Meetkundige van de natuur Na eerdere biografieën over legendarische wiskundigen als Gödel, Fermat, Pascal, Gauss, Descartes, Leibniz en Galois werd het hoog tijd voor Bernhard Riemann, die van onschatbare waarde was voor de ontwikkeling van de moderne wiskunde. Bernhard Riemann (1826-1866) was een bescheiden mens, maar als meetkundige droomde hij van een theorie die alle natuurwetten zou omvatten. Hoewel hij al sinds zijn jeugd een zwakke gezondheid had – hij leed aan hypochondrie en viel ten prooi aan verwoestende depressies –, wist hij zijn denken te bevrijden in de wetenschap. Stoutmoedig sloeg hij een richting in die het kader van de wiskunde te buiten ging – tot op het gebied van de fysica, de filosofie en zelfs de psychologie. Ondanks zijn korte leven – hij was nog geen veertig toen hij overleed – liet Riemann een ongelooflijk rijke erfenis na. Zijn werk ontsteeg de euclidische meetkunde, die sinds de Oudheid de overhand had, en maakte de weg vrij voor Einsteins relativiteitstheorie.
Leven en werk van een veelzijdig pionier aan de basis van de moderne wiskunde
DE AUTEUR
Rossana Tazzioli is in 1986 afgestudeerd in de wiskunde aan de universiteit van Genua en in 1993 gepromoveerd aan de universiteit van Bologna. In 2008 werd zij gasthoogleraar aan de Université Pierre et Marie Curie in Parijs. Momenteel is zij docent aan de universiteit van Lille 1 in het wiskundig Laboratoire Paul Painlevé. Tazzioli is gespecialiseerd in de (recente) geschiedenis van de wiskunde en publiceerde daarover tal van artikelen en boeken, waaronder de biografie Gauss – Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper, die ook in deze reeks is verschenen..
Deel 49 in de
biografie
www.veenmedia.nl ISBN 9789085713982 NUR 918 9 789085 713982
WBio COVER Riemann.indd 1
ROSSANA
‘Dit is echt een geweldig boek; ik heb het uit mijn hoofd geleerd.’
TAZZIOLI
De jonge Riemann over Legendres Essai sur la Théorie des Nombres, een verhandeling over de getaltheorie die in 1798 werd gepubliceerd en veel herdrukken heeft gehad
‘Sinds de tijden van Euclides tot aan Legendre, om maar de beroemdste moderne grondlegger van de meetkunde te noemen, is deze obscuriteit overwonnen noch door de meetkundigen noch door de filosofen.’ De moeilijkheden die de wiskundigen tegenkwamen bij kwesties die de grondslagen van de meetkunde betroffen, schreef Riemann zowel toe aan de verwarring tussen metrische en topologische begrippen, als aan het feit dat ‘het algemene begrip meervoudig uitgebreide grootheden volstrekt niet is uitgewerkt’. Riemann werd ook wel ‘de meest diepgaande filosoof van de meetkunde’ genoemd.
‘Na het schrijven van mijn habilitatie heb ik opnieuw mijn andere werk opgepakt, over de samenhang tussen elektriciteit, galvanisme, licht en zwaartekracht, en ik ben gekomen op het punt dat ik het zonder aarzeling in deze vorm kan publiceren. Maar tegelijk is mij verteld dat Gauss al heel veel jaren werkt aan deze kwesties en dat hij enkele vrienden, onder wie [W.] Weber, op de hoogte heeft gesteld van mijn geheimhoudingsverzoek. […] Ik hoop dat het voor mij niet te laat is en dat mij wordt erkend dat ik deze kwesties helemaal alleen heb uitgedacht.’ Natuurfilosofische onderzoeken lagen de jonge Riemann na aan het hart, zoals blijkt uit een brief aan zijn broer Wilhelm uit 1853
‘Dit is voor mij belangrijk omdat het de eerste keer is dat ik mijn werken kan gebruiken om een experiment te verklaren dat nog niet bekend is.’ Over zijn zoektocht naar een verklaring voor het verschijnsel van de residulading in de Leidse flessen, dat niet kon worden verklaard door de experimentele natuurkundigen van die tijd (1854)
biografie
Informatie over alle reeds verschenen boeken in de reeks: www.veenmedia.nl
biografie
RIEMANN
Riemanns werk was van groot belang voor Einstein
TAZZIOLI
R IEMA N N
RIEMANN
Meetkundige van de natuur
04-06-13 21:20
Meetkundige van de natuur Na eerdere biografieën over legendarische wiskundigen als Gödel, Fermat, Pascal, Gauss, Descartes, Leibniz en Galois werd het hoog tijd voor Bernhard Riemann, die van onschatbare waarde was voor de ontwikkeling van de moderne wiskunde. Bernhard Riemann (1826-1866) was een bescheiden mens, maar als meetkundige droomde hij van een theorie die alle natuurwetten zou omvatten. Hoewel hij al sinds zijn jeugd een zwakke gezondheid had – hij leed aan hypochondrie en viel ten prooi aan verwoestende depressies –, wist hij zijn denken te bevrijden in de wetenschap. Stoutmoedig sloeg hij een richting in die het kader van de wiskunde te buiten ging – tot op het gebied van de fysica, de filosofie en zelfs de psychologie. Ondanks zijn korte leven – hij was nog geen veertig toen hij overleed – liet Riemann een ongelooflijk rijke erfenis na. Zijn werk ontsteeg de euclidische meetkunde, die sinds de Oudheid de overhand had, en maakte de weg vrij voor Einsteins relativiteitstheorie.
Leven en werk van een veelzijdig pionier aan de basis van de moderne wiskunde
DE AUTEUR
Rossana Tazzioli is in 1986 afgestudeerd in de wiskunde aan de universiteit van Genua en in 1993 gepromoveerd aan de universiteit van Bologna. In 2008 werd zij gasthoogleraar aan de Université Pierre et Marie Curie in Parijs. Momenteel is zij docent aan de universiteit van Lille 1 in het wiskundig Laboratoire Paul Painlevé. Tazzioli is gespecialiseerd in de (recente) geschiedenis van de wiskunde en publiceerde daarover tal van artikelen en boeken, waaronder de biografie Gauss – Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper, die ook in deze reeks is verschenen..
Deel 49 in de
biografie
www.veenmedia.nl ISBN 9789085713982 NUR 918 9 789085 713982
WBio COVER Riemann.indd 1
ROSSANA
‘Dit is echt een geweldig boek; ik heb het uit mijn hoofd geleerd.’
TAZZIOLI
De jonge Riemann over Legendres Essai sur la Théorie des Nombres, een verhandeling over de getaltheorie die in 1798 werd gepubliceerd en veel herdrukken heeft gehad
‘Sinds de tijden van Euclides tot aan Legendre, om maar de beroemdste moderne grondlegger van de meetkunde te noemen, is deze obscuriteit overwonnen noch door de meetkundigen noch door de filosofen.’ De moeilijkheden die de wiskundigen tegenkwamen bij kwesties die de grondslagen van de meetkunde betroffen, schreef Riemann zowel toe aan de verwarring tussen metrische en topologische begrippen, als aan het feit dat ‘het algemene begrip meervoudig uitgebreide grootheden volstrekt niet is uitgewerkt’. Riemann werd ook wel ‘de meest diepgaande filosoof van de meetkunde’ genoemd.
‘Na het schrijven van mijn habilitatie heb ik opnieuw mijn andere werk opgepakt, over de samenhang tussen elektriciteit, galvanisme, licht en zwaartekracht, en ik ben gekomen op het punt dat ik het zonder aarzeling in deze vorm kan publiceren. Maar tegelijk is mij verteld dat Gauss al heel veel jaren werkt aan deze kwesties en dat hij enkele vrienden, onder wie [W.] Weber, op de hoogte heeft gesteld van mijn geheimhoudingsverzoek. […] Ik hoop dat het voor mij niet te laat is en dat mij wordt erkend dat ik deze kwesties helemaal alleen heb uitgedacht.’ Natuurfilosofische onderzoeken lagen de jonge Riemann na aan het hart, zoals blijkt uit een brief aan zijn broer Wilhelm uit 1853
‘Dit is voor mij belangrijk omdat het de eerste keer is dat ik mijn werken kan gebruiken om een experiment te verklaren dat nog niet bekend is.’ Over zijn zoektocht naar een verklaring voor het verschijnsel van de residulading in de Leidse flessen, dat niet kon worden verklaard door de experimentele natuurkundigen van die tijd (1854)
biografie
Informatie over alle reeds verschenen boeken in de reeks: www.veenmedia.nl
biografie
RIEMANN
Riemanns werk was van groot belang voor Einstein
TAZZIOLI
R IEMA N N
RIEMANN
Meetkundige van de natuur
04-06-13 21:20
HOOFDSTUK
1
De jonge Bernhard, die van eenvoudige afkomst is, maakt indruk op zijn leraren vanwege zijn zeldzame wiskundige gaven. Aan de universiteit van Gรถttingen krijgt hij les van de grote Gauss, de princeps mathematicorum.
Van de provincie naar de prestigieuze universiteit
Wbio49 Riemann H1.indd 1000
04-06-13 20:45
Het is de continuïteit van de geschiedenis. De zuivere wiskunde boekt vooruitgang naarmate de bekende problemen op gedetailleerde wijze worden verdiept in navolging van de ontwikkeling van nieuwe methoden; hoe beter men de oude problemen begrijpt, hoe spontaner de nieuwe zich voordoen. Felix Klein, 1894 ‘Het zou moeilijk en onbezonnen zijn de chances te analyseren die de toekomst in petto heeft voor de ontwikkeling van de wiskunde; in nagenoeg alle takken van de wiskunde wordt men belemmerd door onoverbrugbare moeilijkheden; het perfectioneren van de details lijkt het enige dat ons rest. Al deze moeilijkheden lijken aan te kondigen dat de potentie van onze analyse praktisch uitgeput is.’ Dit waagde de astronoom Jean-Baptiste Delambre, secrétaire perpetuel van de sectie wiskunde en natuurkunde van het Institut de France, in 1817 te schrijven in zijn Historisch verslag over de vooruitgang van de wiskundige wetenschappen na 1789 en over hun huidige toestand. Voorspellingen zijn altijd heel gevaarlijk en dienen zo veel mogelijk te worden vermeden, lijkt de verborgen boodschap achter deze woorden te zijn. De wiskunde zou in de negentiende eeuw inderdaad een ongelooflijke ontwikkeling doormaken en mensen als Gauss en Riemann zouden niet terugverlangen naar de eeuw van Delambre. Die eeuw lijkt overschaduwd en bijgesteld door de grootsheid van de periode die erop zou volgen. ‘Een periode die volgde op de Eeuw van de Genieën en vooruitliep op het Gouden Tijdperk van de wiskunde kon niet anders worden beschouwd dan als een prozaïsch tussenspel.’ Dit schreef Carl B. Boyer over de achttiende eeuw. Een andere historicus, Morris Kline, zegt over de wiskunde in de eeuw van de Verlichting: ‘Als de zeventiende eeuw met recht de eeuw van het genie is genoemd, dan zou de achttiende eeuw de eeuw van het vernuft kunnen worden genoemd.’ Maar al formuleerden de wiskundigen van de achttiende eeuw geen originele noch vruchtbare theorieën die zich kunnen meten met de infinitesimaalrekening – de bloem in het knoopsgat van de eeuw die erop volgde – of met de fabuleuze creaties van de negentiende-eeuwse wiskunde, toch hebben zij belangrijke bijdragen geleverd aan de verschillende vakgebieden van de wiskunde: van de oneindige reeksen tot de differentiaalvergelijkingen, van de differentiaalmeetkunde tot de variatierekening. Door de berekeningen van Leibniz en Newton toe te passen en uit te breiden in deze disciplines, ontstond er een nieuw gebied binnen de wiskunde dat wij nu algemeen aanduiden als analyse. De analyse speelde door de hele achttiende eeuw heen een hoofdrol in het onderzoek van de natuurwetten. Stukje bij beetje werden de meetkundige methoden in kaart gebracht die tot dan toe hadden overheerst in de studie van de mechanische problemen. Zo schreef Joseph Louis de Lagrange in het voorwoord van zijn beroemde Mécanique analytique (1788), dat al snel een klassieker werd: ‘Wij hebben al verschillende verhandelingen over de Mechanica, maar de opzet van deze laatste is volledig nieuw. Ik heb mijzelf de taak opgelegd deze wetenschap en de kunst de problemen op te lossen die daartoe behoren, te reduceren tot algemene formules waarvan de eenvoudige uitwerking alle vergelijkingen geeft die nodig zijn voor de oplossing van elk mogelijk probleem […] Zij die houden van de analyse zullen blij zijn te zien dat de
Isaac Newton (1643-1727) was, samen met Gottfried Wilhelm Leibniz, de belangrijkste exponent van het wiskundige denken van de zeventiende eeuw.
1
Wbio49 Riemann H1.indd 1
04-06-13 20:45
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
mechanica er een nieuwe tak van wordt en zij zullen mij erkentelijk zijn dat ik het domein ervan heb uitgebreid.’ Mede dankzij Riemann vindt er in de negentiende eeuw een spectaculaire ontwikkeling van de analyse plaats: onder meer ontstaan dan de complexe analyse, met alle implicaties voor de algebraïsche meetkunde, de topologie en de getaltheorie – die neigt tot een steeds grotere ‘rigorisering’. Al snel wordt de negentiende-eeuwse wiskunde echter verrijkt met nieuwe disciplines, die ex novo worden gecreëerd, zoals de differentiaalmeetkunde, de niet-euclidische meetkunde, de abstracte algebra en de verzamelingenleer. De basis van al deze energie in de ideeën en de wiskundige productie van die eeuw ligt mede in de activiteiten die de wiskundige in het wetenschappelijke en culturele leven verrichtte. Wat dat betreft zijn er grote verschillen met de achttiende eeuw, een periode waarin al een enorme expansie van wiskundige publicaties plaatsvindt dankzij de toenemende ontwikkeling van de boekdrukkunst en de opkomst van talloze tijdschriften, vooral met steun van de Academies. In heel Europa kwamen deze Academies op, zoals de Royal Society in Londen, de Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlijn en de Académie des sciences in Parijs, en zij bereikten een hoogtepunt in de tweede helft van de zeventiende en de hele achttiende eeuw. De Academies en hun tijdschriften openden niet alleen nieuwe mogelijkheden tot wetenschappelijke communicatie, maar boden ook aan vooraanstaande wetenschappers, en wiskundigen in het bijzonder, het vooruitzicht zich te wijden aan wetenschappelijk onderzoek omdat zij financieel gesteund werden. Zo financierde de Academie van Berlijn van 1741 tot 1766 Leonhard Euler, een van de meest productieve wiskundigen aller tijden, en van 1766 tot 1787 Lagrange. De Academie van Sint-Petersburg ondersteunde Daniel en Nikolaus Bernoulli en ook van tijd tot tijd Euler.
De École Polytechnique in Parijs, zoals die er oorspronkelijk moet hebben uitgezien.
2
Wbio49 Riemann H1.indd 2
04-06-13 20:45
HOOFDSTUK
1 Van de provincie naar de prestigieuze universiteit
Na de Franse Revolutie in 1789 veranderde alles drastisch. In Parijs ontstonden de Grandes Écoles, waar de meest vooraanstaande wiskundigen van die tijd lesgaven en verhandelingen voor de studenten schreven. In 1794 werd de École Polytechnique opgericht, een opleiding voor de ingenieurs en militairen van het Franse leger; Gaspard Monge en Lagrange behoorden tot de eerste wiskundedocenten. In 1808 verrees uit de as van de École Normale die in 1794 was opgericht maar slechts een paar jaar had bestaan, de École Normale Supérieure, die tot doel had docenten op te leiden in zowel humanistische als natuurwetenschappelijke disciplines. Te midden van de verwarring van de Franse Revolutie was er ook nog een reeks conflicten tussen Frankrijk en het ‘Romeinse Keizerrijk’ die duurde tot 1799, toen het leger van Napoleon onoverwinnelijk leek, met als epiloog de nederlaag van de Duitse staten tussen 1805 en 1807. Toen Pruisen nog onder napoleontisch gezag was maar een zekere onafhankelijkheid genoot, voerde Wilhelm von Humboldt in de jaren 1809-1810 als minister van Onderwijs een hervorming van het Pruisische schoolsysteem door. Hij stichtte onder meer in 1810 de universiteit van Berlijn, waar het volstrekt vernieuwende gebruik werd ingevoerd dat de hoogleraren zelf, zij het binnen bepaalde grenzen, konden kiezen welke cursussen ze aan hun studenten wilden geven. Dit was een neohumanistisch ideaal, dat een universele vorming van het individu en een vrije ontwikkeling van de persoonlijkheid beoogde. Met deze hervorming maakte de wiskunde definitief haar entree in de universiteit en kreeg zij in het gymnasiumonderwijs meer gewicht. De beperking van het nieuwe onderwijssysteem was misschien dat het te veel geconcentreerd was op de studie van de klassieken: ‘Ik heb mij heel veel beziggehouden met natuurwetenschap, hoewel ik er nooit veel aan gedaan heb,’ schreef Von Humboldt in 1816 aan Goethe. ‘Maar net genoeg om opnieuw de macht te voelen die de klassieken op mij hebben uitgeoefend. Nieuwe dingen maken mij misselijk…’ Bovendien zorgde de bevrijding van de staatsinmenging in het universitaire onderwijs ervoor dat de wetenschappers zich terugtrokken in een ivoren toren; wat overigens aansloot bij het idee dat Von Humboldt van de wetenschap had. Na de desastreuze nederlaag van het napoleontische leger tijdens de Russische veldtocht in 1812 en de daaropvolgende troonsafstand van Napoleon in 1814, voerde het Congres van Wenen de Restauratie van Europa uit: na de val van het Napoleontische Rijk moesten bijna overal de oude dynastieën worden hersteld. Het is geen toeval dat de belangrijkste veranderingen in de wiskunde aan het begin van de negentiende eeuw plaatsvonden in Frankrijk en Duitsland, waar de ideologische en politieke breuk met het verleden het sterkst gevoeld werd. Het klimaat van vernieuwing en de gelijktijdige oprichting van nieuwe universiteiten leidden tot substantiële veranderingen in de activiteiten en het leven van de wiskundigen. In de negentiende eeuw maakt het stereotype van de wetenschapper die verblijft aan het hof van vorsten of bij geleerde Academies, plaats voor de wetenschapper die rechtstreeks contact heeft met zijn studenten en die zich bezighoudt met didactische problemen. De diepgaande veranderingen in de carrière van de wiskundige moeten beslist ook het onderzoek hebben beïnvloed; de vereiste nauwkeurigheid, die kenmerkend is voor de negentiende eeuw, komt deels voort uit de noodzaak om zo duidelijk en begrijpelijk mogelijke teksten te schrijven voor de studenten. 3
Wbio49 Riemann H1.indd 3
04-06-13 20:45
Net als de Franse Revolutie liet ook het Congres van Wenen – hier afgebeeld op een tekening van JeanBaptiste Isabey, nu bewaard in het Musée du Louvre – zijn invloed voelen in het culturele en wetenschappelijke milieu van heel Europa.
Een ander verschil tussen de achttiende en negentiende eeuw betreft de motivaties: terwijl de wiskundige onderzoeken in de achttiende eeuw rechtstreeks geïnspireerd werden door de problemen van de fysica, wordt in de negentiende eeuw de zogenaamde zuivere wiskunde een nieuw en breed onderzoeksgebied. Daartoe behoren bijvoorbeeld de getaltheorie, de algebraïsche meetkunde en de niet-euclidische meetkunde, disciplines die volgens de toen heersende opvattingen absoluut niet verband hielden met de fysische werkelijkheid. En ten slotte komen er in de negen-
4
Wbio49 Riemann H1.indd 4
04-06-13 20:45
tiende eeuw steeds meer specialismen: na de ‘mathematische fysici’ volgen al snel de experts in de ‘mathematische statistiek’ of in de ‘mathematische logica’. Een goed voorbeeld van een wiskundige die opereert op de grens tussen de wiskunde van de achttiende en negentiende eeuw en daarbij in zijn werk elementen van de oude en de nieuwe eeuw voortzet, is Karl Friedrich Gauss. Deze ‘koning der wiskundigen’, zoals hij genoemd werd, was een genie die door velen is vergeleken met Archimedes en Newton. Hij beoefende de zuivere wiskunde maar had ook
Wbio49 Riemann H1.indd 5
04-06-13 20:45
De universiteit van Göttingen kan bogen op een lange traditie van wiskundige studies, die begon met Karl Friedrich Gauss (1777-1855) en die voortduurt tot op vandaag.
belangstelling voor techniek en astronomie. Het is niet altijd gemakkelijk te bepalen welke onderzoeken hij verrichtte om de onderzoeken zelf en welke juist uit praktische noodzaak. In zijn eerste artikelen over rekenkunde, die onder andere de eerste systematische en moderne teksten zijn over getaltheorie, treffen we wellicht de meest ‘negentiende-eeuwse’ elementen van zijn oeuvre aan: belangstelling voor de wetenschap als zodanig zonder een technische toepassing te willen geven en het specialistische aspect dat deze artikelen kenmerkt. Een ander kenmerk dat Gauss plaatst op de grens tussen oude en nieuwe tijden, is zijn taalgebruik: hij schreef deels in de wetenschappelijke taal van de achttiende eeuw, het Latijn, en deels in de landstaal, het Duits, zoals in de nieuwe eeuw gebruikelijk was. Gauss was degene bij wie Riemann aan de universiteit van Göttingen in 1851 zijn inaugurale dissertatie (Inauguraldissertation) verdedigde over de theorie van de functies van complexe variabelen. Het officiële rapport dat Gauss presenteerde aan de faculteit voor filosofie van Göttingen bevat een zeer vleiend oordeel: ‘Het proefschrift dat dhr. Riemann presenteert, bevat een overtuigend bewijs van de grondige en indringende onderzoeken die de auteur heeft gedaan aan het onderwerp van zijn scriptie en getuigt van een creatieve, actieve en werkelijk wiskundige geest en van een levendige en vruchtbare originaliteit. [...] In zijn geheel is het een serieuze studie en van een waarde die niet alleen voldoet aan de vereiste voorwaarden voor de scriptie, maar deze verreweg overtreft.’
Het privaatdocentschap Het succes van de Inauguraldissertation was voor Riemann een voorproefje van betere tijden. In een brief aan zijn vader schreef hij: Ik geloof dat mijn proefschrift mijn vooruitzichten aanzienlijk heeft doen verbeteren, en ik hoop ook vlotter en sneller te leren schrijven, misschien door verslagen te schrijven en ook gelegenheden te vinden om lezingen te houden; kortom, ik ben vol vertrouwen over de toekomst. In het wintersemester begon Riemann inderdaad zijn activiteiten als docent met het geven van lessen in differentiaalvergelijkingen en de toepassing daarvan, en in het volgende semester gaf hij onderwijs in analyse van de bepaalde integraal. Maar de problemen die hij al sinds zijn schooltijd had met voordragen en schrijven, zou hij niet kwijtraken. In zijn jaren op het lyceum in Lüneburg, van 1842 tot 1846, 6
Wbio49 Riemann H1.indd 6
04-06-13 20:45
HOOFDSTUK
1 Van de provincie naar de prestigieuze universiteit
hadden de leraren van alles aan te merken op zijn bovenmatige perfectionisme waardoor hij vaak zijn huiswerk niet op tijd inleverde. Seffer, zijn leraar Hebreeuws, die hem ook in de kost had, herinnert zich ‘de wanhoop’ van de leraren en beschrijft hoe hij zelf meer dan eens ’s nachts met de jonge Riemann doorwerkte om zijn Latijnse en Duitse proza vloeiend te krijgen. Deze problemen ondervond Riemann ook bij mondelinge presentaties: dikwijls slaagde hij er niet in de ontwikkeling van zijn eigen gedachten voor anderen begrijpelijk te maken. Zijn verlegenheid en introverte karakter hebben beslist niet geholpen bij het formuleren van toespraken of het doeltreffend onderbouwen van zijn overtuigingen. Het was voor hem moeilijk om vriendschappen te sluiten en gedurende zijn schooltijd was hij zeer ongelukkig. Daarom vluchtte hij, zodra hij kon, terug naar zijn familie in Quickborn, een dorpje in het noorden van het Koninkrijk Hannover (nu Nedersaksen), niet ver van Breselenz, waar hij in 1826 was geboren. De frequente reizen van Lüneburg naar Quickborn, die hij grotendeels te voet en in alle jaargetijden aflegde, droegen ertoe bij dat de toch al zwakke gezondheid van de jonge Bernhard ondermijnd werd. In deze periode manifesteerden zich de eerste gezondheidsproblemen, die uiteindelijk leidden tot zijn dood op amper veertigjarige leeftijd. Riemann voelde een zeer sterke band met zijn familie. Hij had, misschien mede door de strenge opvoeding die hij genoot – zijn vader was een lutherse predikant –, een sterk verantwoordelijkheidsgevoel ontwikkeld dat van hem een nauwgezette en ijverige leerling had gemaakt. Uit zijn persoonlijke brieven blijkt behalve zijn genegenheid ook een nauwelijks verhuld schuldgevoel ten aanzien van zijn familie voor de offers die zij zich moesten getroosten om hem te kunnen laten doorleren. In de brief die hij na zijn Inauguraldissertation aan zijn vader schreef, leek Riemann zich te verontschuldigen dat hij niet krachtiger had aangedrongen op een baan als assistent in het Observatorium van Göttingen; maar de hoop om binnen afzienbare tijd privaatdocent (Privatdozent) te worden, de eerste stap in elke academische loopbaan in Duitsland, was voor hem een verzekering voor de toekomst. Het habilitatiegeschrift (Habilitationsschrift) tot privaatdocent ging over trigonometrische reeksen en werd in december 1853 door Riemann overgelegd aan de faculteit voor filosofie, maar pas in 1867 postuum gepubliceerd door Richard Dedekind. Behalve de publicatie van veel artikelen van Riemann die anders lange tijd onuitgegeven zouden zijn gebleven, danken we aan Dedekind ook de eerste biografie van Riemann, die weliswaar kort is maar bijzonder waardevol omdat de auteur zich baseerde op documenten en brieven die in het bezit waren van de familie Riemann. In een noot merkt Dedekind over het habilitatiegeschrift van Riemann op: ‘Publicatie van dit werk zal zonder enige verandering van de vorm voldoende gerechtvaardigd blijken zowel vanwege het grote belang van het onderwerp, als vanwege de manier waarop de belangrijkste principes van de infinitesimaalanalyse worden behandeld.’ Tussen 1851 en 1854 hield Riemann zich niet alleen bezig met fysica en natuurfilosofie, maar vooral ook met de redactie van deze verhandeling, ‘een meesterwerk’ volgens Jean-Gaston Darboux. In het najaar van 1852 kon Riemann in Göttingen profiteren van de aanwezigheid van Peter Gustav Lejeune Dirichlet,
Jean-Gaston Darboux (1842-1917) was een van de belangrijkste grondleggers van de klassieke differentiaalmeetkunde. 7
Wbio49 Riemann H1.indd 7
04-06-13 20:45
die van 1847-1849 zijn professor was geweest op de universiteit van Berlijn en die zich grondig had beziggehouden met de trigonometrische reeksen. Aan zijn vader schreef Riemann: Gisterochtend bleef Dirichlet ongeveer twee uur bij me; hij gaf me zulke uitvoerige inlichtingen die ik nodig had voor mijn habilitatie, dat mijn werk er wezenlijk door is verbeterd; anders had ik lang moeten zoeken in de bibliotheek. Hij heeft mijn hele proefschrift samen met mij gelezen en was heel vriendelijk; dat had ik niet verwacht, gelet op het grote verschil in graad tussen ons. De lange wandelingen in de omgeving van Göttingen waarbij hij discussieerde met Dirichlet en Wilhelm Eduard Weber waren voor Riemann alsof hij ‘de hele dag in de boeken’ had doorgebracht. Dirichlet, die van 1822 tot 1827 zijn wiskundestudie had gevolgd in Parijs, had daar Jean-Baptiste Fourier leren kennen en de kring die zich rondom Fourier had verzameld. Daarom kon hij aan zijn ex-student alles vertellen over de lopende discussies over reeksen en convergente reeksen, waarmee de wiskundigen in Parijs zich in die jaren bezighielden. De titel van de Riemanns verhandeling, Over de mogelijkheid een functie weer te geven door middel van een trigonometrische reeks, lijkt de kwestie te beperken tot een specifiek, zij het in die tijd cruciaal, onderzoeksgebied. Zoals wel vaker gebeurt in Riemanns werk, worden eigenlijk en passant via tot dan toe onbekende wegen fundamentele problemen behandeld waarbij absoluut vernieuwende opvattingen worden gevonden. Dit keer levert Riemann een essentiële bijdrage aan de fundamenten van de analyse zelf, om te beginnen bij kwesties die te maken hebben met de begrippen functie, reeks en convergentie van een reeks. Om vervolgens aan te tonen dat zijn ideeën in een veel bredere context passen, vindt Riemann een historische inleiding van het onderwerp op zijn plaats en behandelt hij de fundamentele resultaten over de reeksentheorie van Euler tot Dirichlet. Laten wij hier echter de presentatie volgen die Riemann zelf laat voorafgaan aan de originele inhoud van zijn werk.
De oneindige reeksen en het begrip ‘functie’ De studie van de trillingen van een snaar van een piano, het zogenaamde probleem van de trillende snaren, was in de achttiende eeuw van cruciaal belang. Hoewel het ging om een kwestie die de wiskundige natuurkunde betrof, was de impact ervan op de zuivere wiskunde enorm en ontstond er een levendige polemiek tussen Jean le Rond d’Alembert, Euler en later ook Daniel Bernoulli en Lagrange. De discussie, die tot in de eerste decennia van de negentiende eeuw haar weerslag vond in de werken van Fourier en Dirichlet, was ontstaan naar aanleiding van een artikel van d’Alembert. Breed ontwikkeld man als hij was, werkte d’Alembert van 1751 tot 1757 samen met Denis Diderot aan de redactie van de 28 delen van de beroemde Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts, et des métiers, dat tot doel had de cultuur te seculariseren. Daarmee haalden ze zich de woede van de jezuïeten op hun hals. Al heel jong was d’Alembert benoemd tot secrétaire perpetuel van de Academie van Wetenschappen van Parijs en zo was hij een van de invloedrijkste wetenschappers van Frankrijk geworden. 8
Wbio49 Riemann H1.indd 8
04-06-13 20:45
HOOFDSTUK
1 Van de provincie naar de prestigieuze universiteit
Portret van Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), op een schilderij van Louis Tocque.
In zijn artikel van 1747 leverde d’Alembert als eerste de algemene wiskundige formule die de oneindige vormen beschrijft van een pianosnaar die in trilling wordt gebracht. Kort daarna schrijft hij een verhandeling waarin hij het geval analyseert dat de snaar, gefixeerd aan de uiteinden, een bepaalde beginvorm heeft (dus onderhevig is aan bepaalde condities) en in trilling wordt gebracht met een gegeven snelheid. Op dat punt breekt Euler in met een artikel getiteld ‘Over de trilling van snaren’, dat in 1750 wordt gepubliceerd. Leonhard Euler was geboren in Bazel en hij was een leerling van Johann Bernoulli, broer van Jakob en vader van Daniel, en afkomstig uit een beroemde en talrijke familie van Zwitserse wiskundigen. Euler woonde lange tijd in Sint-Petersburg aan het hof van Catharina van Rusland en bij de Academie van Berlijn. Hij publiceerde gedurende zijn leven meer dan vijfhonderd werken, waaronder boeken en artikelen. De resultaten die Euler vindt in zijn artikel van 1750 verschillen niet wezenlijk van die van d’Alembert. Maar de wiskundige uit Bazel verklaart dat hij de beperkingen die d’Alembert heeft opgelegd, wil vermijden om tot een zo groot mogelijke algemeenheid van de oplossing te komen, ‘zodat de beginfiguur van de snaar willekeurig kan worden getekend’. D’Alembert komt met een reactie, maar zonder in details te treden, wordt duidelijk dat de discussie tussen de heren in werkelijkheid gaat over de verschillende opvattingen van het begrip ‘functie’. In moderne termen is een functie (x) tussen twee gegeven verzamelingen A en B een wet die zegt dat elk element x van A correspondeert met een element y van B; men krijgt dan y = (x). Welnu, vanaf het moment dat Descartes een kromme voorstelde als de plaats van de punten van een (cartesisch) vlak die voldoen aan de vergelijking f(x, y) = 0 – voordien werd een 9
Wbio49 Riemann H1.indd 9
04-06-13 20:45
kromme geometrisch ingevoerd, niet algebraïsch – tot aan de huidige definitie van een functie, moesten er eeuwen voorbijgaan. Nog in de achttiende eeuw werd een functie gewoonlijk beschreven in mechanische termen, gegenereerd door de beweging in een punt volgens een bepaalde wet. De benamingen die werden gebruikt om de kenmerken van een functie te beschrijven, waren talrijk en verwarrend: men sprak van ‘met een vrije beweging van de hand getrokken functies’, ‘mechanische functies’, ‘gemengde functies’, ‘discontinue functies’. Volgens de moderne termino-
1
0
-1
1
De weergegeven kromme, te assimileren met een snaar die wordt aangeraakt in punt 0, representeert de grafiek van een functie die niet afleidbaar is in x = 0.
Continuïteit De definitie die Cauchy in Cours d’analyse (1821) gaf van de functie (x) die continu is in een punt x, luidt: ‘De functie (x) zal, binnen de grenzen die zijn toegekend aan de variabele x, een continue functie van deze variabele zijn als voor elke waarde van x tussen deze twee begrenzingen de numerieke waarde van het verschil tussen functie (x + α) en functie (x) oneindig zal afnemen tegelijk met de numerieke waarde van α.’
Y = X2
1
X 22 X 21 -1
0
X1
X2
1
De functie y = x2 (links) is continu en afleidbaar voor elke reële waarde van de variabele x. De functie y = |x|, waarbij |x| aangeeft het grootste gehele getal dat niet groter is dan x, is discontinu in x = 0, ±1, ±2, ±3… De functie y = x als x ≥ 0, y = –x als x < 0 is continu voor alle reële waarden van x, maar is niet afleidbaar in x = 0, waar het niet mogelijk is de rechte raaklijn met de kromme te tekenen.
-1
0
1
2
3
4
1
-1
0
1
10
Wbio49 Riemann H1.indd 10
04-06-13 20:45