ชุดการเรียนรู้สมบูรณ์แบบ ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน โครงการจัดทำาสื่อ 65 พรรษา เฉลิมพระเกียรติ สมเด็จพระกนิษฐาธิราชเจ้า กรมสมเด็จพระเทพรัตนราชสุดา ฯ สยามบรมราชกุมารี จัดทำาโดย สำ�นักง�นโครงก�รส่วนพระองค์สมเด็จพระกนิษฐ�ธิร�ชเจ้� กรมสมเด็จพระเทพรัตนร�ชสุด� ฯ สย�มบรมร�ชกุม�รี สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 คำานำา ต�มที่ สมเด็จพระกนิษฐ�ธิร�ชเจ้� กรมสมเด็จพระเทพรัตนร�ชสุด� ฯ สย�มบรมร�ชกุม�รี ทรงมีพระร�ชดำ�ริ เมื่อวันที่ 21 พฤษภ�คม 2563 ให้จัดทำ�สื่อก�รเรียนเป็นชุดก�รเรียนรู้สมบูรณ์แบบ (Comprehensive Learning Package) สำ�หรับโรงเรียนขน�ดเล็ก สังกัดสำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น สังกัดกองบัญช�ก�ร ตำ�รวจตระเวนช�ยแดน โรงเรียนพระปริยัติธรรม สังกัดสำ�นักง�นพระพุทธศ�สน�แห่งช�ติ และโรงเรียนเอกชน สังกัดสำ�นักง�นคณะกรรมก�รส่งเสริมก�รศึกษ�เอกชน เพื่อส่งเสริมก�รเรียนรู้และพัฒน�คุณภ�พของนักเรียน ระดับมัธยมศึกษ�ตอนต้น โดยเน้นก�รใช้บริบทชีวิตจริงของผู้เรียนและชุมชนเป็นฐ�นในก�รเรียน ทำ�ก�รบูรณ�ก�ร ส � ระต � มหลักสูตรให้เชื่อมโยงกับก � รดำ�รงชีวิตทั้งปัจจุบันและอน � คต ต � มแนวพระร � ชดำ�ริ ที่ทรงแนะนำ� ให้ใช้โครงก�รศึกษ�ทัศน์ของพระบ�ทสมเด็จพระบรมชนก�ธิเบศร มห�ภูมิพลอดุลยเดชมห�ร�ช บรมน�ถบพิตร ม�เป็นแนวท�งในก�รพัฒน�สื่อก�รเรียน สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น จึงได้จัดทำ�ชุดก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) ให้สอดคล้อง กับหลักสูตรที่อิงม�ตรฐ�นและเชื่อมโยงไปสู่สมรรถนะ เน้นก�รออกแบบกิจกรรมก�รเรียนรู้ที่ส่งเสริมคว�มรู้ ทักษะ และพฤติกรรมผู้เรียนรอบด้�น ทั้งยังส่งเสริมให้ผู้เรียนส�ม�รถค้นคว้�ต่อเนื่องในลักษณะก�รเรียนรู้ต�มคว�มสนใจได้ และเพื่อให้สะดวกต่อก � รนำ�ไปใช้ จึงจัดแยกเป็นระดับชั้นมัธยมศึกษ � ปีที่ 1 – 3 และแยกเป็นภ � คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 ทั้ง 5 กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้ ประกอบด้วย - ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้ภ�ษ�ไทย ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1 – 3 ภ�คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 - ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้วิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1 – 3 ภ�คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 - ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้คณิตศ�สตร์ ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1 – 3 ภ�คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 - ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้สังคมศึกษ� ศ�สน� และวัฒนธรรม ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1 – 3 ภ�คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 - ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้ภ�ษ�ต่�งประเทศ (ภ�ษ�อังกฤษ) ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1 – 3 ภ�คเรียนที่ 1 และภ�คเรียนที่ 2 ก�รนำ�ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ไปใช้ ครูผู้สอนต้องศึกษ�เอกส�ร คู่มือก�รใช้ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ และศึกษ � คำ�ชี้แจงในเอกส � รชุดก � รจัดกิจกรรมก � รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) เพื่อให้ทร � บถึงแนวคิดก � รจัด กระบวนก�รเรียนรู้ ก�รเตรียมตัวของครู สื่อก�รจัดก�รเรียนรู้ ลักษณะชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ แผนก�รจัด ก�รเรียนรู้ แนวท�งก�รวัดและประเมินผลของแต่ละหน่วยก�รเรียนรู้ หวังว่�ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) และชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับนักเรียน) นี้ จะเป็นประโยชน์ต่อก � รจัดกิจกรรมก � รเรียนรู้ของครูผู้สอน อันจะส่งผลต่อก � รพัฒน � คุณภ � พก � รศึกษ � ระดับ มัธยมศึกษ�ตอนต้นต่อไป ขอขอบคุณ ผู้ทรงคุณวุฒิ ผู้บริห � รสถ � นศึกษ � ศึกษ � นิเทศก์ ครู อ � จ � รย์ นักวิช � ก � ร และทุกท่ � น ที่มีส่วนเกี่ยวข้องกับก�รจัดทำ�เอกส�รม� ณ โอก�สนี้ สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 คำาชี้แจง ชุดก � รจัดกิจกรรมก � รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) หน่วยก � รเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เล่มนี้ เป็น 1 ใน 34 เล่ม ของชุดก � รเรียนรู้สมบูรณ์แบบ กลุ่มส � ระก � รเรียนรู้คณิตศ � สตร์ ใช้กับนักเรียนช่วงชั้นที่ 3 (ชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 1–3) สำ�หรับโรงเรียนขน�ดเล็กที่มีครูครบชั้นและครูไม่ครบชั้น และโรงเรียนในถิ่นทุรกันด�ร ซึ่งผ่�นก�รวิเคร�ะห์ม�ตรฐ�นก�รเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มส�ระก�รเรียนรู้คณิตศ�สตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ต�มหลักสูตรแกนกล�งก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น พุทธศักร�ช 2551 เมื่อสอนครบทั้ง 34 เล่ม นักเรียนจะได้เรียนรู้ ครบถ้วนครอบคลุมทุกตัวชี้วัดของหลักสูตร ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) หน่วยก�รเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เล่มนี้ เป็นเอกส�ร ที่นำ�เสนอแนวท�งก�รจัดก�รเรียนรู้คณิตศ�สตร์เรื่อง เส้นขน�น ให้กับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษ�ปีที่ 2 ภ�คเรียนที่ 2 ซึ่งก่อนก � รสอนเรื่อง เส้นนี้ที่คู่กัน ครูผู้สอนควรศึกษ � แผนก � รจัดก � รเรียนรู้จ � กเอกส � รเล่มนี้อย่ � งละเอียด เพื่อที่จะทำ�ให้ทร�บว่�ต้องสอนเนื้อห�อย่�งไร และต้องเตรียมสื่อ/อุปกรณ์ประกอบก�รสอนอะไร อย่�งไร ซึ่งจะทำ�ให้ ก�รจัดก�รเรียนรู้ของครูมีประสิทธิภ�พ ส่งผลให้นักเรียนมีคว�มรู้คว�มเข้�ใจในเนื้อห�ที่สอน คณะผู้จัดทำ�หวังเป็นอย่�งยิ่งว่� ชุดก�รจัดกิจกรรมก�รเรียนรู้ (สำ�หรับครูผู้สอน) หน่วยก�รเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อครูผู้สอน ในก�รนำ�ไปใช้จัดก�รเรียนรู้เรื่อง เส้นขน�น ให้กับนักเรียน ในโรงเรียนขน � ดเล็กที่มีครูครบชั้นและครูไม่ครบชั้น และโรงเรียนในถิ่นทุรกันด � ร เพื่อเพิ่มประสิทธิภ � พใน ก�รจัดก�รเรียนก�รสอนของครู และเสริมสร้�งก�รเรียนรู้ของนักเรียนให้เต็มศักยภ�พต่อไป สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษ�ธิก�ร
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 เนื้อหา หน้า หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 1 ผังมโนทัศน์ 2 เส้นทางการจัดการเรียนรู้ 3 โครงสร้างหน่วยการเรียนรู้ 4 ภาพรวมหน่วยการเรียนรู้ 5 เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ แผนก�รจัดก�รเรียนรู้ที่ 1 9 เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน แผนก�รจัดก�รเรียนรู้ที่ 2 28 เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม แผนก�รจัดก�รเรียนรู้ที่ 3 46 เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน แผนก�รจัดก�รเรียนรู้ที่ 4 59 แบบทดสอบท้ายหน่วยการเรียนรู้และเฉลย 65 เฉลยแบบฝึกหัดและใบกิจกรรม 75 บัตรภาพ บัตรคำา และสื่อต่าง ๆ 101 บรรณานุกรม 122 คณะผู้จัดทำา 123 สารบัญ หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 1 สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบท ทางเรขาคณิต และนำาไปใช้ ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/2 นำาความรู้เกี่ยวกับสมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยมไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ สาระการเรียนรู้ เส้นขนาน สมบัติเกี่ยวกับเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 1. การสื่อสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ 2. การให้เหตุผล คุณลักษณะอันพึงประสงค์ทางคณิตศาสตร์ 1. ใฝ่เรียนรู้ และกระตือรือร้น 2. มุ่งมั่น และไม่ย่อท้อ 3. มีเหตุผล 4. คิดอย่างเป็นระบบ สมรรถนะ 1. การจัดการตนเอง 2. การสื่อสาร หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน
2 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ผังมโนทัศน์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บทนิยามของเส้นขนาน เส้นขนาน กับรูปสามเหลี่ยม เส้นขนาน เส้นขนานกับมุมภายนอก และมุมภายใน มุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัด ขนาดของมุมภายใน ของรูปสามเหลี่ยม มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด มุมแย้ง มุมภายนอก ของรูปสามเหลี่ยม
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 3 เส้นทางการจัดการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน แนะนำามุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และสมบัติของเส้นขนานเกี่ยวกับผลรวม ของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ทำากิจกรรมเพื่อฝึกการนำาความรู้เกี่ยวกับเส้นขนานไปใช้ในการแก้ปัญหา แนะนำามุมแย้ง และทำากิจกรรมสำารวจความสัมพันธ์ระหว่างมุมแย้งของเส้นขนาน เพื่อนำาไปสู่ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง แนะนำามุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับมุมภายในและมุมภายนอก แนะนำามุมภายในของรูปสามเหลี่ยม และทำากิจกรรมสำารวจ เพื่อนำาไปสู่ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม แนะนำาบทนิยามของเส้นขนาน และทบทวนระยะห่างของเส้นขนาน แนะนำามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมและมุมประชิด รวมทั้งแนะนำาทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
4 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 โครงสร้างหน่วยการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ แผนที่ 1 จำานวน 3 ชั่วโมง หน่วยที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน (4 แผน รวม 8 ชั่วโมง) 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน แผนที่ 2 จำานวน 2 ชั่วโมง 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน แผนที่ 4 จำานวน 1 ชั่วโมง 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม แผนที่ 3 จำานวน 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 5 ชั่วโมง ที่ ตัวชี้วัด สมรรถนะ สาระสำ า คัญ/ ความคิดรวบยอด สถานการณ์ เพื่อการจัดการเรียนรู้ ชิ้นงาน/ภาระงาน พฤติกรรมบ่งชี้ เพื่อการวัดผลและประเมินผล เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ (3 ชั่วโมง) หน่วยการเรียนรู้ หน่วยที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 8 ชั่วโมง 1–3 ค 2.2 ม.2/2 1. การจัดการตนเอง 2. การสื่อสาร เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บน ระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง สามารถนำ า ไปใช้ในการตรวจสอบ การขนานกันของเส้นตรงสองเส้น และแก้ปัญหาทางเรขาคณิต 1. ใบกิจกรรม 1 : ตามหาความจริง 2. แบบฝึกหัด 1 : เส้นขนานและ มุมภายใน 3. ใบกิจกรรม 2 : มุมแย้งบอกได้ 4. แบบฝึกหัด 2 : เส้นขนานและ มุมแย้ง 1. การจัดการตนเอง นักเรียนสามารถควบคุมและกำ า กับ ตนเองในการใช้ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยามของเส้นขนาน ทฤษฎีบท เกี่ยวกับมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัด และ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง มาแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้สำ า เร็จ 2. การสื่อสาร นักเรียนสามารถอธิบายผ่าน การเขียนหรือพูดด้วยภาษาและ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อ แสดงแนวคิดเกี่ยวกับการ แก้ปัญหา ทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ โดยใช้ ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามของ เส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ 1. ทำ า กิจกรรมตามหาความจริง เพื่อฝึกการตรวจสอบการ ขนานกันของเส้นตรงสองเส้น โดยใช้ระยะห่างระหว่าง เส้นตรงสองเส้น 2. ทำ า กิจกรรมมุมแย้งบอกได้ เพื่อสำ า รวจความสัมพันธ์ ระหว่างมุมแย้งของเส้นขนาน และนำ า ไปสู่ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมแย้ง
6 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ชั่วโมง ที่ ตัวชี้วัด สมรรถนะ สาระสำ า คัญ/ ความคิดรวบยอด สถานการณ์ เพื่อการจัดการเรียนรู้ ชิ้นงาน/ภาระงาน พฤติกรรมบ่งชี้ เพื่อการวัดผลและประเมินผล เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน (2 ชั่วโมง) มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดและทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมแย้งได้อย่างถูกต้อง 4–5 ค 2.2 ม.2/2 1. การจัดการตนเอง 2. การสื่อสาร ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอก และมุมภายใน สามารถนำ า ไปใช้ ในการตรวจสอบการขนานกันของ เส้นตรงสองเส้นและแก้ปัญหา ทางเรขาคณิต 1. แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและ มุมภายนอกกับ มุมภายใน 2. แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหา เกี่ยวกับเส้นขนาน 1. การจัดการตนเอง นักเรียนสามารถควบคุมและกำ า กับ ตนเองในการใช้ความรู้เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอก และมุมภายในมาแก้ปัญหา ทางเรขาคณิตได้สำ า เร็จ 2. การสื่อสาร นักเรียนสามารถอธิบายผ่าน การเขียนหรือพูดด้วยภาษาและ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อ แสดงแนวคิดเกี่ยวกับการแก้ปัญหา ทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให้ โดยใช้ ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมภายนอกและมุมภายใน ได้อย่างถูกต้อง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 7 ชั่วโมง ที่ ตัวชี้วัด สมรรถนะ สาระสำ า คัญ/ ความคิดรวบยอด สถานการณ์ เพื่อการจัดการเรียนรู้ ชิ้นงาน/ภาระงาน พฤติกรรมบ่งชี้ เพื่อการวัดผลและประเมินผล เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม (2 ชั่วโมง) 6–7 ค 2.2 ม.2/2 1. การจัดการตนเอง 2. การสื่อสาร ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับ เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ได้แก่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวม ของขนาดของมุมภายในของ รูปของสามเหลี่ยม และทฤษฎีบท เกี่ยวกับมุมภายนอกและ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนำ า ไปใช้ในการแก้ปัญหา ทางเรขาคณิต 1. แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยม 1. การจัดการตนเอง นักเรียนสามารถควบคุมและกำ า กับ ตนเองในการใช้ความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน และรูปสามเหลี่ยมมาแก้ปัญหา ทางเรขาคณิตได้สำ า เร็จ 2. การสื่อสาร นักเรียนสามารถอธิบายผ่าน การเขียนหรือพูดด้วยภาษาและ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อ แสดงแนวคิดเกี่ยวกับการ แก้ปัญหา ทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให โดยใช้ ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทเกี่ยว กับ เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ได้อย่างถูกต้อง
8 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ชั่วโมง ที่ ตัวชี้วัด สมรรถนะ สาระสำ า คัญ/ ความคิดรวบยอด สถานการณ์ เพื่อการจัดการเรียนรู้ ชิ้นงาน/ภาระงาน พฤติกรรมบ่งชี้ เพื่อการวัดผลและประเมินผล เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน (1 ชั่วโมง) 8 ค 2.2 ม.2/2 1. การจัดการตนเอง 2. การสื่อสาร การนำ า ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานไปใช้ ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต 1. การจัดการตนเอง นักเรียนสามารถควบคุมและกำ า กับ ตนเองในการใช้ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน มาแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ได้สำ า เร็จ 2. การสื่อสาร นักเรียนสามารถอธิบายผ่าน การเขียนหรือพูดด้วยภาษาและ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อ แสดงแนวคิดเกี่ยวกับการ แก้ปัญหา ทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให โดยใช้ ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามและ ทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ เส้นขนานได้อย่างถูกต้อง 1. ทำ า กิจกรรมคิดให้ได้ตอบให้เร็ว เพื่อฝึกการนำ า ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานไปใช้ ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 9 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 สาระการเรียนรู้ 1. บทนิยามของเส้นขนาน เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบ เดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรง ทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน 2. ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้ว ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ เท่ากันเสมอ ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่าง ระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน 3. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัด เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บน กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นนำ า 1. ครูนำ า นักเรียนสนทนาเกี่ยวกับสิ่งของที่มีลักษณะของเส้นขนานเป็นส่วนประกอบ โดยอาจใช้บัตรภาพรางรถไฟ บัตรภาพรั้ว บัตรภาพเส้นบรรทัดในสมุด บัตรภาพ ทางม้าลาย ประกอบการอธิบาย และให้นักเรียนสังเกตว่า ส่วนใดบนรูปที่มีลักษณะ ของเส้นขนานเป็นส่วนประกอบ สื่อและแหล่งเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 1. บัตรภาพรางรถไฟ 2. บัตรภาพรั้ว 3. บัตรภาพเส้นบรรทัดในสมุด 4. บัตรภาพทางม้าลาย 5. ไม้บรรทัดขนาดใหญ่ 6. บัตรภาพลวงตา 7. อุปกรณ์กิจกรรมตามหาความจริง ไม้ฉากสามเหลี่ยม (หรือไม้บรรทัด กับโพรแทรกเตอร์) ใบกิจกรรม 1 : ตามหาความจริง ชั่วโมงที่ 2 1. ชุดสำ า รวจเส้นขนาน แผนภาพเส้นขนาน มุมป้านสีส้ม 2 ชิ้น มุมป้านสีน้ำ า เงิน 1 ชิ้น มุมแหลมสีเขียว 2 ชิ้น แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
10 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน เท่ากับ 180 องศา 4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ 1. ตรวจสอบความขนานกันของเส้นตรง สองเส้นโดยใช้ระยะห่างระหว่างเส้นตรง หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง 2. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด 3. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง 2. ครูให้นักเรียนยกตัวอย่างสิ่งที่พบเห็นในชีวิตประจำ า วันที่มีลักษณะของเส้นขนาน เป็นส่วนประกอบ จากนั้น ใช้การถามตอบเพื่อให้นักเรียนพิจารณาลักษณะของ เส้นขนานที่เป็นส่วนประกอบของสิ่งที่นักเรียนยกตัวอย่างมา ดังนี้ ส่วนใดที่มีลักษณะของเส้นขนาน [คำ า ตอบขึ้นอยู่กับนักเรียน] เพราะเหตุใด นักเรียนจึงคิดว่าส่วนดังกล่าวมีลักษณะของเส้นขนาน [เพราะส่วนดังกล่าว มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นตรงที่ไม่ตัดกัน และดูว่าจะมีระยะห่างเท่ากันเสมอ] 3. ครูนำ า นักเรียนทบทวนเกี่ยวกับเส้นขนานที่เรียนมาในระดับประถมศึกษา โดยวาด ภาพประกอบบนกระดาน ดังนี้ เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันจะขนานกันก็ต่อเมื่อ มีระยะห่างเท่ากันเสมอ ในการเขียนรูป เราอาจใช้สัญลักษณ์แสดงการขนานกัน และใช้ สัญลักษณ์ // แสดงการขนาน ดังนี้ จากรูป AB และ CD ขนานกัน กล่าวได้ว่า AB ขนานกับ CD หรือ CD ขนานกับ AB มุมแหลมสีเหลือง 1 ชิ้น หมายเหตุ ขนาดของมุมป้านทั้งสองสีและ ขนาดของมุมแหลมทั้งสองสี เท่ากับขนาด ของมุมป้านและมุมแหลมบนแผนภาพ เส้นขนาน ตามลำ า ดับ ชั่วโมงที่ 3 1. ชุดสำ า รวจเส้นขนาน แผนภาพเส้นขนาน มุมป้านสีส้ม 2 ชิ้น มุมป้านสีน้ำ า เงิน 1 ชิ้น มุมแหลมสีเขียว 2 ชิ้น มุมแหลมสีเหลือง 1 ชิ้น 2. อุปกรณ์กิจกรรมมุมแย้งบอกได้ โพรแทรกเตอร์ ใบกิจกรรม 2 : มุมแย้งบอกได้ A B C D แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 11 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามของ เส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้งในการ แก้ปัญหา ด้านทักษะและกระบวนการ นักเรียนสามารถ 1. สื่อสารและสื่อความหมายแนวคิดในการ อธิบายการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามของ เส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้ง 2. ให้เหตุผลเพื่อสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมแย้ง รวมถึงสามารถให้เหตุผลประกอบ แนวคิดในการหาคำ า ตอบของปัญหา ทางเรขาคณิต เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB // CD หรือ CD // AB ขั้นสอน 4. ครูแนะนำ า บทนิยามของเส้นขนานบนกระดาน ดังนี้ เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน 5. ครูอธิบายวิธีพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน โดยวาด AB และ CD แล้วลาก EF ให้ตั้งฉากกับ CD และลาก GH ให้ตั้งฉากกับ CD ดังรูปที่ 1 แล้ววาด MN และ PQ แล้วลาก RS ให้ตั้งฉากกับ PQ และลาก UV ให้ตั้งฉากกับ PQ ดังรูปที่ 2 บนกระดาน ดังนี้ ชิ้นงาน/ภาระงาน 1. ใบกิจกรรม 1 : ตามหาความจริง 2. แบบฝึกหัด 1 : เส้นขนานและมุมภายใน 3. ใบกิจกรรม 2 : มุมแย้งบอกได้ 4. แบบฝึกหัด 2 : เส้นขนานและมุมแย้ง การวัดและประเมินผล 1. ตรวจใบกิจกรรม 1 โดยตอบได้ถูกต้อง และให้เหตุผลได้สมเหตุสมผล 2. ตรวจแบบฝึกหัด 1 โดย ตอนที่ 1 ตอบได้ถูกต้องและให้ เหตุผลได้สมเหตุสมผล 2 ข้อ จาก 3 ข้อ ตอนที่ 2 ตอบได้ถูกต้อง 2 ข้อ จาก 3 ข้อ 3. ตรวจใบกิจกรรม 2 โดยวัดขนาดของมุม ได้ถูกต้อง M R U N P S V Q A E G B C F H D รูปที่ 1 รูปที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
12 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ด้านคุณลักษณะ 1. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ และ กระตือรือร้น ในการแสวงหาความรู้ 2. นักเรียนมีความมุ่งมั่น และไม่ย่อท้อ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 3. นักเรียนมีเหตุผล ในการสนับสนุนหรือ โต้แย้งแนวคิดได้อย่างสมเหตุสมผล 4. นักเรียนมีการคิดเชิงระบบ สามารถ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็น ขั้นตอน โดยเลือกความรู้และเครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้อย่างเหมาะสม สมรรถนะที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียน 1. การจัดการตนเอง โดยการควบคุมและ กำ า กับตนเองในการใช้ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยามของเส้นขนาน ทฤษฎีบท เกี่ยวกับมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด และทฤษฎีบทเกี่ยวกับ 4. ตรวจแบบฝึกหัด 2 โดยตอบได้ถูกต้อง 3 ข้อ จาก 4 ข้อ ครูอธิบายว่า EF เป็นระยะห่างระหว่าง AB และ CD ที่วัดจากจุด E GH เป็นระยะห่างระหว่าง AB และ CD ที่วัดจากจุด G RS เป็นระยะห่างระหว่าง MN และ PQ ที่วัดจากจุด R UV เป็นระยะห่างระหว่าง MN และ PQ ที่วัดจากจุด U จากนั้น ครูใช้การถามตอบเพื่อให้นักเรียนสังเกตระยะห่างระหว่างเส้นตรง ดังนี้ จากรูปที่ 1 EF และ GH เท่ากันหรือไม่ [ไม่เท่ากัน] จากรูปที่ 2 RS และ UV เท่ากันหรือไม่ [เท่ากัน] ครูสุ่มนักเรียนออกมาวัดระยะห่างระหว่างจุด R กับจุด S และระยะห่าง ระหว่างจุด U กับจุด V เพื่อแสดงว่า RS = UV และให้ตัวแทนนักเรียนอีกหนึ่งคน เลือกวัดระยะห่างระหว่าง MN และ PQ ที่ตำ า แหน่งอื่น เพื่อแสดงให้เห็นว่า ระยะห่างระหว่าง
AB จะไม่เท่ากัน ในกรณีที่ MN และ PQ ขนานกัน จะได้ว่า ระยะห่างระหว่าง MN และ PQ ที่วัดจากจุดที่แตกต่างกันบน MN จะเท่ากันเสมอ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
MN และ PQ เท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะวัดจากจุดใดก็ตามบน MN ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปผลที่ได้จากการทำ า กิจกรรมข้างต้น ดังนี้ ในกรณีที่ AB และ CD ไม่ขนานกัน จะได้ว่า ระยะห่างระหว่าง AB และ CD ที่วัดจากจุดที่แตกต่างกันบน
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 13 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 มุมแย้งมาแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ กำ า หนดให้ 2. การสื่อสาร โดยอธิบายผ่านการเขียน หรือพูดในการแสดงแนวคิดด้วยภาษา และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อ แก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ความรู้ เกี่ยวกับบทนิยามของเส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายในที่อยู่ บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และทฤษฎีบท เกี่ยวกับมุมแย้ง 6. ครูสรุปเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างเส้นขนานอีกครั้ง ดังนี้ ในกรณีทั่วไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้น จะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรง เท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน 7. ครูนำ า นักเรียนทำ า ใบกิจกรรม 1 : ตามหาความจริง เพื่อฝึกการพิจารณาว่า ส่วนของเส้นตรงที่อยู่ในภาพลวงตานั้นขนานกันหรือไม่ โดยครูอาจแสดงบัตรภาพ ลวงตาซึ่งเป็นภาพเดียวกันกับภาพในใบกิจกรรม 1 ในการแนะนำ า แนวคิด การพิจารณา ซึ่งหากนักเรียนไม่สามารถพิจารณาได้ ครูอาจแนะนำ า ให้นักเรียนใช้ ไม้ฉากสามเหลี่ยมตรวจสอบระยะห่างระหว่างส่วนของเส้นตรงในแนวนอน เพื่อตรวจสอบว่าส่วนของเส้นตรงในแนวนอนเหล่านั้นขนานกันหรือไม่ ดังรูป ในกรณีที่ไม่มีไม้ฉากสามเหลี่ยม สามารถใช้ไม้บรรทัดและโพรแทรกเตอร์ ในการสร้างเส้นตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงในแนวนอน ณ จุดที่ต้องการได้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
14 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ขั้นสรุป 8. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปบทนิยามและระยะห่างระหว่างเส้นขนาน ดังนี้ เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรง ทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ เท่ากันเสมอ ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน ชั่วโมงที่ 2 ขั้นนำ า 1. ครูทบทวนขนาดของมุมตรง โดยวาดรูปบนกระดานและใช้การถามตอบ ดังนี้ จากรูป MON เป็นมุมอะไร และมีขนาดกี่องศา [เป็นมุมตรง และ มีขนาด 180 องศา] 2. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า การตรวจสอบว่าเส้นตรงคู่ใดขนานกันหรือไม่นั้น นอกจาก ตรวจสอบจากระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองเส้นแล้ว ยังสามารถตรวจสอบได้ โดยการพิจารณาขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดได้อีกด้วย M N O แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 15 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูแนะนำ า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด โดยใช้ชุดสำ า รวจเส้นขนาน ดังนี้ 1) ครูแสดงแผนภาพเส้นขนาน แล้วอธิบายว่า AB ขนานกับ CD โดยมี XY เป็น เส้นตัดขวาง หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เส้นตัด 2) ครูกำ า หนดชื่อจุดที่ XY ตัดกับ AB และ CD เป็นจุด M และจุด N ตามลำ า ดับ จากนั้น ติดมุมแหลมสีเขียวคู่กับมุมป้านสีส้มบนแผนภาพ เส้นขนานที่ AMN และ CNM ตามลำ า ดับ ดังรูป แล้วแนะนำ า ว่า มุมแหลม สีเขียวและมุมป้านสีส้มเป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง M N
16 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 3) ครูให้นักเรียนสังเกตว่า มีมุมคู่ใดอีกบ้าง ที่เป็นมุมภายในบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด ซึ่งจะพบว่า BMN และ DNM เป็นมุมภายในบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดนี้ด้วย 4) ครูติดมุมป้านสีน้ำ า เงินและมุมแหลมสีเหลืองบนแผนภาพเส้นขนาน ที่ BMN และ DNM ตามลำ า ดับ ดังรูป 5) ครูแสดงผลรวมของขนาดของมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัด โดยนำ า มุมแหลมสีเขียวอีกชิ้นหนึ่งมาวางทับมุมแหลมสีเหลือง ดังรูป แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง M N
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 17 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 6) ครูชวนนักเรียนสังเกตว่า เมื่อนำ า มุมป้านสีส้มต่อกับมุมแหลมสีเขียว แล้วจะมีขนาดเท่ากับมุมตรงพอดี ดังนั้น เราสามารถเขียนข้อความ คาดการณ์ได้ว่า “ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 180 องศา” ทั้งนี้ ครูอาจแสดงผลรวมของขนาดของมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัด อีกครั้งโดยใช้มุมป้านสีน้ำ า เงินและมุมแหลมสีเหลืองในลักษณะเดียวกัน 4. ครูแนะนำ า สมบัติของเส้นขนานว่า ข้อความคาดการณ์ที่ได้ข้างต้นสอดคล้องกับ สมบัติของเส้นขนานที่กล่าวว่า แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา M N
18 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 จากนั้น ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า จากสมบัติของเส้นขนานข้างต้น เราสามารถ พิจารณาได้ ดังนี้ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้ขนาดของมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรง คู่นั้นขนานกัน 5. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 1 : เส้นขนานและมุมภายใน บนกระดาน เพื่อฝึก พิจารณาว่า เส้นตรงแต่ละคู่ขนานกันหรือไม่ โดยอาศัยสมบัติของเส้นขนานที่ได้ เรียนมา ดังนี้ ตอนที่ 1 ให้นักเรียนพิจารณาว่า AB และ CD ในแต่ละข้อต่อไปนี้ขนานกัน หรือไม่ เพราะเหตุใด ข้อที่ 1 ตอบ AB และ CD ไม่ขนานกัน เพราะขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 117 + 64 = 181 องศา ซึ่งไม่เท่ากับ 180 องศา แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง D C A B 117 o 64 o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 19 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ สมมุติให้ AB ขนานกับ CD โดยมีเส้นตัดเส้นหนึ่ง ดังรูปในโจทย์ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดนี้ จะต้องรวมกัน เท่ากับกี่องศา [180 องศา] จากรูปในโจทย์ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัดรวมกันเท่ากับเท่าใด [181 องศา] AB ขนานกับ CD หรือไม่ [AB ไม่ขนานกับ CD] ตอนที่ 2 ให้นักเรียนเขียนแสดงแนวคิดเพื่อหาค่าที่โจทย์ต้องการทราบให้สมบูรณ์ ข้อที่ 1 จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x วิธีทำ า เนื่องจาก AB // CD จะได้ x + 142 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา) ดังนั้น x = 38 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง 142 o x o D C A B
20 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ เนื่องจาก AB ขนานกับ CD และมีเส้นตัดเส้นหนึ่ง ดังรูปในโจทย์ เราจะหาค่า x โดยใช้สมบัติของเส้นขนานที่กล่าวว่าไว้อย่างไร [ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา] เราจะเขียนสมการเพื่อหาค่า x ได้เป็นอย่างไร [x + 142 = 180] จะได้ค่า x เท่ากับเท่าใด [38] 6. ครูให้นักเรียนจับคู่ แล้วทำ า แบบฝึกหัด 1 : เส้นขนานและมุมภายใน ตอนที่ 1 และ 2 ข้อที่เหลือ เพื่อฝึกการนำ า สมบัติของเส้นขนานไปใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัดเรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัด โดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ ขั้นสรุป 7. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปสมบัติของเส้นขนาน ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน
180 องศา แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 21 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ชั่วโมงที่ 3 ขั้นนำ า 1. ครูทบทวนสมบัติของเส้นขนานและมุมภายใน โดยวาดรูปเส้นขนานและมุมภายใน บนกระดาน ดังรูป และใช้การถามตอบ ดังนี้ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายใน ที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับกี่องศา [180 องศา] จากรูป เราทราบได้อย่างไรว่า AB และ CD ขนานกันหรือไม่ [คำ า ตอบมีได้หลากหลาย เช่น ถ้าต่อ AB และ CD ออกไปแล้ว เส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน แล้ว
แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง D C Y A B X 1 2 3 4
AB // CD ถ้า AB และ CD มีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ
22 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้ขนาดของ มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน] ขั้นสอน 2. ครูแนะนำ า มุมแย้ง โดยใช้ชุดสำ า รวจเส้นขนาน ดังนี้ 1) ครูแสดงแผนภาพเส้นขนาน แล้วติดมุมป้านสีเขียวและมุมแหลม สีเหลืองที่ AMN และ MND ตามลำ า ดับ ดังรูป แล้วแนะนำ า ว่า AMN และ MND เป็นมุมแย้งกัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง M N
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 23 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 2) ครูให้นักเรียนสังเกตว่า มีมุมคู่ใดอีกบ้างที่เป็นมุมแย้งกัน ซึ่งจะพบว่า BMN และ CNM เป็นมุมแย้งกัน 3) ครูติดมุมป้านสีน้ำ า เงินและมุมป้านสีส้มบนแผนภาพเส้นขนานที่ BMN และ CNM ตามลำ า ดับ ดังรูป 3. ครูให้นักเรียนทำ า ใบกิจกรรม 2 : มุมแย้งบอกได้ เพื่อสำ า รวจขนาดของมุมแย้งของ เส้นขนาน และเมื่อนักเรียนทำ า กิจกรรมเรียบร้อยแล้ว
ถ้า
แต่หาก AB และ CD
ขนาดของมุมแย้งจะเท่ากันเป็นคู่ ๆ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง M N
ให้ครูนำ า นักเรียนสังเกต ขนาดของมุมแย้งที่เกิดจากเส้นตัดที่มาตัดเส้นตรงที่ไม่ขนานกันและเส้นตรงที่ ขนานกัน ซึ่งจะพบว่า
AB และ CD ไม่ขนานกัน ขนาดของมุมแย้งจะไม่เท่ากัน
ขนานกัน
24 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 4. ครูใช้ชุดสำ า รวจเส้นขนาน เพื่อแสดงให้นักเรียนเห็นมุมแย้งอีกครั้ง โดยใช้มุมสีเดียวกัน ดังรูป จากนั้น ครูแนะนำ า ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมแย้ง ดังนี้ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน 5. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 2 : เส้นขนานและมุมแย้ง ข้อที่ 3 บนกระดาน เพื่อฝึกการหาขนาดของมุม เมื่อกำ า หนดเส้นตรงที่ขนานกันมาให้ โดยใช้สมบัติและ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานที่ได้เรียนมา ดังนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง M N M N
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 25 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ข้อที่ 3 จากรูป AB // CD และ CD // EF จงหาขนาดของ XYZ วิธีทำ า เนื่องจาก AB //
XYD = 42 ° เนื่องจาก CD
° เนื่องจาก XYZ
จะได้
XYZ เท่ากับผลรวมของขนาดของมุมใด [ผลรวม ของขนาดของมุม XYD และมุม DYZ] แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง D F E C Y A B X Z 60 o 42 o
CD จะได้
// EF จะได้ DYZ = 60
= XYD + DYZ
XYZ = 42 + 60 ดังนั้น XYZ = 102 องศา ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ ขนาดของมุม
26 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เราจะหาขนาดของมุม XYD และมุม DYZ ได้จากความรู้เรื่องใด [ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแย้งของเส้นขนาน] ขนาดของมุม XYD เท่ากับขนาดของมุมมุมใด เพราะเหตุใด [ขนาด ของมุม XYD เท่ากับขนาดของมุม AXY เพราะเป็นมุมแย้งกัน] มุม XYD มีขนาดเป็นกี่องศา [42 องศา] ขนาดของมุม DYZ เท่ากับขนาดของมุมมุมใด เพราะเหตุใด [ขนาด ของมุม DYZ เท่ากับขนาดของมุม EZY เพราะเป็นมุมแย้งกัน] มุม DYZ มีขนาดเป็นกี่องศา [60 องศา] มุม XYZ มีขนาดเป็นกี่องศา [102 องศา] 6. ครูให้นักเรียนจับคู่ แล้วทำ า แบบฝึกหัด 2 : เส้นขนานและมุมแย้ง ข้อที่เหลือ เพื่อฝึกการนำ า ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมแย้งไปใช้ในการแก้ปัญหา ทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัดเรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัดโดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ 7. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า การตรวจสอบว่าเส้นตรงคู่ใดขนานกันหรือไม่นั้น นอกจาก ตรวจสอบจากระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองเส้น และผลรวมของขนาดของ มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดแล้ว ยังสามารถตรวจสอบได้โดยการ พิจารณาขนาดของมุมแย้ง ตามทฤษฎีบทต่อไปนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 27 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน จากนั้น ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า ทฤษฎีบทข้างต้นนี้เป็นบทกลับของทฤษฎีบท ที่ว่า “ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน” และ เมื่อเขียนทฤษฎีบททั้งสองใหม่โดยใช้ “ก็ต่อเมื่อ” จะได้ทฤษฎีบท ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ทั้งนี้ ครูอาจนำ า นักเรียนทำ า แบบฝึกหัดข้อท้าให้ลอง เพื่อฝึกตรวจสอบว่า เส้นในแนวตรงคู่ใดที่ขนานกัน โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมแย้ง ที่ได้เรียนมา ขั้นสรุป 8. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมแย้ง ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.1 เส้นขนานกับมุมนี้ที่ซ่อนอยู่ เวลา 3 ชั่วโมง
28 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง สาระการเรียนรู้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกและ มุมภายใน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ 1. ตรวจสอบความขนานกันของเส้นตรง สองเส้นโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมภายในและมุมภายนอก 2. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายในและ มุมภายนอก กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 4 ขั้นนำ า 1. ครูทบทวนเกี่ยวกับมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดและมุมแย้ง โดยวาดรูป บนกระดาน และใช้การถามตอบ ดังนี้ จากรูป ถ้า AB // CD แล้วมุมคู่ใดบ้างที่มีขนาดเท่ากัน ทราบได้ อย่างไร [1 = 4 และ 2 = 3 เพราะเป็นมุมแย้งกัน] มุมใดบ้างที่รวมกันได้ 180 ° ทราบได้อย่างไร [1 กับ 3 และ 2 กับ 4 เพราะเป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด] ถ้าไม่ได้กำ า หนดให้ AB // CD เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่า AB และ CD ขนานกันหรือไม่ [ตรวจสอบได้โดยใช้สมบัติของ เส้นขนานที่กล่าวว่า ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้ สื่อและแหล่งเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 4 1. ชุดสำ า รวจเส้นขนาน แผนภาพเส้นขนาน มุมป้านสีส้ม 4 ชิ้น มุมป้านสีน้ำ า เงิน 2 ชิ้น มุมแหลมสีเขียว 2 ชิ้น มุมแหลมสีเหลือง 2 ชิ้น 2. แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและ มุมภายนอกกับมุมภายใน ชั่วโมงที่ 5 1. ชุดสำ า รวจเส้นขนาน แผนภาพเส้นขนาน มุมป้านสีส้ม 2 ชิ้น มุมป้านสีน้ำ า เงิน 2 ชิ้น มุมแหลมสีเขียว 2 ชิ้น มุมแหลมสีเหลือง 2 ชิ้น D C Y A B X 1 2 3 4
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 29 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง 3. ใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุม ภายในและมุมภายนอกในการแก้ปัญหา ด้านทักษะและกระบวนการ นักเรียนสามารถ 1. สื่อสารและสื่อความหมายแนวคิดในการ อธิบายการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับ มุมภายในและมุมภายนอก 2. ให้เหตุผลประกอบแนวคิดในการหา คำ า ตอบของปัญหาทางเรขาคณิต ด้านคุณลักษณะ 1. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ และ กระตือรือร้น ในการแสวงหาความรู้ 2. นักเรียนมีความมุ่งมั่น และไม่ย่อท้อ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 2. แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับ เส้นขนาน ชิ้นงาน/ภาระงาน 1. แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและ มุมภายนอกกับมุมภายใน 2. แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับ เส้นขนาน การวัดและประเมินผล 1. ตรวจแบบฝึกหัด 3 โดยตอบได้ถูกต้อง 2 ข้อ จาก 3 ข้อ 2. ตรวจแบบฝึกหัด 4 โดยตอบได้ถูกต้อง 4 ข้อ จาก 5 ข้อ M N 1 2 3 4 5 6 7 8 ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน หรือตรวจสอบโดยใช้ ทฤษฎีบทที่กล่าวว่า ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้ มุมแย้งมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน] ขั้นสอน 2. ครูแนะนำ า มุมภายนอกกับมุมภายใน โดยใช้ชุดสำ า รวจเส้นขนาน ดังนี้ 1) ครูเขียนมุมลงบนแผนภาพเส้นขนาน ดังรูป จากนั้น ครูแนะนำ า มุมภายนอกกับมุมภายใน ดังนี้ จากแผนภาพ เรียก 1, 2, 7 และ 8 ว่า มุมภายนอก เรียก 3, 4, 5 และ 6 ว่า มุมภายใน
30 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 3. นักเรียนมีเหตุผล ในการสนับสนุนหรือ โต้แย้งแนวคิดได้อย่างสมเหตุสมผล 4. นักเรียนมีการคิดเชิงระบบ สามารถ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็น ขั้นตอน โดยเลือกความรู้และเครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้อย่างเหมาะสม สมรรถนะที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียน 1. การจัดการตนเอง โดยการควบคุมและ กำ า กับตนเองในการใช้ความรู้เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกและ มุมภายในมาแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ 2. การสื่อสาร โดยอธิบายผ่านการเขียน หรือพูดในการแสดงแนวคิดด้วยภาษา และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ 2) ครูแนะนำ า มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด 2 คู่ ดังนี้ จากแผนภาพ เรียก 1 และ 5 ว่าเป็น มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด เรียก 7 และ 3 ว่าเป็น มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด 3) ครูให้นักเรียนสังเกตว่า มีมุมคู่ใดอีกบ้างที่เป็นมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ซึ่งจะพบว่า 2 และ 6, 8 และ 4 เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด 4) ครูให้นักเรียนพิจารณา 2 ถึง 8 ว่า มีมุมใดบ้างที่มีขนาดเท่ากับ 1 โดยให้ครูทำ า เครื่องหมายตามคำ า ตอบของนักเรียนบนแผนภาพเส้นขนาน จากนั้น ครูเฉลยคำ า ตอบโดยใช้การถามตอบเพื่อให้นักเรียนพิจารณา ทีละมุม พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ โดยในระหว่างการถามตอบ ให้ครู ติดมุมบนแผนภาพ ดังนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 31 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอก และมุมภายใน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง พิจารณา 2 ถึง 4 มุมใดมีขนาดเท่ากับ 1 เพราะเหตุใด [4 เพราะ 4 เป็นมุมตรงข้ามกับ 1] N 2 3 5 6 7 8 1 M 4 พิจารณา 5 และ 6 มุมใดมีขนาดเท่ากับ 4 เพราะเหตุใด [5 เพราะ 4 และ 5 เป็นมุมแย้งกัน] N 2 3 5 6 7 8 1 M 4
32 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 พิจารณา 7 และ 8 มุมใดมีขนาดเท่ากับ 5 เพราะเหตุใด [8 เพราะ 8 เป็นมุมตรงข้ามกับ 5] 5) ครูอธิบายว่า 1 และ 5, 8 และ 4 เป็นมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด และจะเห็นว่ามุมแต่ละคู่ มีขนาดเท่ากัน ดังรูป แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง 2 3 5 6 7 1 M 4 N 8
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 33 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 3. ครูแนะนำ า ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ดังนี้ จากนั้น ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า จากทฤษฎีบทข้างต้น เราสามารถพิจารณาได้ ดังนี้ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน จากนั้น ครูติดมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด คู่ที่เหลือบนแผนภาพเส้นขนาน พร้อมทั้งอธิบายว่า มุมแต่ละคู่มีขนาดเท่ากัน คู่ต่อคู่ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน
34 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 4. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ข้อที่ 1 บนกระดาน เพื่อฝึกการหาค่าที่โจทย์ต้องการ เมื่อกำ า หนดเส้นตรงที่ขนานกันมาให้ โดยใช้สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานที่ได้เรียนมา ดังนี้ ข้อที่ 1 จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง C Y A B X 92 o (3x +2) o F E D
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 35 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิธีทำ า เนื่องจาก AB // CD จะได้ XEB = EFD 3x + 2 = 92 3x = 90 ดังนั้น x = 30 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ มุม XEB มีขนาดเท่ากับมุม EFD หรือไม่ เพราะเหตุใด [เท่ากัน เพราะถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมีขนาด เท่ากัน] มุม XEB มีขนาดกี่องศา [3x + 2 องศา] มุม EFD มีขนาดกี่องศา
า ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ไปใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัด เรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัดโดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
[92 องศา] ค่า x เท่ากับเท่าใด [30] 5. ครูให้นักเรียนจับคู่ แล้วทำ า แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ข้อที่เหลือ เพื่อฝึกการนำ
180 องศา 2) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง
36 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ทั้งนี้ ครูอาจนำ า นักเรียนทำ า แบบฝึกหัดข้อท้าให้ลอง เพื่อฝึกตรวจสอบว่า เส้นในแนวตรงคู่ใดที่ขนานกัน โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและ มุมภายนอกกับมุมภายในที่ได้เรียนมา ขั้นสรุป 6. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกกับมุมภายใน ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน ชั่วโมงที่ 5 ขั้นนำ า 1. ครูนำ า นักเรียนทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน ดังนี้ 1) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 37 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 3) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน 2. ครูใช้ชุดสำ า รวจเส้นขนาน และอธิบายกับนักเรียนว่า กำ า หนดให้ AB // CD โดยที่ มีเส้นตัด XY ตัดเส้นตรงทั้งสอง จากนั้น ครูให้นักเรียนช่วยกันบอกว่า มุมคู่ใด ที่มีขนาดเท่ากันบ้าง พร้อมทั้งอธิบายเหตุผล แล้วให้ครูติดมุมสีต่าง ๆ ตามคำ า ตอบ ของนักเรียนลงบนแผนภาพเส้นขนาน ดังตัวอย่างในรูปต่อไปนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
38 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนาน บนกระดาน เพื่อฝึกการใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานในการแก้ปัญหา โดยครูแนะนำ า ว่า ในการแก้ปัญหาบางข้อ อาจต้องวาดรูปเพิ่มเติมเพื่อช่วยให้แก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น ดังนี้ ข้อที่ 1 จากรูป BE // DF จงหาค่าของ x วิธีทำ า ลาก CG ให้ขนานกับ DF จะได้ว่า CG ขนานกับ BE เนื่องจาก
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง D C A B F 112 o
o
o E
CG // DF จะได้ DCG + CDF = 180 ° DCG + 112 = 180 ดังนั้น DCG = 68 ° เนื่องจาก ACG + DCG = 124 ° จะได้ ACG = 56 °
124
x
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 39 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง เนื่องจาก CG // BE จะได้ ABE = ACG ดังนั้น x = 56 ก่อนการเขียนแสดงวิธีทำ า ให้ครูแนะนำ า ว่า โจทย์ข้อนี้เราจะเขียนรูปเพิ่ม เพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหา โดยลาก CG ให้ขนานกับ DF ดังรูป ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า เนื่องจาก BE // DF และ CG // DF แล้ว BE // CG เนื่องจากการขนานกันของเส้นตรงมีสมบัติถ่ายทอด
นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ เมื่อลาก CG ให้ขนานกับ DF แล้ว มุมใดที่มีขนาดเท่ากับ ABE เพราะเหตุใด [ACG เพราะ CG // BE และ ABE กับ ACG D C A B F 112 o 124 o x o E G
ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน
40 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด] เราต้องทราบขนาดของมุมใด จึงจะหาขนาดของมุม ACG ได้ [ขนาดของมุม DCG] เราจะหาขนาดของมุม DCG ได้อย่างไร [เนื่องจาก CG // DF ดังนั้น DCG + FDC = 180 ° ] เพราะเหตุใด มุม DCG และมุม CDF จึงมีขนาดรวมเป็น 180 องศา [เพราะเป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด] มุม DCG มีขนาดกี่องศา [68 องศา] เราจะหาขนาดของมุม ACG ได้อย่างไร [หาได้จาก ACG + DCG = 124 ° ] มุม ACG มีขนาดกี่องศา [56 องศา] ค่า x เท่ากับเท่าใด [56] ข้อที่ 2 จากรูป AB // CF จงหาค่าของ x + y แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง D A B F 42 o x o E 45 o y o C
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 41 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิธีทำ า เนื่องจาก AB // CF มี AF เป็นเส้นตัด จะได้ AFE = BAF ดังนั้น AFE = 45 ° พิจารณา ∆ AEF จะได้ EAF + 90 + 45 = 180 ดังนั้น y = 45 และเนื่องจาก AB // CF มี AD เป็นเส้นตัด
เนื่องจาก
CF
ทฤษฎีบทใด [ใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและ มีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน] แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
จะได้ CDA = DAB x = 42 + 45 + 45 ดังนั้น x = 132 นั่นคือ x + y = 132 + 45 = 177 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้
AB ขนานกับ
ดังนั้น เราจะหาค่า x ได้โดยใช้
42 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เราจะหาค่า x ได้อย่างไร [หาได้โดยพิจารณาจาก AB // CF ที่มี AD เป็นเส้นตัด ซึ่งจะทำ า ให้มุม CDA มีขนาดเท่ากับมุม DAB ดังนั้น x = 42 + y + 45] เนื่องจากในการหาค่า x เราจะต้องทราบค่า y ก่อน นักเรียนคิดว่า เราจะหาค่า y ได้อย่างไร [หาได้โดยพิจารณาจาก ∆ AEF ซึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดรวมกัน 180 องศา] ถ้าเราจะหาค่า y โดยพิจารณาจาก ∆ AE F จะต้องทราบขนาด ของมุมใดเพิ่มเติม [ต้องทราบขนาดของมุม AFE] มุม AFE มีขนาดกี่องศา นักเรียนทราบได้อย่างไร [45 องศา เพราะ AB // CF มี AF เป็นเส้นตัด จึงทำ า ให้มุม AFE และมุม BAF เป็นมุมแย้งกัน ดังนั้น AFE =
ค่า y
x
x +
4. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนนำ
โดยแนวคิดอื่น ๆ ที่เป็นไปได้มีดังนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
BAF]
เท่ากับเท่าใด [45] ค่า
เท่ากับเท่าใด [132]
y เท่ากับเท่าใด [177]
า เสนอแนวคิดอื่น ๆ ที่เป็นไปได้ของข้อที่ 2 เพิ่มเติม
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 43 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แนวคิดเพิ่มเติม 1 หาค่า y โดยใช้สมบัติที่ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 180 องศา หาค่า x โดยใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและ มีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แนวคิดเพิ่มเติม
มีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน และสมบัติที่ว่า
บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง D A B F 42 o x o E 45 o y o y + 45 = 90 x = 42 + y + 45 C
2 หาค่า x โดยใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและ
ถ้าเส้นตรง สองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่
44 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หาค่า y โดยใช้สมบัติที่ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและ มีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 180 องศา 5. ครูให้นักเรียนจับคู่ และทำ า แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนาน ข้อที่เหลือ เพื่อฝึกการนำ า สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานไปใช้ในการ แก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัดเรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัดโดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ ขั้นสรุป 6. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปสมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน โดยอาจใช้ ชุดสำ า รวจเส้นขนานเพื่อแสดงภาพประกอบการสรุป ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง x + (90 42) = 180 (90 42) o D A B F 42 o x o E 45 o y o C
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 45 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.2 เส้นขนานกับมุมนี้ที่คู่กัน เวลา 2 ชั่วโมง
46 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 สาระการเรียนรู้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยม ได้แก่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของขนาด ของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกและ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของ รูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอก ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวก ของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 6 ขั้นนำ า 1. ครูนำ า นักเรียนทบทวนรูปสามเหลี่ยมชนิดต่าง ๆ โดยติดบัตรภาพรูปสามเหลี่ยม ทั้งสี่ใบบนกระดาน แล้วให้นักเรียนระบุว่า รูปสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปเป็นรูปสามเหลี่ยม ชนิดใด และทบทวนว่า แต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยม เรียกว่า มุมภายในของ รูปสามเหลี่ยม 2. ครูทบทวนความรู้เกี่ยวกับผลรวมของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม โดยแจกกระดาษรูปสามเหลี่ยมให้นักเรียนคนละ 1 แผ่น ทั้งนี้ ให้ครูเตรียมกระดาษ รูปสามเหลี่ยมต่างชนิดกันและมีขนาดแตกต่างกันอย่างน้อย 5 แบบ จากนั้น ให้นักเรียนพับมุมของกระดาษรูปสามเหลี่ยมให้มุมต่อกัน ดังรูป สื่อและแหล่งเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 6 1. บัตรภาพรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า 2. กระดาษรูปสามเหลี่ยม 3. แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยม ชั่วโมงที่ 7 1. แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยม ชิ้นงาน/ภาระงาน 1. แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยม C A B แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 47 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ 1. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของ ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม 2. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอก และมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 3. ใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวม ของขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม และทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกและ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในการ แก้ปัญหา ด้านทักษะและกระบวนการ นักเรียนสามารถ 1. สื่อสารและสื่อความหมายแนวคิดในการ อธิบายการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต การวัดและประเมินผล 1. ตรวจแบบฝึกหัด 5 โดยตอบได้ถูกต้อง 5 ข้อ จาก 7 ข้อ C A B จากนั้น ให้นักเรียนสำ า รวจผลรวมของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม โดยสังเกตจากมุมของกระดาษที่นำ า มาต่อกันว่าเป็นมุมชนิดใด และมีขนาดเท่าใด ซึ่งจะพบว่า มุมทั้งสามเรียงต่อกันเป็นมุมตรง ซึ่งมีขนาด 180 องศา ขั้นสอน 3. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของขนาดของมุมภายใน รูปสามเหลี่ยม ดังนี้ ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา จากนั้น ครูอธิบายการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของขนาดของมุมภายใน ของรูปสามเหลี่ยม โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานในการให้เหตุผล โดยเขียน บนกระดานประกอบการอธิบาย ดังนี้ C A B
48 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 โดยใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม 2. ให้เหตุผลประกอบแนวคิดในการหา คำ า ตอบของปัญหาทางเรขาคณิต ด้านคุณลักษณะ 1. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ และ กระตือรือร้น ในการแสวงหาความรู้ 2. นักเรียนมีความมุ่งมั่น และไม่ย่อท้อ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 3. นักเรียนมีเหตุผล ในการสนับสนุนหรือ โต้แย้งแนวคิดได้อย่างสมเหตุสมผล 4. นักเรียนมีการคิดเชิงระบบ สามารถ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็น ขั้นตอน โดยเลือกความรู้และเครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้อย่างเหมาะสม กำ า หนดให้ ∆ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เราต้องการพิสูจน์ว่า ABC + BCA + CAB = 180 ° สร้าง DE ผ่านจุด C ให้ DE // AB เนื่องจาก AC และ BC เป็นเส้นตัด DE และ AB ซึ่งเส้นตัดทั้งสองจะทำ า ให้ เกิดมุมแย้งที่มีขนาดเท่ากัน
เพื่อฝึกการนำ า ทฤษฎีบทมาใช้ในการแก้ปัญหา ดังนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง D C B E A
ดังนั้น DCA = CAB และ ECB = ABC เนื่องจากมุม DCE เป็นมุมตรง จึงได้ว่า DCA + BCA + ECB = 180 ° และจากสมบัติของการเท่ากัน ทำ า ให้ได้ว่า CAB + BCA + ABC = 180 ° ดังนั้น ABC + BCA + CAB = 180 ° 4. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม บนกระดาน
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 49 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 สมรรถนะที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียน 1. การจัดการตนเอง โดยการควบคุม และกำ า กับตนเองในการใช้ความรู้ เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับ รูปสามเหลี่ยมมาแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ 2. การสื่อสาร โดยอธิบายผ่านการเขียน หรือพูดในการแสดงแนวคิดด้วยภาษา และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน กับรูปสามเหลี่ยม ข้อที่ 1 จากรูป BC // DE จงหาค่าของ x วิธีทำ า เนื่องจาก BC // DE จะได้ EDA = CBD = x ° พิจารณา ∆ ADE จะได้ EDA + DAE + AED = 180 ° x + 36 + 75 = 180 ดังนั้น x = 69 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง D A B 75 o E 36 o x o C
50 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ มุม EDA สัมพันธ์กับมุม CBD หรือไม่ เพราะเหตุใด [สัมพันธ์กัน เนื่องจาก BC ขนานกับ DE ทำ า ให้มุมทั้งสองมีขนาดเท่ากัน เพราะ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด ที่ตัดเส้นตรงที่ขนานกัน] มุม EDA มีขนาดกี่องศา [x องศา] เราจะหาขนาดของมุม EDA ได้อย่างไร [หาได้จากการพิจารณา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งรวมกัน เท่ากับ 180 องศา] ค่า x เท่ากับเท่าใด [69] ข้อที่ 2 จากรูป AB // CD และ AE // BC จงหาค่าของ x แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง D A B 120 o E C 74 o (2x) o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 51 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิธีทำ า เนื่องจาก AB // CD จะได้ ECB + 120 = 180 ดังนั้น ECB = 60 ° และเนื่องจาก AE // BC จะได้ DEA = ECB = 60 ° เนื่องจาก EAD + ADE + DEA = 180 ° จะได้ 2x + 74 + 60 = 180 ดังนั้น x = 23 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ เราจะหาค่า x ได้อย่างไร [หาได้จากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา] เราต้องทราบขนาดของมุมใด จึงจะหาค่าของ x ได้ [ต้องทราบ ขนาดของมุม DEA] มุม DEA สัมพันธ์กับมุม ECB หรือไม่ เพราะเหตุใด [สัมพันธ์กัน เนื่องจาก AE ขนานกับ BC ทำ า ให้มุมทั้งสองมีขนาดเท่ากัน เพราะเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด ที่ตัดเส้นตรงที่ขนานกัน] แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
52 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เราจะหาขนาดของมุม ECB ได้อย่างไร [หาได้โดยพิจารณาขนาด ของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ที่ตัดเส้นตรงที่ ขนานกัน ซึ่งมีขนาดของมุมรวมกันเป็น 180
มุม ECB
[60 องศา] ดังนั้น มุม DEA มีขนาดกี่องศา [60 องศา] เมื่อพิจารณา ∆ DAE จะพบว่ามีผลรวมของขนาดของมุมภายใน ทั้งสามมุมเป็นเท่าใด [180 องศา] เราหาค่า x ได้จากสมการใด [2x + 74 + 60 = 180] ค่า x เท่ากับเท่าใด [23] 5. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนนำ า เสนอแนวคิดอื่น ๆ ที่เป็นไปได้ในการหาค่าของ x จากโจทย์ข้อที่ 2 เพิ่มเติม โดยแนวคิดอื่น ๆ ที่เป็นไปได้มีดังนี้ แนวคิดเพิ่มเติม 1 หาขนาดของ EAB โดยพิจารณาจาก AE // BC ซึ่งจะได้ว่า EAB = 60 ° หาค่า x โดยพิจารณาจาก AB // CD ซึ่งจะได้สมการเป็น (60 + 2x) + 74 = 180 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
องศา]
มีขนาดกี่องศา
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 53 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แนวคิดเพิ่มเติม 2 หาขนาดของ CEA โดยพิจารณาจาก ABCE ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยม ด้านขนาน ทำ า ให้ได้ว่า CEA = 120 ° และเนื่องจาก DEC เป็น มุมตรง จึงได้ว่า DEA = 60 ° หาค่า x โดยพิจารณาจาก ∆ DAE ซึ่งจะได้สมการเป็น 60 + 2x + 74 = 180 6. ครูให้นักเรียนทำ า แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ข้อที่ 3 และ 4 เพื่อฝึกการนำ า สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานไปใช้ในการแก้ปัญหา ทางเรขาคณิตที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัดเรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัดโดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ ขั้นสรุป 7. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ
อาจมีได้หลายวิธี นักเรียนต้องแก้ปัญหาโดยให้เหตุผลที่ถูกต้อง จึงจะนำ า ไปสู่คำ า ตอบที่ถูกต้องได้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
180 องศา นอกจากนี้ ครูสรุปเพิ่มเติมว่า ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนาน
54 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ชั่วโมงที่ 7 ขั้นนำ า 1. ครูนำ า นักเรียนทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานและทฤษฎีบทเกี่ยวกับ รูปสามเหลี่ยม ดังนี้ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน เท่ากับ 180 องศา เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ขั้นสอน 2. ครูแนะนำ า มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม โดยเขียนบนกระดานประกอบการอธิบาย ดังนี้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 55 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง จากรูป กำ า หนด ∆ ABC และต่อ BC ออกไปทางจุด C ถึงจุด D เรียก ACD ว่า มุมภายนอกของ ∆ ABC เรียก ACB และ ACD ว่าเป็นมุมประชิด หรืออาจกล่าวว่า ACB เป็นมุมประชิดของ ACD 3. ครูแนะนำ า ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมอีกทฤษฎีบทหนึ่ง ดังนี้ ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอก ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด ของมุมภายนอกนั้น จากนั้น ครูยกตัวอย่างประกอบการอธิบาย เพื่อให้นักเรียนสังเกตขนาด ของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่กำ า หนดให้ว่าเป็นจริงตามที่ทฤษฎีบทกล่าวไว้ D A B C
56 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 4. ครูยกตัวอย่างโดยใช้แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม บนกระดาน เพื่อให้ นักเรียนฝึกการนำ า ทฤษฎีบทที่เรียนมาไปใช้ในการแก้ปัญหา ดังนี้ ข้อที่ 5 จากรูป จงหาขนาดของ ABE วิธีทำ า จากรูป BCD เป็นมุมตรง จะได้ BCE = 180 150 = 30 ° ดังนั้น ABE = BCE + BEC = 30 + 40 = 70 ° แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง D A B 65 o C 60 o 180 o (65 + 60) o = 55 o 180 o –55 o = 125 o หรือ 125 o = 60 o + 65 o E D A B C 150 o 40 o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 57 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในระหว่างการเขียนแสดงตัวอย่าง ให้ครูใช้การถามตอบเพื่อฝึกให้นักเรียน นำ า ความรู้มาใช้ในการให้เหตุผล ดังนี้ มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม BEC ได้แก่ มุมใดบ้าง [ABE และ ECD] เราจะหาขนาดของมุม ABE ได้โดยใช้ความรู้ใด [หาได้โดยใช้ ความรู้ที่ว่า มุมภายนอกจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของมุมภายใน ที่ไม่ใช่มุมประชิดนั้น] มุม ABE มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใดรวมกัน [BCE และ BEC] เราทราบมาแล้วว่ามุม BEC มีขนาด 40 องศา เราจะหาขนาดของ มุม BCE ได้อย่างไร เพราะเหตุใด [หาได้จาก BCD = BCE + ECD เพราะ BCD เป็นมุมตรง] มุม BCE มีขนาดกี่องศา [30 องศา] มุม ABE มีขนาดกี่องศา [70 องศา] 5. ครูแนะนำ า ว่าในการแก้ปัญหาข้อที่ 2 ในแบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม นอกจาก 3
ที่นักเรียนได้เรียนในชั่วโมงที่ผ่านมาแล้ว เราอาจใช้ความรู้ เกี่ยวกับมุมประชิดในการแก้ปัญหานี้ได้เช่นกัน ทั้งนี้ ครูอาจแสดงแนวคิดในการ แก้ปัญหาข้อดังกล่าวโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับมุมประชิด แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
แนวคิด
58 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 6. ครูให้นักเรียนทำ า แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ข้อที่ 6 และ 7 เพื่อฝึก การนำ า สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานไปใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ และเมื่อนักเรียนทำ า แบบฝึกหัดเรียบร้อยแล้ว ให้ครูนำ า เฉลยแบบฝึกหัด โดยให้นักเรียนช่วยกันบอกคำ า ตอบที่ได้ ขั้นสรุป 7. ครูนำ า นักเรียนร่วมกันสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้น จะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของ มุมภายนอกนั้น แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.3 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 59 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน เวลา 1 ชั่วโมง สาระการเรียนรู้ การนำ า ความรู้เกี่ยวกับบทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน ไปใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ 1. นักเรียนสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับ บทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานในการแก้ปัญหา ด้านทักษะและกระบวนการ นักเรียนสามารถ 1. สื่อสารและสื่อความหมายแนวคิดในการ อธิบายการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามและ ทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 8 ขั้นนำ า 1. ครูนำ า นักเรียนทบทวนสมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานต่อไปนี้ โดยใช้ ชุดสำ า รวจเส้นขนานประกอบการทบทวน ทั้งนี้ ครูอาจทบทวนโดยให้นักเรียน ช่วยกันบอกว่า มุมคู่ใดบ้างที่มีขนาดเท่ากัน พร้อมทั้งอธิบายสมบัติหรือทฤษฎีบท เกี่ยวกับเส้นขนานที่รองรับคำ า ตอบนั้น แล้วให้ครูติดมุมตามคำ า ตอบของนักเรียน 1) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา สื่อและแหล่งเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 8 1. ชุดสำ า รวจเส้นขนาน แผนภาพเส้นขนาน มุมป้านสีส้ม 2 ชิ้น มุมป้านสีน้ำ า เงิน 2 ชิ้น มุมแหลมสีเขียว 2 ชิ้น มุมแหลมสีเหลือง 2 ชิ้น 2. อุปกรณ์กิจกรรมเกมคิดให้ได้ตอบให้เร็ว บัตรคำ า ถาม จำ า นวน 20 ใบ ชิ้นงาน/ภาระงาน
60 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 2. ให้เหตุผลประกอบแนวคิดในการหา คำ า ตอบของปัญหาทางเรขาคณิต ด้านคุณลักษณะ 1. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ และ กระตือรือร้น ในการแสวงหาความรู้ 2. นักเรียนมีความมุ่งมั่น และไม่ย่อท้อ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 3. นักเรียนมีเหตุผล ในการสนับสนุนหรือ โต้แย้งแนวคิดได้อย่างสมเหตุสมผล 4. นักเรียนมีการคิดเชิงระบบ สามารถ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็น ขั้นตอน โดยเลือกความรู้และเครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้อย่างเหมาะสม สมรรถนะที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียน 1. การจัดการตนเอง โดยการควบคุมและ กำ า กับตนเองในการใช้ความรู้เกี่ยวกับ การวัดและประเมินผล 1. ประเมินจากแนวคิดในการหาคำ า ตอบ ของกิจกรรมเกมคิดให้ได้ตอบให้เร็ว โดยนักเรียนส่วนใหญ่สามารถอธิบาย แนวคิดในการหาคำ า ตอบที่แสดงถึง การนำ า ความรู้มาใช้ได้อย่างถูกต้องและ สมเหตุสมผล 2) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน 3) เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน 2. ครูนำ า นักเรียนทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ได้แก่ 1) ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา 2) ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้น จะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด ของมุมภายนอกนั้น ขั้นสอน 3. ครูให้นักเรียนทำ า กิจกรรมคิดให้ได้ตอบให้เร็ว เพื่อฝึกการนำ า ความรู้เกี่ยวกับบทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานไปใช้ในการแก้ปัญหา โดยมีขั้นตอนการทำ า กิจกรรม ดังนี้ 1) ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4 คน แล้วให้แต่ละกลุ่มแบ่งออกเป็น 2 ทีม ทีมละ 2 คน แล้วให้ตัวแทนกลุ่มออกมารับบัตรคำ า ถาม กลุ่มละ 20 ใบ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน เวลา 1 ชั่วโมง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 61 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 บทนิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง กับเส้นขนานมาแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ที่กำ า หนดให้ 2. การสื่อสาร โดยอธิบายผ่านการเขียน หรือพูดในการแสดงแนวคิดด้วยภาษา และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต โดยใช้ ความรู้เกี่ยวกับบทนิยามและทฤษฎีบท ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน 2) ให้นักเรียนคว่ำ า แล้วสลับบัตรทั้งหมดบนโต๊ะ โดยไม่ให้ทีมใดเห็นคำ า ถาม บนบัตรก่อน จากนั้น เลือกทีมที่จะเล่นก่อน ซึ่งทั้งสองทีมจะสลับกัน เปิดบัตรคำ า ถาม 3) ให้ทีมที่เล่นก่อนเลือกหงายบัตรคำ า ถาม 1 ใบ แล้ววางไว้กลางโต๊ะ จากนั้น ทั้งสองทีมต้องรีบหาคำ า ตอบของคำ า ถามที่อยู่บนบัตรให้ถูกต้อง หากทีมใด หาคำ า ตอบได้แล้ว ให้หยิบบัตรคำ า ถามนั้นแล้วจึงบอกคำ า ตอบที่หาได้ทันที โดยให้อีกทีมหนึ่งตรวจสอบคำ า ตอบว่าถูกต้องหรือไม่ ทั้งนี้ ทีมที่เป็นฝ่าย ตอบคำ า ถามสามารถอธิบายวิธีหาคำ า ตอบเพิ่มเติมได้ 4) ให้ทีมที่หยิบบัตรคำ า ถามได้และตอบคำ า ถามถูกต้อง เก็บบัตรคำ า ถามนั้นไว้ แต่หากตอบผิด ทีมตรงข้ามจะมีโอกาสตอบคำ า ถามนี้อีกครั้ง โดยถ้า ทีมตรงข้ามตอบถูกต้อง ให้ทีมตรงข้ามเก็บบัตรคำ า ถามไว้ แต่ถ้าตอบ ไม่ถูกต้อง บัตรคำ า ถามนี้จะต้องวางไว้นอกกองแล้วจดหมายเลขข้อคำ า ถาม นั้นไว้ และไม่นำ า กลับมาเล่นซ้ำ า อีก 5) ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มเล่นจนกว่าบัตรคำ า ถามบนโต๊ะหมด ทีมใดที่มี จำ า นวนบัตรคำ า ถามมากกว่าจะเป็นฝ่ายชนะ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน เวลา 1 ชั่วโมง
62 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 4. ครูเฉลยคำ า ตอบของบัตรคำ า ถาม โดยอาจสุ่มให้นักเรียนอธิบายแนวคิดหรือให้ นักเรียนในห้องร่วมกันเฉลยคำ า ตอบ โดยพิจารณาคำ า ถามที่นักเรียนตอบไม่ได้ ระหว่างทำ า กิจกรรม หรือคำ า ถามที่มีความซับซ้อน นอกจากนี้ ครูอาจให้นักเรียน แสดงแนวคิดที่หลากหลายในการหาคำ า ตอบของคำ า ถามเดียวกันได้ ขั้นสรุป 5. ครูนำ า นักเรียนสรุปบทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน รวมถึง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรง ทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน
ก็ต่อเมื่อ
เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน เวลา 1 ชั่วโมง
เท่ากับ 180 องศา เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน
มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 63 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอก ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น นอกจากนี้ ครูสรุปเพิ่มเติมว่า ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนาน อาจมีได้ หลายวิธี นักเรียนต้องแก้ปัญหาโดยให้เหตุผลที่ถูกต้อง จึงจะนำ า ไปสู่คำ า ตอบ ที่ถูกต้องได้ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เรื่องที่ 10.4 เส้นขนานนี้...อย่าคิดนาน เวลา 1 ชั่วโมง
64 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 65 แบบทดสอบ ท้ายหน่วยการเรียนรู้และเฉลย
66 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เวลาสอบ 40 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน ชื่อ–สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ คำาชี้แจง แบบทดสอบฉบับนี้ เป็นข้อสอบแบบเลือกตอบ มีทั้งหมด 15 ข้อ ให้นักเรียนเขียน ล้อมรอบตัวเลือกที่ถูกที่สุด 1. จากรูป AB // CD มุมในข้อใดมีขนาดเท่ากันทั้งหมด (1 คะแนน) ก. 1, 2, 3 และ 4 ข. 1,
5 และ 6 ค. 3,
5 และ 6
6 และ 7 2. AB และ CD ในข้อใด ไม่สามารถบอกได้ว่าขนานกัน (2 คะแนน) ก. ข. ค. ง. แบบทดสอบท้ายหน่วยการเรียนรู้ A B C D A B D C A B D C A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A B Y X
2,
4,
ง. 2, 3,
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 67 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 3. จากรูป AB // CD แล้ว FEB มีขนาดกี่องศา
MN // OP ข้อใดไม่ถูกต้อง
CD
E D A B C 106 o F 72 o (x
o A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 A M N O P B D C
(1 คะแนน) ก. 74 ข. 84 ค. 90 ง. 106 4. จากรูป
(2 คะแนน) ก. 1 + 7 = 180° ข. 3 + 4 = 180° ค. 4 + 6 = 180° ง. 8 + 6 = 180° 5. จากรูป AB //
จงหาค่าของ x (1 คะแนน) ก. 71 ข. 72 ค. 73 ง. 74
1)
68 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 6. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x
7. จากรูป ส่วนของเส้นตรงใดที่ขนานกับ AB
8. จากรูป ABC มีขนาดกี่องศา
9. จากรูป DCA มีขนาดกี่องศา
A C B 60 o 40 o (2x) o 122 o A B D C 36 o A B D C E 39 o 81 o 81 o 100 o 100 o A C E G B D F H
(1 คะแนน) ก. 244 ข. 122 ค. 120 ง. 61
(1 คะแนน) ก. CD ข. EF ค. GH ง. ไม่มีส่วนของเส้นตรงใดขนานกับ AB
(1 คะแนน) ก. 60 ข. 75 ค. 80 ง. 90
(1 คะแนน) ก. 75 ข. 85 ค. 95 ง. 105
x + y (1 คะแนน) ก. 240 ข. 280 ค. 300 ง. 320 11. จากรูป DE // BC แล้ว DAE มีขนาดกี่องศา (1 คะแนน) ก. 35 ข. 45 ค. 70 ง. 75 12. จากรูป AB // CE ข้อใดไม่ถูกต้อง (1 คะแนน)
ก. 1 + 2 = 5 ข. 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 4 ค. 3 + 4 = 1 ง. 2 + 3 = 5
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 69 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 10. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ
x
x
y
13. จากรูป จงหาค่าของ x + y (2 คะแนน) ก. 110 ข. 124 ค. 126 ง. 154 A B C D E 35 o 75 o A B C D E 1 2 3 4 5
o y o 70 o 54 o 56 o A B C D E F
o A B G C D F E
o 140 o
70 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 14. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x (2 คะแนน)
15. จากรูป AB // EF แล้ว XYZ มีขนาดกี่องศา (2 คะแนน)
x o 32 o 54 o 108 o A B C D E F 145 o E Z A X B Y
ก. 110 ข. 108 ค. 104 ง. 72
ก. 88 ข. 89 ค. 90 ง. 91
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 71 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบทดสอบท้ายหน่วยการเรียนรู้ 1. ข้อ ง แนวคิด เนื่องจาก 2 และ 3 เป็นมุมตรงข้ามกัน จะได้ 2 = 3 6 และ 7 เป็นมุมตรงข้ามกัน จะได้ 6 = 7 และ 3 และ 6 เป็นมุมแย้งกัน และ AB // CD จะได้ 3 = 6 ดังนั้น 2 = 3 = 6 = 7 2. ข้อ ง แนวคิด ข้อ ก ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้น จะขนานกัน ข้อ ข ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำาให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ข้อ ค ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำาให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน 3. ข้อ ก แนวคิด เนื่องจาก FEB และ EFD เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และ AB // CD ดังนั้น FEB = 180 106 = 74° 4. ข้อ ข แนวคิด ข้อ ก เนื่องจาก 7 และ 3 เป็นมุมภายในและมุมภายนอกที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด ตามลำาดับ และ MN // OP จะได้ 3 = 7 และเนื่องจาก 1 + 3 เป็นมุมตรง ดังนั้น 1 + 7 = 180° ข้อ ข เนื่องจาก 3 และ 4 เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด แต่ไม่ทราบว่า AB และ CD ขนานกันหรือไม่ ดังนั้น ไม่สามารถสรุปได้ว่า 3 + 4 = 180° ข้อ ค เนื่องจาก 4 และ 6 เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และ MN // OP ดังนั้น 4 + 6 = 180° ข้อ ง เนื่องจาก 8 + 6 เป็นมุมตรง ดังนั้น 8 + 6 = 180°
72 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 5. ข้อ ค แนวคิด เนื่องจาก AB // CD จะได้ x 1 = 72 ดังนั้น x = 73 6. ข้อ ง แนวคิด เนื่องจาก AB // CD จะได้ 2x = 122 ดังนั้น x = 61 7. ข้อ ข แนวคิด เมื่อพิจารณามุมตรงและมุมตรงข้าม จะได้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ดังรูป เนื่องจาก ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ า ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรง คู่นั้นขนานกัน ดังนั้น AB // EF 8. ข้อ ค แนวคิด เนื่องจาก ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา จะได้ ABC + 40 + 60 = 180 ดังนั้น ABC = 80° 9. ข้อ ก แนวคิด เนื่องจาก ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมี ขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น ดังนั้น DCA = 36 + 39 = 75° 81 o 81 o 100 o 100 o A C E G B D F H 99 o 100 o 99 o
180 องศา จะได้ 2 + 3 + 4 = 180° เนื่องจาก 1 + 2 และ 4 เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 73 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 10. ข้อ ข แนวคิด เนื่องจาก EFB เป็นมุมตรงข้ามกับ AFG และ FGD เป็นมุมแย้งกับ AFG โดยที่ AB // CD จะได้ EFB = FGD = AFG = 140° ดังนั้น x + y = 140 + 140 = 280 11. ข้อ ค แนวคิด เนื่องจาก DE // BC จะได้ ADE = ABC = 75° พิจารณา ∆ADE จะได้ DAE + 75 + 35 = 180 ดังนั้น DAE = 70° 12. ข้อ ค แนวคิด ข้อ ก ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมีมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เมื่อพิจารณาเส้นตัด BD จะได้ว่า 1 + 2 = 5 ข้อ ข เนื่องจาก ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ
BD และ AB // CE จะได้ 1 + 2 + 4 = 180° ดังนั้น 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 4 ข้อ ง ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมี ขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น ดังนั้น 2 + 3 = 5 13. ข้อ ข แนวคิด พิจารณา ∆ABC จะได้ x + y = BCE ดังนั้น x + y = 70 + 54 = 124°
74 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 14. ข้อ ค แนวคิด เนื่องจาก
AB // CD จะได้ BAC + 108 = 180 ดังนั้น BAC = 72° พิจารณา ∆ABE จะได้ x = BAC + ABE ดังนั้น x = 72 + 32 = 104 15. ข้อ ข แนวคิด ลาก YV ให้ขนานกับ AB จะได้ AB // YV และ YV // EF เนื่องจาก AB // YV จะได้ XYV + 145 = 180 ดังนั้น XYV = 35° เนื่องจาก YV // EF จะได้ VYZ = EZY ดังนั้น VYZ = 54° นั่นคือ XYZ = XYV + VYZ = 35 + 54 = 89° 54 o F 145 o E Z A X B Y V
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 75 เฉลยแบบฝึกหัด และใบกิจกรรม
76 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย ใบกิจกรรม 1 : ตามหาความจริง คำาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาว่า ส่วนของเส้นตรงในแนวนอนทั้งหมดของรูปที่กำาหนดให้ ขนานกันหรือไม่ นักเรียนคิดว่า ส่วนของเส้นตรงในแนวนอนทั้งหมดขนานกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ ขนานกัน เพราะเมื่อวัดระยะห่างระหว่างส่วนของเส้นตรงแต่ละคู่ จะพบว่ามีระยะห่าง เท่ากันเสมอ
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 77 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบฝึกหัด 1 : เส้นขนานและมุมภายใน 1 2 3 4 D C A B Y X กำาหนดให้ AB // CD จะได้ 1 + 3 = 180° และ 2 + 4 = 180° ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา ตอนที่ 1 คำาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาว่า AB และ CD ในแต่ละข้อต่อไปนี้ขนานกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1. ตอบ D C A B 117 o 64 o AB และ CD ไม่ขนานกัน เพราะขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 117 + 64 = 181 องศา ซึ่งไม่เท่ากับ 180 องศา
78 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 2. ตอบ 3. ตอบ D A B 124 o 56 o 141 o 140 o D A B F G C C E AB และ CD ขนานกัน เพราะขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกับเท่ากับ 56 + 124 = 180 องศา AB และ CD ไม่ขนานกัน เพราะ BFG = 180 141 = 39 องศา และขนาด ของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน เท่ากับ 140 + 39 = 179 องศา ซึ่งไม่เท่ากับ 180 องศา
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 79 ตอนที่ 2 คำาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนแสดงแนวคิดเพื่อหาค่าที่โจทย์ต้องการทราบให้สมบูรณ์ 1. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x วิธีทำา 2. จากรูป AC // DE จงหาค่าของ x + y วิธีทำา D C A B 142 o x o D C A B 152 o y o x o E เนื่องจาก AB // CD จะได้ x +
ดังนั้น
เนื่องจาก AC // DE จะได้
และ
142 = 180
x = 38
x + 90 = 180 ดังนั้น x = 90
y + 152 = 180 ดังนั้น y = 28 นั่นคือ x + y = 90 + 28 = 118
80 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 3. จากรูป AD // BF จงหาค่าของ x วิธีทำา D C A B 50 o x o E F จากรูป จะได้ BCD = 50° เนื่องจาก AD // BF จะได้ x + 50 = 180 ดังนั้น x = 130
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 81 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย ใบกิจกรรม 2 : มุมแย้งบอกได้ คำาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนเส้นตัด XY ตัด AB และ CD โดยให้ จุด M และจุด N เป็นจุดตัดบน AB และ CD ตามลำาดับ จากนั้น วัดขนาดของมุมแย้ง แล้วเติมคำาตอบลงในตารางให้สมบูรณ์ 1. 2. มุมแย้ง ชื่อมุม ขนาด ของมุม คู่ที่ 1 AMN DNM คู่ที่ 2 BMN CNM D C A B มุมแย้ง ชื่อมุม ขนาด ของมุม คู่ที่ 1 AMN DNM คู่ที่ 2 BMN CNM D C B A Y X คำาตอบมีได้หลากหลาย ขึ้นอยู่กับการลาก XY Y X M N N M
82 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบฝึกหัด 2 : เส้นขนานและมุมแย้ง กำาหนดให้ AB // CD จะได้ 1 = 4 และ 2 = 3 1 2 3 4 D C A B Y X ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ตอนที่ 1 คำาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนแสดงแนวคิดเพื่อหาค่าที่โจทย์ต้องการทราบให้สมบูรณ์ 1. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x วิธีทำา D C A B Q P O 107 o x o เนื่องจาก QO ตัดกับ AB ที่จุด P จะได้ APQ = 107° เนื่องจาก AB // CD จะได้ APQ = PQD ดังนั้น x = 107
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 83 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 2. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x y วิธีทำา 3. จากรูป AB // CD และ CD // EF จงหาขนาดของ XYZ วิธีทำา D C A B N M 80 o y o x o D C A B Y X 60 o 42 o F E Z เนื่องจาก AB // CD จะได้ AMN = MND ดังนั้น y = 80 และเนื่องจาก AMN + BMN = 180° จะได้ x = 180 80 = 100 ดังนั้น x y = 100 80 = 20 เนื่องจาก AB // CD จะได้ XYD = 42° เนื่องจาก CD // EF จะได้ DYZ = 60° เนื่องจาก XYZ =
จะได้ XYZ =
+ 60 ดังนั้น XYZ =
องศา
XYD + DYZ
42
102
84 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 4. จากรูป AB // CD และ CD // EF จงหาขนาดของ XYZ วิธีทำา Y X 132 o Z 30 o ท้าให้ลอง จากรูปที่กำาหนดให้ จงแสดงว่าเส้นตรง รังสี หรือส่วนของเส้นตรงคู่ใดขนานกัน 1) วิธีทำา 75 o A B D C E 75 o A B D C F E เนื่องจาก AB // CD จะได้ XYC = 30° เนื่องจาก CD // EF จะได้ CYZ = 180 132 = 48° เนื่องจาก XYZ = XYC + CYZ จะได้ XYZ = 30 + 48 ดังนั้น XYZ = 78 องศา เนื่องจาก DE และ BC มี AB เป็นเส้นตัด ทำาให้ได้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน คือ 75 องศา ดังนั้น DE // BC
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 85 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน ท้าให้ลอง 2) วิธีทำา A B D C 68 o 22 o เนื่องจาก AB และ CD มี AD เป็นเส้นตัด และ BAD = 90 68 = 22 องศา เนื่องจาก BAD และ ADC เป็นมุมแย้งกัน จึงมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น AB // CD
86 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบฝึกหัด 3 : เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน ตอนที่ 1 คำาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนแสดงแนวคิดเพื่อหาค่าที่โจทย์ต้องการทราบให้สมบูรณ์ 1. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x วิธีทำา กำาหนดให้ AB // CD จะได้ 1 = 5 2 = 6 7 = 3 และ 8 = 4 Y X (3x + 2) o A B D C F E 92 o 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A B Y X เนื่องจาก AB // CD จะได้ XEB = EFD 3x + 2 = 92 3x = 90 ดังนั้น x = 30
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 87 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 2. จากรูป AB // CD จงหาค่าของ x y วิธีทำา 3. จากรูป CD // EF จงหาค่าของ x วิธีทำา A B D C E 46 o x o y o 56 o A B D C E 70 o x o 120 o N M F เนื่องจาก AB // CD จะได้ BAC = DCE ดังนั้น x = 56 และ BCD = ABC ดังนั้น y = 46 นั่นคือ x y = 56 46 = 10 เนื่องจาก CD // EF จะได้ MND + DNF = AMD 70 + x = 120 ดังนั้น x = 50
88 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน ท้าให้ลอง จากรูปที่กำาหนดให้ จงแสดงว่ารังสีคู่ใดขนานกัน วิธีทำา H A B D C F E 30 o G 60 o 61 o เนื่องจาก CAH = 90° จะได้ CAE = 90 60 = 30 องศา และเนื่องจาก BD และ AE มี AC เป็นเส้นตัด แล้วทำาให้ CBD และ CAE ซึ่งเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น BD // AE
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 89 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบฝึกหัด 4 : การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนาน ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ ชื่อ สกุล ชั้น ม.2/ เลขที่ คำาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนแสดงแนวคิดเพื่อหาค่าที่โจทย์ต้องการทราบให้สมบูรณ์ 1. จากรูป BE // DF จงหาค่าของ x วิธีทำา A B D C F E 124 o 112 o x o MATH G ลาก CG ให้ขนานกับ DF ซึ่งจะได้ CG ขนานกับ BE เนื่องจาก CG // DF จะได้ DCG + CDF = 180° DCG + 112 = 180 ดังนั้น DCG = 68° เนื่องจาก ACG + DCG = 124° จะได้ ACG = 56° เนื่องจาก CG // BE จะได้ ABE = ACG ดังนั้น x = 56
y = 45 เนื่องจาก AB // CF มี AD เป็นเส้นตัด จะได้ CDA = DAB x = 42 + 45 + 45 ดังนั้น x = 132 นั่นคือ x + y = 132 + 45 = 177 เนื่องจาก BC // DF มี DA เป็นเส้นตัด จะได้ ABC = BDF ดังนั้น y = 85 เนื่องจาก BC // DF มี BE เป็นเส้นตัด จะได้ CBE + BEF = 180° x + 135 = 180 ดังนั้น x = 45 นั่นคือ 2x y = 2(45) 85 = 5
90 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 2. จากรูป AB // CF จงหาค่าของ x + y วิธีทำา 3. จากรูป BC // DF จงหาค่าของ 2x y วิธีทำา A B C E x o D F 42 o 45 o y o F A B C E D x o y o 85 o 135 o เนื่องจาก AB // CF มี AF เป็นเส้นตัด จะได้ AFE = BAF ดังนั้น AFE = 45° พิจารณา ∆AEF จะได้ EAF + 90 + 45 = 180 ดังนั้น
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 91 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 4. จากรูป AE // CF จงหาค่าของ 2(x y) วิธีทำา 5. จากรูป AB // CD และ BC // DE จงหาค่าของ x วิธีทำา F A B C E D x o y o 58 o 120 o A B C E D x o 41 o เนื่องจาก AE // CF มี BD เป็นเส้นตัด จะได้ DBF + EDB = 180° y + 120
ดังนั้น y = 60 และ CBD = EDB x + 58 = 120
= 180
ดังนั้น x = 62 นั่นคือ 2(x y) = 2(62 60) = 4 เนื่องจาก AB // CD มี BC เป็นเส้นตัด จะได้ BCD = ABC ดังนั้น BCD = 41° เนื่องจาก BC // DE มี CD เป็นเส้นตัด จะได้ BCD = CDE ดังนั้น x = 41
92 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย แบบฝึกหัด 5 : เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้น จะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของ มุมภายนอกนั้น 1. จากรูป BC // DE จงหาค่าของ x วิธีทำา 1 2 3 C A B 1 + 2 + 3 = 180° D A B 75 o E 36 o x o C 1 2 3 C A B D 3 = 1 + 2 เนื่องจาก BC // DE จะได้ CBD = EDA = x ° พิจารณา ∆ADE จะได้ EDA + DAE + AED = 180° x + 36 + 75 = 180 ดังนั้น x = 69
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 93 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 2. จากรูป AB // CD และ AE // BC จงหาค่าของ x วิธีทำา 3. จากรูปจงหาค่าของ x วิธีทำา D A B 120 o E C 74 o (2x) o A B C E D x o 70 o 48 o G F เนื่องจาก AB // CD จะได้ ECB + 120 = 180 ดังนั้น ECB = 60° และเนื่องจาก AE // BC จะได้ DEA = ECB = 60° เนื่องจาก EAD + ADE + DEA = 180° จะได้ 2x + 74 + 60 = 180 ดังนั้น x = 23 เนื่องจาก AGF = CGE จะได้ AGF = 70° พิจารณา ∆AFG จะได้ FAG + GFA + AGF = 180° 48 + x + 70 = 180 ดังนั้น x = 62
x + 2x + 3x = 180 6x = 180
2(30) = 60°
3(30) = 90°
BCD เป็นมุมตรง
BCE = 180 150 = 30°
ABE = BCE + CEB = 30 + 40 = 70°
94 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 4. จากรูป จงหาขนาดของมุมแต่ละมุมภายในรูปสามเหลี่ยม ABC วิธีทำา 5. จากรูป จงหาขนาดของ ABE วิธีทำา E D A B C 150 o 40 o A B C (2x) o (3x) o x o เนื่องจาก
จะได้
ดังนั้น
ABC + BCA + CAB = 180°
x = 30 นั่นคือ ABC = 30° BCA =
และ CAB =
จากรูป
จะได้
ดังนั้น
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 95 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 6. จากรูป จงหาขนาดของ CAB วิธีทำา 7. จากรูป จงหาขนาดของ ABE วิธีทำา A B C 68 o D E 38 o 61 o E D A B C 54 o 47 o 43 o C A B จากรูป BCE เป็นมุมภายนอกของ ∆DEC จะได้ BCE = 68 + 38 = 106° จากรูป BCE เป็นมุมภายนอกของ ∆ABC จะได้ CAB + ABC = BCE CAB + 61 = 106 ดังนั้น CAB = 45° จากรูป BEA เป็นมุมภายนอกของ ∆DEC จะได้ BEA = 47 + 43 = 90° พิจารณา ∆AEB จะได้ EAB + BEA + ABE = 180° 54 + 90 + ABE = 180 ดังนั้น ABE = 36°
96 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน เฉลย กิจกรรม : คิดให้ได้ตอบให้เร็ว บัตรคำาถาม คำาตอบ 60 40 108 90
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 97 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรคำาถาม คำาตอบ 114 113 99 50
98 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรคำาถาม คำาตอบ 110 45 32 70
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 99 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรคำาถาม คำาตอบ 130 75 100 ขนานกัน
100 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรคำาถาม คำาตอบ ขนานกัน ขนานกัน ไม่ขนานกัน ไม่ขนานกัน
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 101 บัตรภาพ บัตรคำา และสื่อต่าง ๆ
102 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรางรถไฟ สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ชั่วโมงที่ 1
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 103 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรั้ว สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ชั่วโมงที่ 1
104 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพเส้นบรรทัดในสมุด สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ชั่วโมงที่ 1
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 105 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพทางม้าลาย สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ชั่วโมงที่ 1
106 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพลวงตา สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ชั่วโมงที่ 1
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 107 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 ชั่วโมงที่ 6
108 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 ชั่วโมงที่ 6
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 109 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 ชั่วโมงที่ 6
110 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรภาพรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 ชั่วโมงที่ 6
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 111 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน บัตรคำาถาม สำาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 ชั่วโมงที่ 8 1 จากรูป จงหาค่าของ x (2x)o x o 2 จากรูป จงหาค่าของ x (3x)o 120o
112 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 3 จากรูป จงหาค่าของ x 4 จากรูป จงหาค่าของ x 108o x o x o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 113 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 5 จากรูป จงหาค่าของ x 6 จากรูป จงหาค่าของ x x o 66o x o 113o
114 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 7 จากรูป จงหาค่าของ x 8 จากรูป จงหาค่าของ x 99o x o x o 50o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 115 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 9 จากรูป จงหาค่าของ x 10 จากรูป จงหาค่าของ x x o 70o x o 45o
116 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 11 จากรูป จงหาค่าของ x 12 จากรูป จงหาค่าของ x x o 28o 120o x o 110o
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 117 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 13 จากรูป จงหาค่าของ x 14 จากรูป จงหาค่าของ x x o 110o 20o x o 60o 45o
118 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 15 จากรูป จงหาค่าของ x 16 x o 60o 40o จากรูป AB ขนานกับ CD หรือไม่ 72o 72o A B C D
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 119 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 17 18 จากรูป AB ขนานกับ CD หรือไม่ A B C D B D 65o 115o A C จากรูป AB ขนานกับ CD หรือไม่
120 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 เส้นนี้ที่คู่กัน 19 20 B D 110o A C 80o จากรูป AB ขนานกับ CD หรือไม่ จากรูป AB ขนานกับ CD หรือไม่ 99o 90o B D A C
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 121
กระทรวงศึกษ�ธิก�ร. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ ชุมนุมสหกรณ์ก�รเกษตรแห่งประเทศไทย.
ร�ชบัณฑิตยสถ�น. (2543). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พิมพ์ครั้งที่ 10). กรุงเทพฯ: น�นมีบุ๊คส์พับลิเคชั่นส์.
ร�ชบัณฑิตยสถ�น. (2556). พจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พิมพ์ครั้งที่ 10). กรุงเทพฯ: น�มมีบุ๊คส์พับลิเคชั่นส์.
ร�ชบัณฑิตยสถ�น. (2558). พจนานุกรมคำาใหม่ เล่ม 1–2 ฉบับราชบัณฑิตยสถาน. กรุงเทพฯ: น�มมีบุ๊คส์พับลิเคชั่นส์. สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี. (2555). ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (พิมพ์ครั้งที่ 3).
122 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
2 บรรณานุกรม
(สำาหรับครูผู้สอน)
ภาคเรียนที่
กรุงเทพฯ: 3-คิว มีเดีย. สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี.
คู่มือการใช้หลักสูตร กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ระดับมัธยม ศึกษาตอนต้น. สืบค้นจ�ก www.scimath.org สถ � บันส่งเสริมก � รสอนวิทย � ศ � สตร์และเทคโนโลยี. (2562). คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยม ศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2 ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. สืบค้นจ�ก www.scimath.org สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี.
ศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2 ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 5). กรุงเทพฯ: สำ�นักพิมพ์จุฬ�ลงกรณ์มห�วิทย�ลัย.
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์ก�รเกษตรแห่งประเทศไทย. สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น. (2565). สมรรถนะหลัก 6 ด้าน. สืบค้นจ�ก https://cbethailand.com สำ�นักง�นร�ชบัณฑิตยสภ�.
พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์
สหมิตรพริ้นติ้งแอนด์พับลิสชิ่ง.
(2561).
(2562). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยม
สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น. (2560). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ:
(2559).
ฉบับราชบัณฑิตยสภา (พิมพ์ครั้งที่ 11). กรุงเทพฯ:
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 123 คณะผู้จัดทำา ที่ปรึกษาสำานักงานโครงการส่วนพระองค์สมเด็จพระกนิษฐาธิราชเจ้า กรมสมเด็จพระเทพรัตนราชสุดา ฯ สยามบรมราชกุมารี คุณหญิงกษม� วรวรรณ ณ อยุธย� ที่ปรึกษ�โครงก�รส่วนพระองค์สมเด็จพระกนิษฐ�ธิร�ชเจ้� กรมสมเด็จพระเทพรัตนร�ชสุด� ฯ สย�มบรมร�ชกุม�รี น�ยสมเกียรติ ชอบผล ประจำ�สำ�นักพระร�ชวังพิเศษ ระดับ 10 น�งมัณฑน� ศังขะกฤษณ์ ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ ที่ปรึกษา น�ยอัมพร พินะส� เลข�ธิก�รคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น น�งเกศทิพย์ ศุภว�นิช รองเลข�ธิก�รคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น น�ยสุช�ติ วงศ์สุวรรณ ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ น�ยชัยพฤกษ์ เสรีรักษ์ ผู้ทรงคุณวุฒิ สำ�นักนโยบ�ยและแผนก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น รองศ�สตร�จ�รย์ทิศน� แขมมณี ร�ชบัณฑิต น�งเบญจลักษณ์ น้ำ�ฟ้� ที่ปรึกษ�พิเศษ สำ�นักง�นคณะกรรมก�รก�รศึกษ�ขั้นพื้นฐ�น น�งวัฒน�พร ระงับทุกข์ ที่ปรึกษ�พิเศษ ศูนย์บริห�รง�นก�รพัฒน�ศักยภ�พบุคคล เพื่อคว�มเป็นเลิศ ศ�สตร�จ�รย์ชูกิจ ลิมปิจำ�นงค์ ผู้อำ�นวยก�รสถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี น�งศรินธร วิทยะสิรินันท์ ผู้อำ�นวยก�รโรงเรียนน�น�ช�ติ เซนต์ แอนดรูว์ส กรุงเทพ น�ยวิษณุ ทรัพย์สมบัติ ผู้อำ�นวยก�รสำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� ที่ปรึกษากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ น�งส�วสุพัตร� ผ�ติวิสันติ์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี น�งส�วสุพรรณี ช�ญประเสริฐ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี น�ยศรเทพ วรรณรัตน์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี น�งส�วอลงกรณ์ ตั้งสงวนธรรม สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี คณะผู้จัดทำากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 1. น�ยถนอมเกียรติ ง�นสกุล ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 2. น�งชนิสร� เมธภัทรหิรัญ อ�จ�รย์ มห�วิทย�ลัยสวนดุสิต 3. น�งส�ววัฒนิต� นำ�แสงว�นิช อ�จ�รย์ โรงเรียนส�ธิตจุฬ�ลงกรณ์มห�วิทย�ลัย ฝ่�ยมัธยม 4. น�ยรัฐพล กัลพล อ�จ�รย์ โรงเรียนส�ธิต “พิบูลบำ�เพ็ญ” มห�วิทย�ลัยบูรพ� 5. น�ยจักรพงษ์ ผิวนวล อ�จ�รย์ โรงเรียนส�ธิตแห่งมห�วิทย�ลัยเกษตรศ�สตร์ ศูนย์วิจัยและพัฒน�ก�รศึกษ�
124 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 6. น�งส�วดนิต� ชื่นอ�รมณ์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 7. น�งส�ววรน�รถ อยู่สุข สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 8. น�งส�วจันทร์นภ� อุตตะมะ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 9. น�งส�วพิล�ลักษณ์ ทองทิพย์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 10. น�งส�วศศิวรรณ เมลืองนนท์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 11. น�งส�วสิริวรรณ จันทร์กูล สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 12. น�งสุธ�รส นิลรอด สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 13. น�ยจิระเมศร์ รุจิกรหิรัณย์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 14. น�งส�วเส�วลักษณ์ สุวรรณชัยรบ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 15. น�งส�วใบอ้อ ส�มะกิจ ครู โรงเรียนด�ร�สมุทร ศรีร�ช� สำ�นักง�นคณะกรรมก�รส่งเสริมก�รศึกษ�เอกชน 16. น�งส�วสุวรัตน์ ทองพันชั่ง ครู โรงเรียนปัญญ�วรคุณ สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�กรุงเทพมห�นคร เขต 1 17. น�งส�วอภิรด� ทั่นเส้ง ครู โรงเรียนวิสุทธรังษี สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ก�ญจนบุรี 18. น�งอรทัย ย่อมสระน้อย ครู โรงเรียนร่องคำ� สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ก�ฬสินธุ์ 19. น�งส�วแพรไหม ส�ม�รถ ครู โรงเรียนอนุกูลน�รี สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ก�ฬสินธุ์ 20. น�ยน�คิน สัจจะเขตต์ ครู โรงเรียนขอนแก่นวิทย�ยน สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ขอนแก่น 21. น�ยพจนวัฒน์ จ�รย์พรมม� ครู โรงเรียนชลบุรี “สุขบท” สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ชลบุรี ระยอง 22. น�งป�จรีย์ ชัยเพชร ครู โรงเรียนวิทย�ศ�สตร์จุฬ�ภรณร�ชวิทย�ลัย ตรัง สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ตรัง กระบี่ 23. น�งเส�วรัตน์ ร�มแก้ว ครู โรงเรียนทุ่งสง สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�นครศรีธรรมร�ช 24. น�งส�วรมิด� จันฟุ่น ครู โรงเรียนทุ่งช้�ง สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�น่�น 25. น�งจริย� จันทร์เรือง ครู โรงเรียนประจวบวิทย�ลัย สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ประจวบคีรีขันธ์ 26. น�งส�วเกศินี เพ็ชรรุ่ง ครู โรงเรียนบ้�นน� “น�ยกพิทย�กร” สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�ปร�จีนบุรี นครน�ยก 27. น�ยภ�นุวัฒน์ เกียรตินฤมล ครู โรงเรียนบรบือ สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�มห�ส�รค�ม
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 125 28. น�งส�วอัจฉร� วันฤกษ์ ครู โรงเรียนวิทย�ศ�สตร์จุฬ�ภรณร�ชวิทย�ลัย มุกด�ห�ร สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�มุกด�ห�ร 29. น�ยศร�วุฒิ คล่องดี ครู โรงเรียนวิทย�ศ�สตร์จุฬ�ภรณร�ชวิทย�ลัย มุกด�ห�ร สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�มุกด�ห�ร 30. น�งส�วพรปวีณ์ ต�ลจรุง ครู โรงเรียนวิทย�ศ�สตร์จุฬ�ภรณร�ชวิทย�ลัย มุกด�ห�ร สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�มุกด�ห�ร 31. น�ยวีรยุทธ สร้อยเพชร ครู โรงเรียนมัธยมวัดศรีจันทร์ประดิษฐ์ ในพระบรมร�ช�นุเคร�ะห์ สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สมุทรปร�ก�ร 32. น�ยสุทธิรักษ์ สุขศิริสวัสดิกุล ครู โรงเรียนวัดทรงธรรม สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สมุทรปร�ก�ร 33. น�งส�วยศศิก� อ่อนจร ครู โรงเรียนวัดทรงธรรม สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สมุทรปร�ก�ร 34. น�งม�นิต� เจริญองอ�จ ครู โรงเรียนสตรีสมุทรปร�ก�ร สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สมุทรปร�ก�ร 35. น�งส�วธิด�รัตน์ นิ่มนุช ครู โรงเรียนศรีประจันต์ “เมธีประมุข” สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สุพรรณบุรี
ครู โรงเรียนสวนแตงวิทย� สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�สุพรรณบุรี 37. น�ยภ�นุพงษ์ วิยะบุญ ครู โรงเรียนกุมภว�ปี สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�อุดรธ�นี 38. น�ยธนกร ขันตรีสกุล ครู โรงเรียนอุดรพิทย�นุกูล สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�อุดรธ�นี คณะบรรณาธิการ 1. ศ�สตร�จ�รย์วิเชียร เล�หโกศล ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 2. รองศ�สตร�จ�รย์สิริพร ทิพย์คง ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 3. ผู้ช่วยศ�ตร�จ�รย์ลัดด�วัลย์ เพ็ญสุภ� ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 4. ผู้ช่วยศ�สตร�จ�รย์ม�ลินท์ อิทธิรส ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 5. น�งสุวรรณ� คล้�ยกระแส ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 6. น�ยถนอมเกียรติ ง�นสกุล ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 7. น�งส�วจำ�เริญ เจียวหว�น ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ 8. น�ยดนัย ยังคง นักวิช�ก�รอิสระ 9. น�ยสมนึก บุญพ�ไสว นักวิช�ก�รอิสระ 10. ผู้ช่วยศ�สตร�จ�รย์จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ อ�จ�รย์ จุฬ�ลงกรณ์มห�วิทย�ลัย 11. ผู้ช่วยศ�สตร�จ�รย์ไพโรจน์ น่วมนุ่ม อ�จ�รย์ จุฬ�ลงกรณ์มห�วิทย�ลัย
36. น�งส�วขวัญหทัย พิกุลทอง
126 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 12. ผู้ช่วยศ�สตร�จ�รย์ชนิศวร� เลิศอมรพงษ์ อ�จ�รย์ มห�วิทย�ลัยเกษตรศ�สตร์ 13. ผู้ช่วยศ�สตร�จ�รย์วันดี เกษมสุขพิพัฒน์ อ�จ�รย์ มห�วิทย�ลัยเกษตรศ�สตร์ 14. รองศ�สตร�จ�รย์เวชฤทธิ์ อังกนะภัทรขจร อ�จ�รย์ มห�วิทย�ลัยบูรพ� 15. น�งนงนุช ผลทวี ครู โรงเรียนทับปุดวิทย� สำ�นักง�นเขตพื้นที่ก�รศึกษ�มัธยมศึกษ�พังง� ภูเก็ต ระนอง 16. น�งส�วสุพัตร� ผ�ติวิสันติ์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 17. น�งส�วอลงกรณ์ ตั้งสงวนธรรม สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 18. ว่�ที่ร้อยเอกภณัฐ ก้วยเจริญพ�นิชก์ สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี 19. น�งส�ววรน�รถ อยู่สุข สถ�บันส่งเสริมก�รสอนวิทย�ศ�สตร์และเทคโนโลยี ผู้รับผิดชอบโครงการ น�งผ�ณิต ทวีศักดิ์ รองผู้อำ�นวยก�รสำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�งส�วพรทิพย์ ดินดี ข้�ร�ชก�รบำ�น�ญ น�งส�วภัทร� ด่�นวิวัฒน์ นักวิช�ก�รศึกษ� สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�งส�วอธิฐ�น คงช่วยสถิตย์ นักวิช�ก�รศึกษ� สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�ยอภิศักดิ์ สิทธิเวช นักวิช�ก�รศึกษ� สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�งส�วอัจฉร�พร เทียงภักดิ์ นักวิช�ก�รศึกษ� สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�งส�วปรม�พร เรืองเจริญ พนักง�นธุรก�ร สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ� น�งส�ววศินี เขียวเขิน นักวิช�ก�รศึกษ� สำ�นักวิช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศึกษ�
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 127 บันทึก
128 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 บันทึก
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 129 บันทึก
130 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 บันทึก
ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 131 บันทึก
132 ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ (สำาหรับครูผู้สอน) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 บันทึก
