Geometría

Matemáticas II – 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

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La circunferencia La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro

Radio: cualquier segmento que une el centro con un punto de la circunferencia

Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia Centro

Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

(Cada uno de los arcos iguales determinados por un diámetro se llama semicircunferencia.)

Al dividir la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro da siempre el mismo número, que se llama . = 3,141592… (en los cálculos, toma = 3,14)

El círculo El círculo está formado por los puntos de la circunferencia y los puntos interiores a la circunferencia.

La distancia del centro a los puntos del círculo es menor o igual al radio.

Recintos de un círculo Sector circular

Segmento circular

Región comprendida entre dos radios y la circunferencia

Región comprendida entre una cuerda y su arco

Zona circular

Corona circular

Limitada por dos cuerdas paralelas

Región limitada por dos circunferencias concéntricas

Trapecio circular

Posiciones de rectas y circunferencias En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre de cada una de ellas.

Exteriores

Tangentes r < OP

O·

r = OP O·

r

Secantes

r

P

P La recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común

La recta es exterior a la circunferencia

La recta y la circunferencia tienen un punto en común

La recta es tangente a la circunferencia

r > OP P r

O·

La recta y la circunferencia tienen dos puntos en común

La recta es secante a la circunferencia

Posiciones de dos circunferencias En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre de cada una de ellas.

Ningún punto en común

Un punto en común

Interiores

Exteriores

Tangentes exteriores

Tangentes interiores

Dos puntos en común

Secantes

Ángulos centrales y arcos Sea la circunferencia de centro O y radio 4 cm.

Con centro en O se traza el ángulo AOB. Se llama ángulo central.

Su vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados contienen dos radios.

( El arco AB se dice que es el arco correspondiente al ángulo AOB. Si se trazan dos ángulos centrales iguales, también son iguales los arcos correspondientes. (

bˆ

(

aˆ

AB

CD

Dos ángulos centrales son iguales si lo son los arcos correspondientes, y recíprocamente.

Medida de los ángulos centrales A un arco se le asigna la misma medida que a su ángulo central.

Se miden en la misma unidad, en grados.

Por ejemplo, un arco que abarque un cuadrante de circunferencia mide 90º; lo mismo que un ángulo recto.

Y un arco que abarque una circunferencia completa valdrá 360º La medida de un ángulo central es igual a la de su arco, tomando como unidad de arcos el arco correspondiente a la unidad de ángulos.

Ejemplo: Como consecuencia de lo dicho: Si una circunferencia se divide en 3 arcos iguales, cada ángulo central valdrá 120º.

Si se divide en 4 partes iguales, 90º cada parte.

Si se divide en 5 partes iguales, 72º cada parte.

360º 120º 3

360º 4

90º

360º 5

72º

Ángulo inscrito: definición En la circunferencia de centro O, si A es un punto de ella podemos trazar, con vértice en A, los siguientes ángulos: A ·

A C ·

O· B

O·

B A C ·

B

O·

C

Secante

Secante y tangente

Tangente

Ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes.

Relación entre ángulos inscritos y centrales.

Ejemplo Nº1

El ángulo central BOC mide 60º. ¿Cuánto medirá el ángulo inscrito BAC? El ángulo BOA mide 120º por ser suplementario de BOC = 60º.

El triángulo ABO es isósceles por tener dos lados iguales: los radios.

Por tanto, los otros ángulos son iguales y miden 30º. El ángulo inscrito BAC mide 30º.

El ángulo inscrito, BAC, mide la mitad del ángulo central, BOC, que abarca el mismo arco, BC.

Relación entre ángulos inscritos y centrales.

Ejemplo Nº2

El ángulo inscrito BAC mide 40º. ¿Cuánto medirá el ángulo central BOC? El triángulo ABO es isósceles por tener dos lados iguales: los radios.

Por tanto, los ángulos del triángulo miden 40º, 40º y 100º.

El ángulo BOC medirá 80º por ser suplementario de BOA. El ángulo central, BOC, mide el doble del ángulo inscrito, BAC, que abarca el mismo arco, BC.

Medida de un ángulo inscrito Cuando uno de los lados contiene a un diámetro, el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central que abarca el mismo arco.

Si el ángulo BAC mide aº, como el triángulo BOA es isósceles, el ángulo ABO también valdrá aº.

Por tanto, el ángulo BOA = 180 – 2aº

El ángulo BOC = 2aº

Esta propiedad se cumple para cualquier ángulo inscrito A

A

aº

B

2aº

C aº

aº

B

·

O 2aº

A

·

O

2aº O

·

B

C

C

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.

La longitud de la circunferencia Vamos a calcular la longitud de la circunferencia de 1 euro.

Para ello medimos su diámetro con ayuda de una regla y un par de cartabones.

Sale 23,25 mm.

Como la longitud de la circunferencia (L) dividida por el diámetro da el número , se tiene que: L 3,14 L = 3,14 × 23,25 = 73,005 23,25 Para cualquier otra circunferencia de diámetro d o radio r: L L ·d · 2r 2 r d La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r

La longitud de la circunferencia.

Ejercicios

La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r

Ejercicio 1. Calcula la longitud de la circunferencia de esta tuerca.

L = d = 3,14 × 1,23 cm = 3,8622 cm

Ejercicio 2. El radio de una rueda de una bicicleta mide 30 cm. ¿Cuánto avanza en cada vuelta?

Avanza lo que mide la longitud de su circunferencia: L = d = 2 r = 2 · 3,14 · 30 = 188,4 cm = 1,884 m.

El área del círculo Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura:

Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo cuya base es la mitad de la longitud

L de la circunferencia y cuya altura coincide con el radio (r) .

2

A círculo

A paralelogr amo

base · altura

El área de un círculo es igual al número A = r2

L ·r 2

r·r

r2

por el cuadrado del radio:

El área del círculo.

Ejercicios

El área de un círculo es igual al número

por el cuadrado del radio: A =

r2

Ejercicio 1.

El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área.

Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm.

Luego:

A = 3,14 · 152 = 3,14 · 225 = 706,5 cm2

Ejercicio 2. ¿Qué área es mayor, la del círculo o la de los tres cuadrados?

Cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.

Entre los tres, 3 cm2 El círculo tiene radio 1 cm. Su área es: A = 3,14 · 12 = 3,14 cm2

Matemáticas II – 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

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Fuente: Internet SITE HERE Adaptación: YOUR Ma. Isabel Navarrete