TTA AN KKA AR I ngrid
Margareta
Illustrationer: Michael P Gustafsson och Åsa Gustafsson/ Grafisk form: KariDesign
MATTE
MatteTankar är en serie häften kring matematikundervisning. Här lyfter vi fram viktiga områden som vi tycker behöver belysas och diskuteras. Du kan läsa mer om varje område i vårt läromedel MatteEldorado för FK– åk 6 och på www.nok.se/eldorado.
om problemlösningens alla delar. Det gäller att eleverna utvecklar kunskaper och förståelse som håller för fortsatt lärande!
Natur & Kultur Box 27 323, 102 54 Stockholm info@nok.se Tel: 08-453 86 00 Fax: 08-453 87 90 www.nok.se
1
FAKTA OM OSS: Vi har arbetat många år inom hela grundskolan både som klasslärare och speciallärare, och sedan med matematikdidaktik i lärarutbildning och fortbildning. Vi vet hur viktigt det är att eleverna får en bra grund i matematik för att lyckas högre upp. Med MatteTankar och MatteEldorado vill vi ge både inspiration och ett konkret undervisningsverktyg. ISBN 978-91-27-43349-6
sätter vi fokus på undervisning
TTA AN KKA AR Ingrid Olsson Margareta Forsbäck
Med MatteTankar vill vi få lärare, föräldrar och elever att reflektera över vad som är viktiga kunskaper i matematik. Vi vill undanröja hinder och bana väg för en matematikundervisning som hjälper eleverna att utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande.
DETTA HÄFTE
MATTE
VAD SKA MAN HA ALLT RÄKNANDE T LL? 2
VAD SKA MAN HA ALLT RÄKNANDE T LL? I matematik arbetar eleverna med bland annat aritmetik, bråk, procent, algebra, geometri, statistik och sannolikhet. Det kan liknas vid olika verktyg som behövs när eleverna möter matematiska situationer eller uppgifter som de ska lösa. Då gäller det att kunna välja de rätta verktygen och att kunna hantera dem korrekt. Alla elever behöver träna de olika verktygen separat men det finns en risk att det satsas alltför mycket tid på räknandet och att det blir för lite tid till undervisning om den övergripande problemlösningen, där verktygen kommer till användning. I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik Lgr 11 förklaras orsaker till förändringar i den nya kursplanen på s. 6:
”
Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i stor utsträckning präglas av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmågan att lösa problem… Mot bakgrund av detta är ambitionen i den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer.
Därför har kursplanen nu en tydlig inriktning mot problemlösning. Det lyfts fram i den första förmågan:
2
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder
”
Naturligvis kan eleverna inte träna på alla uppgifter de kommer att möta senare i livet, men de kan träna att lösa olika problemtyper och sammanfatta sina kunskaper så att de utvecklar generella verktyg. Det innebär att det även för eleven är viktigare att tydliggöra och redovisa vägen till svaret än själva svaret, eftersom det är vägen och inte svaret som är användbart i en annan uppgift.
Matematik och svenska – en viktig kombination
”
”
Generella verktyg
Kursplanens förmågor i matematik ställer stora krav på elevernas matematiska kunnande men även på att kunna tala, läsa och skriva och därför går de olika ämnena matematik och svenska i varandra. Resultat från de nationella proven liksom senaste TIMSSrapporten visar att elevernas läsförståelse av faktatexter har försämrats. Detta ger direkta följdeffekter i matematik, eftersom textuppgifter i matematik är en typ av faktatext. Att läsa faktatexter är betydligt svårare än att läsa skönlitterära texter. I en skönlitterär text där det ofta räcker att förstå ungefär är det enklare att fortsätta läsningen även om ett obekant ord finns med. I textuppgifter i matematiken är däremot varje ord betydelsefullt, texten är ofta mycket koncentrerad och en feltolkning kan ge en helt felaktig lösning av uppgiften. Det är inte heller ovanligt att elever hoppar över en textuppgift efter att ha stött på ett ord eller en mening som de inte riktigt förstår. I en tidigare PISA-undersökning för 15-åringar bedömdes att ungefär 70 % av de lösningar som var felaktiga eller inte utförda berodde på svag läsförståelse.
Eleverna behöver mer tid att träna läsförståelse av faktatexter både på matematik- och svenskalektioner.
3
VAD SKA MAN HA ALLT RÄKNANDE T LL? I matematik arbetar eleverna med bland annat aritmetik, bråk, procent, algebra, geometri, statistik och sannolikhet. Det kan liknas vid olika verktyg som behövs när eleverna möter matematiska situationer eller uppgifter som de ska lösa. Då gäller det att kunna välja de rätta verktygen och att kunna hantera dem korrekt. Alla elever behöver träna de olika verktygen separat men det finns en risk att det satsas alltför mycket tid på räknandet och att det blir för lite tid till undervisning om den övergripande problemlösningen, där verktygen kommer till användning. I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik Lgr 11 förklaras orsaker till förändringar i den nya kursplanen på s. 6:
”
Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i stor utsträckning präglas av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmågan att lösa problem… Mot bakgrund av detta är ambitionen i den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer.
Därför har kursplanen nu en tydlig inriktning mot problemlösning. Det lyfts fram i den första förmågan:
2
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder
”
Naturligvis kan eleverna inte träna på alla uppgifter de kommer att möta senare i livet, men de kan träna att lösa olika problemtyper och sammanfatta sina kunskaper så att de utvecklar generella verktyg. Det innebär att det även för eleven är viktigare att tydliggöra och redovisa vägen till svaret än själva svaret, eftersom det är vägen och inte svaret som är användbart i en annan uppgift.
Matematik och svenska – en viktig kombination
”
”
Generella verktyg
Kursplanens förmågor i matematik ställer stora krav på elevernas matematiska kunnande men även på att kunna tala, läsa och skriva och därför går de olika ämnena matematik och svenska i varandra. Resultat från de nationella proven liksom senaste TIMSSrapporten visar att elevernas läsförståelse av faktatexter har försämrats. Detta ger direkta följdeffekter i matematik, eftersom textuppgifter i matematik är en typ av faktatext. Att läsa faktatexter är betydligt svårare än att läsa skönlitterära texter. I en skönlitterär text där det ofta räcker att förstå ungefär är det enklare att fortsätta läsningen även om ett obekant ord finns med. I textuppgifter i matematiken är däremot varje ord betydelsefullt, texten är ofta mycket koncentrerad och en feltolkning kan ge en helt felaktig lösning av uppgiften. Det är inte heller ovanligt att elever hoppar över en textuppgift efter att ha stött på ett ord eller en mening som de inte riktigt förstår. I en tidigare PISA-undersökning för 15-åringar bedömdes att ungefär 70 % av de lösningar som var felaktiga eller inte utförda berodde på svag läsförståelse.
Eleverna behöver mer tid att träna läsförståelse av faktatexter både på matematik- och svenskalektioner.
3
Synliggöra hela processen
A Tolka
Att lösa en textuppgift eller en situation är i regel inte bara att läsa och räkna fram ett svar. Det är ofta många delar som ingår och undervisningen i matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förtrogenhet med problemlösningens alla delar. I Eldorado illustrerar vi hur några av dessa förmågor kan tillämpas på en uppgift i form av nedanstående cirkel. 24
25
AT olk a
Max köper 4 isglassar. Han lämnar fram 25 kr. Han får 1 kr tillbaka. Händelse Hur mycket kostar Textuppgift en isglass?
t l ä t el es o d kn m rä ti s k lja a Vä atem m
Rita bild Inre bild
Det blir subtraktion och sedan division.
B
Vi ritar en ruta. Först tar vi bort 1 krona. Så delar vi resten i 4 delar.
1 X
F Översätta till räknehändelse
Uttryck på
EB
25 –1= 4 Det klarar vi med huvudräkning.
ma
a rä k
e dö li g h
C Välj
rim
6 kronor är rimligt för en isglass. Men t ex 24 kr hade inte varit rimligt.
n em et
od
mattespråk T ex Det är 25 elever i Elins klass. Erik är borta idag. Eleverna delar upp sig i 4 lag. Hur många elever är det i varje lag?
et Lösning Svar
6 kr
” 4
D Beräkna
25 –1 = 24 24 = 6 4
Huvudräkning × Skriftliga räknemetoder Miniräknare Överslag
Problemlösning innefattar också … att utveckla tillräckliga kunskaper för att reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat . (Kommentarmaterialet s. 9)
Först ska eleven läsa uppgiften. Sedan ska eleven tolka texten och fundera över: Vad ska jag ta reda på? och Vad vet jag redan? Nästa steg är att strukturera hur uppgiften ska lösas och då kan rita vara ett bra tankestöd. Här gäller det att eleven inte fastnar i ett detaljrikt ritande utan att det verkligen är enkla bilder som visar hur eleven tänker sig uppgiften. Ett streck eller ett kryss kan då representera vad som helst t ex en häst. Ibland räcker elever upp handen och säger att de inte förstår textuppgiften. Ofta har de inte läst igenom hela texten och försökt tolka den. En bra motfråga är då: ”Vad är det som du inte förstår?” För att eleven ska kunna svara på den frågan måste han/hon tolka uppgiften och sedan löser eleven ofta uppgiften utan vidare hjälp. Om eleven fortfarande inte förstår finns då en bra utgångspunkt för resonemang om uppgiften. Att alltför snabbt ge eleven en lösningsmetod är ingen hjälp på sikt.
Välja fakta och ta reda på fakta som saknas I matteuppgifter finns vanligtvis bara de fakta som behövs för att lösa uppgiften. I vardagen finns det ofta fler fakta än de som behövs för att lösa en uppgift och då måste man kunna välja de fakta som krävs. Det kan också saknas fakta för att det ska gå att lösa uppgiften och då måste man först ta reda på det som saknas. Det är viktigt att eleverna även tränar på detta och att det ingår i undervisningen.
”
5
Synliggöra hela processen
A Tolka
Att lösa en textuppgift eller en situation är i regel inte bara att läsa och räkna fram ett svar. Det är ofta många delar som ingår och undervisningen i matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förtrogenhet med problemlösningens alla delar. I Eldorado illustrerar vi hur några av dessa förmågor kan tillämpas på en uppgift i form av nedanstående cirkel. 24
25
AT olk a
Max köper 4 isglassar. Han lämnar fram 25 kr. Han får 1 kr tillbaka. Händelse Hur mycket kostar Textuppgift en isglass?
t l ä t el es o d kn m rä ti s k lja a Vä atem m
Rita bild Inre bild
Det blir subtraktion och sedan division.
B
Vi ritar en ruta. Först tar vi bort 1 krona. Så delar vi resten i 4 delar.
1 X
F Översätta till räknehändelse
Uttryck på
EB
25 –1= 4 Det klarar vi med huvudräkning.
ma
a rä k
e dö li g h
C Välj
rim
6 kronor är rimligt för en isglass. Men t ex 24 kr hade inte varit rimligt.
n em et
od
mattespråk T ex Det är 25 elever i Elins klass. Erik är borta idag. Eleverna delar upp sig i 4 lag. Hur många elever är det i varje lag?
et Lösning Svar
6 kr
” 4
D Beräkna
25 –1 = 24 24 = 6 4
Huvudräkning × Skriftliga räknemetoder Miniräknare Överslag
Problemlösning innefattar också … att utveckla tillräckliga kunskaper för att reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat . (Kommentarmaterialet s. 9)
Först ska eleven läsa uppgiften. Sedan ska eleven tolka texten och fundera över: Vad ska jag ta reda på? och Vad vet jag redan? Nästa steg är att strukturera hur uppgiften ska lösas och då kan rita vara ett bra tankestöd. Här gäller det att eleven inte fastnar i ett detaljrikt ritande utan att det verkligen är enkla bilder som visar hur eleven tänker sig uppgiften. Ett streck eller ett kryss kan då representera vad som helst t ex en häst. Ibland räcker elever upp handen och säger att de inte förstår textuppgiften. Ofta har de inte läst igenom hela texten och försökt tolka den. En bra motfråga är då: ”Vad är det som du inte förstår?” För att eleven ska kunna svara på den frågan måste han/hon tolka uppgiften och sedan löser eleven ofta uppgiften utan vidare hjälp. Om eleven fortfarande inte förstår finns då en bra utgångspunkt för resonemang om uppgiften. Att alltför snabbt ge eleven en lösningsmetod är ingen hjälp på sikt.
Välja fakta och ta reda på fakta som saknas I matteuppgifter finns vanligtvis bara de fakta som behövs för att lösa uppgiften. I vardagen finns det ofta fler fakta än de som behövs för att lösa en uppgift och då måste man kunna välja de fakta som krävs. Det kan också saknas fakta för att det ska gå att lösa uppgiften och då måste man först ta reda på det som saknas. Det är viktigt att eleverna även tränar på detta och att det ingår i undervisningen.
”
5
B Välja räknesätt
C Välja räknemetod • Huvudräkning är enklast i många uppgifter. • Skriftliga räknemetoder krävs i en del uppgifter
Ofta ligger fokus på att beräkna uppgifter med ett räknesätt i taget, medan eleverna alltför sällan får träna vilka räknehändelser som leder till de olika räknesätten. I Kommentarmaterial till kursplanen i matematik s. 6 beskrivs vad som behöver förbättras:
”
För de yngre eleverna handlar det bland annat om att de behöver utveckla bättre förståelse för de fyra räknesätten.
”
1,5 m. prep är Ett hop opprep ånga h Hur m m rep? 2 1 n av # får ma En bok väge r 0,5 kg. Hur mycket väger 8 sådana bö cker?
Att låta eleverna sortera uppgifter efter vilket räknesätt de skulle använda för att lösa uppgifterna samt att motivera sina val sätter fokus på att välja räknesätt. Om uppgifterna inte behöver beräknas kan eleverna sortera och diskutera många olika uppgifter och skaffa sig erfarenhet av fler uppgifter än om de också måste satsa tid på själva räknandet. Sedan kan de välja någon eller några uppgifter att räkna ut. Här behövs undervisning med betoning på att tolkandet och strukturerandet måste få ta tid, för att själva beräknandet sedan ska bli en mindre del i processen.
Signalord Gör eleverna uppmärksamma på att det finns en del ord som kan vara luriga när det gäller att välja räknesätt. Ordet ”tillsammans” antyder att det skulle kunna handla om addition och i uppgiften:” Anna har 5 kr och Pelle har 6 kr. Hur mycket har de tillsammans?” är det addition. Men i uppgiften: ”Anna och Pelle har 16 kr tillsammans. Anna har 7 kr. Hur mycket har Pelle?” är det i stället subtraktion. Andra sådana ord är t ex finns kvar, dyrare, billigare, äldre, yngre, längre, tyngre. Låt eleverna träna på att formulera räknehändelser för både addition och subtraktion med dessa ord så att de kan identifiera vilket av räknesätten de ska använda när de möter en textuppgift med något av dessa ord.
6
#
och då fungerar alltid standardalgoritmerna i alla räknesätt. Därför är det viktigt att eleverna får möjlighet att lära sig använda dem. • Miniräknaren ger alla elever en möjlighet att klara även svåra beräkningar. När eleverna väljer att använda miniräknare är det extra viktigt att de gör en rimlighetsbedömning av svaret eftersom det är lätt att trycka fel. • Överslagsräkning är den vanligaste metoden i vardagen. För att sätta fokus på att välja lämplig räknemetod kan eleverna även här sortera uppgifter och diskutera med varandra. Val av räknemetod skiftar mellan olika elever och åldrar och vid en uppgift som 27 + 68 använder elever i åk 1 kanske miniräknare medan elever i åk 4 väljer huvudräkning.
D Beräkna Om eleven inte kan tolka en uppgift och välja rätt räknesätt hjälper det ju inte att kunna utföra en beräkning. Det är bara i matteboken som det är lönsamt att endast kunna räkna ut ”nakna” uppgifter. I vardagen förekommer matematiken alltid i ett sammanhang. Djupanalysen av TIMSS 2007 visar att eleverna ofta behärskar olika beräkningsprocedurer men att de är sämre på att välja när det är lämpligt att använda den ena eller den andra. Vid t ex 401 – 398 och 401 – 2 ska eleverna kunna avgöra att den första uppgiften löses med skillnadstänkande medan det vid den andra är enklast att bara ta bort 2. Därför är det viktigt att räkna mindre och jobba mer på andra sätt t ex att sortera uppgifter utifrån strategier. 7
B Välja räknesätt
C Välja räknemetod • Huvudräkning är enklast i många uppgifter. • Skriftliga räknemetoder krävs i en del uppgifter
Ofta ligger fokus på att beräkna uppgifter med ett räknesätt i taget, medan eleverna alltför sällan får träna vilka räknehändelser som leder till de olika räknesätten. I Kommentarmaterial till kursplanen i matematik s. 6 beskrivs vad som behöver förbättras:
”
För de yngre eleverna handlar det bland annat om att de behöver utveckla bättre förståelse för de fyra räknesätten.
”
1,5 m. prep är Ett hop opprep ånga h Hur m m rep? 2 1 n av # får ma En bok väge r 0,5 kg. Hur mycket väger 8 sådana bö cker?
Att låta eleverna sortera uppgifter efter vilket räknesätt de skulle använda för att lösa uppgifterna samt att motivera sina val sätter fokus på att välja räknesätt. Om uppgifterna inte behöver beräknas kan eleverna sortera och diskutera många olika uppgifter och skaffa sig erfarenhet av fler uppgifter än om de också måste satsa tid på själva räknandet. Sedan kan de välja någon eller några uppgifter att räkna ut. Här behövs undervisning med betoning på att tolkandet och strukturerandet måste få ta tid, för att själva beräknandet sedan ska bli en mindre del i processen.
Signalord Gör eleverna uppmärksamma på att det finns en del ord som kan vara luriga när det gäller att välja räknesätt. Ordet ”tillsammans” antyder att det skulle kunna handla om addition och i uppgiften:” Anna har 5 kr och Pelle har 6 kr. Hur mycket har de tillsammans?” är det addition. Men i uppgiften: ”Anna och Pelle har 16 kr tillsammans. Anna har 7 kr. Hur mycket har Pelle?” är det i stället subtraktion. Andra sådana ord är t ex finns kvar, dyrare, billigare, äldre, yngre, längre, tyngre. Låt eleverna träna på att formulera räknehändelser för både addition och subtraktion med dessa ord så att de kan identifiera vilket av räknesätten de ska använda när de möter en textuppgift med något av dessa ord.
6
#
och då fungerar alltid standardalgoritmerna i alla räknesätt. Därför är det viktigt att eleverna får möjlighet att lära sig använda dem. • Miniräknaren ger alla elever en möjlighet att klara även svåra beräkningar. När eleverna väljer att använda miniräknare är det extra viktigt att de gör en rimlighetsbedömning av svaret eftersom det är lätt att trycka fel. • Överslagsräkning är den vanligaste metoden i vardagen. För att sätta fokus på att välja lämplig räknemetod kan eleverna även här sortera uppgifter och diskutera med varandra. Val av räknemetod skiftar mellan olika elever och åldrar och vid en uppgift som 27 + 68 använder elever i åk 1 kanske miniräknare medan elever i åk 4 väljer huvudräkning.
D Beräkna Om eleven inte kan tolka en uppgift och välja rätt räknesätt hjälper det ju inte att kunna utföra en beräkning. Det är bara i matteboken som det är lönsamt att endast kunna räkna ut ”nakna” uppgifter. I vardagen förekommer matematiken alltid i ett sammanhang. Djupanalysen av TIMSS 2007 visar att eleverna ofta behärskar olika beräkningsprocedurer men att de är sämre på att välja när det är lämpligt att använda den ena eller den andra. Vid t ex 401 – 398 och 401 – 2 ska eleverna kunna avgöra att den första uppgiften löses med skillnadstänkande medan det vid den andra är enklast att bara ta bort 2. Därför är det viktigt att räkna mindre och jobba mer på andra sätt t ex att sortera uppgifter utifrån strategier. 7
En uppgift – olika lösningsnivåer
E Bedöma rimlighet Redan när eleverna möter Fingerfemman i årskurs 2 betonas vikten av att tänka efter om svaret är rimligt. Det är svårt för eleverna att göra rimlighetsbedömning när de inte har så stor erfarenhet. Därför behöver eleverna träna rimlighetsbedömning vid många tillfällen. Det kan göras med ”minutare” där alla eleverna t ex har två kort med orden Rimligt respektive Orimligt. Läraren säger sedan ett påstående och eleverna visar sitt val genom att hålla upp ett av korten.
En 8-åring kan vara 98 cm lång.
OR
IML
IGT
F Översätta till räknehändelse Ett matematiskt uttryck kan stå för olika situationer. Eleverna behöver kunna ge exempel på flera situationer som ett visst uttryck kan representera. Undervisningen måste synliggöra det för eleverna och de måste få tillfälle att träna sig på att sätta ord på vad som ”finns bakom” siffror och tecken i ett uttryck. För att lösa problemuppgifter behöver eleverna också kunna använda olika problemlösningsstrategier t ex:
• Rita • Pröva • Uteslutning
8
• Börja bakifrån • Göra tabell • Lös en enklare uppgift först
Eleverna måste bli uppmärksammade på att en uppgift kan lösas på olika nivåer. Undervisningen ska ge dem möjlighet att utveckla effektiva metoder, så att de inte bara prövar och ritar utan skaffar sig generella metoder som fungerar på många uppgifter. Exempel på lösningar på olika nivåer av en och samma uppgift: Anna och Pelle har 5 600 kr tillsammans. Anna får tre gånger så mycket som Pelle. Hur mycket får Pelle?
Pröva Pelle 1 200 1 300 1 400
Eleven prövar sig fram tills det stämmer.
Anna 3 600 3 900 4 200
Tillsammans 4 800 5 200 5 600 Det stämmer Svar: Pelle får 1 400 kr
Rita ruta Pelle Anna
Tillsammans 5 600 kr 5 600 = 1 400 4 Svar: Pelle får 1 400 kr
Ekvation Pelle Anna tillsammans x 3x x + 3x x + 3x = 5 600 x = 5 600 4 x = 1 400 Svar: Pelle får 1 400 kr
Pröva är en arbetskrävande metod som inte kan generaliseras.
När eleven ritar ruta kan rutan representera vilket tal som helst. Eleven har ritat en ruta som representerar Pelles pengar och sedan tre lika stora rutor som represtenterar Annas pengar. Att rita ruta är en generell metod som sedan kan överföras till en ekvation.
Här har eleven bestämt att Pelle får x kr. Anna får 3x kr. Tillsammans har de 4x kr. Elever löser sedan ekvationen och får svaret x = 1400 kr. Att lösa en ekvation är en generell metod.
9
En uppgift – olika lösningsnivåer
E Bedöma rimlighet Redan när eleverna möter Fingerfemman i årskurs 2 betonas vikten av att tänka efter om svaret är rimligt. Det är svårt för eleverna att göra rimlighetsbedömning när de inte har så stor erfarenhet. Därför behöver eleverna träna rimlighetsbedömning vid många tillfällen. Det kan göras med ”minutare” där alla eleverna t ex har två kort med orden Rimligt respektive Orimligt. Läraren säger sedan ett påstående och eleverna visar sitt val genom att hålla upp ett av korten.
En 8-åring kan vara 98 cm lång.
OR
IML
IGT
F Översätta till räknehändelse Ett matematiskt uttryck kan stå för olika situationer. Eleverna behöver kunna ge exempel på flera situationer som ett visst uttryck kan representera. Undervisningen måste synliggöra det för eleverna och de måste få tillfälle att träna sig på att sätta ord på vad som ”finns bakom” siffror och tecken i ett uttryck. För att lösa problemuppgifter behöver eleverna också kunna använda olika problemlösningsstrategier t ex:
• Rita • Pröva • Uteslutning
8
• Börja bakifrån • Göra tabell • Lös en enklare uppgift först
Eleverna måste bli uppmärksammade på att en uppgift kan lösas på olika nivåer. Undervisningen ska ge dem möjlighet att utveckla effektiva metoder, så att de inte bara prövar och ritar utan skaffar sig generella metoder som fungerar på många uppgifter. Exempel på lösningar på olika nivåer av en och samma uppgift: Anna och Pelle har 5 600 kr tillsammans. Anna får tre gånger så mycket som Pelle. Hur mycket får Pelle?
Pröva Pelle 1 200 1 300 1 400
Eleven prövar sig fram tills det stämmer.
Anna 3 600 3 900 4 200
Tillsammans 4 800 5 200 5 600 Det stämmer Svar: Pelle får 1 400 kr
Rita ruta Pelle Anna
Tillsammans 5 600 kr 5 600 = 1 400 4 Svar: Pelle får 1 400 kr
Ekvation Pelle Anna tillsammans x 3x x + 3x x + 3x = 5 600 x = 5 600 4 x = 1 400 Svar: Pelle får 1 400 kr
Pröva är en arbetskrävande metod som inte kan generaliseras.
När eleven ritar ruta kan rutan representera vilket tal som helst. Eleven har ritat en ruta som representerar Pelles pengar och sedan tre lika stora rutor som represtenterar Annas pengar. Att rita ruta är en generell metod som sedan kan överföras till en ekvation.
Här har eleven bestämt att Pelle får x kr. Anna får 3x kr. Tillsammans har de 4x kr. Elever löser sedan ekvationen och får svaret x = 1400 kr. Att lösa en ekvation är en generell metod.
9
MATTE
Problemlösningens
I Lgr 11 är problemlösningen övergripande. Därför har vi fokus på problemlösning i Eldorado. Träning på att tolka textuppgifter börjar redan i förskoleklassen och bygger upp en struktur som utvecklas vidare upp genom årskurserna. På Utforskasidorna som inleder varje område får eleverna möta aktiviteter där de tillsammans och med läraren resonerar och reflekterar kring alla problemlösningens alla delar.
olika delar måste
Fokus ligger på vägen fram till svaret och eleverna tränar redan från årskurs 1 på att se sitt eget lärande och att uppmärksammas på olika kvaliteter i sina kunskaper. Vi vill att eleverna ska utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande. Du kan läsa mer om detta i lärarböckerna, där du även får förslag till hur du kan bedöma kunskapskvaliteter.
eleverna!
synliggöras för
I Lgr 11 anges kravnivåer för de olika betygen. Hur dessa ska tolkas ger de nationella proven exempel på och i Eldorado finns förslag på hur uppgifter och lösningar kan se ut på olika nivåer.
Undervisning är att skapa förutsättningar för elevers lärande.
Mer material för dig och dina elever finns på Eldorados läromedelswebb www.nok.se/eldorado. Där hittar du bl a detta: • Eldorados koppling till Lgr 11 • länkar till filmklipp • räkna mera – färdighetsträning digitalt eller på papper • kompletteringar och uppdateringar.
MA
Grundböckerna finns även som Digitalbok med ljud. Mar
10
T TE
In gare grid O ta Fo lsson rsbä ck
6A
11
MATTE
Problemlösningens
I Lgr 11 är problemlösningen övergripande. Därför har vi fokus på problemlösning i Eldorado. Träning på att tolka textuppgifter börjar redan i förskoleklassen och bygger upp en struktur som utvecklas vidare upp genom årskurserna. På Utforskasidorna som inleder varje område får eleverna möta aktiviteter där de tillsammans och med läraren resonerar och reflekterar kring alla problemlösningens alla delar.
olika delar måste
Fokus ligger på vägen fram till svaret och eleverna tränar redan från årskurs 1 på att se sitt eget lärande och att uppmärksammas på olika kvaliteter i sina kunskaper. Vi vill att eleverna ska utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande. Du kan läsa mer om detta i lärarböckerna, där du även får förslag till hur du kan bedöma kunskapskvaliteter.
eleverna!
synliggöras för
I Lgr 11 anges kravnivåer för de olika betygen. Hur dessa ska tolkas ger de nationella proven exempel på och i Eldorado finns förslag på hur uppgifter och lösningar kan se ut på olika nivåer.
Undervisning är att skapa förutsättningar för elevers lärande.
Mer material för dig och dina elever finns på Eldorados läromedelswebb www.nok.se/eldorado. Där hittar du bl a detta: • Eldorados koppling till Lgr 11 • länkar till filmklipp • räkna mera – färdighetsträning digitalt eller på papper • kompletteringar och uppdateringar.
MA
Grundböckerna finns även som Digitalbok med ljud. Mar
10
T TE
In gare grid O ta Fo lsson rsbä ck
6A
11
TTA AN KKA AR I ngrid
Margareta
Illustrationer: Michael P Gustafsson och Åsa Gustafsson/ Grafisk form: KariDesign
MATTE
MatteTankar är en serie häften kring matematikundervisning. Här lyfter vi fram viktiga områden som vi tycker behöver belysas och diskuteras. Du kan läsa mer om varje område i vårt läromedel MatteEldorado för FK– åk 6 och på www.nok.se/eldorado.
om problemlösningens alla delar. Det gäller att eleverna utvecklar kunskaper och förståelse som håller för fortsatt lärande!
Natur & Kultur Box 27 323, 102 54 Stockholm info@nok.se Tel: 08-453 86 00 Fax: 08-453 87 90 www.nok.se
1
FAKTA OM OSS: Vi har arbetat många år inom hela grundskolan både som klasslärare och speciallärare, och sedan med matematikdidaktik i lärarutbildning och fortbildning. Vi vet hur viktigt det är att eleverna får en bra grund i matematik för att lyckas högre upp. Med MatteTankar och MatteEldorado vill vi ge både inspiration och ett konkret undervisningsverktyg. ISBN 978-91-27-43349-6
sätter vi fokus på undervisning
TTA AN KKA AR Ingrid Olsson Margareta Forsbäck
Med MatteTankar vill vi få lärare, föräldrar och elever att reflektera över vad som är viktiga kunskaper i matematik. Vi vill undanröja hinder och bana väg för en matematikundervisning som hjälper eleverna att utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande.
DETTA HÄFTE
MATTE
VAD SKA MAN HA ALLT RÄKNANDE T LL? 2