ALBERT EINSTEIN: 100 AÑOS DE RELATIVIDAD by FERNANDO BERNABÉ LÓPEZ

albert einstein: 100 a単os de relatividad

c u a d e r n o

d e

t r a b a j o

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Cuaderno de Trabajo

exposiCión

Edita y produce Ayuntamiento de Murcia

Museo de la Ciencia y el Agua Ayuntamiento de Murcia

Alcalde Presidente Miguel Ángel Cámara Botía

Jefe de Servicios de Museos y Actividades Culturales Manuel Fernández-Delgado Cerdá

Teniente Alcalde de Cultura y Festejos Antonio González Barnés Texto, ilustraciones y diseño Fernando Bernabé López –NANO– www.nanocartoon.es

Colaboran Alejandro Soler y Antonio Guirao Imprime PICTOGRAFÍA

Dirección Maribel Parra Lledó Documentación Fco. Alejandro Soler Vera Diseño Severo Almansa

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albert einstein: 100 años de relatividad

ÍndiCe Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 El cuaderno y nuestro personaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sabías que Albert Einstein... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 La importancia de la imaginación en la investigación científica . . . . . . . 7 El movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 El efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 La Teoría de la Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 La equivalencia masa-energía y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . 16 La teoría de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Los agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Sobre Albert Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bibliografía y direcciones web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

PRESENTACIÓN

Con la exposición “Albert Einstein: 100 años de relatividad”, el Museo de la Ciencia y el Agua quiere conmemorar el año mundial de la Física, instituido en el primer centenario de la publicación, por el eminente científico alemán, de sus trabajos sobre la Relatividad Especial, el movimiento browniano y el efecto fotoeléctrico. Tanto la exposición, como el cuaderno de trabajo, el ciclo de conferencias, los documentales o los talleres, tienen como objetivo aportar nuestro granito de arena al programa de actividades que la comunidad científica mundial ha preparado para tratar de mejorar la percepción pública de la Física, su importancia en la vida cotidiana, y fomentar el interés de los jóvenes por el estudio de esta materia. La exposición se ha centrado en tres de los artículos publicados (teoría de la Relatividad, el efecto fotoeléctrico y el movimiento browniano), así como las aplicaciones de estos descubrimientos en la vida real; por ello el cuaderno de trabajo va repasando estos conceptos a fin de servir de guía en la exposición, utilizando el humor para hacer más cercanos tanto al personaje como a sus aportaciones científicas.

albert einstein: 100 años de relatividad

. EL CUADERNO Y NUESTRO PERSONAJE “En los momentos de Crisis, sólo la imaginación es más importante que el conocimiento” Albert Einstein

OBJETIVO DEL CUADERNO Facilitar la comprensión de los aportes más significativos que Albert Einstein hizo a la Física, así como destacar la importancia del papel jugado por la imaginación y los criterios estéticos en sus investigaciones científicas... y también en las nuestras.

METODOLOGÍA Seguiremos, en parte, el recorrido trazado por los paneles de la exposición “Albert Einstein: 100 años de relatividad”, completando su contenido con algunos aportes teóricos propios. Se utilizarán ilustraciones y gráficos, acompañados de propuestas y ejercicios con diferente grado de dificultad, que el lector podrá realizar para afianzar y clarificar conceptos. Para destacar la importancia de la imaginación, cambiaremos la clásica frase “razona tu respuesta”, por “imagina tu respuesta”, o la de “imaginación al poder”, por “imaginación a la ciencia”, en algunas de las cuestiones planteadas. Durante nuestra travesía por este fantástico mundo de la Relatividad nos acompañará Al, el simpático personaje Alberto Unapiedra (Albert Einstein, en alemán).

¡HOLA, SOY AL!, Y AUNQUE ME LLAMAN ”EL MONSTRUO DE LA RELATIVIDAD”, ME TIENES A TU ABSOLUTA DISPOSICIÓN!

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. SABÍAS QUE EINSTEIN...

— No empezó a hablar hasta los tres años y que este hecho parece que desarrolló en él una alta capacidad para “pensar en imágenes”; — A los 16 años ya había sembrado la semilla de la teoría de la Relatividad Especial cuando se imaginó qué sucedería al perseguir un rayo de luz a la misma velocidad que él; — Comenzó a forjar su pensamiento anárquico y cuestionador de toda autoridad en la adolescencia con la lectura de libros de ciencias, y que se potenció y maduró durante sus años de estudiante en Zurich, en un ambiente cosmopolita y revolucionario (Rosa Luxemburgo, Karl Radek, Lenin...); — No pudo conseguir una plaza de docente, ni que fuese aceptada su tesis doctoral, y se tuvo que hacer funcionario en una oficina de patentes; — Posiblemente se atrevió a desafiar el “sentido común” y el sentimiento común de los científicos “seriotes” acerca del espacio y el tiempo, porque ningún privilegio tenía que perder, y ya se sabe... “los perdidos, al río”; — Con su empeño, al final de su vida, de mantenerse en una postura antiprobalística con relación a la mecánica cuántica (“Dios no juega a los dados”, diría), le hizo caer en la marginalidad dentro de los ambientes ciéntificos.

¡ESTO ES LO QUE OPINO YO DE LAS INCERTIDUMBRES MECANOCUÁNTICAS!

...AUNQUE MIS AMIGOS CUÁNTICOS CASI ME CONVENCIERON DE QUE DIOS NO JUEGA A LOS DADOS PORQUE LE LE GUSTA MÁS LA RULETA... ¡ESPERO QUE NO SEA LA “RUSA”! ¡DEJAD DE DECIR LO QUE TENGO QUE HACER, LEÑE! (DIOS, cabreado)

PROPUESTA: 1. Explica razonada e imaginativamente qué datos aparecen en la biografía de Albert

(le llamaremos a Einstein indistintamente también con su nombre de pila) que nos pueden ayudar a entender la genialidad de sus descubrimientos. (Si aún no te atreves a responder, lo haces después de echarle un vistazo a las páginas que vienen a continuación.) ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. .............................................................................

albert einstein: 100 años de relatividad

. la importancia de la imaginación en la investigación científica

¡La imaginación es el martillo rompedor de los prejuicios que encajonan a nuestro conocimiento, liberándolo a sus potencialidades! La imaginación creadora o creatividad no consiste tanto en hacer surgir algo, material o conceptual, totalmente nuevo, cuanto en ver o utilizar de una manera novedosa elementos que hasta ese momento sólo se veían o utilizaban de un determinado modo. ES LO QUE ME PASÓ A MÍ CON EL ESPACIO Y EL TIEMPO EN LA RELATIVIDAD ESPECIAL, Y CON LA MASA INERCIAL Y LA GRAVITATORIA EN LA GENERAL. ¡SOY UN LINCE CREATIVO! (CONFÍO NO SER UNA ESPECIE EN EXTINCIÓN)

YA LO DECÍA EL ECLESIASTÉS EN LA BIBLIA: “NADA NUEVO HAY BAJO EL SOL”. YO DIRÍA: SALVO LO QUE SE HA OLVIDADO O LO QUE AÚN NO SE HA LLEGADO A VER.

Si tenemos en cuenta la importancia que como físico teórico tenía para Einstein el método deductivo o constructivista (partir de la teoría para llegar a unas conclusiones capaces de ser contrastadas con la práctica), en oposición al método inductivo (realiza el camino inverso), vulgarmente llamado “método científico”, es lógico pensar que la subjetividad del individuo juega un papel importante en todo este proceso. En el caso de Einstein es evidente que la religión y la filosofía influyeron en su cosmovisión y ésta fue esencial para la elaboración de sus teorías. Si Albert elaboró la teoría de la Relatividad Especial (en adelante, RE) y de la Relatividad General (RG, en adelante), fue precisamente para disfrutar de un mundo más real y satisfactorio que el pobre mundo en el que nosotros vivimos al día.

PROPUESTAS: 1. Une la frase con el nombre del ciéntífico que la dijo. “Los conceptos fundamentales y las leyes de su sistema pueden derivarse de la experiencia.”

Einstein

“La base axiomática de la física teórica (...) debe inventarse libremente.”

Newton

2. ¿Cuál de estas dos afirmaciones se parece más al método utilizado por Einstein: “Si no lo veo, no lo creo”, o “Si crees —si lo imaginas—, verás”? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ............................................................................. .............................................................................

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. EL movimiento browniano

¡VUELTAS LE LLEVABA YO DANDO A ESTE MOVIMIENTO, EXACTAMENTE DESDE QUE TOMABA TÉ CON MI GRAN AMIGO, MIGUEL BESSO! ME PREGUNTABA ACERCA DE LA RELACIÓN ENTRE LA VISCOSIDAD DEL LÍQUIDO Y EL TAMAÑO DE LAS MOLÉCULAS DE AZÚCAR DISUELTAS EN ÉL. A PARTIR DE AQUÍ, ME PROPUSE DEMOSTRAR LA EXISTENCIA DE ÁTOMOS DE TAMAÑO DEFINIDO. (EL CONCEPTO DE ÁTOMO ERA TODAVÍA OBJETO DE DISCUSIÓN EN CIERTOS CÍRCULOS.) FUE CUANDO PUBLIQUÉ UNO DE LOS TRES FAMOSOS ARTÍCULOS DEL AÑO 1905, BAJO EL TÍTULO “SOBRE EL MOVIMIENTO QUE VIENE IMPUESTO POR LA TEORÍA CINÉTICA DEL CALOR A LAS PARTÍCULAS EN SUSPENSIÓN EN LÍQUIDOS EN REPOSO”, APARECIÓ EN JULIO.

En este artículo de Albert Einstein se hallaba una predicción del número y la masa de las moléculas contenidas en un determinado volumen de líquido, así como de su movilidad errática. Einstein sugirió que el movimiento de las moléculas de agua era tan enérgico que éstas empujaban a las partículas en suspensión, provocando una danza visible al microscopio.

PROPUESTAS: 1. Se llama movimiento browniano a:

¢ Un partido político de izquierdas donde militaba Alberto; ¢ El movimiento en círculo de partículas en agua; ¢ El movimiento caótico en zig-zag, de granos de polen en agua.

2. ¿Cuál es la causa del movimiento browniano?:

¢ Las fuerzas electrostáticas; ¢ Las fuerzas políticas; ¢ Los “golpes” de las moléculas.

VISIÓN MICROSCÓPICA

VISIÓN MACROSCÓPICA

Este artículo resultó ser muy fructífero: contribuyó decisívamente al desarrollo de la mecánica estadística moderna y de él se dedujeron métodos aplicables a la simulación del comportamiento de los contaminantes que transporta el aire o de las fluctuaciones bursátiles. ¡Hay que ver lo que da de sí un terrón de azucar!

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¡Y AHORA, A ESTRENAR LA IMAGINACIÓN PARA QUIENES LA TENÍAN GUARDADA Y A ENTRENARLA PARA QUIENES LA TENÍAN ENTUMECIDA!

CUESTIONES: 1. Una gota de aceite en agua se mantiene compacta, ¿se debe a que las moléculas

de agua la golpean a lo largo de toda la superficie y no dejan que se separe? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................

2. Una partícula micróscopica, orgánica o inorgánica, ¿podría desplazarse por el agua en línea

recta? En caso de que lo hiciese, ¿cuál sería su causa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................

3. El movimiento browniano, ¿se da en cualquier fluido, por ejemplo, aceite? Si así fuera, ¿lo haría de la misma manera que en el agua? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. 4. Y en los gases, ¿se da este tipo de movimiento? En caso afirmativo, ¿será más o menos visible que en los fluidos? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ¡LA IMAGINACIÓN A LA CIENCIA!

Invéntate otra teoría, no importa lo extravagante que sea, pero eso sí, debe ser coherente con los datos experimentales, para explicar el movimiento browniano. ....................... ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. .................................

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. EL Efecto fotoeléctrico

COMO DURANTE TANTOS AÑOS SE VENÍA DICIENDO, EN LOS SELECTOS CÍRCULOS CIENTÍFICOS, QUE LA LUZ ERA DE CARÁCTER ONDULATORIO, PUES YO, POR MI ESPÍRITU CONTESTATARIO, A LLEVARLES LA CONTRARIA: LA LUZ ESTÁ COMPUESTA POR PARTÍCULAS, LOS FOTONES, QUE SON PAQUETES DE ENERGÍA. AH, Y PARA AQUELLOS QUE DICEN QUE ISAAC (NEWTON) Y YO NOS LLEVAMOS A MUERTE, RECORDARLES QUE ÉL TAMBIÉN APOYÓ LA HIPÓTESIS CORPUSCULAR PARA LA LUZ. Y ES QUE A MÍ ME GUSTABA METERLE PAQUETES A LOS CIENTÍFICOS SERIOTES DE ENTONCES, AUNQUE FUESEN DE ENERGÍA!

El artículo sobre el efecto fotoeléctrico le valió el Premio Nóbel en 1921. Einstein se apropió del concepto de cuanto de energía de Max Planck y lo amplió diciendo que los cuerpos calientes sólo pueden emitir o absorber energía en determinadas cantidades discretas. Con esto se explicaba el efecto fotoeléctrico: cuando la luz incide sobre un metal, éste emite electrones, y estos adquieren una velocidad proporcional no a la intensidad, sino a la frecuencia de la radiación incidente.

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CUESTIONES: 1. Señala con una “X” en el circulito lo que crees que ocurre al aumentar el número de lanzamientos con piedras-fotón naranjas:

¢ Aumenta el número de e- desprendidos y lo hacen a la misma velocidad; ¢ Aumenta el número de e- desprendidos pero a una velocidad menor; ¢ Aumenta el número de e- desprendidos y a una velocidad mayor; ¢ No aumenta el número de e- desprendidos pero sí su velocidad.

2. Señala con una “X” en el circulito, lo que crees que ocurre al lanzar piedras-fotón grises, más grandes —más energía— que las naranja: ¢ Un impacto de la piedra gris hace saltar más e- que uno de la piedra naranja; ¢ Hace saltar el mismo número pero a una velocidad mayor, v2>v1; ¢ Para cualquier impacto, v1=v2.

3. Ojo a la frase: “Si un fotón aumenta su velocidad de impacto sobre el e- de la superficie

metálica, hace que éste salte a una mayor velocidad”. ¢ Verdadera ¢ Falsa. Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. .............................................................................

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. LA teoría de la relatividad especial

¡DIFÍCIL TAREA LA MÍA: LA DE EN UNAS PEQUEÑAS PÁGINAS INTENTAR PLASMAR EL SIGNIFICADO DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL! ¡INTENTARÉ IR RELATIVAMENTE LENTO COMO PARA QUE NO SE REDUZCA AÚN MÁS EL TAMAÑO DE ESTAS HOJAS, DE ESTE MODO TAMPOCO SE DILATÁRÁ EN EXCESO EL TIEMPO DE EXPOSICIÓN, Y ASÍ EVITO HACERME DEMASIADO PESADO!

¡ANDA, PERO SI YA OS HE DICHO LO FUNDAMENTAL SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL! ¡HAY QUE VER LO INTELIGENTE Y DESPISTADO QUE SOY!... BUENO..., TAMPOCO ME LO DEBO CREER DEMASIADO, PORQUE, COMO DIJO ALGUIEN DE CUYO NOMBRE NO CONSIGO ACORDARME, TODO ES RELATIVO. PERO, SI TODO ES RELATIVO...¡ENTONCES TAMBIÉN ES RELATIVA LA RELATIVIDAD! Y LO QUE ELLA AFIRMA, POR TANTO ES... ¡ABSOLUTO! ¡NADA DE ESO, QUERIDA AMIGA; LO QUE TÚ DICES ES RELATIVISMO, O SUBJETIVISMO, NO RELATIVIDAD! DE HECHO, HASTA QUE EN 1928 NO RECIBIÓ ESE NOMBRE, A MI TEORÍA PREFERÍA LLAMARLA “TEORÍA DE LAS INVARIANTES”.

Antes de continuar, hay que dejar claro que lo que movió a Albert a desarrollar esta teoría no fue la exigencia de responder a los resultados negativos de ciertos experimentos —como el de Michelson y Morley—, sino el deseo de extender el principio de relatividad a toda la Física: Mecánica y Electromagnetismo. Por otra parte, esta primera Teoría de la Relatividad se aplica sólo a sistemas inerciales, o lo que es lo mismo, a sistemas con velocidad constante. Una curiosidad, ¿has oído hablar de la cuarta dimensión?... Si eres capaz de resolver la cuestión número 7 te enterarás de qué va la cosa.

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CUESTIONES: 1. Las dos viñetas que tienes abajo hacen referencia a dos principios funda-

mentales de la RE: enúncialos.

a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ............................................................................. b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. .............................................................................

2. Si nuestro fotóncorredor se transforma en fotónbuceador, ¿se desplaza en ambos casos a la misma velocidad? Imagina tu respuesta. ¢ C1<C2 ¢ C1>C2 ¢ C1=C2 Porque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

............................................................................. .............................................................................

3. De los dos principios de que parte la RE se derivan unos resultados muy curiosos relacionados con conceptos tan comunes y esenciales para nosotros como: el tiempo, la longitud y la masa. Todos dejarán de ser atributos absolutos, volviéndose relativos en relación a qué sistema inercial (con velocidad constante) se midan. Teniendo esto en cuenta:

¿El tiempo: corre, vuela o es oro? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. .............................................................................

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4. a) Una nave que se acerque a la velocidad “c” (la de la luz), vista desde la Tierra, ¿qué

transformaciones sufre? (Ver texto introductorio para este capítulo): Longitud: ¢ acorta ¢ alarga Tiempo: ¢ dilata ¢ retarda Masa: ¢ aumenta ¢ disminuye

b) Y en el interior de la nave, ¿qué tipo de comentarios se escucharán? Imagina tu respuesta. .............................................................................

5. Un cubo se mueve en dirección “x”, a una velocidad

cercana a la de la luz. ¿Cómo se deforma su cuerpo? Imagina tu respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. ............................................. ............................................. ............................................. ............................................. .............................................

6. ¿Por qué estos efectos no se perciben en nuestra

realidad cotidiana? [Ten en cuenta el factor de acortamiento (1-V2/C2)1/2] . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................. ............................................................................. .............................................................................

7. Rellena los huecos con los términos adecuados: “En la teoría de la RE el e...........o y el t...........o dejan de ser categorías independientes como lo son en la Física clásica, para fundirse en un concepto unificado: el e...........................o, en el que el t..........o aparece como una cuarta dimensión. El e............................o en la RE es “llano”, debido a que los sistemas de referen cia son i...........................s. (Ya veremos como en la RG, donde los sistemas tienen aceleración, el e............................o se “curva”.)

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8. ¿Es totalmente cierto lo que afirma nuestro engreido fotón-

corredor, o habría que matizar la afirmación? Imagina tu respuesta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................... ...................................................... ...................................................... ......................................................

PROPUESTA:

Esta propuesta tiene cierta dificultad, pero como hasta aquí lo has resuelto todo tan bien, no tendrás ningún problema en encontrar la respuesta. Si has leído la paradoja de los gemelos, cabría decir que, según el primer principio de la RE, el gemelo que parte en la nave podría considerarse en reposo, y ser su hermano el que se mueva. De este modo, cuando vuelvan a encontrarse, el hermano que se queda “también” será más joven que su hermano, el que partió en la nave. Intenta descubrir el error de esta paradoja sobre la paradoja, y échale un poco de imaginación a tu respuesta. (Una pista: ten en

cuenta las aceleraciones.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................... ...................................................................................... ......................................................................................

¡LA IMAGINACIÓN A LA CIENCIA!

Explica de una manera coherente cómo acontecerían los sucesos en un mundo donde la velocidad de la luz fuese de 100 km/hora. (Por ejemplo: en las autovías

actuales no se pondrían multas por exceso de velocidad.) ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ......................................................................................

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. la equivalencia masa-energía y sus consecuencias ¡Y LLEGAMOS A LA ECUACIÓN MÁS FAMOSA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL, E INCLUSO ME ATREVERÍA A DECIR DE TODA LA FÍSICA!

E=mc2

E, energía m, masa c, velocidad de la luz

¡TAN CONOCIDA Y TAN MAL INTERPRETADA...! ¡Y ES QUE LOS CONCEPTOS DE LA FÍSICA CLÁSICA AÚN PLANEAN SOBRE NUESTROS RAZONAMIENTOS!

ESTA FÓRMULA NO UNE DOS CONCEPTOS SUSTANCIALMENTE EQUIVALENTES, MASA Y ENERGÍA; SE TRATA MÁS BIEN DEL MISMO CONCEPTO DENOMINADO DE DOS MANERAS DIFERENTES. ES COMO DECIR QUE “UN EURO” SON “CIEN CÉNTIMOS”

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta la matización anterior: ¿Es cero la energía que posee un fotón si su masa es nula? Imagina tu respuesta. ....................................................................... ............................................................................. ............................................................................. ¡ASI QUE OJO CUANDO DECIMOS QUE “LA MASA SE CONVIERTE EN ENERGÍA”, O VICEVERSA, COMO SI FUESEN CONCEPTOS DIFERENTES! ES COMO DECIR QUE “EL AGUA SE CONVIERTE EN HIELO”, EN TODO CASO SE TRANSFORMA , ES DECIR, CAMBIA DE FORMA SIN DEJAR DE SER LO MISMO. CONVERTIR, EN CAMBIO, ES CAMBIAR UNA COSA EN OTRA.

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fisión nuclear, o cuando 2 es mayor que 1 mÁs 1 Cuando un neutrón [1] choca con un átomo de uranio-235, lo absorbe y transforma en U-236. Después se divide [2] en dos átomos menores, como el bario-141 y el kriptón-92, con la emisión de más neutrones. Éstos chocan con otros átomos de U-235 dando lugar a una reacción en cadena de fisiones.

PREGUNTA: ¿Qué ha pasado con la masa que falta al concluir la reacción de fisión? Imagina tu respuesta. ¢ Ha desaparecido sin más. ¢ Se ha convertido en energía. ¢ Se ha transformado en energía. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

fusión nuclear, o cuando 1 mÁs 1 es mayor que 2 Aún no somos capaces de mantener una reacción de fusión controlada, por lo que su aprovechamiento como fuente de energía debe esperar.

CUESTIONES: 1. La fusión ocasiona residuos menos radiactivos que la fisión. ¢V¢F

2. Si la velocidad de la luz fuese de c/2 la energía desprendida sería la mitad. ¢ V ¢ F 3. Fisión es destrucción y fusión es construcción. ¢ V ¢ F

La fusión nuclear es la que aporta energía al Sol y a las estrellas. Consiste en la reunión de dos núcleos de átomos ligeros para formar otro núcleo de un átomo más pesado. La más importante es la que aparece aquí. La energía liberada puede calcularse sumando las masas de los núcleos iniciales y la de los resultantes.

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bombas atómicas y centrales nucleares

En las plantas de energía nuclear, un reactor [1] calienta agua y la convierte (directa o indirectamente) en vapor [2], que mueve turbinas y generadores [3] para producir electricidad. El vapor ya expandido es convertido de nuevo en agua mediante un condensador [4], usando agua fría procedente de una torre de refrigeración [5]. El agua reconvertida se hace pasar de nuevo mediante una bomba [6] por la parte caliente del reactor. La torre de refrigeración necesita un suministro constante de agua fría.

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Reactor moderado por grafito. Los neutrones, desacelerados al pasar por un bloque de grafito, desintegran los átomos de U-235. Cada uno de éstos da lugar a más neutrones, los cuales son de nuevo desacelerados, con lo que pueden producir más desintegraciones. Unas barras de cadmio se introducen en el reactor para absorber parte de los neutrones y así controlar la reacción y el calor.

CUESTIONES: 1. En las centrales nucleares se producen reacciones de: ¢ fisión / ¢ fusión ¢ controlada / ¢ descontrolada

2. Relaciona la función de los cabestros entre los toros de lidia con los elementos auxiliares,

como las barras de cadmio, en un reactor nuclear. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ..........................................................................................................................................................................

¡LA IMAGINACIÓN A LA CIENCIA!

Uno de los grandes problemas de las centrales nucleares es la enorme cantidad de residuos radiactivos que generan. Propón métodos plausibles para deshacerse de ellos. ................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

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. la teoría de la relatividad general

¡COMO NO ME GUSTA EL EXCESO DE VELOCIDAD, ESO DE QUE LA GRAVEDAD ACTUARA , COMO DESCRIBÍA NEWTON, DE MANERA INMEDIATA —ES DECIR, A VELOCIDAD INFINITA— ME TENÍA CON LA MOSCA DETRÁS DE LA OREJA!

ASÍ QUE ME PROPUSE EXTENDER LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD A SISTEMAS NO INERCIALES, ES DECIR, ACELERADOS, YA QUE LOS CAMPOS GRAVITATORIOS SON SISTEMAS CON ACELERACIÓN “G” (LAS FUERZAS ENTRE LOS CUERPOS PRODUCE ACELERACIÓN)

PREGUNTAS: 1. ¿Puede existir algún sistema de referencia real que no esté acelerado? Imagina

tu respuesta. .................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

2. ¿La única aceleración que tiene en cuenta la RG es la gravitatoria? Imagina tu respuesta.

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En los diagramas espaciotemporales (eje vertical-tiempo, ejes horizontales-espacio) los movimientos uniformes dan lugar a líneas de universo rectas, pero los movimientos acelerados originan líneas curvas, por lo que el espaciotiempo está curvado.

MOVIMIENTO UNIFORME

MOVIMIENTO ACELERADO

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AHORA BIEN, SURGE LA GRAN DUDAD: ¿ES LA GRAVEDAD LA QUE CURVA LAS LÍNEAS DEL ESPACIOTIEMPO O, COMO YO CREÍA, ES EL PROPIO ESPACIOTIEMPO EL QUE ESTÁ CURVADO Y MODELA LAS LÍNEAS DE ESE MODO, Y POR TANTO, LA GRAVEDAD ES UNA PROPIEDAD DEL ESPACIOTIEMPO MISMO?

Así pues, la gravedad descrita por Newton es un efecto de la curvatura del espaciotiempo ocasionado por la deformación que produce un objeto con masa, y este efecto no puede viajar a mayor velocidad que la de la luz.

CUESTIÓN:

Si desapareciese el Sol, ¿el efecto gravitatorio lo “siente” de inmediato el planeta Tierra?

Según Newton: ............................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... Según Albert: ............................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

PREGUNTA:

¿Necesita Einstein recurrir a la noción de “campo de fuerzas” para explicar la atracción gravitatoria? Imagina tu respuesta. ................................................................................ ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................

albert einstein: 100 años de relatividad

Los más escépticos preguntarán, ¿cómo es posible “curvar” algo que no es material, como el espaciotiempo?

¡ATENCIÓN, PORQUE ESTO ES UN POCO COMPLICADO DE EXPLICAR! PERO COMO SOIS TAN INTELIGENTES E IMAGINATIVOS, NO HABRÁ PROBLEMA EN QUE LO COMPRENDÁIS...

La “curvatura cotidiana”, a la que estamos acostumbrados, es esa que se puede contemplar desde fuera del objeto curvado. La curvatura de la que hablamos es un concepto matemático, geométrico. Esta curvatura se puede detectar desde dentro del objeto o sistema curvado realizando las medidas matemáticas apropiadas. De este modo, la Tierra se sabía de su curvatura “desde dentro” antes de ser vista “desde fuera”, con los satélites. De igual manera nosotros estamos dentro del espaciotiempo, y observando y midiendo nos hemos dado cuenta de que las líneas del universo definen por sí mismas la curvatura del espaciotiempo del que forman, y formamos, parte. Si lo más “recto” que nos podemos encontrar es el camino de un rayo de luz entre dos puntos en el vacío, los experimentos descubren que este camino está curvado. Una consecuencia importantísima es que para describir los fenómenos a gran escala, o con suma precisión, en un espaciotiempo curvado no nos sirve la geometría de Euclídes, aplicable sólo a sistemas “rectos”, tenemos que echar mano de otras geometrías, como la de Riemann, válidas para espacios curvos de tres o más dimensiones.

albert einstein: 100 años de relatividad

CUESTIONES: 1. Una geodésica es:

¢ Una bailarina japonesa de ballet. ¢ Una línea recta (la de menor longitud) trazada sobre una superficie esférica. ¢ Una línea curva (la de menor longitud) trazada sobre una superficie esférica.

2. La imagen de la lámina elástica, que se “ahonda” cuando se coloca algún objeto encima, es buena para hacernos una idea de los fenómenos gravitatorios en el espaciotiempo; pero, ¿qué carencia fundamental posee en relación a la curvatura “real” del espaciotiempo? ............................................ ............................................ ............................................ ............................................................................. 3. Señala cuál sería la trayectoria de una partícula en un espaciotiempo con ausencia de

masas que lo curven. Imagina tu respuesta.

4. La siguiente frase, ¿es verdadera o falsa?: “El espaciotiem po es curvo y la gravedad es la manifestación de esa curvatu ra”. Imagina tu respuesta. ¢ V ¢ F .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... 5. a) Señala la diferencia fundamental que hay entre las geodésicas de estas dos superfi-

cies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................. .................................................. b) ¿Cuál de las dos es una superficie euclidiana? .................................................. .................................................. c) La superficie esférica ”B”, ¿cuántas dimensiones tiene? ..................................................

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¡PUES SI HEMOS VISTO COSAS INCREIBLES HASTA AHORA, LA IDEA MÁS FRUCTÍFERA DE MI VIDA AÚN NO TE LA HE DICHO: “SI UNA PERSONA SE ENCUENTRA EN CAÍDA LIBRE NO NOTARÁ SU PROPIO PESO”! “¡AH, PUES... VALE!” ME DIRÁS... ¡¡NADA DE VALE!! ¡A PARTIR DE AQUÍ SE DISPARÓ MI IMAGINACIÓN Y LOS RESULTADOS DE ESTA IDEA FUERON ASOMBROSOS!

¿SABES A QUÉ GRAN DESCUBRIMIENTO ME CONDUJO? ¢ A LA TEORÍA DE CAMPOS UNIFICADOS

¢ AL PRICIPIO DE EQUIVALENCIA ENTRE MASAS GRAVITATORIA E INERCIAL

PROPUESTA:

Busca en tu libro de Física las definiciones de masa inercial y de masa gravitatoria. Mi: ..................................................................................................................................................... Mg: .................................................................................................................................................... Así pues, la Mi y la Mg son equivalentes, es decir, son dos términos para denominar diferentes aspectos de una misma entidad: la masa. Esto es muy importante, porque hace imposible distinguir entre un sistema de referencia acelerado y otro sometido a un campo gravitacional.

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PREGUNTA:

¿La energía experimenta y engendra campos gravitatorios? Imagina tu respuesta teniendo en cuenta la equivalencia de la RE (E=mc2) y la equivalencia de la RG (Mi y Mg). .................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

¡0TRA CONCLUSIÓN IMPORTANTE DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL ES QUE EL TIEMPO TRANSCURRE MÁS DESPACIO SI ESTÁ SOMETIDO A UNA ACELERACIÓN MAYOR (CAMPO GRAVITATORIO), Y NO YA A UNA VELOCIDAD MAYOR, COMO SE DECÍA EN LA RELATIVIDAD ESPECIAL!

Esta conclusión a la que llega Albert tendrá consecuencias sorprendentes que intentaremos reflejar en las siguientes...

CUESTIONES: 1. “Me voy a Júpiter para envejecer más lentamente”, le dice María a su prima Clara

que se queda en la Tierra. ¢ Verdadero / ¢ Falso. Imagina tu respuesta. ............................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

2. En lo alto de un rascacielos el tiempo transcurre más rápido que en la planta baja. ¢ Verdadero / ¢ Falso. Imagina tu respuesta. ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 3. Un planeta A tiene la misma masa que otro B, pero el

diámetro de A es el doble que el diámetro de B. Si un rayo de luz pasa cerca de sus superficies, ¿en cuál de ella se curvará más? Ya sabes, imagina tu respuesta. .................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... ..........................................................................................................

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Han habido numerosas confirmaciones experimentales de diversas predicciones hechas por la Teoría de la Relatividad General, pero sin duda las más llamativas fueron: a) La luz de una estrella al pasar cerca del Sol se desvió 1,75’’ de arco, fenómeno observado por A. Eddington en el eclipse solar del 29 de mayo de 1919.

b) La deducción del valor exacto del corrimiento del perihelio de Mercurio —hecho comprobado pero inexplicable hasta entonces—, ya que las fórmulas de la RG muestran que un planeta no describe una elipse perfecta al girar alrededor del Sol, sino una cuasi-elipse, cuyo perihelio se corre lentamente. Ambos fenómenos son ocasionados por la curvatura del espaciotiempo, el cual les “marca” el camino a seguir, tanto al rayo de luz (energía), como al planeta Mercurio (masa).

PROPUESTA:

Comenta lo que te sugiere la frase de J. Wheeler: “La materia le dice al espaciotiem po cómo curvarse, y el espaciotiempo le indica a la materia cómo moverse”. ............................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

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. Los agujeros negros

¡Y PARA ACABAR, EL “OSCURO” TEMA DE LOS AGUJEROS NEGROS (LOS “BLACK OLÉ”, COMO DIRÍA MI AMIGO SEVILLANO)! UN AGUJERO NEGRO ES TAN APASIONANTE PORQUE EN ÉL CONFLUYEN LO GRAVITACIONAL Y LA MECÁNICA CUÁNTICA: ENORMES FUERZAS GRAVITATORIAS Y DISTANCIAS MICROSCÓPICAS.

Formación de un agujero negro.

Una estrella corriente conserva su tamaño normal gracias al equilibrio entre una altísima temperatura central, que tiende a expandir la sustancia estelar, y la gigantesca atracción gravitatoria, que tiende a contraerla y estrujarla. Si en un momento dado la temperatura interna desciende, la gravitación se hará dueña de la situación. La estrella comienza a contraerse y a lo largo de ese proceso la estructura atómica del interior se desintegra. En lugar de átomos habrá ahora electrones, protones y neutrones sueltos. La estrella sigue contrayéndose hasta el momento en que la repulsión mutua de los electrones contrarresta cualquier contracción ulterior. La estrella es ahora una «enana blanca». En determinadas condiciones la atracción gravitatoria se hace demasiado fuerte para ser contrarrestada por la repulsión electrónica. La estrella se contrae de nuevo, obligando a los electrones y protones a combinarse para formar neutrones y forzando también a estos últimos a apelotonarse en estrecho contacto. La estructura neutrónica contrarresta entonces cualquier ulterior contracción y lo que tenemos es una «estrella de neutrones». En ciertas condiciones, la gravitación puede superar incluso la resistencia de la estructura neutrónica. En ese caso ya no hay nada que pueda oponerse al colapso. La estrella puede contraerse hasta un volumen cero y la gravedad superficial aumentar hacia el infinito. (Según la Teoría de la Relatividad, la luz emitida por una estrella pierde algo de su energía al avanzar contra el campo gravitatorio de la estrella. Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es la pérdida de energía, lo cual ha sido comprobado experimentalmente en el espacio y en el laboratorio.) A lo largo del proceso de colapso de la estrella de neutrones llega un momento en que la luz que emana de la superficie pierde toda su energía y no puede escapar. Un objeto sometido a una compresión mayor que la de las estrellas de neutrones tendría un campo gravitatorio tan intenso, que cualquier cosa que se aproximara a él quedaría atrapada y no podría volver a salir. Es como si el objeto atrapado hubiera caído en un agujero infinitamente hondo y no cesase nunca de caer. Y como ni siquiera la luz puede escapar, el objeto comprimido será negro. Literalmente, un «agujero negro».

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La condición fundamental para que se forme un AN a partir de un objeto (normalmente, de la explosión de una estrella), no está en la cantidad de masa que posea, sino en la densidad que alcance (d=m/V): cualquier masa con un volumen (radio, en nuestro caso) lo suficientemente pequeño puede originar un AN, según la fórmula de Schwarzschild:

r = 2GM/C2

r, radio de Schwarzschild; M, masa de la esfera

La luz emitida desde su superficie, o de cualquier punto dentro de la esfera con radio “r”, no alcanza el radio crítico, necesario para escapar, y queda atrapada para siempre. Se crea, pues, un agujero en el espaciotiempo.

CUESTIONES: 1. Relaciona los objetos con su esfera correspondiente. (Las flechas representan las trayectorias de los rayos de luz.) ( ) Estrella de neutrones ( ) Agujero negro ( ) Estrella ( ) Enana blanca

2. Señala en los dos esquemas de agujeros negros sus diferentes componentes. (Ver paneles.)

EJERCICIO:

Sabiendo que la masa de la Tierra es de 5,9742x1027 g, calcula el radio que debería alcanzar para convertirse en un AN. ........................................................................................

¡LA IMAGINACIÓN A LA CIENCIA!

Explica de una manera coherente lo que ocurriría si dos AN se acercan a una distancia “r”. .............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

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. Sobre Albert Einstein

Las últimas investigaciones de Einstein iban encaminadas a desarrollar una Teoría Unificada de la Física, y, aunque al principio la empresa prometía, después de 30 infructuosos años, sólo él perseveraba en la tarea. Nuevas fuerzas, que no encajaban en los esquemas de la Teoría Unificada, aparecieron en el escenario para complicar aún más las cosas: la fuerza nuclear débil y la fuerte. A pesar de todo, Einstein permaneció fiel a su cosmovisión en la búsqueda de la simplificación y la armonía en sus teorías, así como intocable en su espíritu creativo.

EL CONCEPTO TEÓRICO... NO SE ELABORA AL MARGEN DE LA EXPERIENCIA; TAMPOCO SE DEDUCE DE LA EXPERIENCIA MEDIANTE UN PROCEDIMIENTO PURAMENTE LÓGICO. SURGE DE UN ACTO CREATIVO

CUESTIONES PARA ACABAR: 1. ¿Crees que el espíritu creativo y buscador de la armonía que orientó a Einstein en

sus investigaciones le impulsó también a su compromiso sociopolítico? Imagina tu respuesta. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

2. De todas las frases de Einstein que aparecen en los paneles, elije dos que te hayan llamado la atención, y escribe el motivo. Frase 1: .......................................................................................................................................................... Frase 2:........................................................................................................................................................... Porque ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................

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glOSARIO Átomo: (Del latín atomus, y éste del griego atomoV, indivisible) es la menor cantidad de un elemento químico que tiene existencia propia, y que no es posible dividir mediante procesos químicos. Electromagnetismo: es la parte de la Física que estudia los campos electromagnéticos, sus interacciones con la materia, y en general la electricidad y el magnetismo. El electromagnetismo estudia conjuntamente los fenómenos físicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, así como los relativos a los campos magnéticos y a sus efectos sobre diversas sustancias. Electrón: el electrón (Del griego hlectron, élektron, ámbar), comúnmente representado como e-, es una partícula subatómica. En un átomo los electrones rodean el núcleo, compuesto de protones y neutrones. Espacio: la definición de espacio en Física es discutible. Se pueden usar varios conceptos para intentar definirlo: • la estructura definida por un conjunto de "relaciones espaciales" entre objetos • lo que impide el contacto entre todos los elementos del universo • la condición dentro del campo conceptual de la existencia que actúa como base para cualquier forma manifiesta y, por tal, habilita el movimiento y toda la dinámica física. En la Física clásica el espacio es un espacio euclidiano de tres dimensiones donde cualquier posición puede ser descrita mediante tres coordenadas. Fisión nuclear: proceso por el cual las sustancias radiactivas completan su ciclo de desintegración ayudados por el bombardeo externo de partículas procedentes de un acelerador. Fotón: un fotón (del griego jwtoV, photós, luz) es la partícula mediadora de la interacción electromagnética y la expresión cuántica de la luz. En Física se suele utilizar el símbolo g para referirse a un fotón. Los fotones son partículas fundamentales. Fusión nuclear: en Física, la fusión nuclear es el proceso mediante el cual dos núcleos atómicos se unen para formar uno de mayor peso atómico. Gravedad: la gravedad es la fuerza de atracción que experimentan dos objetos con masa. La gravedad es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza, junto con el electromagnetismo, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil. Hipótesis: una hipótesis es un planteamiento y/o supuesto que se busca comprobar o refutar mediante la observación siguiendo las normas establecidas por el método científico Interacción nuclear débil: la fuerza nuclear débil es responsable de ciertos tipos de radioactividad natural, como la desintegración de un neutrón en un protón, un electrón y un neutrino. Los bosones vectores, partículas fundamentales que garantizan la transmisión de las fuerzas de la naturaleza, son las responsables de varias formas de desintegración radioactiva. Interacción nuclear fuerte: la interacción nuclear fuerte es una fuerza de corto alcance (del orden de 1 fm), despreciable para distancias mayores a 10-15 m. Es la fuerza que mantiene unidos a los nucleones (partículas nucleares, protón y neutrón) a pesar de la repulsión electromagnética entre partículas cargadas.

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Lógica: el lenguaje puede emplearse de distintas formas: para pedir algo, o para avisar a alguien, para describir algo que hemos visto o simplemente para expresar una sensación, como cuando gritamos al quemarnos. La lógica es un uso especial del lenguaje que está relacionado con el sentido y la exactitud de lo que decimos. En concreto, es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. Mecánica Cuántica: también conocida como Física Cuántica, es la parte de la Física que estudia el movimiento de las partículas muy pequeñas, el comportamiento de la materia a escala muy pequeña. Neutrón: es un barión neutro formado por dos quarks down y un quark up. Forma, junto con los protones, los núcleos atómicos. Fuera del núcleo atómico es inestable y tiene una vida media de unos 15 minutos emitiendo un electrón y un antineutrino para convertirse en un protón. Su masa es muy similar a la del protón. Protón: (Del gr. prwton, prótos, primero) es un barión formado por dos quarks up y un quark down. Su carga eléctrica es de una unidad positiva (inversa a la del electrón). Constituye el núcleo atómico del hidrógeno, H+. Forma junto con neutrones los núcleos atómicos de la materia conocida. Radioactividad: o radiactividad, es un fenómeno natural o artificial, por el cual algunas sustancias o elementos químicos llamadas radiactivos, son capaces de emitir radiaciones, las cuales tienen la propiedad de impresionar placas fotográficas, ionizar gases, producir fluorescencia, atravesar cuerpos opacos a la luz ordinaria, etc. Teoría: en términos generales, una teoría es una idea formada mediante la especulación. Una teoría científica es una entidad abstracta que constituye una explicación o descripción científica a un conjunto relacionado de observaciones o experimentos. Una teoría científica está basada en hipótesis verificadas múltiples veces por grupos de científicos individuales. Abarca en general varias leyes científicas, engloba los conocimientos aceptados por la comunidad científica del campo de investigación y está aceptada por la mayoría de especialistas. Tiempo: se llama tiempo a la duración de las cosas sujetas a movimiento. Es la magnitud física que permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado, un presente y un futuro.

Bibliografía ALEMÁN BERENGUER, R.A. Grandes metáforas de la Física. Celeste Ediciones. Madrid, 1998. BERKSON, W. Las teorías de los campos de fuerza. Desde Faraday hasta Einstein. Alianza Editorial. Madrid, 1981. BOHN, D. y PEAT, D. Ciencia, orden y creatividad. Kairós. Barcelona, 1988. EINSTEIN, A. El significado de la relatividad. Planeta Agostini. Barcelona, 1985. EINSTEIN, A. Notas autobiográficas. Alianza editorial. Madrid, 1984. GARCÍA MORENTE, M. Sobre la Teoría de la Relatividad. Ediciones Encuentro. Madrid, 1985 HOFFMANN, B. La relatividad y sus orígenes. Editorial Labor S.A. Barcelona, 1985. HOLTON, G. Einstein, historia y otras pasiones. Taurus. Madrid, 1998. PRIGOGINE, I. ¿Tan solo una ilusión?. Tusquets Ediciones. Barcelona, 1993. SCHWARTZ, J.y MCGUINNESS, M. Einstein para principiantes. Era Naciente. Buenos Aires, 2001. THUILLER, P. Las caras ocultas de la invención científica. MCC. Madrid, 2004. Rev. INVESTIGACIÓN Y CIENCIA. Lo que debemos a Einstein. Noviembre, 2004.

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