TRIANGULO C
A
B
MATEMATICA II - 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática
ESCUELA AGRÍCOLA SAN FELIPE
Aprendizajes esperados: • Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. • Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. • Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos. • Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras • Calcular áreas y perímetros de triángulos. • Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios. • Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.
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Triángulo Es un polígono de tres lados.
Elementos primarios corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.
• Vértices: Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.
C
En la figura, los vértices son A, B y C. A
B
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• Lados:
En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras C minúsculas. a
b AB = c,
Teorema:
BC = a,
AC = b
A
c
B
La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero. a+b>c b+c>a a+c>b www.themegallery.com Matemática II - 2010
Ejemplo: Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. 3+4=7
No se cumple.
3+7>4
Sí se cumple.
4+7>3
Sí se cumple.
Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.
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Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero. a-b<c b-c<a Ejemplo:
a-c<b
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. 8 - 5 = 3 > 2 No se cumple. 5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple. 8 - 2 = 6 > 5 No se cumple. Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo. www.themegallery.com Matemática II - 2010
• Ángulos interiores: Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. α, β
y
C
γ
γ
son los ángulos interiores del triángulo ABC.
α A
β B
Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º α + β + γ = 180° Ejemplos:
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Teorema: En todo triรกngulo, a mayor รกngulo, se opone mayor lado y viceversa.
En el triรกngulo de la figura,
Ejemplo: C b
a c>a>b
A
c
B
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• Ángulos exteriores: Son los suplementos de los ángulos interiores. α´, β´
y
γ´
son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.
Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. α´ + β´ + γ´ = 360°
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Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. α’ = β + γ
β’ = α + γ γ’ = α + β Ejemplo:
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Elementos Secundarios corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.
• Altura (h): Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura,
CD es la altura (hc) desde el vértice C. C
h
hc A
Ortocentro (H):
D
B
Es el punto de intersección de
las alturas
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• Bisectriz (b): Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. En la figura,
el
C
ACD =
DCB = α
bc A
Incentro:
D
B
Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
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โ ข Simetral (S): Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, estรก representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB. C S
A
B
Circuncentro: Punto de intersecciรณn de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triรกngulo.
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• Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios. DF, DE y EF: Medianas DF// AB y DF = AB 2 DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC 2
Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo ABC. www.themegallery.com Matemática II - 2010
• Transversales de gravedad (t): Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
tc
tc: transversal desde C D: Punto medio del lado AB
Centro de gravedad o baricentro(G): Punto de intersección de las transversales. El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
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D, E y F: Puntos medios. AE = ta BF = tb CD = tc G: Centro de gravedad
Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
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Clasificación de los triángulos según sus ángulos: - Acutángulo
: 3 ángulos agudos
- Rectángulo
: 1 ángulo recto
- Obtusángulo
: 1 ángulo obtuso
Clasificación de los triángulos según sus lados: - Escaleno - Isósceles
: 3 lados distintos y 3 águlos distintos. : 2 lados iguales (el distinto se llama base). Los ángulos ubicados en las bases son iguales.
- Equilátero
: 3 lados iguales. Sus 3 ángulos son iguales y miden 60º
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Generalidades:
base * altura Área = 2 Perímetro = suma de los lados a
c
a
a h
a, b c
c2 = a2 + b2
b : catetos : hipotenusa
a *b Área = 2
a
a* 3 h= 2
a2 * 3 Área = 4 www.themegallery.com Matemática II - 2010
Teoremas válidos para Triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.
cateto
hi po
te nu s
a
cateto
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Teorema de Pitรกgoras En todo triรกngulo rectรกngulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
รณ
a2 + b2 = c2
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Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
152 + (QR)2 = 252
(Aplicando teorema de Pitágoras)
225 + (QR)2 = 625
(Desarrollando)
(QR)2 = 625 - 225
(Despejando (QR)2 )
(QR)2 = 400
(Restando)
QR = 20
(Aplicando raíz) www.themegallery.com Matemática II - 2010
EJERCICIOS 1.- Hallar el รกrea del siguiente triรกngulo:
2.- Calcular el รกrea de un triรกngulo equilรกtero de 10 cm de lado. 3.- Calcular el รกrea del triรกngulo rectรกngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
4.- Los catetos de un triรกngulo rectรกngulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ยฟCuรกnto mide la hipotenusa?
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RESULTADOS EJERCICIOS 1.2.3.4 2 + 32 = c 2
4.- a2 + b2 = c2
16 + 9 = c 2 25 = c 2 / 5= c www.themegallery.com Matemรกtica II - 2010
TAREA Investigar y copia en tu cuaderno de geometría las formulas para calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas.
TRIÁNGULO
CUADRADO
ROMBO
TRAPECIO
RECTÁNGULO
CIRCUNFERENCIA www.themegallery.com Matemática II - 2010
GRACIAS POR SU ATENCIÓN Matemáticas II – 2010 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática
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