Edma 0 6 educación matemática en la infancia by Vanesa Rodríguez

http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 ISSN: 2254-8351

Edma 0-6 Educación Matemática en la Infancia Septiembre de 2012

Volumen 1, Número 1

Índice Editorial Presentación de Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia Carlos de Castro Hernández, Director de Edma 0-6

Artículos Más allá de los contenidos, los procesos matemáticos en Educación Infantil Àngel Alsina i Pastells, Universidad de Girona

Apuntes teóricos sobre el pensamiento matemático y multiplicativo en los primeros niveles María Asunción Bosch Saldaña, Universidad de Almería

Competencia matemática en niños de 4 años María Salgado Somoza y Mª Jesús Salinas Portugal, Universidad de Santiago de Compostela

Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años Elisa Molina Jiménez, Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid

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Editorial Presentación de Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia Carlos de Castro Hernández Director de Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia

Bienvenidos al primer número de la revista Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia. El nombre “Edma” proviene de las palabras “Educación Matemática”. Edma 0-6, nombre abreviado de la revista, pretende publicar artículos sobre Educación Matemática, cubriendo las etapas educativas de Educación Infantil y Primaria (de cero a doce años), con un énfasis especial en la Educación Infantil (de cero a seis años). Del este interés por la Educación Infantil viene el “0-6” del nombre de la revista. Edma 0-6 es una revista electrónica disponible gratuitamente en Internet, en la dirección http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6. Publica artículos en español. Cualquier persona puede enviar un artículo para publicar en la revista. El artículo será publicado si cumple los requisitos establecidos en las normas de publicación, y pasa la evaluación de los expertos seleccionados por el equipo editorial. Dentro de la temática de la revista, se admiten trabajos de investigación, experiencias didácticas, y artículos de reflexión. Desde Edma 0-6 tenemos un especial interés en el primer ciclo de Educación Infantil. Trataremos de que en todos los números de la revista aparezca algún artículo dedicado a los pequeños de 0 a 3 años. Edma 0-6 es una revista de Didáctica de las Matemáticas. Está especialmente dirigida a maestras y maestros de Educación Infantil y Primaria, a estudiantes y profesores de los grados de Maestro en Educación Infantil y Primaria, a técnicos superiores en Educación Infantil, a estudiantes y profesores de Formación profesional de Grado Superior de Educación Infantil, y a investigadores (provenientes de cualquier área de conocimiento) interesados en la Educación Matemática Infantil. Comenzamos este primer número de Edma 0-6 con cinco artículos. Agradecemos a las autoras y autores la generosidad que han tenido enviando sus trabajos a una revista que acaba de nacer. Poco a poco, iremos desarrollando la revista, incorporando secciones, e intentando añadir elementos que vayan haciendo más atractiva la revista a cada vez mayor número de lectores. Esperamos que la revista sea de su agrado.

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Educación Matemática en la Infancia

Más allá de los contenidos, los procesos matemáticos en Educación Infantil Àngel Alsina i Pastells Universidad de Girona, angel.alsina@udg.edu Fecha de recepción: 3-11-2011 Fecha de aceptación: 3-01-2012 Fecha de publicación: 3-09-2012

RESUMEN En este artículo se presenta una visión de la enseñanza de las matemáticas en las primeras edades que prioriza que los niños y niñas aprendan a usar las matemáticas en su vida cotidiana. Se argumenta que para aprender a usar las matemáticas es necesario partir de un currículo de matemáticas que contemple dos tipos de conocimientos: los contenidos matemáticos (razonamiento lógico-matemático; numeración y calculo; geometría; medida; y estadística y probabilidad) y, sobre todo, los procesos matemáticos (la resolución de problemas; el razonamiento y la demostración; la comunicación; las conexiones; y la representación), ya que estos procesos ponen de relieve las formas de adquisición y uso de los contenidos matemáticos. Se ofrecen orientaciones didácticas para planificar y gestionar actividades que contemplen las conexiones entre los contenidos y los procesos matemáticos mediante la presentación de dos experiencias implementadas en diferentes centros escolares de la geografía española. Palabras clave: Educación matemática, currículo de matemáticas, contenidos matemáticos, procesos matemáticos, conexiones, prácticas educativas, alfabetización matemática, Educación Infantil.

Beyond contents, mathematical processes in Early Childhood Education ABSTRACT This article presents a view of teaching mathematics at an early age that gives priority to boys and girls learning to use mathematics in their everyday lives. It is argued that learning to use mathematics must be based on a mathematics curriculum that considers two types of knowledge: mathematical contents (logical mathematical reasoning; numbering and calculation; geometry; measuring; and statistics and probability) and, especially, mathematical processes (problem solving; reasoning and demonstration; communication; connections; and representation), since they emphasise ways of acquiring and using mathematical contents. Instructional guidelines are offered for the planning and management of activities that consider the connections between contents and the mathematical processes through the presentation of two experiences in different schools around Spain. Key words: Mathematics education, mathematics curriculum, mathematical contents, mathematical processes, connections, educational practices, mathematical literacy, preschool education.

Alsina, A. (2012). Más allá de los contenidos, los procesos matemáticos en Educación Infantil. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 1-14. •1•

Más allá de los contenidos, los procesos matemáticos en Educación Infantil Àngel Alsina i Pastells

1. Introducción En los últimos años diversos organismos internacionales, como la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico de la Unión Europea (OCDE, 2006) o bien el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, 2000), han ido alertando sobre el problema que supone enseñar matemáticas a partir de un currículum orientado exclusivamente a la adquisición de contenidos matemáticos. De manera muy sintética, estos organismos señalan que una enseñanza de las matemáticas centrada sólo en los contenidos puede ser útil para tener un buen rendimiento matemático en la escuela, pero esto no presupone la capacidad necesaria para aplicar los contenidos aprendidos a la vida cotidiana, de forma que todavía hoy es bastante habitual encontrar personas que “han aprendido” muchas matemáticas durante su escolarización, y que tienen dificultades para interpretar adecuadamente la factura del gas o para aplicar un buen sentido numérico a las ofertas que ofrecen los supermercados (cómo por ejemplo el 2º producto al 50%, que a menudo se interpreta como un 2 x 1), entre otras muchas situaciones de la vida cotidiana que a menudo comportan verdaderos problemas de comprensión y de resolución satisfactoria. Niss (2002) expone que esta mirada focalizada en los contenidos se centra exclusivamente en la adquisición de símbolos y de técnicas, y no tanto en su uso significativo. Esta visión reduccionista de la educación matemática, que conlleva algunas dificultades en el uso eficaz de los contenidos matemáticos, ha llevado en los últimos años a hacer propuestas desde el ámbito de la investigación en educación matemática que impulsan la necesidad de ampliar los conocimientos matemáticos que se tienen que trabajar en la escuela. Desde esta perspectiva, además de los bloques de contenido matemático (razonamiento lógico-matemático, numeración y cálculo, geometría, medida, y estadística y probabilidad), en los currículos actuales se da protagonismo a los procesos matemáticos (Alsina, 2011a). En este sentido, de Guzmán (2001, pág. 9) ya puso de manifiesto que: En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la cual nos encontramos, está claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos enseñar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más proveerse de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en ideas inertes...

Para este autor la matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método predomina claramente sobre el contenido. Por este motivo considera que los procesos son el centro de la educación matemática. Los contenidos y los procesos, como veremos, se interrelacionan, se retroalimentan, y todos juntos forman el conjunto de conocimientos matemáticos que se tienen que aprender para ser un ciudadano alfabetizado en la sociedad del S. XXI.

2. Los procesos matemáticos en Educación Infantil Los procesos matemáticos ponen de relieve las formas de adquisición y uso de los contenidos matemáticos. En otras palabras, son las herramientas que nos proporcionan las matemáticas para trabajar los diferentes contenidos. Como resultado del trabajo compartido de profesores de matemáticas de Educación Infantil, Primaria y Secundaria; de multitud de sociedades de padres; de grupos de expertos; de seminarios de estudio; de equipos de innovación; de editoriales; de matemáticos preocupados por la enseñanza; de Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •2•

Más allá de los contenidos, los procesos matemáticos en Educación Infantil Àngel Alsina i Pastells

investigadores en educación; y responsables, en general, del currículum de matemáticas, se han establecido cinco procesos matemáticos: la resolución de problemas; el razonamiento y la demostración; la comunicación; la representación; y las conexiones (NCTM, 2000). En la Tabla 1 se exponen los estándares de procesos que propone este organismo para todas las etapas educativas:

Tabla 1. Estándares de procesos matemáticos (NCTM, 2000)

Resolución de problemas

Construir nuevo conocimiento matemático por medio de la resolución de problemas. Resolver problemas que surgen de las matemáticas y en otros contextos. Aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas. Controlar y reflexionar sobre el proceso de resolver problemas matemáticos.

Reconocer el razonamiento y la prueba como aspectos fundamentales de las matemáticas. Razonamiento Hacer e investigar conjeturas matemáticas. y demostración Desarrollar y evaluar argumentos y pruebas. Seleccionar y usar varios tipos de razonamientos y métodos de prueba.

Comunicación

Organizar y consolidar su pensamiento matemático mediante la comunicación. Comunicar su pensamiento matemático de manera coherente y clara a los compañeros, profesores y otras personas. Analizar y evaluar el pensamiento matemático y las estrategias de los demás. Usar el lenguaje de las matemáticas para expresar ideas matemáticas de forma precisa.

Conexiones

Reconocer y usar conexiones entre las ideas matemáticas. Comprender cómo se relacionan las ideas matemáticas y se organizan en un todo coherente. Reconocer y aplicar las ideas matemáticas en contextos no matemáticos.

Crear y usar representaciones para organizar, registrar, y comunicar ideas matemáticas. Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver Representación problemas. Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.

En nuestro país ha habido en general poca tradición para incorporar el trabajo sistemático de los procesos matemáticos en la etapa de Educación Infantil. Algunos de los motivos que explican esta ausencia son: a) la escasa formación inicial en Didáctica de las Matemáticas recibida en la universidad (Alsina, 2009); b) la poca investigación en educación matemática en las primeras edades (Blanco, 2011); y c) la nula consideración de los procesos matemáticos en los currículos de Educación Infantil y, en consecuencia, el déficit de instrucciones curriculares para trabajar los procesos en esta etapa educativa. Afortunadamente esta situación ha cambiado a raíz de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (BOE, 2006), y la posterior Orden ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la educación infantil (BOE, 2007), que deriva de la LOE. En esta Orden Ministerial se observa ya la presencia de diversos procesos de pensamiento matemático que indican las formas de trabajar los contenidos:

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Tabla 2. Presencia de los procesos matemáticos en la Orden ECI/3960/2007

Resolución problemas

Razonamiento y demostración

Primer ciclo (0-3 años)

Segundo ciclo (3-6 años)

“Participación en actividades de imitación de acciones de la vida cotidiana y de juego simbólico, disfrutando con ellas y desarrollando la capacidad de organización y anticipación de la acción” (p. 1021).

“Juegos motores, sensoriales, simbólicos y de reglas. Exploración de la entorno a través del juego. Sentimiento de seguridad personal en la participación en juegos diversos. Gusto por el juego” (p. 1021). “Comprensión y aceptación de reglas para jugar, participación en su regulación y valoración de su necesidad y del papel del juego como medio de goce y de relación con los otros” (p. 1021). “Resolución de tareas sencillas mostrando interés por asumir pequeñas responsabilidades, aceptando las indicaciones del adulto y buscando en los demás la ayuda necesaria para actuar con confianza y seguridad” (p. 1024). “Participación en juegos de imitación de situaciones de la vida cotidiana representando diferentes oficios, papeles o roles para iniciarse en la comprensión del mundo que le rodea, disfrutando con ellos” (pág. 1024).

“Exploración y observación de objetos y materiales presentes en el medio a través de la realización de acciones como acariciar, golpear, recoger, arrastrar, enroscar, abrir, soplar…, verbalizando los procesos al descubrir sensaciones, características y utilidades” (p. 1024). Anticipación de algunos efectos de sus acciones sobre objetos, animales o plantas, mostrando interés por su cuidado y evitando situaciones de riesgo” (p. 1024). “Establecimiento de algunas semejanzas y diferencias. Clasificaciones atendiendo a un criterio y ordenaciones de dos o tres elementos por tamaño” (p. 1024). Realización de acciones sobre elementos y colecciones como juntar, distribuir, hacer correspondencias y contar elementos, aproximándose a la cuantificación no numérica (muchos, pocos, algunos) y numérica (uno, dos y tres), manifestando satisfacción por los logros conseguidos. (p. 1024) Anticipación de algunas rutinas o actividades diarias experimentando las primeras vivencias del tiempo (como hora de comer o del patio) y estimación intuitiva de su duración. (p. 1024)

“Planificación secuenciada de la acción para realizar tareas”. (p. 1021) “Discusión, reflexión, valoración y respeto por las normas colectivas que regulan la vida cotidiana”. (p. 1021). “Percepción de semejanzas y diferencias entre los objetos. Discriminación de algunos atributos de objetos y materias. Interés por la clasificación de elementos. Relaciones de pertenencia y no pertenencia” (p. 1024). “Identificación de cualidades y sus grados. Ordenación gradual de elementos. Uso contextualizado de los primeros números ordinales” (p. 1024). “Cuantificación no numérica de colecciones (muchos, pocos). Comparación cuantitativa entre colecciones de objetos. Relaciones de igualdad y de desigualdad (igual que, más que, menos que” (p. 1024).

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Tabla 2 (Continuación). Presencia de los procesos matemáticos en la Orden ECI/3960/2007

Comunicación

Conexiones

“Reconocimiento y verbalización de algunas nociones espaciales básicas como abierto, cerrado, dentro, fuera, arriba, abajo, interior y exterior” (p. 1021). “Utilización progresivamente ajustada de la lengua oral en situaciones de comunicación habituales para denominar la realidad, comunicar necesidades y sentimientos, evocar experiencias, y como medio para regular la propia conducta y la de los demás” (p. 1028).

“Utilización oral de la serie numérica para contar” (p. 1024). “Utilización y valoración progresiva de la lengua oral para evocar y relatar hechos, para explorar conocimientos, expresar y comunicar ideas y sentimientos y como ayuda para regular la propia conducta y la de los demás” (p. 1028). “Uso progresivo, acorde con la edad, de léxico variado y con creciente precisión, estructuración apropiada de frases, entonación adecuada y pronunciación clara” (p. 1028). “Participación y escucha activa en situaciones habituales de comunicación. Acomodación progresiva de sus enunciados a los formatos convencionales, así como acercamiento a la interpretación de mensajes, transmitidos por medios audiovisuales” (p. 1028).

“En esta etapa el currículo se desarrolla en tres áreas: Conocimiento de sí mismo y autonomía personal, Conocimiento del entorno y Lenguajes: comunicación y representación. Esta estructura del currículo en tres áreas ayuda a sistematizar y planificar la actividad docente, pero no debe suponer presentar en el aula la realidad de forma parcelada, sino ayudar al niño a establecer relaciones entre los diversos elementos que se tengan en consideración” (pág. 1020).

“Gusto e interés por manipular textos escritos en diferentes soportes (libros, revistas, periódicos, carteles o etiquetas), participando en la interpretación de Representación imágenes e iniciándose en la diferenciación entre las distintas formas de expresión gráfica (dibujos, números, lengua escrita)” (pág. 1028).

“Acercamiento a la lengua escrita como medio de comunicación, información y disfrute. Interés por explorar algunos de sus elementos” (pág. 1029). “Diferenciación entre las formas escritas y otras formas de expresión gráfica. Identificación de palabras y frases escritas muy significativas y usuales. Percepción de diferencias y semejanzas entre ellas. Iniciación al conocimiento del código escrito a través de esas palabras y frases” (pág. 1029).

En la Tabla 2 se observa, como se ha indicado, la presencia explícita de procesos de pensamiento matemático: -

La resolución de problemas: se plantea sobre todo en forma de juegos, puesto que tienen unas características muy similares (habitualmente los juegos empiezan con la introducción de una serie de reglas; y para avanzar en el dominio del juego es van adquiriendo técnicas y estrategias que conducen al éxito, tal como pasa en el proceso de resolución de problemas). El razonamiento y la demostración: este proceso de pensamiento matemático se pone de manifiesto sobre todo en actividades de relación o comparación (de cualidades sensoriales, cantidades, etc.) a través de clasificaciones, ordenaciones, correspondencias, etc. La comunicación: aparece insistentemente en las instrucciones curriculares enfatizando el uso progresivo de léxico adecuado; la expresión de ideas de manera oral; la escucha a los demás; etc. La representación: se pone de manifiesto que durante la Educación Infantil los niños y niñas deben distinguir distintas formas de expresión gráfica e iniciarse en la notación escrita como medio para comunicarse. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •5•

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Las conexiones: se pone de manifiesto la interdisciplinariedad, es decir, la relación intrínseca entre los contenidos de las tres áreas del currículo.

Este nuevo planteamiento curricular implica partir de un enfoque mucho más globalizado que no se limite a los contenidos de una única área, sino trabajar de forma integrada, explorando como se potencian y usándolos sin prejuicios. Además, exige trabajar para favorecer la autonomía mental del alumnado, potenciando la elaboración de hipótesis, las estrategias creativas de resolución de problemas, la discusión, el contraste, la negociación de significados, la construcción conjunta de soluciones y la búsqueda de formas para comunicar planteamientos y resultados. En definitiva, pues, se trata de ayudar, a través de los procesos de pensamiento matemático, a gestionar el conocimiento, las habilidades y las emociones para conseguir un objetivo a menudo más cercano a situaciones funcionales y en contextos de vida cotidiana que a su uso académico. Entramos de pleno, pues, en la noción de alfabetización matemática, que se define como la capacidad del individuo para identificar y comprender el rol que juega la matemática en el mundo, para emitir juicios bien fundamentados y para comprometerse con la matemática, de manera que cubran las necesidades de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano constructivo, interesado y reflexivo (OCDE, 2000).

3. Hacia la alfabetización matemática: algunos ejemplos edificantes En este apartado se presentan dos experiencias en las que se trabajan de manera integrada los contenidos y los procesos matemáticos. Se trata de experiencias que han sido implementadas por maestros del 2º ciclo de Educación Infantil en diferentes centros escolares de la geografía española. Las experiencias se han diseñado en el marco de diferentes actividades de formación permanente del profesorado de Educación Infantil en las que el autor de este artículo ha sido el formador, y están documentadas, junto con otras experiencias, en Alsina (2011b).

3.1. Experiencia 1: “Aprendemos matemáticas en el patio del colegio” Colegios: “Juan XXIII”, de Castilleja de Cuesta y “El Manantial”, de Bormujos (Sevilla) Nivel: 3-6 años Maestros responsables de la implementación: Domitila Ceballos; Cristina Ruiz, Israel Montes y M. Concepción Ruiz Asesoramiento pedagógico: Àngel Alsina

3.1.1. Matematización del contexto El contexto de aprendizaje escogido para llevar a cabo esta experiencia es el patio de la escuela. Se parte de la base que es un contexto de la vida cotidiana de los niños y niñas muy conocido por ellos, y que ofrece muchas posibilidades para trabajar contenidos matemáticos de todo los bloques: de razonamiento lógico (colores de las paredes del edificio del colegio, texturas, etc.); de numeración y cálculo (cantidades de elementos que hay en el patio, etc.); de geometría (recorridos por el patio, posiciones, formas de los objetos, etc.); de medida (distancia entre dos puntos del patio, etc.); o bien de estadística y probabilidad (recogida de datos, como por ejemplo observar el tiempo que hace durante una semana y representarlo en un gráfico, etc.). Para profundizar en las posibilidades que ofrece el patio para trabajar matemáticas, el equipo de maestros se reúne para matematizar el contexto elegido, es decir, para concretar los contenidos que piensan que se pueden trabajar en el patio, y se planifica a través de qué procesos se trabajarán: la resolución de problemas (se formulan algunas preguntas, retos, etc. que los alumnos deben resolver a Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •6•

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partir de la observación, etc.); el razonamiento y la demostración (se pide a los alumnos que justifiquen, argumenten, expliquen y comprueben el proceso de resolución, así como los resultados de sus observaciones, etc.); la comunicación y la representación (se fomenta el interacción, la negociación y el diálogo a partir de las observaciones realizadas para que todos puedan aprender de todos; y se insiste también en que representen gráficamente a través de dibujos, signos, etc. los aspectos matemáticos observados para fomentar la abstracción progresiva); las conexiones (se trabajan las relaciones entre los diferentes bloques de contenido matemático y, sobre todo, las relaciones con otras áreas curriculares y con el entorno):

3.1.2. Trabajo previo en el aula Una vez establecidos los contenidos y la manera de trabajarlos, en el aula se hace una asamblea para explicar a los niños y niñas que van a salir al patio a contar los objetos que hay, a observar formas, etc., para aprender matemáticas. Se les pregunta qué cosas van a necesitar, y entre todos se acuerda llevar la cámara de fotos para documentar lo que van observando, así como lápiz y hojas de registro para recoger los datos que se van descubriendo (a través de dibujos, etc.).

3.1.3. Trabajo en contexto Los alumnos realizan varias actividades en el patio, formuladas básicamente en forma de preguntas de manera que supongan pequeños retos a resolver: -

¿Cómo son las paredes de los edificios del colegio? Tienen que observar que hay texturas, colores, ventanas, etc.: se sientan en círculo y, después de expresar en voz alta lo que han observado, se los pide que analicen si los edificios son iguales o diferentes (semejanzas y diferencias en relación al color, la medida, etc.). ¿Cuántos objetos hay en el patio? En otra sesión se los pide que cuantifiquen algunos de los elementos que hay en el patio, como por ejemplo ventanas, cristales, etc.: cuentan los elementos, comparan cantidades y finalmente lo representan en un papel usando representaciones no convencionales (dibujos, cruces, etc.) y convencionales. ¿Hay más alumnos o columnas? Para trabajar las correspondencias cuantitativas, se los plantea un pequeño reto: tienen que averiguar si hay más alumnos que columnas o bien a la inversa. Para descubrirlo deciden ponerse uno en cada columna, y de este modo descubren fácilmente que hay más niños que columnas. ¿Dónde está? Durante otra salida se les pide que se fijen en la posición relativa de los objetos entre ellos (estructuración espacial) y también en la posición de cada alumno respeto algún objeto de referencia (orientación espacial), con el fin de trabajar la organización espacial. Se trabajan diferentes posiciones, como por ejemplo: alrededor de una columna; delante y detrás de las columnas; a un lado de la columna; etc. ¿Qué forma tiene? En otra sesión el trabajo se focaliza en la observación de las formas que hay en el patio: círculos, cuadrados, rectángulos, etc. (hay que decir que la mayoría de formas que observan son planas). ¿Qué distancia hay? Se plantea a los alumnos qué distancia hay entre las columnas. Para comprobarlo, usan diferentes instrumentos y unidades (palmos, reglas, etc.) ¿Cómo son las sombras? En la última sesión el trabajo se centra en descubrir qué pasa con las sombras. Con este objetivo se propone que observen como cambia la sombra durante el transcurso del día, y finalmente construyen un reloj solar.

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Estadística y probabilidad

Medida

Geometría

Numeración y cálculo

Razonamiento lógico-matemático

Tabla 3. Algunos contenidos y procesos matemáticos que se pueden trabajar en el patio Resolución de Problemas

Razonamiento y demostración

Comunicación y representación

¿Cómo son los objetos que vemos al patio? (descripción de las calidades y atributos: color, textura, medida, etc.) ¿Qué parecidos y qué diferencias hay entre los diferentes edificios del colegio? ¿Cómo es tu sombra?; ¿cuándo hay sombra?

Comparar las calidades de los objetos del patio (color, textura, etc.) y justificar las semejanzas y las diferencias. Clasificar y ordenar objetos de los patios por diferentes criterios y argumentar los criterios que se han utilizado. Visualizar sombras y comprobar que se modifican en el transcurso del día.

Expresar oralmente la respuesta a las preguntas planteadas: “vemos colores, tocamos superficies lisas y rugosas, etc.”. Representar gráficamente (con dibujos) las observaciones hechas.

Lengua: escribir los nombres de los colores. Conocimiento del Medio: observar y conocer con más profundidad el patio de la escuela.

Comparar cantidades de objetos que hay en el patio y justificar de cuáles hay más ; de cuáles hay menos; etc.

Expresar las relaciones cuantitativas que pueden establecerse (por ejemplo, hay más niños que columnas). Representar gráficamente (con dibujos) o bien con representaciones convencionales (números escritos), la cantidad de objetos de una determinada colección (por ejemplo, el número de columnas).

Conocimiento del Medio: observar y conocer con más detalle el patio de la escuela.

¿Qué recorrido podemos hacer para ir desde la clase a la zona de las columnas del patio? ¿Qué formas tienen los objetos que hay en el patio?

Argumentar cuál es el recorrido más corto para ir desde la clase hasta la zona de las columnas del patio. Justificar de qué formas se trata a partir de la observación de las diferentes propiedades geométricas.

Explicar a los otros un recorrido usando vocabulario geométrico: delante/detrás; a un lado/a otro; alrededor; etc. Describir en voz alta las formas observadas. Realizar planos del patio y dibujos de los objetos que hay. Hacer una maqueta del patio con un material concreto (por ejemplo, con un juego de construcción).

Conocimiento del Medio: observar y conocer con más detalle el patio de la escuela. Plástica: Dibujar el plano del patio o bien algunos objetos.

¿Cómo podemos saber cuánto mide de largo y de ancho el patio? ¿Cómo es la sombra a cada hora?

Argumentar la mejor manera de medir el patio: con unidades antropomórficas (manos, pies, etc.); instrumentos no convencionales (cuerdas, etc.) o convencionales (cinta métrica). Comprobar los datos de la medida. Comprobar el paso del tiempo y argumentarlo.

Explicar los objetos usados para medir y el proceso realizado. Representar los datos obtenidos en un papel.

Lengua: palabras largas y cortas; letras grandes y pequeñas, etc.

Argumentación de las ideas propias (por ejemplo, justificar porque se piensa que va a llover, etc.)

Describir los datos recogidos (cuántos niños piensan que hará sol; cuántos piensan que estará nublado; etc.) Representar los datos obtenidos en un diagrama de barras.

Conocimiento del Medio: el tiempo atmosférico. Lengua: vocabulario del tiempo atmosférico.

¿Cuántos edificios hay en el patio?; ¿cuántos mosaicos, formas, colores y ventanas hay? ¿Hay una columna para cada alumno?

¿Qué tiempo hace hoy? ¿Qué probabilidad hay de que llueva?

Conexiones

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3.1.4. Trabajo posterior en el aula Después de las actividades realizadas en el patio, en el aula se realiza un diálogo para compartir los conocimientos y se fomenta la representación de los descubrimientos hechos en un papel en blanco.

En la asamblea explicamos que vamos a salir al patio a contar los objetos que hay, a observar formas, etc.

Salimos al patio a observar las texturas de las paredes, los colores que hay, las semejanzas y las diferencias de los edificios, etc.

Contamos el número de columnas, de ventanas, etc.

Investigamos si hay más columnas que alumnos

Descubrimos posiciones: “la columna está en el lado derecho”

Descubrimos formas: “un cuadrado y un círculo dentro del cuadrado”

Calculamos la distancia que hay entre dos columnas

Observamos sombras y construimos un reloj de sol

En clase hablamos y lo dibujamos

Figuras 1-9. Aprendemos matemáticas en el patio del colegio Hay varios aspectos de esta experiencia, relativos tanto a la planificación como la gestión, que merecen ser destacados: en primer lugar, es evidente que el equipo de maestros conoce de antemano las posibilidades que ofrece el contexto elegido para trabajar los diferentes contenidos matemáticos. Como se ha indicado, los maestros han realizado de forma previa una matematización del contexto elegido (el patio de la escuela) que les ha permitido establecer los contenidos que podían trabajarse (calidades sensoriales en los edificios; la cantidad de elementos del patio, como el número de columnas, ventanas, etc.; las posiciones y las formas de los objetos que hay en el patio; etc.); en segundo lugar, el conocimiento previo que los maestros tienen del contexto de aprendizaje los permite plantear buenas preguntas, como por ejemplo “¿qué hay más, niños y niñas o columnas?”, que tienen por objeto que los alumnos descubran los aspectos cuantitativos de su entorno cercano. El tercer aspecto que convierte esta actividad en una buena práctica es que los niños y niñas no se limitan a “observar las matemáticas” que hay en el patio de su colegio, que de por sí ya es interesante, sino que fomentan una participación activa a través de la actividad heurística (por ejemplo, construyendo un reloj). Finalmente, para favorecer la comprensión y la interiorización de los Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •9•

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contenidos trabajados en contexto, el equipo de maestros propone a los niños y niñas que comuniquen los conocimientos adquiridos, ya sea oralmente o bien representándolos por escrito. En definitiva, pues, diferentes procesos matemáticos como la resolución de problemas, el razonamiento y la demostración, la comunicación, la representación o las conexiones han favorecido la funcionalidad de la actividad.

3.2. Experiencia 2: “Una excursión a Lloret de Mar” Colegio: “Marta Mata”, de Girona Nivel: 4 a 5 años Maestros responsables de la implementación: Marta López Asesoramiento pedagógico: Àngel Alsina

3.2.1. Matematización del contexto Para llevar a cabo esta experiencia se elige como contexto de aprendizaje la excursión a la plaza “Pere Torrent” de Lloret de Mar, un pueblo de costa muy turístico cercano a Girona. Esta plaza tiene unas características arquitectónicas que la convierten en un contexto ideal para trabajar “in situ” contenidos matemáticos. Se parte de la base que es necesario relacionar los aprendizajes hechos en la escuela con la vida cotidiana y salir al exterior para poder poner en práctica los conocimientos adquiridos, ya que estableciendo esta relación serán capaces de comprender que las matemáticas que han aprendido tienen un sentido y una funcionalidad. El hecho de acercar los niños y niñas a un entorno real, que de por sí es globalizado, va a permitir que puedan trabajar contenidos matemáticos muy variados: de razonamiento lógico-matemático (semejanzas y diferencias entre los objetos que hay en la plaza, clasificaciones, etc.); de numeración y cálculo (cantidad de farolas y otros objetos que hay en la plaza, etc.); de geometría (posiciones de los objetos y las formas arquitectónicas, etc.); de medida (uso de instrumentos para medir objetos de la plaza, etc.); o bien de estadística y probabilidad (recuento de objetos y representación en un diagrama de barras, etc.). Para dar intencionalidad a cada tarea que se propone, se listan los contenidos que se pretenden trabajar a partir de la salida y se consideran los procesos a seguir para trabajarlos:

3.2.2. Trabajo previo en el aula El trabajo que se pretende realizar en la Plaza “Pere Torrent” de Lloret de Mar, a pesar de que parte de un enfoque globalizado, está muy centrado en la práctica de medida (introducción de los instrumentos, las unidades, etc.). Por este motivo, el trabajo previo dentro del aula se centra sobre todo en la realización de actividades de medida de longitud, masa y capacidad, para ayudar a los niños y niñas a comprender la noción de medida y su utilidad en nuestra vida cotidiana. Las actividades que se realizan son las siguientes: -

Se explica una historia inventada a partir de la cual se plantean tres cuestiones: “¿de qué manera se puede medir un camino y saber si es más largo, más corto o igual que otro; y la altura de una persona?; ¿de qué manera se puede saber la cantidad de chocolate que tiene un vaso y saber si hay más, menos o igual que en otro?; y ¿de qué manera se puede medir la cantidad de ingredientes que hace falta para preparar una comida?” Los alumnos, a partir de sus vivencias, empiezan a responder las preguntas planteadas: surgen varios comentarios que permiten llegar a la conclusión que el primer instrumento de medida que existe es el propio cuerpo. A partir de este descubrimiento se les sugiera que midan el pasillo y algunos objetos del aula con el propio cuerpo. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •10•

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¿Qué instrumentos de medida conocemos? Poco a poco, los alumnos van trayendo instrumentos de medida de casa y los van clasificando según su utilidad: para medir la capacidad, la masa, la longitud, la temperatura, etc. Es a partir de este momento cuando se empieza a trabajar la práctica de medida con cada magnitud: para trabajar la medida de capacidad se propone elaborar un “Cóctel de carnaval” (tienen que leer la receta y medir la cantidad exacta de cada ingrediente); y para trabajar la medida de la masa deben preparar un “Menú de primavera” (tienen que leer la receta y medir los ingredientes con una balanza).

3.2.3. Trabajo en contexto Al llegar a la plaza “Pere Torrent” de Lloret de Mar los alumnos se sientan en círculo y se inicia una conversación para hablar de los objetos que hay alrededor: qué cantidad hay y qué formas tienen. A continuación, se pide a los alumnos que se organicen por parejas y se les plantea la siguiente actividad: se reparte una hoja con fotografías de objetos que hay en la plaza, y deben localizar en la plaza los objetos que aparecen en la hoja y medirlos usando una cinta métrica. Finalmente tienen que anotar en la hoja la forma de cada objeto y el resultado de la medida realizada.

Tabla 4. Algunos contenidos y procesos matemáticos que se pueden trabajar en la plaza “Pere Torrent” de Lloret de Mar Razonamiento y demostración

¿De qué materiales están hechos los objetos que hay en la plaza?

Argumentar porque hay objetos construidos con diferentes materiales. Clasificar los materiales y razonar el criterio que se ha usado.

Estadística y probabilidad

Medida

Geometría

Numeración y cálculo

Razonamiento lógicomatemático

Resolución de Problemas

¿Cuántas farolas hay en la plaza? ¿Si cada niño se pone en una Argumentar si hay a farola, cuántas más niños o farolas. sobrarían? ¿Cuántos prismas y cilindros ves? Justificar las formas ¿Qué forma geométricas que geométrica tienen los observan en la plaza de objetos que hay en la Lloret a partir de sus plaza de Lloret? diferentes propiedades geométricas. ¿Cuánto mide la plaza Pere Torrent de largo y Explicar los de ancho? ¿Qué instru- instrumentos que mento usamos para existen y su utilidad. medir longitudes? ¿Y Argumentar la mejor para medir la cantidad manera de medir la de líquido y lo que plaza. pesan los alimentos? ¿Cuántas cosas hay en la plaza que Razonar como se miden menos de un pueden organizar los metro? ¿Y más de un datos recogidos. metro?

Comunicación y representación

Conexiones

Expresar oralmente la respuesta a las preguntas planteadas.

Lengua: escribir el nombre de los objetos. Conocimiento del Medio: observar y conocer con más detalle nuestro entorno.

Enumerar de forma oral el número de objetos.

Conocimiento del Medio: observar y conocer con más detalle nuestro entorno.

Expresar oralmente los nombres de las formas (figuras o cuerpos geométricos) que ven en la plaza de Lloret. Dibujar las formas geométricas. Describir los instrumentos de medida que hemos descubierto a lo largo de la experiencia y la manera de usarlos. Representar los datos obtenidos en un papel. Describir los datos recogidos después de medir. Representar los datos en un diagrama de barras.

Conocimiento del Medio: observar y reconocer las formas y cuerpos geométricos en el entorno. Plástica: dibujar las formas de los objetos. Lengua: leer y escribir el nombre de los instrumentos y la medida correspondiente. Plástica: dibujar la plaza. Conocimiento del Medio: observar y conocer con más detalle nuestro entorno.

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Medimos al pasillo con nuestros cuerpos

Leemos la receta del “Cóctel de carnaval” y medimos las cantidades exactas.

Por parejas leemos la receta y preparamos el “Menú de primavera”.

En la excursión a Lloret de Mar reconocemos formas geométricas, y medimos algunos objetos de la plaza con la cinta métrica.

Hacemos práctica de medida en los distintos rincones. Rincón de cilindros: ordenamos por longitud y después por anchura.

Rincón de las bolsas: ordenemos por masa. Primero a través del tacto y después con una balanza.

Rincón de los vasos: ordenemos por cantidad de líquido.

Rincón de los recipientes: medimos la capacidad de los recipientes.

Rincón de la tienda: ponemos en práctica los conocimientos de medida aprendidos.

Figuras 10-18. Una excursión a Lloret de Mar

3.2.4. Trabajo posterior en el aula Para poder complementar los conocimientos adquiridos se planifican doce rincones de trabajo donde el trabajo acostumbra a ser individual o por parejas. La mitad de estos rincones hacen referencia a la práctica de medida: -

Juego de los cilindros: la actividad consiste en que los alumnos, de forma individual, ordenan los cilindros; primero de forma libre y seguidamente del más bajo al más alto, y del más ancho al más estrecho. Cuando se encuentran con dos cilindros muy similares pueden usar la cinta métrica para salir de dudas. Por último tienen que escribir en una etiqueta los centímetros que mide cada cilindro. Rincón del metro: los alumnos encuentran un cuaderno donde aparecen fotografías de diferentes objetos de la clase. La actividad consiste en escribir qué forma geométrica tienen y medirlos con una cinta métrica. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 1-14. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •12•

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Rincón de los vasos de agua: la actividad consiste al ordenar siete vasos según la cantidad de agua que hay. Seguidamente tienen que relacionar el vaso con la tarjeta que le corresponde según la cantidad que cabe. Rincón de los recipientes: la tarea consiste en descubrir cuánto líquido cabe en cada recipiente y después hay que escribirlo en una etiqueta usando el vocabulario adecuado (litros). Rincón de las bolsas: la actividad consiste en ordenar diez bolsas aparentemente iguales, pero de peso diferente. Primero usando el propio cuerpo como balanza y después con una balanza convencional. Rincón de la tienda: en el aula se monta una tienda con alimentos reales (garbanzos, harina, judías, lentejas, arroz, azúcar, sal, pan rallado, etc.). La actividad se realiza en diferentes fases donde el trabajo matemático y de lengua coexisten constantemente. El primer paso consiste en colocar el nombre de los alimentos; el segundo, colocar una etiqueta en cada producto con los gramos que pesa; y finalmente se abre la tienda donde los alumnos van a comprar.

La experiencia anterior está muy centrada en el trabajo de la práctica de medida, a pesar de que parte de un enfoque globalizado que favorece la conexión entre varios tipos de contenidos matemáticos y sobre todo, como se usan los procesos matemáticos para ayudar a los alumnos de las primeras edades a comprender los conocimientos matemáticos: la resolución de problemas, a través de la formulación de preguntas que invitan los niños y niñas a hacer pequeñas investigaciones (¿cómo son los materiales de la plaza?; ¿cuántos hay?; ¿qué forma tienen?; etc.); el razonamiento y la demostración, potenciando que expliquen, justifiquen, argumenten y razonen las acciones y los descubrimientos que hacen, y en algunos casos que lo comprueben; la comunicación y la representación, incentivando la expresión verbal de las acciones hechas y su representación gráfica; y finalmente, las conexiones con otras áreas curriculares, además de las conexiones implícitas entre los diferentes bloques de contenido.

Agradecimientos Este trabajo se ha realizado en el marco del proyecto “La formación de profesionales competentes en educación para la sostenibilidad: conceptualización, aplicación y evaluación” (ref. EDU2009-13893-C02-02)” del Ministerio de Ciencia e Innovación (Plan Nacional I+D+I 2008-2011).

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Educación Matemática en la Infancia

Apuntes teóricos sobre el pensamiento matemático y multiplicativo en los primeros niveles María Asunción Bosch Saldaña Universidad de Almería, mabosch@ual.es Fecha de recepción: 27-01-2012 Fecha de aceptación: 27-03-2012 Fecha de publicación: 3-09-2012

RESUMEN En el presente artículo analizamos, en primer lugar, los conceptos de pensamiento matemático y multiplicativo, junto a otras nociones como la de pensamiento relacional o sentido numérico. En segundo lugar, realizamos un breve repaso acerca de lo que se conoce, desde la investigación, sobre el desarrollo del pensamiento matemático y multiplicativo, haciendo especial hincapié en lo referente a las primeras edades. Palabras clave: Pensamiento matemático, pensamiento multiplicativo, Educación Infantil.

Theoretical notes on mathematical and multiplicative thinking in the early years ABSTRACT This article presents some conceptual meanings of mathematical and multiplicative thinking, among other concepts as relational thinking or number sense. Secondly, we do a brief review on what is known, from research, on the development of mathematical and multiplicative thinking, with an emphasis in relation to the first ages. Key words: Mathematical thinking, multiplicative thinking, Early Childhood Education.

1. El concepto de pensamiento Marta Molina (2006), en su tesis doctoral, realiza un excelente recorrido por las distintas acepciones del término pensamiento, desde la Lengua, la Filosofía o la Psicología. Entre ellas, destacamos aquéllas que definen la noción de pensamiento en torno a las operaciones involucradas en la resolución de problemas, como la de Dorsch, de 1985, que diferencia entre pensamiento divergente (obtención de diversas conclusiones lógicamente posibles) y pensamiento convergente (obtención de una conclusión lógicamente necesaria); la de Mayer, de 1986, quien señala que el pensamiento es cognitivo pero se refiere a la conducta, y que tiene como resultado la resolución de problemas; o la de García y Moreno, de 1988, quienes explican que el pensamiento se manifiesta en situaciones de resolución de problemas o en la búsqueda de la toma de una decisión o en la extracción de una conclusión, cuando el sujeto construye representaciones y manipula la información con el fin de lograr un objetivo. Bosch, M.A. (2012). Apuntes teóricos sobre el pensamiento matemático y multiplicativo en los primeros niveles. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 15-37. •15•

Apuntes teóricos sobre el pensamiento matemático y multiplicativo en los primeros niveles María Asunción Bosch Saldaña

Molina (2006) también hace referencia a Honderich, en 2001, el cual define el término pensar asociado a procesos como razonar, creer, reflexionar, calcular, deliberar. Según este autor, el pensar puede realizarse sin palabras (aunque en ocasiones esté limitado por ellas) e implica un dominio de los conceptos, una respuesta mental interna. Molina (2006), termina adoptando, como pensamiento, el siguiente constructo: La actividad intelectual (interna) mediante la cual el hombre entiende, comprende, y dota de significado a lo que le rodea; la cual consiste, entre otras acciones, en formar, identificar, examinar, reflexionar y relacionar ideas o conceptos, tomar decisiones y emitir juicios de eficacia; permitiendo encontrar respuestas ante situaciones de resolución de problemas o hallar los medios para alcanzar una meta (p. 74).

Por su parte, Carretero y Asensio (2008), en el manual “Psicología del Pensamiento”, realizan un repaso por algunas definiciones de pensamiento a través de la historia, desde un punto de vista psicológico, entre las que destacamos que pensamiento sería todo lo que media entre la percepción y la acción, de Johnson-Laird, en 1993. Y finalmente, ofrecen su propia definición de pensamiento, como un conjunto de actividades mentales u operaciones intelectuales, como razonar, hacer abstracciones, generalizaciones, etc., cuyas finalidades son, entre otras, tomar decisiones y representarse la realidad externa. Recientemente, Prellezo (2010), en su “Diccionario de Ciencias de la Educación”, nos indica que la noción de pensamiento comprende toda una serie de procesos cognitivos y actividades psíquicas superiores y que no es fácil describirla de un modo preciso. No obstante, el autor ofrece varias definiciones posibles de pensamiento, desde diferentes ópticas. En la primera de ellas, destaca la función comunicativa del pensamiento, tanto interna como externa, indicándonos que en el pensamiento se reúnen una serie de actividades mentales dirigidas a establecer la comunicación consigo mismo y con los demás, y a plantear hipótesis sobre el mundo y nuestro modo de pensar. A continuación, realiza un recorrido por distintas clasificaciones posibles de los tipos de pensamiento, contraponiendo de este modo pensamiento racional a pensamiento intuitivo, pensamiento creativo a pensamiento estereotipado, pensamiento autista a pensamiento realista y pensamiento productivo a pensamiento ciego, entendiendo éste último como el que procede “a ciegas” según el clásico esquema de “tentativas y errores”. Este tipo de pensamiento podemos observarlo con frecuencia en los niños más pequeños, como una forma poderosa de comprender y aprender en su día a día. En las distintas nociones de pensamiento expuestas, aparecen varias claves que nos parecen especialmente relevantes para el trabajo con niños pequeños, y que son: -

el carácter intencional del pensamiento como vía de construcción del conocimiento y la toma de decisiones, la importancia de la resolución de problemas en el proceso mismo de pensamiento, la relación de dicho proceso con las representaciones, internas y externas, del sujeto, y el hecho de que el pensamiento pertenece a la dimensión intelectual del sujeto, aunque se manifiesta, en ocasiones, en su conducta observable.

En el caso de la investigación con niños pequeños, esta última apreciación resulta crucial para interpretar los datos recogidos, ya que en muchas ocasiones, las actividades de pensamiento de los niños han de ser inferidas de sus actos, puesto que sus palabras aún no consiguen describir de forma precisa o comprensible, el proceso mental seguido a la hora de resolver una determinada tarea. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •16•

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En palabras de Castro y Cañizares (2003), las matemáticas son una actividad mental que las personas desarrollan internamente, pero se puede intuir lo que sucede en la mente del sujeto, gracias a las acciones externas que éste lleva a cabo. Y para ello, podemos apoyarnos en todo lo gestual, que nos abre una ventana a la mente de los niños y resulta ser una fuente poderosa para analizar los procesos implicados en el desarrollo cognitivo (Alibali & Goldin, 1993).

2. El pensamiento matemático El concepto de pensamiento matemático puede interpretarse de distintas maneras, dependiendo del foco de atención y de los protagonistas implicados. Cantoral y otros (2005), en su libro sobre “Desarrollo del pensamiento matemático”, refieren varios modos de entender el concepto de pensamiento matemático y, por tanto, de analizar el desarrollo del mismo. Por un lado, atribuyen el término de pensamiento matemático a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Por otro lado, entienden el pensamiento matemático como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas. Finalmente, Cantoral y otros (2005) concluyen observando que el pensamiento matemático incluye, por un lado, pensamiento sobre tópicos matemáticos, y por otro, procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis. Desde esta perspectiva, el pensamiento matemático no encuentra sus raíces en las tareas propias y exclusivas de los matemáticos profesionales, sino que están incluidas todas las formas posibles de construcción de ideas matemáticas en una gran variedad de tareas. Por lo tanto, el pensamiento matemático se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a sus múltiples tareas. Recientemente, Olive Chapman (2011) ha descrito de forma sintética el pensamiento matemático como el tipo de pensamiento que ponemos en juego al hacer matemáticas, con motivo del panel plenario que coordinaba en el último PME, en Turquía, acerca del Desarrollo del Pensamiento Matemático (lo que muestra que se trata de un tema de rabiosa actualidad, a nivel mundial, para los investigadores en Educación Matemática). En dicho panel intervinieron los siguientes investigadores: En primer lugar, participó Uri Leron, el cual abordó el pensamiento matemático desde las relaciones entre el pensamiento intuitivo y el pensamiento analítico, tratando de tender un puente que conecte ambos e indicando cómo dicha conexión puede ayudar a desarrollar el pensamiento matemático (PM). A continuación, Carolyn Maher expuso una noción de PM equiparable tanto al pensamiento que se pone en juego cuando resolvemos problemas como al proceso de razonamiento que conlleva dicha resolución. Seguidamente, Gabriele Kaiser analizó el PM a través de los procedimientos de modelización, cuando se relacionan e interactúan el mundo real y el matemático. Y finalmente, Frederick Leung examinó el PM como un aprendizaje de tipo cultural, insistiendo en la idea de que los docentes deben motivar al alumnado para que se esfuerce y se interese en las actividades de índole matemática. Por último, recordaremos que Mason, Burton y Stacey (1982), en un libro que ha servido de referencia durante décadas, “Thinking Mathematically”, nos hicieron ver que el pensamiento es un proceso Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •17•

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dinámico que, al permitirnos aumentar la complejidad de las ideas que podemos manejar, extiende nuestra capacidad de comprensión, así como que para pensar de una manera efectiva, hay que tener suficiente confianza para poner a prueba las ideas propias y enfrentarse a los estados emocionales conscientemente, poniendo sobre la mesa el enormemente trascendente aspecto motivacional y emocional de los procesos de pensamiento, especialmente en matemáticas.

2.1. El pensamiento matemático temprano El conocimiento matemático de los niños es más amplio de lo que tradicionalmente se ha pensado (Warfield, 2001, p. 161)

Durante mucho tiempo, se ha creído que los niños pequeños carecían esencialmente de pensamiento matemático (Baroody, 1988). Sin embargo, investigaciones posteriores han comprobado que los bebés pueden distinguir entre conjuntos de uno, dos y tres elementos, mediante una metodología basada en la deshabituación. De este modo, si se le muestran tarjetas con conjuntos de, por ejemplo, 3 elementos, al principio, el bebé presta atención por la novedad, pero se va aburriendo paulatinamente hasta que el investigador muestra una tarjeta con 4 o 2 elementos, momento en que el bebé vuelve a prestar atención, indicando así que se percata de la diferencia. De hecho, Rick Caulfield (2001), en su artículo “Number matters: Born to count”, describe cómo incluso recién nacidos muestran un incipiente pensamiento matemático, al distinguir grupos de dos o de tres objetos, ante la muestra de cartas con 2 o 3 osos dibujados en ellas. Baroody (1988) también nos indica que hay dos teorías generales del aprendizaje: la teoría de la absorción y la teoría cognitiva. Durante décadas, la teoría de la absorción ha sido la principal directriz en la enseñanza de las matemáticas y esta teoría implicaba la organización jerárquica de las tareas, para ir sistemáticamente pasando de lo (teóricamente) más sencillo a lo más complejo. No obstante, la teoría cognitiva ha aportado una explicación más profunda del aprendizaje significativo, por ejemplo de los conceptos aritméticos o de la resolución de problemas de enunciado verbal. De hecho, el estudio del desarrollo matemático de los niños pequeños representa una parte importante del trabajo de investigación de la comunidad del PME desde sus inicios hasta la actualidad, particularmente entre los investigadores de perspectivas cercanas a la psicología cognitiva (Mulligan & Vergnaud, 2006). Numerosos estudios han comprobado que los niños nacen con muchas aptitudes hacia las matemáticas o que éstas pueden desarrollarse en los primeros años de vida (Baroody, Lai & Mix, 2006; Clements & Sarama, 2009). Y aunque el interés por comprender cómo es y cómo se adquiere el conocimiento matemático de los niños no es nuevo, es a raíz de los trabajos de Piaget cuando el tema adquiere mayor interés y la investigación ejerce una influencia real en el terreno educativo (Ayllón, Castro y Molina, 2010). Clements y Sarama (2006) hacen una revisión de las investigaciones en materia de educación matemática temprana, realizando un recorrido exhaustivo por las distintas perspectivas teóricas sobre el desarrollo del pensamiento matemático, desde el empirismo inicial hasta el constructivismo actual, pasando por el racionalismo o nativismo. A continuación, analizan los tres tipos de constructivismo más extendidos, esto es, el constructivismo trivial, el radical y el social. De este último, queremos destacar la perspectiva de Vigotsky, quien considera que el pensamiento científico es una de las

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herramientas más valiosas de la sociedad, y que se desarrolla mediante la interacción del niño, con los profesores, en la escuela (Lozano, 2008). Ayllón, Castro y Molina (2010), por su parte, señalan tres etapas en la apreciación de las capacidades y conocimientos matemáticos de los niños: 1ª) En un principio, autores entre los que destacan Piaget y sus colaboradores, centraron sus investigaciones en lo que los niños no eran capaces de hacer, subestimando dichas capacidades y proporcionando una visión restrictiva de su competencia matemática. 2ª) Con posterioridad, surge un movimiento de autores, entre los que se encuentra Gelman, que se centran en poner de manifiesto lo que los niños son capaces de hacer, con lo que se adopta un punto de vista muy optimista que propicia una sobrevaloración de la competencia matemática de los niños en edades tempranas. 3ª) Y en las últimas décadas, algunos autores, entre ellos Baroody, en desacuerdo con cualquiera de las dos visiones anteriores, adoptan una posición intermedia y centran su atención en detallar lo que los niños hacen y cómo lo hacen, cuando se enfrentan a situaciones problemáticas. Respecto a las semejanzas o diferencias entre el pensamiento matemático infantil y adulto, podemos observar también varias corrientes al respecto: -

Por una parte, hay autores que defienden que los niños no piensan las matemáticas de la misma forma que los adultos, entre ellos Piaget, quien afirmaba que el pensamiento del niño es cualitativamente diferente al del adulto (Kamii y De Vries, 1995). Y, posteriormente, otros investigadores también han indicado que los niños suelen tener concepciones bastante distintas a las de los adultos acerca de, por ejemplo, la suma, la resta, la multiplicación y la división (Carpenter y otros, 1999). Sin embargo, otros autores opinan que los niños piensan matemáticamente como los adultos, pero las estructuras y operaciones tienen que ser construidas en actividades propias de niños (Olive, 2001). De hecho, la analogía del “niño como científico” se ha utilizado para caracterizar la manera en la que los niños dan sentido al mundo, suponiendo que los niños, como los científicos, exploran su entorno y construyen y comprueban modelos que le ayudan a entenderlo (Garnham y Oakhill, 1996).

En uno u otro caso, lo que resulta evidente es que los niños pequeños, de manera informal, en sus juegos, ya realizan numerosas actividades de índole matemático: exploran modelos, formas y relaciones espaciales, comparan magnitudes, cuentan objetos, etc. Por lo tanto es algo natural que, en el aula, los niños de Educación Infantil lleven a cabo, espontáneamente, actividades que requieren habilidades matemáticas. Pero en la escuela, además, hemos de hacer matemáticas más sistemáticas, preparadas y dirigidas por los maestros, porque el sistema educativo tiene como finalidad potenciar todos los aprendizajes (Alsina, 2006; Bosch, Castro y Segovia, 2012; Canals, 2001). Desafortunadamente, como hasta hace poco no hemos reconocido claramente cuál es la comprensión de los niños pequeños acerca de las ideas matemáticas básicas, la enseñanza de las matemáticas no ha sabido capitalizar la riqueza de su conocimiento informal y los conocimientos informales de los niños han pasado a menudo inadvertidos, especialmente los referidos a la multiplicación y la división. Como consecuencia, las matemáticas de la escuela han estado frecuentemente desconectadas del modo que Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •19•

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tienen los niños de resolver problemas en su día a día (Carpenter y otros, 1999; Nunes y Bryant, 1997; Rodríguez y otros, 2008). Nosotros pretendemos ayudar a modificar esta práctica educativa arraigada, insistiendo, como Alsina (2011), en que las situaciones cotidianas tienen que ser la base de las actividades que realicemos en las Aulas de Educación Infantil. Y la razón es que, al igual que otros muchos investigadores y educadores: Vemos a los niños como capaces y competentes, como seres que saben mucho de la mayoría de las personas, lugares y cosas que conforman su mundo. Sin embargo, también vemos a los niños como seres vulnerables en contextos que no le son familiares o ante relaciones en las que se encuentran en desventaja. En el contexto de la educación infantil, existen muchas oportunidades de reconocer los conocimientos y las competencias que los niños ya tienen, así como de implementar cambios que les animen o estimulen para refinarlos, ampliarlos, (re)elaborarlos o modificarlos. (Perry&Dockett, 2008, p. 80)

3. Los conceptos de pensamiento numérico y de sentido numérico Encarna Castro (2008), en su conferencia sobre “Pensamiento Numérico y Educación Matemática”, señala que el pensamiento numérico trata de aquello que la mente puede hacer con los números, y que está presente en todas aquellas actuaciones que realizan los seres humanos relacionadas con los números. Asimismo, nos recuerda que las investigaciones llevadas a cabo dentro de este campo, ponen el énfasis en los procesos cognitivos de los sujetos, y en ellas se contemplan, entre otros aspectos, los siguientes: -

La naturaleza y características de los aprendizajes numéricos, así como los errores y dificultades que se presentan en dichos procesos, las semejanzas y diferencias en la construcción de los conocimientos por parte de diferentes individuos, y las componentes culturales, que influyen, tanto en la construcción de los conocimientos como en los modos de abordar la enseñanza de los mismos.

Castro (2008), indica también que algunos autores, como, Dehaene (1997), identifican, desde un punto de vista psicológico, Pensamiento Numérico con Sentido Numérico, pero que desde la Educación Matemática se realiza cierta distinción entre ambos constructos. De hecho, desde esta Área de Conocimiento, numerosos investigadores consideran el sentido numérico como una forma especial de pensar sobre los números, no algorítmica, que conlleva una profunda comprensión de su naturaleza así como de las operaciones que se pueden realizar entre ellos. Este último aspecto, relacionado directamente con las operaciones numéricas, lo definen algunos autores con el término específico de sentido operacional. Éstos afirman también que la habilidad de usar el sentido numérico juega un papel integral en la resolución de problemas y que un buen sentido numérico se muestra útil tanto para el establecimiento de la magnitud y el tipo esperado de números respuesta, como para ayudar a seleccionar la operación apropiada, esto es, para tener un buen sentido operacional, y que con la aplicación adicional de la estimación y del cálculo mental, el sentido numérico y operacional disminuyen la probabilidad de obtener una respuesta poco razonable en la

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resolución de problemas, especialmente en aquéllos en los que intervienen números grandes o en aquéllos que incluyen multiplicaciones o divisiones (Daugherty, 1989; Sowder, 1992). La denominación de sentido, utilizada en los términos sentido numérico y sentido operacional, procede de la consideración de los alumnos como pensadores, como personas capaces de comprender los dominios matemáticos (Molina, 2006) Clements y Sarama (2006, 2009), por su parte, en su discusión sobre operaciones, no se limitan a las operaciones aritméticas estándares, esto es, suma, resta, multiplicación y división, sino que incluyen, entre otras, el conteo, la comparación, la composición o la partición. En este sentido, Sowder (1992) indica que entre las acciones (u operaciones) que ayudan a desarrollar el sentido numérico en los niños, están, por ejemplo, la estimación y la invención de estrategias. Berch (2005), realiza un compendio de las distintas acepciones del término sentido numérico, observando que comprende, entre otras muchas cuestiones, una intuición, un conocimiento, una herramienta, una habilidad, una expectativa, un proceso o una estructura conceptual. Y añade que el sentido numérico permite una comprensión numérica que facilita, entre otros, el desarrollo de estrategias para resolver problemas matemáticos complejos o la capacidad para reconocer errores realizados en procesos cuantitativos al comunicar, procesar o interpretar información. Por último, destacamos que Àngel Alsina (2002, 2006) describe el (buen) sentido numérico como la capacidad de aplicar buenos razonamientos cuantitativos en situaciones reales, y también que se refiere a la capacidad de emplear, en diversos contextos, los números y operaciones de manera flexible y poder emitir juicios sobre informaciones y/o resultados numéricos.

3.1. El sentido numérico básico Alonso y Fuentes (2001), se realizan la siguiente pregunta: Nuestro sentido numérico, ¿es innato o adquirido? Para responderla, recuerdan que Piaget creía que el origen de nuestra capacidad para pensar sobre el mundo en términos numéricos aparecía sobre los 5 años de edad y necesitaba la presencia previa de algunas habilidades de razonamiento lógico tales como la propiedad transitiva y la llamada conservación del número. Sin embargo, hoy se cuenta con gran cantidad de resultados que apoyan la hipótesis de que los niños, ya en el primer año de vida, cuentan con un conocimiento numérico rudimentario e independiente del lenguaje. En consecuencia, algunos autores, como Dehaene (1997) afirman que, al igual que sucede con los colores, los humanos nacemos con circuitos cerebrales especializados en identificación de números pequeños. Baroody (1988) ya nos explicaba que el ser humano, como algunas otras especies, parece estar dotado de un sentido numérico primitivo, que podemos percibir fácilmente la diferencia entre un conjunto de un elemento y una colección de muchos elementos y que podemos ver si se añade o se quita algo de una colección. Sin embargo, nos cuesta distinguir entre una bandada de 8 aves y una de 9. Esto sucede debido a que algunas habilidades numéricas básicas, como la de subitización (o repentización), nos permiten distinguir, a primera vista, el número de objetos de una colección pequeña (hasta 4 o 5 elementos, si no están organizados de un modo familiar para el que subitiza, o más de 5 elementos, si están dispuestos de forma ordenada y familiar para el que los visualiza, como en el caso de los puntos en las fichas de dominó o las señales en los recuentos estadísticos). No obstante, para colecciones mayores (o desordenadas), requerimos estrategias de conteo para poder indicar el cardinal del conjunto observado. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •21•

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4. El pensamiento multiplicativo 4.1. De la estructura aditiva a la multiplicativa Vergnaud (1983), en su teoría de los campos conceptuales, pone como ejemplos las estructuras aditivas y multiplicativas, entendiendo las primeras como aquéllas que involucran operaciones aritméticas y nociones aditivas, tales como adición, sustracción, diferencia, intervalo o traslación, mientras que las estructuras multiplicativas son consideradas como aquéllas que involucran operaciones y nociones de tipo multiplicativo, tales como multiplicación, división, fracción o proporción. Y añade que las estructuras multiplicativas cuentan en parte con las estructuras aditivas, pero tienen su propia organización intrínseca, que no puede reducirse a los aspectos aditivos. Por su parte, Freudenthal (1983) señala que el modelo aditivo es agregativo y está vinculado a tareas como agregar y trasladar, mientras que el modelo multiplicativo se refiere a la interacción de un número en función de otro, procurando un esquema más cercano a la proporcionalidad que a la adición repetida. Asimismo, este autor nos indica que la multiplicación modela situaciones de áreas y combinatoria, entre otras. Una década después, Harel y Confrey (1994), en el e-libro que editan, bajo el título "The development of multiplicative reasoning in the development of mathematics”, consideran una operación de carácter multiplicativo como aquélla que determina el total de elementos dispuestos en grupos de igual cantidad. En dicho texto, Leslie Steffe nos aclara que para que una situación pueda ser considerada como multiplicativa, al menos es necesario coordinar dos unidades compuestas, en el sentido de que una de las unidades compuestas se distribuye a lo largo de los elementos de la otra unidad compuesta (Steffe, 1994, p. 19). Desde esta perspectiva, la adquisición de una estructura compuesta de grupos iguales está en el corazón del razonamiento multiplicativo, aunque la coordinación entre las unidades compuestas es compleja y los modelos físicos pueden ayudar inicialmente (Sullivan y otros, 2001). Por su parte, Clarke y Kamii (1996), indican que la multiplicación necesariamente requiere la construcción de dos tipos de relaciones que no son requeridas en la suma: La correspondencia uno a muchos y la inclusión jerárquica de clases, yendo ésta última más allá de la adición repetida de grupos iguales. Y Olive (2011), en su teoría sobre la adquisición completa de la Secuencia Numérica, señala que la construcción de una unidad iterativa es la llave para el desarrollo de esquemas multiplicativos, ya que las unidades iterativas son los ladrillos de las unidades compuestas. Según este autor, para establecer los esquemas multiplicativos, los niños comienzan formando unidades compuestas; a continuación, usan dichas unidades como entradas en operaciones posteriores, tales como contar, combinar, comparar, segmentar y repartir; seguidamente, consiguen formar una composición numérica de las unidades compuestas como resultado de las operaciones; y por último, son capaces de “(re)interiorizar” la secuencia numérica para tomar los resultados de las operaciones con unidades compuestas como “material” de operaciones posteriores.

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En nuestro trabajo, partimos de una noción de esquema de tipo cognitivo. Consideramos los esquemas como herramientas de la memoria del individuo que le permiten organizar nuevas experiencias y afrontar situaciones-problema (Marshall, 1995). En lo referente a la resolución de problemas, un aspecto fundamental de los esquemas lo constituyen las relaciones que se establecen entre las proposiciones del problema, ya que éstas nos descubren la esencia del problema. En nuestra investigación, consideramos un camino de 12 piedras y una rana que ha de saltar sobre ellas. Y los grupos de piedras forman unidades compuestas, ya que han de considerarse conjuntamente, como un todo, en las tareas que se les propone a los niños.

4.2. Modelos intuitivos asociados a las operaciones multiplicativas Según Fischbeim, Deri, Nello y Marino (1985), los niños construyen tempranamente modelos intuitivos sobre la multiplicación y la división, y cada operación aritmética está vinculada a un modelo intuitivo, que se mantiene en el tiempo incluso mucho después de la formalización de dicha operación. Para estos autores, el modelo asociado a la multiplicación es de adición repetida, en el que participan una serie de colecciones del mismo tamaño, mientras que son dos los modelos asociados a la división: -

El del reparto equitativo un grupo de objetos, o modelo partitivo. El de obtención del número de grupos iguales en un total de elementos dado o modelo cuotitivo.

Dicho de otro modo, los modelos asociados a la división serían dos (Caballero, 2005): -

El modelo partitivo, cuando una colección se subdivide en subcolecciones iguales y el cociente es el tamaño de cada subcolección. El modelo cuotitivo o de medida, que se refiere a cuántas veces una cantidad dada está contenida en otra.

En cuanto a la evolución de los modelos de división, Fischbein y otros (1985) consideraban que los niños tienen inicialmente un modelo partitivo y sólo después de la instrucción surge un modelo de medida. Sin embargo, otras investigaciones, como la de Neumann (1999), han probado que los niños conciben la división en términos partitivos, pero el modelo a través del cual los niños se acercan a la misma, de forma espontánea, es el de medida, de manera que, al enfrentarse a un problema de división de tipo partitivo, extraían del dividendo, repetidas veces, la cantidad representada por el divisor. Muchas investigaciones posteriores han sido explicadas con éxito bajo esta teoría de los modelos implícitos de Fischbein y sus colaboradores. No obstante, aún hoy persisten varias cuestiones sobre el origen y el desarrollo de dichos modelos; por ejemplo, si los modelos primitivos reflejan rasgos innatos en el pensamiento humano o si son adquiridos en la escuela (o una conjunción de ambos), así como su papel específico en la resolución de los problemas de multiplicación y división (De Corte y Verschaffel, 1996; Verschaffel, Greer y De Corte, 2007). De hecho, algunos investigadores han considerado que no eran tan diferentes estos dos modelos, como Kouba (1989), quien no concebía grandes diferencias entre ambos tipos de división y afirmaba que no era correcto el modelo de sustracciones repetidas para la división, ya que en sus estudios los niños resolvían los problemas de división tanto quitando repetidamente como por acumulación repetida.

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Otros investigadores, en cambio, sí apostaron por estas diferencias y las analizaron en sus investigaciones. Por ejemplo, Kornilaki y Nunes (1997) proponían a niños de entre 5 y 7 años, problemas de medida y partitivos, con divisor idéntico y diferente; en esta ocasión, resultaron más difíciles a los niños los problemas de división de medida que los partitivos. Por su parte, Squire & Bryant (2003), presentaron a niños de entre 5 y 8 años, problemas de división partitiva y cuotitiva, de tipo reparto, y observaron que la división partitiva les resultaba más fácil si los objetos se agrupaban respecto al divisor, no al cociente, mientras que en la división cuotitiva resultaba al revés. También Caballero (2005), en su tesis doctoral sobre conocimientos informales de las operaciones aritméticas básicas en niños de educación infantil, afirma que las diferencias entre división partitiva y de medida ponen de manifiesto la distinción psicológica entre ambos conceptos. Comprender la división en medida supone, para esta autora, la coordinación de las experiencias previas con la división partitiva y con la sustracción. Ella vincula, además, la sustracción a la división, ya que los modelos implícitos de acumular y quitar, propios de la primera, aparecen también en la segunda. En lo que sí están de acuerdo la mayoría de investigadores, es en que los modelos intuitivos arraigan fuertemente en la mente de los alumnos, ejerciendo un control inconsciente sobre su conducta, incluso después de haber recibido instrucción formal sobre las operaciones matemáticas. Y, además, señalan que esto da lugar a errores cuando los alumnos tienen que resolver problemas elementales con datos que conducen a contradicciones, entre el resultado de la operación y las imposiciones del modelo correspondiente, como el hecho de considerar que el resultado de una multiplicación siempre es mayor que los factores de la misma (Lago y otros, 1999; Caballero, 2005).

4.3. Resolución de problemas verbales multiplicativos Los problemas verbales han atraído durante mucho tiempo la atención de los investigadores, tanto de los psicólogos como de los educadores matemáticos, aunque hasta los 90, las investigaciones se han concentrado en torno a los problemas aditivos de una sola etapa (Verschaffel, Greer y De Corte, 2007). De hecho, se han dedicado numerosos esfuerzos a proponer problemas de estructura aditiva a los niños y analizar su comportamiento y respuesta ante ellos, así como las estrategias usadas al resolverlos, mientras que la investigación sobre problemas de estructura multiplicativa ha sido muy escasa (Rodríguez y otros, 2008). Posteriormente, han sido muchas las investigaciones que han mostrado que los niños pueden resolver variados problemas verbales multiplicativos, mucho antes de la instrucción directa sobre ellos (Caballero, 2005; Carpenter y otros, 1993; Clarke y Kamii, 1996; Mulligan y Mitchelmore, 1997; Murray, Olivier & Human, 1991 y 1992). Algunos autores tratan de explicar estas habilidades basándose en la existencia de los modelos implícitos que Fischbein y otros (1985) describieron sobre la multiplicación y la división. Por ejemplo, Mulligan y sus colaboradores, inspirados en la teoría sobre modelos intuitivos de Fischbein, integran la clasificación de estructuras multiplicativas de Vergnaud y el análisis de esquemas de multiplicación de Steffe, para investigar las soluciones informales de los niños a problemas verbales de multiplicación y división antes y después de la instrucción sobre los mismos (Mulligan y Vergnaud, 2006). Así pues, en Mulligan y Mitchelmore (1997), se infieren tres modelos intuitivos de la resolución de problemas multiplicativos respecto a la multiplicación, que son el de conteo directo, el de adición Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •24•

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repetida y el de operación multiplicativa, y añaden un modelo más, para el caso de la división, que es el de sustracción repetida. En este estudio, parece confirmarse el hecho de que los niños van adquiriendo un repertorio de modelos intuitivos y que el modelo que emplean para resolver los problemas, deja patente la estructura matemática que los pequeños le imponen. Además, Mulligan & Wright (2000), describen cinco niveles en la comprensión de la multiplicación y la división, en orden ascendente de sofisticación, desde el agrupamiento simple y el conteo perceptivo hasta la consideración de las operaciones de multiplicación y división, en abstracto, pasando por consideración de unidades compuestas a un nivel figurativo y la adición y sustracción repetidas. El grupo de Murray y sus colaboradores (Murray, Olivier & Human, 1991 y 1992), por su parte, tratan de desarrollar un currículo para los primeros años de primaria (en particular, para el trabajo con la división), a través del cual se construya el conocimiento conceptual y procedimental de la misma, a partir de los conocimientos informales de los niños. En sus estudios, describen las estrategias usadas por los niños en la resolución de problemas de división y señalan que dichas estrategias tienden a reflejar la acción o la relación escrita en el problema. Nunes y sus colaboradores también han tratado de indagar acerca del concepto de división en los niños pequeños, así como acerca de la riqueza de su conocimiento informal sobre la misma. Por ejemplo, Correa, Nunes y Bryant (1998), proponían a niños de entre 5 y 7 años que repartieran caramelos a grupos de conejos distintos y quedaba manifiesta la dificultad de los niños para comprender la relación inversa entre el tamaño del divisor y el del cociente cuando se trataba de comparar dos conjuntos, una vez efectuado el reparto. Entre los colaboradores de Terezinhe Nunes, destacamos a Squire & Bryant (2002), quienes propusieron problemas de reparto, de caramelos entre muñecas, a niños entre 5 y 8 años. En los problemas, los datos estaban bien agrupados respecto al divisor (esto es, el número se pedía era el de caramelos/muñeca) como agrupados respecto al cociente (con un número de caramelos total dado, se pedía entre cuántas muñecas podríamos repartir esa cantidad, para que cada una de ellas tocara a una cantidad concreta). Los problemas del primer tipo se mostraron mucho más sencillos que los segundos. Los autores sugieren, que esto puede ser debido a que la agrupación por el divisor coincide con el estado final del reparto. En nuestro caso, proponemos a niños entre 4 y 6 años, los problemas siguientes: -

de tipo quotitivo o de medida: “de n en n piedras, ¿cuántos saltos dará la rana para llegar al final del camino?” (hasta completar las 12 piedras totales) de tipo partitivo: “para hacer el camino en m saltos iguales, ¿cuántas piedras tiene que pasar a la vez (en cada salto)?”

Pero resultan mucho más fáciles de resolver los primeros, tal vez porque se adecúan a la acción concreta de la rana, lo que los ingleses llaman problemas tipo doing, mientras que en los segundos partimos del resultado final y hay que desandar lo andado, esto es, que se trata de problemas tipo undoing. Estos últimos casi siempre eran resueltos por estimación y mediante un proceso de ensayo y error.

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4.4. Los problemas de división en educación infantil. Más allá del reparto A nivel de Educación Infantil, hay numerosas investigaciones sobre problemas de división tipo reparto (sharing), en los que se dan un número de objetos que es posible separar uno a uno, desde los trabajos de Davis y colaboradores, recogidos en Davis y Hunting (1990), Davis y Pitketly (1990) o Davis y Pepper (1992). En ellos, se ofrecían un conjunto de unidades discretas, generalmente galletas, y se proponía un reparto de las mismas entre una serie de comensales o una modificación de un reparto anterior, al cambiar alguna de las condiciones iniciales (número de galletas o de comensales). En todas las actividades propuestas en dichas experiencias, se podían separar uno a uno los objetos motivo del reparto (Bosch, Castro y Segovia, 2007), al igual que en las investigaciones que hemos expuesto en los apartados anteriores. Y ciertamente, Correa, Nunes y Bryant (1998) indican que en sus inicios, la división no aparece vinculada a la multiplicación, sino a la idea de reparto, ya que no se entiende (en los más pequeños) como una operación binaria. Y que es a partir de que los niños tienen un esquema de acción para realizar una distribución equitativa, cuando empiezan a comprender la división, luego la experiencia con el reparto favorece la aparición del concepto de división. Sin embargo, estos autores también consideran que no se debe limitar el concepto de dividir al reparto (Nunes, 1997; Bryant, 1997). En nuestras investigaciones, al considerar las piedras agrupadas en unidades compuestas (dando saltos de n en n, o alcanzando el final del camino en m saltos iguales), proponemos una situación de división en la que no es posible usar el reparto como método de resolución, lo que favorece que los niños busquen estrategias de resolución distintas, que obligan a considerar los grupos de piedras como unidades compuestas (o de segundo orden), que les ayuden a construir los esquemas multiplicativos.

4.5. El pensamiento relacional y el pensamiento multiplicativo Para algunos autores, las relaciones constituyen una parte esencial de las Matemáticas, ya que los diversos conceptos matemáticos se encuentran organizados en estructuras interrelacionadas (Castro, Rico y Castro, 1987; Molina, 2006). Por ejemplo, Ruesga (2002) concibe la Matemática como la Ciencia de las relaciones. Según esta autora, los métodos de resolución de problemas proponen estrategias cuyo fundamento está basado en el establecimiento y descubrimiento de relaciones. Y, en ocasiones, es posible resolver situaciones problemáticas sin utilizar una representación formal, pero esto nunca es posible sin la determinación fidedigna de las relaciones que expresan las condiciones y los datos. A nivel educativo, Piaget y sus colaboradores descubrieron que cada ser humano debe construir su propio conocimiento, creando y coordinando relaciones (Kamii, 1982, p.23). Y entre las implicaciones generales para estimular la construcción activa del conocimiento señaladas por Baroody (1988), queremos destacar, desde la enseñanza, la importancia de estimular el aprendizaje de relaciones, así como de ayudar a los niños a ver conexiones y a modificar sus puntos de vista. En los niños de Educación Infantil, las competencias matemáticas iniciales, junto a la adquisición de la regla de cardinalidad y el conteo, implican también la capacidad de establecer relaciones entre las cantidades en términos de adicción, sustracción, multiplicación y división. Es más, los niños de Educación Infantil no sólo tienen una amplia gama de habilidades matemáticas, sino que las utilizan de manera flexible (Rodríguez y otros, 2008). Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •26•

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No obstante, apenas hay trabajos en Educación Infantil que hayan estudiado estos procesos detenidamente, con honrosas excepciones, como la de Ruesga (2002), en su tesis doctoral “Educación del Razonamiento Lógico Matemático en Educación Infantil”. Conceptualizando, en nuestras investigaciones entenderemos el pensamiento relacional como la actividad intelectual (interna) consistente en examinar objetos o situaciones, considerándolos como totalidades, detectar o buscar relaciones entre ellos, y utilizar dichas relaciones para alcanzar un objetivo. Este tipo de pensamiento conlleva no sólo observar relaciones existentes entre objetos matemáticos, sino que dichas relaciones pasen a ser herramientas útiles para la resolución de problemas o para tomar decisiones (Molina, 2006; Castro, 2008). En lo que se refriere a la relación entre el pensamiento multiplicativo y el relacional, Lamon (1993) observa en sus investigaciones, que un pensamiento relacional emergente parece ser una señal de que el estudiante está comenzando a crear un puente entre las estructuras aditivas y multiplicativas. Así pues, en los problemas que esta autora proponía a los estudiantes, ellos se mostraban incapaces de alcanzar un nivel de razonamiento proporcional cualitativo hasta que conseguían manifestar pensamiento relacional en más de un contexto. Los resultados de este estudio sugieren que es útil ver la razón como una unidad, como el resultado de la composición múltiple de unidades compuestas, y esta perspectiva nos proporciona otro nexo entre el aprendizaje temprano de las estructuras aditivas y las multiplicativas. Conceptualizando de nuevo, podemos considerar el pensamiento proporcional como un tipo particular de pensamiento relacional (Bosch, Castro y Segovia, 2007; Bosch y Castro, 2009). Como indican Sophian y Wood (1997), el razonamiento proporcional es, en esencia, un proceso de comparación entre una cantidad relativa con otra. En nuestras investigaciones, planteamos cuestiones sobre pensamiento relacional de tipo proporcional cuando preguntamos al niño, después de haber buscado cuántos saltos de 2 en 2 tendría que dar la rana para llegar al final del camino, que si la rana fuese de 4 en 4, si tendría en ese caso que dar más o menos saltos que antes. O también, después de haber observado cuántas piedras tendría que pasar a la vez la rana para hacer el camino en 2 saltos (iguales), le preguntamos que, de hacer el camino en 4 saltos, si tendría que pasar más o menos piedras “a la vez” que antes (Bosch, Castro y Segovia, en prensa).

5. Desarrollo del pensamiento matemático y multiplicativo 5.1. Necesidad de conocimientos acerca de cómo aprenden los niños Cantoral y otros (2005) nos indican que a lo largo de la historia, matemáticos destacados como Hadamard, Poincaré, Polya o Freudenthal, se han interesado por explorar la psicología del pensamiento matemático, y que lo hicieron analizando su propia actividad personal o mediante el estudio sistemático de las producciones de jóvenes escolares. Aunque estos resultados han tenido una importante repercusión en el terreno de la investigación, sin embargo los currículos de matemáticas escolares han seguido durante mucho tiempo anclados en ideas que provienen de las estructuras matemáticas formales, así como en métodos didácticos centrados en la realización de procedimientos algorítmicos y la memorización. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •27•

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Ahora bien, si queremos dar a los niños la oportunidad de construir su comprensión desde dentro, necesitamos entender cómo piensan las matemáticas y es fácil observar cuánto son capaces de aprender los niños cuando sus maestros comprenden su manera de pensar y les proporcionan una oportunidad para que construyan su propio pensamiento (Carpenter et al, 1999 y 2003). Los educadores deberían comprender cómo aprenden matemáticas los niños para tomar decisiones eficaces en cuanto a, por ejemplo, la idoneidad de los métodos, los materiales y la secuencia del currículo. La planificación educativa debería tener en cuenta cómo aprenden y piensan los niños (factores cognoscitivos) y qué necesitan, sienten y valoran (factores afectivos) Baroody (1988, 2003). En este sentido, la investigación es una poderosa herramienta para el desarrollo profesional de los maestros, ya que nos ayuda a entender, desarrollar y evaluar el desarrollo del pensamiento matemático de los niños (Clarke, 2001). Y en nuestro caso, cobra especial relevancia la investigación que se realiza en el seno del Área de Conocimiento “Didáctica de la Matemática”, ya que una de las tareas que se le encomiendan es la de proporcionar al educador matemático los instrumentos necesarios para que desarrolle su trabajo de modo competente (Castro, Olmo y Castro, 2002). Y para ayudar a este cometido, en los últimos años se ha considerado el constructo Profesional Noticing of Children’s Mathematical Thinking, entendido como un conjunto de herramientas interrelacionadas que incluyen: atender a las estrategias de los niños, interpretar sus comprensiones y decidir cómo responder en base a dichas interpretaciones. De modo sintético, el proceso sería el de “atender-interpretar-decidir” (Jacobs y otros, 2010).

5.2. Desarrollo del pensamiento matemático y del sentido numérico El ser humano tiene la capacidad innata de realizar tareas matemáticas para conseguir unos fines determinados, que le ayuden en su vida diaria. Las Matemáticas ocupan un lugar destacado entre las disciplinas que ayudan a organizar la realidad, facilitando tanto la identificación de sus distintas componentes como las relaciones entre ellas. En particular, el mundo sería caótico sin números, que nos sirven para enumerar, medir, codificar, calcular, etc. Es lógico, pues, que los niños se tropiecen, en su vida diaria, con numerosas situaciones que les proporcionan la oportunidad de contactar con símbolos y significados relacionados con los números. Por ejemplo, en los ritmos, los relojes o los calendarios, los autobuses o las camisetas de los deportistas (Treffers, 2008). Desde esta premisa, podemos afirmar que el trabajo con números permitiría a los niños descubrir y usar estrategias propias para resolver problemas de su vida cotidiana, y que el desarrollo de un buen sentido numérico les ayudaría a apreciar los conceptos numéricos y a construir conocimiento a través de ellos (Carboni, 2008). En consecuencia, el desarrollo del sentido numérico debería ser el foco principal del currículo en los primeros niveles, tal y como proclama la Sociedad de Profesores de Matemáticas Norteamericana, que señala la resolución de problemas y el sentido numérico como componentes imprescindibles de un programa de matemáticas efectivo, en todos los niveles educativos (NCTM, 2008). En España, importantes investigadores en Educación Infantil, como Alsina (2006) y Castro (2008), señalan que las personas deben desarrollar su sentido numérico desde que son niños y que la finalidad del trabajo con números y operaciones, de los 0 a los 6 años, es precisamente ayudar a los niños a desarrollar su sentido numérico, de acuerdo con sus posibilidades y capacidades. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •28•

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Coincidimos con estas apreciaciones. De hecho, consideramos que los niños pequeños pueden y deben enfrentarse a situaciones que impliquen, entre otros, el uso de la estimación, la medida o los hechos numéricos, en un contexto de resolución de problemas, ya que dichos procesos les ayudarán a desarrollar un pensamiento numérico más flexible y un sentido numérico más profundo y rico en relaciones. Asimismo, coincidimos con Saiz (2008), en que, a largo plazo, sería muy rentable dedicar mayor esfuerzo al desarrollo y a la mejora de nuestras habilidades generales de pensamiento, resolución de problemas o toma de decisiones, ya que éstas nos ayudarían a seleccionar información más eficazmente; en definitiva, a desenvolvernos mejor en nuestra compleja sociedad. Pero el aprendizaje en matemáticas requiere de modos de pensamiento variados, lo que supone bastante más que una colección de procedimientos disconexos para llevar a cabo ciertos cálculos, ya que conlleva un aprendizaje acerca de cómo generar esas ideas, cómo expresarlas usando palabras y símbolos y cómo justificar que dichas ideas son verdaderas. Los niños de la escuela elemental son capaces de introducirse en este tipo de pensamiento matemático, pero a menudo no se les ofrece la oportunidad para ello (Carpenter, Franke y Levi, 2003). Chapman (2011), por su parte, insiste en que, puesto que el pensamiento matemático es algo fundamental en el proceso de hacer matemáticas, debería también ser fundamental en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, a todos los niveles. Y ya que, tal y como hemos argumentado anteriormente, el pensamiento matemático surge de manera natural en un ambiente de resolución de problemas, entendemos que bien debería ofrecerse dicho ambiente en el aula, para permitir e incentivar el desarrollo del pensamiento matemático infantil. En palabras de Mason, Burton y Stacey (1982): El razonamiento matemático se apoya en una atmósfera de interrogantes, desafíos y reflexión, y necesita de un tiempo y un espacio amplios.

Invitamos, pues, a todo el profesorado de Educación Infantil a procurar una atmósfera de este tipo en el aula, con idea de facilitar la construcción de conocimientos científicos y matemáticos en los niños, desde las primeras edades. Aunque somos conscientes de que la instrucción basada en la teoría de la absorción, dominante durante prácticamente todo el siglo XX, es más sencilla de llevar a cabo que la cognitiva, cuando los recursos son limitados y las clases grandes. En palabras de Baroody (1988): La enseñanza y la práctica repetitiva de datos y técnicas son más manejables que el fomento del conocimiento conceptual y la aptitud para el razonamiento.

Pero es que, al igual que Castro, Olmo y Castro (2002), estamos convencidos de que la etapa de educación infantil es de una importancia fundamental para la educación matemática, ya que en ella se van a formar los conceptos básicos y los esquemas primarios sobre los que, posteriormente, se construirá todo el aprendizaje. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •29•

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Luego debemos realizar el esfuerzo necesario para llevar a cabo esta labor de manera eficaz y comprometida. Ya lo decía Mialaret, en 1986 (referido en Ruesga, 2002): Se nos confían niños; nosotros somos responsables de su educación. Traicionamos nuestra función humana si no nos esforzamos en desarrollar al máximo las posibilidades que lleva cada niño. Debemos mantener una inquietud constante y debemos responder con todas nuestras capacidades, todos nuestros métodos científicos de estudio y de investigación, todo nuestro amor al niño y nuestra total devoción a nuestra bella misión: formar hombres (personas). (Mialaret, 1986. Pág. 174)

5.3. Desarrollo de las habilidades de resolución de problemas Algunos autores han argumentado que el desarrollo del razonamiento y de las habilidades de resolución de problemas debería ser el principal foco en cualquier intento de ayudar a los niños a desarrollarse en matemática (Clements & Sarama, 2006). De forma complementaria, otros autores consideran que una de las principales razones para el estudio de las matemáticas es la de desarrollar la habilidad para resolver problemas, y que dicho desarrollo debe comenzar con los niños pequeños (Worth, 1990). Además, el trabajo con problemas aritméticos es una herramienta potente en el proceso de ir formalizando el conocimiento informal que poseen los niños en el aula, a través de la ayuda de sus educadores (Van de Valle, 1990). Pero, como el aprendizaje de Resolución de Problemas es un tipo de conocimiento, en parte de carácter cognitivo y en parte de carácter afectivo, resulta esencial, especialmente en este caso, un clima positivo en el aula, que favorezca una actitud de confianza en el niño (Worth, 1990). Los maestros de Educación Infantil han sabido siempre que las ideas matemáticas que los niños pequeños desarrollan en sus primeras etapas son fundamentales para las matemáticas posteriores, y que durante esos primeros años, los niños desarrollan también actitudes y creencias sobre sus habilidades para aprender matemáticas, que les acompañarán probablemente en su proceso educativo posterior. De hecho, los problemas verbales aritméticos constituyen una parte importante del programa matemático de la escuela elemental, aunque históricamente han tenido la función de enseñar a los niños a aplicar el conocimiento de las herramientas aprendidas previamente (Verschaffel, Greer y De Corte, 2007). Y es que, a pesar de toda la investigación realizada en este campo, ésta no ha tenido una repercusión directa (aún) en las aulas, de modo que la instrucción del conocimiento matemático se sigue iniciando con tareas rutinarias y se relega el planteamiento de problemas verbales. Y los problemas que se proponen suelen tener la misma estructura semántica, lo que produce una automatización de las respuestas (Caballero, 2005). Por ejemplo, los problemas de división que se plantean inicialmente suelen ser problemas de reparto. Y es cierto, como hemos indicado anteriormente, que la división comienza con la experiencia del reparto, pero no se puede limitar a ella. Proponemos, pues, plantear a los niños de Educación Infantil problemas de división en los que no sea posible realizar un reparto, junto a otros en los que sí funcione esta práctica, tan cercana a la experiencia del niño.

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5.3.1. Errores y dificultades en la resolución de problemas multiplicativos En el estudio de Anghileri (1989), entre las dificultades que observó en niños entre 4 y 12 años, a la hora de resolver problemas multiplicativos, destacamos las relacionadas con el procesamiento de la información, cuando los niños no usan los números implicados con sus roles naturales. En este sentido, incluso en el caso más sencillo de conjuntos equivalentes de elementos discretos, la dificultad aparece al tener que coordinar las tres piezas de información siguientes: 1º) El número de elementos de cada conjunto (o multiplicando). 2º) El número de conjuntos (o multiplicador). 3º) El procedimiento en sí para realizar la multiplicación. En España, el grupo de Purificación Rodríguez y sus colaboradores han trabajado sobre problemas de división en educación Infantil. Por ejemplo, Caballero (2005), nos habla de un estudio sobre división partitiva y de medida en educación infantil (de Caballero, Rodríguez y Lago, de 1999). En dicho estudio, se planteaban a los niños de infantil, problemas de división (de reparto) en el contexto de una granja, donde “la vaca Paca guarda gallinas en distintas casas”, o “gallinas de distinto color van a jugar a varias casas”. Obtuvieron errores que atañen directamente al papel desempeñado por los distintos términos de la división, esto es: -

Errores de cociente, cuando distribuyen el dividendo sin tener en cuenta que todos los subconjuntos formados deben tener el mismo número de elementos Errores en el dividendo, cuando aumentan o disminuyen, irregularmente, el número de elementos del dividendo, normalmente por errores de conteo. Errores en el divisor: • En los problemas de división partitivos, cuando hacen agrupaciones con un número distinto de subconjuntos de los que indica el divisor. • En los problemas de división de medida, cuando distribuyen un número de elementos distinto al indicado por el divisor.

5.4. Desarrollo del pensamiento multiplicativo Como sabemos, hasta la década de los noventa, ha habido muchas investigaciones sobre esquemas de acción y modelos mentales en aritmética temprana, pero concentradas en torno a la suma y la resta (Castro, 1995). Sin embargo, desde los años noventa, se ha ido prestando una considerable atención a la investigación sobre multiplicación (y división) en el aprendizaje matemático temprano (Sullivan et al, 2001). De hecho, en los últimos años, el estudio de tópicos de investigación tales como el razonamiento multiplicativo o proporcional, que antes se enfocaban en niños mayores, se ha extendido a niños más pequeños (Charles & Nason, 2000; Lamon, 2007; Mulligan & Vergnaud, 2006; Sophian & Wood, 1997). Y el interés por el desarrollo del pensamiento multiplicativo en los primeros niveles se debe a que éste resulta crucial para el aprendizaje aritmético posterior, principalmente porque está implícito en el valor posicional de nuestro sistema decimal y porque es una base de otros conocimientos matemáticos importantes, tales como las proporciones o las funciones lineales (Nunes y otros, 2008). Brissiaud (1989), ya analiza el tipo de problemas de multiplicación y división que se proponen en las escuelas y concluye que todas las situaciones en que una colección deba cuantificarse tomando sucesivamente

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como unidades las unidades individuales y los grupos de n pueden favorecer el aprendizaje del sistema de numeración decimal. Como hemos señalado anteriormente, para enseñar la multiplicación con números naturales, es muy importante la extensión del concepto de unidad (simple), al de unidad compuesta, y ello se consigue a partir de la idea de grupo (Isoda y Olfos, 2009). Además, es algo que forma parte de las actividades cotidianas de los niños, ya que éstos, en numerosas ocasiones, se encuentran con pequeños grupos de objetos, como caramelos en una bolsa o puntos en una ficha o dado, que deben reconocer, contar o interpretar (Treffers, 2008). Castro, E. y Castro, E. (2010), en “El desarrollo del pensamiento multiplicativo”, subrayan algunos aspectos del desarrollo temprano del pensamiento multiplicativo, resaltando su diferencia respecto al aditivo y aportando información para una toma de decisiones en el desarrollo curricular de esta temática, aunque centrados en enseñanzas posteriores a la del ciclo de Educación Infantil. Estos autores analizan el origen del pensamiento multiplicativo y exponen resultados de investigación que apuestan porque este origen se encuentra en el esquema de correspondencia uno a muchos, antes que en el esquema de adición repetida. Por ejemplo, Park y Nunes (2001), en un estudio destinado a observar si la comprensión de la correspondencia uno a muchos constituía la base de la multiplicación, concluyeron que los niños que fueron animados a resolver los problemas de multiplicación usando correspondencias entre dos variables fueron mejores resolutores que aquéllos que fueron instruidos en la multiplicación como adición repetida. No obstante, algunos estudios recientes con niños de Educación Infantil, como el de Rodríguez y otros (2008), sólo contemplan estrategias de adición repetida entre las manifestadas por los distintos resolutores de esta etapa. En nuestras investigaciones, hemos podido comprobar que a los niños de 4 años les cuesta mucho trabajo resolver los problemas que les planteamos, incluso el más sencillo (“si va la rana de 2 en 2 piedras, ¿cuántos saltos dará?”), y que en muchas ocasiones parecen incluso no llegar a comprender la tarea planteada (Bosch y Castro, 2009). No obstante, muchos niños de 5 años sí resuelven satisfactoriamente los problemas que les planteamos, y las diferencias, respecto a los niños de 6 años, son escasas. Este resultado resulta coherente con estudios anteriores, en los que se pone de manifiesto que el pensamiento multiplicativo aparece de forma temprana pero se desarrolla lentamente (Clark y Kamii, 1996; Empson y Turner, 2006).

5.5. Desarrollo del pensamiento proporcional Tradicionalmente, razón y proporción han sido consideradas como tópicos para la enseñanza media, principalmente por las teorías de Piaget sobre que la comprensión de dichos tópicos no se alcanza hasta la adolescencia. Jean Piaget se basaba en que el razonamiento proporcional es de segundo orden, ya que las proporciones son relaciones entre cantidades, y por tanto, las comparaciones entre proporciones serían relaciones entre relaciones. Sin embargo, visto en un contexto más amplio, sus estrechas relaciones con las fracciones así como con otros conceptos multiplicativos, sugieren que deba tratarse a todos los niveles del currículo, desde la escuela elemental hasta las enseñanzas universitarias (Lamon, 2007).

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En España, el grupo de Luis Puig y sus colaboradores han trabajado sobe los tópicos de razón y proporción en la escuela primaria, como se muestra en los trabajos de Alejandro Fernández. Por ejemplo, en Fernández, A. F., Figueras, O., Gómez, B., Monzó, O. y Puig, L. (2009), se explica que la mayoría de los estudios realizados hasta la fecha sobre pensamiento relacional y proporcional han sido sobre adolescentes y preadolescentes. Esto motiva estudios en México sobre los contenidos y las formas didácticas que deben trabajarse con los alumnos de educación primaria para desarrollar, paulatina y progresivamente, el razonamiento proporcional. Estos investigadores proponen a los estudiantes problemas de proporcionalidad, tanto con cantidades discretas (por ejemplo, respecto a unos niños que van a escuchar un cuento situados sobre unas marcas en el suelo; se les pregunta en qué ocasión estarán más apretados), como con cantidades continuas (como en el clásico ejemplo de mezclas de refrescos en las que interviene el agua junto a un tipo de zumo de fruta y se le pregunta cuál tendrá más sabor a fruta). Puede que este tipo de razonamiento se considere demasiado complejo para ser abordado en Educación infantil, pero en los primeros niveles, las cantidades relativas que no son cuantificadas suponen un importante tipo de razonamiento proporcional fácilmente accesible para los niños cuando se sitúan en un contexto cercano y comprensible para ellos (Lamon, 2006). Considérese, por ejemplo, el siguiente problema: Ayer repartiste algunas galletas entre unos amigos. Hoy vas a repartir menos galletas entre un número mayor de amigos. ¿Cada uno tocará a más, menos o igual cantidad de galletas que ayer? (Lamon, 2006, p. 631)

En este caso, tanto la cantidad de personas como la cantidad de galletas son cuantificables, pero incluso sin necesidad de cuantificar esa cantidad, la pregunta puede ser respondida. Este tipo de razonamiento resulta “fácil” para los niños, porque se construye sobre su conocimiento previo y su experiencia en el reparto, a nivel discreto. También es cierto que los niños pequeños presentan dificultades para razonar sobre las relaciones parte-todo, pero que fácilmente razonan si una parte es mayor que otra, y que pueden usar esta relación de primer orden como base para comparar proporciones Spinillo y Bryant (1999). En el caso de las magnitudes continuas, se ha demostrado, por ejemplo, que alumnos de primer curso de primaria saben que si una cantidad se divide en muchas piezas (partes), entonces cada pieza será menor que si se divide en pocas piezas (partes) (Sophian &Wood, 1997). Como hemos señalado anteriormente, un razonamiento de este tipo, entre otros de carácter multiplicativo, ponemos a prueba en nuestras investigaciones con niños de 4 a 6 años. Y nuestra intención es la de colaborar en la ampliación del conocimiento que tiene la comunidad de educadores, sobre el desarrollo del pensamiento multiplicativo y proporcional en los primeros niveles. En ello continuamos. Arrieros somos… Agradecimientos Este trabajo se ha realizado en el marco del proyecto “Modelización y Representaciones en Educación Matemática” (ref. EDU 2009-11337, Plan I + D + i del Ministerio de Ciencia e Innovación), cuyo investigador principal es D. Enrique Castro Martínez, Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 15-37. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •33•

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Educación Matemática en la Infancia

¿Hay algo más que contar sobre las habilidades numéricas de los bebés y los niños? María Oliva Lago Marcos, Purificación Rodríguez Marcos, Ana Escudero Montero y Cristina Dopico Crespo Universidad Complutense de Madrid, oliva@psi.ucm.es, p.marcos@psi.ucm.es, anescudero@psi.ucm.es y cdopico@psi.ucm.es Fecha de recepción: 9-03-2012 Fecha de aceptación: 9-05-2012 Fecha de publicación: 3-09-2012

RESUMEN En este artículo se revisan distintos aspectos relacionados con las competencias numéricas tempranas. En primer lugar, se aborda en profundidad la polémica entre los defensores y detractores de las habilidades numéricas de los bebés, prestando especial atención a los estudios sobre la discriminación de las cantidades y las habilidades aritméticas no simbólicas. En segundo lugar, se ocupa del subitizing centrándose en el cambio que se produce de los patrones perceptivos a los conceptuales. Finalmente, en tercer lugar, se recogen los estudios sobre la habilidad de contar, haciendo hincapié en una línea de investigación especialmente prometedora relacionada con la diferenciación entre los aspectos esenciales (reglas lógicas) y no esenciales (reglas convencionales) del conteo. Palabras clave: discriminación de cantidades, adición, sustracción, subitizing, conteo, normas lógicas, normas convencionales.

Is there anything more to count about numeracy skills of babies and toddlers? ABSTRACT This paper reviews the research conducted on early numerical competencies. First, the debate between defenders and detractors of babies numerical competences is presented, taking especially into account research on quantity discrimination and non-symbolic arithmetical skills. Second, we make a short review of subitizing skills, stressing the change from perceptual to conceptual patterns. And third, we focus on counting, emphasizing recent and outstanding research on children´s capacity to distinguish essential counting aspects (logical rules) from nonessential ones (conventional rules). Key words: quantity discrimination, addition, subtraction, subitizing, counting, logical rules, conventional rules.

1. Introducción Una de las preguntas más relevantes a las que nos enfrentamos los psicólogos evolutivos y las personas interesadas en el mundo educativo se refiere a cómo los niños construyen el concepto de número. Responder a este interrogante puede ser problemático, porque la mayoría del conocimiento Lago, M.O., Rodríguez, P., Escudero, A. y Dopico, C. (2012). ¿Hay algo más que contar sobre las habilidades numéricas de los bebés y los niños? Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 38-53. •38•

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de los niños es implícito más que explícito (Karmiloff-Smith, 1994), intuitivo más que formal (Siegler, DeLoache y Eisenberg, 2011; Siegler y Jenkins, 1989) y, en palabras de Sophian (2004), “escurridizo”, es decir, en un momento se hace evidente y en otro no. Estos inconvenientes han hecho necesario diseñar ingeniosos métodos de investigación para evaluar las competencias de los más pequeños, que se han acompañado también de un profundo cambio a nivel teórico. En efecto, se considera que las habilidades numéricas de los niños pequeños bien podrían constituir la base de la comprensión posterior. Una idea bastante extendida hoy en día es que los niños intentan dar sentido a las matemáticas formales asimilándolas con sus conocimientos previos. Conectar el aprendizaje informal con el formal no resulta sencillo, pero podría garantizar el aprendizaje significativo de las matemáticas. Para diseñar una estrategia educativa que lo facilite y por tanto eficaz, no basta con determinar cuánto conocen los niños, sino también precisar cómo conocen. Precisamente, como tendremos ocasión de ver en este trabajo, este ha sido el objetivo de las investigaciones realizadas sobre las habilidades numéricas tempranas. De acuerdo con esto, en lo que sigue describiremos con cierto detalle, en primer lugar, los estudios cuyo propósito ha sido esclarecer si los bebés tienen o no representaciones estrictamente numéricas y nos detendremos a analizar su naturaleza y limitaciones. A continuación, nos referiremos al subitizing porque constituye una habilidad de cuantificación muy temprana, que desempeña un papel esencial en la construcción del número. Finalmente, mencionaremos las investigaciones sobre la habilidad de contar, refiriéndonos, entre otras cosas, a la comprensión de las normas lógicas subyacentes a los principios y las normas convencionales, que construyen los niños durante el proceso de aprendizaje.

2. “Contemos” con los bebés En las dos últimas décadas se ha producido un intenso debate sobre el origen del conocimiento numérico, lo que inevitablemente ha llevado a los autores a dirigir su atención a los bebés y preguntarse acerca de si estos tienen representaciones abstractas del número. La respuesta a esta cuestión no es sencilla, ya que los estudios con bebés son muy laboriosos y los resultados difíciles de interpretar. Un problema añadido es que los métodos de estudio fueron creados originalmente para analizar las competencias perceptivas, aunque recientemente se ha visto su utilidad también en otros ámbitos conceptuales como el de la permanencia del objeto, la noción de tiempo o la identificación de las categorías de género. Con respecto al ámbito del conocimiento numérico, las investigaciones sobre la discriminación de cantidades se han basado en los métodos de familiarización y habituación, mientras que las de razonamiento numérico han recurrido al paradigma de violación de expectativas. Brevemente, en la habituación se presenta a los bebés repetidamente un estímulo (p.e., 4 elementos) hasta que el nivel de atención decrece y a continuación, se presenta un nuevo estímulo (p.e., 8 elementos) esperando que la atención vuelva a aumentar como resultado del proceso de discriminación entre ambas cantidades. En la familiarización se sigue la misma pauta, pero en esta ocasión se fija de antemano el número de veces que se va a presentar el estímulo inicial. Finalmente, en el método de violación de expectativas, se muestra, por ejemplo, un objeto que se oculta seguidamente tras una pantalla, se repite la misma acción con un nuevo objeto y finalmente, aparece el resultado de una transformación que puede ser posible (1+1=2) o imposible (1+1=1). Se espera que los bebés realicen el cálculo de estas operaciones y en consecuencia, miren más tiempo al resultado imposible, porque les sorprende, que al posible. Los resultados de las investigaciones han llevado a algunos autores a responder negativamente a la cuestión de si los bebés tienen representaciones abstractas del número (Clearfield, 2004; Mix, Huttenlocher y Levine, 2002; Moore y Cocas, 2006; Wakeley, Rivera y Langer, 2000). Desde este punto de vista, se afirma que la representación del número no está presente en los primeros meses de vida, sino que se desarrolla a lo largo de los primeros años. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •39•

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Por el contrario, otros autores sostienen que los bebés tienen representaciones abstractas no verbales del número y que las usan para (a) discriminar cantidades y (b) ejecutar operaciones que implican ordenar cantidades o calcular los resultados de los problemas de adición y sustracción (Brannon, 2005; Lipton y Spelke, 2003; McCrink y Wynn, 2004, 2007, 2009; vanMarle y Wynn, 2009; Xu, Spelke y Goddard, 2005; Izard, Sann, Spelke y Steri, 2009). Estos dos puntos de vista claramente diferentes, ha llevado a los primeros a asumir que las discriminaciones que hacen los bebés se basan en las dimensiones perceptivas de los objetos (la cantidad de espacio ocupado por el estímulo o su contorno total) y no en las variaciones de la cantidad. En otras palabras, los bebés aprecian las transformaciones en las cantidades continuas, pero no en las cantidades numéricas discontinuas (Bryant y Nunes, 2011). Esta crítica se fundamenta en que en los primeros estudios no se había llevado a cabo un control adecuado de algunas propiedades no numéricas de los estímulos, lo que permitía cuestionar si los bebés estaban respondiendo realmente al número o a otras propiedades continuas de los estímulos. De ahí que en las investigaciones más recientes se haya efectuado un control más riguroso de estas variables. Por ejemplo, cuando se presentan estímulos auditivos se supervisa, entre otras cosas, la duración del sonido y su intensidad. Del mismo modo, en los estímulos visuales (p.e., figuras geométricas) se ha procedido a controlar la superficie del área ocupada, la densidad y la longitud del contorno de los objetos. Superadas estas dificultades, los autores favorables a la representación abstracta del número han concluido, en primer lugar, que entre los 4 y los 6 meses los bebés, como los adultos y algunos animales (p.e., monos, ratas), discriminan conjuntos con distintos valores cardinales, que se presentan en una amplia variedad de modalidades, entre las que se incluyen objetos (p.e., figuras geométricas), sonidos (p.e., sílabas que se repiten) y secuencias de acciones (p.e., muñecos que saltan) (p.e., Xu y Spelke, 2000; Lipton y Spelke, 2003; Wood y Spelke, 2005; Xu, Spelke y Goddard, 2005). Además, la discriminación se realiza en términos de una razón y no de su diferencia absoluta, estableciéndose además un cierto patrón evolutivo. Así, alrededor de los 6 meses la discriminación se produce únicamente cuando las cantidades difieren en una razón de 1:2, de modo que, por ejemplo, tenían éxito al discriminar 4 vs. 8 y 16 vs. 32, pero no discriminaban 4 vs. 6, ni 16 vs. 24. A los 9 meses pueden hacer discriminaciones cuando los valores numéricos difieren en una razón de 2:3, pero no de 4:5 y en los adultos la razón es de 7:8 (vanMarle y Wynn, 2009). Los defensores de las competencias numéricas tempranas van incluso más allá al afirmar que los bebés no solo discriminan cantidades cuando los estímulos pertenecen a la misma categoría (p.e., 4 círculos vs. 8 círculos), sino también ante estímulos pertenecientes a categorías diferentes (emparejan información numérica visual y auditiva). Por ejemplo, los bebés preferían mirar la imagen de las caras que se correspondía con el número de voces que habían escuchado (Jordan y Brannon, 2006). No obstante, según Izard et al. (2009), en algunos estudios los estímulos auditivos y visuales se presentaban sincrónicamente y por tanto, los emparejamientos podían haber ocurrido sobre la base de las representaciones amodales de los sucesos y no a partir de la representación abstracta de los valores cardinales. Si esto fuera así, habría que pensar que las representaciones abstractas del número solo son posibles más adelante, es decir, cuando los niños tienen acceso a los símbolos numéricos. Para evaluar esta posibilidad, estos autores llevaron a cabo un nuevo estudio con niños recién nacidos (el rango de edad iba entre 7-100 horas). En la fase de familiarización, escucharon durante dos minutos secuencias con un número fijo de sílabas (p.e., tu-tu-tu-tu-tu-tu-tu-tu), que se repetían un número fijo de veces. A continuación y para evitar las representaciones amodales, se introducían imágenes que podían contener estímulos con el mismo o diferente número de sonidos que estaban escuchando. Lo recién nacidos miraban más la imagen visual que se emparejaba con los sonidos que escuchaban, de lo que deducían que los recién nacidos tienen representaciones numéricas abstractas. No obstante, si admitimos estas competencias tempranas habría que explicar por qué los niños de 3-4 años no son capaces de superar tareas que aparentemente realizan los bebés. Brevemente, Mix, Huttenlocher y Levine (1996) encontraron que los niños de 3 años ejecutaban al azar una tarea en la Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •40•

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que tenían que establecer la equivalencia cuantitativa entre una información auditiva y visual, que superan fácilmente los bebés. La explicación de este resultado puede tener que ver con las diferencias en la naturaleza de las representaciones de los bebés y los niños. Las representaciones de los bebés son icónicas, mientras que las de los niños son representaciones del número basadas en el lenguaje. Por tanto, estas últimas son adquiridas a través de un proceso de transmisión cultural que se extiende durante un largo período de tiempo, que va más allá de los tres años de edad como tendremos ocasión de ver en los siguientes apartados. Por último, la presencia de representaciones abstractas del número permitiría a los bebés acceder a la aritmética no simbólica. El ya clásico estudio de Wynn (1992) mostraba que a los cinco meses los bebés poseían ciertas habilidades para ejecutar cálculos aritméticos de adición y sustracción. En concreto, los evaluó en tres situaciones: (a) una transformación de adición posible (1+1=2) o imposible (1+1=1), (b) una transformación de sustracción posible (2-1=1) o imposible (2-1=2) y (c) una transformación de adición (1+1) en la que tanto el resultado posible (2) como el imposible (3) se encontraban en la dirección correcta, es decir, se producía un incremento. Los bebés tendían a mirar más tiempo los resultados imposibles, lo que fue interpretado como evidencia de que computaban los resultados exactos de las operaciones aritméticas. El interés suscitado por este trabajo no se hizo esperar e inmediatamente surgieron réplicas y contrarréplicas, que verificaban o cuestionaban los datos encontrados por Wynn. Entre estas últimas destaca el estudio de Wakeley, Rivera y Langer (2000). A través de un procedimiento similar realizaron tres experimentos, dos de los cuales fueron réplicas del estudio de Wynn (1+1 y 2-1) y un tercero sobre la sustracción (3-1=1 ó 2). Los resultados no coincidieron con los hallados por Wynn, ya que los bebés no mostraban patrones de atención diferentes en las transformaciones aritméticas correctas e incorrectas. Indicaron que la habilidad de cómputo era frágil y débil en los bebés y que no era necesario efectuar un cálculo preciso de las operaciones, bastaba con que supieran que la transformación aritmética daba como resultado un número diferente y tuvieran en cuenta la dirección ordinal de la transformación (adición o sustracción) (ver también, Rodríguez, Lago y Jiménez, 2003). En esta misma línea, Sophian (2008) apuntaba que debemos ser cautos con los resultados de Wynn, pues no demuestran a ciencia cierta que los bebés realicen verdaderas operaciones aritméticas, solo ponen de manifiesto que detectan relaciones numéricas entre los grupos y no que les asignen valores numéricos concretos. Los datos de los estudios con niños mayores apuntan de nuevo en la misma dirección. Entre estos merece la pena destacar el trabajo de Vilette (2002) con niños de 2, 3 y 4 años. En concreto, adaptaba el paradigma de violación de expectativas de Wynn presentando a los niños tareas de adición y sustracción con un suceso posible (2+1=3; 3-1=2) y un suceso imposible (2+1=2; 3-1=3). Los niños debían indicar si los resultados eran “normales” o no. Los niños de 2 años no superaron ninguna de las tareas y no hubo mejoras claras hasta la edad de 4 años. Esto le hizo suponer que el éxito de los bebés se debía a que su razonamiento estaba basado en las representaciones espacio-temporales de los objetos físicos y la correspondencia uno a uno, ya que no hay razón teórica para justificar que los niños mayores tengan dificultad para realizar tareas en las que los más pequeños se muestran competentes. Evidencias favorables al planteamiento de Wynn proceden, por ejemplo, de los trabajos de McCrink y Wynn (2004 y 2009). En el primero, confirmaron que los bebés de 9 meses miraban durante más tiempo los resultados incorrectos de adiciones y sustracciones, con cantidades no perceptivas (5+5=10 ó 5 y 10-5=10 ó 5 (ver Figura 1). Además, en el experimento de Wynn (1992) no se habían controlado adecuadamente las variables continuas, pero si en esta ocasión para que los bebés no pudieran usar un sistema de representación no numérico. Por tanto, los resultados reforzaban la idea de que los bebés podían realizar sumas y restas no simbólicas. Estas habilidades aritméticas no simbólicas también han sido estudiadas en adultos. McCrink y Wynn (2009) informan de una serie de trabajos, algunos encabezados por McCrink (p.e., McCrink, Dehaene y Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •41•

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Dehaene-Lambertz, 2007), en los que muestran a personas adultas situaciones de adición y sustracción. Por ejemplo, en la situación de adición, siguiendo el procedimiento habitual presentaban a los participantes (a través de un vídeo) una serie de objetos, que eran ocultados tras una pantalla, detrás de la cual se añadía una nueva serie de objetos. A continuación se retiraba la pantalla y aparecía un resultado, y los participantes tenían que determinar si era correcto o no. En general, los adultos resolvían bien los problemas de adición (69% de las veces), pero cuando el resultado era mayor que la respuesta correcta también lo consideraban correcto en muchas ocasiones (44% de las veces) y no cuando era menor (solo el 18% de las veces). Sin embargo, en las situaciones de sustracción, cuando el resultado era menor que la respuesta correcta tendían a considerarlo correcto tan solo en el 29% de las ocasiones. McCrink y Wynn (2009) intentaron establecer si esto sucedía también en los bebés. Para ello, un grupo de niños de 9 meses presenciaron una serie de vídeos en los que aparecía un problema de adición con un resultado correcto y dos incorrectos, mientras que otro grupo era asignado a la situación de sustracción. En concreto, en la adición 6+4 se les mostraba el resultado correcto 10 y los incorrectos 20 y 5 y en la sustracción 14-4 el resultado correcto era 10 y los incorrectos 5 y 20. En general, los datos eran similares a los obtenidos con los adultos, ya que los bebés miraban más tiempo los resultados incorrectos. Ahora bien, en la substracción los tiempos de mirada de los resultados incorrectos eran claramente diferentes (alrededor de 8 segundos cuando eran 20 objetos y aproximadamente 5 segundos cuando eran 10 objetos), mientras que en la adición apenas existían diferencias (alrededor de 5 segundos en 5 objetos y unos 4 segundos en 20 objetos). La conclusión de estos autores es que existe una continuidad evolutiva entre los adultos y los bebes, respecto a los mecanismos cognitivos con los que operan en las situaciones aritméticas de adición y sustracción. SITUACIÓN 10 – 5 = 5 ó 10 Bajan diez objetos de la parte superior de la pantalla de ordenador. Todos los rectángulos van cambiando constantemente de dimensiones a la vez que se van dirigiendo hacia el lado derecho de la pantalla

En el lado derecho, comienza a surgir un telón que oculta los objetos. En el momento que el telón aparece, todos los rectángulos tienen las mismas dimensiones

Cinco objetos salen secuencialmente de detrás del telón y se desplazan hacia la izquierda hasta desaparecer de la pantalla

Resultado posible El telón baja y se muestran cinco objetos

Resultado imposible El telón baja y hay diez objetos

Figura 1. Adaptación de la situación experimental diseñada por McCrink y Wynn (2004) En conclusión, si existe una representación abstracta del número necesitamos saber más sobre el papel que desempeña en el desarrollo numérico posterior. Es decir, cuál es la contribución de estas capacidades para desarrollar conceptos y habilidades más amplias, como los numerales y la secuencia de numerales, que son transmitidos culturalmente. Una línea prometedora de investigación procede de los estudios en neurociencia, que usando imágenes de resonancia magnética muestran que el surco Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •42•

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intraparietal responde selectivamente a los cambios en el número. En otras palabras, hay un componente neural especial de la cognición numérica temprana presente, que sepamos hasta ahora, en los monos, los niños pequeños y adultos, que puede ser el fundamento del desarrollo numérico simbólico posterior (ver, por ejemplo Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan y Dehaene, 2004). Otra línea de trabajo, que también augura resultados muy positivos en el futuro, es aquella que ha encontrado un paralelismo en las respuestas de los bebés en tres áreas del procesamiento de la cantidad: el tiempo, el área y el número. Los bebés de 6 meses detectan cambios de 1:2 en el tiempo, número y área y fallan cuando el cambio es de 2:3, lo que hace pensar en un mecanismo de representación mental compartido (p.e., Brannon et al., 2006; Cantlon, Platt y Brannon, 2009; vanMarle y Wynn, 2006). No obstante, esta orientación no está exenta de dificultades. Por ejemplo, Feigenson (2007) destaca cuatro limitaciones: (a) todavía no se ha probado que se produzcan cambios parecidos a lo largo del desarrollo que apoyen la asunción de que el mismo mecanismo subyace a las tres áreas, (b) el rango de valores analizado aún es muy reducido y se desconoce si los resultados son generalizables a otros mayores, (c) si como plantean los autores se trata de una representación general de la cantidad tendría que ser también aplicable a otras medidas como el volumen y la longitud y (d) habría que probar si los déficits de procesamiento en una de las dimensiones conllevan los mismos déficits en las restantes.

3. ¿Es el subitizing importante en la construcción de la noción del número? El término subitizing se refiere a la habilidad para captar la cantidad numérica de un conjunto de modo perceptivo e inmediato, es decir, permite determinar rápidamente el número de objetos sin necesidad de contar. El subitizing no se puede considerar como un proceso innato simple, porque constituye, en primer lugar, un medio de cuantificación más como la estimación y el conteo y, por tanto, al igual que ellos, desempeña un importante papel en la construcción del concepto de número. Por ejemplo, permite descubrir propiedades del número tan relevantes como la conservación y la compensación. También contribuye al desarrollo del conteo y la comprensión de las operaciones aritméticas de adición y sustracción (p.e., Clements, 1999; Hannula, RÄasÄanen y Lehtinen, 2007; Le Corre, Van de Walle, Brannon y Carey, 2006; Sarama y Clements, 2009). Y, en segundo lugar, porque el subitizing es un proceso que se desarrolla, es decir, los patrones perceptivos que los niños pueden ver u oír inmediatamente (tres dedos, tres sonidos, el tres en la ficha de dominó) registran un cambio importante cuando son capaces de centrarse en el número exacto de esos patrones, llegando finalmente a los patrones conceptuales sobre los que van a poder operar (ver, por ejemplo, Sarama y Clements, 2009). Todos estos patrones pueden fomentar tanto el pensamiento matemático como su desarrollo, pero las diferencias cualitativas que existen entre ellos hacen que los más eficaces sean los patrones conceptuales. De hecho, Clements (1999) (ver también Sarama y Clements 2009) establece la existencia de dos tipos de subitizing: el perceptivo y el conceptual. El subitizing perceptivo, más próximo a la definición original (Kaufman et al., 1949), consistía en reconocer un número sin usar conscientemente otros procesos mentales o matemáticos y después nombrarlo. Este tipo de subitizing usa procesos cuantitativos pre-atencionales, pero añade un proceso numérico intencional. Es decir, la sensibilidad de los bebés al número no se considera todavía subitizing perceptivo. Además, el subitizing perceptivo ayuda a los niños a percibir objetos del mismo tipo (tres tazas) de modo separado (percibir unidades) en el flujo de sensaciones perceptivas. De este modo los niños crean unidades que serán contadas y construyen las primeras nociones de cardinalidad. Las habilidades de contar y de crear patrones (espaciales, temporales, kinestésicos) serán a su vez utilizadas para desarrollar el subitizing conceptual Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •43•

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(Clements, 1999). Este conlleva la utilización consciente de estrategias de descomposición y composición. Los niños hacen uso del subitizing conceptual cuando descomponen mentalmente, por ejemplo, un patrón de cinco puntos en otros dos (p.e., 2 y 3 puntos) y después vuelven a unirlos para hacer 5 o cuando descomponen 8 puntos en dos patrones de 4 puntos distribuidos como en un dado o en las fichas del dominó. Este tipo de subitizing desempeña un papel organizativo más avanzado que el perceptivo, ya que puede ayudar a los niños a desarrollar estrategias numéricas y aritméticas abstractas, que serán de gran utilidad para llegar a dominar la habilidad de contar. El subitizing es una competencia esencial en la construcción de la noción del número, pero está claramente limitado en cuanto a sus posibilidades de aplicación por el número de objetos que haya que cuantificar y también por su distribución. Aproximadamente a partir de los 3 años y medio los niños pueden percibir inmediatamente todos los números que por si mismos pueden contar (cuatro e incluso más allá) (Mix, Sandhofer y Baroody, 2005). No obstante, la distribución espacial de los objetos también influye en la dificultad para aplicar el subitizing. En concreto, los niños suelen encontrar las distribuciones rectangulares más fáciles, seguidas de las lineales, las circulares y las revueltas. Esto parece ser así desde primaria hasta la edad adulta. Sin embargo, para los niños más pequeños ninguna de estas distribuciones es más sencilla, con independencia del número de objetos. Sin menoscabo de la importancia del subitizing, que aúna algunos de los procesos más básicos para determinar la cantidad numérica, cuando el número de objetos o su distribución exceden sus límites es necesario contar, un procedimiento que, como veremos en el siguiente apartado, es más general y eficaz.

4. Normas lógicas y convencionales del conteo En el marco de los estudios sobre la comprensión del número, el conteo se ha ido situando progresivamente en un primer plano a lo largo de las últimas tres décadas. El consenso alcanzado respecto a que es uno de los pilares de la construcción de las nociones numéricas y aritméticas contrasta con la visión de Piaget y Szeminska (1941), según la cual la construcción del número depende de la construcción de la lógica. Por tanto, la habilidad para adquirir, comprender y utilizar los números sólo es posible cuando los niños han accedido a ciertos conceptos propios del estadio de las operaciones concretas: la abstracción de cualidades, la inclusión y la seriación cualitativa. Establecer la cantidad de objetos que hay en un conjunto supone ignorar ciertas propiedades perceptivas como el color, el tamaño y la entidad de los objetos, para poder abstraer su cualidad numérica. Teniendo en cuenta esto, se extendió la creencia, tanto en la investigación básica como en la práctica educativa, de que el conteo era una práctica memorística y carente de sentido y que, por tanto, los niños no descubrían el verdadero sentido de la cuantificación hasta los primeros años de la educación primaria. A finales de la década de los setenta, este planteamiento comenzó a cambiar, entre otras cosas, porque se empezó a cuestionar si las tareas piagetianas medían realmente el conocimiento del número u otras competencias. Diversos estudios mostraron que los niños pequeños, que aún no habían accedido a las operaciones lógicas, eran capaces de resolver diversas situaciones que implicaban las operaciones aritméticas básicas (ver, por ejemplo, Sarama y Clements, 2009). La obra de Gelman y Gallistel (1978) The child’s understanding of number sobresale entre las nuevas perspectivas teóricas y metodológicas de investigación. Una de las aportaciones más interesantes de esta obra es que en ella describen los cinco principios del conteo: (a) correspondencia uno-a-uno, (b) orden estable, (c) cardinalidad, (d) abstracción, y (e) irrelevancia del orden. Los tres primeros, conocidos como los principios procesuales, forman la estructura conceptual del número y establecen las reglas del procedimiento a seguir cuando uno cuenta. El de correspondencia uno-a-uno establece que los elementos de una muestra tienen que ser señalados y etiquetados una sola vez, pero no en un Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •44•

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orden determinado. El principio de orden estable señala que las etiquetas, con independencia de su naturaleza, deben formar una lista estable integrada por etiquetas únicas. Y el de cardinalidad determina que la última etiqueta de la secuencia de conteo no solo representa al último elemento de la muestra, sino también la cardinalidad del conjunto. Los dos principios restantes dan “permiso” a los niños para introducir variaciones en el conteo, siempre que respeten los principios procesuales (ver, por ejemplo, Sophian, 1988). Por tanto, permiten a los niños ser más flexibles cuando cuentan y ampliar el rango de condiciones a las que pueden aplicar los tres primeros principios. En concreto, el principio de abstracción pone de manifiesto que cualquier colección de elementos discretos puede ser contada, pudiendo establecer así su valor cardinal. Y por último, el principio de irrelevancia del orden alude a que saber contar también implica comprender que los objetos se pueden contar en cualquier orden, porque eso no cambia el valor cardinal que se obtendrá cuando hayan sido contados todos los elementos. Los investigadores están de acuerdo en los principios del conteo tal y como fueron descritos por Gelman y Gallistel (1978), así como que constituyen los cimientos del desarrollo de diversas habilidades aritméticas. De ahí que se haya recurrido a múltiples métodos para analizar la comprensión que tienen los niños de los principios del conteo. En líneas generales podemos establecer cuatro grandes categorías de tareas: (a) aquellas en las que se pide a los niños que cuenten conjuntos de elementos con distintas características como el tamaño, la distribución espacial y la naturaleza de los objetos que los integran; (b) las que requieren la utilización del conteo para alcanzar un determinado fin (p-e., la tarea del “Dame…” en la que si el niño comprende la finalidad del conteo podrá utilizarlo para entregar al investigador el número exacto de elementos solicitados); (c) aquellas en las que los niños tienen que predecir el resultado de contar o recontar una serie de objetos, tras introducir variaciones numéricas o simplemente espaciales; y (d) las tareas de detección de errores en las que una marioneta u otro personaje, en general ficticio, cuenta correctamente o no y los niños deben indicar si lo ha hecho bien o mal. Esta última tarea ha permitido observar que si bien los niños pueden no aplicar correctamente un principio cuando son ellos mismos los que cuentan (por problemas motores, de memoria, de coordinación de procedimientos) son capaces de advertirlo cuando es una marioneta la que lo comete el error. La manifestación de este tipo de inconsistencias en la ejecución de los niños es objeto de debate en la famosa polémica acerca de cuál es la relación entre los principios y los procedimientos del conteo: principios antes o principios después, ¿son los principios anteriores a los procedimientos?, o por el contrario ¿son los procedimientos anteriores a los principios? Se han establecido tres alternativas teóricas claramente diferenciadas. La primera es la de los autores que defienden que son los principios los que dirigen el aprendizaje de la habilidad de contar (teoría de los principios primero, por ejemplo, Gelman, 1997; Gelman y Gallistel, 1978; Gelman y Meck, 1983, 1986; Gelman, Meck y Merkins, 1986). La segunda propone lo contrario, que el conocimiento de los principios se desarrolla a partir de la experiencia de los niños con el conteo (teoría de los procedimientos primero, por ejemplo, Briars y Siegler, 1984; Fuson, 1988; Siegler, 1991). Y, finalmente, la teoría del desarrollo mutuo plantea que los procedimientos y los principios se desarrollan a la vez y se refuerzan entre sí a lo largo del desarrollo de la habilidad de contar, sin que inevitablemente unos precedan a los otros (Baroody, 1992; Sophian, 1997). Independientemente de las discrepancias teóricas, los autores suelen coincidir en que el principio que más tardan los niños en adquirir es el de irrelevancia del orden, que nunca se ha encontrado con anterioridad a los 5 años (Baroody, 1993; Cowan, Dowker, Christakis y Bailey, 1996). Asimismo, los resultados del paradigma de detección suelen ser bastante coincidentes, revelando que entre los 3 y los 5 años los niños obtienen rendimientos muy elevados, especialmente en los principios procesuales. En concreto el porcentaje de éxito, en niños de 3 y 4 años, oscila entre el 71.7% de los ensayos en el Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •45•

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caso de Briars y Siegler (1984) y el 92% de los ensayos en el estudio de Gelman y Meck (1983), en errores de correspondencia uno-a-uno y de cardinalidad. Los errores de orden estable alcanzaban un éxito del 89.7% de los ensayos en niños de 3 a 5 años (Gelman y Meck, 1983). Algo similar ocurre con las restantes tareas, siendo numerosos los estudios que han puesto de relieve que el elevado grado de elaboración del conteo a los 4 años allana la construcción de estrategias de adición, sustracción, multiplicación y división (Bermejo y Rodríguez, 1993; Caballero, 2006; Lago y Rodríguez, 1999; Lago, Rodríguez, Zamora y Madroño, 1999; Rodríguez et al., 2008). En los últimos años el estudio de la habilidad de contar se ha ampliado a otros ámbitos, como los posibles nexos con otras habilidades numéricas y también no numéricas. Un ejemplo de esto último es el trabajo de Krajewsky y Schneider (2009), en el que encuentran que la memoria de trabajo y la conciencia fonológica están ligadas al denominado conteo verbal (emisión de la secuencia de numerales), pero no a la habilidad de relacionar los numerales con cantidades numéricas. Ver también, respecto a la relación entre el número y el lenguaje, el interesante artículo de Gelman y Butterworth (2005) o la investigación de Barner, Libenson, Cheung y Takasaki (2009) sobre la influencia de los indicios sintácticos del inglés y el japonés en la comprensión del significado de los numerales a partir de otros cuantificadores (muchos, pocos, todos, ninguno). Muy resumidamente, Barner et al. (2009) sugieren que el inglés tiene indicios sintácticos más fuertes que el japonés, y eso permite a los niños de habla inglesa adquirir los numerales a partir de los cuantificadores más temprano que a los niños japoneses. Este efecto es transitorio, ya que los niños americanos superaban a los japoneses en la comprensión de los numerales a los 2 años, pero no a los 3 ó 4 años. Teniendo en cuenta que los niños de Educación Infantil aún no han alcanzado una comprensión plena de lo que significa contar y que cuando aprenden a contar adquieren tanto normas lógicas (que implican entender los principios subyacentes al conteo) como normas convencionales (que dependen del contexto social), recientemente se ha abierto una línea de trabajo para abordar el estudio de las comprensión que tienen los niños de la importancia de estas normas. En concreto, se trata de responder a interrogantes como los que siguen: ¿distinguen los niños las normas convencionales de las normas lógicas?, ¿cuál es la contribución de estas normas al desarrollo del conocimiento del conteo?, ¿cómo y cuándo dejan de ejercer su influencia las normas convencionales? (Briars y Siegler, 1984; LeFevre et al., 2006; Kamawar et al., 2010; Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero, en prensa). Responder a estas preguntas constituye un verdadero reto para los investigadores. Si bien es cierto que el papel que desempeñan ambos tipos de normas a la hora de contar es claramente distinto, dado que las normas convencionales son opcionales y modificables mientras las normas lógicas son obligatorias y no modificables, la operativización de las normas convencionales comporta una serie de dificultades adicionales. Por una lado, probablemente son más numerosas que las lógicas (ligadas a los principios del conteo) y, por otro, pueden pasar fácilmente desapercibidas, como se pone de relieve en que la mayoría de las investigaciones solo han analizado exhaustivamente las normas lógicas. Para sortear estas dificultades, los investigadores han recurrido al paradigma de detección. Este paradigma resulta especialmente útil para estudiar la comprensión que tienen los niños sobre las diferentes normas del conteo porque no solo los libera de las demandas de ejecución, sino que permite a los investigadores manipular libremente las situaciones de conteo. En este sentido, aparte de los errores y aciertos habituales, se han incorporado nuevos tipos de ensayos que respetan las reglas lógicas pero no las convencionales, los denominados pseudoerrores. En estos ensayos se respetan las normas lógicas pero no las convencionales, de ahí que el conteo sea correcto pero no convencional. Por ejemplo, si la marioneta cuenta correctamente todos los elementos de una hilera de modo no consecutivo está contraviniendo la regla convencional de adyacencia (los elementos deben contarse consecutivamente, sin saltos ni retrocesos), pero cumple las reglas lógicas (ver Tabla 2).

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Tabla 1. Pseudoerrores empleados en los distintos estudios Pseudoerror

Estudios en los que ha sido presentados

Comenzar a contar por la mitad de la hilera

Briars y Siegler (1984); Frye, Braisby, Lowe, Maroudas y Nicholls (1989); Gelman y Meck (1983, 1986); Kamawar et al. (2010); LeFevre et al. (2006)

Contar colores alternos

Gelman y Meck (1983); Briars y Siegler (1984); Kamawar et al. (2010); LeFevre et al. (2006); Geary, Bow-Thomas y Yao (1992); Geary, Hamson y Hoard (2000); Geary, Hoard, Byrd-Craven y DeSoto (2004); Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Contar de derecha a izquierda

Briars y Siegler (1984); Geary, Hamson y Hoard (2000); Geary, Hoard, ByrdCraven y DeSoto, (2004); Kamawar et al. (2010); LeFevre et al. (2006)

Comenzar a contar por cualquier elemento

Frye, Braisby, Lowe, Maroudas y Nicholls (1989)

Doble etiquetamiento y señalamiento

Briars y Siegler (1984); Kamawar et al. (2010); LeFevre et al. (2006); Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)*

Omitir un elemento central de la hilera y contarlo en último lugar

Gelman y Meck (1986); Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Contar con etiquetas no estándar

Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian, (1989)

Falso error de etiquetado

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Contar en alto sólo los pares

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Contar hacia atrás

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Conteo silente de algunos elementos

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Falso error de correspondencia

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

Falso error de correspondencia

Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa)

* En este trabajo se realizó un triple etiquetamiento y señalamiento

Las investigaciones han empleado trece tipos diferentes de pseudoerrores (ver Tablas 1 y 2), aunque ninguna investigación ha utilizado todos por el momento. Los resultados no han sido coincidentes, sobresaliendo especialmente la discrepancia de los datos obtenidos por Gelman y Meck (1983) y por Briars y Siegler (1984), debido a que se ha convertido en fuente de inspiración para los trabajos que se han realizado en los últimos años. Dejando a un lado que este desacuerdo se ha utilizado para alimentar la polémica anteriormente citada “principios antes vs. principios después”, Gelman y Meck (1983) registraron porcentajes de éxito del 96% en niños de 3 y 4 años frente al 65%, 35% y 47% de Briars y Siegler (1984) en niños de 3, 4 y 5 años, en los pseudoerrores de comenzar a contar por la mitad de la hilera y contar colores de forma alterna. Los resultados de los trabajos posteriores no han permitido dirimir por el momento esta falta de acuerdo, ya que han ratificado y ampliado los datos ya conocidos. Por ejemplo, Gelman y Meck (1986) encontraron de nuevo un porcentaje de éxito del 90% y 93% en niños de 4 y 5 años respectivamente. Sin embargo, otros autores encontraron porcentajes similares a los de Briars y Siegler (1984). Por ejemplo, Frye et al. (1989) hallaron que tenían éxito el 52.5% de los niños de 4 años, y LeFevre et al. (2006) y Kamawar et al. (2010) encontraron un porcentaje de éxito similar en niños de 5-6 años (53.5% y el 50.4% de los niños, respectivamente en uno y otro estudio). Una de las consecuencias directas de la falta de éxito hallada en los niños pequeños, como acabamos de señalar, es que se extendió el rango de edad de los participantes. Los datos indican que ni siquiera los niños de primaria alcanzan los niveles de rendimiento indicados por Gelman y Meck (1983, 1986). Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •47•

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Los trabajos de Geary y colaboradores (Geary, Bow-Thomas y Yao, 1992; Geary, Hamson y Hoard, 2000; Geary, Hoard, Byrd-Craven y DeSoto, 2004) arrojan porcentajes del 89% en niños de 7-8 años y del 89% a los 10-11 años, siendo ligeramente menor en el trabajo de Kamawar et al. (2010) (el 70% de los niños de 10 años). Los datos de Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa) también están más próximos a los de Briars y Siegler (1984) porque los niños (de Educación Infantil hasta 2º de Educación Primaria) se volvían progresivamente más capaces de aceptar los conteos no convencionales, mostrando un patrón evolutivo rectilíneo que difería del patrón en forma de U sugerido por LeFevre et al (2006) y Kamawar et al. (2010). No obstante, en los ensayos directamente comparables, como el de doble etiquetamiento y señalamiento, nuestros datos concordaban con los de LeFevre et al. (2006) (23% vs. 25% de los ensayos correctos, respectivamente). Aunque todo esto pueda arrojar dudas sobre la extensa y profunda comprensión del conteo que normalmente se atribuye a los niños de corta edad, conviene tener presente que los resultados de las investigaciones sobre el conocimiento de las reglas lógicas son, en general, elevados y coincidentes. De hecho, los datos de Gelman y Meck (1983) no muestran discrepancias con los de Briars y Siegler (1984). En concreto, más del 70% de los niños de 3 a 5 años detectaban en ambas investigaciones los errores relativos al principio de correspondencia uno-a-uno. Asimismo, Gelman y Meck (1983) hallaron que alrededor del 90% de los niños de estas mismas edades detectaban los errores que incumplían los principios de orden estable y cardinalidad. Finalmente, el rendimiento de los niños pequeños llega a ser tan elevado en los errores relativos a los principios procesuales del conteo que LeFevre et al. (2006) y Kamawar et al. (2010) no encuentran diferencias significativas entre el rendimiento de los niños de 5 a 10 años (más del 80% de los niños detectaban correctamente los errores).

Tabla 2. Pseudoerrores sin cardinal (1 al 4) y con cardinal (5 al 9) presentados por Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa) Pseudoerror

Conocimiento del conteo

1: Falso error de omisión

Violación de la norma convencional de adyacencia (Espacial: un elemento se cuenta de modo no consecutivo al final)

2: Falso triple señalamiento y etiquetamiento

Violación de la norma convencional de adyacencia (Espacial y temporal: reiteración de un elemento lo que provoca alteraciones en la adyacencia espacial y temporal)

3: Falso error de etiquetado

Violación de la norma convencional de adyacencia (Espacial y temporal: contar un elemento no consecutivamente, con un numeral no consecutivo)

4: Contar en alto sólo los pares

Violación de la norma convencional de adyacencia (Temporal: decir numerales de modo no consecutivo)

5: Contar hacia atrás

Violación de la regla del último numeral y de la secuencia ascendente de numerales (Indicar como cardinal el primer numeral: contar hacia atrás y no repetir el último numeral de la secuencia de conteo)

6: Conteo silente de algunos elementos

Violación de la regla del último numeral (Indicar como cardinal un numeral mayor que el último verbalizado al contar: no repetir el último numeral de la secuencia de conteo)

7: Contar elementos alternos

Violación de la regla convencional de adyacencia (Espacial: contar separadamente los dos tipos de elementos de la hilera, realizando saltos para ello)

8: Falso error de correspondencia

Violación de la regla convencional de adyacencia ( Espacial : realizar saltos hacia delante y hacia atrás para emparejar la cabeza y el cuerpo de los ositos de peluche)

9: Contar de extremo a extremo de la hilera

Violación de la dirección izquierda a derecha (Los elementos se cuentan de izquierda a derecha y al revés)

Nota: se presentaron hileras que contenían entre 7 y 13 elementos.

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Tabla 3. Ejemplos de ensayos de los errores de abstracción e irrelevancia del orden, presentados por Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa) Error Error de abstracción

Error de irrelevancia del orden

Descripción del ensayo El personaje contaba una hilera de 13 manzanas, 5 mordidas y 8 enteras que estaban intercaladas a lo largo de la hiera. Comenzaba a contar las 5 mordidas (1, 2,…, 5) y después contaba las 8 manzanas enteras (1, 2,…, 8) y concluía indicando “Hay 8”. El personaje contaba una hilera de 12 flores, 11 rojas y 1 azul en la novena posición. En primer lugar contaba correctamente y terminaba indicando “Hay 12” Entonces recibía la siguiente instrucción: “Y ahora, ¿Qué pasaría si empiezas a contar por la flor azul?” El personaje contaba los 4 elementos que faltaban hasta el final de la hilera y respondía “Hay 4”.

Sin embargo, no puede decirse lo mismo con respecto a los errores que incumplen los principios de abstracción e irrelevancia del orden. En primer lugar, porque apenas existe información, ya que los autores se han centrado en su utilidad como pseudoerrores. Y, en segundo lugar, porque los escasos datos recogidos en este sentido indican que la capacidad de los niños para detectar este tipo de errores no es siempre significativamente mejor que la capacidad para detectarlos cuando aparecen como pseudoerrores. Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa) presentaron pseudoerrores con cardinal, pseudoerrores sin cardinal (ver Tabla 2) y errores de abstracción e irrelevancia del orden (ver Tabla 3) mediante un software (La casita de los números, ver Figura 2) en el que cuatro personajes ejecutaban los diferentes ensayos. Este procedimiento y la petición de justificaciones de las respuestas supusieron importantes diferencias con respecto a los estudios anteriores. Entre otras cosas, los resultados mostraron que aun cuando el porcentaje global de ensayos correctamente detectados fue superior en el caso de los errores (74.3 vs. 37.2% en los errores y pseudoerrores, respectivamente), como se había hallado previamente en otros estudios (82 vs. 43% en el trabajo de LeFevre et al., 2006 y 85 vs. 45% en el de Kamawar et al., 2010), la ejecución a la hora de detectar los errores de irrelevancia del orden y los pseudoerrores con cardinal no difería.

Figura 2. Screen shot del programa tomado cuando Eli está realizando el pseudoerror 3 Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •49•

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En este mismo estudio, las justificaciones dadas por los niños no sólo permitieron evitar falsos positivos, sino que posibilitaron la identificación de las reglas convencionales, que solas o junto a normas lógicas, subyacían a los juicios de los niños. Así pudimos establecer cinco grandes categorías, que además de corroborar la importancia de las normas convencionales ya destacadas por otros autores (como la regla de adyacencia descrita originalmente por Briars y Siegler ,1984), las matizaron (adyacencia temporal, espacial-temporal) e incorporaron otras nuevas. En concreto, son las siguientes: (a) adyacencia espacial, en la que los niños hacían alusiones claras al hecho de que el personaje no había contado los elementos de la hilera consecutivamente, (b) adyacencia temporal en la que mencionaban exclusivamente que los numerales emitidos durante el conteo no eran consecutivos, (c) adyacencia espacial-temporal en la que hacían mención explícita a ambos tipos de adyacencia; (d) dirección izquierda-a-derecha en la que se referían a la obligatoriedad de contar siempre comenzando por el extremo izquierdo y continuar hasta el derecho, y (e) emitir los numerales en orden ascendente en la que especificaban que no se podía contar hacia atrás. Contrariamente a lo que esperábamos, los niños apenas hicieron alusión a la regla convencional del último numeral, de hecho, el Pseudoerror 5 lo rechazaban porque contravenía la norma de emitir los numerales en orden ascendente y el Pseudoerror 6 porque violaba la regla de adyacencia temporal-espacial (ver Tabla 2). En definitiva, este estudio puso de relieve que la comprensión de los aspectos esenciales (normas lógicas) y no esenciales (normas convencionales) del conteo son dos procesos independientes, debido a las diferentes funciones que desempeñan. Las normas lógicas forman parte de la estructura del conteo, son consustanciales al mismo, mientras que las normas convencionales desempeñan una mera función de “apoyo” que simplifica el proceso de contar. Además, la naturaleza de estas últimas es distinta porque mientras que algunas se vuelven innecesarias con el paso del tiempo (p.e., contar de izquierda a derecha), otras se van incorporando (p.e., la secuencia de numerales es una convención) e incluso otras se vuelven más flexibles (p.e., la adyacencia siempre ayuda a evitar que omitamos elementos de una hilera, especialmente si es muy numerosa). Rodríguez, Lago, Enesco y Guerrero (en prensa) concluyen que existen numerosas normas convencionales y las que conocemos por el momento representan sólo una pequeña parte de las que verdaderamente dirigen las ejecuciones de los niños. De ahí que propongan la conveniencia de ampliar el rango de pseudoerrores estudiados.

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¿Hay algo más que contar sobre las habilidades numéricas de los bebés y los niños? María Oliva Lago Marcos, Purificación Rodríguez Marcos, Ana Escudero Montero y Cristina Dopico Crespo LeFevre, J., Smith-Chant, B., Fast, L., Skwarchuk, S., Sargla, E., Arnup, J., Penner-Wilger, M. Bisanz, J. y Kamawar, D. (2006). What counts as knowing? The development of conceptual and procedural knowledge of counting from kindergarten through Grade 2. Journal of Experimental Child Psychology, 93, 285-303. Lipton, J.S. y Spelke, E. (2003). Origins of number sense: large number discrimination in human infants. Psychological Science, 14, 396-401. McCrink, K. y Wynn, K. (2004). Large-number addition and subtraction by 9-month-old infants. Psychological Science, 15, 776-781. McCrink, K. y Wynn, K. (2007). Ratio Abstraction by 6-month-old infants. Psychological Science, 8, 740-745. McCrink, K. y Wynn, K. (2009). Operational momentum in large-number addition and subtraction by 9-montholds. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 400-408. McCrink, K. Dehaene, S. y Dehaene-Lambertz, G. (2007). Moving along the number line: Operational momentum in nonsimbolyc arithmetic. Perception and Psychophysics, 69, 1324-1333. Mix, K., Huttenlocher, J. y Levine, S. (1996). Do preschool children recognize auditory-visual numerical correspondences? Child Development, 67, 1592-1608. Mix, K., Huttenlocher, J. y Levine, S. (2002). Multiple cues for quantification in infancy: Is number one of them? Psychological Bulletin, 128, 278-294. Mix, K.S., Sandhofer, C.M., y Baroody, A.J. (2005). Number words and number concepts: The interplay of verbal and nonverbal processes in early quantitative development. En R. V. Kail (Ed.) Advances in Child Development and Behavior, 33 (pp. 305-346). NY: Elsevier. Moore, D. y Cocas, L. (2006). Perception precedes computation: Can familiarity preferences explain apparent calculation by human babies? Developmental Psychology, 42, 666-678. Piaget, J. y Szeminska, A. (1941). La génèse du nombre chez l´enfant. Neuchâtel: Delachaux-Niestlé. Piazza, M., Izard, V., Pinel, P., Le Bihan, D. y Dehaene, S. (2004). Turning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus. Neuron, 44, 547-555. Rodríguez, P., Lago, M.O., Caballero, S., Dopico, C., Jiménez, L. y Solbes, I. (2008). El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo. Anales de Psicología, 24, 240-252. Rodríguez, P., Lago, M.O., Enesco, I. y Guerrero, S. (en prensa). Children’s understanding of counting: Kindergarten and primary school children’s detection of errors and pseudoerrors. Journal of Experimental Child Psychology, DOI 10.1016/j.jecp.2012.08.005 Rodríguez, P., Lago, M.O. y Jiménez, L. (2003). El bebé y los números. En I. Enesco (coord.), El desarrollo del bebé. Cognición, emoción y afectividad (pp. 147- 170). Madrid: Alianza Editorial. Sarama, J. y Clements , D. (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children. Londres: Routledge. Saxe, G., Becker, J., Sadeghpour, M., y Sicilian, S. (1989). Developmental differences in children’s understanding of number word conventions. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 468-488. Siegler, R. (1991). In young children’s counting, procedures precede principles. Educational Psychology Review, 3, 127-135. Siegler, R., DeLoache, J. y Eisenberg, N. (2011). How children develop (third edition). NY: Worth Publishers. Siegler, R.S. y Jenkins, E. (1989). How children discover new strategies. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Sophian, C. (1998). A developmental perspective on children’s counting. En C. Donlan (Ed.), The development of mathematical skills (pp. 27-46). Hove: Psychology Press. Sophian, C. (1997). Beyond competence: The significance of performance for conceptual development. Cognitive Development, 12, 281–303. Sophian, C. (2004). Children’s ways of knowing: Lessons from cognitive development research. En J. Copley (Ed.), Mathematics in the early years (pp. 11-20). Washington, DC: NCTM/ NAEYC. Sophian, C. (2008). Rethinking the starting point for mathematics learning. En O. N. Saracho y B. Spodek (Eds.), Contemporary perspectives on mathematics in early childhood education (pp. 21-44). Charlotte, NC: Information Age Publishing. vanMarle, K. y Wynn, K. (2006). Six-month-old infants use analog magnitudes to represent duration. Developmental Science, 9, F41-F49 vanMarle, K. y Wynn, K. (2009). Infants´ auditory enumeration: Evidence for analog magnitudes in the small number range. Cognition, 111, 302-316. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 38-53. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •52•

¿Hay algo más que contar sobre las habilidades numéricas de los bebés y los niños? María Oliva Lago Marcos, Purificación Rodríguez Marcos, Ana Escudero Montero y Cristina Dopico Crespo Vilette (2002). Do young children grasp the inverse relationship between addition and subtraction? Evidence against early arithmetic. Cognitive Development, 17, 1365-1383. Wakeley, A. Rivera, S. y Langer, J. (2000). Can young infants add and subtract? Child Development, 71, 1525-1533. Wood, J. y Spelke, E. (2005). Infants’ enumeration of actions: numerical discrimination and its signature limits. Developmental Science, 8, 173-181. Wynn, K. (1992). Addition and subtraction by human infants. Nature, 358, 749-750. Xu, F. y Spelke, E. (2000). Large number discrimination in 6-month-old infants. Cognition, 74, B1-B11. Xu, F., Spelke, E. y Goddard, S. (2005). Number sense in human infants. Developmental Science, 8, 88-101.

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Educación Matemática en la Infancia

Competencia matemática en niños de 4 años María Salgado Somoza y Mª Jesús Salinas Portugal Universidad de Santiago de Compostela, mariasalgadosomoza@hotmail.com y mjesus.salinas@usc.es Fecha de recepción: 30-12-2011 Fecha de aceptación: 30-2-2012 Fecha de publicación: 3-09-2012

RESUMEN En el marco curricular de la LOE, se destaca la importancia de la competencia matemática en todas las etapas educativas. A diario en todas las aulas, y en concreto en las de Educación Infantil, se tratan aspectos relacionados con ”las matemáticas”; los docentes deben saber cómo aprenden y piensan los niños y qué necesitan, sienten y valoran, para que las matemáticas resulten motivadoras y fáciles, y no sean utilizadas de forma mecánica y sin pensar. Para poder evaluar su aprendizaje, en ocasiones debido a las características propias de la edad, esta evaluación resulta laboriosa y difícil de realizar; es por ello que el conocimiento de los maestros de cómo aprenden matemáticas los niños y por qué no las aprenden cobra especial importancia para una correcta evaluación. Además, en la actualidad existen instrumentos de evaluación de competencia matemática, que aportan información relevante de un alumno/a sobre sus conocimientos, habilidades y destrezas; uno de ellos es el Test de Competencia Matemática Básica (TEMA-3). En este estudio se realizó el test a un grupo de alumnos de 4 años y se analizaron y describieron posteriormente los resultados. Palabras clave: Competencia Matemática, Educación Infantil, Evaluación.

Mathematical literacy in 4 year old children ABSTRACT As part of the LOE curriculum, emphasizes the importance of mathematical literacy in all educational stages. Every day in every classroom, specifically in the Education of Young Children, discussed issues related to "mathematics" teachers must know how children learn and think and what they need, feel and value, that is motivating mathematics and easy, and not be used mechanically and without thinking. In order to assess their learning, sometimes due to the characteristics of age, this evaluation is laborious and difficult to do, which is why the teachers' knowledge of how children learn mathematics and why not learn them is particularly important for proper evaluation. In addition, there are now tools of mathematical literacy assessment, which provide information relevant to a student about his / her knowledge, skills and abilities, one of which is the Basic Mathematics Competency Test (TEMA-3). This study was conducted to test a group of students from 4 years and then analyse and describe the results. Key words: Mathematical Literacy, Early Childhood Education, Assessment.

Salgado, M., y Salinas, M.J. (2012). Competencia matemática en niños de 4 años. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 54-62. •54•

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1. Introducción Una competencia matemática alta conlleva que el sujeto tenga una comprensión profunda basada en conocimiento de conceptos y destrezas matemáticas básicas (Castro, 2006); dicha competencia se construye desde edades tempranas, por ello una correcta intervención en la etapa de educación infantil en el proceso de enseñanza-aprendizaje es importante para evitar errores que puedan persistir en la edad adulta (Salinas, 2003). Los docentes son quienes tienen la tarea de evaluar la adquisición de “competencia matemática” en el sistema educativo, y en particular en Educación Infantil, debido a características propias de la edad de los niños/as, esta evaluación resulta laboriosa y difícil de realizar. En la actualidad un instrumento (Núñez del Río y otros, 2010) diseñado para evaluar el desarrollo del pensamiento matemático temprano, es el Test de Competencia Matemática Básica (TEMA-3), “idóneo para valorar el nivel de competencia matemática básica de los alumnos” (Núñez del Río y Lozano, 2009: 155). En este estudio se analiza la competencia matemática básica de un grupo de alumnos/as de 4 años a través del Test de Competencia Matemática Básica.

2. Competencia matemática La matemática “no es simplemente un conjunto de conceptos y procedimientos aislados a ser memorizados a través de una práctica repetida. La matemática implica el conocimiento de un conjunto de información estructurada llena de relaciones” (Baroody, 2002, p. 371). Los actuales currículos hacen referencia a competencias básicas, y en particular a competencia matemática. Esta competencia “no equivale a conocimiento matemático” (Goñi, 2008: 82). Competencia matemática alude (Rico y Lupiáñez, 2010: 22) “a los modos en los que los escolares actúan cuando hacen matemáticas y cuando se enfrentan a problemas” y se va formando (Castro, 2006: 121) “desde edades tempranas ya que las capacidades matemáticas de los sujetos tienen una génesis”, que está en el comienzo de las personas, y sigue un desarrollo a niveles más complejos paralelo al desarrollo cognitivo del individuo. El proyecto PISA (Rico y Lupiáñez, 2010) caracteriza esta competencia matemática por 8 competencias específicas, que son: pensar y razonar, argumentar y justificar, comunicar, modelizar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar lenguaje simbólico, formal y técnico, las operaciones, y emplear herramientas y soportes tecnológicos. En la Comunidad Autónoma de Galicia, el currículo de Educación Infantil, señala que competencia matemática implica el conocimiento y uso de elementos matemáticos básicos, en situaciones reales o simuladas de la vida real, y la puesta en práctica de procesos de razonamiento que lleven a la resolución de los problemas o a la obtención de la información.

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3. Enseñanza y aprendizaje Según Hughes (1987) la mayoría de los niños poseen una gran gama de capacidades matemáticas cuando empiezan su escolaridad. Sin embargo para muchos niños y niñas las matemáticas escolares son difíciles y confusas. Por ello resulta necesario reflexionar en la necesidad de un nuevo modo de aprender, en el que no se limiten a aprender nociones matemáticas básicas, sino que también sepan aplicarlas a la solución de problemas prácticos (Salgado y Salinas, 2009). Los currículos actuales de infantil presentan en el Área de Conocimiento del Contorno un bloque de contenidos relacionados con conocimiento matemático, entre los que se encuentran: estimación de cantidades y medidas, construcción de nociones geométricas y topológicas y relaciones (ordenación, correspondencia y clasificación). Dichos contenidos están presentes diariamente en el aula, y profesores y profesoras intentan que sus alumnos/as los adquieran empleando diferentes metodologías y contextos, los cuales deberían tener sentido para el niño (Salinas y Fernández, 2006) para avanzar en su aprendizaje y llegar a comprenderlos. En estos contextos, la utilización de material manipulativo (Castro, 2006) juega un papel importante que favorece la construcción de conocimientos matemáticos. Aun cuando nuestro currículo centra la enseñanza de la expresión matemática en la interacción y relaciones que se establecen con objetos y personas, la realidad es otra. En la mayoría de las aulas de Educación Infantil (Salgado y Salinas, 2009), las interacciones y relaciones no son la base en la construcción de conocimientos, sino que son posteriores, primero se muestran contenidos, a continuación se repiten y memorizan aspectos socialmente valorados y posteriormente, se interacciona y establecen relaciones. Los errores en la comprensión del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en infantil, según Ortiz (2009) basándose en estudios de Labinowicz son, el énfasis en las representaciones gráficas y el simbolismo abstracto, relacionados por reglas memorizadas; y la desvinculación de las matemáticas formales de la vida real infantil, ignorando el conocimiento intuitivo matemático desarrollado de manera informal que poseen los niños. Identificar las características del conocimiento informal es útil para que los maestros puedan llevar a cabo un proceso de enseñanza-aprendizaje significativo (Ortiz, 2009), al interrelacionar conceptos y habilidades informales con las formales. El punto de partida en la enseñanza de las matemáticas “es tener claro que lo que el niño necesita son oportunidades para aprender y descubrir aspectos matemáticos de la realidad por si mismo” (Alsina y otros, 2008: 15) y el fin debe ser enseñar a pensar.

4. Diseño de la investigación El objetivo de este estudio es, identificar características de la competencia matemática básica en un grupo de alumnos de 4 años. Estas se van a realizar a través de los resultados que subyacen del Test de Competencia Matemática Básica (TEMA-3), en sus aspectos formales e informales. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 54-62. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •56•

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La muestra está formada por 20 niños/as de un colegio público de educación infantil y primaria de la comarca de Santiago de Compostela. De esta muestra 11 son niñas y 9 son niños, 11 de ellos se escolarizaron por primera vez el curso anterior y los 9 restantes acudieron a guardería antes de su escolarización en el colegio; todos estuvieron en el curso anterior en el mismo colegio, mismo grupoaula y con la misma tutora. Lo vemos en la Tabla 1.

Niños Niñas Total

SÍ 5 4 9

GUARDERÍA NO TOTAL 4 9 7 11 11 20

SÍ 9 11 20

COLEGIO (3 años) NO TOTAL 0 9 0 11 0 20

Tabla 1. Descripción de la muestra Esta investigación se inicia con la realización individual del TEMA-3 a todos los alumnos/as, este contiene distintas pruebas, cada una de ellas asociada a diferentes aspectos de la “competencia matemática”. A continuación se analizaron y describieron cuantitativamente y cualitativamente los resultados. Estos resultados fueron codificados y clasificados.

5. Test de competencia matemática básica, TEMA-3 El TEMA-3 (Núñez del Río y Lozano, 2007: 21) es “un test normativo, fiable y válido, de la habilidad matemática infantil”. Se compone de 72 ítems repartidos del siguiente modo, 41 valoran aspectos informales y 31 aspectos formales. Dentro de los aspectos informales y formales se evalúan cuatro componentes. Las componentes informales hacen referencia a numeración, comparación, cálculo y conceptos; y las formales a convencionalismos, hechos numéricos, cálculo y conceptos. Este test va dirigido a alumnos entre los 3 años y 0 meses y los 8 años y 11 meses. Se establecen unos ítems de inicio “en principio” atendiendo a la edad del sujeto evaluado, exceptuando casos de alumnos cuyo suelo sea inferior al correspondiente a su edad. Para la edad de 4 años el ítem de inicio que se establece en el test es el 6. El test se le realizó a los alumnos/as individualmente en el aula, respetando ritmos individuales y en el tiempo medio de aplicación que se establece en el manual (entre 25 y 30 minutos) durante el mes de diciembre del año 2010. La evaluadora es la maestra-tutora del grupo al mismo tiempo que es la persona que realiza este estudio.

6. Análisis de resultados Los resultados de cada ítem del TEMA-3 fueron recogidos en la hoja de registro individual de cada alumno/a. Todas las respuestas fueron evaluadas cualitativamente siguiendo los criterios de corrección establecidos en el manual del test. Las respuestas de los ítems se categorizan del siguiente modo:

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0: respuesta incorrecta. 1: respuesta correcta.

Todas las entrevistas fueron recogidas en vídeo y algunos resultados por escrito por la investigadora. En la siguiente tabla se recogen los resultados de todos los alumnos/as en cada uno de los elementos del TEMA3.

ALUMNOS/AS

PUNTUACIÓN DIRECTA (P.D.)

ICM

Aa1 Aa2 Aa3 Ao4G Ao5 Aa6G Aa7 Ao8G Ao9 Ao10 Ao11G Aa12 Aa13 Ao14G Aa15G Aa16 Aa17G Aa18G Ao19G Ao20

16 18 13 21 14 23 33 10 11 27 21 22 22 12 19 12 15 16 26 8

106 104 92 111 111 145 140 73 100 133 111 111 141 104 113 104 103 106 123 86

ELEMENTOS DEL TEMA-3 PENSAMIENTO INFORMAL PENSAMIENTO FORMAL Nº DE RESPUESTAS CORRECTAS Nº DE RESPUESTAS CORRECTAS 1 2 3 4 1 2 3 4 NUM. COMP. CÁLC. CONC. CONVE. H.NUM CÁLC. CONC. 8 1 2 2 2 0 0 1 9 2 2 2 2 0 0 1 8 1 0 1 2 0 0 1 10 3 3 2 2 0 0 1 8 1 1 1 2 0 0 1 12 3 3 1 3 0 0 1 13 4 4 3 5 1 0 1 7 1 1 1 0 0 0 0 7 2 0 0 1 0 0 1 14 3 4 2 3 0 0 1 11 1 3 2 3 0 0 1 14 4 0 1 2 0 0 1 11 3 4 2 2 0 0 1 8 0 0 0 2 0 0 1 12 2 1 1 2 0 0 1 7 1 0 2 1 0 0 1 9 2 2 1 0 0 0 1 10 1 1 2 2 0 0 0 14 3 3 2 3 0 0 1 5 1 1 0 1 0 0 0

Tabla 2. Resultados individuales de cada alumno del TEMA-3 El código utilizado para los alumnos/as es el siguiente: se conserva el orden alfabético de aula, AoG (alumno que estuvo escolarizado en guardería), AaG (alumna que estuvo escolarizada en guardería), Ao (alumno que no estuvo escolarizado en guardería), Aa (alumna que no estuvo escolarizada en guardería). En base a las respuestas individuales de cada alumno/a que se describen en la Tabla 2, destacar que hay muchos niños/as (10 en total) que poseen el techo por encima de lo esperado de acuerdo a su edad, 7 alumnos tienen el suelo por debajo del punto de inicio que se establece para 4 años y solamente uno coincide su suelo con el punto de inicio de 3 años. En la edad de 4 años, hay un mayor número de ítems en relación al pensamiento informal frente al pensamiento formal. Los ítems correspondientes con la edad a evaluar, son realizados satisfactoriamente por la mayoría de los alumnos/as. Los relacionados con aspectos formales son resueltos por casi todos los niños/as, sin que conlleve a grandes dificultades; la no realización correcta de ítems formales no implica la no realización de ítems relacionados con aspectos informales, por el contrario, la totalidad de los alumnos/as responden Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 54-62. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •58•

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correctamente casi todos los ítems relacionados con el pensamiento informal de la edad de 4 años, aunque no lo hiciesen con respecto a ítems formales. Si analizamos más detalladamente los elementos del pensamiento informal los resultados son: -

Relacionados con el componente de numeración que evalúa el nivel de conteo. De los 23 ítems que evalúan este componente, el 80% responde correctamente 8 o más ítems. Relacionados con el componente de comparación que implica el conocimiento de “orden” de los números, es decir, el reconocimiento hacia donde crecen y decrecen. De los 6 ítems relacionados con este componente, el 55% del alumnado responde correctamente 2 o más ítems. Relacionados con el cálculo que se refiere al manejo de los números en situaciones sencillas que implican la realización de las operaciones de sumar y restar. De los 8 ítems de este elemento, el 50 % responde correctamente 2 o más ítems. Relacionados con los conceptos que evalúa la construcción y comprensión de la regla cardinal. De los 4 ítems de este componente, el 50% responde correctamente 2 o más ítems.

Con respecto al pensamiento formal, la descripción de los resultados es: -

Relacionados con convencionalismos que valoran la capacidad de leer, escribir y representar los números. De los 8 ítems de este elemento, el 75% de la muestra respondió correctamente a 2 o más ítems. Relacionados con hechos numéricos que evalúan el resultado de operaciones de suma, resta y multiplicación. En este componente se evalúan 9 ítems que aparecen ubicados para la realización a partir de 7 años. En la muestra no hay ningún alumno/a de 7 años, aun así hay una alumna que responde correctamente un ítem. Relacionados con cálculo que evalúa la realización de sumas y restas. Estas incluyen las “llevadas” y poseen una cierta dificultad. En el test se establecen 9 ítems para aplicar a partir de los 7 años de edad. No hubo ningún alumno/a de la muestra que realizase correctamente algún ítem relacionado con este elemento. Relacionados con el componente de concepto que evalúa el sistema numérico decimal. De los 5 ítems que evalúan este componente un 85% del alumnado responde correctamente 1 ítem, señalar que solo hay 1 ítem en la etapa de 3 años y 0 meses a 7 años y 6 meses.

La siguiente tabla recoge la cuantificación del índice de competencia matemática. ÍNDICE DE COMPETENCIA MATEMÁTICA (ICM)

Nº ALUMNOS/AS

MUY POBRE <70

POBRE 70-79

POR DEBAJO DE LA MEDIA 80-89

MEDIO 90-110

POR ENCIMA DE LA MEDIA 111-120

SUPERIOR 121-130

MUY SUPERIOR >130

TOTAL Nº ALUMNOS/AS

Tabla 3. Resultados del índice de competencia matemática Analizando la Tabla 3, los resultados indican que el 40% de los alumnos/as se ubican en la media, lo que significa que poseen niveles adecuados a su edad en las matemáticas, tanto en aspectos informales como formales. Un 25% se ubica por encima de la media ligeramente superior a lo esperado, un 5% del alumnado en un nivel superior, demostrando competencias superiores a las esperadas y un 20% en un nivel muy superior, lo que implica una base sólida en matemáticas informales necesarias para aprendizajes con éxito de las matemáticas escolares. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 54-62. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •59•

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Por debajo de la media se encuentra un 10% de la población evaluada, un 5% se ubica por debajo de la media y otro 5% en un nivel pobre. Este hecho evidencia que son muy pocos los alumnos/as del grupo-aula que presentan dificultades en el desarrollo de su pensamiento matemático, que no cuentan con habilidades matemáticas necesarias para resolver problemas o situaciones reales de forma informal relacionadas con números, comparaciones, cálculos o conceptos. Y que no presentan un conocimiento formal matemático esperado a su edad. La tabla 4 recoge la cuantificación del ICM atendiendo a la variable del sexo.

ÍNDICE DE COMPETENCIA MATEMÁTICA (ICM)

Nº NIÑAS Nº NIÑOS

MUY POBRE <70

0 0

POBRE 70-79

POR DEBAJO DE LA MEDIA 80-89

MEDIO 90-110

POR ENCIMA DE LA MEDIA 111-120

SUPERIOR 121-130

MUY SUPERIOR >130

Nº TOTAL

0 1

6 2

2 3

0 1

3 1

11 9

Tabla 4. Resultados del ICM atendiendo a la variable del sexo En base a la Tabla 4, que relaciona los resultados de ICM con la variable sexo, se observan diferencias. Con respecto al alumnado femenino, un 54,81% de las niñas se ubicaron en la media, un 18,18% por encima de la media y un 27,27% en el descriptor muy superior, lo que demuestra una muy buena competencia matemática. Destacar que ninguna niña se sitúa por debajo de la media. Con respecto al alumnado masculino, se ubicó por todos los niveles de descripción menos muy pobre; desde un 11,11% pobre hasta un 11,11% muy superior, pasando por un 11,11% por debajo de la media, un 22,22% en un nivel medio, un 33,33% de los niños por encima de la media y un 11,11% en el descriptor superior. Esto indica que los procesos evaluados resultaron más accesibles al alumnado femenino del grupo-aula, mostrando tener un mayor desarrollo de competencia matemática frente al alumnado masculino del grupo. La Tabla 5 recoge la cuantificación del ICM atendiendo a la variable guardería. ÍNDICE DE COMPETENCIA MATEMÁTICA (ICM)

GUARDERÍA NO GUARDERÍA

MUY POBRE<70

POBRE 70-79

0 0

1 0

POR DEBAJO DE MEDIO POR ENCIMA DE LA SUPERIOR MUY Nº TOTAL LA MEDIA 80-89 90-110 MEDIA 111-120 121-130 SUPERIOR>130

0 1

5 3

3 2

1 0

1 3

11 9

Tabla 5. Resultados del ICM atendiendo a la variable guardería En cuanto a la variable guardería, que se recoge en la Tabla 5, se observa una distribución bastante homogénea de la población por los descriptores de la prueba, por lo que el haber ido o no a la guardería previamente al ingreso en el sistema educativo no es un determinante que favorezca el desarrollo de la competencia matemática.

7. Conclusiones Con el análisis de los resultados obtenidos después de la aplicación del TEMA-3, se puede determinar que la competencia matemática desarrollada por el grupo de alumnos supera las expectativas esperadas, reflejándose que en el Índice de Competencia Matemática, ICM, solo un 10% del alumnado Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 54-62. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •60•

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de la muestra está en un descriptor por debajo de la media y un 50% por encima de la media, ubicándose un 20% en niveles muy superiores. Señalar que para la resolución correcta de un mismo ítem, encontramos diversidad de estrategias utilizadas por los alumnos/as, lo que manifiesta la presencia de distintos niveles de desarrollo de estrategias cognitivas: separar a un lado, contar todo, representación, separar para, aparejar, enumeración mental... A pesar del tratamiento formal de la matemática en la sociedad y en los libros de texto en educación infantil (Salgado, 2008), una amplia mayoría de alumnos/as de la muestra poseen un desarrollo amplio y profundo del conocimiento informal, en el cual se apoyan futuros conocimientos formales. Teniendo en cuenta los resultados descritos a lo largo de este estudio y que en la Educación Infantil es dónde se fundamentan los primeros conocimientos matemáticos, que forman la base de conocimientos posteriores, se puede predecir el éxito de aprendizajes matemáticos en la mayoría del grupo de alumnos/as objeto de la muestra. El propósito de este estudio ha sido mostrar características de la competencia matemática en la edad de 4 años a través de los resultados descritos en el TEMA-3. Somos conscientes que las características descritas hacen referencia a una pequeña muestra, por lo que no se pueden generalizar a otro grupo de iguales. No obstante, este estudio puede ser un recurso para educadores que les ayude a comprender el aprendizaje matemático de los niños, aportando elementos que pueden ser un marco de referencia para la planificación de la enseñanza; además de que puede ser el punto de partida de un estudio más amplio que de respuesta a las siguientes preguntas en relación con los resultados obtenidos, por un lado si las buenas características del conocimiento matemático son fruto del azar y nivel evolutivo de los alumnos/as, por otro si son resultado de la influencia de una metodología.

Referencias Alsina, A., Aymerich, C. y Barba, C. (2008). Una visión actualizada de la Didáctica de la Matemática en Educación Infantil. UNO, 47, 10-19. Baroody, A. (2002). Incentivar a aprendizagem matemática das crianças. En B. Spodek (Org.), Manual de Investigação em Educação de Infância (pp. 330-390). Lisboa: Fundaçao Calouste Gulbenkian. Castro, E. (2006). Competencia matemática desde la infancia. Revista pensamiento educativo, 39(2), 119-135. Goñi, J.M. (2008). El desarrollo de la competencia matemática. Barcelona: Graó. Hughes, M. (1987). Los niños y los números. Barcelona: Paidea. Núñez del Río, M.C., Lozano, I. (2007). Test de Competencia Matemática Básica. Madrid: TEA ediciones, S.A. Núñez del Río, M.C., Lozano, I. (2009). Evaluación del progreso en competencia matemática básica. Estudio de casos a través del TEMA-3: Alumnos con y sin discapacidad psíquica. Indivisa, Boletín de Estudios e Investigación, Monografía XII, 139- 160. Núñez del Río, C., de Castro, C., del Pozo, A., Mendoza, C., Pastor, C. (2010). Inicio de una investigación sobre el desarrollo de competencias numéricas con niños de 4 años. En M.M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo y T.A. Sierra (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV (pp. 463- 474). Lleida: SEIEM. Ortiz, M.E. (2009). Competencia matemática en niños en edad preescolar. Psicogente, 12(22), 390-406. Disponible en: http://www.unisimonbolivar.edu.co/rdigital/psicogente/index.php/psicogente Rico, L., Lupiáñez, J.L. (2010). Objetivos y competencias en el aprendizaje de los números naturales. UNO, 54, 1430.

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Competencia matemática en niños de 4 años María Salgado Somoza y Mª Jesús Salinas Portugal Salgado, M. (2008). Evaluación del concepto de número en el currículo del 2º ciclo de Educación Infantil. Trabajo de investigación tutelado. Santiago de Compostela: Universidad de Santiago de Compostela. Salgado, M., Salinas, M.J. (2009). El número en los libros de texto de Educación Infantil. En M.J. González, M.T. González y J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp. 487- 497). Santander: SEIEM. Salinas, M.J. (2003). Competencia matemática al finalizar los estudios de magisterio. Explicación mediante un modelo causal. Tesis doctoral. Santiago de Compostela: Universidad de Santiago de Compostela. Salinas, M.J., Fernández, T. (2006). Errores sobre las matemáticas de los estudiantes de magisterio. Estudio del sistema de numeración decimal. En J. Díaz y M.P. Jiménez (Eds.), Perspectivas sobre a aprendizaxe das Ciencias e das Matemáticas. Estudos en Honor ao Profesor Eugenio García-Rodeja Fernández (pp. 233-245). Santiago de Compostela: Unidixital.

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Educación Matemática en la Infancia

Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años Elisa Molina Jiménez Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid, elisamolinajimenez@gmail.com Fecha de recepción: 13-11-2011 Fecha de aceptación: 13-01-2012 Fecha de publicación: 3-09-2012

RESUMEN Narración de una sesión de resolución de problemas aritméticos con niñas y niños de 4 y 5. El taller se inicia en la lectura de un cuento en que se basa el enunciado del problema. Después, pasamos al trabajo individual, en que los niños inventan estrategias de modelización, empleando materiales manipulativos. La puesta en común de soluciones y estrategias, compleja a estas edades, constituye la etapa final del taller. Mostramos cómo este tipo de actividad matemática, adecuada al desarrollo de los niños, prepara para el futuro aprendizaje que los pequeños harán de la aritmética en la Educación Primaria. Palabras clave: Educación Infantil, Matemáticas, Problemas Aritméticos Verbales, Materiales Manipulativos.

Narrative of an arithmetic problem-solving workshop with pre-kindergarten children ABSTRACT Narrative of a problem-solving workshop with children aged 4 and 5 years. The workshop starts reading a story on which the problem is based. Then we work individually inventing modeling strategies, using manipulatives. Sharing solutions and strategies, complex at this age, is the final stage of the workshop. We show how this type of mathematical activity is a developmentally appropriate practice for prekindergarten children, and promotes mathematization processes that develop basic math competences for preschool. Key words: Preschool, Mathematics, Arithmetic Word Problems, Manipulatives.

1. Un taller de resolución de problemas con niños de 4 años Los niños pequeños muestran habilidades a la hora de resolver problemas de su vida diaria relacionadas con las habilidades lógico-matemáticas, que nos dicen mucho sobre su forma de pensar y razonar. El espacio “taller” en el que realizamos los diferentes problemas es un lugar en el que los protagonistas reales son ellos, los niños. En este espacio tienen a su disposición diferentes materiales manipulativos con los que pueden expresar su razonamiento mental y explicarnos cómo han llegado a la solución. El objetivo principal de estos talleres es la resolución de problemas matemáticos con niños Molina, E. (2012). Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 63-79. •63•

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de 4-5 años, desde la base de que los que resuelven, eligen estrategias, seleccionan materiales… son ellos. El adulto que está en el aula con ellos no dirige la sesión ni la resolución del problema dado. Este tipo de talleres está basado en “Las matemáticas que hacen los niños. La enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo” (Carpenter, Fennema, Franke, Levi, y Empson, 1999). La curiosidad innata de los niños por resolver los problemas que ocurren en su vida cotidiana hace que ellos tengan estrategias suficientes para resolverlas. Sin embargo, “las matemáticas que hemos tratado de enseñar en la escuela han estado frecuentemente desconectadas del modo que tienen los niños de pensar los problemas y resolverlos en sus vidas diarias” (Carpenter y otros, 1999). Para este trabajo de investigación se han realizado problemas matemáticos que están al nivel de la evolución de los niños, usando como recurso cuentos de autor, es decir, a través de la literatura se han realizado problemas matemáticos. Sobra decir que, si bien, no todos los cuentos tienen cantidades numéricas para poder efectuar problemas matemáticos, usando algún elemento del cuento podremos plantear algún problema que sea interesante y motivador para los niños. Es importante la lectura del cuento varias veces antes de la sesión del taller. En primer lugar, el disfrute personal ante un cuento nuevo siempre es motivo de peso para que no se pierda la ocasión de leerles uno. Además, según lo van escuchando, van descubriendo aspectos nuevos que, con la emoción de la primera vez que se lee, no habían tenido presentes. Además, se recomienda que el mismo día de la sesión se lea nuevamente el cuento para que lo tengan como referente desde el problema que les vamos a plantear. El funcionamiento del taller lleva consigo varias fases que son: 1 Fase: Presentación del problema y aclaración de las normas de funcionamiento del taller Se presenta el problema y se recuerda a los niños que pueden resolverlo como quieran. Es recomendable que se expliquen todas las posibilidades que tienen señalando los materiales (los dedos, ábaco o rekenrek, cubitos o multilink, pizarra, dibujándolo en papel, con la banda numérica o la tabla 100). Es muy importante que los niños tengan claro que tendrán que dar una respuesta explicando cómo han llegado a ella. 2 Fase: Trabajo individual de los niños En esta fase se valora el trabajo individual de cada niño. Para eso usamos la hoja de registro de datos con los nombres de cada niño (Figura 1). Alumnos 1. Solución: 2. Solución: 3. Solución: 4. Solución: 5. Solución: 6. Solución: 7. Solución: 8. Solución:

Materiales

Descripción de la estrategia

Comentarios

Figura 1. Tabla de registro

Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •64•

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Es muy importante animar a los niños a utilizar materiales que sean “potenciadores de sus capacidades” especialmente en niños que tienden a resolver todo con el mismo material. Algo que deberíamos animar a hacer a los niños es a resolver el problema mediante dibujos, una vez hayan encontrado su solución por el procedimiento que sea. 3 Fase: Puesta en común dentro de cada grupo y puesta en común en general (si resulta oportuna) Esta fase puede ser algo complicada con niños de 4-5 años, dado que su evolución y destreza lingüística no es la misma que en 5-6 años. Es importante que tengamos en cuenta si los niños se expresan bien en la puesta en común, si se hace demasiado larga para ellos, si participan todos o solamente algunos… Una de las cosas más interesantes en este aspecto es que se seleccionen diferentes formas de llegar al mismo resultado para que, así, todos los niños vean que se puede llegar desde todos los materiales. Si los niños atienden a las explicaciones de sus compañeros, llegan a entender otras formas de pensar y nuevas estrategias para el siguiente taller. 4 Fase: Comunicación del resultado Esta fase se realiza de forma diferente en 4-5 que en 5-6 puesto que el trabajo de lectoescritura es distinto. Es interesante observar en 4-5 años cómo los niños intentan dar la respuesta solicitada: algunos hacen un dibujo intentando explicar lo que pasa en el problema y cuál es la solución; otros escribirán gráficamente la solución; otros niños se unirán para dar la solución en conjunto desempeñando diferentes roles entre ellos. A continuación, pasamos a la narración del desarrollo de una sesión del taller llevada a la práctica en el CEIP Virgen de Peña Sacra, en Manzanares el Real (Madrid) en la clase de 4 años-C. En este centro, ya se ha desarrollado anteriormente este tipo de trabajo con niños de 4-5 años (De Castro, Pastor, Pina, Rojas, y Escorial, 2009; Núñez del Río, De Castro, Del Pozo, Mendoza, y Pastor, 2010).

2. Narración del desarrollo de una sesión del taller En la clase de 4 años C, tras haber mirado bien el horario y definir con mayor precisión cuánto tiempo necesitamos para hacer el taller, se ha decidido que se va a emplear una duración aproximada de 45 minutos, pero siendo flexibles por si los niños necesitan más tiempo a la hora de plantear el problema, por si surgen dudas o por si nos extendemos más en la asamblea. Por todos estos motivos hemos elegido como día para realizar los talleres los jueves, ya que las dos primeras horas están con su tutora, Gema. El taller comenzará a las nueve de la mañana, que es cuando los niños entran en el colegio, y se dará por terminado cuando la puesta en común entre todos finalice. Debo explicar que, para entender la narración de este taller, tenemos que tener presente que los niños sólo llevaban haciendo talleres dos jueves más, por lo que, para ellos, sigue siendo una novedad. Concretamente, en este taller será su tutora, Gema, la que va a llevar el peso del taller, mientras que Bea, maestra de la clase de 5 años C, estará de apoyo. Por tratarse de un planteamiento educativo diferente, tanto Gema como yo, Elisa, no teníamos la experiencia suficiente para llevar un taller solas por lo que, Bea, maestra de 5 años, estuvo llevando el taller en las dos sesiones anteriores para que pudiéramos comprobar cómo se trabaja con los niños cuando no es necesario dar los resultados. También es importante valorar que los niños tienen una motivación para resolver el problema. Dependiendo de la clase y de su contexto, se pueden emplear algunas diferentes. Por ejemplo, un alumno de prácticas que estuvo con ellos y que les envía cartas con problemas que no sabe resolver y Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •65•

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solicita su ayuda; un duende mágico que les escribe problemas retando a que le digan la solución, etc. En este caso y, aprovechando que Bea es la maestra de 5 años C, vamos a utilizar como elemento motivador que los “niños mayores de Bea” no saben resolver el problema y Bea nos pide ayuda para sus niños. La diferencia entre los niños de 4-5 años y los niños de 5-6 años, para ellos, es muy grande porque ya se van a graduar y se irán con los profesores de primaria, cosa que a los niños les impacta mucho. Para los de 4-5 años es un honor poder ayudar a niños mayores ya que consideran que, al ser mayores, poseen más recursos para resolver problemas y les gusta sentirse “más listos”.

2.1. La asamblea: Lectura del cuento y planteamiento del problema Gema, tutora de la clase, comienza en la asamblea con todos los niños sentados a su alrededor y, como todas las mañanas, se dan los buenos días. Gema les explica a los niños que durante los jueves anteriores, Bea, maestra de la clase de 5 años, ha venido para pedirles su ayuda, ya que los niños de 5 años no sabían hacer algunos problemas. Como ya he explicado anteriormente, en esta clase, la motivación externa que se les da a los niños es que sus compañeros de 5 años no saben resolver algunos problemas y que Bea, su maestra, viene para pedirles ayuda. Esto hace que los niños de cuatro años se sientan muy mayores y con mucha responsabilidad, lo que hace que se impliquen en el taller y en ayudar a Bea dándole una respuesta razonada.

Figura 2. Situación en que se basa el problema El cuento, de forma general, se suele leer con anterioridad al taller de resolución de problemas entre dos y tres veces, para asegurarnos de que los niños entienden la historia. En esta ocasión, los niños estuvieron muy atentos a este cuento titulado “La mierlita” (Rubio y Ferrer, 2002). Disfrutaron de las palabras que iban apareciendo en la historia e incluso, después de contarlo, pedían que se repitiera. Después de la lectura del cuento, como es habitual, se lee el problema planteado que tienen que resolver. El problema era el siguiente: “Al principio había cinco mierlitos. Cuando la zorra se comió a uno, ¿cuántos quedaron?” (Figura 2). Se trata de un problema de cambio decreciente en el que la incógnita está en la cantidad final (la cantidad inicial es cinco, la cantidad de cambio es uno y la incógnita está en la cantidad final). Realmente, un taller de resolución de problemas matemáticos es muy dinámico, si dejamos que los niños se expresen con libertad. En este taller ocurrió lo siguiente: Daniel S., junto con Diego, son los primeros en decir que la solución es cuatro. Daniel S. puso cinco dedos, quitó uno (el mierlito que se comió la zorra) y vio que tenía cuatro dedos. Sin embargo, a Diego no se le ve usando los dedos en ningún momento, por lo que tuvo que hacerlo con cálculo mental o “pensando con la cabeza” como expresó él mismo. Gema, tutora del aula, vuelve a leer el problema para que todos los niños lo entiendan y no se queden solamente con la respuesta de Daniel S. y Diego (Figura 3). Normalmente utilizamos soporte fotográfico y de vídeo para saber lo que pasa en todos los momentos del taller y poder analizarlos Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •66•

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posteriormente. Es en esta grabación en la que vemos cómo Daniel S. está contando con los dedos. Mario también lo está haciendo, aunque al principio da la impresión de que está solo jugando con ellos. Sin embargo, no es así porque, cuando Gema lo vuelve a leer, Mario afirma: “Son cuatro”.

Figura 3. Lectura del problema Una vez que el problema se ha leído y parece que todos lo han entendido, se va a ir cada uno a su sitio para trabajar. Gema les recuerda que pueden usar cualquier material para pensar en el problema y que deben darnos una respuesta y la explicación de cómo han llegado hasta ella.

2.2. El trabajo individual sobre el problema En esta ocasión, he traído un objetivo personal y es que, después de varias semanas trabajando con estos niños en los talleres de resolución de problemas, he aprendido muchas cosas sobre ellos y sus formas de trabajar. En este taller, los he colocado de tal forma que no se queden juntos los que en los talleres anteriores no supieron cómo hacer el problema, ni tampoco los que son muy amigos y suelen pensar en pareja. He creído conveniente hacer estas pequeñas modificaciones para que puedan pensar de forma más autónoma, aunque si se bloquean pueden trabajar en parejas o grupos para resolver el problema de una forma más cooperativa. También debo advertir a los lectores que, en ningún momento hemos penalizado a ningún niño por copiar de otro, ya que consideramos que la “copia” es una estrategia más que utilizamos a lo largo de nuestra vida y que, en numerosas ocasiones, nos permite aprender las estrategias de resolución de problemas y entenderlas mejor, asimilándolas e interiorizándolas.

Figura 4. Irinel resuelve el problema con un dibujo y escribe su nombre Comienza el trabajo individual de los niños y con él, el dinamismo que la etapa de la educación infantil lleva implícita con ella. Nicolás rompe a llorar porque no llega a los rotuladores y no puede comenzar a trabajar. Alba, que está sentada a su lado, es la que lo consuela y nos llama para que lo tranquilicemos. Gema lo tranquiliza y Nicolás comienza a trabajar. Irinel es el primero que llama a Bea para explicarle que ha terminado, pero ésta le dice que se lo explique a Gema o a Elisa para que así podamos registrarlo. Cuando llego al sitio de Irinel, tiene un dibujo hecho en el que hay cuatro cuadraditos arriba -uno de ellos de color azul- y otro debajo. Le digo que escriba su nombre para que Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •67•

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yo sepa de quién es (Figura 4) y que me lo explique. Me dice que “lo ha pensado muy bien con la cabeza”. Irinel dice que le salen cuatro porque había cinco al principio, pero la zorra se come uno. Me explica que el cuadradito que está coloreado es el que se ha comido la zorra. Yo le digo que si lo quiere intentar con otro material. La forma de colocar los cuadraditos se parece mucho a la forma que tuvo de resolver el problema de la semana anterior (Hay tres personas arriba y otras dos abajo, ¿Cuántas hay en total?), sobre todo por la forma de representar al mierlito que se comió la zorra –lo sitúa en la fila de arriba y no es el que está abajo. Manuel también lo resuelve muy rápido. Manuel está usando un material diferente. Lo hemos llamado “Mecano” (se adjuntan fotos del material). La conversación que se dio entre Gema y Manuel fue la siguiente: Gema: Manuel: Gema: Manuel: Gema: Manuel: Gema: Manuel: Gema: Manuel: Gema: Manuel:

A ver, Manuel, ¿qué has pensado? ¿Cuántos mierlitos había al principio? Cinco. Y cuando se comió uno, ¿cuántos quedaban? (Retira un objeto). Uno, dos, tres y cuatro. Y, ¿cómo lo has hecho? (Vuelve a dejar el objeto). Hay cinco al principio. Había cinco. Se comió uno, ¿cuántos quedan? Cuatro (quitando uno). ¿Y cómo sabes que hay cuatro? He contado. ¿Lo quieres hacer con otro material? No.

Gema quería que Manuel dijera “he quitado” uno para resolverlo, pero los niños no siempre dicen lo que esperas escuchar. Para Manuel es mucho más sencillo decir “he contado” porque, para él, lo que ha hecho es escuchar un problema, modelizarlo con materiales manipulativos relacionando el problema y resolverlo (Figura 5).

Figura 5. Manuel explica cómo ha llegado a la solución Diego me llama para que vea como lo ha hecho (Figura 6). Al igual que Manuel, ha usado el mismo material. Para resolver el problema, Diego ha colocado cinco fichas primero, que representan a los cinco mierlitos, y ha quitado uno, que guarda bajo sus manos, representando al que se come la zorra. Su solución es cuatro. Aunque Manuel y Diego han usado el mismo material, la forma de colocarlo no es la misma. Manuel coloca las piezas redondas del “mecano” en línea recta y quita una. Diego, en cambio, coloca cuatro arriba y uno abajo, que es el que esconde. En ese momento, Irinel aprovecha para enseñarme cómo lo hace con otro material, el rekenrek (también llamado comúnmente ábaco). Irinel ha colocado cuatro bolitas en la fila de arriba y una en la de abajo. Las cuenta delante de mí para que vea que, al principio, hay cinco. (Figura 7) Una vez que estamos convencidos, quita el de abajo y me dice que la zorra se lo Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •68•

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ha comido y los de arriba son los que quedan vivos, que son cuatro. “Uno, dos, tres y cuatro”- me dice. Le digo que si lo quiere intentar con otro material y dice que sí.

Figura 6. Diego explicándome cómo ha resuelto el problema

Figura 7. Irinel cuenta los que son al principio. “Este se lo comió” “Hay cuatro” Rápidamente, Irinel vuelve a llamarme para decirme que lo ha conseguido también con el multilink (Figura 8). Esta vez, al igual que con los materiales anteriores, ha colocado cuatro piezas del multilink arriba en línea recta y otra debajo. Me explica que hay cinco al principio y que el de abajo es el que la zorra se ha comido. Cuenta los de arriba y le salen cuatro. Pienso que el problema lo entiende perfectamente puesto que, aunque tiene cinco multilink, sólo cuenta los de arriba. Irinel asume que el multilink de abajo se lo ha comido la zorra y sabe que no tiene que contarlo, aunque no lo quite de su construcción.

Figura 8. Irinel cuenta las que hay al principio y al final. La última foto es el detalle de su construcción Ahora le toca el turno a Nicolás, que ha utilizado el dibujo para pensar. Nicolás lo que ha hecho, ha sido poner cuatro cuadraditos y, debajo, otros cuatro (Figura 9.) No sabe explicarme por qué ha dibujado cuatro, sólo dice que “ha hecho el problema”. Volvemos a recordar el problema leyéndoselo de nuevo y le damos la vuelta al folio porque quiere volver a empezar. Cuando lo vuelvo a leer, contesta rápidamente que “son 4 porque la zorra se ha comido uno porque tenía hambre”. Ahora, vuelve a dibujar, pero está vez comienza por cinco cuadraditos en línea y colorea uno, que dice que es Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •69•

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el que la zorra se ha comido. Cuenta los cuadraditos que no están coloreados y le salen cuatro, llegando así a la solución correcta.

Figura 9. A la derecha el primer dibujo de Nicolás, a la izquierda el final Mientras Nicolás lo intenta con otro material, Sara me dice que ha terminado con el problema y que tiene una respuesta. Cuando me acerco para registrar lo que ha hecho, veo que ha dibujado a los cinco mierlitos y a la zorra comiéndose a uno de ellos (Figura 10). Para explicarme cómo ha resuelto el problema me dice que, al principio, hay cinco mierlitos y cuando la zorra se come a uno, sólo hay cuatro. Ella ha dibujado los cinco y a la zorra que se come a uno. Luego, ha contado a los mierlitos que la zorra no se ha comido y le salen cuatro.

Figura 10. Proceso de resolución de Sara Nicolás vuelve a llamarme para que mire cómo lo ha resulto con el rekenrek (también llamado ábaco). Lo primero que hace es contar cinco bolas rojas y separarlas del resto (Figura 11). A diferencia de Irinel, coloca todas las bolas en línea y no en dos filas.

Figura 11. Nicolás separa cinco bolas del resto Lo que hace Nicolás, a continuación, es mover una bola roja hacia donde están el resto de bolas blancas de esa fila del rekenrek (Figura 12) Luego cuenta las que le quedan y le sale que el resultado es cuatro. El hecho de que Nicolás lo haga con otro material que no sea el dibujo, donde ha encontrado más dificultad, y lo consiga resolver haciéndolo paso por paso con materiales manipulativos, nos dice que con éstos puede realizar más fácilmente el razonamiento lógico del problema. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •70•

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Figura 12. Nicolás retirando una de las bolas Zacaría también lo resuelve de forma rápida y eficaz. Él ha utilizado los multilink para pensar. Lo que Zacaría hace es coger cinco multilink y colocarlos en línea. Lo curioso es que escoge cuatro en color verde y uno en amarillo (Figura 13). El amarillo lo deja en el extremo. Zacaría me explica que al principio hay cinco mierlitos, pero que la zorra se come a uno (el amarillo) y cuenta sólo los de color verde. Su resultado es de cuatro.

Figura 13. Zacaría enseñándome su construcción Vera, como en las otras sesiones de resolución de problemas, hace uso del dibujo para pensar. Gema es la que registra su proceso. La conversación que sucede es la siguiente: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: … Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera:

Vera, tú ya has terminado. ¿Cuántos quedaron? Un, dos, tres y cuatro. (Cuenta mientras señala) ¿Cuántos había al principio? Me falta hacer uno… Te falta hacer uno… ¿Erik has pensado en el problema? ¿Te lo recuerdo? (Se va con Erik). Ya. A ver Vera, ¿qué has dibujado? Personas. ¿Son personas? Son mierlitos. A ver, cuéntame,… Al principio, ¿cuántos había? ¿Te acuerdas? Cinco. ¿Y cuántos se comió la zorra? Uno. Y, entonces, ¿cuántos quedaron? Cuatro. Cuatro. A ver, cuéntamelo Uno, dos, tres y cuatro. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •71•

Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años Elisa Molina Jiménez Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema: Vera: Gema:

¿Cuántos has dibujado? Cinco. ¿Y cuántos quedaron? Cuando la zorra se comió a uno… Uno, dos, tres y cuatro (mientras cuenta) A ver, cuenta. uno, dos, tres y cuatro. ¿Y el que se comió? Éste. ¿Lo quieres hacer con otro material? No. Pues a jugar. ¿Lo guardo? (con el dibujo en la mano). Yo me quedo el dibujo y luego lo archivamos.

El dibujo de Vera, al principio, era la primera línea con los cuatro mierlitos y el corazón. Cuando le pregunta que cuántos había al principio, Vera decide dibujar otro más porque considera que le falta uno (de los datos del enunciado al principio). Vera ya tenía en la mente cuántos quedaban al final y solo hizo el dibujo para ilustrar el resultado final. Cuando yo me acerco a ella, Vera ya está jugando con los multilink y no quiere volver a explicármelo, pero tras decirle que no entendía su dibujo, se anima a explicármelo. Me dice que hay cinco al principio pero que la zorra se come uno y que entonces quedan cuatro. No tiene muchas ganas de hablar porque está jugando y tampoco quiero insistir en que lo haga con otro material cuando Gema ya le ha dicho que puede jugar (Figura 14).

Figura 14. Vera explicándome el dibujo y detalle del dibujo de Vera Ahora me acerco a Andrea. La he visto que ha estado jugando todo el taller y no ha pensado en el problema. Cuando le pregunto que si recuerda cuántos había al principio me dice que “hay 4”. Para no ser yo la que le dijese que había cinco, le pregunto a Zacaría y a Diego para que la ayuden. Diego le dice que “al principio hay cinco”. Sigo con Andrea y le digo que “si la zorra se ha comido un mierlito, ¿cuántos quedarán?”, pero ella no lo entiende. Me dice: “no sé” y no quiero insistir. Aún no sabe cómo funcionan los talleres de resolución de problemas, pero Andrea juega y se divierte en estas sesiones. Es importante tener en cuenta el aspecto emocional en los talleres, que los niños estén a gusto. Aún no ha resuelto ningún problema pero llegará el día en el que esté lo suficientemente madura como para resolverlos. Erik, al igual que Andrea, no sabe lo que tiene que hacer en el taller. Se pasa el tiempo jugando y se divierte. Creo que no ha alcanzado la suficiente madurez como para entender lo que tiene que hacer. El enunciado del problema no le interesa demasiado y cuando le digo que la zorra se comió un mierlito, me dice que “está bien”. Erik me habla de los gormitis, de las pistolas… pero el problema aún no es de su interés. Alba es la siguiente en la mesa para registrar. Cuando llego me dice que “ha pensado mucho" y que lo tiene. Cuando veo el dibujo pienso que no ha entendido el enunciado del Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •72•

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problema. Le pregunto que si quiere que le repita el enunciado y me dice que sí. Cojo la hoja y leo el problema otra vez. Cuando termino de leérselo, me dice que quedan “dos”. Le pregunto por qué y me dice que “es que hay dos” (Figura 15). Creo que ha imitado a varios compañeros para estar sentada y dibujar, pero no ha pensado. Estaba preocupada durante el taller porque Sara le dijo que no iba a ser su amiga, y eso, es motivo suficiente como para no poder pensar en la historia del mierlito y la zorra.

Figura 15. En la imagen de la izquierda, Alba me explica que hay 2 El único que me faltaba por registrar era Daniel H. La verdad es que durante toda la sesión estuve pendiente de él porque veía que no estaba nunca sentado en su sitio. No sabía si necesitaba plastilina o no llegaba a los materiales o si, como en el resto de talleres, iba a jugar. En una ocasión le dije que si quería ayudar a Bea, que estaba esperando para que le diera una respuesta, pero ni aun así conseguí que estuviera más de cinco minutos sentado. Es cierto que el hecho de estar sentado no implica que estés pensando, pero en esos momentos no entendía qué quería Daniel H. Con el paso del tiempo durante el taller entendí lo que quería. Daniel H. sólo quería hacerlo en grande y usó la pizarra para eso. Dibujó a los mierlitos y explicó el problema porque lo entendía. No es un problema difícil pero durante las sesiones anteriores sólo había jugado. Daba la impresión de que no entendía nada aunque se sentía bien en el taller. Pero en este taller ha entendido el enunciado, ha pensado y lo ha resuelto. Me emocioné al ver su dibujo en la pizarra, ver que había escrito 4 de forma gráfica (Figura 16). Comprendí que entendió el problema y entendió el funcionamiento del taller, lo cual me alegró mucho.

Figura 16. Imágenes de la resolución del problema de Daniel H. Voy a transcribir la conversación. Elisa: Daniel H.: Elisa: Daniel H.: Elisa: Daniel H.: Elisa:

Explícame cómo has resuelto el problema, ¿qué has dibujado? Mierlitos. ¿Cuántos has dibujado? Cuatro. ¿Por qué cuatro? Porque había cinco y ahora cuatro. ¿Por qué, qué ha pasado? Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •73•

Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años Elisa Molina Jiménez Daniel H.: Que se ha comido la zorra uno. Elisa: Lo has hecho muy bien, Daniel. ¿Lo quieres intentar con otro material? Daniel H.: No.

2.3. La puesta en común de resultados y estrategias Una vez que tenemos a todos registrados, a pesar de haber tardado mucho más en esta sesión, vamos a hacer la puesta en común en la asamblea, para saber lo que Gema, tutora de los niños de 4 años C, le tiene que decir a los niños de Bea, maestra de 5 años C. El primero que sale para explicar cómo lo ha hecho es Diego. Como ya he dicho antes, Diego utiliza los “mecano” para pensar. Cuando sale, coloca cinco figuras circulares en línea recta. Dice que “esos son los que hay al principio”. Cuando Gema le dice que qué pasa después, coge una figura y se la esconde bajo la pierna porque “la zorra se lo ha comido”. Él al esconder la figura representa cómo la zorra se come al mierlito (Figura 17).

Figura 17. Diego en la asamblea, explicando cómo lo ha hecho él Después de que Diego lo explique a la clase, Gema llama a Sara para que los cuente cómo lo ha hecho ella. Sara ha usado el dibujo y también queremos que lo vean. Sara coge la pizarra para dibujar. Dibuja a los cinco mierlitos del principio pero no sabe explicar cuántos quedan al final. Comienza a esconderse y a sonreír con cara de no saber qué decir. Se bloquea en el momento de explicar qué pasa con los mierlitos y no puede continuar (Figura 18).

Figura 18. Sara intenta explicar en la asamblea cómo lo ha hecho, pero se queda un poco bloqueada Al ver qué Sara se queda bloqueada, llamamos a Vera, que también lo ha hecho mediante el dibujo. En un principio pensaba que usaría el dibujo de Sara y lo explicaría a partir de él. Sin embargo, ella dibuja a sus mierlitos. Tiene que hacer el dibujo suyo para poder explicarlo (Figura 19). Vera explica que “al principio había cinco”, pero que “la zorra se come uno” y que, entonces, “quedan cuatro”. Vera dibuja el mierlito que se comió la zorra de otro color, para poder diferenciarlo de los que no se come.

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Figura 19. Vera hace su dibujo en la puesta en común Mario también lo va a explicar con el rekenrek (Figura 20). Mario explica que “la zorra se comió uno y ahora la mierlita tenía cuatro”. Que “al principio había cinco” y que “lo he hecho despacito”.

Figura 20. Mario explica con el rekenrek cómo lo ha hecho Irinel también lo va a explicar con el multilink (Figura 21). Irinel se va a la mesa y coge un puñado. Cuenta los que ha cogido y son seis. Se da cuenta y sólo utiliza cinco. Explica que había cinco al principio, que la zorra se come uno y que, entonces, quedan cuatro. Gema le pregunta que dónde ha colocado el que se ha comido la zorra, e Irinel le explica que es el de abajo.

Figura 21. Irinel muestra con el multilink cómo lo ha hecho Así se da por terminado el taller. Todos están de acuerdo en decirles a los niños de Bea de cinco años que la solución a su problema es “cuatro”, porque aunque al principio hay cinco mierlitos, la zorra se come a uno. Por esta razón, haciéndolo despacito y pensando, han llegado a la conclusión de que la solución es “cuatro”.

3. La evaluación de los alumnos y del taller La evaluación de los alumnos y del propio taller es una necesidad. Evaluar a los niños nos sirve para saber si van entendiendo el procedimiento del taller, si están maduros para entender el problema y Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •75•

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ejecutarlo o, por ejemplo, si son vergonzosos y, aunque saben lo que han hecho, no pueden explicarlo en la puesta en común. Evaluar el propio taller implica detectar fallos cometidos por parte del adulto, en el material que proporcionamos, en la dificultad del problema, en nuestra forma de tratar a los niños. Es importante hacer una evaluación seria, tanto de los niños como del funcionamiento del taller, para ir mejorando.

3.1. Evaluación de los alumnos Basándonos en el registro de evaluación, vamos colocando los nombres de los niños, así como la solución que nos da, los materiales que usa, la descripción de la estrategia y comentarios adicionales que queramos tener presentes. Tabla 1. Registro de evaluación de los alumnos Alumnos 1. Irinel Solución: 4 2. Manuel Solución: 4 3. Diego Solución: 4

Materiales Dibujo Rekenrek Multilink “Mecano” “Mecano”

4. Nicolás

Solución: 4

Dibujo Rekenrek

Descripción de la estrategia

Dibuja 4 cuadraditos en línea recta y uno debajo, colorea Lo hace con varios uno que es el que la zorra se comió. Cuenta y le salen 4. materiales. Coloca 5 objetos con forma circular en línea recta y esconde uno bajo su mano. Cuenta y le salen 4. Coloca 4 objetos con forma circular en línea recta y uno más debajo. Luego esconde éste último bajo su mano. Cuenta y le salen 4. Dibuja 4 cuadrados. Debajo también dibuja otros 4. Cuando le pregunto cómo lo ha hecho me dice que “ha hecho el problema”. Le da la vuelta a la hoja y ahora dibuja 5 en línea recta. El último lo colorea y dice que ese se lo comió la zorra. Cuenta y le salen 4. Luego lo intenta con el rekenrek. Coloca 5 bolitas, quita una y cuenta. Le salen 4.

5. Sara Solución: 4

Dibujo

Dibuja a los 5 mierlitos y a la zorra cogiendo a uno de ellos. Cuenta a los que no se ha comido y le salen 4.

Multilink

Coloca 5 multilink en línea (4 son verdes y 1 amarillo). El amarillo es el que se ha comido la zorra. Cuenta los verdes y le salen cuatro.

6. Zacaría Solución: 4 7. Vera Solución: 4

Dibujo

8. Andrea Solución: -

“Mecano”

9. Erik Solución: -

“Mecano”

10. Alba Solución: 2 11. Daniel H. Solución: 4

Dibujo Pizarra

Comentarios

Entiende el enunciado perfectamente, pero no sabe explicar cómo lo ha hecho al principio. El dibujo con la zorra comiéndose a uno me da a entender que el enunciado lo ha comprendido. Me ha llamado la atención que represente a los vivos del que se ha comido mediante el color.

Dibuja cuatro mierlitos y un corazón. Cuando Gema le Creo que el dibujo sólo es dice que cuántos había al principio, dice que le falta uno. para expresar el resultado Entonces dibuja cinco y dice que uno se lo ha comido la del problema zorra. Cuenta los de arriba y le salen cuatro Continúa sin entender el Juega porque no sabe lo que tiene que hacer. taller de resolución de problemas. Continúa sin entender el Juega porque no sabe lo que tiene que hacer. taller de resolución de problemas. No sabe lo que hay que hacer. No entiende el enunciado. Sólo dice que hay 2, aunque le repito el enunciado del problema Dibuja 4 en la pizarra porque al principio había 5 pero la Escribe en la pizarra 4 de zorra se ha comido uno, así que quedan cuatro. forma gráfica.

Tenemos que escribir el problema nuevamente y tener claro qué tipo de problema es y qué dificultad les va a plantear a los niños. En este caso, el problema era: “Al principio había 5 mierlitos. Cuando la Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •76•

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zorra se comió a uno, ¿cuántos quedaron?”. Y recordamos que es un problema de cambio decreciente (la cantidad inicial es superior a la final, es una resta), con la incógnita en la cantidad final, que es lo que desconocemos y la que pedimos a los niños.

3.2. Evaluación del taller El problema era adecuado para esta edad por las cantidades que debían manejar y por el nivel de la clase. Para estos niños de 4-5 años, encontrarse con una problema de cambio decreciente en el que la cantidad de cambio era de 1, es muy sencillo. Además, la cantidad inicial es cinco, cantidad adecuada para esta edad ya que la pueden representar con los cinco dedos de una mano, retirar un dedo y encontrar la solución al problema planteado. Esta estrategia de usar la mano por la cantidad que nos dan al principio la llevó a cabo en este taller Daniel S. Estas sesiones de resolución de problemas matemáticos les están haciendo entender cuándo se suma y cuándo se resta, comprendiendo la realidad de las dos operaciones matemáticas. Poco a poco en los talleres que llevan estos niños de 4-5 años se van viendo los resultados. En este taller tuvimos el problema de que el registro se hizo muy despacio. Incluso hubo niños que hicieron el registro tanto con Gema, tutora del aula, como conmigo, Elisa, por lo que se llegó a duplicar el registro. También es verdad que, gracias a las fotos y las grabaciones, se consigue más información para poder hacer la narración y el registro de forma correcta y ordenada. Cuando estás moviéndote de un lado para otro, registrando a unos niños y a otros, a veces, se pierde información. Los comentarios de la maestra de aula, Gema, sobre el desarrollo de la sesión fueron muy positivos teniendo en cuenta que Gema hacía el taller por primera vez y estaba nerviosa. Una vez terminado el taller comentaba que, para llevar sólo tres talleres haciendo resolución de problemas, veía a los niños con más iniciativa a la hora de coger materiales, intentarlo con otros diferentes y que eso le parecía muy positivo porque los niños, poco a poco, irían potenciando capacidades con los diferentes materiales. Además, en este taller se vio más reflexión, más compromiso y más implicación por parte de los niños a la hora de darle una respuesta válida y razonada a Bea, maestra de cinco años.

4. Conclusiones Después de haber participado en las diferentes sesiones de talleres de resolución de problemas matemáticos a partir de la literatura infantil, he podido comprobar cómo la implicación de los niños es mayor que cuando intentamos utilizar las `matemáticas del número’ en las que mucha veces, lo niños no entienden lo que tienen que hacer ni por qué. Trabajando de esta forma en la que el maestro o la maestra van acompañando el proceso de enseñanza-aprendizaje de los niños, los verdaderos protagonistas son los niños. Es cierto que el esfuerzo que implica trabajar de esta forma es mayor que ponerles la fila de simbolismos de sumas y restas, pero es un trabajo que merece la pena. No todas las personas que estén interesadas en trabajar así llevarán un registro tan exhaustivo como el que hemos llevado con fotografías, vídeos y demás recursos en el que se podría comprobar qué hicieron los niños, cómo, con qué material… Realmente, el trabajo de un maestro o maestra de educación infantil no es tener todo ese tipo de instrumental y llevarlo a cabo en el aula, pero, con el registro de evaluación básico, sí se recogen los avances y logros que, poco a poco, van consiguiendo los niños. La selección de los cuentos y la búsqueda y redacción de problemas que se adecúen al momento evolutivo de los niños es importante, tanto como la parte afectiva que nunca debemos olvidar. Si cualquier profesional de la etapa de educación infantil quisiera poner en práctica los talleres, tendría que tener presente que Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia (2012) 1(1), 63-79. ISSN: 2254-8351. http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 •77•

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no importa que los niños no lleguen a la solución la primera vez. Es importante que se impliquen en la realización del problema con una motivación externa que sea verdaderamente importante para ellos, y, poco a poco, irán madurando y adquiriendo las fases de que se compone el taller como unas rutinas más de su vida cotidiana. Esta forma de trabajar garantiza el entendimiento de las operaciones matemáticas básicas que, más adelante, en la etapa de educación primaria, necesitarán manejar con soltura. A veces, los propios maestros tendemos a adelantar conceptos y operaciones de la etapa siguiente y la realidad dista de ello ya que cada etapa tiene sus propios objetivos. Las respuestas de los niños son diferentes porque cada niño es diferente y único, al igual que su razonamiento y estrategias, lo que hace que sea especial. Cada niño organiza su mente de una forma, elige unos materiales u otros, e intenta explicarte con palabras o con un dibujo cómo ha llegado a la solución. Puede ocurrir que los niños lleguen a la solución sin saber por qué. En ese momento debemos animar al niño a pensar cómo ha llegado, que vuelva a comenzar, que se replantee el problema. No consiste en dar el número sin saber cómo ha llegado a él. Puede ser que lo haya oído o visto en otro compañero; y la estrategia de copiar del otro no se penaliza, siempre que haya entendido cómo lo ha hecho. Dentro de la descripción de las estrategias de cada niño, he ido explicando cómo hay niños que solo con leer el enunciado, en el tercer taller con ellos, usan sus manos o la cabeza (cálculo mental) para dar la solución; otros necesitan sentarse y pensar detenidamente en el problema; hay niños que no entienden nada y solo juegan. A estos últimos no debemos más que animarlos a pensar, a dar una respuesta para ayudar, en nuestro caso, a los niños de 5 años de la clase de Bea. Los problemas que se han ido planteando con los niños son fáciles, puesto que empezamos con cambio creciente y cambio decreciente (suma y resta), con la incógnita en la cantidad final. La idea es que, poco a poco, los problemas se irán complicando, paulatinamente, según los propios niños vayan resolviendo los problemas con mayor soltura. Los niños que se implican en el problema lo sacan adelante. Curioso fue el caso de Daniel H. que, tras dos talleres sin saber qué hacer (sólo jugaba con los materiales), entendió el procedimiento del taller y quiso expresar su alegría realizándolo en la pizarra para que todos lo vieran y escribiendo gráficamente la solución al problema. Trabajar con talleres de resolución de problemas es una forma diferente de entender la educación. Hay documentación suficiente para que los maestros no nos sintamos solos a la hora de querer probar diferentes metodologías. Carpenter y otros (1999) nos muestran cómo piensan los niños todo el mundo de las matemáticas, los números y las operaciones. Dado que nos encontramos en una etapa no obligatoria para los niños, podríamos ir animándonos a introducir pequeños cambios en nuestra aula que se alejen del mundo del pensamiento adulto y se centren en los niños, los protagonistas de su propio aprendizaje.

Agradecimientos Agradecimientos especiales al CEIP Virgen de la Peña Sacra, Manzanares el Real (Madrid), junto a su directora Mercedes Jiménez Rumbo y la Jefa de estudios Teresa Torra López, por su preocupación en la innovación educativa. Vuestro apoyo ha sido fundamental para poder desarrollar el proyecto de investigación. Agradecimientos también a la maestra Gema de Heras, tutora de 4 años C, aula en la que se centra el artículo, y a Beatriz Escorial, maestra tutora de 5 años C, que estuvo durante todas las sesiones acompañando no sólo el proceso de aprendizaje de los niños, sino el mío propio.

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Referencias Carpenter, T. P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L., & Empson, S. B. (1999). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth: Heinemann. De Castro, C., Pastor, C., Pina, L. C., Rojas, M. I., y Escorial, B. (2009). Iniciación al estudio de las matemáticas de las cantidades en la Educación Infantil. Unión: Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 18, 105-128. Paniagua, G., y Palacios, J. (2005). Educación Infantil: Respuesta educativa a la diversidad. Madrid: Alianza. Núñez del Río, C., De Castro, C., Del Pozo, A., Mendoza, C., Pastor, C. (2010). Inicio de una investigación de diseño sobre el desarrollo de competencias numéricas con niños de 4 años. En M. M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo, y T. Sierra (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV (pp. 463-474). Lleida: SEIEM. Rubio, A., y Ferrer, I. (2002). La mierlita. Pontevedra: Kalandraka.

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