Física Fundamental

CIENCIAS AUXILIARES DE LA FÍSICA

Algunas de las ciencias auxiliares de la física son las matemáticas, química, astronomía, biología, estadística o ecología. La física es una ciencia natural, teórica y experimental, que estudia el tiempo, el espacio, la materia y la energía, a la vez que estudia cómo estos cuatro elementos interactúan entre sí. A pesar de esto, las relaciones entre la física y las otras ciencias se mantuvieron a través del tiempo. De hecho, la física es una de las ciencias más fundamentales y más necesarias para otras disciplinas. Además, es la base para la explicación de los fenómenos estudiados por otras áreas del saber. Así como la física es fundamental para otras ciencias, está también requiere de otras áreas del saber para cumplir con sus objetivos. Estas constituyen lo que es conocido como “ciencias auxiliares”. Existen diversas ciencias que de una forma u otra contribuyen con la física. Las más resaltantes son las matemáticas, la química, la astronomía, la biología, la estadística, la ecología, la geología y la meteorología.

1. Las Matemáticas

Las matemáticas y la física están estrechamente relacionadas. Mientras que las matemáticas estudian cantidades, la materia, sus formas y propiedades a través del uso de símbolos y números, la física se encarga del estudio de las propiedades de la materia, de los cambios físicos que se producen en esta, y de los fenómenos físicos.

2. La Química

La química es una de las ciencias que más se relaciona con la física. Un ejemplo de esto es que los cambios químicos suelen ser acompañados de cambios físicos. La física nuclear es aquella que se encarga del estudio de reacciones en cadena, la cual se da cuando se produce un estallido en el núcleo de un átomo radioactivo a causa de un neutrón. Por su parte, la física atómica se encarga del estudio de la estructura del átomo, así como del estudio de las propiedades y funciones de este. La química es una ciencia auxiliar en dos ramas de la física: la física nuclear y la física atómica.

3. La Astronomía

La astronomía es una ciencia previa a la física. De hecho, la astronomía generó el nacimiento de la física al estudiar los movimientos de las estrellas y de los planetas, dos elementos que eran el centro de interés de la física antigua. Además, la astronomía contribuye en la rama de la física denominada “física óptica”, la cual estudia los fenómenos relacionados con la luz, la visión, el espectro electromagnético (frecuencias de ondas de luz que permiten el estudio de las estrellas), entre otros.

La biología es otra de las ciencias con las que interactúa la física. Durante el siglo XIX, estas dos ciencias trabajaron de la mano. De este trabajo en conjunto nació la ley de la conservación de la energía. Esta ley fue demostrada por Mayer, quien estudió la cantidad de calor absorbida y expulsada por un ser vivo. Asimismo, a partir de la cooperación de estas dos ciencias, se han producido avances como la radioterapia, la quimioterapia y los rayos X.

5. La Estadística

La estadística es la ciencia que se basa en recopilar y agrupar datos numéricos sobre diversas áreas de interés. En este sentido, la física aprovecha los estudios estadísticos al momento de recolectar datos sobre fenómenos naturales físicos. Además, la estadística es la base para el desarrollo de investigaciones científicas, tipo de investigación en la que se encuentran enmarcados todos los trabajos en el área de la física.

6. La Ecología

La ecología estudia a los seres vivos y su interacción con el ambiente. En dicho ambiente, suceden cambios físicos (como los cambios en las condiciones atmosféricas, cambios en la geología). En este sentido, el estudio de los hábitats y sus cambios desde el punto de vista de la ecología ofrece otra perspectiva que complementa el estudio físico.

7. La Geología

La geología es la ciencia que se encarga del estudio de los componentes de la corteza del planeta Tierra y de cómo esta corteza ha cambiado con el paso del tiempo. Esta ciencia proporciona a la física testimonios evidentes de los cambios físicos que se han producido a lo largo de los años. Por el ejemplo: la división de Pangea (el súper continente) en los siete continentes que existen en la actualidad.

8. La Meteorología

La meteorología es la ciencia que se encarga de estudiar los fenómenos atmosféricos, con el objeto de establecer predicciones sobre el clima. Esta ciencia contribuye con la rama de la física denominada “física de la atmósfera”, que estudia todo lo relacionado al tiempo atmosférico y sus fenómenos.

LAS LEYES DE NEWTON

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican una gran parte de los problemas planteados en mecánica clásica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos, que revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo. En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica, y por otro, al combinar estas leyes con la ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Así, las leyes de Newton permiten explicar, por ejemplo, tanto el movimiento de los astros como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano y toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas. Su formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae naturalis principia Mathica. La dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, solo se cumple en los sistemas de referencia inerciales (que se mueven a velocidad constante; la Tierra, aunque gire y rote, se trata como tal a efectos de muchos experimentos prácticos). Solo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz; cuando la velocidad del cuerpo se va aproximando a los 300 000 km/s (lo que ocurriría en los sistemas de referencia no-inerciales) aparecen una serie de fenómenos denominados efectos relativistas. El estudio de estos efectos (contracción de la longitud, por ejemplo) corresponde a la teoría de la relatividad especial, enunciada por Albert Einstein en 1905.

Primera ley de Newton o ley de inercia

La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo solo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o movimiento uniforme en línea recta, no muy lejos de las fuerzas impresas a cambiar su posición.

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuya resultante no sea nula. Newton toma en consideración, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como tal a la fricción. En consecuencia, un cuerpo que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta. Newton retomó la ley de la inercia de Galileo: la tendencia de un objeto en movimiento a continuar moviéndose en una línea recta, a menos que sufra la influencia de algo que le desvíe de su camino. Newton supuso que, si la Luna no salía disparada en línea recta, según una línea tangencial a su órbita, se debía a la presencia de otra fuerza que la empujaba en dirección a la Tierra, y que desviaba constantemente su camino convirtiéndolo en un círculo. Newton llamó a esta fuerza gravedad y creyó que actuaba a distancia. No hay nada que conecte físicamente la Tierra y la Luna y sin embargo la Tierra está constantemente tirando de la Luna hacia nosotros. Newton se sirvió de la tercera ley de Kepler y dedujo matemáticamente la naturaleza de la fuerza de la gravedad. Demostró que la misma fuerza que hacía caer una manzana sobre la Tierra mantenía a la Luna en su órbita. La primera ley de Newton establece la equivalencia entre el estado de reposo y de movimiento rectilíneo uniforme. Supongamos un sistema de referencia S y otro S´ que se desplaza respecto del

primero a una velocidad constante. Si sobre una partícula en reposo en el sistema S´ no actúa una fuerza neta, su estado de movimiento no cambiará y permanecerá en reposo respecto del sistema S´ y con movimiento rectilíneo uniforme respecto del sistema S. La primera ley de Newton se satisface en ambos sistemas de referencia. El enunciado fundamental que podemos extraer de la ley de Newton es que:

Esta expresión es una ecuación vectorial, ya que las fuerzas llevan dirección y sentido. Por otra parte, cabe destacar que la variación con la que varía la velocidad corresponde a la aceleración.

Sistemas de referencia inerciales

La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como sistemas de referencia inerciales, que son aquellos desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. Un sistema de referencia con aceleración (y la aceleración normal de un sistema rotatorio se incluye en esta definición) no es un sistema inercial, y la observación de una partícula en reposo en el propio sistema no satisfará las leyes de Newton (puesto que se observará aceleración sin la presencia de fuerza neta alguna). Se denominan sistemas de referencia no inerciales. Diferencia de planteamiento de un problema debido a la posibilidad de observarlo desde dos puntos de vista: el punto de vista de un observador externo (inercial) o desde un observador interno

Observador inercial:

Desde su punto de vista el bloque se mueve en círculo con velocidad v y está acelerado hacia el centro de la plataforma con una aceleración centrípeta

Esta aceleración es consecuencia de la fuerza ejercida por la tensión de la cuerda.

Observador no inercial:

Para el observador que gira con la plataforma el objeto está en reposo, a = 0. Es decir, observa una fuerza ficticia que contrarresta la tensión para que no haya aceleración centrípeta. Esa fuerza debe ser. ���� =

����2 ��

Este observador siente la fuerza como si fuera perfectamente real, aunque solo sea la consecuencia de la aceleración del sistema de referencia en que se encuentra. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, ya que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos; no obstante, siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial, ya que a pesar de contar con una aceleración traslacional y otra rotacional, ambas son del orden de 0.01 m/s² y, en consecuencia, podemos considerar que un sistema de referencia de un observador en la superficie terrestre es un sistema de referencia inercial.

Aplicación de la primera ley de Newton

Se puede considerar como ejemplo ilustrativo de esta primera ley o ley de la inercia una bola atada a una cuerda, de modo que la bola gira siguiendo una trayectoria circular. Debido a la fuerza centrípeta de la cuerda (tensión), la masa sigue la trayectoria circular, pero si en algún momento la cuerda se rompiese, la bola tomaría una trayectoria rectilínea en la dirección de la velocidad que tenía la bola en el instante de rotura. Tras la rotura, la fuerza neta ejercida sobre la bola es 0, por lo que experimentará, como resultado de un estado de reposo, un movimiento rectilíneo uniforme.

Segunda ley de Newton o ley fundamental de la dinámica

La segunda ley de Newton expresa que:

El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre el mismo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo (que puede ser o no ser constante). Entender la fuerza como la causa del cambio de movimiento y la proporcionalidad entre la fuerza impresa y el cambio de la velocidad de un cuerpo es la esencia de esta segunda ley.

Si la masa es constante

Si la masa del cuerpo es constante se puede establecer la siguiente relación, que constituye la ecuación fundamental de la dinámica:

Donde m es la masa del cuerpo la cual debe ser constante para ser expresada de tal forma. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, también llamada fuerza resultante, es el vector suma de todas las fuerzas que sobre él actúan. Así pues: ∑�� =����

La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de todas ellas. Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente. En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá también una fuerza normal (en dirección perpendicular a la trayectoria); si el módulo de la velocidad varía es porque hay una aceleración en la dirección de la velocidad (en la misma dirección de la trayectoria). La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a la fuerza aplicada (sólo ocurre si al menos, la dirección de la velocidad es constante). Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema con varios cuerpos y diferentes fuerzas aplicadas sobre ellos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos y el principio de superposición de fuerzas. Aplicaremos la segunda ley de Newton para cada uno de ellos, teniendo en cuenta las interacciones mutuas y obteniendo la fuerza resultante sobre cada uno de ellos.

El principio de superposición establece que si varias fuerzas actúan igual o simultáneamente sobre un cuerpo, la fuerza resultante es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan independientemente sobre el cuerpo (regla del paralelogramo). La fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. Las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Por lo tanto, existe una relación causa-efecto entre la fuerza aplicada y la aceleración que este cuerpo experimenta. De esta ecuación se obtiene la unidad de medida de la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades, el Newton:

Si la masa no es constante

Si la masa de los cuerpos varía, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la �� =���� relación y hay que hacer genérica la ley para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero hay que definir una magnitud física nueva, la cantidad de movimiento, que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

Newton enunció su ley de una forma más general:

De esta forma se puede relacionar la fuerza con la aceleración y con la masa, sin importar que esta sea o no sea constante. Cuando la masa es constante sale de la derivada con lo que queda la expresión:

Y se obtiene la expresión clásica de la Segunda Ley de Newton:

La fuerza, por lo tanto, es un concepto matemático el cual, por definición, es igual a la derivada con respecto al tiempo del momento de una partícula dada, cuyo valor a su vez depende de su interacción con otras partículas. Por consiguiente, se puede considerar la fuerza como la expresión de una interacción. Otra consecuencia de expresar la Segunda Ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

Es decir, la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero en sus tres componentes. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo en módulo dirección y sentido (la derivada de un vector constante es cero). La segunda ley de Newton solo es válida en sistemas de referencia inerciales pero incluso si el sistema de referencia es no inercial, se puede utilizar la misma ecuación incluyendo las fuerzas ficticias (o fuerzas inerciales). Unidades y dimensiones de la fuerza:

Unidades S.I.: NEWTON=

Sistema cegesimal: dina

Equivalencia: 1 N=

Cantidad de movimiento o momento lineal

En el lenguaje moderno la cantidad de movimiento o momento lineal de un objeto se define mediante la expresión Es decir, P = mv es una magnitud vectorial proporcional a la masa y a la velocidad del objeto. Partiendo de esta definición y aplicando la ley fundamental de la mecánica

Tomando el intervalo de tiempo de t1 a t2 e integrando se obtiene

Al vector I se le denomina impulso lineal y representa una magnitud física que se manifiesta especialmente en las acciones rápidas o impactos, tales como choques, llevando módulo dirección y sentido. En este tipo de acciones conviene considerar la duración del impacto y la fuerza ejercida durante el mismo. De la expresión obtenida se deduce que el impulso lineal es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza resultante es cero (es decir, si no se actúa sobre el objeto) el impulso también es cero y la cantidad de movimiento permanece constante. Llamamos a esta afirmación ley de conservación del impulso lineal, aplicada a un objeto o una partícula. Sus unidades en el Sistema Internacional son:

Conservación de la cantidad de movimiento Choque elástico:

permanecen constantes la cantidad de movimiento y la energía cinética. Dos partículas de masas diferentes que solo interactúan entre sí y que se mueven con velocidades constantes y distintas una hacia la otra. Tras el choque, permanece constante la cantidad de movimiento y la energía cinética.

Choque inelástico:

Permanece constante la cantidad de movimiento y varía la energía cinética. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. Tras un choque totalmente inelástico, ambos cuerpos tienen la misma velocidad. La suma de sus energías cinéticas es menor que la inicial porque una parte de esta se ha transformado en energía interna; en la mayoría de los casos llega a ser disipada en forma de calor debido al calentamiento producido en el choque. En el caso ideal de un choque perfectamente inelástico entre objetos macroscópicos, estos permanecen unidos entre sí tras la colisión.

• Caída libre: Es un movimiento que se observa cuando un objeto se deja caer desde una cierta altura sobre la superficie de la tierra. Para estudiar el movimiento se elige un sistema de coordenadas donde el origen del eje y está sobre esta última. En este sistema tanto la velocidad de caída como la aceleración de la gravedad tienen signo negativo. En el ejemplo representado, se supone que el objeto se deja caer desde el reposo, pero es posible que caiga desde una velocidad inicial distinta de cero.

• Péndulo simple: Partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos, el peso y la tensión T del hilo.

Si se aplica la segunda ley, en la dirección radial:

Donde an representa la aceleración normal a la trayectoria. Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular se puede determinar la tensión T del hilo. Esta es máxima cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio

Donde el segundo término representa la fuerza centrífuga. Y la tensión es mínima, en los extremos de su trayectoria, cuando la velocidad es cero.

En la dirección tangencial:

Donde at representa la aceleración tangente a la trayectoria.

Tercera ley de Newton o principio de acción y reacción

La tercera ley de Newton establece que siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, este ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección, pero en sentido opuesto sobre el primero. Con frecuencia se enuncia así: a cada acción siempre se opone una reacción igual, pero de sentido contrario. En cualquier interacción hay un par de fuerzas de acción y reacción situadas en la misma dirección con igual magnitud y sentidos opuestos. La formulación original de Newton es:

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

Esta tercera ley de Newton es completamente original (pues las dos primeras ya habían sido propuestas de otra manera por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto. Si dos objetos interaccionan, la fuerza F12, ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2, es igual en magnitud con misma dirección, pero sentidos opuestos a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1:

Aplicaciones de la Tercera Ley de Newton

Algunos ejemplos donde actúan las fuerzas acción-reacción son los siguientes: Si una persona empuja a otra de peso similar, las dos se mueven con la misma velocidad, pero en sentido contrario. Cuando saltamos, empujamos a la tierra hacia abajo, que no se mueve debido a su gran masa, y esta nos empuja con la misma intensidad hacia arriba. Una persona que rema en un bote empuja el agua con el remo en un sentido y el agua responde empujando el bote en sentido opuesto.

Cuando caminamos empujamos a la tierra hacia atrás con nuestros pies, a lo que la tierra responde empujándonos a nosotros hacia delante, haciendo que avancemos. Cuando se dispara una bala, la explosión de la pólvora ejerce una fuerza sobre la pistola (que es el retroceso que sufren las armas de fuego al ser disparadas), la cual reacciona ejerciendo una fuerza de igual intensidad, pero en sentido contrario sobre la bala. La fuerza de reacción que una superficie ejerce sobre un objeto apoyado en ella, llamada fuerza normal con dirección perpendicular a la superficie. Las fuerzas a distancia no son una excepción, como la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna y viceversa, su correspondiente pareja de acción y reacción:

La fuerza que ejerce la Tierra sobre la Luna es exactamente igual (y de signo contrario) a la que ejerce la Luna sobre la Tierra y su valor viene determinado por la ley de gravitación universal enunciada por Newton, que establece que la fuerza que ejerce un objeto sobre otro es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna es la responsable de que esta no se salga de su órbita circular.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica, también denominada patrón o notación en forma exponencial, es una forma de escribir los números que acomoda valores demasiado grandes (100 000 000 000) o pequeños como puede ser el siguiente (0.000 000 000 01)1para ser escrito de manera convencional. El uso de esta notación se basa en potencias de 104 (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 1011 y 1 × 10−11, respectivamente). Siempre el exponente es igual al número de cifras decimales que deben correrse para convertir un número escrito en notación científica en el mismo escrito en notación decimal. Se desplazará a la

derecha si el exponente es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Cuando se trata de convertir un número a notación científica el proceso es a la inversa. Como ejemplo, en la química, al referirse a la cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.), hay una cantidad llamada cantidad de materia (mol). Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón: El número m se denomina «mantisa» y e el «orden de magnitud». La mantisa, en módulo, debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, y el orden de magnitud, dado como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.

Observe los ejemplos de números grandes y pequeños: • 500 5 x 102 • 520 5.2 x 102 • 600 000 6 x 105 • 30 000 000 3 x 107 • 500 000 000 000 000 5 x 1014 • 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 7 x 1033 • 0.05 5 x 10-2 • 0.052 5.2 x 10-2 • 0.0004 4 x 10−4 • 0.000 000 01 1 x 10−8 • 0.000 000 000 000 000 6 6 x 10−16 • 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 8 8 x 10−49

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significad práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la física y la química, estos valores son comunes. Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, y la masa de un protón es de unos 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg.

Tipos de notación científica

En la notación científica estándar, el exponente e es elegido de manera que el valor absoluto de m permanezca al menos uno pero menos de diez (1 ≤ | m | <10). Por ejemplo, 350 se escribe como 3.5 ⋅ 10². Esta forma permite una comparación simple de dos números del mismo signo en m, como el exponente e indica el número de la orden de grandeza. En notación estándar el exponente E es negativo para un número absoluto con valor entre 0 y 1 (por ejemplo, menos de la mitad es -5 ⋅ 10−1). El 10 y el exponente son generalmente omitidos cuando el exponente es 0. En muchas áreas, la notación científica se normaliza de esta manera, a excepción de los cálculos intermedios, o cuando una forma no estándar, tales como la notación de ingeniería, se desea. La notación científica (normalizada) suele llamarse notación exponencial - aunque este último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al intervalo de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería, por ejemplo) y para otras bases distintas de 10 (como en 315 ⋅ 220).

Notación E

Muchas calculadoras y programas informáticos presentan en notación científica los resultados muy grandes o muy pequeños. Como los exponentes sobrescritos como 107 no pueden ser convenientemente representados en las y por las computadoras, máquinas de escribir y en calculadoras, suele utilizarse un formato alternativo: la letra E o e representa «por diez elevado a la potencia», sustituyendo entonces el « × 10n».

Ejemplos

• En el lenguaje de programación FORTRAN 6.0221415E23 es equivalente a 6.022 141 5×1023 . • El lenguaje de programación ALGOL 60 usa un subíndice diez en lugar de la letra E, por ejemplo • 6.02214151023 . ALGOL 68 también permite E minúsculas, por ejemplo 6.0221415e23.

• El lenguaje de programación ALGOL 68 tiene la opción de 4 caracteres en (eE\10). Ejemplos: • 6.0221415e23 , 6.0221415E23 , 6.0221415\23 o 6.02214151023 . • En el lenguaje de programación Simula se requiere el uso de & (o && para largos), por ejemplo: • 6.0221415&23 (o 6.0221415&&23 ). • En lenguaje de programación Multiparadigma como Python no es relevante la utilización de mayúscula o minúscula para el carácter E o e, teniendo el mismo significado. • 6.0221415e23 = 6.0221415E23

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de una medida son las que aportan alguna información. Representan el uso de una o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Por ejemplo, se dice que 4,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 4,07 tiene tres. Para distinguir los llamados significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias por ejemplo 5000 será 5x103 con una cifra significativa. También, cuando una medida debe expresarse con determinado número de cifras significativas y se tienen más cifras, deben seguirse las siguientes reglas:

• Primera: Si se necesita expresar una medida con tres cifras significativas, a la tercera cifra se le incrementa un número si el que le sigue es mayor que 5 o si es 5 seguido de otras cifras diferentes de cero.

Ejemplo: 53,6501 consta de 6 cifras y para escribirlo con 3 queda 53,7; aunque al 5 le sigue un cero, luego sigue un 1 por lo que no se puede considerar que al 5 le siga cero (01 no es igual a 0).

• Segunda: Siguiendo el mismo ejemplo de tres cifras significativas: si la cuarta cifra es menor de 5, el tercer dígito se deja igual.

Ejemplo: 53,649 consta de cinco cifras, como se necesitan 3 el 6 queda igual ya que la cifra que le sigue es menor de 5; por lo que queda 53,6.

• Tercera: Cuando a la cifra a redondear le sigue un 5, siempre se redondea hacia arriba. Ejemplo: si el número es 3,7500 se redondearía a 3,8.

El uso de estas considera que el último dígito de aproximación es incierto, por ejemplo, al determinar el volumen de un líquido con una probeta cuya resolución es de 1ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que el volumen de 6 ml será realmente de 5,5ml a 6,5ml. El volumen anterior se representará entonces como (6,0 ± 0,5) ml. En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros instrumentos de mayor resolución, por ejemplo, una probeta de divisiones más finas y así obtener (6,0 ± 0,1) ml o algo más satisfactorio según la resolución requerida.

Ejemplos de las Cifras Significativas:

• 0,00286 --> Tres cifras significativas (286) • 1,20006 --> Seis cifras significativas (120006) • 12,000 --> Cinco cifras significativas (12000) • 0,108 --> Tres cifras significativas (108)

Reglas para establecer las cifras significativas de un número dado:

• Regla 1 En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Por ejemplo: 3,14159 → seis cifras significativas → 3,14159 5.694 → cuatro cifras significativas → 5.694

• Regla 2 Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Por ejemplo: 2,054 → cuatro cifras significativas → 2,054 506 → tres cifras significativas → 506

• Regla 3 Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo: 0,054 → dos cifras significativas → 0,054 0,0002604 → cuatro cifras significativas → 0,0002604 • Regla 4 En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Por ejemplo: 0,0540 → tres cifras significativas → 0,0540 30,00 → cuatro cifras significativas → 30,00

• Regla 5 Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo: 1200 → dos cifras significativas → 1200 1200, → cuatro cifras significativas → 1200,

• Regla 6 Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas. Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número pequeño de elementos. Por ejemplos: Al contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto: 3. Al contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6. Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000. Por definición el número de grados que hay en una circunferencia es un número exacto: 360

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud de A y B, y la medida de la hipotenusa es C, entonces se cumple la siguiente relación:

Designaciones convencionales

Demostraciones

El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos". Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 La propuesta pitagórica. En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales. Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia, dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero por lo que finalmente resulta:

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

Pero según (I) , así que:

Y, por lo tanto:

Quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el ver seno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será: La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo.

• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

• El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

• El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

• La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

• La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

• La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

• La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

MOVIMIENTO DE VECTORES

• Magnitudes escalares y vectoriales. • Suma o composición de vectores. • Sistemas de referencia vectoriales. • Componentes. • Cosenos directores. • Vectores unitarios. • Producto escalar de vectores. • Ángulo de dos vectores. • Perpendicularidad. • Proyección. • Producto vectorial. • Momento de un vector respecto a un punto. • Momento respecto a un eje. • Derivación e integración vectorial.

Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido.

Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.

Muestra las principales características de un vector.

Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud (número). Se denota con la letra solamente A o |A|.

• Vectores de igual módulo: Todos podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto, todos tendrían distinta velocidad.

��ሺ��,��ሻ=�������� ൤2��൬�� �� �� ��൰+��൨

Vectores con igual módulo, pero distintas direcciones • Vectores de distinto módulo: Se espera que el vector de menor tamaño represente por ejemplo una velocidad menor que la de los demás.

• Vectores de distinto módulo: Así, los vectores de la figura podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente.

Muestra tres vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido • Dirección: Corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario (ver figura 2). También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (X, Y y Z) como también los puntos cardinales para la dirección.

• Vectores de distinto módulo: Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos.

• Vectores de igual dirección: Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección.

Representación Geométrica de un Vector

Ya has aprendido que los vectores son definidos a través de tres características, que son: módulo, dirección y sentido. Aunque su posición en el espacio no es uno de los componentes para definirlo, el estudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema de coordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisión, de manera de poder representarlos de una forma algebraica como de una manera geométrica. Una de las características es que cuando tenemos un vector que no está en el origen de nuestro plano cartesiano, lo podemos trasladar, de manera que siempre el origen sea el (0,0) y así facilitar nuestros cálculos, pues sólo necesitaremos el punto final para determinarlo. En el dibujo anterior hemos llamado p al vector CD trasladado. Por otro lado, hemos llamado q al vector AB trasladado. Si sus puntos de origen se trasladan al origen, veremos que el vector que antes tenía como coordenadas (0,2) y (3,5) ha sido traslado, de manera que sólo debemos identificar el punto final que en este caso corresponde a (3,3). De igual forma se ha procedido para el vector q.

CINEMÁTICA

La cinemática es la rama de la mecánica que describe el movimiento de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza velocidades y aceleraciones, que describen cómo cambia la posición en función del tiempo. La velocidad se determina como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo utilizado, mientras que la aceleración es el cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo utilizado.

Representación de la trayectoria de una partícula (verde), mostrando la posición (azul) en un momento dado de dicha trayectoria.

Elementos Básicos de la Cinemática

En la mecánica clásica, se admite la existencia de un espacio absoluto, es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones del mismo. El espacio físico se representa en la mecánica clásica mediante un espacio euclídeo. Análogamente, la mecánica clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos. El móvil más simple que se puede considerar es el punto material o partícula; cuando en la cinemática se estudia este caso particular de móvil, se denomina Cinemática de la partícula, y cuando el móvil bajo estudio es un cuerpo rígido se lo puede considerar un sistema de partículas y hacer extensivos análogos conceptos; en este caso se le denomina cinemática del sólido rígido o del cuerpo rígido.

Fundamento de la Cinemática Clásica

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general y, en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material, más no estudia por qué se mueven los cuerpos sino que se limita a describir sus trayectorias y modo de reorientarse en su avance. Para sistemas de muchas partículas, por ejemplo los fluidos, las leyes de movimiento se estudian en la mecánica de fluidos. El movimiento trazado por una partícula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa cómo varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función matemática que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo). El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales: • Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. • Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la velocidad variará a lo largo del tiempo. • Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el tiempo. • Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tiene lugar el movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, y se genera una trayectoria parabólica al componer ambas. • Cuando la aceleración es constante pero no está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, se observa el efecto de Coriolis. • En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

Al considerar el movimiento de traslación de un cuerpo extenso, en el caso de ser un cuerpo rígido, conociendo como se mueve una de las partículas, se deduce como se mueven las demás. Más concretamente: • En un movimiento plano bidimensional si se conoce el movimiento de 2 puntos del sólido, el movimiento de todo el sólido está determinado • En un movimiento general tridimensional, el movimiento queda determinado si se conoce el movimiento de 4 puntos del sólido.

Sistemas de Coordenadas

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para describir el movimiento de un talón obligado a desplazarse a lo largo de un aro circular, la coordenada más útil sería el ángulo trazado sobre el aro. Del mismo modo, para describir el movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles. En la gran mayoría de los casos, el estudio cinemático se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones, según la trayectoria seguida por el cuerpo.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando un objeto describe una trayectoria recta respecto a un observador, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nótese que el movimiento rectilíneo puede ser también no uniforme, y en ese caso la relación entre la posición y el tiempo es algo más compleja.

Comportamiento del Movimiento

El movimiento rectilíneo uniforme se designa frecuentemente con el acrónimo MRU, aunque en algunos países es MRC, por movimiento rectilíneo constante. El MRU se caracteriza por: • Movimiento que se realiza sobre una línea recta. • Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. • La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez sin aceleración.

Para este tipo de movimiento, la distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante. Por lo tanto, el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo. De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partícula puntual permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza externa que actúe sobre el cuerpo, dado que las fuerzas actuales están en equilibrio, por lo cual su estado es de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme.

Representación Gráfica del Movimiento

Una peculiaridad interesante de la trayectoria rectilínea, es que el problema admite una descripción unidimensional mediante una única coordenada, aunque estemos estudiando una trayectoria en tres dimensiones. Para ello basta escoger un punto sobre la trayectoria P y una función "distancia" al dicho punto d (será un número real, positivo para uno de los dos sentidos y negativo para el sentido

opuesto), tomando el vector director unitario de la recta n existen dos elecciones posibles de este vector, cualquiera de las dos elecciones es esencialmente equivalente, el vector de posición r se podrá escribir siempre como:

La velocidad del punto material que ejecuta este movimiento se podrá escribir simplemente como:

Si el movimiento es uniforme resultará que el vector posición es igual al vector velocidad por el tiempo: ecuación|

Descomponiendo el movimiento en cada uno de los ejes de coordenadas, la suma vectorial de estas componentes da como resultado la posición en el espacio del movimiento.

Caída Libre

En la caída libre un objeto cae verticalmente desde cierta altura H despreciando cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier otro obstáculo. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra g y su valor es de 9'8m/s2 (a veces se aproxima por 10 m/s2). Para estudiar el movimiento de caída libre normalmente utilizaremos un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas se encuentra en el pie de la vertical del punto desde el que soltamos el cuerpo y consideraremos el sentido positivo del eje y apuntando hacia arriba, tal y como puede verse en la figura:

Con todo esto nos quedaría: v0=0; y0=H; a=−g La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que se deja caer un cuerpo verticalmente desde cierta altura y no encuentra resistencia alguna en su camino. Las ecuaciones de la caída libre son: • y=H−12gt2 • v=−g⋅t • a=−g

Donde: • y: La posición final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) • v: La velocidad final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m/s) • a: La aceleración del cuerpo durante el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). • t: Intervalo de tiempo durante el cual se produce el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) • H: La altura desde la que se deja caer el cuerpo. Se trata de una medida de longitud y por tanto se mide en metros. • g: El valor de la aceleración de la gravedad que, en la superficie terrestre puede considerarse igual a 9.8 m/s2

Movimiento Circular

En cinemática, el movimiento circular también llamado movimiento circunferencial es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio, centro fijo y velocidad angular constante.

Conceptos

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo: • Eje de giro: Es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O). • Arco: Partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional, por tanto). • Velocidad angular: Es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, W). • Aceleración angular: Es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, ).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes: • Momento angular (L): Es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento, pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).

• Momento de inercia (I): Es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro. • Momento de fuerza (M): O par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

Podemos particularizar para el caso del movimiento circular uniforme, en el que, aunque su celeridad es constante, su vector velocidad cambia continuamente de dirección gracias a la aceleración normal. De acuerdo con las leyes de Newton, si dicho cuerpo posee aceleración quiere decir que se encuentra sometido a la acción de alguna fuerza. En concreto: En un movimiento circular uniforme o m.c.u., la fuerza centrípeta ሺΣFnሻ es la fuerza responsable de dotar de aceleración centrípeta a un cuerpo. Tiene la dirección del radio de la circunferencia, sentido hacia el centro y módulo constante. No se trata de una fuerza en sí misma, si no que dependiendo del sistema, la fuerza centrípeta puede ser el peso, la tensión de una cuerda, etc. o generalmente la fuerza resultante de algunas de estas fuerzas. A la hora de estudiar la dinámica de este tipo de movimientos, es recomendable utilizar un sistema de referencia intrínseco, donde el eje normal será el eje X y el tangencial el eje Y.

En este caso, la fuerza centrípeta se obtiene por medio de la siguiente expresión.

∑Fn=∑Fx=m⋅an=m⋅v2R ⋮ ∑Fy=0

Paralelismo entre El Movimiento Rectilíneo y El Movimiento Circular

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt, dado, se tiene:

Arco descrito

Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medida en radianes y representado con las letras griegas:

Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

Siendo el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes. Si se le llama e, al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio R, se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

En ocasiones se denomina s, al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que, al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio y circunferencia.

Lanzamiento horizontal

El lanzamiento horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación:

El lanzamiento horizontal resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (mru horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de caída libre (mrua vertical). El cuerpo en movimiento en un tiro horizontal puede ser cualquier cosa: una pelota de futbol, de tenis, un dardo, una gota de agua... a todos ellos los denominaremos de manera genérica proyectiles. En física suele denominarse proyectil a cualquier cuerpo lanzado en el espacio por la acción de una fuerza.

Ecuaciones

Las ecuaciones del lanzamiento horizontal son: Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

�� =��0+����⋅��

Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y

���� =��0��+����⋅�� �� =��0+��0��⋅��+12⋅����⋅��2

Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H, x0 = 0, y que ay = -g, podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente tabla. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el lanzamiento horizontal:

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola. • Un MRU horizontal de velocidad vx constante. • Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba. Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

1. Disparo de Proyectiles

Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son • x=v0·cosθ·t • y=v0·senθ·t-gt2/2 Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)

2. Alcance:

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a, que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen (2·30) =sen (2·60).

3. Altura Máxima:

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0. Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

Biología