Triángulo

TRIANGULO C

A

B

MATEMATICA II - 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

ESCUELA AGRÍCOLA SAN FELIPE

Aprendizajes esperados: • Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.

• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades.

• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras • Calcular áreas y perímetros de triángulos.

• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.

• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.

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Triángulo Es un polígono de tres lados.

Elementos primarios corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

• Vértices: Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.

C

En la figura, los vértices son A, B y C. A

B

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• Lados:

En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras C minúsculas. a

b AB = c,

Teorema:

BC = a,

AC = b

A

c

B

La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero. a+b>c b+c>a a+c>b www.themegallery.com Matemática II - 2010

Ejemplo: Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.

Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

3+4=7

No se cumple.

3+7>4

Sí se cumple.

4+7>3

Sí se cumple.

Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.

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Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero. a-b<c b-c<a Ejemplo:

a-c<b

Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.

Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.

5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.

8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.

Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo. www.themegallery.com Matemática II - 2010

• Ángulos interiores: Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. α, β

y

C

γ

γ

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

α A

β B

Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º α + β + γ = 180° Ejemplos:

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Teorema: En todo triรกngulo, a mayor รกngulo, se opone mayor lado y viceversa.

En el triรกngulo de la figura,

Ejemplo: C b

a c>a>b

A

c

B

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• Ángulos exteriores: Son los suplementos de los ángulos interiores. α´, β´

y

γ´

son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.

Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. α´ + β´ + γ´ = 360°

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Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. α’ = β + γ

β’ = α + γ γ’ = α + β Ejemplo:

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Elementos Secundarios corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

• Altura (h): Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

En la figura,

CD es la altura (hc) desde el vértice C. C

h

hc A

Ortocentro (H):

D

B

Es el punto de intersección de

las alturas

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• Bisectriz (b): Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

En la figura,

el

C

ACD =

DCB = α

bc A

Incentro:

D

B

Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

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โ ข Simetral (S): Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, estรก representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB. C S

A

B

Circuncentro: Punto de intersecciรณn de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triรกngulo.

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• Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.

La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

D, E y F: Puntos medios.

DF, DE y EF: Medianas DF// AB y DF = AB 2 DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC 2

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales.

El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo ABC. www.themegallery.com Matemática II - 2010

• Transversales de gravedad (t): Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

tc

tc: transversal desde C D: Punto medio del lado AB

Centro de gravedad o baricentro(G): Punto de intersección de las transversales.

El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

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D, E y F: Puntos medios.

AE = ta BF = tb CD = tc G: Centro de gravedad

Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

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Clasificación de los triángulos según sus ángulos: - Acutángulo

: 3 ángulos agudos

- Rectángulo

: 1 ángulo recto

- Obtusángulo

: 1 ángulo obtuso

Clasificación de los triángulos según sus lados: - Escaleno - Isósceles

: 3 lados distintos y 3 águlos distintos. : 2 lados iguales (el distinto se llama base).

Los ángulos ubicados en las bases son iguales.

- Equilátero

: 3 lados iguales. Sus 3 ángulos son iguales y miden 60º

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Generalidades:

base * altura Área = 2 Perímetro = suma de los lados a

c

a

a h

a, b c

c2 = a2 + b2

b : catetos : hipotenusa

a *b Área = 2

a

a* 3 h= 2

a2 * 3 Área = 4 www.themegallery.com Matemática II - 2010

Teoremas válidos para Triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.

cateto

hi po

te nu s

a

cateto

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Teorema de Pitรกgoras En todo triรกngulo rectรกngulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2

รณ

a2 + b2 = c2

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Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide

152 + (QR)2 = 252

(Aplicando teorema de Pitágoras)

225 + (QR)2 = 625

(Desarrollando)

(QR)2 = 625 - 225

(Despejando (QR)2 )

(QR)2 = 400

(Restando)

QR = 20

(Aplicando raíz) www.themegallery.com Matemática II - 2010

EJERCICIOS 1.- Hallar el รกrea del siguiente triรกngulo:

2.- Calcular el รกrea de un triรกngulo equilรกtero de 10 cm de lado.

3.- Calcular el รกrea del triรกngulo rectรกngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

4.- Los catetos de un triรกngulo rectรกngulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ยฟCuรกnto mide la hipotenusa?

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RESULTADOS EJERCICIOS 1.2.3.4 2 + 32 = c 2

4.- a2 + b2 = c2

16 + 9 = c 2 25 = c 2 / 5= c www.themegallery.com Matemรกtica II - 2010

TAREA Investigar y copia en tu cuaderno de geometría las formulas para calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas.

TRIÁNGULO

CUADRADO

ROMBO

TRAPECIO

RECTÁNGULO

CIRCUNFERENCIA www.themegallery.com Matemática II - 2010

GRACIAS POR SU ATENCIÓN Matemáticas II – 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

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