MATEMÁTIC@mente Año 1, Nº 01, Julio de 2010
M a t e má t i c o d e l me s :
En esta Edición:
N i co l o F o n t a n a "Tartaglia"
"EL MUNDO DE LOS POLINOMIOS" MatemaTIC:
El Álgebra co n p a p a s Cu r i o s i d a d e s :
M u l t i p l i ca n d o en jeroglífico
Editorial Hoy en día vivimos sumidos en una sociedad que sin darnos cuenta va modificando nuestras vidas, nuestra manera de interactuar, acceder a la información y enfrentarnos al conocimiento, en fin… nuestro modo de aprender. Nos referimos a esta sociedad del conocimiento en el que la incorporación de las Tecnologías de la información y comunicación es inminente en todos los campos, por tanto, en educación se han convertido en uno de los retos más modernizadores de este sistema. Uno de los propósitos de la educación básica es lograr en los estudiantes el desarrollo del pensamiento matemático y de la cultura científica y tecnológica para comprender y actuar en el mundo, descubrir que las matemáticas sí están relacionadas con la vida y con las situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la escuela. Para lograrlo, incorporamos estrategias que impulsan el uso de las TIC en situaciones de aprendizaje de las matemáticas promoviendo el trabajo colaborativo fomentando la interacción y la capacidad crítica de los estudiantes. Por ello, damos inicio a la 1º edición de nuestra revista, cuyo objetivo es la difusión de las matemáticas por medio de la publicación electrónica de artículos, cuyos contenidos corresponden a un tema específico del área, proveeremos material con planteamientos y recursos acerca de la Integración de las tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC) en la clase de Matemáticas. En esta primera edición nos concentraremos en el estudio de los Polinomios como parte importante del álgebra y también otros aspectos como la resolución de algunos ejercicios y problemas, los cuales servirán como material didáctico a los docentes y alumnos; Además incluiremos algunos artículos que servirán de apoyo a los padres de familia para colaborar con el aprendizaje de sus hijos. Lo invitamos a disfrutar de este número de la revista esperando que le sea de mucha utilidad para el logro de los objetivos de aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes. Deseándoles éxitos en su labor.
Nancy Bazalar
EDICIÓN GENERAL:
Nancy Bazalar
COLABORADORES:
NÚMERO: Uno
Julio de 2010
Distribución gratuita
ESCRÍBANOS A:
nancybazalar@gmail.com
Sumario TEMÁTICA El Mundo de los Polinomios: Historia ... 05 ¿Qué es un Polinomio? ... 06 Operaciones con polinomios ...07
MATEMATIC El Álgebra con Papas
MATEMÁTICO DEL MES Nicolo Fontana "Tartaglia" ... 09
MISCELÁNEA Los padres enseñan
... 11
CURIOSIDADES Multiplicando en Jeroglífico ..13
... 15
Galileo Galilei.
El Mundo de los Polinomios conocer su historia?
¿Qué te parece...
T e m á t i c
a
E
n España, donde la influencia árabe fue muy importante, surgió el término álgebra, se utilizó para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados y por ello, el término algebrista hacía referencia a la persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa almuqabalah, fue la obra más importante del matemático árabe Al-Khowarizmi; parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el álgebra. Al-jabr quiere decir algo así como ”restitución”, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Con el
álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas. Para trabajar eficazmente en matemáticas debemos operar convenientemente con expresiones algebraicas, de modo que se transformen las expresiones en otras idénticas, pero más fáciles de manejar. De allí que surge el término "Monomio" que son expresiones algebraicas en las que las variables están multiplicadas entre sí y/o por constantes. Se denominan así porque forman un solo ”bloque”, luego, los Polinomios están formados por la suma algebraica de dos o más monomios.
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"L o s p o l in o m io s s o n un a p a r t e i m p o r ta n te d e l Á l g e br a . E s tá n p r e s e n te s e n to d o s l o s c o n te x to s c i e n tí f i c o s y te c n o l ó g i c o s : de s de l o s o rde na do re s y l a i n f o r m á ti c a h a s ta l a c a r r e r a e s p a c ia l "
Lo q u e d e b o s a b e r . . . ¿Qué es un Polinomio? http://pe.kalipedia.com/matematicasalgebra/tema/polinomios.html
n polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios. Los monomios que lo forman se llaman términos del polinomio". La expresión Q(x) indica un polinomio de una variable, x. Q(x) = 3x5 - 3x4 - x3 - 9x + 7 es un polinomio de variable x. La expresión P(x, y) es un polinomio de dos variables: x e y. P(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy 2 es un polinomio de dos variables.
Recuerda EL GRADO de un polinomio reducido es el grado del término de mayor grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3. EL TÉRMINO INDEPENDIENTE de un polinomio reducido es el monomio de grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1. Un polinomio de grado n es COMPLETO cuando contiene todos los monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando los monomios se expresan de forma creciente o decreciente. Por ejemplo, P(x) = 2x3 - 3x2 + 1 no es completo porque no contiene ningún monomio de primer grado. El polinomio OPUESTO de
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P(x) es -P(x) y se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x). Por ejemplo: P(x) = 2x3 - 3x2 + 1 ; su opuesto será: -P(x) = -2x3 + 3x2 - 1
¿Sabías que...? "Los polinomios se presentan en muchos contextos de la vida real. Un ejemplo es la caída libre".
¿Resolver las operaciones? mmm... ¡ Tarea fácil ! SUMA DE POLINOMIOS.
Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. Por ejemplo, sean: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4 El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2 Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal: 2x3 + 8x3 = 10x3 -5x2 + 3x2 = -2x3 6-4=2
RESTA DE POLINOMIOS.
Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. Por ejemplo, consideremos: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4 El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 8x2 + x + 10 Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos los que tenían la misma parte literal:
2x3 - 8x3 = -6x3 -5x2 - 3x2 = -8x3 6 - (-4) = 10
PRODUCTO DE POLINOMIOS.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte literal.
Por ejemplo, consideremos: P(x)= 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 3x - 4 Luego, P(x).Q(x) = 6x4 - 8x3 - 15x3 + 20x2 + 18x - 24 El Polinomio resultante será: P(x).Q(x) = 6x4 - 23x3 + 20x2 + 18x - 24
División y más...
La Universidad San Martín de Porres a través de la USMP Virtual te ofrece Cursos online orientados al aprendizaje activo y práctico http://www.usmpvirtual.edu.pe/ - 07 -
Pa r a s a b e r m á s . . . Podemos realizar otras operaciones con los Polinomios, te invitamos a investigar y profundizar un poco más sobre éstos temas visitando los sitios WEB que hemos seleccionado para tí, haciendo CLIC sobre los enlaces.
Ga l e r í a M u l t i me d i a
División de Polinomios
División por Ruffini
Teorema del Resto
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Factorización de Polinomios
El ma t e má t i c o d e l me s :
Nicolo Fontana "Tartaglia"
Nicolo Fontana "Tartaglia" 1 499 - 1 557 El matemático italiano Nicolás Tartaglia ideó el método de resolución de ecuaciones de tercer grado. El tratamiento de la ecuación cúbica general proporcionó, por vez primera, argumentos válidos para la aceptación de los números complejos. Nicolás Tartaglia nació en Brescia (Italia) en 1499. Su verdadero nombre era Nicolo Fontana; «Tartaglia» era un apodo que se le adjudicó a consecuencia de su tartamudeo (tartaglia significa el que tartamudea). Una herida de infancia, recibida en la boca durante el saqueo de su ciudad natal (1512) por las tropas de Gastó de Foix, le impediría hablar bien durante el resto de sus días.
De formación autodidacta, se especializó en geometría y matemáticas y ¡legó a ser profesor de esta última materia en las ciudades de Viena, Mantua y Venecia. En 1 535 fue retado en un torneo matemático en el que se planteaban diversos aspectos relacionados con la ecuación de tercer grado; tres días antes de su clausura, lartaglia descubría la solución a la ecuación x3 + Ax2 + Bx + C = O, lo cual le permitió resolver sin problema todas las cuestiones planteadas en el concurso. Tartaglia comunicó el hallazgo a su colega Cardano, quien, a pesar de haberle prometido que no lo divulgaría, publicó en su obra Ars Magna la teoría completa de la ecuación de tercer grado. Hay quien afirma, no obstante, que fue Cardano quien encontró la solución a las citadas ecuaciones antes que Tartaglia. La moderna teoría de la probabilidad toma también en cuenta las aportaciones del matemático, que, como otros de su época, realizó diversas investigaciones acerca de los juegos de azar. Además, Tartaglia fue el introductor de las matemáticas al arte militar.
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Sus Obras: • "Trattato di numeri et misure" • "Nuova Scientia, cioè invenzione nuovamente trovata utile per ciascuno speculativo matematico bombardero et altri" • "Questi et invenzioni diverse" • "La travagliata invenzione" • "Trattato di aritmética"
M a t e m á t i c o
En 1 546 publicó su obra más importante, Preguntas e inventos diversos. En ella se extiende acerca de cuestiones relacionadas con el álgebra y en la teoría de la ecuación de tercer grado; trata también de las matemáticas aplicadas a la balística y los explosivos y al levantamiento de planos. Un año antes de su muerte —falleció en 1557, en Venecia— comenzó a escribir su Trattato de numen et misure (Tratado general de números y medidas), que no vería publicado en vida. En él compila las reglas del álgebra, la geometría y la aritmética, y también las de la física. Recoge, además, numerosos ejemplos de las matemáticas aplicadas a los juegos de azar.
El Portal PerúEduca es el canal de comunicación interactivo donde convergen los diferentes actores de la educación, apoyando a docentes y estudiantes en los procesos de enseñanzaaprendizaje para la mejora de la calidad en la educación y reforzando los valores socioculturales de la comunidad.
Visítalo en:
http://www.perueduca.edu.pe/web/visitante/inicio
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E l Á l g e b r a c o n Pa p a s Hot Potatoes: "Una gran herramienta para elaborar actividades de aprendizaje interactivos"
E
l “Álgebra con papas” consiste en una serie de test hechos con Hot Potatoes (En la herramienta JCloze). Esto no es nuevo.
M a t e m a T I C
Matemáticas y otras ciencias, uno de ellos tiene a un corrector mucho mayor que de otras que los adolescentes suelen formas. preferir al profesor: el ordenador.
Es fácil encontrar este tipo de recursos en la red. No es, sin embargo, tan corriente en Matemáticas y, ya dentro de éstas, mucho menos en Álgebra dado lo poco adaptado que están estos programas para crear huecos directamente sobre fórmulas matemáticas. Cuando existen suelen ser algo lejanos a la realidad de la clase y quizá por eso se usan de manera anecdótica y puntual.
Con “Álgebra con Papas” el Álgebra interactiva se hace fácil. Los alumnos ven directamente los desarrollos matemáticos tal y como aparecen en cualquier libro de texto o en la pizarra de la clase. Al haberse emborronado algunas partes deben recurrir a sus conocimientos para saber lo que falta. Una vez que ha contestado a las preguntas correctamente, aparece el desarrollo libre de borrones y puede copiarlo en su cuaderno.
Lo novedoso del recurso es que gracias al método indirecto de crear huecos sobre una imagen emborronándola, es posible una interactividad en las
El trabajo sobre el ordenador no es puntual ni anecdótico, el alumno aprende mejor que si sólo usara el lápiz y el papel entre otras cosas porque cada
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Se incluyen también ejercicios en los que la verbalización de las definiciones matemáticas ayuda a comprenderlas mejor. Además las animaciones gif creadas específicamente para ilustrar algunos aspectos teóricos de una manera visual, ayudan al alumno/a a comprender mucho mejor la asignatura. "Álgebra con Papas " es en origen un proyecto aprobado por la JUNTA DE ANDALUCÍA para recursos educativos desarrollados con software libre en la convocatoria del 2005 que ha sido ampliado en el año 2009. Cubre la mayor parte del Álgebra de Secundaria.
Ventajas al usar "Algebra con papas" http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/depart amentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index. htm
encontrar tests que se adapten a alumnos a los que le cuesta más trabajo y a los que van más deprisa. -Integrar las TIC en el trabajo cotidiano de realización de ejercicios de Matemáticas. -Acercar los ejercicios de matemáticas a los alumnos y alumnas. Los ejercicios se presentan al alumnado de una manera muy especial. No están totalmente resueltos pero tampoco están en blanco. De esta forma a los alumnos les resulta más fácil resolver ejercicios. De alguna manera se facilita su resolución. -Las animaciones, mejores explicaciones. Las ventajas que desde el punto de vista didáctico ofrece una animación frente a una imagen estática no tienen discusión. También favorecen el repaso , ("¿cómo se hacía esto?"). Como ejemplo veáse la animación de la Regla de Ruffini y compárese con la explicación de un libro de texto llena de flechas. -Individualización del trabajo. El alumno/a trabaja de manera individual con el ordenador que se adapta a diferentes ritmos de aprendizaje.
-Incremento del tiempo de atención al alumnado. El alumno o alumna que tiene menos dificultades para aprender, sólo necesita unas indicaciones para rellenar correctamente los tests. El ordenador tutoriza su aprendizaje. No sustituye completamente al profesor o profesora pero si le libera de algunas tareas. El alumno problemático que no quiere hacer nada, es probable que siga sin querer (aunque mi experiencia es que muchos de estos alumnos o alumnas se animan a trabajar) pero el profesor dispone de más tiempo para atender a los alumnos y alumnas de nivel medio-bajo con interés.
-Integración de alumnos y alumnas con NEE. Dada la amplitud de tests y de niveles distintos, siempre es posible
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-Posibilidad de repasar. Una vez que el alumno ha hecho los tests correspondientes de una unidad y los ha copiado en su cuaderno, puede repasar y volver a hacer los tests que le hayan costado más trabajo terminar correctamente. Como la página está colgada en la web puede hacerlo desde casa. -Adaptación. Álgebra con Papas no requiere una secuencia determinada de aprendizaje sino que se adapta perfectamente a cualquier profesor y grupo de alumnos por la variedad de ejercicios y de grados de dificultad. El uso del "Mapa" hace asequible una navegación "salpicada". -El profesor, mediador: El profesor se convierte en un mediador entre el alumno y el objeto de aprendizaje.
Multiplicando en je r o g l í f i c o H e aquí una particular forma de aprender a multiplicar en jeroglífico, como lo hacían los egipcios hace casi
5 mil años. Esta multiplicación es conocida también como duplicación del multiplicando, y para realizarla no es necesario conocer la tabla de multiplicar, aquella que nos hicieron aprender desde pequeños al son de la tableta o los menos adultos a partir de memorismos innecesarios, simplemente……. necesitamos saber sumar. En el antiguo Egipto es el modo en cómo realizaban las multiplicaciones y se conocía como “multiplicación y mediación”; actualmente éste método es utilizado; empero lamentablemente únicamente por campesinos y otras personas muy escasas en países como Rusia. Qué mejor forma de explicar éste método que realizando un ejemplo para que todos podamos seguirlo paso a paso y pues… quien sabe aprender a realizar las multiplicaciones de un modo más sencillo… bueno para alguien que no sepa multiplicar. Así que vayamos a los pasos a seguir por el algoritmo y posteriormente ejemplificaremos con números. En primer lugar determinaremos los símbolos jeroglificos valores y sus correspondencias arábigas, como se muestra en la tabla
C u r i o s i d a d e s
Supongamos que deseamos multiplicar W x Z los pasos a seguir son los siguientes: 1. Escribimos en una primera columna la serie 1, 2, 4, 8, 16, … mientras que sea menor a W (2n < W), esto se puede obtener sumando las anteriores. 2. Posteriormente escribimos una segunda columna donde se pondrá la serie: Z, 2Z, 4Z, 8Z, .., del mismo modo lo realizaremos sumando las anteriores. 3. Ahora en la tercera columna necesitamos marcar los renglones que contengan los números en la primera columna que al sumarlos nos den como resultado “W”, esto lo realizamos checándolo del mayor al menor. 4. De éste modo el resultado se obtiene simplemente sumando las cifras que se encuentran en la 2° columna de los renglones marcados.
Símbolos jeroglíficos y sus correspondencias arábigas
Veámoslo con un ejemplo: ... - 13 -
¿Qieres saber más sobre las m a t e m á t i ca s en Egipto? Video: Matemáticas en Egipto. http://www.youtube.com/watch?v=P w8PgmnDdSc&feature=related
Ejemplo: Calcular: 67 x 82 1
82
Ok
2
164
Ok
4
328
8
656
16
1312
32
2624
64
5248 Ok
5494 = (5248+164+82) Se escogieron los renglones que tienen en la primer columna 64, 2 y 1 debido a que 64+2+1=67 que es nuestro número “W”.
El resultado es la suma de los números que están en esos renglones en la segunda columna (5248, 164 y 82).
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Lo s p a d r e s e n s e ñ a n ...
L
os padres pueden enseñar a los hijos resolver problemas de la vida real con las matemáticas por medio de actividades cotidianas, tales como el cocinar o el recorte de cupones, los padres de familia pueden ayudar a sus hijos con el aprendizaje de los principios matemáticos y así calmar los temores con respecto a esa materia. La organización Southwest Educational Development Laboratory (conocida como SEDL por sus siglas en inglés) ofrece varias maneras en que los padres puedenmejorar la comprensión de los conceptos matemáticos a través de aplicaciones cotidianas. “Con las matemáticas se necesita trabajar, no eludir,” dijo Janice Bradley, coordinadora con la organización Charles A. Dana Center de la Universidad de Texas en Austin, que es uno de los socios de SEDL.”No queremos que nuestros hijos tengan los mismos temores y fobias que nosostros sufrimos con respecto a las matemáticas.” Mientras se encuentran de paseo, los padres pueden preguntar a sus hijos, “La casa de la abuela está a 130o m. de
distancia y hemos recorrido ya 450 m., entonces ¿cuántos metros nos falta para llegar?. En un restaurante, los niños pueden calcular el costo de la comida con bebida y postre. Ellos pueden también calcular el cambio al pagar y determinar la cantidad que se agregará por impuesto y propina. Bradley sugiere que los padres • Ofrezcan comentarios positivos acerca de las matemáticas. Para cada padre que diga que las matemáticas son difíciles, hay un niño que lo cree. • Comuniquen a sus hijos que el proceso de resolución de un problema es en ocasiones más importante que la respuesta exacta. • Practiquen la estimación con sus hijos. Las buenas destrezas de estimación ayudan el sentido
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M i s c e l á n e a
numérico y espacial. • No estructuren demasiado la instrucción de matemáticas. Aprovéchese de algún momento dado para el aprendizaje. • Olvídese de los ejercicios con tarjetas didácticas. En su lugar, explore las matemáticas de la vida real. Hagan cálculos durante las compras. Diseñen un jardín. • Lean un mapa. Participen en un juego. SEDL es una corporación sin fines de lucro con base en Austin, que dirige programas de investigación, desarrollo y difusión con enfoque al mejoramiento del rendimiento escolar; al fortalecimiento de la educación, a la integración de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje. De : http://www.sedl.org/new /press/Parents_math_sp.pdf