RELACIONES Y FUNCIONES MATEMATICAS
NATALIA HERNANDEZ GUAYDIA
AREA DE MATEMATICA APLICADA DOCENTE: ALEJANDRO RINCON
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS PROGRAMA DE CONTADURIA PÚBLICA NOCTURNA ARMENIA, QUINDIO 2011
RELACIONES Y FUNCIONES MATEMATICAS
1. ¿Qué es una relación y una función matemática. Cuál es la principal diferencia entre ellas?
Relación matemática: El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma) Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.
Función matemática: Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.
La diferencia que existe entre relación y función, es que una relación matemática es la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas y una función matemática es la correspondencia o relación de cada elemento de un conjunto A con un único elemento del conjunto B, es decir, que la Función es la Relación de un elemento de un conjunto con un único elemento del otro conjunto, por eso no toda Relación es Función, en una grafica si trazas una recta que la corte solo puede tocar un punto de ella.
2. Explique: Diagrama sagital y Diagrama cartesiano para la representación grafica de relaciones y funciones. Elementos de una relación y de una función.
Diagrama cartesiano Consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.
Las rectas se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero. En la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x"), al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,...; y hacia la izquierda el -1, 2,... y así sucesivamente en ambas direcciones. De forma análoga se procede con la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y"), al punto de corte se le asigne el 0 y hacia arriba el 1,2,....; y hacia abajo el -1,-2,... etc. De modo que tenemos la situación del dibujo. De este modo cada punto del plano se localiza mediante dos números, uno correspondiente a cada eje, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (,) . Dicho par de números se llaman coordenadas. Y se obtienen, por ejemplo, de la siguiente manera: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese es el punto buscado. De igual forma para el punto (-3,2), nos situamos en la marca -3 del eje "x" y subimos verticalmente hasta el 2 del eje "y". Lógicamente el (0,0) es el punto donde se cortan los dos ejes y se llama "origen de coordenadas".
DIAGRAMA SAGITAL Es un diagrama de flechas. Puede ser utilizado para representar una relación matemática. Por ejemplo si “a” se relaciona con “b” escribimos a R b, o bien decimos que (a,b) pertenecen a la relación. Se puede dibujar el elemento a, el elemento b, y dibujar una flecha con origen en a y la punta en b.
Elementos de una relación Son pares de elementos ordenados, el primero de los cuales pertenece al primer conjunto de la relación y el segundo de los cuales pertenece al segundo conjunto.
Elementos de una Función Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). o
o
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).
3. ¿Que es una función real? Función real Una función real es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en , es decir, es una función:
En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.
4. Explique las principales características de los siguientes grupos de funciones:
A. Función Constante B. Función Lineal C. Función Cuadrática D. Función Exponencial E. Función Logarítmica F. Función Valor Absoluto G. Función Cubica
A. FUNCION CONSTANTE En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:
Donde a es la constante. Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de esta forma: f (x) = a (donde "a" es constante, o sea un número real). El gráfico es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas (o sea, paralela a x).
B. FUNCION LINEAL Las funciones que son de esta forma, es decir que el valor de y es igual a un número real por el valor de la x, se denominan funciones lineales. y = m*x Una función lineal es aquella en la que cada término es lineal, es decir, de grado 1. Lo que es lo mismo, es aquella donde las variables sólo aparecen sumándose (o restándose, que viene a ser lo mismo), nunca multiplicándose o dividiéndose (ni, obviamente, sometidas a otra operación más compleja como exponentes, logaritmos, etc): f = x + 23y - 5z +1 -> función lineal f = x + 3xy + y^2 - 4 -> función no lineal C. FUNCION CUADRATICA Una función de la forma:
f (x) = a x ² + b x + c
Con a, b y c pertenecientes a los reales y a ¹ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
D. FUNCION EXPONENCIAL Una función exponencial es una función de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente de uno. Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.
E. FUNCION LOGARITMICA Se llama función logarítmica a la función real de variable real :
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :
La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281...
F. FUNCION VALOR ABSOLUTO La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x). 2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.
G. FUNCION CUBICA La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:
Donde a es distinto de 0.
El domino y la imagen de esta función pertenece a los números reales.
FUNCION LINEAL Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b). Ejemplo:
En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen. Elementos Donde m representa el cambio promedio de la función (conocido como pendiente) y b es la intersección con el eje y (el valor de y cuando x=0). Grafica La grafica de una función lineal es una línea recta que puede ser creciente, decreciente, horizontal o vertical, dependiendo de cómo sea la pendiente. Ejemplo de la grafica de una Función lineal:
Entre las principales características se encuentran:
La gráfica es siempre una recta CONTINUA (la función lineal es siempre continua) Son de la forma F(x)=ax+b (a y b son números) a se denomina PENDIENTE y b es la ORDENADA AL ORIGEN (Es lo que vale F en 0) La derivada es constante igual a la pendiente (F´(x)=a para cualquier x) Son polinomios de grado 1 Siempre es creciente (si a es positiva) o decrece (si a es negativa) Las funciones constantes tienen un gráfico lineal paralelo al eje x, valen siempre el mismo valor y su pendiente es 0.
FUNCION CUADRATICA
Funciones Cuadráticas Completas
Funciones Cuadráticas Incompletas
Elementos:
Puntos de corte con el eje X En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: o Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 o Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 o Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
Punto de corte con el eje Y En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
Lo que resulta:
La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.
El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Se denota Dom f. El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función. Se denota Imf
Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea
Vértice El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:
Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función. En el vértice se calcula el máximo (o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación). Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:
Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Máximo
Mínimo
Gráfica de las funciones cuadráticas La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es: x
-3
-2
-1
-0'5
0
0'5
1
2
3
f(x) = x2
9
4
1
0'25
0
0'25
1
4
9
Esta curva simétrica se llama parábola. Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma:
Siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función exponencial de base e Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e. Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
Algunas características de las funciones exponenciales crecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas.
Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas.
Dominio y Rango La función exponencial de base b está definida por f(x ) = bx , donde su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números positivos.
Representación Grafica de una Función Exponencial
Esta representación gráfica muestra la función exponencial de base 2.
FUNCION LOGARITMICA Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :
Características de la Función Logarítmica
o El dominio de la función logarítmica son los números reales positivos. o El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es IR. o La curva de la función logarítmica, intercepta al eje de las abcisas en (1,0) o Si la base es mayor que 1, la función logarítmica es creciente. o Si la base es entre 0 y 1, la función es decreciente. Distintas Bases en la Función Logarítmica:
1. Base b, mayor que 1.
2. Base b, entre 0 y 1
Dominio y Rango La función logarítmica de base b está definida por f(x ) = bx , donde su dominio es el conjunto de los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales.
Grafica de la Función Logarítmica
a>1
0<a<1