Poincaré

Wiskundige en filosoof Henri Poincaré (1854-1912), een onopvallende en rustige man, was een revolutionair in de wiskunde, ‘het levende brein van de rationele wetenschap’. Hij begon zijn wiskundecarrière in de Normandische universiteitsstad Caen en betrad van daaruit het toneel van de wiskunde met een ongeëvenaarde creativiteit. In nauwelijks meer dan dertig jaar publiceerde hij een duizelingwekkende hoeveelheid korte en lange artikelen en ook boeken over de meest uiteenlopende onderwerpen, variërend van zuivere wiskunde en theoretische natuurkunde tot aan mechanica en astronomie.

Daarnaast schreef hij ook populaire werken over wetenschap en filosofie die zowel helder als humoristisch waren. Hij had niet altijd het laatste woord, misschien omdat hij zijn zienswijzen zo duidelijk formuleerde – op zich al een zeldzaam verschijnsel – dat men erover kon debatteren. Het is dan ook een groot genoegen om Poincaré te (her)ontdekken.

De vertaling is zorgvuldig, de literatuurverwijzingen zijn nuttig.

PROF. FERDINAND VERHULST Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht DE AUTEUR

Umberto Bottazzini (1947) is hoogleraar in de geschiedenis van de wiskunde aan de universiteit van Milaan. Hij is lid van de International Academy for the History of Sciences en schreef onder andere The Higher Calculus. A History ory of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass.

Deel 50 in de

biografie

UMBERTO BOTTAZZINI

Wiskundigen denken dat ze in hun redeneringen geen beroep meer doen op de intuïtie, maar volgens de filosofen koesteren ze dan illusies.

Volgens Poincaré hebben de filosofen in zekere zin gelijk.

‘Al twee weken spande ik me in om aan te tonen dat er helemaal geen functie kon bestaan van het type dat ik sindsdien fuchsiaanse functies heb genoemd; ik was toen behoorlijk onwetend; elke dag ging ik aan mijn bureau zitten en bracht dan een of twee uur door met een groot aantal combinaties uit te proberen zonder tot een resultaat te komen. Op een avond had ik zwarte koffie gedronken, geheel tegen mijn gewoonte, en ik kon niet slapen: de ideeën kwamen in groten getale in mij op, ik voelde hoe ze op elkaar botsten, totdat er zogezegd twee aan elkaar bleven haken om zo een stabiele combinatie te vormen. ’s Morgens had ik het bestaan van een klasse van fuchsiaanse functies bewezen, namelijk die afgeleid waren van de hypergeometrische functies.

Ik hoefde de resultaten alleen nog maar op te schrijven, wat me maar een paar uur kostte.’

Uit een lezing voor de Parijse psychologenvereniging over de manier waarop wiskundige vondsten tot stand komen.

Gepubliceerd in Science et méthode (1908).

‘Op een dag, terwijl ik de boulevard overstak, kwam de oplossing ineens in me op. Ik probeerde deze niet meteen uit te diepen, en het was pas na mijn militaire dienst dat ik de kwestie weer ter hand nam. Ik had alle elementen, ik hoefde slechts te verzamelen en te ordenen.

Ik redigeerde dus mijn memorandum in één keer en zonder enkele moeite.’

Poincaré schreef zijn wiskundige artikelen in één ruk en met groot gemak, alsof hij alleen maar iets op papier hoefde te zetten dat hij al helemaal tot in de puntjes had uitgedacht.

biografie

Informatie over alle reeds verschenen boeken in de reeks: www.veenmedia.nl

biografie

POINCARÉ

Deze biografie doet recht aan het vele fundamentele werk van Poincaré in de filosofie, de wiskunde en de natuurkunde.

Dat is een opmerkelijke prestatie, omdat de breedheid van Poincaré ongekend was.

Bijzonder aardig is ook dat de culturele achtergrond van Poincaré en zijn relaties met andere geleerden en filosofen uitvoerig aandacht krijgen.

BOTTAZZINI

P O IN CA RÉ

‘Om rekenkunde te bedrijven, om meetkunde te bedrijven of welke andere wetenschap dan ook, is er iets anders nodig dan zuivere logica.

Dat andere kunnen we met geen ander woord aanduiden dan intuïtie.’

POINCARÉ Wiskundige en filosoof

www.veenmedia.nl ISBN 9789085714095 NUR 918

WBio COVER Pointcare plus verhulst.indd 1

09-07-13 16:52

Wiskundige en filosoof Henri Poincaré (1854-1912), een onopvallende en rustige man, was een revolutionair in de wiskunde, ‘het levende brein van de rationele wetenschap’. Hij begon zijn wiskundecarrière in de Normandische universiteitsstad Caen en betrad van daaruit het toneel van de wiskunde met een ongeëvenaarde creativiteit. In nauwelijks meer dan dertig jaar publiceerde hij een duizelingwekkende hoeveelheid korte en lange artikelen en ook boeken over de meest uiteenlopende onderwerpen, variërend van zuivere wiskunde en theoretische natuurkunde tot aan mechanica en astronomie.

Daarnaast schreef hij ook populaire werken over wetenschap en filosofie die zowel helder als humoristisch waren. Hij had niet altijd het laatste woord, misschien omdat hij zijn zienswijzen zo duidelijk formuleerde – op zich al een zeldzaam verschijnsel – dat men erover kon debatteren. Het is dan ook een groot genoegen om Poincaré te (her)ontdekken.

De vertaling is zorgvuldig, de literatuurverwijzingen zijn nuttig.

PROF. FERDINAND VERHULST Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht DE AUTEUR

Umberto Bottazzini (1947) is hoogleraar in de geschiedenis van de wiskunde aan de universiteit van Milaan. Hij is lid van de International Academy for the History of Sciences en schreef onder andere The Higher Calculus. A History ory of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass.

Deel 50 in de

biografie

UMBERTO BOTTAZZINI

Wiskundigen denken dat ze in hun redeneringen geen beroep meer doen op de intuïtie, maar volgens de filosofen koesteren ze dan illusies.

Volgens Poincaré hebben de filosofen in zekere zin gelijk.

‘Al twee weken spande ik me in om aan te tonen dat er helemaal geen functie kon bestaan van het type dat ik sindsdien fuchsiaanse functies heb genoemd; ik was toen behoorlijk onwetend; elke dag ging ik aan mijn bureau zitten en bracht dan een of twee uur door met een groot aantal combinaties uit te proberen zonder tot een resultaat te komen. Op een avond had ik zwarte koffie gedronken, geheel tegen mijn gewoonte, en ik kon niet slapen: de ideeën kwamen in groten getale in mij op, ik voelde hoe ze op elkaar botsten, totdat er zogezegd twee aan elkaar bleven haken om zo een stabiele combinatie te vormen. ’s Morgens had ik het bestaan van een klasse van fuchsiaanse functies bewezen, namelijk die afgeleid waren van de hypergeometrische functies.

Ik hoefde de resultaten alleen nog maar op te schrijven, wat me maar een paar uur kostte.’

Uit een lezing voor de Parijse psychologenvereniging over de manier waarop wiskundige vondsten tot stand komen.

Gepubliceerd in Science et méthode (1908).

‘Op een dag, terwijl ik de boulevard overstak, kwam de oplossing ineens in me op. Ik probeerde deze niet meteen uit te diepen, en het was pas na mijn militaire dienst dat ik de kwestie weer ter hand nam. Ik had alle elementen, ik hoefde slechts te verzamelen en te ordenen.

Ik redigeerde dus mijn memorandum in één keer en zonder enkele moeite.’

Poincaré schreef zijn wiskundige artikelen in één ruk en met groot gemak, alsof hij alleen maar iets op papier hoefde te zetten dat hij al helemaal tot in de puntjes had uitgedacht.

biografie

Informatie over alle reeds verschenen boeken in de reeks: www.veenmedia.nl

biografie

POINCARÉ

Deze biografie doet recht aan het vele fundamentele werk van Poincaré in de filosofie, de wiskunde en de natuurkunde.

Dat is een opmerkelijke prestatie, omdat de breedheid van Poincaré ongekend was.

Bijzonder aardig is ook dat de culturele achtergrond van Poincaré en zijn relaties met andere geleerden en filosofen uitvoerig aandacht krijgen.

BOTTAZZINI

P O IN CA RÉ

‘Om rekenkunde te bedrijven, om meetkunde te bedrijven of welke andere wetenschap dan ook, is er iets anders nodig dan zuivere logica.

Dat andere kunnen we met geen ander woord aanduiden dan intuïtie.’

POINCARÉ Wiskundige en filosoof

www.veenmedia.nl ISBN 9789085714095 NUR 918

WBio COVER Pointcare plus verhulst.indd 1

09-07-13 16:52

HOOFDSTUK

1

Poincaré nam met artikelen en boeken deel aan de debatten aan het begin van de twintigste eeuw.

De intellectuelen vroegen zich af: kon men de wiskunde baseren op zekere grondslagen?

Wat was de rol van de intuïtie in de wetenschap?

Het grote publiek wist de antwoorden orden van an Poincaré te waard waarderen. deren d eren.

De rol van de hypothese in de wetenschap

Wbio50 Poincare H1.indd 1000

09-07-13 08:39

Op 28 januari 1909 kwam de Académie française bijeen in een plechtige zitting om een nieuw lid te verwelkomen in haar kring van ‘Onsterfelijken’. Die benaming lijkt wat overdreven, ja zelfs ontoepasselijk voor een aantal academici die in het vergeetboek der geschiedenis zijn geraakt. Wie herinnert zich nog wie de allereerste leden waren van dit door Richelieu opgerichte gezelschap? In elk geval was de nieuwe uitverkorene, die de onlangs vacant gekomen zetel van de dichter Sully Prudhomme ging bezetten, verheven boven elke kwalificatie. Hij was ‘“de Meester” voor eenieder die deelneemt aan wiskundige studies’, ‘het unieke voorbeeld van een superioriteit die unaniem erkend wordt’, een man wiens ‘reputatie vastligt als ware het een axioma’. Deze loftuitingen waarmee de historicus Frédéric Masson, de directeur van de Académie, Henri Poincaré begroette, waren complimenten voor de gelegenheid, maar volkomen gerechtvaardigd.

Poincaré was 54 jaar toen hij in de Académie française werd gekozen. Dat is een zeldzaam privilege dat aan slechts enkele natuurwetenschappers werd gegund, zoals aan d’Alembert, Buffon en Laplace. Hij was een monument van de Franse en van de internationale cultuur. Poincaré was president van de Academie van Wetenschappen van Parijs en lid van 35 andere academies in de wereld, en hij was de grootste levende wiskundige. Enkele jaren eerder, in 1905, was zijn onbetwiste superioriteit erkend met een prijs waar het aanzienlijke geldbedrag van 10.000 goudkronen aan verbonden was (ongeveer een tiende van de Nobelprijs toen). De Hongaarse Academie van Wetenschappen had besloten deze prijs te geven aan de wiskundige die de afgelopen 25 jaar de grootste bijdrage had geleverd aan de vooruitgang van de wetenschap. De prijs was genoemd naar de Hongaar János Bolyai, een van de grondleggers, met Nikolaj Lobatsjevski, van de niet-euclidische meetkunde, en hij werd met unanieme stemmen aan Poincaré verleend omdat zijn werk ‘de hele wiskunde besloeg’. Poincaré was niet alleen een van de grootste wiskundigen ooit, en misschien wel de laatste die toonaangevend was in alle takken van wiskunde, maar hij was ook een diepzinnig filosoof die in zijn geschriften ‘een hele natie heeft ingewijd in de geheimen van de hoge wetenschappelijke filosofie’, in de woorden van Frédéric Masson.

Om dit grootse culturele doel te verwezenlijken, wisselde Poincaré wis- en natuurkundig toponderzoek af met publiekslezingen over recente wetenschappelijke ontwikkelingen en mengde hij zich in filosofische debatten door middel van buitengewoon succesvolle artikelen en boeken. ‘Wat een vreemd verschijnsel, die beroemdheid van Henri Poincaré, die zich triomfantelijk een weg baande door en zich opstelde te midden van vooroordelen, tegenspraken, intellectuele twisten en die bonte morele mengeling van het Parijs van die tijd,’ mijmerde Paul Appell, zijn jeugdvriend en collega aan de Sorbonne.

Poincaré dankte zijn beroemdheid zeker niet aan de een of andere handigheid om in de Parijse intellectuele kringen rond de eeuwwisseling te manoeuvreren, maar aan het buitengewone creatieve vermogen van zijn wiskundig denken.

Masson stelde vol bewondering: ‘U hebt tot nu toe geen andere voorgeschiedenis dan uw eigen bibliografie’, maar zijn oordeel berustte op horen zeggen. Masson bezat niet de noodzakelijke kennis om zelf die pagina’s te bestuderen die het

Poincaré op 18-jarige leeftijd.

1

Wbio50 Poincare H1.indd 1

09-07-13 08:39

2

Wbio50 Poincare H1.indd 2

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

Henri Poincaré in zijn werkkamer omstreeks 1910.

gezicht van de wiskunde veranderd hebben, en hij beperkte zich tot: ‘U bent geboren, u leeft en u zult sterven als wiskundige.’ Dat was een rake opmerking, want hoewel het scheen dat Poincaré ‘de wiskunde verliet voor de metafysica’ toen hij zijn beroemde filosofische werken schreef, was het toch de wiskunde die hem voorzag van argumenten, redeneringen en zelfs paradoxen.

De wetenschap gaat vooraf aan de hypothese De wiskunde is de inspiratie voor de filosofische overdenkingen in La science et l’hypothèse (1902, in 1979 vertaald als Wetenschap en hypothese). Binnen enkele jaren werden er 16.000 exemplaren van verkocht. Daardoor werd de auteur populair buiten de beperkte kring van specialisten die zijn ontdekkingsreizen in abstracte wetenschapsgebieden konden volgen. Het boek is eigenlijk een manifest. Het zet de voornaamste thema’s van Poincarés wetenschappelijke filosofie uiteen. Poincaré vraagt zich af waarom wetenschap en hypothesen iets met elkaar te maken hebben. Welke samenhang is er tussen voorlopige kennis die op hypothesen berust en die dus voortdurend gecontroleerd moet worden en de uitspraken van de wetenschap?

Poincaré antwoordt: Voor een oppervlakkige waarnemer is de wetenschappelijke waarheid boven alle twijfel verheven; de logica van de wetenschap is onfeilbaar en als de geleerden zich soms vergissen is dat omdat ze zich niet aan de regels houden.

De wiskundige waarheden zijn af te leiden uit een klein aantal evidente beweringen via een keten van onberispelijke redeneringen. Ze zijn niet alleen voor ons dwingend, maar ook voor de natuur zelve. Ze verplichten zogezegd de Schepper en staan Hem slechts toe tussen een tamelijk klein aantal oplossingen te kiezen. We hebben dus maar een paar proeven nodig om te weten welke keus Hij gemaakt heeft. Uit elke proef kan een menigte van gevolgtrekkingen worden gemaakt door wiskundige afleidingen, en zo kan elke proef ons een deel van het Universum leren kennen.

Dat is voor heel wat mensen, voor de scholieren die kennismaken met de grondbeginselen van de natuurkunde, de oorsprong van de wetenschappelijke zekerheid. Dat is zoals zij de rol van experimenten en van wiskunde begrijpen.

Is dat echt zo? Als men erover nadenkt, merkt men al snel op, zo zegt Poincaré, hoe beslissend de rol van de hypothese is, zowel in de wiskunde als in de experimentele wetenschappen. Men beseft dat deze rol ‘niet alleen […] noodzakelijk [is], maar […] meestal legitiem’. En dat op de keper beschouwd er ook meerdere soorten hypothesen bestaan.

János Bolyai (1802-1860) heeft het enige portret van zichzelf met een sabel kapotgemaakt. Dit is een recente reconstructie. De afbeelding die men vaak ziet, bijvoorbeeld op postzegels uit 1960 in Hongarije en Roemenië, is niet authentiek.

Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856).

3

Wbio50 Poincare H1.indd 3

09-07-13 08:39

Inductie door analogie ‘Sinds lange tijd denkt niemand er meer over om voorbij te gaan aan experimenten, of de wereld helemaal in elkaar te zetten op basis van enkele onrijpe hypothesen. Van al die constructies waarmee men zich geen eeuw geleden nog zo naïef vergenoegde, resten heden ten dage slechts ruïnes.

Alle wetten zijn aan de ervaring ontleend, maar om ze te formuleren is er een speciale taal nodig: de gewone taal is te arm en trouwens ook te vaag om de delicate verbanden uit te drukken die tevens zo rijk en precies zijn. […]

Maar hoe moet men generaliseren? Elke afzonderlijke waarheid kan duidelijk worden uitgebreid op oneindig veel manieren. Onder de duizend wegen die zich voor ons openen, moeten we een keuze maken, al is het maar een voorlopige. Wat zal ons leiden in die keus?

Dat kan niets anders zijn dan de analogie. […] Wie of wat heeft ons echte analogieën leren kennen, diepe analogieën, die de ogen niet kunnen zien, maar die de rede ons kan laten raden?

Dat is de wiskundige geest, die de materie verlaat om zich slechts te hechten aan de zuivere vorm. Die is het die ons heeft geleerd dat wij entiteiten die slechts materieel verschillen met dezelfde naam kunnen aanduiden…’

Ontleend aan de rede van Poincaré bij de opening van het Internationale Wiskundecongres van 1900.

De hypothesen van de wiskunde en de wiskundige wetenschappen zoals natuurkunde en astronomie zien er volgens Poincaré meestal slechts uit als hypothesen: in feite zijn ze ‘terug te brengen tot definities en afspraken in vermomming’. Ze zijn ‘het werk van de vrije activiteit van onze geest die op dit gebied geen remmingen kent. Daar kan onze geest iets vaststellen per decreet’, omdat hij volgens zijn eigen wetten handelt. Deze decreten zijn echter verre van willekeurig.

De ervaring laat ons de vrije keus, maar ze leidt ons wel en helpt ons de meest geschikte weg te kiezen.

Zo komt al vanaf de eerste pagina’s van Poincarés werk een van de leidende thema’s van zijn filosofische ideeën tevoorschijn, namelijk het conventionalisme. Poincaré vindt dat vele grondbeginselen van de wetenschap slechts handige afspraken zijn.

Het zou echter een te sterke versimpeling en vergissing zijn om te denken dat de filosofische gedachten van Poincaré beperkt blijven tot een soort nominalisme dat stelt dat de geleerde bedrogen wordt door de eigen definities en dat de wereld die hij meent te ontdekken slechts door de eigen willekeur geschapen is.

Poincaré moest zich tegen dit verwijt verdedigen. Hij betoogt dat de ‘karakteristiek van de vrij gekozen afspraak die men kan onderkennen in bepaalde basisbeginselen van de wetenschap’ helemaal niet de conclusie rechtvaardigt dat de wetenschappelijke vrijheid om afspraken te maken een vrijbrief voor willekeur inhoudt. Als dat het geval was, dan zou de wetenschap inderdaad nog wel zekerheden betreffen, maar steriel zijn en niet in staat zijn om ons ook maar ‘iets van de werkelijkheid’ te doen kennen.

Over de betrekkingen tussen de zuivere analyse en de mathematische fysica ‘Men heeft u ongetwijfeld vaak gevraagd waarvoor de wiskunde goed is, en of de delicate constructies die wij in hun geheel in onze geest volvoeren niet kunstmatig zijn en slechts voortgebracht door onze willekeur. Ik moet een onderscheid maken tussen de personen die deze vraag stellen. De praktisch ingestelde lieden willen van ons alleen maar een middel hebben om geld te verdienen. Die zijn het niet waard dat wij hun antwoorden. Dat doen we veeleer aan hen die het passend vinden zich af te vragen waarom we zoveel rijkdommen moeten vergaren en of we, om tijd te hebben om die te verkrijgen, kunsten en wetenschappen moeten verwaarlozen die onze ziel in staat stelt om ervan te genieten: et propter vitam vivendi perdere causas*.’

Henri Poincaré *Het Latijnse citaat is ontleend aan Satire VIII van Juvenalis en betekent ‘de redenen [om te leven] vernietigen om in leven te blijven’.

4

Wbio50 Poincare H1.indd 4

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

Volgens Poincaré kan de wetenschap ons alleen de verbanden tussen de objecten leren kennen, maar niet de objecten zelf, ondanks wat bepaalde naïeve dogmatici beweren. ‘Buiten deze verbanden bestaat er geen kenbare werkelijkheid’: deze conclusie van Poincaré in La science et l’hypothèse is de bekroning van een kritisch vertoog waarin hij de specifieke aspecten van de verschillende wetenschappen analyseert, om te beginnen de rekenkunde en de meetkunde.

De wiskundige Paul Appell (1855-1930) was een jeugdvriend van Poincaré.

Ze hadden samen op de middelbare school gezeten. Hij was geboren in de Elzas en deelde met Poincaré, die uit Lotharingen kwam, een door de rede verlichte vaderlandsliefde.

Keten van deducties of inducties?

‘Wat is de aard van de wiskundige redenering?’ vraagt Poincaré zich af in de inleiding van zijn boek, en hij hervat de discussie van een artikel uit 1894.

Is zij werkelijk deductief, zoals men gewoonlijk gelooft? Diepere analyse toont ons dat zij dat helemaal niet is, en dat ze in zekere zin deel heeft aan de aard van de inductieve redenering, en dat ze juist daarom zo vruchtbaar is. […]

Dat de wiskundige wetenschap al mogelijk is, lijkt een onoplosbare tegenspraak. Als deze wetenschap slechts schijnbaar deductief is, waar komt dan de perfecte gestrengheid vandaan waaraan niemand twijfelt? Als daarentegen alle proposities van de wiskunde uit elkaar kunnen worden afgeleid volgens de regels van de formele logica, waarom is de wiskunde dan niet slechts een immense tautologie?

De filosoof Immanuel Kant (1724-1804) meende dat de grondslagen van de meetkunde synthetische a-priori-oordelen waren.

5

Wbio50 Poincare H1.indd 5

09-07-13 08:39

‘Een syllogisme kan ons in wezen niets nieuws leren dat niet al in de premissen ligt besloten,’ voegt Poincaré hieraan toe. Dus met achter elkaar geplaatste syllogismen komt men niet verder dan met achter elkaar geplaatste gelijkheden. Moeten we dus maar toegeven, vraagt hij zich af, dat al die stellingen die opgesomd staan in zoveel boeken niets anders zijn dan ‘gecompliceerde manieren om A = A te zeggen?’ Deze constatering lijkt wel alle interesse in het vak te doden en het zelfs onmogelijk te maken om wiskunde te bedrijven. Hoe zouden we dit kunnen weerleggen?

Het lijkt vanzelfsprekend om terug te vallen op de axioma’s, de basis van het wiskundige redeneren. Maar dan verplaatst men alleen maar het probleem naar het begin van het deductieve proces. Wat valt er te zeggen van de axioma’s? Waar komen die vandaan? Om zich hieruit te redden is men wel verplicht de axioma’s te rangschikken onder de zogeheten synthetische a-priori-oordelen.

Poincarés tijdgenoten ontdekten tot hun verrassing dat hij de weg insloeg van de filosofie van Kant. De wiskundige haastte zich echter om de lezer te waarschuwen: Hiermee wordt het probleem niet opgelost, maar slechts benoemd.

Als we vinden dat wiskundig redeneren niet louter het aaneenrijgen van syllogismen is, dan moeten we op de een of andere manier proberen in te zien dat deze redeneerkunst ‘zelf een soort scheppende kracht heeft’. Laten we dan de wiskundige observeren terwijl die aan het werk is, en ‘proberen zijn werkwijze te ontdekken’.

Redeneren door recursie Het meest voor de hand liggende en gunstigste gebied voor een dergelijke studie is de elementaire rekenkunde, dat wil zeggen bewerkingen met gehele getallen. Als we de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen analyseren, merken we dat er een bepaald soort redenering ‘bij elke stap op dezelfde manier verloopt’, dat is ‘redeneren door recursie’: Men bewijst een stelling eerst voor het geval n = 1, en men toont vervolgens aan dat als de stelling klopt voor n – 1, zij dan ook waar is voor n, en men concludeert dan dat ze voor alle positieve gehele getallen waar is.

Poincaré stelde dat dit nu een bij uitstek wiskundige redenering is. Het bijzondere daarvan is ‘dat ze in samengebalde vorm een oneindig aantal syllogismen bevat’, en dat men daarmee van het bijzondere naar het algemene geval kan overstappen, van het eindige op het oneindige. Het is een idee dat al vanaf de allereerste stappen van de rekenkunde opduikt. Zonder dat ‘zou er geen wetenschap zijn omdat er geen algemene uitspraken gedaan kunnen worden’, maar slechts opsommingen van bijzondere gevallen.

Waar komt die ‘redenering door recursie’ vandaan, wilde Poincaré weten. Zeker niet uit de ervaring. Die kan ons suggereren dat de regel opgaat voor de eerste tien of de eerste honderd gehele getallen, maar ze is machteloos tegenover de oneindigheid van alle gehele getallen. Redeneren door tegenspraak, ook wel 6

Wbio50 Poincare H1.indd 6

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

Het beginsel van volledige inductie ofwel redenering door recursie Als een eigenschap van positieve gehele getallen geldt voor 1, en als men kan aantonen dat ze waar is voor n, mits ze dat voor n – 1 is, dan geldt die eigenschap voor alle positieve gehele getallen.

We gaan aantonen dat de som Sk van de eerste k positieve gehele getallen, dat wil zeggen 1 + 2 + 3 + … + k, gelijk is aan k(k + 1)/2. Inderdaad, S1 = 1, en dat is gelijk aan 1(1+1)/2. Dat is de eerste stap. Laten we aannemen dat de formule klopt voor k = n – 1.

Met andere woorden: we veronderstellen dat voor een verder willekeurige n > 1 geldt: Sn – 1 = (n – 1) ( n – 1 + 1)/2 Het rechterlid vereenvoudigen we tot (n2 – n)/2. Omdat per (recurrente) definitie Sn = Sn – 1 + n, volgt nu Sn = (n2 – n)/2 + n, dus Sn = (n2 + n)/2, dus Sn = n(n + 1)/2.

Dat is de formule met k = n, en we hebben de zogeheten inductiestap bewezen.

De conclusie is dat de formule waar is voor alle positieve gehele k.

Voor Poincaré is deze redenering het wiskundige bewijs bij uitstek.

genoemd bewijs uit het ongerijmde, werkt ook niet. Daarmee kunnen we wel bepaalde waarheden afleiden, maar het oneindige in een enkele formule bevatten, dat gaat niet. ‘Deze regel [namelijk de redenering door recursie] kan niet analytisch of door de ervaring bewezen worden en is dus echt van het type van een synthetisch a-priori-oordeel,’ concludeerde Poincaré. De ‘onweerstaanbare klaarblijkelijkheid’ waarmee dit beginsel zich opdringt, is niets anders dan de ‘bevestiging van de macht van de geest die zich in staat weet om het idee te bevatten van een onbepaalde herhaling van dezelfde handeling, zo gauw als men weet dat die handeling mogelijk is’.

De geest heeft van dit vermogen een directe intuïtie.

De ervaring maakt het mogelijk zich bewust te worden van deze intuïtie en de kracht ervan uit te buiten. Dat was volgens Poincaré de reden waarom volledige inductie een essentiële rol speelt in de wiskunde. Zij is de basis van een van de fundamentele bewijsprocedés.

In de natuurkunde denkt men dat als een proef heel vaak geslaagd is, ze verder altijd zal slagen. Dat is de zogeheten inductie in de empirische wetenschappen. Het is waar dat de volledige inductie van de wiskunde daarop lijkt, maar er is wel een belangrijk verschil. In de natuurkunde geeft inductie geen zekerheid en berust eigenlijk op iets buiten onszelf, namelijk de aanname dat het universum ordelijk in elkaar zit. Daarentegen dringt de wiskundige inductie, de bewijsmethode door 7

Wbio50 Poincare H1.indd 7

09-07-13 08:39

recursie, zich als noodzakelijk waar op ‘omdat zij niets anders is dan de bevestiging van een eigenschap van de geest zelve’. Ze kan daarom, besloot Poincaré, niet worden opgevat als een handige afspraak, zoals wel het geval is met bepaalde meetkundige axioma’s.

De grondslagen van de meetkunde Latijnse tekst van het begin van de Elementen van Euclides.

De eerste zin luidt: ‘Punctus est cuius pars non est’ (afgekort weergegeven): Een punt is wat geen delen heeft.

Het debat over de grondslagen van de meetkunde wordt belangrijk aan het eind van de negentiende eeuw. Poincaré nam er herhaaldelijk aan deel, lang voordat hij in 1902 La science et l’hypothèse publiceerde. Zijn eerste essay over het onderwerp, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, dateert van 1887. Daarin snijdt hij het volgende probleem aan: hoe kan men de bewegingen van vaste lichamen in twee dimensies in het euclidische vlak kenschetsen? Het gaat daarbij om bewegingen waarbij willekeurige puntenparen van het lichaam hun onderlinge afstand behouden. Zulke bewegingen zijn bijvoorbeeld de parallelle verschuivingen van een vlakke figuur, draaiingen en combinaties daarvan.

Poincaré had meetkundes bestudeerd waarvoor twee belangrijke axioma’s golden. Het eerste axioma was ‘het vlak heeft twee dimensies’; het tweede: ‘de positie van een figuur in het platte vlak wordt door drie parameters vastgelegd’. Vervolgens koos hij zorgvuldig andere hypothesen, zoals dat een figuur die het vlak niet verlaat, op zijn plaats blijft als twee van zijn punten vast blijven, en de aanname dat de afstand tussen punten nul is als en alleen als die punten samenvallen. Ook veronderstelde hij dat twee rechten elkaar in slechts één punt sneden en dat de som van de hoeken van een driehoek een constante was. Poincaré karakteriseerde vervolgens de euclidische bewegingsgroep, dat wil zeggen de draaiingen, verschuivingen en de combinaties daarvan. Verder vroeg Poincaré zich af hoe men deze hypothesen moet beschouwen. ‘Zijn het proefondervindelijke feiten, analytische of synthetische a-priori-oordelen?’ Wie had er gelijk, wiskundigen als Isaac Newton en Carl Friedrich Gauss, die meenden dat de meetkunde onderdeel was van de mechanica en dat de axioma’s niets anders waren dan constateringen van experimentele feiten, of de filosofen die, in navolging van Immanuel Kant, zich duidelijk uitspraken voor a-priori-kennis?

Newton had in zijn Principia geschreven over het absolute karakter van de ruimte en die legitimeerde natuurlijk een absolute en onbetwijfelbare meetkunde.

Maar deze meetkunde was geen complete wetenschap.

Zoals hij in zijn voorwoord schreef: ‘[...] meetkunde is

8

Wbio50 Poincare H1.indd 8

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

gegrondvest op de praktische mechanica en is niets anders dan dat deel der universele mechanica die de kunst van het meten nauwkeurig voorstelt en bewijst.’

Gauss was het hier helemaal mee eens. Hij beschouwde de rekenkunde als een zuivere a-priori-wetenschap, maar de meetkunde was volgens hem slechts een tak van de mechanica. Hij nam openlijk stelling tegen de opvattingen van Kant in diens Kritik der reinen Vernunft (1781), waarin de auteur had getheoretiseerd over de synthetische a-priori-aard – en dus over hun noodzakelijke waarheid – van meetkundige uitspraken. ‘De ruimte is geen proefondervindelijk idee, dat is ontleend aan ervaringen van buitenaf’, had de filosoof uit Königsberg geschreven. ‘Zij is een noodzakelijke a-priori-voorstelling die de basis is voor alle intuïtie over de buitenwereld.’ In het bijzonder is de meetkunde ook geen ‘logisch of universeel idee om de betrekkingen tussen zaken in het algemeen te formuleren’, zoals Gottfried Wilhelm von Leibniz dacht. Zij is een zuivere intuïtie waarop ‘de onomstotelijke zekerheid van alle meetkundige beginselen en a-priori-mogelijkheid van haar constructies berust’. Kant had de euclidische meetkunde voor ogen, de enige die in zijn tijd bekend was, toen hij stelde: ‘De meetkunde is een wetenschap die synthetisch, en zelfs a priori de eigenschappen van de ruimte bepaalt.’

Niet-euclidische meetkundes De ontdekking van de niet-euclidische meetkundes vaagde de kantiaanse ideeën weg. ‘Als de meetkundige axioma’s synthetische a-priori-oordelen waren,’ beweerde Poincaré, ‘dan zouden zij zich met zoveel kracht aan ons opdringen, dat wij helemaal geen tegenovergestelde ideeën zouden kunnen hebben, en er ook geen en. Het theorieën over konden opstellen.’ ie is principe van volledige inductie oreen echt a priori synthetisch oordeel. Als we dat ontkennen, zou-den we een foute rekenkunde kunnen opstellen. Maar onderTemperatuur T zoek van het vijfde postulaat van Euclides heeft ons geleerd hoe we niet-euclidische meetkundes kunnen opstellen.

Poincaré concludeerde dat de Te mpe ratuur 0 axioma’s van de meetkunde geen synthetische a-priori-oordelen kunnen zijn, en al helemaal geen analytische, omdat als ze dat waren, ‘zou het onmogelijk zijn zich eraan te onttrekken en ook maar iets te grondvesten op hun ontkenning’. Het zou niet mogelijk zijn om andere meetkundes te bedenken dan die van Euclides, maar dat was precies wat Bolyai en Lobatsjevski hadden gedaan.

Moet men dan concluderen dat de axioma’s experimentele gegevens zijn? Dat ook niet, betoogde Poincaré. Deze zienswijze van Gauss en Newton is ook niet houdbaar. De ervaringen hebben betrekking op materiële objecten, zegt Poincaré, en niet op de geïdealiseerde objecten van de meetkunde, zoals rechten, driehoeken

De wereld volgens Poincaré De door Poincaré bedachte wereld: deze bestaat uit het inwendige van een bol waarin de temperatuur daalt naarmate men de rand van de bol nadert. De straal van de bol is R, en op een afstand r van het middelpunt is de temperatuur evenredig met R2 – r2. Ze nadert dus tot nul als men tot de rand van de bol nadert. (Zie figuur a.) In deze wereld is de lengte van de inwoners evenredig met de temperatuur. Hoeveel stapjes ze ook doen, ze kunnen de rand van de bol nooit bereiken. (Zie figuur b.) Ook de lichtsnelheid in het medium in die wereld is evenredig met de temperatuur, en dus is de brekingsindex omgekeerd evenredig met de temperatuur.

Daardoor zijn de lichtstralen gekromd en in feite zijn alle lichtstralen cirkels die het boloppervlak loodrecht naderen. (Zie figuur c.) Voor de bewoners van deze wereld zijn de axioma’s van de meetkunde die van Lobatsjevski.

b

c

9

Wbio50 Poincare H1.indd 9

09-07-13 08:39

en cirkels. Wij redeneren daarover alsof het gaat om tastbare starre objecten waarvan de materiële eigenschappen meetkundige eigenschappen suggereren.

Als er geen vaste lichamen in de natuur bestonden, zou er geen meetkunde zijn.

Definitie van een groep Een groep is een verzameling met een bewerking erop. Deze bewerking voegt aan twee elementen van die verzameling weer een element van de verzameling toe.

De bewerking is associatief, met andere woorden: (ab)c = a(bc) is altijd waar.

In een groep is er een neutraal element: bewerking met het neutraal element geeft ‘hetzelfde’, bijvoorbeeld x + 0 = x.

Bovendien kan elke bewerking met een element ongedaan worden gemaakt door een bewerking met het daarbij behorende inverse element. Voorbeelden van groepen zijn: de rotaties rond een gegeven punt in het platte vlak; de verzameling van de verschuivingen in het platte vlak.

In sommige groepen kunnen elementen willekeurig dicht bij elkaar liggen of zelfs door een lijn verbonden worden.

We spreken dan van continue groepen, bijvoorbeeld de rotaties rond een punt. Als dit niet het geval is en er een minimumafstand is tussen de elementen, spreken we van een discontinue of discrete groep, bijvoorbeeld de gehele getallen met optellen als bewerking.

Niettemin, als de veronderstellingen die gebruikt worden om de euclidische meetkunde te definiëren experimentele feiten zouden zijn, en de meetkunde was per slot van rekening een experimentele wetenschap, dan zou ze slechts een provisorisch karakter hebben, ‘zij zou onderworpen zijn aan gedurige revisies en geen exacte wetenschap zijn’. We zouden zelfs zeker weten dat ze fout was omdat we zeker weten dat er geen echt volkomen starre lichamen zijn. De conclusie van Poincaré was dus dat de meetkundige axioma’s geen synthetische a-priori-oordelen zijn, noch experimentele feiten, maar dat het conventies, afspraken zijn. Deze afspraken zijn gebaseerd op de eigenschappen van vaste lichamen en op de voortplanting van het licht langs rechte lijnen, met andere woorden op ervaringen uit de mechanica en de optica. Om ons daarvan rekenschap te geven, gaan we wezens bedenken die in een andere fysische omgeving leven dan de onze en gaan we onderzoeken hoe hun meetkunde eruitziet.

Meetkunde is niet waar, maar minder of meer geschikt Veronderstel eens dat er een wereld bestaat die geheel bevat is in een grote bol met straal R. (Het voorbeeld is van Poincaré.) De temperatuur in deze wereld is maximaal in het centrum en verder evenredig met R2 – r2, waarin r de afstand (zoals door ons gemeten) tot het middelpunt is. Als men de rand van de bol nadert, gaat de temperatuur naar het absolute nulpunt. We veronderstellen verder dat alle objecten in de bol een afmeting hebben die evenredig is met de plaatselijke temperatuur. Als zo’n object verplaatst wordt, neemt het meteen de temperatuur van de omgeving aan. Als de bolbewoners naar de rand reizen, krijgen ze het steeds kouder en worden ze steeds kleiner, en dus hun stapjes ook. En hoeveel stapjes ze ook nemen, ze bereiken nooit de rand van de bol. Van ons uit gezien, is de bol dus begrensd, maar voor de bewoners van de bol is de rand van het universum oneindig ver weg. We nemen verder aan dat ook de lichtsnelheid evenredig is met de temperatuur (dus als de bewoners hun lengte in lichtseconden opmeten, zijn ze overal even lang). Dat wil zeggen dat de brekingsindex in deze wereld omgekeerd evenredig is met de temperatuur. Dan zal het licht niet in rechte lijnen (van ons uit gezien) lopen, maar elke lichtstraal is een cirkelsegment dat in beide uiteinden loodrecht op de wand van de bol staat. De enige lichtstralen die geen cirkelsegment zijn, zijn rechte lijnen door het middelpunt van de bol. Als de bolbewoners nu meetkunde gaan bedrijven op basis van hun ervaringen, zullen ze een niet-euclidische meetkunde verkrijgen.

We kunnen iets dergelijks ook doen voor hypothetische wezens in vier dimensies. Welke conclusie kunnen we trekken uit de bestudering van deze fantastische werelden? Volgens Poincaré betekende het dat de meetkundige axioma’s conventies zijn en dat de keuze tussen de verschillende mogelijke conventies wordt

10

Wbio50 Poincare H1.indd 10

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

‘geleid door experimentele feiten; ze blijft echter vrij en wordt slechts beperkt door de noodzaak tegenspraken te vermijden’. Dat is de reden waarom de postulaten beschouwd kunnen worden als exact waar, zelfs als de feiten of de objecten die onze keus geleid hebben niet volledig bekend zijn.

Moeten we nu blijven vragen naar de waarheid van de meetkunde, zoals Gauss deed, en ons afvragen of de meetkunde van Euclides wel de ‘ware’ is? Voor Poincaré zijn de axioma’s van de meetkunde (maar niet die van de rekenkunde!) slechts vermomde definities en daarom is de vraag naar de ‘waarheid’ van de euclidische meetkunde zinloos:

Het debat over de nieuwe meetkundes inspireerde de kunstenaars. Hier zien we ‘Interior of the fourth dimension’ (1913) door Max Weber.

11

Wbio50 Poincare H1.indd 11

09-07-13 08:39

Het is zoiets als vragen of het metrische systeem waar is en de ouderwetse lengtematen onwaar; of cartesiaanse coördinaten waar zijn en poolcoördinaten onwaar.

Dat is geen waarheidsbegrip waardoor we ons moeten laten leiden.

De ene meetkunde kan niet meer waar zijn dan de andere, ze kan alleen maar handiger zijn.

En het lijdt geen twijfel dat de euclidische meetkunde de eenvoudigste is en dat ze goed overeenstemt met hetgeen de waarneming aan de bewegingen van vaste lichamen ons suggereert.

De voorstelling door Maurits Cornelis Escher van een wereld van tweedimensionale wezens in een niet-euclidische meetkunde van Lobatsjevski zoals verbeeld door Poincaré.

12

Wbio50 Poincare H1.indd 12

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

Volgens Poincaré ging het vermogen van de geest om een gedachtehandeling oneindig vaak te herhalen veel verder dan de beginselen van de rekenkunde. Hij vond het ook in bepaalde ideeën van de abstracte algebra, zoals het idee van een groep. In zekere zin ‘bestaat die al in onze geest, minstens als vermogen’.

Poincaré was ervan overtuigd dat ‘het min of meer onbewuste idee van een continue groep de enige logische basis is van onze meetkunde’, aangezien de psychologische oorsprong van de meetkunde ligt in de waarneming van de bewegingen van starre lichamen. Dat had de natuurkundige Hermann von Helmholtz al eerder beweerd.

Nog steeds volgens Poincaré, zijn de beginselen van de mechanica zelf afspraken, net als de axioma’s van de meetkunde. Absolute ruimte, absolute tijd en de euclidische meetkunde gaan niet vooraf aan de mechanica. Integendeel, en precies tegenovergesteld aan wat Newton meende, er bestaat geen absolute ruimte en tijd. Beweren dat twee tijdsintervallen gelijk zijn, heeft op zichzelf geen enkele betekenis. Zo’n betekenis kan alleen maar door afspraken verkregen worden. We hebben bovendien geen ‘directe intuïtie’ van de ‘gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen die zich op verschillende plaatsen afspelen’. De euclidische meetkunde is een taalconventie om de feiten van de mechanica te beschrijven. We kunnen heel goed een andere meetkunde kiezen, maar dan zouden de beweringen van de mechanica veel ingewikkelder worden.

De rol van experimentele feiten Wanneer we wetten bestuderen zoals die van Newton, bijvoorbeeld F = ma, of de parallellogramregel voor de samenstelling van krachten, moeten we beseffen dat het in feite maar afspraken zijn, dacht Poincaré. Maar net zoals in de meetkunde gaat het niet om zomaar wat willekeurige afspraken. Zeggen dat die afspraken willekeurig zijn, voegde hij eraan toe – daarmee impliciet kritiek leverend op de nominalistische visie –, is onaanvaardbaar, tenzij we de experimentele oorsprong van die conventies zouden vergeten. ‘De ervaring is de enige bron van waarheid: zij alleen kan ons iets nieuws leren’, schreef Poincaré.

Toch zijn waarnemingen en proeven op zichzelf onvoldoende. Als de wetenschap is opgebouwd uit feiten, zoals een huis uit bakstenen, dan is ‘een verzameling feiten evenmin een wetenschap als een stapel stenen een huis is’, vervolgde hij. Het is nodig de feiten uit de ervaring en proeven te ordenen, zodat men weet hoe ze te gebruiken en te generaliseren.

En vóór alles moet de wetenschapper voorspellingen doen.

Poincaré terwijl hij lesgeeft.

Schets (1908) door een van zijn leerlingen.

13

Wbio50 Poincare H1.indd 13

09-07-13 08:39

En daar komt de hypothese in het spel. ‘Elke generalisatie is een hypothese’ die de wetenschapper voortdurend aan verificatie onderwerpt. Als de hypothese de proef niet doorstaat, dan moeten we haar zonder spijt verwerpen. Een wetenschapper die een hypothese verwerpt, zou zelfs blij moeten zijn, lichtte Poincaré toe, want dat betekent dat hij ‘zojuist een onverwachte ontdekking heeft gedaan’. Was de verworpen hypothese dan nutteloos geweest? Helemaal niet, aldus Poincaré, ‘men zou kunnen zeggen dat ze meer nut heeft gehad dan een ware hypothese’ omdat ze ‘de gelegenheid heeft geboden voor een beslissende proef’ die anders alleen als toevallige waarneming zou hebben kunnen optreden en die dan geen enkel gevolg gehad zou hebben als de onware hypothese niet was geformuleerd. Poincaré waarschuwde dat het ondertussen ‘belangrijk is dat de hypothesen niet onbeperkt worden vermenigvuldigd’, want als een proef een theorie verwerpt die berust op meerdere hypothesen, is het moeilijk om na te gaan welke aannamen niet deugen. Het is dus duidelijk dat de moderne wetenschapsfilosofie wortels heeft die ver terug reiken.

Poincaré had ze trouwens al geïntroduceerd in zijn rede voor het Internationale Wiskundecongres in Parijs in 1900, al voor hij zijn overpeinzingen in La science et l’hypothèse publiceerde.

Hilberts grondslagen van de meetkunde In het jaar dat zijn boek verscheen, onderzocht Poincaré opnieuw de aard van de meetkundige axioma’s. Hij deed dat in een lange en gedetailleerde kritische analyse van Grundlagen der Geometrie (1899) van David Hilbert. Het boek van Hilbert, vaak voorzien van toevoegingen en appendices in vele heruitgaven, is een klassiek werk in de geschiedenis van de wiskunde, en men heeft het vergeleken met de Elementen van Euclides. Gedurende twee millennia was de tekst van Euclides een ongeëvenaard model van gestrengheid, maar in de twintigste eeuw hebben de Grundlagen van Hilbert een bepalende rol gespeeld in de ontwikkeling van de meetkundige denkwijze en ze waren ook de bevestiging van de axiomatische methode. Poincaré schreef dat de wiskundigen van zijn tijd ‘die dachten dat ze zich konden beperken tot het verlenen van burgerrechten aan de niet-euclidische meetkundes, hun illusies wel zouden verliezen bij het lezen van Hilberts werk. Zij zagen daar het raamwerk waarin zij ons hadden willen opsluiten aan alle kanten in duigen vallen.’

Hilbert ging uit van drie soorten objecten die hij punten, rechten en vlakken noemde. Daarvoor stelde hij een stelsel axioma’s op dat volledig moest zijn, zo eenvoudig mogelijk, maar dat toeliet dat alle meetkundige stellingen over deze objecten streng bewezen konden worden. Een voorbeeld is de stelling dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek het snijpunt is van de drie middelloodlijnen van die driehoek. Hilbert wilde aantonen dat zijn meetkunde vrij was van tegenspraken, dat wil zeggen dat men uit de axioma’s niet zowel een stelling als de ontkenning van die stelling kon afleiden. Hiertoe construeerde hij een rekenkundig model, namelijk de analytische meetkunde van René Descartes.

Die voldoet aan alle axioma’s, en een tegenspraak op basis van de meetkundige axioma’s levert dus ook een tegenspraak in de rekenkunde van de reële getallen.

14

Wbio50 Poincare H1.indd 14

09-07-13 08:39

HOOFDSTUK

1 De rol van de hypothese in de wetenschap

Hilbert vervolgde zijn overwegingen en vroeg zich af hoe men zou kunnen aantonen dat de axioma’s van de rekenkunde geen tegenspraken kunnen opleveren. Dat was voor Poincaré geen probleem. Zijn antwoord berustte op het vermogen van de intuïtie, die voor hem de basis was voor de mathematische inductie, waar Hilbert hoe dan ook zijn bewijs op zou moeten terugvoeren. Hilbert erkende van zijn kant geen enkele bevoorrechte status toe aan redeneren door volledige inductie. Het zoeken naar een direct en afdoende bewijs van contradictievrijheid ging een steeds belangrijker probleem worden voor Hilbert, want die wilde op uiterst strenge wijze de grondslagen voor de hele wiskunde leggen. Hilbert en Poincaré hadden opvallend verschillende zienswijzen.

Wat kon Poincaré nu dus zeggen over Hilberts boek? Hij zei dat de wiskundige uit Göttingen zich ‘slechts vanuit logisch standpunt’ voor de meetkunde interesseerde. Dat hij voor een rij beweringen aantoonde hoe ze uit de allereerste volgen, maar ‘hij houdt zich niet bezig met het fundament van de eerste bewering’. De axioma’s worden simpelweg geformuleerd, maar ‘men weet niet waar ze vandaan komen’. In de constructie van Hilbert was er geen plaats voor de intuïtie, noch voor de psychologische oorsprong van basisbegrippen van de meetkunde. Daarom was het werk dat niettemin ‘de filosofie van de wiskunde aanzienlijk vooruitbrengt’ toch ‘onvolledig’ in de ogen van Poincaré. Hun verschil in opvattingen kwam al aan het licht tijdens het Internationale Wiskundecongres in Parijs in 1900.

Grundlagen der Geometrie (1899) van David Hilbert.

15

Wbio50 Poincare H1.indd 15

09-07-13 08:39