"La esperanza es el único bien común a todos los hombres, los que todo lo han perdido la poseen aún". TALES DE MILETO
SEMEJANZA • FIGURAS SEMEJANTES 1. Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:
2. Los lados de un triángulo rectángulo miden 1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm. construye un triángulo semejante de forma que la razón de semejanza sea 1,6. 3. Comprueba que estas dos figuras son semejantes y calcula su razón de semejanza:
4. Las longitudes de dos lados de un triángulo son 12 cm, 16 cm y 15 cm. Otro triángulo semejante a él tiene el lado mayor de 24 cm. Halla la longitud de los otros dos lados de este segundo triángulo. 5. Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm x 20 cm, y el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 8 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor? 6. Dos triángulos semejantes tienen perímetros de 16 cm y 24 cm, respectivamente. ¿Cuál es la razón de semejanza? 7. Imagina que debido a una radiación de origen desconocido te conviertes en un gigante. Todas las partes de tu cuerpo se agrandan por igual, por lo que tu nuevo cuerpo y el anterior son semejantes. Si tu dedo pulgar mide ahora 24 cm, ¿cuál será tu nueva altura? 8. Los lados de un triángulo miden 7 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente. Hallar los lados de un triángulo semejante cuyo perímetro es 75 cm. 9. Si la razón de semejanza de dos polígonos semejantes es de 4/5. ¿Cuánto vale la razón de semejanza de sus perímetros? ¿Y la de sus áreas? 10. La razón de semejanza de dos polígonos es 2/7 y el perímetro del primero es 38 m. ¿Cuánto mide el perímetro del segundo?
• ESCALAS 1. Calcula la distancia real entre Vera y Osuna, sabiendo que la escala de este mapa es 1: 500.000.
2. Sabemos que en el plano de una casa una longitud de 4 cm equivale a una distancia en la realidad de 12 m. ¿Cuál es la escala con la que está hecho el plano? 3. Halla la escala de este plano sabiendo que la distancia entre los puntos 2 y 3 es de 300 m. ¿Qué distancia hay entre los puntos 1 y 3? ¿Y entre los puntos 1 y 2?
4. En un mapa de escala 1:50.000 la distancia entre dos pueblos es de 15 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esos dos pueblos? Si la distancia real entre otros dos pueblos es de 24 km, ¿a qué distancia estarán en el mapa? 5. Una parcela rectangular mide 100 metros de ancho por 200 metros de largo. En el papel se representa por un rectángulo de 5 cm de ancho por 10 de largo. ¿Son semejantes ambos rectángulos? ¿A qué escala está representada la parcela?
โ ข TEOREMA DE TALES 1. En la figura AB = 8 cm, BC = 15 cm y ST = 20 CM. Averigua Las medidas de los segmentos RT y TM.
2. Sabiendo que las rectas a, b, d y d son paralelas, calcula la longitud de x e y.
3. Calcula el valor de x e y en esta construcciรณn:
• SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1. Calcula el valor de los segmentos x e y en cada una de estas figuras: a) b)
2. Comprueba si los siguientes pares de triángulos son o no semejantes. Si en algún caso no son semejantes, ¿qué dato o datos podrías modificar para que sí lo fueran? a) b)
c)
3. Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:
4. Razona apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos por qué son semejantes los siguientes triángulos: a)
b)
c)
5. Calcula los valores de x e y que se indican en la siguiente figura:
• PROBLEMAS 1. Halla la altura total de la torre de comunicaciones de la figura:
2. Calcula la longitud de la sombra de un campanario de 26 m de altura en el momento en que una señal de tráfico de 1’75 m proyecta una sombra de 1’5 m. 3. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 36 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 1,5 metros. 4. Observa el dibujo. Sabiendo que el chico mide 1,75 m, calcula las dimensiones reales (largo y ancho) de la puerta.
5. Queremos hacer un puente sobre un río muy caudaloso. Para ello es necesario medir la longitud del ancho del río. El proceso que seguimos es el siguiente: • Nos fijamos en un árbol que hay en la orilla opuesta del río. Al punto que representa este árbol lo llamamos C. • Tomamos dos puntos en la orilla en la que nos encontramos, A y B, y medimos la distancia que los separa, 52 m. El punto A lo tomamos de manera que esté justo enfrente del árbol. • Situándonos en el punto A medimos el ángulo A, que mide 90º. • Situándonos sobre el punto B medimos el ángulo B, que mide 45º. Dibuja un triángulo A’B’C’ semejante al triángulo ABC y, teniendo en cuenta la razón de semejanza, calcula la longitud del ancho del río (AC).