 11.2), representatius dels resultat obtinguts que ens mostren com per a mateixes condicions, s'obtenen resultats diferents :

293 Projecte final de carrera

Característica en exper. 1 temperatura (termopar)

310 290 270 250 230 210 190 170 150 1

2 te rm opar

Característica en exper. 2

temperatura (termopar)

310 290 270 250 230 210 190 170 150 1

2 te rm opar

Fig. 11.2 Comportament dels termoparells en dues experiències diferents

La solució aportada a aquesta mancança de constancia de les característiques de cada termopar va ser la referenciació in situ. aquesta solució proposa prendre nota de les lectures dels termopars a una mateixa temperatura cada uns 100 º C durant l'enregistrament de dades.

294 Projecte final de carrera

Com exemple , suposem que volem conèixer la conductivitat de un material entre 75 ºC i 400 ºC. La operativa a seguir és la següent.

1- Posem el controlador PID main i el PID aux a 50 ºC. un cop estabilitzats prenem nota de tots els termopars de la columna.

2- Posem el PID main a 100 ºC , un cop estabilitzats els termopars prenem dades de tots els termopars de la columna.

3- Anem incrementant al la vegada en 10 ºC els dos PID fins que el PID aux arriba a 100 ºC. 4- Posem el PID main a 100 º C, prenem nota de totes les lectures.

5- Posem el PID main a 160 ºC i l'aux a 110 , un cop estabilitzat prenem nota.

6- S'incrementa cada PID en 10 ºC i es va prenen nota dels resultats fins que el PID aux arriba a 200 ºC. 7- Col.loquem tots els PID a 200 ºC 8- ...

350 300

temperatura

250 PID aux

200

PID main 150 100 50 0 0

10

es tats

20

30

Fig. 11.3 Evolució de les dades a introduir en els PID

295 Projecte final de carrera

(cal tenir en compte que els PID del forn de guarda també han d'evolucionar paral·lelament amb el PID Main i PID Aux).

Evidentment, cadascuna de les mesures dels termopars en cada fase sense increment de temperatura (els dos termopars a la mateixa temperatura) servirà posteriorment per al tractament de les dades obtingudes.

Suposem que en la mesura de temperatures a 200 ºC (sense increment) i els resultats per a cada termopar han estat els següents: TC1 = 199 ºC

TC4 = 203 ºC

TC2 = 200 ºC

TC5 = 202 ºC

TC3 = 198 ºC

TC6 = 198 ºC

gràficament,

203 202

Temperatura

201 200 199

TC

1 198 197 196 195 1

2

3

4

5

6

te rm opar nº

Fig. 11.4 Apariència gràfica dels resultats obtinguts en els termoparells

A partir d'aquestes dades es calcula les diferències de lectura enfront d'un termopar qualsevol, en el nostre cas triem el termopar 1. Ens interessen doncs les diferències de temperatura envers el primer termopar, aquestes diferències corregiran posteriors lectures que es faran en el mateix muntatge.

296 Projecte final de carrera

Les diferències de temperatura referides al termoparell 1,

203 202

Temperatura

201 200

e6

e3 199

e1

e2

e4

e5

198 197 196 195 1

2

3

4

5

6

te rm opar nº

Fig. 11.5 Referenciació de temperatures amb el mètode In Situ

Posteriorment es fa una altre referenciació a temperatures més elevades, suposem que les dades obtingudes són les següents : TC1 = 300 ºC

TC4 = 300 ºC

TC2 = 302 ºC

TC5 = 304 ºC

TC3 = 298 ºC

TC6 = 296 ºC

Fent també una referenciació in situ dels resultats s'obté la següent gràfica :

297 Projecte final de carrera

304 303 302 Temperatura

301

e2 '

300 299 298

e5 '

e4 '

e1 '

e3 '

e6 '

297 296 295 294 1

2

3

4

5

6

te rm opar nº

Fig. 11.5 Referenciació seguint el mètode In Situ dels termoparells

En una representació gràfica de les diferències de temperatura :

4 3

Increment T

2 1 0

Serie1

-1

Serie2

-2 -3 -4 t1

t2

t3

t4

t5

t6

termopar nº

Fig. 11.7 Desviacions dels termoparells en dues situacions isotermes diferents

298 Projecte final de carrera

On la sèrie 1 son les diferències de temperatura referent al termopar 1 a 200 ºC i la sèrie 2 a 300 º C. Com es pot comprovar en aquest exemple explicatiu, les diferències relatives dels termopars no es mantenen constants, per tant caldrà interpolar per a modificar els valors de les experiències fetes. Una regressió lineal és més que suficient per aquest propòsit, ja que realment les diferències varien molt lentament amb la temperatura.

Un cop es tenen els valors de diferències de temperatura a dues temperatures donades es poden utilitzar aquestes per a determinar el valor de la conductivitat a qualsevol temperatura entre aquestes.

Siguin e1,e2,e3,e4,e5 i s6 les diferències de temperatures (ei=Ti-T1)

referents al

termopar 1 a temperatura T1 és a dir, i siguin e1',e2'e3',e4',e5' i e6' les diferències de temperatures (ei'=Ti'-T2) referents al termopar 1 a temperatura T2. Llavors, per a qualsevol temperatura entre T1 i T2 podem modificar la lectura de quasevol termopar per ternir una precisió més elevada dels increments.

11.2.2 CANVI DE DIMENSIONS DE LES MOSTRES L’estudi encaminava al principi a l’engrandiment de les peces, per tal de poder obtenir gradients més grans en les peces i disminuir l’error relatiu que provocaven els termoparells. Això representava el condicionant de tenir dues peces, que com hem vist, elimina el criteri d’èxit de l’experimentació, però que degut a la seva poca fiabilitat és admissible. Per unaltra banda, s’elimina una interfície de contacte entre les mostres, fet que elimina resistència tèrmica i afavoreix un flux lineal per la pila central encara més gran.

Primerament es va pensar en eliminar dràsticament la resistència inferior, per tal de guanyar aquests 35 milímetres de gruix que tenen, però això provocava la limitació en les temperatures d’experimentació, ja que no es podien escalfar les mostres a la temperatura que volguèssim. A més, el mètode In Situ que necessita d’una experimentació isoterma no seria viable si s’eliminés aquesta resistència inferior. Una solució de compromís, és

299 Projecte final de carrera

doncs, mantenir aquesta resistència inferior i tenir limitada la pila central per la geometria del conductivímetre actual (és a dir, entre el TC7 i el TC15 del forn de guarda). És podrien adquirir resistències més primes de característiques eléctriques similars, però no es guanyaria molta més longitud en les mostres.

La longitud a vegades pot venir determinada, ja que en la nostra recerca de barres de diversos materials per a experimentar, sovint no era disponible tenir-les de diàmetres i longituds desitjats. De totes maneres, i seguint amb el criteri per a obtenir el millor resultat en les experimentacions, tot i les limitacions geomètriques de que disposem, facilitem el

44,5

3,75

1,7

tamany ideal de les mostres:

50

Fig. 11.8 Dimensions ideals de les mostres

300 Projecte final de carrera

11.2.3 APLICACIONS DE FACTORS DE CORRECCIÓ En el Capítol 10, s’han vist les dispersions que existeixen en els fluxos, depenent dels diàmetres de les mostres, així com la relació entre les conductivitats de les peces, entre d’altres. Aquestes variacions en els fluxos determinen factors de relació, que si s’implementen en els resultats experimentals, han de corregir el valor estimat per a la conductivitat.

Els resultats obtinguts en les 160 simulacions han permés elaborar un seguit de taules que mostren les desviaciones dels diferents conductivímetres simultats respecte el conductivímetre ideal de flux perfectament axial. Per tant, a priori ja es pot observar en quina zona de les gràfiques queda ubicat el nostre experiment, tant sols cal triar el tipus de conductivímetre més adient.

Un ús d’aquestes taules està destinat a rectificar els valors de la conductivitat una vegada ja ha estat aquesta filtrada pel Mètode In Situ.

Per a obtenir un resultat el més acurat possible s’ha desenvolupat el programa LUMIS2.C el qual, a partir de la tipologia del conductivímetre, dades extretes en les lectures dels termoparells, geometria i dimensions de les peces, és capaç de trobar quina ha de ser la conductivitat de la peça incògnita per a que es donguin les condicions de contorn que ens donen les temperatures dels termoparells. Aquest programa és de gran utilitat ja que permet fer directament les correccions sense necessitat d’acudir a les taules, és a dir, permet una ressolució totalment personalitzada per a cada tipus de conductivímetre i característiques geomètriques de les peces.

11.3

ALTRES MILLORES SECUNDÀRIES

S’han cercat dues millores addicionals, que no s’encaminen en l’objectiu propi del Projecte de millora en la precisió de resultats experimentals. Una té caràcter merament mediambiental, i l’altra si que pot afavorir el mètode actual de mesura experimental, però amb la referenciació In Situ perd efectivitat.

301 Projecte final de carrera

Instal·lació de refrigedadora d’aigua industrial La primera millora consisteix en la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua industrial. Si el usuari responsable del conductivímetre ha de fer un ús intensiu de l’aparell, la quantitat d’aigua que es perd és considerable, ja que actualment s’agafa aigua de la xarxa, es fa passar pel conductivímetre per afavorir el flux i posteriorment s’evacua l’aigua sense cap mena de contaminació. Si una experimentació (per trobar només la conductivitat a una temperatura concreta) dura al voltant de 2 hores, amb un cabal mesurat de 6 l/min s’obté un consum de 720 litres per experiment. Si s’analitza un material a diferents temperatures, fent les referenciacions corresponents, la quantitat d’aigua llençada és excesiva.

Per a esmenar aquest problema, es proposa la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua industrial, que amb una recirculació de l’aigua, i evitant que la temperatura del refrigerant vagi augmentant, s’obté un estalvi en el consum de l’aigua. Aquestes refrigedadores permeten a més, aconseguir temperatures un xic més fredes que les que es poden obtenir directament de la xarxa, afavorint tenir un flux més lineal al llarg de la pila central, i fent crèixer els gradients de temperatura a mesurar.

Un dels fets que també serveixen per a la crítica pròpia del conductivímetre, és que el refrigerant d’entrada (aigua) és conduit primerament cap al Forn de Guarda, per a mantenir en aquest dispositiu el gradient desitjat. El refrigerant passa posteriorment per la zona inferior del nucli central (mostres), quan aquest refrigerant ja ha estat escalfat, encara que mínimament, ja que la temperatura de sortida del refrigerant i la d’entrada són pràcticament constants, degut al cabal important d’aigua que hi circula. Malgrat tot, es troba més lógic que el refrigerant passés primerament per la zona inferior de la pila central, per tal d’afavorir el gradient maximal en aquest nucli, i posteriorment passés al Forn de Guarda. Això és pot aconseguir canviant els tubs d’entrada i sortida en el conductivímetre.

302 Projecte final de carrera

Ús de termoparells de lectura doble Un dels fabricants més importants a nivell mundial d’elements de mesura i control de variables termofísiques (OMEGA) mostra en un dels seus catàlegs sol·licitats, un tipus de termoparell amb camisa, semblant als d’us actual, que tenen dos connectors de lectura, ja que en la punta hi han dues unions termopàriques diferents. És a dir, que en un punt local hi tenim dues unions, dos termoparells, obtenint dues lectures, a partir de les quals es pot obtenir una mitjana, que estadísticament parlant , dóna una dispersió menor que cadascuna de les lectures per separat.

Aquesta millora perd efectivitat quan apliquem la referenciació In Situ, ja que de dues lectures s’aplicarien factors de referenciació diferents i obtindríem dues lectures referenciades iguals en el mateix punt.

Només té sentit aquesta aplicació si no es vol aplicar la referenciació proposada en el Projecte, que per altra banda, es demostra necessària per a l’obtenció de resultats més fiables.

303 Projecte final de carrera

ESTRUCTURA FINAL EN EL PROCEDIMENT

Nou procediment

1-Referenciació in situ

2- Experimentació

Lectures

Conductivímetre

3- Aplicació mètodes numèrics 400 390 380

Simulació

Correcció

370 S31

360

S21

350

S11

4- Resultats

6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 -400

-200

0

200

400

600

Temperature(C)

800

1000

1200

9

S1 13

1

340 5

11.4

305 Projecte final de carrera

Annexes

1. Càlcul directe 2. Els quatre models 3. Geometria bàsica utilitzada 4. Demostració potència 5. Càlcul de potències 6. Resultats 7. Importància de la conducció, convecció i radiació en les interfícies 8. Tipologies d’aïllament 9. Gràfiques de conductivitats 10. Fulles de control d’experimentació 11. Fotografies

306 Projecte final de carrera

Projecte final de carrera

ANNEX 1. CÀLCUL DIRECTE. En aquest annex es detalla com ha estat confeccionat el programa que resol per mètode directe la conductivitat d’una peça mitjançant la simulació numèrica. La base del programa és la mateixa que la dels quatre programes que resolen cadascún dels models, s’ha introduït però una petita rutina interna que calcula certes variables (conductivitat, resistencia interficial i temperatures extremes) per a que es donguin quatre temperatures donades a cadascun dels quatre termopars. Aquest programa requereix una metodologia de treball diferent al programa base, ja que a part de que el programa a de trobar la solució per a un estat estacionari, a la vegada a de recalcular quatre paràmetres per què es donguin certes condicions que s’exigeixen a priori (quatre temperatures + conductivitat de la peça coneguda). El nom del programa és LUMIS2.C. Els inputs de referència del programa, a part evidentment de les condicions de contorn per a aquest programa, són els següents :

T1- Temperatura assolida al termopar 1 T2- Temperatura assolida al termopar 2 T3- Temperatura assolida al termopar 3 T4- Temperatura assolida al termopar 4

Els inputs fixats del programa són:

CONDA- Conductivitat de la peça coneguda

Inputs modificables dins del programa per assolir condicions predeterminades :

CONDB- Conductivitat de la peça incògnita CONDS- Conductivitat interficial TSUP- Temperatura de la part superior de la peça A. TINF- Temperatura de la part inferior de la peça B.

L’objectiu és determinar quina conductivitat de la peça B farà que es compleixin les condicions T1,T2,T3 i T4 en els punts del model numèric on es capten en el conductivímetre de laboratori les quatre lectures de termopar.. A més encara falten tres

Projecte final de carrera

variables per a fixar i tenir un sistema determinat, aquestes són: la conductivitat interficial, la temperatura superior de la peça A i la temperatura inferior de la peça B, que realment, el que s’aconsegueix és donar les condicions de contorn al limit de les peces i tancar l’àrea de control i. En el capítol 10 es representa la implementació bàsica del programa LUMIS2 on primerament s’introdueixen els valor sabut a priori de la peça amb conductivitat coneguda i els valors de referència de temperatura a quatre punts del model numèric, els quals són la referència per establir com de proper es troba el programa per determinar les condicions que fan possibles aquestes quatre temperatures. S’introdueixen també al programa les variables que seran modificades al llarg del programa per assolir les condicions predeterminades, aquestes variables s’introdueixen amb un valor estimatiu el més proper possible al real, aquest valors estimats a priori es troben analitzant quins valors tindrien en cas de tenir el cas de flux perfectament axial amb geometria cil.líndrica.

Aquests valors són: CONDB, CONDS, TSUP i TINF. amb aquestes dades es procedeix a fer una estimació dels quatre paràmetres i a continuació es calcula l’estat estacionari per aquests valors. En el resultat de l’estacionari es comparen les temperatures assolides en les quatre posicions del model numèric on es captaria en realitat la temperatura dels quatre termopars amb les temperatures reals que s’han obtingut a laboratori, si coincideixen, ja s’ha trobat la solució de la conductivitat buscada, si no coincideixen els valors, s’ha de procedir a recalcular els valors dels quatre paràmetres paràmetres, i així succesivament fins a la convergència final. Per assegurar la convergència d’una forma més ràpida s’ha seccionat el programa en tres parts, la primera part no canvia el valor de cap de les quatre variables, i es limita a cercar l’estat estacionari per a les condicions inicials. Per aquesta primera part es destinen 1400 iteracions. La segona part del programa ja entra en acció el mètode convergent per trobar quins valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB donen els valors buscats a priori. En aquesta fase s’hi accedeix quan ja han trsnscorregut 1440 iteracions, però només es té accés a modificar els valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB una vegada de cada 100 iteracions per assegurar la convergència, ja que del contrari el sistema es pot tornar inestable. En aquesta segona fase la rapidesa de convergència és rapida, i les temperatures de Tdup i Tinf es varien 0.02º cada vegada mentre que les conductivitats es varien un 0.05 %. Aquesta fase està continguda desde la iteració 1400 fins a la 30000, i els paràmetres son variats una de cada cent iteracions, el que suposa que hauran estat modificades 286 vegades cadascuna de les qutre variables. El el tercer i últim pas el que

Projecte final de carrera

es fa és afinar el valor d’aquestes quatre variables, per tant es baixa el valor d’increment a cadascun dels passos. Les temperatures TSUP i TINF es veuen variades 0.0005º i les conductivitats CONDS i CONDB es varien a cada iteració un 0.01 %. Aquesta tercera fase es realitza desde la iteració 30000 fins a la 60000. Les quatre variables en aquesta fase només son variades una de cada 200 iteracions, el que suposa 150 variacions en total de les quatre variables en aquest darrer pas. La variació de les variables cada 200 iteracions es fa així per què es garanteix la estabilitat al programa,. El nombre d’iteracions per a cada fase han estat escollits a través de l’experiència adquirida a través de l’us del programa .

Projecte final de carrera

Estructuració del programa LUMIS2 Condicions a complir T1- Temperatura assolida al termopar 1 T2- Temperatura assolida al termopar 2 T3- Temperatura assolida al termopar 3 T4- Temperatura assolida al termopar 4

Valoració de Tsup, Tinf, CondB,CondS

Variables a establir

Càlcul de l’estat ESTACIONARI

Recalcular

Tsup- Temp. sup. pila Tinf - Temp. Inf pila Cond B- Conduc. Peça desconeguda Cond S- Conduc. Interf.

Comparar T1,T2,T3,T4 CondB- conductivitat peça desconeguda CondS- conductivitat interficial Tinf- T inferior peça B Tsup – T superior peça A

Per accelerar la convergència s’ha procedit a fer una estimació de quins serien els valors de les variables buscades en el cas teòric de tenir una distribució lineal de temperatures a

Projecte final de carrera

la columna. Es presenta a continuació una gràfica per identificar cadascuna de les variables introduïdes fins aquí.

Peça A

T

Interfície

T1

T1

d T2

T2

f T3

T3

d T4

T4

X

Peça B

Geometria de la peça :

s

d

Els inputs són : T1,T2,T3,T4 i CONDA i les variables a determinar són Tsup, Tinf,CONDS i CONDB. Les variables a determinar poden ser primerament precalculades per alleugir iteracions al programa, el valor que es donarà a cada variable serà el que tindria si es donés flux perfectament axial.

Projecte final de carrera

El càlcul dona que per la geometria i temperatures donades, el valors de Tsup, Tinf,CONDS i CONDB serien en el cas de flux perfectament axial :

CONDB = CONDA ⋅

CONDS = CONDA.

(T 1 − T 2) (T 3 − T 4)

(T 1 − T 2) ⋅ f  T4 −T3   T1 − T 2   T 1 − T 3 + ⋅s −  ⋅ (d + s )  ⋅ d d  d   

 T1 − T 2  TSUP = T 1 +  ⋅s  d  T3−T4 TINF = T 4 −  ⋅s  d  Amb aquest quatre valors s’inicialitzaran les quatre variables en el programa LUMIS2, a partir d’aquí s’aniran ajustant fins aconseguir els valors predeterminats de temperatura en els quatre termopars, la metodologia per aconseguir aquesta convergència cap al valor real de les quatre variables a estat pròpia i a consistint en la següent metodologia:

Projecte final de carrera

La distribució real de temperatures que s’assoleix en qualsevol de les iteracions, fa que per cada peça, les possibilitats de distribució de temperatures respecte a les exigides puguin ser quatre:

Per a la peça A CAS 1) T1

T T2

CAS 2) T1

T T2

Projecte final de carrera

CAS 3)

T1

T T2

CAS 4)

T1

T T2

T1 i t2 en qualsevol del quatre casos anetriors representen les temperatures a que es desitja que es trobin dos punts determinats del model numèric. Per exemple en el cas 1 es troba la temperatura en el model numèric per sota del valor exigit T1 i per sobre en el cas del valor T2 exigit. Per tant, quan es dona aquest cas s’han de modificar els paràmetres TSUP, TINF CONDS i CONDB perqué la distribució de temperatures en el model numèric baixi cap a T1 i pugi cap a T2.

Projecte final de carrera

Els quatre casos que s’acaben de representar són les quatre possibilitats de distribució de temperatures dels dos termopars:

Valor

Valor

Valor

Valor

requerit

numèric

requerit

numèric

Condició

cas

Efecte sobre LUMIS2

(T1)

TV[28][1][1]

(T2)

TV[20][1][1]

TV[28][1][1]>T1

CAS1

TV[20][1][1]<T2 (T1)

TV[28][1][1]

(T2)

TV[20][1][1]

TV[28][1][1]<T1

CONDS↓ CAS2

TV[20][1][1]>T2 (T1)

TV[28][1][1]

(T2)

TV[20][1][1]

TV[28][1][1]>T1

TV[28][1][1]

(T2)

TV[20][1][1]

TV[28][1][1]<T1

Tsup↑ CONDS↑

CAS3

TV[20][1][1]>T2 (T1)

Tsup↓

Tsup↓ CONDS↓

CAS4

TV[20][1][1]<T2

Tsup↑ CONDS↓

La taula anterior dona les possibles combinacións de temperatures que es poden donar entre la temperatura exigida i la temperatura assolida a l’estat estacionari. La temperatura calculada en cadascuna de les posicions que ocuparien els dos termopars poden ser en principi majors o menors a les exigides per l’usuari, per tant s’ha de prendre una decisió i moure les variables per aconseguir una convergencia dels paràmetres calculats amb els paràmetres exigits.

En el cas 1, les variables que principalment efecten a la distribució de temperatures són la TSUP i la condS, cadascuna d’elles efecte a la distribució de temperatures d’una forma diferent : Si s’apuja Tsup i es mantenen totes les variables constants, aixó té un efecte de pujada general de totes les temperatures de la columna, ponderat evidentment, quan més aprop dels nodes superiors, més notoris seran aquests increments de temperatura.

Si s’apuja el valor de CONDS, l’efecte inmediat, és baixar el salt de temperatura entre ambdues peces, com a consequència d’una pujada de la conductivitat de CONDS s’obtindrà una disminucuó general de les temperatures de la peça superior (peça A) i un augment general de les temperatures de la peça inferior (peça B).

Projecte final de carrera

Gràficament :

T Tsu

Tinf

Efecte si s’apuja Tsup

T Tsu

Tinf

Com es pot apreciar visualment, la variació de temperatura queda ponderada de manera que els punts que es veuen més afectats són els més propers a la zona superior de la peça A.

Projecte final de carrera

Efecte si s'apuja la conductivitat interficial CONDS:

T Tsup

Tinf

Efecte si s’augmenta la conductivitat de la peça B CONDB:

T Tsup

Tinf

Efecte si s’apuja TINF : T Tsup

Tinf

Projecte final de carrera

Així doncs, si el programa es troba per exemple en el cas 1 en la peça A:

T1:Temperatura a assolir T

T2: temperatura a assolir

Distribució real al model

Es tractatà d’aconseguir el següent

T

Procés que s’aconsegueix baixant TSUP i baixant CONDS així com queda indicat al quadre següent. Per a qualsevol dels altres quatre casos s’actuarà en relació com indica el quadre indicat. Per a la peça B s’actua de forma paralela modificant els valor de la conductivitat de la peça desconeguda CONDB i la temperatura inferior TINF.

Projecte final de carrera

Per a T3 i T4 el procediment és paral.lel al de T1 i T2 , però les variables que s’han de modificar en aquest cas són TINF i CONDB. La taula de modificacions per a la peça B és la següent Valor

Valor

Valor

Valor

requerit

numèric

requerit

numèric

Condició

cas

Efecte sobre LUMIS2

(T3)

(T3)

(T3)

(T3)

TV[12][1][1]

TV[12][1][1]

TV[12][1][1]

TV[12][1][1]

(T4)

(T4)

(T4)

(T4)

TV[4][1][1]

TV[4][1][1]

TV[4][1][1]

TV[4][1][1]

TV[12][1][1]>T3

CAS1 CONDB↑

TV[4][1][1]<T4

TINF↑

TV[12][1][1]<T3

CAS2

CONB↓

TV[4][1][1]>T4

TINF↓

TV[12][1][1]>T3

CAS3 CONDB↑

TV[4][1][1]>T4

TINF↓

TV[12][1][1]<T3 TV[4][1][1]<T4

CAS4

CONB↓ TINF↑

Projecte final de carrera

A continuació es presenta el llistat del programa LUMIS2.C que resol de manera directa l’evaluació de la conductivitat. LUMIS2 està fet sobre la base de SIMUL70.

LUMIS2.C

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS); float sumamp(int j,double *AMP),t; int m,n,o,i,j,k,b; float ***TV,CONDB,CONDS,T1,T2,T3,T4,conA,s,d; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; t=4000; f1=fopen("a:llum3","w"); /*------------------------------------------------------------------- Temperatures dels termopars --i definici¢ de la-------conductivitat de A ----------------------------------------------------------------------------*/ T1= 398.998444; T2= 397.004456; T3= 368.944702; T4= 362.985657; conA=30; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2");

Projecte final de carrera

exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr;

Projecte final de carrera

ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001;

(i) ---------------------*/

/*-----------------------------------------------------------estimacio de les variables CONDB, CONDS, Tsup, Tinf-------------------------------------------------------------*/ s=ALT[29]+ALT[30]+ALT[31]; d=ALT[21]+ALT[22]+ALT[23]+ALT[24]+ALT[25]+ALT[26]+ALT[27]; CONDB=conA*((T1-T2)/(T3-T4)); CONDS=conA*(T1-T2)*ALT[16]/((T1-T3+((T4-T3)*s)/d-((T1T2)*(d+s))/d)*d); Tsup=T1+((T1-T2)*s)/d; Tinf=T4-((T3-T4)*s)/d;

/*-----------Omplo temperatures-perifŠriques-----------

Projecte final de carrera

-------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ for(t=1;t<=60000;t++) { printf("%f ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { if(o!=1 && o!=13 && n!=1) {

Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL

Projecte final de carrera

T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m]) ); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m]) ); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

Projecte final de carrera

} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m]) ); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-

Projecte final de carrera

1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m]) ); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m ])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((s umamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp (n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

}

} } } /* --------------- modificacions de CONDB, CONDS Tsup, Tinf -----------------------------------*/ if(t>1400 && t<=30000) { if(floor(t/100)==t/100) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4)

Projecte final de carrera

{ CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } if(t>30000) { if(floor(t/200)==t/200) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf+0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001);

Projecte final de carrera

Tinf=Tinf+0.0005; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } /* -----------reinicialitzo altre vegada les T de dalt i de baix */ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } printf("conductivitat de B, Tinf: %f %f\n",CONDB,Tinf);

}

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS) {

float condaux,CONDA,CONDF,CONDP;

Projecte final de carrera

/*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s];

Projecte final de carrera

} return sum; }

Finalment, es presenta com exemple numèric i gràfic la convergència de les quatre variables cap a un valor que conferirà a quatre punts determinats del model els valors requerits a priori. Les quatre variables que són corregides per assolir els quatre valors són CONB,CONDS, Tsup i Tinf. Per provar la fiabilitat del programa s’ha procedit primerament a fer una simulació amb SIMUL70, llavors s’han extret les temperatures que es donaven en els llocs on anirien situats els termopars i s’han introduït aquests valors de les quatre temperatures a LUMIS2, i els valors que ens haurien de retornar aquest programa serien : CONDB=39,TSUP=400,TINF=360,CONDS=0,3.

Projecte final de carrera

RESULTATS GRÀFICS

C OND B 1 0 ,8 1 0 ,6 1 0 ,4 1 0 ,2 10 9 ,8 9 ,6 1

51

101

151

201

251

301

351

401

251

301

351

401

iteració

C O ND S 0 ,3 5 0 ,3 4 0 ,3 3 0 ,3 2 0 ,3 1 0 ,3 0 ,2 9 0 ,2 8 0 ,2 7 1

51

101

151

201

iteració

Projecte final de carrera

TIN F 3 6 0 ,6 3 6 0 ,4 3 6 0 ,2 360 3 5 9 ,8 3 5 9 ,6 3 5 9 ,4 1

51

101

151

201

251

301

351

401

iteraci贸

TS UP 4 0 0 ,1 5 4 0 0 ,1 4 0 0 ,0 5 400 3 9 9 ,9 5 3 9 9 ,9 3 9 9 ,8 5 3 9 9 ,8 3 9 9 ,7 5 1

51

101

151

201

iteraci贸

251

301

351

401

Projecte final de carrera

VALORS NUMĂ&#x2C6;RICS CONDB CONDS 10.043480 0.346488 10.048502 0.346315 10.053526 0.346142 10.058553 0.345969 10.063582 0.345796 10.068614 0.345623 10.073648 0.345450 10.078685 0.345277 10.083724 0.345105 10.088766 0.344932 10.093810 0.344760 10.098857 0.344587 10.103907 0.344415 10.108958 0.344243 10.114013 0.344071 10.119070 0.343899 10.124129 0.343727 10.129191 0.343555 10.134256 0.343383 10.139323 0.343211 10.144393 0.343040 10.149466 0.342868 10.154540 0.342697 10.159617 0.342526 10.164698 0.342354 10.169780 0.342183 10.174865 0.342012 10.179953 0.341841 10.185042 0.341670 10.190135 0.341499 10.195230 0.341329 10.200328 0.341158 10.205428 0.340987 10.210531 0.340817 10.215636 0.340646 10.220744 0.340476 10.225855 0.340306 10.230968 0.340136 10.236083 0.339966 10.241201 0.339796 10.246322 0.339626 10.251445 0.339456 10.256571 0.339286 10.261699 0.339116 10.266829 0.338947 10.271963 0.338777 10.277099 0.338608 10.282237 0.338439 10.287378 0.338270 10.292522 0.338100 10.297668 0.337931 10.302817 0.337762

TINF TSUP 360.411780 399.873010 360.391780 399.893010 360.371780 399.913010 360.351780 399.933010 360.331780 399.953010 360.311780 399.973010 360.291780 399.993010 360.271780 400.013010 360.251780 400.033010 360.231780 400.053010 360.211780 400.073010 360.191780 400.093010 360.171780 400.113010 360.151780 400.093010 360.131780 400.073010 360.111780 400.093010 360.091780 400.073010 360.071780 400.093010 360.051780 400.073010 360.031780 400.093010 360.011780 400.073010 359.991780 400.093010 359.971780 400.073010 359.951780 400.093010 359.931780 400.113010 359.911780 400.093010 359.891780 400.073010 359.871780 400.093010 359.851780 400.073010 359.831780 400.093010 359.811780 400.113010 359.791780 400.093010 359.771780 400.073010 359.751780 400.093010 359.771780 400.113010 359.791780 400.093010 359.811780 400.073010 359.791780 400.093010 359.771780 400.113010 359.791780 400.093010 359.811780 400.073010 359.791780 400.093010 359.811780 400.113010 359.791780 400.093010 359.811780 400.073010 359.791780 400.093010 359.811780 400.113010 359.831780 400.093010 359.811780 400.073010 359.791780 400.093010 359.811780 400.073010 359.831780 400.093010

Valors precalculats (flux perfectament axial)

Projecte final de carrera

10.307969 10.313123 10.318279 10.323439 10.328600 10.333764 10.338931 10.344101 10.349273 10.354447 10.359625 10.364804 10.369987 10.375172 10.380360 10.385550 10.390742 10.395938 10.401135 10.406336 10.411539 10.416745 10.421953 10.427164 10.432378 10.437594 10.442813 10.448034 10.453259 10.458486 10.463715 10.468946 10.474181 10.479418 10.484657 10.489900 10.495145 10.500392 10.505642 10.510895 10.516150 10.521408 10.526669 10.531932 10.537198 10.542467 10.547738 10.553012 10.558289 10.563568 10.568850 10.574134 10.579421 10.584711 10.590003

0.337593 0.337425 0.337256 0.337087 0.336919 0.336750 0.336582 0.336414 0.336245 0.336077 0.335909 0.335741 0.335573 0.335406 0.335238 0.335070 0.334903 0.334735 0.334568 0.334401 0.334234 0.334066 0.333899 0.333732 0.333566 0.333399 0.333232 0.333065 0.332899 0.332732 0.332566 0.332400 0.332234 0.332067 0.331901 0.331736 0.331570 0.331404 0.331238 0.331073 0.330907 0.330742 0.330576 0.330576 0.330411 0.330246 0.330081 0.329916 0.329751 0.329586 0.329421 0.329256 0.329092 0.328927 0.328763

359.811780 359.831780 359.851780 359.831780 359.811780 359.831780 359.851780 359.831780 359.851780 359.831780 359.851780 359.871780 359.851780 359.831780 359.851780 359.871780 359.851780 359.871780 359.851780 359.871780 359.891780 359.871780 359.851780 359.871780 359.891780 359.871780 359.891780 359.871780 359.891780 359.871780 359.891780 359.911780 359.891780 359.871780 359.891780 359.911780 359.891780 359.911780 359.891780 359.911780 359.931780 359.911780 359.891780 359.911780 359.931780 359.911780 359.931780 359.911780 359.931780 359.951780 359.931780 359.911780 359.931780 359.951780 359.931780

400.113010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010

Projecte final de carrera

10.595298 10.600595 10.605896 10.611199 10.616505 10.621813 10.627124 10.632438 10.637753 10.643072 10.648394 10.653718 10.659045 10.664374 10.669706 10.675041 10.680379 10.685719 10.691062 10.696407 10.701756 10.707107 10.712461 10.717816 10.723175 10.728537 10.723172 10.728534 10.723169 10.717808 10.712449 10.707093 10.701739 10.696388 10.691040 10.685695 10.680352 10.675012 10.669674 10.664339 10.659007 10.653678 10.648351 10.643026 10.637705 10.632386 10.637702 10.632383 10.627068 10.621754 10.616443 10.611135 10.605829 10.600526 10.595225

0.328598 0.328434 0.328270 0.328106 0.327941 0.327778 0.327614 0.327450 0.327286 0.327122 0.326959 0.326795 0.326632 0.326469 0.326305 0.326142 0.325979 0.325816 0.325653 0.325491 0.325328 0.325165 0.325003 0.324840 0.324678 0.324515 0.324353 0.324191 0.324029 0.323867 0.323705 0.323543 0.323381 0.323220 0.323058 0.322896 0.322735 0.322574 0.322412 0.322251 0.322090 0.321929 0.321768 0.321607 0.321446 0.321286 0.321125 0.320964 0.320804 0.320643 0.320483 0.320323 0.320163 0.320003 0.319843

359.951780 359.931780 359.951780 359.971780 359.951780 359.931780 359.951780 359.971780 359.951780 359.971780 359.951780 359.971780 359.991780 359.971780 359.951780 359.971780 359.991780 359.971780 359.991780 359.971780 359.991780 360.011780 359.991780 359.971780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780

400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.093010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.073010 400.053010 400.033010

Projecte final de carrera

10.589928 10.584633 10.579341 10.574051 10.568764 10.563479 10.558198 10.552918 10.558195 10.552916 10.547639 10.542365 10.537094 10.531826 10.526560 10.521297 10.516036 10.510778 10.505523 10.500270 10.495020 10.489773 10.484528 10.479285 10.474046 10.468809 10.463574 10.458343 10.463572 10.458340 10.453111 10.447885 10.442660 10.437439 10.432220 10.427005 10.421791 10.416580 10.411372 10.406166 10.400963 10.406163 10.400960 10.395760 10.390562 10.385366 10.380174 10.374984 10.369797 10.364612 10.359429 10.354250 10.349072 10.343898 10.338726

0.319683 0.319523 0.319363 0.319203 0.319044 0.318884 0.318725 0.318565 0.318406 0.318247 0.318088 0.317929 0.317770 0.317611 0.317452 0.317293 0.317135 0.316976 0.316818 0.316659 0.316501 0.316343 0.316185 0.316026 0.315868 0.315711 0.315553 0.315395 0.315237 0.315080 0.314922 0.314765 0.314607 0.314450 0.314293 0.314136 0.313978 0.313821 0.313665 0.313508 0.313351 0.313194 0.313038 0.312881 0.312725 0.312568 0.312412 0.312256 0.312100 0.311944 0.311788 0.311632 0.311476 0.311320 0.311165

360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780

400.053010 400.073010 400.053010 400.033010 400.053010 400.073010 400.053010 400.033010 400.053010 400.073010 400.053010 400.033010 400.053010 400.073010 400.053010 400.033010 400.053010 400.073010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.053010 400.033010 400.013010 400.033010 400.053010 400.033010 400.013010 400.033010 400.053010 400.033010 400.013010 400.033010 400.053010 400.033010 400.013010

Projecte final de carrera

10.333557 10.328390 10.323226 10.318065 10.323224 10.318063 10.312903 10.307747 10.302593 10.297441 10.292293 10.287147 10.282003 10.276862 10.271724 10.266588 10.261455 10.256324 10.251196 10.246070 10.240947 10.235826 10.230708 10.225593 10.230705 10.225590 10.220477 10.215367 10.210259 10.205154 10.200052 10.194952 10.189855 10.184760 10.179667 10.174578 10.169491 10.164406 10.159324 10.154244 10.149167 10.144093 10.149164 10.144090 10.139018 10.133948 10.128881 10.123817 10.118755 10.113696 10.108640 10.103585 10.098534 10.093484 10.088437

0.311009 0.310854 0.310698 0.310543 0.310387 0.310232 0.310077 0.309922 0.309767 0.309612 0.309458 0.309303 0.309148 0.308994 0.308839 0.308685 0.308530 0.308376 0.308222 0.308068 0.307914 0.307760 0.307606 0.307452 0.307298 0.307145 0.306991 0.306838 0.306684 0.306531 0.306378 0.306224 0.306071 0.305918 0.305765 0.305612 0.305460 0.305307 0.305154 0.305002 0.304849 0.304697 0.304544 0.304392 0.304240 0.304088 0.303936 0.303784 0.303632 0.303480 0.303328 0.303177 0.303025 0.302874 0.302722

359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780

400.033010 400.053010 400.033010 400.013010 400.033010 400.053010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 400.033010

Projecte final de carrera

10.083393 10.078351 10.083390 10.078348 10.073309 10.068273 10.063238 10.058207 10.053178 10.048151 10.043127 10.038106 10.033087 10.028070 10.027067 10.026065 10.025063 10.024060 10.023058 10.022056 10.021053 10.020051 10.019049 10.018046 10.017045 10.016044 10.015042 10.014041 10.013040 10.012038 10.011037 10.010036 10.009034 10.008033 10.007032 10.006032 10.005032 10.004031 10.003031 10.002030 10.001030 10.000030 10.001030 10.002030 10.003031 10.004031 10.005032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032

0.302571 0.302419 0.302268 0.302117 0.301966 0.301815 0.301664 0.301513 0.301363 0.301212 0.301061 0.300911 0.300760 0.300610 0.300580 0.300550 0.300520 0.300490 0.300460 0.300430 0.300400 0.300370 0.300340 0.300309 0.300279 0.300249 0.300219 0.300189 0.300159 0.300129 0.300099 0.300069 0.300039 0.300009 0.299979 0.299949 0.299919 0.299919 0.299919 0.299919 0.299949 0.299979 0.300009 0.300039 0.300069 0.300099 0.300129 0.300159 0.300189 0.300219 0.300249 0.300279 0.300309 0.300339 0.300370

360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 360.011780 359.991780 359.992280 359.992780 359.993280 359.993780 359.994280 359.994780 359.995280 359.995780 359.996280 359.996780 359.997280 359.997780 359.998280 359.998780 359.999280 359.999780 360.000280 360.000780 360.001280 360.001780 360.001280 360.000780 360.000280 359.999780 360.000280 360.000780 360.001280 360.000780 360.000280 359.999780 359.999280 359.998780 359.998280 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780

400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 400.013010 399.993010 399.993510 399.994010 399.994510 399.995010 399.995510 399.996010 399.996510 399.997010 399.997510 399.998010 399.998510 399.999010 399.999510 400.000010 400.000510 400.001010 400.000510 400.000010 399.999510 399.999010 399.998510 399.998010 399.997510 399.997510 399.997510 399.997510 399.998010 399.998510 399.999010 399.999510 400.000010 399.999510 399.999010 399.998510 399.998010 399.997510 399.998010 399.998510 399.999010 399.999510 400.000010

Projecte final de carrera

10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.006032 10.007032 10.008033 10.007032 10.006032 10.005032 10.004031 10.003031 10.002030 10.001030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030

0.300339 0.300309 0.300279 0.300249 0.300219 0.300189 0.300159 0.300129 0.300099 0.300069 0.300039 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009

359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.997780 359.998280 359.998780 359.999280 359.999780 360.000280 360.000780 360.000280 359.999780 359.999280 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780

399.999510 399.999010 399.998510 399.998010 399.998510 399.999010 399.999510 400.000010 399.999510 399.999010 399.998510 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010

CONVERGĂ&#x2C6;NCIA

Projecte final de carrera

10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030 10.000030

0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009 0.300009

359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780 359.998780

399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010 399.998010

Projecte final de carrera

ANNEX 2. ELS QUATRE MODELS. En el present annex es presenten els llistats de programes del quatre models numèrcis emprats per a la realitzazió d’aquest projecte. Conjuntament també s’inclou per a cada programa quines son les conexions internodals per a facilitar la comprensió dels programes. La base de la discretització ha estat la mateixa per als quatre models, només varien les condicions de contorn, i per tant les conexions dels nodes amb la perifèria. Les variables del programa són les conductivitats de les peces, conductivitat de la pols i les temperatures als extrems de les peces. La implementació dels programes s’ha fet pensant en modificacions posteriors de la geometria inicial.

Projecte final de carrera

Conjunt de programes SIMUL501 i SIMUL40

Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues estan forçades en els seus extrems a mantenir una determinada temperatura constant, la peça superior manté els nodes del nivell superiors a Tsup i els nodes extrems inferiors de la peça inferior a Tinf. Les peces estan envoltades de pols i confinada per una paret, el Guard Furnace. Per la part superior i inferior, la pols està confinada per una superfície totalment aïllada.

Aquest és el model de conductivímetre que més

s'acosta al conductivímetre estudiat al laboratori.

Les regions que configuren els diversos tipus de nodes segons les seves conexions han estat desglosades per a poder implementar el programa numèric. A continuació es presenten les resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la direcció en que un node no presenta cap conexió.

Projecte final de carrera

ZONES

RESTRICCIONS

n≤13 n≤13

o=13 o=13 o=13

n≠1 n≠1 n≠1

m=1 m=31

n≤13 n≤13

n=1 n=1 n=1

o≠1 o≠1 o≠1

o≠13 o≠13 o≠13

n=1 n=1 n=1

o=1 o=1 o=1

m=1 m=31

n=1 n=1 n=1

o=13 o=13 o=13

m=1 m=31

m=1 m=31

n≤13 n≤13

n≤13 n≤13

n≥8 n≥8

→ → →

Ki4=0 Ki4=0 Ki5=0 Ki4=0 Ki6=0

n≥8 n≥8

→ → →

Ki2=0 Ki2=0 Ki5=0 Ki2=0 Ki6=0

n≤13 n≤13

→ → →

Ki1=0 Ki1=0 Ki5=0 Ki1=0 Ki6=0

n≥8 n≥8

→ → →

Ki1=0 ki4=0 Ki1=0 ki4=0 Ki1=0 ki4=0

Ki5=0 Ki6=0

n≥8 n≥8

→ → →

Ki1=0 ki2=0 Ki1=0 ki2=0 Ki1=0 ki2=0

Ki5=0 Ki6=0

Zona 2

m=1 m=31

Ki5=0 Ki6=0

Zona 3

n≠1 n≠1 n≠1

→ → →

Zona 5

o=1 o=1 o=1

m=1 m=31

n≤13 n≤13

n≥8 n≥8

n≥8 n≥8

On:

Ki6 Ki2

Ki3 Ki4

Ki1 Ki5

Zona 1

n≠1 n≠1 n≠1

Zona 4

o≠13 o≠13 o≠13

Zona 6

o≠1 o≠1 o≠1

Projecte final de carrera

Llistat de SIMUL50 : #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3");

Projecte final de carrera

exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; }

Projecte final de carrera

acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8)

Projecte final de carrera

{ Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0;

Projecte final de carrera

Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {

Projecte final de carrera

Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));

Projecte final de carrera

Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

} } } printf("%f \n",difer); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx40","w"); for(o=1;o<=13;o++) { fprintf(f1,"angle %d\n",o); for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][o],TV[m][13][o],TV[m][12][o],TV[m][11][o],TV[m][10][o],TV[m ][9][o],TV[m][8][o],TV[m][7][o],TV[m][6][o],TV[m][5][o],TV[m][4][o],TV[m] [3][o],TV[m][2][o],TV[m][1][o]); }

Projecte final de carrera

} fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=10; CONDB=20; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }

Projecte final de carrera

} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

Projecte final de carrera

Conjunt de programes SIMUL 61 i SIMUL60

Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues estan forçades en els seus extrems a mantenir una determinada temperatura constant, la peça superior manté els nodes del nivell superiors a Tsup i els nodes extrems inferiors de la peça inferior a Tinf. Les peces estan envoltades de pols i confinada per una paret de conductivitat molt baixa. Per la part superior i inferior de la pols (nivells i=32 i i=0) l'aillament és total..

Aquest model de conducticímetre no té Guard-Furnace, ja que es pretén simular un conductivímetre tant sols aïllat del medi exterior amb un seguit de nodes amb una baixa conductivitat.

El que es fa per simular un aïllament alt, es considera un seguit de nodes amb un gruix gran (j=13), i es força al conjunt de nodes (j=14) a tenit una temperatura determinada. Les iteracions van de j=13 fins j=1.

A continuació es presenten les resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la direcció en que un node no presenta cap conexió.

Projecte final de carrera

RESTRICCIONS

ZONES

Ki5=0 Ki6=0

n≥8 n≥8

→ → →

Ki4=0 Ki4=0 Ki5=0 Ki4=0 Ki6=0

n≥8 n≥8

→ → →

Ki2=0 Ki2=0 Ki5=0 Ki2=0 Ki6=0

m=1 m=31

n≤13 n≤13

→ → →

Ki1=0 Ki1=0 Ki5=0 Ki1=0 Ki6=0

Zona 5

n≤13 n≤13

n≥8 n≥8

→ → →

Ki1=0 ki4=0 Ki1=0 ki4=0 Ki1=0 ki4=0

Ki5=0 Ki6=0

Zona 3

n≥8 n≥8

→ → →

Ki1=0 ki2=0 Ki1=0 ki2=0 Ki1=0 ki2=0

Ki5=0 Ki6=0

Zona 2

o=1 o=1 o=1

n≠1 n≠1 n≠1

m=1 m=31

n≤13 n≤13

o=13 o=13 o=13

n≠1 n≠1 n≠1

m=1 m=31

n≤13 n≤13

n=1 n=1 n=1

o≠1 o≠1 o≠1

o≠13 o≠13 o≠13

n=1 n=1 n=1

o=1 o=1 o=1

m=1 m=31

n=1 n=1 n=1

o=13 o=13 o=13

m=1 m=31

m=1 m=31

n≤13 n≤13

n≤13 n≤13

n≥8 n≥8

n≥8 n≥8

On:

Ki 6 Ki2

Ki3 Ki4

Ki1 Ki5

Zona 1

n≠1 n≠1 n≠1

Zona 4

o≠13 o≠13 o≠13

Zona 6

→ → →

o≠1 o≠1 o≠1

Projecte final de carrera

Llistat de SIMUL61 : #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) {

Projecte final de carrera

TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;

Projecte final de carrera

for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-

Projecte final de carrera

1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

Projecte final de carrera

} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

}

Projecte final de carrera

if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

} } } printf("%f \n",difer); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx43","w");

Projecte final de carrera

for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m ][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m] [3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]); } fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.4; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } }

Projecte final de carrera

if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

Projecte final de carrera

Conjunt de programes SIMUL70 i SIMUL11

Simulen 2 peces , una a temperatura constant a la part superior (m=32) i a una temperatura inferior constant ala part inferior (m=0).

Lateralment el nucli està forçat a mantenir un gradient de temperatura lineal desde Tsup al nivell m=32 i Tinf al nivell m=0. Cal diferenciar 6 tipus de nodes diferents en el nucli, depenent de la seva posició en aquests (nodes exteriors,interiors,nodes extrems ...).

Les 6 regions queden definides per 6 tipus de conexió que assoleix cada node amb els seus veins. Així per exemple, un node que estiguien un nivell radial (n=1) no te possibilitat de conectar-se amb un nivell radial més interior, per tant seria (Ki1=0).

figura on queden representats les 6 regions possibles en SIMUL70 Definides Ki1,Ki2,...Ki6 i la posició d'un node qualsevol per les coordenades (i,j,k)=(m,n,o) es té: Si o≠1 i o≠13 i n≠1 totes les conductàncies tenen assignat un valor diferent de zero.

Si o=1 i n≠1 → Ki4=0 Si o=13 i n≠1 → Ki2=0 Si n=1 i o≠1 i o≠13 → Ki1=0 Si n=1 i o=1 → Ki1=0;Ki4=0 Si n=1 i o=13 → Ki1=0 Ki2=0

On: Ki6 Ki2

Ki3 Ki4

Ki1 Ki5

Projecte final de carrera

Llistat de SIMUL70 : #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)

Projecte final de carrera

{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++)

Projecte final de carrera

{ acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+ 1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx9","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m ][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m] [3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]);

Projecte final de carrera

} fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }

Projecte final de carrera

} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

Projecte final de carrera

Conjunt de programes SIMUL 80 i SIMUL 22

Simulen 2 peces aillades lateralment de manera total, els límits de la pols amb les parets del conductivímetre estan aillats totalment , tant per la perifèria com superior i inferiorment. Els extrems de les dues peces, extrem superior de la peça A a Tsup= ctant i extrem inferior de la peça B a Tinf= ctant.

En aquest model numèric queden definides en un primer terme 3 divisions que representen 3 regions de conexió diferet, dins d'aquestes es troben 9 subdivisions més, també definides pel tipus de conexió que estableix cada tipus de node.

Aquestes divisions han estat fetes per a facilitar la implementació del programa i poder modificar el programa amb més faciliten si es vol variar algun tipus de condició de contorn.

Les 3 primeres divisions corresponen a: 1) nivell superior (i=32) 2) nivell inferior (i=0) 3) nivells intermitjos Aquesta primera diferenciació en tres regions segons la seva posició en i's ve donada per la conexió en aquest sentit, és a dir, per exemple els nodes superiors (i=32) no establiran cap conexió amb cap nivell inmediatament superior, ja que la condició de aillament total comporta a una conductancia en aquest sentit igual a zero, per tant per a tots els nodes superiors (i=32) es compleix Ki6=0. Així mateix els nodes que composen la part inferior (i=0) no tindran conexió amb cap node inferior, per tant Ki5=0.

Per a

cadascun d'aquests 3 grups que separen tres nivell en direcció i es tindra una nova

subdivisió en el pla definit per les variables j i k . Aquesta regió que subdivida en 9 regions que es conformen depenen de la conexió dels diferents tipus de nodes. Els nodes que es conecten d'igual forma generen una regió

Projecte final de carrera

TIPUS 1

i=0

TIPUS 2

TIPUS 3

i≠0 i i≠32

i=32

Projecte final de carrera

A continuació es presenten les zones on les conductivitats es defineixen amb el valor zero.

TIPUS 3 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0 i≠0

i≠32 i≠32 i≠32 i≠32 i≠32 i≠32 i≠32 i≠32 i≠32

k≠1 k=1 k=1 k=1 k=13 k=13 k=13 k≠1 k≠1

k≠13 j≠1 j=1 j=14 j=1 j=14 j≠1 k≠13 k≠13

j≠1 j≠14

k≠1 k=1 k=1 k=1 k=13 k=13 k=13 k≠1 k≠1

k≠13 j≠14 j=14 j=1 j=14 j=1 j≠1 k≠13 k≠13

j≠14 j≠1

j≠1

k≠1 k=1 k=1 k=1 k=13 k=13 k=13 k≠1 k≠1

k≠13 j≠14 j=14 j=1 j=14 j=1 j≠1 k≠13 k≠13

j≠14 j≠1

j≠14 j=1 j=14

j≠14

→ → → → → → → → →

K4=0 K4=0 K3=0 K1=0 K3=0 K2=0 K1=0 K3=0

→ → → → → → → → →

K6=0 K6=0 K3=0 K1=0 K2=0 K1=0 K2=0 K3=0 K1=0

K4=0 K4=0 K4=0 K6=0 K2=0 K6=0 K6=0 K6=0

→ → → → → → → → →

K5=0 K5=0 K5=0 K5=0 K5=0 K5=0 K5=0 K5=0 K5=0

K4=0 K4=0 K4=0 K3=0 K2=0 K2=0 K3=0 K1=0

K1=0 K4=0 K2=0 K2=0

TIPUS 1 i=32 i=32 i=32 i=32 i=32 i=32 i=32 i=32 i=32

j≠14 j=14 j=1

K6=0 K6=0 K3=0 K6=0

TIPUS 2 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0

j≠14 j=14 j=1

j≠1

K3=0 K1=0 K2=0 K1=0

Projecte final de carrera

Llistat de SIMUL80 : #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));

Projecte final de carrera

if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.0001;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;

Projecte final de carrera

for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++)

Projecte final de carrera

{ for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

}

} printf("%f \n",difer); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:sim22","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1," %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m ][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m] [3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]);

} fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) {

Projecte final de carrera

float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0;

Projecte final de carrera

for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1;

if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; }

Projecte final de carrera

if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part--------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) {

Projecte final de carrera

Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*-----------------

3 part --------------------

------*/

if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0;

} if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1)

Projecte final de carrera

{ Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2* conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-

Projecte final de carrera

1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); }

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }

Projecte final de carrera

ANNEX 3. GEOMETRIA DE LES PECES UTILITZADES.

La geometria i mesures utilitzades en els nodes de les peces dels diferents quatre models ha estat la seg端ent :

Projecte final de carrera

I l’altura de cada node ha estat :

ALTURES DELS DIFERENTS NODES NODE

proporció 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ALTURA (mm) 2 2 2 2 2 2 3 5 5 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 5 5 3 2 2 2 2 2 2

peça extrems interfície

0,1 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 2,56097561 4,268292683 4,268292683 4,268292683 2,56097561 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 0,1 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 2,56097561 4,268292683 4,268292683 4,268292683 2,56097561 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 1,707317073 0,1

ALTURA(m) 0,0001 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,002560976 0,004268293 0,004268293 0,004268293 0,002560976 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,0001 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,002560976 0,004268293 0,004268293 0,004268293 0,002560976 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,001707317 0,0001

32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

35 mm

35 mm

Projecte final de carrera

Els angles per a la discretització han estat els següents :

ANG[1]=2º

ANG[8]= 18º

ANG[2]=7º

ANG[9]= 18º

ANG[3]=9º

ANG[10]= 18º

ANG[4]=9º

ANG[11]= 18º

ANG[5]=9º

ANG[12]= 18º

ANG[6]=18º

ANG[13]= 18º

ANG[7]=18º

Per l’amplada de tots els nodes (AMP[ ]) s’ha escollit 0.00357 m. el que fa que la peça mesuri 5 cm de diàmetre.

Projecte final de carrera

ANNEX 4. DEMOSTRACIÓ POTENCIA. Aquest apartat demostra que la simplificació d'escullir la conductivitat representativa de la peça per als càlculs com la conductivitat de la peça a la temperatura mitjana, no és una simplificació, sinó una igualtat.

Per a un interval de temperatures no molt gran (60-80) ºC, la conductivitat tèrmica pot ser donada perfectament per una funció lineal de la temperatura. Així doncs, la conductivitat pren la forma : λ= a+b.T

L'equació de tranferència de calor de Fourier ens diu :

q& dT = −λ A dx Si hi substituïm la conductivitat :

q& dT = −( a + b.T) A dx Reordenant :

q& ⋅ dx = −( a + b.T) ⋅ dT A Integrant : xf

Tf q& ∫ ⋅ dx = ∫ −( a + b.T) ⋅ dT xx A T0

Si prescindim del signe - , que ens indica tant sols la direcció del flux de calor i integrem les dues funcions a banda i banda :

q& 1 ⋅ d = a (Tf − To) + ⋅ b ⋅ ( Tf 2 − To 2 ) A 2

Projecte final de carrera

Si considerem ara quina és la potència que atravessa la peça considerant la conductivitat a la temperatura mitjana, tenim :

q& dT = −λ A dx Si

λ= a+b.T

llavors la conductivitat presa a la temperatura mitjana és la

següent:

λ = a+b⋅

To + Tf 2

Aplicant ara l'equació de Fourier i substituint l'expressió anterior, sense tenir en compte el signe :

To + Tf  Tf − To q&   = a + b ⋅ A  2  d

Reordenant :

To + Tf  q&   ⋅ (Tf − To) ⋅ d = a + b ⋅  A 2  I operant:

q& 1 ⋅ d = a (Tf − To) + ⋅ b ⋅ ( Tf 2 − To 2 ) A 2

Expressió que concorda amb la de la pàgina anterior.

Projecte final de carrera

ANNEX 5. CÀLCUL DE POTÈNCIES. En el present annex s’inclouen els llistats dels programes amb els quals s’ha calculat el flux de potències al llarg de les peces per a cadascun dels quatre models , també s’han inclosos els resultats donats per a cada programa. La geometria i conductivitats utilitzada per a cadascun dels quatre models ha estat la mateixa amb la finalitat evident de poder comparar els resultats.

•Model 40

Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++)

Projecte final de carrera

{ TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.001;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

Projecte final de carrera

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) {

Projecte final de carrera

Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {

Projecte final de carrera

Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

} } } printf("%f }

%d %d %d\n",difer,m,n,o);

f1=fopen("a:si51","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct( m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } }

lateral

fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/

%f\n potencia

Projecte final de carrera

fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s;

Projecte final de carrera

float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

â&#x20AC;˘Resultats : nivell 29 pot superior 7,439146 pot inferior -7,428342 potencia lateral -0,010500 potencia total 0,000303 nivell 28 pot superior 7,428342 pot inferior -7,417572 potencia lateral -0,010322 potencia total 0,000448 nivell 27 pot superior 7,417572 pot inferior -7,406713 potencia lateral -0,010433 potencia total 0,000426 nivell 26 pot superior 7,406713 pot inferior -7,395705 potencia lateral -0,010761 potencia total 0,000247 nivell 25 pot superior 7,395705 pot inferior -7,383965 potencia lateral -0,011333 potencia total 0,000407 nivell 24 pot superior 7,383965 pot inferior -7,371263 potencia lateral -0,012188 potencia total 0,000515 nivell 23 pot superior 7,371263 pot inferior -7,357471 potencia lateral -0,013398 potencia total 0,000394 nivell 22 pot superior 7,357471 pot inferior -7,341932 potencia lateral -0,015083 potencia total 0,000456 nivell 21 pot superior 7,341932 pot inferior -7,324113 potencia lateral -0,017425 potencia total 0,000394

Projecte final de carrera

nivell 20 pot superior 7,324113 pot inferior -7,302963 potencia lateral -0,020634 potencia total 0,000516 nivell 19 pot superior 7,302963 pot inferior -7,277190 potencia lateral -0,025352 potencia total 0,000421 nivell 18 pot superior 7,277190 pot inferior -7,244491 potencia lateral -0,032150 potencia total 0,000549 nivell 17 pot superior 7,244491 pot inferior -7,202140 potencia lateral -0,042207 potencia total 0,000143 nivell 16 pot superior 7,202140 pot inferior -7,198769 potencia lateral -0,003370 potencia total 0,000002 nivell 15 pot superior 7,198769 pot inferior -7,232548 potencia lateral 0,033849 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,232548 pot inferior -7,257734 potencia lateral 0,025318 potencia total 0,000133 nivell 13 pot superior 7,257734 pot inferior -7,277265 potencia lateral 0,019692 potencia total 0,000161 nivell 12 pot superior 7,277265 pot inferior -7,293092 potencia lateral 0,015967 potencia total 0,000139 nivell 11 pot superior 7,293092 pot inferior -7,306527 potencia lateral 0,013575 potencia total 0,000140 nivell 10 pot superior 7,306527 pot inferior -7,318289 potencia lateral 0,011933 potencia total 0,000171 nivell 9 pot superior

7,318289

Projecte final de carrera

pot inferior -7,329026 potencia lateral 0,010897 potencia total 0,000160 nivell 8 pot superior 7,329026 pot inferior -7,339235 potencia lateral 0,010311 potencia total 0,000102 nivell 7 pot superior 7,339235 pot inferior -7,349183 potencia lateral 0,010085 potencia total 0,000138 nivell 6 pot superior 7,349183 pot inferior -7,359210 potencia lateral 0,010172 potencia total 0,000144 nivell 5 pot superior 7,359210 pot inferior -7,369631 potencia lateral 0,010562 potencia total 0,000141 nivell 4 pot superior 7,369631 pot inferior -7,380827 potencia lateral 0,011310 potencia total 0,000115 nivell 3 pot superior 7,380827 pot inferior -7,393203 potencia lateral 0,012515 potencia total 0,000139 nivell 2 pot superior 7,393203 pot inferior -7,407213 potencia lateral 0,014143 potencia total 0,000132 nivell 1 pot superior 7,407213 pot inferior -7,423563 potencia lateral 0,016480 potencia total 0,000130

Projecte final de carrera

â&#x20AC;˘Model 60

Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)

Projecte final de carrera

{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[16]= ALT[17]= ALT[18]= ALT[19]= ALT[20]= ALT[21]= ALT[22]= ALT[23]= ALT[24]= ALT[25]= ALT[26]= ALT[27]= ALT[28]= ALT[29]= ALT[30]= ALT[31]= ALT[32]=

0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001;

/*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t);

Projecte final de carrera

for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

Projecte final de carrera

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

} } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si62","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct( m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } }

lateral

fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

%f\n potencia

Projecte final de carrera

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; }

Projecte final de carrera

return sum; }

â&#x20AC;˘Resultats : nivell 29 pot superior 8,073672 pot inferior -8,019251 potencia lateral -0,054849 potencia total -0,000428 nivell 28 pot superior 8,019251 pot inferior -7,965212 potencia lateral -0,054423 potencia total -0,000384 nivell 27 pot superior 7,965212 pot inferior -7,911136 potencia lateral -0,054521 potencia total -0,000445 nivell 26 pot superior 7,911136 pot inferior -7,856734 potencia lateral -0,054712 potencia total -0,000310 nivell 25 pot superior 7,856734 pot inferior -7,802024 potencia lateral -0,055141 potencia total -0,000431 nivell 24 pot superior 7,802024 pot inferior -7,746608 potencia lateral -0,055854 potencia total -0,000438 nivell 23 pot superior 7,746608 pot inferior -7,690064 potencia lateral -0,056926 potencia total -0,000382 nivell 22 pot superior 7,690064 pot inferior -7,632110 potencia lateral -0,058484 potencia total -0,000529 nivell 21 pot superior 7,632110 pot inferior -7,571784 potencia lateral -0,060724 potencia total -0,000399 nivell 20 pot superior 7,571784 pot inferior -7,508303 potencia lateral -0,063750 potencia total -0,000269 nivell 19

Projecte final de carrera

pot superior 7,508303 pot inferior -7,440288 potencia lateral -0,068588 potencia total -0,000573 nivell 18 pot superior 7,440288 pot inferior -7,365297 potencia lateral -0,075501 potencia total -0,000510 nivell 17 pot superior 7,365297 pot inferior -7,279610 potencia lateral -0,085859 potencia total -0,000172 nivell 16 pot superior 7,279610 pot inferior -7,243804 potencia lateral -0,035807 potencia total -0,000001 nivell 15 pot superior 7,243804 pot inferior -7,235805 potencia lateral -0,008070 potencia total -0,000071 nivell 14 pot superior 7,235805 pot inferior -7,219842 potencia lateral -0,016127 potencia total -0,000164 nivell 13 pot superior 7,219842 pot inferior -7,198623 potencia lateral -0,021383 potencia total -0,000163 nivell 12 pot superior 7,198623 pot inferior -7,174052 potencia lateral -0,024695 potencia total -0,000124 nivell 11 pot superior 7,174052 pot inferior -7,147269 potencia lateral -0,026941 potencia total -0,000158 nivell 10 pot superior 7,147269 pot inferior -7,119040 potencia lateral -0,028362 potencia total -0,000132 nivell 9 pot superior 7,119040 pot inferior -7,089983 potencia lateral -0,029213 potencia total -0,000157 nivell 8 pot superior 7,089983 pot inferior -7,060466 potencia lateral -0,029647

Projecte final de carrera

potencia total

-0,000130

nivell 7 pot superior 7,060466 pot inferior -7,030886 potencia lateral -0,029756 potencia total -0,000176 nivell 6 pot superior 7,030886 pot inferior -7,001431 potencia lateral -0,029589 potencia total -0,000134 nivell 5 pot superior 7,001431 pot inferior -6,972371 potencia lateral -0,029161 potencia total -0,000101 nivell 4 pot superior 6,972371 pot inferior -6,944218 potencia lateral -0,028322 potencia total -0,000169 nivell 3 pot superior 6,944218 pot inferior -6,917052 potencia lateral -0,027300 potencia total -0,000135 nivell 2 pot superior 6,917052 pot inferior -6,891315 potencia lateral -0,025823 potencia total -0,000086 nivell 1 pot superior 6,891315 pot inferior -6,867694 potencia lateral -0,023752 potencia total -0,000132

Projecte final de carrera

â&#x20AC;˘Model 11

Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));

Projecte final de carrera

if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[15]= ALT[16]= ALT[17]= ALT[18]= ALT[19]= ALT[20]= ALT[21]= ALT[22]= ALT[23]= ALT[24]= ALT[25]= ALT[26]= ALT[27]= ALT[28]= ALT[29]= ALT[30]= ALT[31]= ALT[32]=

0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001;

/*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++)

Projecte final de carrera

{ Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

Projecte final de carrera

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));

TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);

} if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n +1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));

Projecte final de carrera

Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);

} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si71","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct( m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } }

lateral

fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/

%f\n potencia

Projecte final de carrera

fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum;

Projecte final de carrera

/*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

â&#x20AC;˘Resultats : nivell 29 pot superior 7,406289 pot inferior -7,403197 potencia lateral -0,002707 potencia total 0,000385 nivell 28 pot superior 7,403197 pot inferior -7,399146 potencia lateral -0,003654 potencia total 0,000397 nivell 27 pot superior 7,399146 pot inferior -7,393975 potencia lateral -0,004695 potencia total 0,000475 nivell 26 pot superior 7,393975 pot inferior -7,387764 potencia lateral -0,005851 potencia total 0,000359 nivell 25 pot superior 7,387764 pot inferior -7,380243 potencia lateral -0,007153 potencia total 0,000368 nivell 24 pot superior 7,380243 pot inferior -7,371137 potencia lateral -0,008662 potencia total 0,000444 nivell 23 pot superior 7,371137 pot inferior -7,360087 potencia lateral -0,010465 potencia total 0,000585 nivell 22 pot superior 7,360087 pot inferior -7,347051 potencia lateral -0,012692 potencia total 0,000343 nivell 21 pot superior 7,347051 pot inferior -7,331084 potencia lateral -0,015539 potencia total 0,000428 nivell 20

Projecte final de carrera

pot superior 7,331084 pot inferior -7,311463 potencia lateral -0,019228 potencia total 0,000393 nivell 19 pot superior 7,311463 pot inferior -7,286579 potencia lateral -0,024399 potencia total 0,000486 nivell 18 pot superior 7,286579 pot inferior -7,254505 potencia lateral -0,031643 potencia total 0,000430 nivell 17 pot superior 7,254505 pot inferior -7,212097 potencia lateral -0,042146 potencia total 0,000262 nivell 16 pot superior 7,212097 pot inferior -7,208503 potencia lateral -0,003589 potencia total 0,000004 nivell 15 pot superior 7,208503 pot inferior -7,241643 potencia lateral 0,033206 potencia total 0,000066 nivell 14 pot superior 7,241643 pot inferior -7,265716 potencia lateral 0,024219 potencia total 0,000145 nivell 13 pot superior 7,265716 pot inferior -7,283649 potencia lateral 0,018118 potencia total 0,000186 nivell 12 pot superior 7,283649 pot inferior -7,297404 potencia lateral 0,013898 potencia total 0,000143 nivell 11 pot superior 7,297404 pot inferior -7,308201 potencia lateral 0,010960 potencia total 0,000163 nivell 10 pot superior 7,308201 pot inferior -7,316770 potencia lateral 0,008726 potencia total 0,000158 nivell 9 pot superior 7,316770 pot inferior -7,323685 potencia lateral 0,007032

Projecte final de carrera

potencia total

0,000117

nivell 8 pot superior 7,323685 pot inferior -7,329240 potencia lateral 0,005702 potencia total 0,000147 nivell 7 pot superior 7,329240 pot inferior -7,333711 potencia lateral 0,004624 potencia total 0,000154 nivell 6 pot superior 7,333711 pot inferior -7,337313 potencia lateral 0,003720 potencia total 0,000118 nivell 5 pot superior 7,337313 pot inferior -7,340127 potencia lateral 0,002936 potencia total 0,000122 nivell 4 pot superior 7,340127 pot inferior -7,342305 potencia lateral 0,002290 potencia total 0,000112 nivell 3 pot superior 7,342305 pot inferior -7,343885 potencia lateral 0,001716 potencia total 0,000136 nivell 2 pot superior 7,343885 pot inferior -7,344882 potencia lateral 0,001121 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,344882 pot inferior -7,345330 potencia lateral 0,000553 potencia total 0,000105

Projecte final de carrera

â&#x20AC;˘Model 22

Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*------------------------------------------------------------------- Tsup = temperatura superior ------------------------------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* -------------------------------------------------------------GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES -----------------------------------------------------------------*/ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); }

for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) {

Projecte final de carrera

for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* ------------------------------------------------------------------finalitza emmagatzament----------------------------------------------------------------- */ /* ------------------------------------------------------------------omplo vectors--------------------------------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357;

/*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001;

(i) ---------------------*/

Projecte final de carrera

ALT[12]= ALT[13]= ALT[14]= ALT[15]= ALT[16]= ALT[17]= ALT[18]= ALT[19]= ALT[20]= ALT[21]= ALT[22]= ALT[23]= ALT[24]= ALT[25]= ALT[26]= ALT[27]= ALT[28]= ALT[29]= ALT[30]= ALT[31]= ALT[32]=

0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001; 0.001;

/*-----------Omplo temperatures-perifĹ riques-----------------------i inicialitzo temperatures internes-----*/

for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }

/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32;

Projecte final de carrera

for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); }

}

} printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si812","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++)

Projecte final de carrera

{ for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct( m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } }

lateral

fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); }

/*----------------------------------------------------------------------------comprovacions----------------------------------------------------------------------------------*/ fclose(f1);

/*--------------------------------------------------------*/ free(TV);

}

float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*-------------------------------------------------------------aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node-------------------------------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA;

%f\n potencia

Projecte final de carrera

} if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1;

if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; }

Projecte final de carrera

if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; } if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part---------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; }

Projecte final de carrera

if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*-----------------

3 part --------------------------*/

if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0;

} if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14)

Projecte final de carrera

{ Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*s umamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); }

TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }

Projecte final de carrera

â&#x20AC;˘Resultats : nivell 29 pot superior 7,440492 pot inferior -7,428580 potencia lateral -0,011568 potencia total 0,000343 nivell 28 pot superior 7,428580 pot inferior -7,416713 potencia lateral -0,011435 potencia total 0,000433 nivell 27 pot superior 7,416713 pot inferior -7,404710 potencia lateral -0,011535 potencia total 0,000468 nivell 26 pot superior 7,404710 pot inferior -7,392416 potencia lateral -0,011803 potencia total 0,000491 nivell 25 pot superior 7,392416 pot inferior -7,379853 potencia lateral -0,012274 potencia total 0,000289 nivell 24 pot superior 7,379853 pot inferior -7,366485 potencia lateral -0,012995 potencia total 0,000373 nivell 23 pot superior 7,366485 pot inferior -7,351979 potencia lateral -0,014045 potencia total 0,000462 nivell 22 pot superior 7,351979 pot inferior -7,336162 potencia lateral -0,015544 potencia total 0,000273 nivell 21 pot superior 7,336162 pot inferior -7,317968 potencia lateral -0,017681 potencia total 0,000513 nivell 20 pot superior 7,317968 pot inferior -7,296774 potencia lateral -0,020668 potencia total 0,000526 nivell 19 pot superior 7,296774 pot inferior -7,271184 potencia lateral -0,025150 potencia total 0,000440

Projecte final de carrera

nivell 18 pot superior 7,271184 pot inferior -7,239004 potencia lateral -0,031699 potencia total 0,000481 nivell 17 pot superior 7,239004 pot inferior -7,197248 potencia lateral -0,041496 potencia total 0,000260 nivell 16 pot superior 7,197248 pot inferior -7,194574 potencia lateral -0,002674 potencia total 0,000001 nivell 15 pot superior 7,194574 pot inferior -7,229475 potencia lateral 0,034971 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,229475 pot inferior -7,255982 potencia lateral 0,026678 potencia total 0,000170 nivell 13 pot superior 7,255982 pot inferior -7,277123 potencia lateral 0,021281 potencia total 0,000139 nivell 12 pot superior 7,277123 pot inferior -7,294756 potencia lateral 0,017769 potencia total 0,000137 nivell 11 pot superior 7,294756 pot inferior -7,310166 potencia lateral 0,015585 potencia total 0,000175 nivell 10 pot superior 7,310166 pot inferior -7,324166 potencia lateral 0,014127 potencia total 0,000126 nivell 9 pot superior 7,324166 pot inferior -7,337254 potencia lateral 0,013249 potencia total 0,000162 nivell 8 pot superior 7,337254 pot inferior -7,349879 potencia lateral 0,012792 potencia total 0,000166 nivell 7 pot superior pot inferior

7,349879 -7,362410

Projecte final de carrera

potencia lateral 0,012656 potencia total 0,000125 nivell 6 pot superior 7,362410 pot inferior -7,375031 potencia lateral 0,012784 potencia total 0,000163 nivell 5 pot superior 7,375031 pot inferior -7,388017 potencia lateral 0,013154 potencia total 0,000168 nivell 4 pot superior 7,388017 pot inferior -7,401721 potencia lateral 0,013793 potencia total 0,000090 nivell 3 pot superior 7,401721 pot inferior -7,416391 potencia lateral 0,014790 potencia total 0,000120 nivell 2 pot superior 7,416391 pot inferior -7,432313 potencia lateral 0,016046 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,432313 pot inferior -7,450006 potencia lateral 0,017784 potencia total 0,000091

ANNEX 6.RESULTATS En aquest annex es presenta la precissió que s’aconsegueix en cada model de conductivímetre per a diferets valors de les variables principals (conductivitat de la pols, conductivitats de les peces, diámetres ...). La precissió s’expresa com : T28 − T20 T12 − T4 ∗ 100 COND ( B) COND ( A) En el cas de tenir el cas teòric de flux perfectament axial, s’otindria un valor de l’expressió anterior igual a 100.

ARXIUS DE RESULTATS DE SIMUL

Nom

PROGRAM Tsup Tinf CONDA CONDB CONDS CONDF

CONDP

AMP[1]

AMP[2]

AMP[3]

AMP[4]

AMP[5]

AMP[6]

AMP[7]

AMP[8]

AMP[9]

AMP[10]

AMP[11]

AMP[12]

AMP[13]

AMP[14]

Precisió

nº

ARX__ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50

400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400

360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360

30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30

10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,1 0,2 0,4 1 4 4 1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00285 0,00214 0,00142 0,00071 0,00035

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678

98,52887 97,19619 94,71233 88,54094 71,90351 71,90351 88,54094 94,71233 97,19619 98,52887 98,1105 97,32399 95,47029 88,99225 75,61144

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL51 SIMUL51 SIMUL51 SIMUL51 SIMUL51 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL50 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL62 SIMUL62 SIMUL62 SIMUL62

400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400

360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 395 380 370 340 300 250 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360

30 30 30 30 30 30 30 30 30 20 10 5 1 100 50 30 30 30 30 30 30 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 30 50 100 20 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0,2 0,05 1 2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,05 1 2 0,3 0,3 0,3 0,3

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,01 0,4 0,001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4 1 4 4 1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,01 0,4

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00285 0,00214 0,00142 0,00071 0,00035 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 98,52781 0,00357 98,50187 0,00357 98,52959 0,00357 98,52701 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,88985 0,00357 99,97982 0,00357 97,88462 0,00357 84,26427 0,00357 97,97068 0,00357 98,21729 0,00357 98,17209 0,00357 98,46559 0,00357 98,50521 0,00357 98,54392 0,00357 98,55463 0,00357 98,56251 0,00357 98,52887 0,00357 98,21729 0,00357 97,97068 0,00357 98,88985 0,00357 84,05477 0,00357 71,64802 0,00357 53,63336 0,00357 25,12667 0,00357 0,00357 0,00357 NEG 0,00357 222,9428 0,00357 143,215 0,00357 118,7796 0,00428 71,8945 0,005 67,77055 0,00571 48,85959 0,00642 12,44626 0,00678 0,00357 83,60315 0,00357 79,62152 0,00357 84,70051 0,00357 84,83938 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

SIMUL62 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL61 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL71 SIMUL71 SIMUL71 SIMUL71 SIMUL71 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70

400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400

360 360 360 360 360 360 360 395 380 370 340 300 250 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 395

30 20 10 5 1 100 50 30 30 30 30 30 30 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 20 10 5 1 100 50 30

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 30 50 100 20 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,05 1 2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4 1 4 4 1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,01 0,4 0,001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00285 0,00214 0,00142 0,00071 0,00035 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 82,444 0,00357 77,61729 0,00357 147,0726 0,00357 NEG 0,00357 86,3565 0,00357 85,35744 0,00357 29,33476 0,00357 71,18754 0,00357 79,43768 0,00357 89,06396 0,00357 93,38349 0,00357 95,65687 0,00357 118,7796 0,00357 116,7464 0,00357 115,18 0,00357 121,305 0,00357 98,47116 0,00357 97,08506 0,00357 94,52722 0,00357 88,22993 0,00357 71,71327 0,00357 71,71327 0,00357 88,22993 0,00357 94,52722 0,00357 97,98506 0,00357 98,47116 0,00428 98,01237 0,005 97,16113 0,00571 95,19336 0,00642 88,53514 0,00678 0,00357 98,47147 0,00357 98,44578 0,00357 98,47108 0,00357 98,46762 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,84846 0,00357 99,97787 0,00357 97,80736 0,00357 83,81236 0,00357 97,89321 0,00357 98,1505 0,00357 98,47116

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159

SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL70 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL81 SIMUL81 SIMUL81 SIMUL81 SIMUL81 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80 SIMUL80

400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400

380 370 340 300 250 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 360 395 380 370 340 300 250 360 360 360

30 30 30 30 30 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 20 10 5 1 100 50 30 30 30 30 30 30 10 10 10

10 10 10 10 10 30 50 100 20 10 10 10 10 10 30 30 30 30 30 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 30 50 100

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,05 1 2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4 1 4 4 1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,01 0,4 0,001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00285 0,00214 0,00142 0,00071 0,00035 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0029 0,0021 0,0014 0,0007 0,0004 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0043 0,005 0,0057 0,0064 0,0068 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00428 0,005 0,00571 0,00642 0,00678 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357

98,41063 98,44794 98,485 98,49645 98,50498 98,47116 98,1505 97,89321 98,84846 99,43961 98,9472 98,00421 95,4433 86,69147 86,69147 95,4433 98,00421 98,9472 99,43961 99,19754 98,7855 97,83875 94,44785 99,43721 99,41673 99,43219 99,43155

99,57132 99,99003 99,19898 93,66766 99,18986 99,31259 99,10269 99,3752 99,41783 99,45059 99,46528 99,47228 99,43961 99,31259 99,18986

112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159

160 SIMUL80

400

360

10

20

0,3

0,3

0,1

0,0036

0,00357

0,0036

0,0036

0,0036

0,0036

0,0036

0,0036

0,0036

0,00357

0,00357

0,00357

0,00357

0,00357

99,57132

160

Projecte final de carrera

ANNEX 7.

Importància de la concucció convecció i radiació en les interficies.

Aquest annex pretèn valorar a grans trets quina és la importància que té cadascuna d’aquestes transferencies energètiques (conducció, convecció i radiació) en les interfícies entre dues peces.

Es prendrà el següent model com a referencia :

700 K 695 K

Q

0,1 mm=0,0001 m

•Potència transmesa per conducció gasosa :

Q ∆T = λ. ∆x A Substituint valors representatius :

Q 2K = 0,02 W . = 400 W 2 mK m A 0,001m

•Potència transmesa per convecció gasosa :

Q = h.∆T A On substituint valors representatius :

Q = 20 W 2 . 2 K = 20 2 m K A

Projecte final de carrera

•Potència transmesa per radiació :

σ .(T14 − T24 ) Q = A 1 + 1 −1 ε1 ε2

Substituint valors orientatius :

Q 5,67.10 −8 .(700 4 − 698 4 ) = = 164 W 2 m 1 + 1 −1 A 0,1 0,1 •Potència transmesa per conducció sòlida:

Q ∆T = λ.

A ∆x Substituint valors representatius :

Q 2K = 20 W . = 40000W 2 mK 0,001m m A Tenint en compte el percentatge d’ àrees que realment travessa cada tipus de transferència :

W.m

-2

% de superficie

W

Conducció gasosa

400

99

396

Convecció

20

99

19.8

Radiació

8

1

8

Conducció sòlida

40000

1

400

Projecte final de carrera

ANNEX 8. TIPOLOGIES D’AILLAMENTS. Els paràmetres utilitzats per a la comparació dels diversos models han estat :

D1 =0.05 m D2= 0.1 m D3= 0.12 m D4= 0.14 m D5= 0.16 m D6= 0.18 m D7= 0.20 m D8=0.30 m λ aill = 0.02 Wm-1K-1 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 haire=1 Wm-2K -1 ealum=0.15 evidr=0,95

Les equacions emprades en cada model han estat : CAS I: E 1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E 8 CAS II: E1 E23 E9 E45 E10 E67 E 7 E8 CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 CAS IV: E1 E27 E7 E8 CAS V: E 1 E30 E7 E8 CAS VII: E1 E25 E10 E6 E7 E8 CAS VIII: E32(sense aillaments)

Projecte final de carrera

On cadascuna d’elles té la següent expressió desenvolupada : •E1

•E2

•E3

•E4

•E5

•E6

•E7

•E8

•E23

πσε a (T14 − T24 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D1 D2 πσε a (T24 − T34 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D2 D3 q 2πλ aill (T3 − T4 ) = D L Ln 4 D3 πσε a (T44 − T54 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D4 D5 q 2πλ aill (T5 − T6 ) = D L Ln 6 D5 πσε a (T64 − T74 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D6 D7 4 4 q πσD7 (T7 − T8 ) = 1 D7 1 L + ( − 1) ε a D8 ε v

q = ε vσπ D8 (T84 − Tinf4 ) + hπD8 (T8 − Tinf ) L q 2πλ aill (T2 − T3 ) = D L Ln 3 D2

Projecte final de carrera

•E9

•E45

•E10

•E67

•E27

•E30

•E25

•E32

πσε a (T34 − T44 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D3 D 4 q 2πλ aill (T4 − T5 ) = D L Ln 5 D4 πσε a (T54 − T64 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D5 D6 q 2πλ aill (T6 − T7 ) = D L Ln 7 D6 πσε a (T24 − T74 ) q = 1 1 L + (1 − ε a ) D2 D7 q 2πλ aill (T2 − T7 ) = D L Ln 7 D2 q 2πλ aill (T2 − T5 ) = D L Ln 5 D2 q = ε vσπD8 (T14 − Tinf4 ) + hπD8 (T1 − Tinf ) L

Projecte final de carrera

Els sistemes d’equacions no lineals de fins a 8 equacions han estat resolts mitjançant un programa iteratiu amb la calculadora HP 48 S, els resultats obtinguts han estat els següents :

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Tinf Potència(W/m) rati

CAS1

CAS2

CAS3

CAS4

CAS5

CAS7

CAS8

773 724,2 689,6 595,5 547,6 475,7 389,8 305 293 76,72

773 728,7 626,8 584,1 509,5 443,04 384,11 304 293 70,28

773 711,3 665 616,6 562,9 498 404,5 307,7 293 94,66

773 622

773 732,8

773 735,3

773

378,5 303,1 293 64,24

508,6 452,7 375,1 302,6 293 60,61

293 224

0,3425

0,31375

0,42259 0,861607 0,286786

0,27058

1

465,8 321,3 293 193

Projecte final de carrera

Potència dissipada per radiació amb plaques a diferents distàncies (cas 3).

CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 Wm-2K -4 haire=1 Wm-2K -1 ealum=0.15 evidr=0,95

D8=0.30 m D1 =0.05 m D2= 0.1 m T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 haire=1 Wm-2K-1 ealum=0.15 evidr=0,95

separació cada 0,5 mm D3 D4 D5 D6 D7

0,004

potència(W/m) 76,7

0,008

potència(W/m) 81,8

0,016

potència(W/m) 90,7

0,108 0,116 0,124 0,132 0,14

separacio cada 8 mm D3 D4 D5 D6 D7

potència(W/m) 73,97

0,104 0,108 0,112 0,116 0,12

separacio cada 4 mm D3 D4 D5 D6 D7

0,002 0,102 0,104 0,106 0,108 0,11

separació cada 2 mm D3 D4 D5 D6 D7

potència(W/m) 72,53

0,101 0,102 0,103 0,104 0,105

separació cada 1mm D3 D4 D5 D6 D7

0,001

0,116 0,132 0,148 0,164 0,18

Projecte final de carrera

Gràfica de les dades anteriors :

Excel :conductivimetres

aïllament 95

potència pe rduda [w /m ]

90

85

80

75

70 0

2

4

6

8

distància entre làm ines [m m ]

10

Projecte final de carrera

ANNEX 9. CONDUCTIVITATS DE DIVERSOS MATERIALS. A continuació es presenten les conductivitats tèrmiques vs. temperatura d’ alguns dels material emprats a laboratori .

Thermal conductity of Pyroceram 9606 (W/mk)

6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 -400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

Temperature(C)

Thermal conductity of Pyrex 7740(W/mK) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -200

-100

0

100

200

300

Temperature(C)

400

500

600

Projecte final de carrera

Thermal conductity of inconel 718 (W/mK) 30

25

20

15

10

5 -200

0

200

400

600

800

1000

1200

Temperature(C)

Thermal conductity Electrolytic Iron (w/mK) 90 80 70 60 50 40 30 20 -200 -100

0

100 200 300

400 500 600 700 800 900 1000

Temperature(C)

Projecte final de carrera

10.

FULLES DE CONTROL D’EXPERIMENTACIÓ

Es presenten en aquest annex les fulles de control d’experimentació. En elles queden reflexades les lectures realitzades en els termoparells, la conversió segons taules o equacions de regressió a lectures de temperatura, i el càlcul del cabals en cada peça. En l’apartat inferior, hi han els comentaris de cada experiment, i l’objectiu que es pretenia cercar amb cada prova diferent.

Les experimentacions estan agrupades per muntatges: en cada muntatge es podien realitzar diverses experimentacions a partir de la introducció en els PID de diferents gradients tèrmics a les peces. Els muntatges queden reflexats per la primera xifra de l’experimentació (exp. 5), mentres que cada lectura diferent queda reflexada per la segona xifra (exp. 5.1, exp. 5.2, etc)...

Projecte final de carrera

11.

FOTOGRAFIES