TEMA 4: POLINOMIOS
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SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS Para sumar o restar dos monomios, es necesario que sean monomios semejantes. Observa cómo sumamos los siguientes monomios: 7x + 4x = (7 + 4)x = 11x 3xy2 − 5xy2 = (3 − 5)xy2 = −2xy2
La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados.
Si queremos reducir dos o más monomios no semejantes, no nos será posible. Por ejemplo, los monomios 3x2z y 7yx2 no se pueden reducir. Por tanto: La suma de ambos monomios es: 3x2z + 7yx2 La diferencia de ambos monomios es: 3x2z − 7yx2 La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es el polinomio formado por la suma o diferencia indicada de dichos monomios. Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:
3x − 7x + 4x2 = −4x + 4x2
8xy2 + 2xy2 = 10xy2
6x2z − 3zx2 + xy = 3x2z + xy
8x4 − 3x4 + 5x4 = 10x4
SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS Para sumar dos o más polinomios, agrupamos los términos semejantes y los reducimos. A continuación, añadimos los términos no semejantes. Si queremos sumar los polinomios x3 + 8z + y + 4 y 2x3 + 5z − 12 agrupamos términos y sumamos del siguiente modo: (x3 + 8z + y + 4) + (2x3 + 5z − 12) = (x3 + 2x3) + (8z + 5z) + y + (4 − 12) = 3x3 + 13z + y − 8
Cuando los polinomios que queremos sumar tienen muchos términos, conviene colocarlos de modo que los términos semejantes queden unos encima de otros.
Cuando queremos restar dos polinomios, cambiamos el signo de todos los términos del sustraendo y sumamos directamente.
La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado: por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos polinomios, y por los términos no semejantes de ambos.
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PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios debes tener en cuenta cómo se multiplicaban potencias de la misma base. Recuerda que: a2 · a5 = a2 + 5 = a7 En general: am · an = am + n Por ejemplo, si quieres multiplicar los monomios 4ab y 6a2 b, no tienes más que multiplicar por un lado los coeficientes, y por el otro las letras: 4ab · 6a2b = (4 · 6) (a · a2) (b · b) = 24 · a 1 + 2 · b1 + 1 = 24 a3 b2 El producto de monomios es otro monomio que tiene: Como coeficiente, el producto de los coeficientes de los monomios dados. Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones de potencias de igual base.
Observa que para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes (como ocurría en el caso de la suma). Otros ejemplos de multiplicación de monomios son: 2
2
3 2
3xz · 4x z = (3 · 4) (x · x ) (z · z) = 12x z
−5x2y3 · 6xy2 · 2x3 = (−5 · 6 · 2) (x2 · x · x3) (y3 · y2) = −60x6y5
PRODUCTO DE POLINOMIOS Cuando quieras multiplicar dos polinomios que tengan muchos términos, puede serte útil que los multipliques como te muestra el siguiente ejemplo:
Fíjate que debes colocar los términos ordenados según el grado de cada uno, y después multiplicar término a término. Cuando te falte el monomio de algún grado, llena el hueco con el monomio
.
El producto de un monomio por un polinomio es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio. El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo, y sumando luego los términos semejantes.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
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Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En general, am : an = am-n Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:
Otros ejemplos de divisiones de monomios son: −15x3y4z2 : 5x2y2z = −3xy2z
21x2y5 : 3x3y = 7x−1y4
El cociente de los dos monomios da como resultado otro monomio. El cociente de estos monomios no es otro monomio, ya que tiene un exponente negativo.
El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene: Como coeficiente, el cociente de los coeficientes de los monomios dados. Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de igual base. En general, la división de un polinomio entre un monomio no es posible. Solo podrá realizarse cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio. Por ejemplo:
DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS ¿Recuerdas cómo se dividen números enteros? En toda división se cumple que:
(D = dividendo; d = divisor; C = cociente; R = resto)
De igual forma se realiza la división de polinomios. Observa el siguiente ejemplo:
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En una divisi贸n de polinomios, se cumple que los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente C(x) y resto R(x), se relacionan del siguiente modo:
REGLA DE RUFINI Cogemos los coeficientes de los valores del dividendo, el primer coeficiente lo dejamos como esta y lo multiplicamos por el inverso del divisor, y el resultado lo sumamos con el siguiente coeficiente y sucesivamente , para obtener como resultado el cociente de la operaci贸n.
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FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible. Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P1(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible. Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6. Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, Repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible. En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso. La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)
TEOREMA DEL RESTO Un tipo de divisiones muy habituales son aquellas en las que el divisor es un polinomio de la forma x − a. En este tipo de divisiones podemos utilizar el teorema del resto. Este teorema permite calcular el resto de la división sin que sea necesario llegar a realizarla. Teorema del resto: El resto de la división D(x) : x − a se obtiene al sustituir el valor de a en el polinomio D(x): R = D(a)
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Aquí tienes algunos ejemplos de aplicación del teorema del resto: DIVIDENDO D(x) −3x4 + 4x2 + 5x x4 + 3x3 + 2x − 7 x3 − 7x2 + 11x − 5
DIVISOR RESTO x−a R = D(a) x − 2 D(2) = −3 · 24 + 4 · 22 + 5 · 2 = −22 x + 3 D(−3) = (−3)4 + 3(−3)3 + 2(−3) − 7 = −13 x − 5 D(5) = 53 − 7 · 52 + 11 · 5 − 5 = 0
En la división de la última fila, x3 − 7x2 + 11x − 5 : x − 5, el resto es igual a cero. En este caso decimos que es una división exacta.
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