TEMA 12: PROBABILIDAD
1
TEMA 12 .- PROBABILIDAD EXPERIMENTOS DETERMINISTAS Y DE AZAR Un experimento es determinista si, al realizarse en las mismas condiciones, siempre se obtiene el mismo resultado. Un experimento es aleatorio o de azar si no es posible predecir el resultado aunque se realice en las mismas condiciones.
SUCESOS El espacio muestral está formado por el conjunto de todos los resultados que se pueden presentar. Se representa con la letra E y los resultados entre llaves { } y separados por comas.
EJEMPLOS -
E spa c i o m ue st ra l de una m one da :
E = { C, X} . -
E spa c i o m ue st ra l de un da do:
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Un suceso elemental es cada uno de los resultados del espacio muestral. Un suceso es un conjunto de sucesos elementales. Éstos se representan con letras mayúsculas, escribiendo sus elementos entre llaves y separados por comas. El suceso contrario de un suceso A está formado por todos los sucesos elementales que no están en A. Se representa por . El suceso seguro es el que siempre se presenta, y es igual al espacio muestral. El suceso imposible es el que nunca se presenta. Se representa con el símbolo .
2
EJEMPLO 1 . Una bol sa c ont i e ne bol a s bl a nca s y ne gra s. Se e xt ra e n suc e si va m e nt e t re s bol a s. E = { (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2 . E l suc e so A = { e xt ra e r t re s bola s de l m i sm o c ol or} . A = { (b,b,b); (n, n,n)} 3 . E l suc e so B = { e xt rae r a l m e nos una bol a bl a nc a } . B= { (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4 . E l suc e so C = { e xt rae r una sol a bol a ne gra } . C = { (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
EJEMPLO Consi de ra m os el e xpe ri me nt o que c onsi st e e n la nza r un da do, si A = "sa c a r pa r". Ca l c ul a r
.
A = { 2, 4, 6} = { 1, 3, 5}
3
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS Unión de dos sucesos A y B: es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Se representa .
EJEMPLO C o ns i d er am o s el ex p er i m e nt o q ue co ns i s t e e n l a nz a r u n d a d o , s i A = " s a c a r p a r " y B = " s a car m ú l t i p l o d e 3 ". C al cul a r . A = {2, 4, 6} B = {3, 6} = {2, 3, 4, 6}
Intersección de dos sucesos A y B:es el suceso formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B, es decir, que están en los dos al mismo tiempo. Se representa
EJEMPLO Consi de ra m os el e xpe ri me nt o que c onsi st e e n la nza r un da do, si A = "sa c a r pa r" y B = "sa c a r m úl ti pl o de 3". Ca l c ula r A = { 2, 4, 6} B = { 3, 6} = { 3}
4
.
SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES Dos sucesos son compatibles si se pueden presentar al mimo tiempo, es decir, si Dos sucesos son incompatibles si no se pueden presentar al mimo tiempo, es decir, si
LA REGLA DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A de un experimento aleatorio es un número entre 0 y 1, que mide la facilidad de que el suceso ocurra. Cuanto más se acerca a 1 mayor es la posibilidad de ocurrir. Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles). Este resultado se conoce como Regla de Laplace.
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. La del suceso seguro es 1 y la del imposible 0.
La probabilidad del contrario es p(A)=1-P(A)
La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles A y B es P(AUB)=P(A)+P(B).
La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)
EXPERIMENTOS COMPUESTOS Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples realizados de forma consecutiva.
5
DIAGRAMA CARTESIANO Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada, que tiene utilidad en experimentos compuestos formados por dos simples. En la fila superior se colocan los sucesos elementales de un experimento simples y en la columna de la izquierda las del otro.
EJEMPLO Calcula la probabilidad de que al sumar la puntuaciรณn de dos dados lanzados al aire salga 7.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
DIAGRAMA DE ร RBOL Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones hacer un diagrama de รกrbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto es el producto de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman.
Extracciones con y sin devoluciรณn o reemplazamiento Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracciรณn sucesiva de cartas o de bolas de una urna..., en estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc antes de sacar la siguiente o no.
6
Si la devolvemos se dice que la extracción es con devolución o reemplazamiento, y si no la devolvemos sin devolución.
La probabilidad de extraer una carta con devolución, es siempre la misma, mientras que sin devolución, la probabilidad de la segunda depende de la primera. En los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas la ramas que lo forman será el valor que buscamos. En un diagrama de árbol:
La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a 1.
La probabilidad de un suceso compuesto por varios caminos se calcula sumando la de los caminos respectivos.
EJEMPLO DE PROBABILIDAD COMPUESTA. DIAGRAMA EN ÁRBOL.
7
8