Grupos Matriciales y Grupo Heisenberg 3x3

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Grupos Matriciales y Heisenberg 3 × 3


Grupos Matriciales y Heisenberg 3 × 3 Autor-Editor: Huamaní Castro, Newton Lic. en Ciencias Físico-Matemáticas con una Maestría en Educación Asoc. APROVISA Mz.D Lote 10, San Juan Bautista Ayacucho-Perú Primera edición impresa, 2011 Primera edición digital, Setiembre 2021 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2021-10581

Distribución y publicación electrónica disponible bajo pedido https://www.micihuamani.pe/en/libreria/7-grupos-matriciales.html

& newton.h.c@hotmail.com Perú-2021


Dedicatoria Este trabajo dedico a dos conjuntos de personas

A

= {Máximo,

Aydeé, Máx, Ronald, Sera na, Kant}

B

= {amistades},

talque

A

y

B,

y

A ∩ B = ∅.

Al conjunto A, que representan mis padres y hermanos, por ser los gestores de mi formación profesional, por su cariño y comprensión inagotable y al conjunto

B

por ser los bastones en mi tristeza y alegría.


Índice general Índice general 0.1.

4

Propiedades Algebraicas y Topológicas de

GLn (K), SLn (K)

0.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.2.

Propiedades Algebraicas, Topológicas de

Subgrupo Matricial de

GLn (K)

Subgrupo Matricial de

Mn (K)

GLn (K)

y

SLn (K)

8 8

. . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . .

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

y Matriz Exponencial

GLn (K)

. . . . . . . . . . . . . .

GLn (K)

0.2.2.

Homomor smo Continuo de Subgrupos Matriciales de

. . . . . . .

31

0.2.3.

Matriz Exponencial y Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

0.2.4.

Resultados Útiles de la Matriz Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Álgebra de Lie, Homomor smo de Álgebras de Lie y Variedad . . . . . . . . . . . .

46

0.3.1.

Álgebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

0.3.2.

Homomor smo de Álgebras de Lie y Espacio Tangente sobre Subgrupo Matricial de

GLn (K)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.3.

Álgebra de Lie de

0.3.4.

Variedad Suave

0.3.5. 0.4.

Mn (K)

Propiedades Algebraicas y Topológicas de

0.2.1.

0.3.

y

0.1.1.

GLn (K)

y

SLn (K)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Espacio Tangente y Derivada en Variedad Suave

3

Uso de Grupo de Heisenberg de tamaño 0.4.1.

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

GLn (K)

y

SLn (K)

0.4.2.

El

0.4.3.

Todo Subgrupo de Matricial de

como contraejemplo

57

como Ejemplos de Grupos de Lie . . . . . . . . . . .

GLn (K)

3

0.4.4.

Grupo Heisenberg de Tamaño

0.4.5.

Grupo de Heisenberg de tamaño

es Grupo de Lie . . . . . . . . . .

65 68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3, Heis3 ,

78

como contraejemplo

. . . . . .

Apéndice

85 Mn (K)

.1.

Aclaración puntual sobre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

.2.

Resumen grá co de Estructura Algebraíca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

.3.

Grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3

88

Bibliografía

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

5

Introducción La mayoria de los grupos interesantes resultan ser grupos matriciales inversibles, ya sea por de nición o porque pueden servir para identi car, como ocurre con el grupo aditivo

R

que puede

ser identi cado con el grupo matricial inversible de la forma

1

0

x

  0 0

1

 0 , 1

0

con

x ∈ R.

Los grupos de Lie son grupos topológicos que localmente tienen la topología de espacio Euclidiano

(Rn )

con cambios de coordenadas suaves un ejemplo es el grupo Heisenberg que tiene apli-

caciones en la matemática, física teórica, teoría de códigos, señales digitales y ingeniería eléctrica mientras los grupos matriciales inversibles, llamados también subgrupos matriciales de son subgrupos cerrados de

GLn (K),

donde

GLn (K)

GLn (K),

es el conjunto de matrices inversibles y es

grupo bajo la multiplicación de matrices, un ejemplo es el conjunto de matrices cuyo determinante es la unidad. Existe una relación entre estos dos grupos. Por esta razón presentamos esta tesis de

1) presentar los grupos matriciales inversibles, 2) determinar el álgebra de Lie de los grupos matriciales inversibles GLn (K) y SLn (K), 3) establecer la biyección local entre el grupo matricial inversible y su álgebra de Lie mediante la matriz exponencial, y 4) establecer la pregrado cuya nalidad es

relación entre grupo matricial inversible y grupo de Lie. Para cumplir con los objetivos se planteó en forma de pregunta dos

problemas: ¾Los grupos matriciales inversibles son grupos de Lie? ¾Todo grupo de Lie es un grupo matricial inversible?

No Todo Grupo de Lie es Subgrupo Matricial de GLn (K), y para cumplir con los objetivos propuestos se han realizado cuatro capítulos. Para realizar la comprobación de la hipótesis,

capitulo primero

En el

de nimos los grupos más representativos,

GLn (K)

y

SLn (K),

que describiremos sus propiedades a lo largo del trabajo. En este capítulo se dota a

la

Mn (K)

una norma con la que se convierte en espacio métrico completo además se describe algunas propiedades algebraicas y topológicas de En el

GLn (K), SLn (K)

y de

Mn (K).

segundo, se introduce el concepto de subgrupo matricial de GLn (K) y se cumple con

el objetivo 1. Luego, introducimos el homomor smo continuo entre subgrupos matriciales de

GLn (K)

que mantienen las propiedades tanto algebraicas y topológicas. Finalmente, se pre-

senta las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logarítmicas con la exposición de algunos de sus resultados, que serán útiles en el futuro como en la obtención de álgebras de Lie

y

en

la

demostración de grupos de Lie.

Tercero, se cumple con el objetivo 2. Se tratan las álgebras de Lie; espacios vectoriales con una función bilineal la cual es antisimétrica y satisface la identidad de Jacobi. Luego, se de ne el espacio tangente sobre grupo matricial inversible como aplicación obtenemos álgebras de Lie de

GLn (K)

y

SLn (K).

Finalmente se realiza un preliminar de variedad suave que será

útil en la comprobación de la hipótesis.

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1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

6

Cuarto, se cumple con los objetivos 3 y 4. Se de ne el grupo de Lie como un grupo topológico que tiene estructura de variedad suave mencionando como ejemplos demuestra la hipótesis donde el grupo de Heisenberg de tamaño

GLn (K)

3, Heis3 ,

y

SLn (K).

Se

nos servirá de

contraejemplo. Para responder a los problemas tomamos el libro de Andrew Baker Matrix Groups: An intro-

duction to Lie group theory (2002) y de la conclusión se desprende el siguiente problema ¾Cuándo un grupo de Lie se puede representar mediante un subgrupo matricial de

Matemática Universitaria

1ra Edición

GLn (K)?

Monografía


Notaciones SIMBOLO

DENOTA (AL) (LOS)

ES (SON)

K

Conjunto de números reales o complejos

Mn (K)

Conjunto de matrices de orden

GLn (K)

Conjunto de matrices inversibles

Abierto, grupo de Lie

SLn (K)

Conjunto de matrices de determinante uno

Cerrado, grupo de Lie

kk

Norma sobre

Cuerpo

n×n

Espacio métrico completo

kAk = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Kn }

Mn (K) 2

coord

Función

coord : Mn (K) → Kn

det

Función

det : Mn (K) → K

Continua

tr

Función

tr : Mn (K) → K

Continua

U Tn (K)

Matrices triangulares superiores con

aii 6= 0

Subgrupo matricial

SU Tn (K)

Matrices triangulares superiores con

aii = 1

Subgrupo matricial

Exp(A)

Exp(A) :=

exp

Función

[, ] G

Corchete de Lie

TU G

Espacio tangente de

TI G

Espacio tangente en I (elemento identidad)

g

Álgebra de Lie de

G

gln (R)

Álgebra de Lie de

GLn (R)

gln (R) = TI GLn (R) = Mn (R)

sln (R)

Álgebra de Lie de

SLn (R)

sln (R) = TI SLn (R) = ker tr

M

Variedad suave

Heis3

Grupo de Heisenberg

Homeomor smo

1 n n≥0 n! A

P

Serie en

exp : Mn (K) → GLn (K)

Mn (K)

Difeomor smo localmente

Antisimétrica, satisface la identidad de Jacobi

Grupo matricial de

GLn (K) G

en

Subgrupo cerrado de

U ∈G

GLn (K)

Subespacio vectorial de

Mn (K)

dimG = dimR TI G g = TI G

Espacio topológico Hausdor separable Grupo de Lie, no es un grupo matricial.

7


0.1. Propiedades Algebraicas y Topológicas de GLn (K), SLn (K) y Mn (K) Se empieza el presente trabajo de pregrado en este capítulo que tiene dos secciones. En la primera sección se describe las propiedades algebraicas y topológicas del conjunto de matrices de orden

n×n

y en la segunda se presenta los grupos representativos, el conjunto de matrices inversibles

y el conjunto de matrices cuya determinante es uno, las mismas que serán descritas a lo largo del trabajo. La precisión de las de niciones y proposiciones se respalda en el libro de Baker[5] con la consulta de detalles a los libros de E.Lages

0.1.1. Por

K,

Hirsch [10] y Lluis [1].

Propiedades Algebraicas y Topológicas de Mn (K) K

se entenderá el cuerpo de números reales o complejos.

Se denota con en

[3] [9],

Mn (K) al conjunto de matrices de orden n × n (n las por n columnas) con entradas

es decir,

 A ∈ Mn (K),

Cada elemento de

Mn (K)

que son iguales si y sólo si

1 ≤ i, j ≤ n

si y sólo si, A

 = [aij ] =  

a11

···

. . .

..

.

. . .

an1

···

ann

se llama matriz. Dos matrices

aij = bij

para todo

a1n

δij = 1 para i = j

y

i, j ∈ {1, ..., n}.

δij = 0 para i 6= j

son unos y las demás son ceros) se denomina

  con aij ∈ K. 

A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mn (K) A la matriz con

(es decir las entradas todas son ceros) se denomina

mientras a la matriz con

0ij = 0

para todo

matriz nula y se denota por 0n

(es decir las entradas de la diagonal

matriz identidad y se denota por In . 8

se dice


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

Mn (K)

En seguida se de ne en

que a cada par de matrices llamado la suma de

A

y

B

se hace corresponder una nueva matriz

(A, B) 7−→ aij

y

bij

A

En

un

trabajo,

precisamente,

conjunto no vacío y

y

· : G × G −→ G

B,

respectivamente.

grupo

ii) poseer elemento identidad: existencia de

para todo

AB = BA,

G

donde

(A, B) 7−→ ·(A, B)

es

un

donde por

la cual cumple con

A, B, C ∈ G. I ∈ G,

elemento de identidad, tal que

llamado

A−1 ∈ G

A ∈ G,

para cada

llamado inverso, tal que

para todo

conmutativo o abeliano si además satisface

A, B ∈ G,

Si arriba se considera un conjunto

(S, ·)

(G, ·)

pareja

)A = I .

Se dice que el grupo es iv)

una

A ∈ G.

iii) poseer elemento inverso: existencia de

(A

es

es una operación binaria

i) ser asociativa: (AB)C=A(BC); para todo

−1

A + B = [aij + bij ],

·(A, B) = A · B = AB

conveniencia de notación se escribe

IA = A

Mn (K)

son números reales o complejos (denominadas entradas) de la intersección de i-ésima

la y j-ésima columna de las matrices

este

A + B ∈ Mn (K)

dada por

Mn (K) × Mn (K) −→

donde

9

suma o adición de matrices de orden n × n,

la operación binaria

A, B ∈ Mn (K)

3×3

es un

semigrupo.

S

es decir, su operación binaria es conmutativa. con una operación binaria

Mientras se considera un conjunto

cumpla (i) y (ii) se dice que

(S, ·)

es un

S

·

que cumpla sólo

(i)

se dice que

con una operación binaria

·

que

monoide.

1.1 Proposición. (Mn (K), +) es un grupo abeliano. Demostración. La operación binaria

+,

llamada suma, satisface cada axioma de grupo abeliano

como veremos a continuación: La adición de matrices es asociativa, esto es, si

A, B

y

C

Mn (K)

están en

entonces

(A + B) + C =

([aij ] + [bij ]) + [cij ] = [(aij + bij ) + cij ] = [aij + (bij + cij )] = A + (B + C). Para cada

A ∈ Mn (K)

y para la matriz nula

0n ,

se tiene

A + 0n = [aij ] + [0] = [aij + 0] = [aij ] = A. Es decir, existe una matriz Para cada

A ∈ Mn (K)

0n ∈ Mn (K),

se tiene la matriz

llamada matriz nula, tal que

−A := [−aij ],

A + 0n = A.

tal que

A + (−A) = [aij ] + [−aij ] = [aij + (−aij )] = [aij − aij ] = [0] = 0n . Es

decir,

para

A

cada

inverso aditivo, tal que

Mn (K)

existe

una

matriz

−A

Mn (K),

A + (−A) = 0n .

Además, la adición de matrices es conmutativa, esto es, si

A

y

B

están en

Mn (K)

A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] = [bij + aij ] = [bij ] + [aij ] = B + A. A

continuación

se

llamado

de ne

Matemática Universitaria

en

Mn (K)

la

segunda

1ra Edición

operación

binaria

entonces

2

denominada

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

multiplicación por un escalar,

λA

A, B ∈ Mn (K)

ii)

La

λ

A ∈ Mn (K) por

A

se

dada por

λA = [λaij ],

es número real o complejo denominada entrada de la nueva matriz

1.2 Proposición. i)

y a cada matriz

Mn (K)

(λ, A) 7−→ λaij

10

llamado el producto por un escalar de

K × Mn (K) −→

donde

λ ∈ K

que a cada escalar

hace corresponder una nueva matriz

3×3

multiplicación por un escalar

λA.

tiene las siguientes propiedades. Sea

λ, λ1 , λ2 ∈ K.

y

λ(A + B) = λA + λB (λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A

iii)

(λ1 λ2 )A = λ1 (λ2 A)

iv)

1A = A

1=1

donde

Demostración. Sea

ó

(1, 0)

A, B ∈ Mn (K)

y

λ, λ1 , λ2 ∈ K.

Entonces se cumple

i) λ(A + B) = [λ(aij + bij )] = [λaij ] + [λbij ] = λA + λB ; ii) (λ1 + λ2 )A = [(λ1 + λ2 )aij ] = λ1 A + λ2 A; iii) (λ1 λ2 )A = [(λ1 λ2 )aij ] = [λ1 (λ2 aij )] = λ1 (λ2 A);

nalmente

2

iv) 1A = [1aij ] = [aij ] = A.

1.3 Proposición. Mn (K) tiene estructura de espacio vectorial sobre K. Demostración. Las operaciones de nidas en cen, para cualesquier

Mn (K)

suma y multiplicación por un escalar satisfa-

α, β ∈ K y A, B, C ∈ Mn (K), las

condiciones siguientes llamados los axiomas

de espacio vectorial Asociatividad:

(A + B) + C = A + (B + C)

y

(αβ)A = α(βA).

Existencia de vector nulo: Existe una matriz nula,

0n ,

en

Mn (K)

tal que

A + 0n = A

para todo

A ∈ Mn (K). Existencia de inverso aditivo: Para cada matriz mado inverso aditivo, tal que Conmutatividad: Distributividad:

A ∈ Mn (K)

existe una matriz

lla-

A + (−A) = 0n .

A + B = B + A.

(α + β)A = αA + βA

Multiplicación por

y

α(A + B) = αA + αB.

1: 1.A = A.

Las cuales se veri carón en la proposición 1.1 y proposición 1.2. Por tanto vectorial sobre

−A ∈ Mn (K),

Mn (K)

es un espacio

2

K.

Todo espacio vectorial tiene por lo menos una base y el número de elementos (tamaño) de esta base es la dimensión de este espacio vectorial. Los siguientes elementos de

   

Mn (K)

1

···

0

0

···

1

0

···

0

 e11 =     

. . .

..

.

. . .

   , · · · , e1n =   

. . .

..

.

. . .

   , · · · , enn =   

. . .

..

.

. . .

0

···

0

0

···

0

0

···

1

forman una base para

Mn (K).

Matemática Universitaria

       

Por lo tanto

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

11

dimK Mn (K) = n2 . Se

de ne

Mn (K)

en

denominada

una

multiplicación

la

matrices

A, B ∈ Mn (K)

ducto de

A

por

tercera

B

operación

de

matrices

binaria, de

importante

n × n,

orden

se hace corresponder una nueva matriz

para

que

este

a

AB ∈ Mn (K)

trabajo,

cada

par

de

llamado el pro-

dada por

Mn (K) × Mn (K) −→ (A, B) 7−→

Mn (K) AB =

n P

aik bkj ,

k=1 donde

n P

a11

···

a1n



. . .

..

. . .

  

an1

···

 AB =  

.

ann

b11

···

b1n

. . .

..

. . .

bn1

···

.

bnn

n P

···

 k=1 a1k bk1   . = .    n .  P ank bk1 

a1k bkn    . .  .  n  P ank bkn

k=1 ..

.

···

k=1

Notación. La multiplicación de dos matrices ó

A, B ∈ Mn (K)

k=1

en este trabajo se escribirá como

AB

mult(A, B).

1.4 Proposición. El par (Mn (K), mult) tiene estructura de monoide. mult

Demostración. La operación

satisface los axiomas de monoide.

La operación binaria, mult, está bien de nida. En efecto, si

B=B

0

o sea

aij =

a0ij y

bij = n X

b0ij para

1 ≤ i, j ≤ n,

aik bkj

=

k=1 " n X

#

aik bkj

=

k=1

n X

para

y

1 ≤ i, j ≤ n

# a0ik b0kj

=

A0 B 0 .

La operación binaria, mult, es asociativa. En efecto, sea

(AB)C =

A = A0

k=1

AB

"

entonces

luego

a0ik b0kj

k=1 " n X

(A, B) = (A0 , B 0 )

n X

#! aik bkj

" [cij ]

=

k=1

=

n X

λ=1 " n X

A, B, C ∈ Mn (K) (

aik

k=1

[aij ]

! aik bkλ

k=1 n X

)# cλj

!# bkλ cλj

λ=1

" =

n X

luego

n X

#! biλ cλj

= A(BC);

λ=1

La matriz

1

···

0

 In =  

. . .

..

. . .

  

.

las entradas de la diagonal son unos mientras los demás son

··· 1 ceros es la unidad de Mn (K) y se llama matriz identidad. En efecto, sea A ∈ Mn (K) entonces n P AIn = [aij ][δij ] = aik δkj = [aij δjj ] = [aij ] = A ya que δij = 1 para i = j y δij = 0 para 0

2

k=1

i 6= j. Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Precisamente,

Grupos Matriciales y Heisenberg

anillo

un

es

una

(Λ, +, ·)

terna

donde

3×3

Λ

12

es

un

conjunto,

+

y

·

son

operaciones binarias tales que i) El par ii) El par iii)

(Λ, +) (Λ, ·)

es un grupo conmutativo

es un semigrupo

A(B + C) = AB + AC

iv) Si además

(Λ, ·)

y

(B + C)A = BA + CA,

para cualesquier

es un monoide, se dice que la terna

(Λ, +, ·)

A, B, C ∈ Λ

es un anillo con identidad.

1.5 Proposición. (Mn (K), +, mult) tiene estructura de anillo . Demostración. Veamos que la terna satisface las condiciones. El conjunto

(Mn (K), +)

es grupo abeliano o conmutativo, debido a la proposición 1.1.

La aplicación multiplicación,

mult,

está bien de nida, por proposición 1.4.

La

mult

es asociativa, por proposición 1.4.

La

mult

es distributiva con respecto a

+.

En efecto sea

A(B + C) = [aij ]([bij ] + [cij ])

A, B, C ∈ Mn (K)

=

[aij ][bij + cij ] " n # X = aik (bkj + ckj ) "

k=1 n X

#

{(aik bkj ) + (aik ckj )}

=

k=1 " n X

=

k=1 " n X

=

aik bkj +

n X

aik bkj

6= bik akj

i-ésima la de la matriz

a

A

pesar

y

bkj

de

que

# aik ckj

k=1

#

"

aik bkj +

k=1

Nótese

entonces

n X

# aik ckj

k=1

=

AB + AC.

aik bkj

∈ K

ya

que

aik

es

la

entrada

es la entrada de la j-ésima columna de la matriz

B,

de

la

es decir

f ila·columna existe pero columna·f ila no se de nió. Análogamente se tiene (B +C)A = BA+CA. Es decir,

(Mn (K), +)

es grupo conmutativo,

(Mn (K), mult)

butiva con respecto a la suma por consiguiente la terna

Además

(Mn (K), mult)

tanto la terna

1.6

es monoide ya que tiene elemento identidad

(Mn (K), +, mult)

Proposición.

La

tiene estructura de

terna

K.

Demostración. Puesto que

Mn (K)

K

mult,

es cuerpo y

In ,

con

la

2

es un anillo .

ver proposición 1.4. Por lo

anillo con identidad

(Mn (K), +, mult)

escalar tiene estructura de álgebra sobre

una operación binaria,

es semigrupo y además es distri-

(Mn (K), +, mult)

In .

multiplicación

es un espacio vectorial sobre

K,

por

un

además tenemos

que satisface las siguientes propiedades:

(A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

13

(λA)B = λ(AB) A(λB) = λ(AB) Para todo escalar

Mn (K)

λ ∈ K

A, B y C ∈ Mn (K).

y todos los vectores

se convierte en álgebra sobre

Por tanto, con esta operación

2

K.

A continuación se de ne una norma,

k.k,

sobre

tructura de espacio métrico completo. Sea

Mn (K)

x∈K

n

de tal forma que

una matriz de orden

(Mn (K), k k)

n×1

sobre

K,

tome essu norma

euclidiana está dada por:

 |x| =

p

|x1 |2 + · · · + |xn |2 ,

donde

x1

. . .

  

 x= 

con

xi ∈ K.

xn Se llama

producto a izquierda de una matriz A ∈ Mn (K) por una matriz x ∈ Kn n

y ∈K

una columna ) a la matriz

(de

n

(de

n

las y

las y una columna) obtenida como indica el siguiente

esquema

  Ax =   Para

A ∈ Mn (K),



x11

.

. . .

  

. . .

···

ann

···

. . .

..

an1

 P

a1i xi1 . . .

  =  

P

xn1

  =  

ani xi1

y11 . . .

   = y. 

yn1

consideremos los conjuntos

SA := Sea

a1n

a11

x ∈ Kn , x 6= 0,

|Ax| n : 0 6= x ∈ K , |x|

entonces

|Ax| |x|

∈ SA ;

1 SA := {|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} ⊆ SA .

ahora tomemos

x0 = (1/|x|)x,

está claro que

|x0 | = 1.

Por

lo tanto;

|Ax0 | = |A(1/|x|)x| = Así, obtenemos que

1 SA ⊆ SA ;

entonces es compacto en

Se de ne para cada

La función

fA

A

n

K

en

1 . SA = SA

entonces

Consideremos el siguiente conjunto

|Ax| 1 ∈ SA . |x|

E := {x ∈ Kn : |x| = 1}.

.

Mn (K)

una función

fA

dada por

fA : E

−→

R

x

7−→

|Ax|.

es continua, como veremos a continuación.

 i) Sean

P

z = t 1 e 1 + · · · + t n e n ∈ Kn

i,j |aij |

E es un conjunto cerrado y acotado;

(tomamos a

Matemática Universitaria

Kn

con

 ti ∈ K, A =  

a11

···

a1n

. . .

..

. . .

.

   ∈ Mn (K) 

an1 · · · ann K con la base

como un espacio vectorial sobre

1ra Edición

y

M :=

canónica usual)

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

14

Entonces

|Az|

= |A(e1 t1 + · · · + en tn )| ≤

|t1 ||Ae1 | + · · · + |tn ||Aen |

 

a

a 1n 11

 . 

 . 

 

 

= |t1 |  ..  + · · · + |tn |  .. 

ann

an1

p p = |t1 | |a11 |2 + · · · + |an1 |2 + |tn | |a1n |2 + · · · + |ann |2 p p |a11 |2 + · · · + |an1 |2 + · · · + |a1n |2 + · · · + |ann |2 ≤ máx |ti | i

≤ M máx |ti | ≤ M |z|. i

ii) Para

x∈E

sea

> 0, δ = /M

tal que si

|x − y| < δ

entonces

||Ax| − |Ay|| ≤ |A(x − y)| ≤ M |x − y| < M δ = . Por lo tanto

fA

es continua en

Al combinar los resultados

E

x ∈ E,

compacto y

como

fA

x

es cualquiera, entonces

continua en

E

fA

obtenemos que

es continua en

1 ImfA = SA

E.

es com-

1 pacto, entonces existen en SA elementos máximo y minímo. Para este último recuerde, si y

X ⊆ R es compacto entonces existen x+ , x− ∈ X

tal que

máx X = x+

mı́n X = x− .

1.7 De nición. Un espacio normado sobre K, (V, k k), es un espacio vectorial real o complejo de dimensión nita, V, junto a una función llamada norma k k : V −→ R+ ∪ {0} i) ii) iii)

ktvk = |t|kvk

que satisface las condiciones siguientes:

para

t ∈ K,

kv1 + v2 k ≤ kv1 k + kv2 k kvk = 0

si y sólo si

i) ii)

para

(V, k k)

ρ(v1 , v2 ) := kv1 − v2 k,

ρ(v1 , v2 ) ≥ 0

v1 , v2 ∈ V ;

v = 0.

Dado un espacio normado dada por

v ∈V;

para todo

ρ(v1 , v2 ) = ρ(v2 , v1 )

la norma

ρ(v1 , v3 ) ≤ ρ(v1 , v2 ) + ρ(v2 , v3 )

iv)

ρ(v1 , v2 ) = 0

(V, ρ),

ρ : V × V → R+ ∪ {0}

en

V

v1 , v 2 ∈ V ;

iii)

así,

induce una metrica

que satisface las siguientes propiedades:

para todo

si y sólo si

kk

v1 , v 2 ∈ V ; para todo

v1 , v2 ∈ V ;

v 1 = v1 .

es un espacio métrico .

Ahora estamos en las condiciones de de nir el siguiente operador sobre

1 kAk := máx SA = máx {|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} este operador es una norma sobre

Mn (K)

Mn (K) (1,1)

ya que satisface la condiciones exigidas en la de nición

1.7 como veremos a continuación

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

x ∈ Kn , |x| = 1

Sea

Grupos Matriciales y Heisenberg

y

t ∈ K;

3×3

15

|(tA)x| = |t(Ax)| = |t||Ax|

luego tenemos

por lo tanto

máx{|(tA)x| : |x| = 1, x ∈ Kn } = |t| máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Kn }, ktAk = |t|kAk.

es decir,

x ∈ Kn , |x| = 1;

Sea

entonces,

|(A + B)x| = |Ax + Bx| ≤ |Ax| + |Bx| ≤ kAk + kBk. Por lo tanto Si

kA + Bk ≤ kAk + kBk.

kAk = máx{|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} = 0

En particular para consiguiente Si

A = 0n

ei , i = 1, ..., n

entonces para todo

x ∈ Kn

con

|x| = 1, |Ax| = 0.

luego tomando sucesivamente se obtiene que

A = 0n x ∈ Kn

entonces para

Aparentemente para

con

A ∈ Mn (R) ⊆ Mn (C) n

kAk = máx {|Ax| : x ∈ K , |x| = 1},

ver

|x| = 0

se tiene

|Ax| = 0.

Por consiguiente

aij = 0.

Por

kAk = 0n . 2

la norma

(1,1),

kAkR = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Rn }

tendría dos imágenes dadas por

y

kAkC = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Cn }.

Esto no es cierto. Sea

A ∈ Mn (K),

entonces

kAkR = kAkC .

En efecto: Esta claro que

x, y ∈ Rn .

kAkR ≤ kAkC .

Se tiene

Para todo vector

|x|2 + |y|2 = 1

z ∈ Cn

con

|z| = 1,

escribiendo

z = x + yi

con

y

|Az|2 ≤ |Ax|2 + |iAy|2 ≤ |x|2 kAk2R + |y|2 kAk2R = |x|2 + |x|2 kAk2R = kAk2R , o sea

|Az| ≤ kAkR .

Luego,

kAkC ≤ kAkR .

Esta norma de nida en el espacio vectorial

Mn (K)

induce una metrica en

Mn (K)

que hace de

éste un espacio métrico, ver de nición 1.7, de nida como

ρ(A, B) = kA − Bk que satisface las propiedades de métrica. Asociado a esta métrica se tiene la topología natural en

Mn (K)

que pasamos ha describir a conti-

nuación. La

bola abierta de centro A ∈ Mn (K) y de radio r > 0 se denota y se de ne como NMn (K) (A; r) := {X ∈ Mn (K) : kA − Xk < r}.

Un subconjunto

r > 0,

tal que

U ⊆ Mn (K)

N (A, r) ⊆ U.

se dice abierto en

Mn (K)

si y sólo si para cualquier

existe

En consecuencia la colección

T = {U ⊆ Mn (K) : ∀A ∈ U, ∃ r > 0 tal

Matemática Universitaria

A ∈ U,

1ra Edición

que

N (A, r) ⊆ U }

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

16

Mn (K).

es una topología sobre

La restricción de la métrica

ρ en Mn (K) al subconjunto Y ⊆ Mn (K) hace de Y

Una bola abierta, en Y, de centro

A∈Y

y de radio

r>0

un espacio métrico.

es

NY (A; r) = {X ∈ Y : kX − Ak < r} = NMn (K) (A; r) ∩ Y. Un subconjunto que

V ⊆Y

abierto en Y

se dice

si y sólo si para cualquier

A ∈ V,

existe

r > 0,

tal

NY (A; r) ⊆ V.

Una sucesión cuando

{An }n≥0

de elementos en

Mn (K) converge a un limite A ∈ Mn (K) si kAn − Ak → 0n

n → ∞.

1.8 De nición.

Sea

f : Y −→ X

donde

Y ⊆ Mn (K), (X, ρ)

un espacio métrico y

T

es la

topología asociada a la métrica.

f

i) La aplicación

existe

δ > 0,

es

continua

en el punto

ii) La aplicación

También,

f

k→∞

f

es continua en

Y,

Y,

implica que

U ∈T

W ⊆ X

A ∈ Y,

∈T,

se tiene que

A∈Y.

f −1 (U )

si y sólo si, para toda sucesión matricial

es abierto en

{Ak }

k→∞ es cerrado si y sólo si

X−W ⊆ X

si y sólo si, para todo subconjunto cerrado

espacios

equivalentes

X

topológicos,

Y,

y

son

Mn (K)

Ak ∈ Y

y

f

es

es cerrado en

Y.

es abierto. En consecuencia

W ⊆ X, f

−1

(W ) ⊆ Y

homeomorfos

si existe entre ellos un homeomor smo

ción se tiene que

con

Y.

lı́m f (Ak ) = f (A).

1.9 De nición. Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X −→ Y . Diremos que f mor smo si es una biyección y tanto f como f −1 son funciones continuas. Dos

f (A) ∈ U ,

con

f (X) ∈ U.

si y sólo si, es continua en cada punto

continua si y sólo si para cada U

se tiene que

Un subconjunto continua en

f

es continua en

lı́m Ak = A

si y sólo si, dado

tal que

X ∈ NY (A; δ)

Equivalentemente

A ∈ Y,

es homeomorfo a

Kn

2

f : X −→ Y.

o

es un

homeo-

topológicamente

Como ejemplo de aplica-

, el homeomor smo es la

coord

presentada en la

proposición 1.11.

Para cada matriz

A

en

Mn (K)

existen

n2

funciones, que lo llamaremos proyección", que lo pre-

sentamos en la siguiente proposición

1.10 proposición. Para 1 ≤ r, s ≤ n. La función proyección"coordrs

: Mn (K) −→ K

dada por

coordrs (A) = ars

es continua.

Demostración. i) Sea

{ei }1≤i≤n

la base canónica, luego tenemos para

r ∈ {1, ..., n}

v

u n n

X

uX

|ars | ≤ t |ais |2 =

ais ei = |Aes | ≤ kAk.

i=1

O sea para ii) Sea

A, A0 ∈ Mn (K)

se tiene

i=1

|a0rs − ars | ≤ kA0 − Ak.

A ∈ Mn (K) y > 0. kA − Ak < esto implica que ka0rs − ars k < . Por lo tanto es continua

para todo

0

2

A ∈ Mn (K).

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Con

la

ayuda

de

Grupos Matriciales y Heisenberg

las

funciones

proyección"se

3×3

construye

17

la

coord,

función

que

nos

permitirá demostrar algunas proposiciones.

1.11 Proposición. 1. La función coord, dada por: coord : Mn (K) −→ 7−→

A

Kn

2

(coord11 (A), · · · , coord1n (A), · · · , coordn1 (A), · · · , coordnn (A)),

es una biyección. Además, tanto

coord

como

coord−1

son funciones continuas, esto es,

coord

es un

homeomor smo.

2.

2

f : Kn −→ K

Si

F = f ◦ coord

es continua, entonces la función compuesta

F : Mn (K) −→ K

dada por

es continua.

Demostración.

1. coord es un homeomor smo. La función

coord

coord(A)

Supongamos

1 ≤ i, j ≤ n Sea

y ∈ Kn

2

es una biyección.

esto es

=

coord(B)

aij = bij , 0 ≤ i, j ≤ n.

luego

Por tanto

se

coordij (A)

tiene

coordij (B),

A = B.

y = (a11 , · · · , a1n , · · · , an1 , · · · , ann ), aij ∈ K.

entonces

=

Tomemos

A = (aij ) ∈ Mn (K)

n2

aij ∈ K

luego y = coord(A). Por tanto coord(Mn (K)) = K . (n) Sea An = (aij ) una sucesión de matrices en Mn (K) que converge a una matriz A = (aij ) de Mn (K). n Como |aij − aij | ≤ kAn − Ak para 1 ≤ i, j ≤ n se deduce que lı́m an = aij , 1 ≤ i, j ≤ n. n−→∞ ij 2 (n) (n) n Tenemos que coord(An ) = (a11 , · · · , ann ) ∈ K ; entonces

donde

lı́m coord(An ) = lı́m (an11 , · · · , annn ) = (a11 , · · · , ann ) = coord(A);

n−→∞

n−→∞

por lo tanto la función

coord

es continua.

Por otra parte tomando como base para coordenada"de

eij

en

ij

Kn

2

la base conónica

x = a11 e11 + · · · + ann enn ,

donde

Entonces la inversa de la función

coord

y de manera análoga tenemos que función

F

=

2

−→

coord−1

f ◦ coord

es

Mn (K)  a11 · · ·  . ..  . .  . an1 · · ·

a1n

. . .

  

de

Kn

2

como

ann

es una función continua.

continua,

por

ser

la

compuesta

de

continuas.

Entramos a de nir la

x

se puede expresar como

(a11 , · · · , ann ) 7−→

La

donde la proyección o

a11 , · · · , ann ∈ K.

coord−1 : Kn

2.

{eij }1≤i,j≤n

es la unidad y los demás cero, expresamos cada elemento

función determinante

dos

funciones

2

fundamental en casi todas las áreas de las ma-

temáticas.

1.12 De nición.

La función determinante,

satisface las siguientes propiedades para i)

det : Mn (K) −→ K,

A, B ∈ Mn (K)

es aquella única función que

y la matriz identidad

In

det(AB) = det(A)det(B),

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

ii) iii)

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

18

det(In ) = 1, detA 6= 0

si y sólo si

A

es invertible.

A continuación damos una expresión general de la determinante para la matriz de orden

A = (aij )

la matriz

n×n

entrada. Denotamos por

cuyo elemento de la i-ésima la y la j-ésima columna es

Aij

la matriz de orden

la y la j-ésima columna. Entonces para

i,

(n − 1) × (n − 1)

un entero jo tal que

aij

n × n. Sea

denominada

obtenida suprimiendo la i-ésima

1 ≤ i ≤ n,

el determinante esta

dada por

detA = (−1)i+1 ai1 detAi1 + · · · + (−1)i+n ain detAin . Si

detA 6= 0

entonces la inversa de la matriz

A−1 = Transpuesta

A

se obtiene mediante la fórmula

de la matriz

h

(−1)i+j det Aij det A

esta de nición recursiva permite deducir, propiedad útil, que la

i

,

determinante de una matriz

triangular es el producto de sus elementos diagonales. Pn La traza de la matriz A ∈ Mn (K) se de ne como tr A = i=1 aii y la aplicación tr : Mn (K) −→ K P aii se denomina función traza. con regla de correspondencia trA = 1.13 Proposición. Mn (K) −→ K,

La función determinante,

det : Mn (K) −→ K,

y la función traza,

tr :

son funciones continuas.

Demostración. P − det] Por inducción, veamos que la función determinante es continua. i) Para

n = 1.

Consideremos la función luego

f |1×1

2

f |1×1 : K1 → K

dada por

es continua por ser identidad.

det|1×1 = f ◦ coord|1×1 Por lo tanto ii) Para

f |1×1 (a11 ) := a11 ,

det|1×1

donde

2

coord|1×1 : M1 (K) → K1 .

es continua por ser la compuesta de dos funciones continuas.

n = 2.

Consideremos la función

2

f |2×2 : K2 → K

dada por

f |2×2 (a11 , ..., a22 ) := a11 a22 − a12 a21 = (−1)1+1 a11 det|1×1 (a22 ) + (−1)1+2 a12 det|1×1 (a21 ), luego

f |2×2

es continua por ser polinómica de cuatro variables.

det|2×2 = f |2×2 ◦ coord|2×2 Por lo tanto

det|2×2

2

coord|2 (K) : M2×2 → K2 .

es continua por ser la composición de funciones continuas.

iii) Supongamos cierto para Consideremos

donde

f |n×n : K

n2

n − 1.

→K

Es decir

det|(n−1)×(n−1)

es continua.

dada por

f |n×n (a11 , ..., ann ) = (−1)i+1 ai1 det|(n−1)×(n−1) (Ai1 ) + · · · + (−1)i+n ain det|(n−1)×(n−1) (Ain ) luego

f |n×n

es continua por ser polinómica.

det|n×n = f |n×n ◦ coord|n×n Matemática Universitaria

donde

1ra Edición

2

coord|n×n : Mn (K) → Kn . Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

19

Por lo tanto, det es continua por ser composición de dos funciones continuas.

Por composición, veamos que la función traza es continua.

P − traza] Sea

f :K

n2

−→ K

dada por

f (a11 , ..., a1n , ..., an1 , ..., ann ) =

Pn

i=1

aii

luego

f

es continua por ser

polinomio.

tr = f ◦ coord. Por tanto

tr

es continua, ya que es composición de dos funciones continuas y que su regla de

correspondencia es dada por

tr(A) =

Pn

2

aii .

i=1

A continuación enunciamos la de nición de una sucesión de Cauchy y espacio métrico completo.

1.14 De nición. Sea (M, ρ) espacio métrico. i) Una sucesión

para todo

{An }n∈N

en

M,

es de

Cauchy

si dado cualquier

>0

N ∈N

tal que

M , {An }n∈N ,

es una

existe

n, m > N, kAn − Am k < .

ii) Un espacio métrico

M

es

completo

si toda sucesión de Cauchy en

sucesión convergente.

1.15 Proposición. El espacio métrico (Mn (K), k k) es completo. Demostración. Sea

{An }n∈N

una sucesión de Cauchy en

Mn (K) entonces dado > 0, existe N ∈ N

tal que

n, m > N ⇒ kAn − Am k < . Como

(n)

(m)

|aij − aij | ≤ kAn − Am k <

entonces

(n) {aij } es de Cauchy en K. Puesto que (n) tal que aij −→ aij para 1 ≤ i, j ≤ n.

A := (aij ) ∈ Mn (K),

Consideremos

convergente en

Sean

(X, ρ1 )

y

Mn (K), (Y, ρ2 )

es decir,

K

(n)

(m)

|aij − aij | <

An −→ A.

X ×Y

es decir, la sucesión

por lo tanto,

aij ∈ K

{An }n∈N

es completo.

dos espacios métricos normados con sus respectivas topologías

ciada a las métricas respectivamente. Se puede de nir una métrica, para

m, n > N ,

es un espacio métrico completo entonces existe

entonces se deduce que

Mn (K)

si

T1

y

T2

es

2

aso-

ρ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ R+ 0,

dada por

ρ((x, y), (w, z)) :=

q

Esto nos permite de nir una métrica producto en

ρ21 (x, w) + ρ22 (y, z). Mn (K) × Mn (K)

ρ : (Mn (K) × Mn (K)) × (Mn (K) × Mn (K))

−→

((A, B), (C, D))

7−→

Otro resultado útil. La sucesión las sucesiones

{An }n≥0

y

{(An , Bn )}n≥0

{Bn }n≥0

convergen a

converge a

A

y

B

R+ 0 p kA − Ck2 + kB − Dk2 .

(A, B)

en

Mn (K) × Mn (K)

si y sólo si

respectivamente.

1.16 Proposición. Las operaciones binarias suma : Mn (K) × Mn (K) −→ (A, B) 7−→ Matemática Universitaria

Mn (K) mult : Mn (K) × Mn (K) −→ A + B, 1ra Edición

(A, B) 7−→

Mn (K) AB, Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

20

y la operación unaria

inv(A) = A−1 .

inv : GLn (K) −→ GLn (K); son aplicaciones continuas.

Demostración.

{(An , Bn )}n∈N

Sea

una

(A, B) ∈ GLn (K) × GLn (K), n −→ 0.

sucesión entonces

en

×

GLn (K)

GLn (K)

kBn − Bk −→ 0, kAn − Ak −→ 0

que

y

converge

kAn k −→ kAk

a

cuando

Como

kAn Bn − ABk ≤ kAn kkBn − Bk + kAn − AkkBk kAn Bn − ABk −→ 0

luego se tiene que

−→

An B n

AB

operación binaria

mult

=

cuando

mult(A, B)

n −→ ∞.

cuando

En consecuencia

−→

n

∞.

mult(An , Bn ) =

Por

tanto,

la

es continua.

Por otro lado tenemos

kAn + Bn − (A + B)k ≤ kAn − Ak + kBn − Bk, luego se tiene

kAn +Bn −(A+B)k −→ 0 cuando n −→ ∞. En consecuencia, suma(An , Bn ) = (An +

−→

Bn )

A

+

B

=

suma(A, B)

n

cuando

−→

∞.

Lo

que

indica que satisface la condición de continuidad, por lo tanto la operación binaria suma es una aplicación continua en Sea

A ∈ GLn (K)

Como

Mn (K) × Mn (K).

y supongamos

An ∈ GLn (K)

{An }n∈N

con

An ∈ GLn (K)

"

Aij

lı́m An = A.

n→∞

entonces

A−1 n donde

tal que

= Transpuesta

de la matriz

# (−1)i+j det Anij . det An

es la matriz obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima columna de

A

con la

n propiedad lı́m Aij n→∞

= Aij . Pues Anij es la matriz obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima n columna de An y lı́m aij = aij por hipótesis. n→∞ Tomando límite y advirtiendo que la función determinante es continua tenemos que #! (−1)i+j det Anij = lı́m Transpuesta de la matriz n→∞ det An   (−1)i+j det lı́m Anij n→∞  = Transpuesta de la matriz  det lı́m An n→∞ i+j (−1) det Aij = Transpuesta de la matriz det A "

lı́m

n→∞

A−1 n

= A−1 . Entonces Como

A

−1 inv(An ) = A−1 = inv(A), es decir, la aplicación inv es continua en A ∈ GLn (K). n −→ A es cualquiera por tanto

Matemática Universitaria

inv

es continua en

GLn (K).

1ra Edición

2

Monografía


Huamaní Castro, Newton

0.1.2.

21

Propiedades Algebraicas, Topológicas de GLn (K) y SLn (K)

En esta sección se de ne los conjuntos representativos en

det

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

Mn (K)

con la ayuda de la función

las cuales serán descritas a lo largo del trabajo.

Se de ne el conjunto,

GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA 6= 0} que se denomina el

conjunto de matrices inversibles de orden n × n sobre K; y SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1},

que se denomina el

conjunto de matrices de determinante uno de orden n × n sobre K. 2n × 2n

Un ejemplo de matrices de determinante uno de orden

                                      

es

             

1

0

0

···

0

s 0

1 0 0 0 1 0

···

0

0

. . .

. . .

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 0 0   0 0    0 0  :s∈R    . .   . .   . .        1 0      s 1 2n×2n

0

s

1 ..

.

0

ya que la determinante de cada matriz es

1 = det

1

0

s

1

! det

1

0

s

1

! · · · det

1

0

s

1

!

debido a que la matriz es diagonal por bloques.

Precisamente aquí, se dice que

H

es un subgrupo de

(G, ·),

que lo denotaremos por

H ≤ G,

si

satisface las siguientes condiciones: i)

H

es subconjunto de

G;

ii)

H

es estable o cerrado bajo la operación binaria, es decir,

A·B ∈ H

para cualesquier

A, B ∈ H; iii) el elemento identidad iv) si

A ∈ H,

entonces

I

de

G

está en

H

y

A−1 ∈ H .

Obsérvese que la restricción de la operación

·

a un subconjunto estable o cerrado H proporciona

una operacion binaria para H llamada operacion binaria inducida.

A continuación veamos que los grupos representativos son grupos.

1.17 Proposición. (Grupo de matrices inversibles y determinante uno) Los conjuntos

GLn (K)

es un subgrupo de

y

SLn (K)

GLn (K),

son grupos bajo la multiplicación de matrices. Además,

es decir,

SLn (K)

SLn (K) ≤ GLn (K).

Demostración.

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

i)

SLn (K)

está contenida en

GLn (K),

det AB = detA · detB 6= 0, b ) Si

detA = 1

SLn (K) iii)

es decir,

A, B ∈ GLn (K), det A 6= 0

a ) Sean

ii)

Grupos Matriciales y Heisenberg

y

detB = 1

implica que

y

es decir

entonces

3×3

22

SLn (K) ⊂ GLn (K).

det B 6= 0.

det AB = detA · detB

Como

entonces

AB ∈ GLn (K). det AB = detA · detB = 1.

Por lo tanto si

A, B ∈

lo que implica que

A−1 ∈

AB ∈ SLn (K).

I ∈ SLn (K) ⊂ GLn (K). a ) Si

iv)

A ∈ GLn (K)

entonces

detA · detA−1 = detI = 1 6= 0,

GLn (K). A

b ) si

A

−1

SLn (K)

=

detI

=

1.

Por

consiguiente

∈ SLn (K).

Por ii), iii), iv) se tiene que i) se tiene

detA · detA−1

entonces

SLn (K)

GLn (K)

y

es un subgrupo de

SLn (K)

son grupos bajo la multiplicación de matrices. Por

2

GLn (K).

1.18 Proposición. Sea K = R ó C. i)

GLn (K)

es un subconjunto abierto de

Mn (K).

ii)

SLn (K)

es un subconjunto cerrado de

Mn (K).

Demostración. Sabemos que la función determinante, gen inversa de todo cerrado en rrados

en

GLn (K) = Mn (K) − det

es continua luego la ima-

K es cerrado en Mn (K). En consecuencia det−1 {0} y det−1 {1} son ce-

Mn (K) −1

det : Mn (K) → K,

pues

{0}

{0}

{1}

y

lo

son

es abierto por ser el complemento del cerrado

es cerrado porque es la imagen inversa del cerrado

(g, h) 7−→

G gh

det

−1

K. {0}

y

Asi,

SLn (K)

2

{1}.

1.19 De nición. Sea G un espacio topológico y G × G el espacio grupo topológico si y sólo si G es grupo y las aplicaciones mult : G × G −→

en

producto. Se dice que

inv : G −→

e

g

7−→

G

es

G g −1

son continuas.

1.20 Proposición (Los conjuntos representativos son grupos topológicos) GLn (K)

y

SLn (K)

son grupos topológicos.

Demostración.

i) GLn (K) y SLn (K) tienen la topología inducida por la topología de Mn (K). ii) Por el teorema de matrices inversibles y unimodulares, proposición 1.17, se tiene que GLn (K) y

SLn (K)

son grupos bajo la multiplicación de matrices.

iii) Las aplicaciones mult|GLn (K) : GLn (K) × GLn (K) −→ GLn (K) son continuas. Por ser la restricción de aplicaciones

y

mult

respectivamente.

Matemática Universitaria

inv|GLn (K) : GLn (K) −→ GLn (K)

1ra Edición

e

inv

continuas en

Mn (K)

y

GLn (K)

2

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

Como ejemplo de aplicación de la de nición diante el homeomor smo

coord.

1,11

esto hace que

Mn (K)

De nir un conjunto compacto en

se tiene que

Mn (K)

y

K

n

2

3×3

23

Mn (K)

es homeomorfo a

Kn

2

me-

son topológicamente equivalentes.

Kn

es similar a la dada en el espacio vectorial

2

ya que es

una propiedad topológica.

1.21 De nición. Sea X ⊆ Mn (K). i)

X

es

ii) X es

en

acotado si y sólo si existe r > 0 tal que cerrado si toda sucesión {An }n≥0

en

X

Mn (K) − NMn (K) (0, r) ∩ X = φ. que es convergente en

Mn (K)

tiene su limite

X.

iii) X es compacto si y sólo si es acotado y cerrado.

La siguiente proposición es una aplicación de la norma en

Mn (K),

de nida en este trabajo.

1.22 Proposición. GLn (K) y SLn (K) no son compactos. {Ak }k∈N tal que aij = 0 para i 6= j , a11 = k , aii = 1   k 0 ··· 0 0    0 1 ··· 0 0     . . . .  . . Ak :=  .. .. . . . .. .     0 0 · · · 1 0   0 0 · · · 0 1/k

Demostración. Sea la sucesión matricial

i = 2, (n − 1)

i) Luego

y

ann =

se

tiene

1 k . Es decir,

que

la

sucesión

está

contenida

{Ak ∈ Mn (K) : k ∈ N} ⊆ SLn (K) ⊆ GLn (K).

en

Pues

el

subgrupo

det Ak =

(k)( k1 )

SLn (K), = 1

es

para

decir

ya que la de-

terminante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales. ii) Aplicando el producto a izquierda a

kAk k

por

x ∈ Kn ,

tenemos

 r v u n 

x 2  X u

n |xi |2 = 1 |kx1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn−1 |2 + : x ∈ Kn , t = máx   k i=1 r  v u n   2 2 2 X u |x | |x | |x | n−1 n 2 n t 2 =1 = k máx |x1 |2 + 2 + · · · + + : x ∈ K , |x | i   k k2 k4 i=1

Esta claro que

k ∈ N,

Ak

|x1 |2 = |x1 |2 ,

|x2 |2 k2

≤ |x2 |2 , · · · ,

|xn−1 |2 k2

≤ |xn−1 |2

y

|xn |2 k4

≤ |xn |2

para cada

luego sumando se tiene

|x2 |2 |xn−1 |2 |xn |2 + ··· + + 4 2 2 k k k r 2 2 2 |x | |x | |x 2 n−1 n| |x1 |2 + 2 + · · · + + 4 2 k k k |x1 |2 +

Luego se deduce Tomemos

|x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn−1 |2 + |xn |2 = 1,

≤ 1

para todo

|x| = 1

kAk k ≤ k .

x := (1, 0, ..., 0), |x| = 1

entonces

x1 = 1, x2 = 0, · · · , xn−1 = 0

reemplazando y por de nición de máximo de un subconjunto en

r 1= Por consiguiente,

kAk k = k

Matemática Universitaria

|1|2 +

R

y

xn = 0

luego

tenemos,

|0|2 |0|2 |0|2 kAk k + ··· + 2 + 4 ≤ . 2 k k k k

para cada

k ∈ N.

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

iii) Veamos que

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

24

{Ak ∈ Mn (K) : kAk k = k, k ∈ N} ∩ Mn (K) − NMn (K) (0, r) 6= φ

para todo

r > 0. 0 0 r > 0,entonces existe k ∈ N tal que k > 2r > r. 0 k 0 ··· 0 0    0 1 ··· 0 0     . . . .  .. . . .  . luego kAk0 k = k 0 . Tomemos Ak0 :=  .. . . . .     0 0 · · · 1 0   0 0 · · · 0 1/k 0 0 Por otro lado Ak0 ∈ Mn (K) − NMn (K) (0, r) ya que kAk0 k = k > r . Sea

Por tanto la sucesión

Puesto que

{Ak }k∈N

no es acotada debido a que como conjunto no es acotada.

{Ak ∈ Mn (K) : k ∈ N} ⊆ SLn (K) ⊆ GLn (K)

acotados. Por consiguiente no son compactos.

Matemática Universitaria

1ra Edición

entonces

SLn (K) ⊆ GLn (K)

no son

2

Monografía


0.2. Subgrupo Matricial de GLn(K) y Matriz Exponencial En este capítulo presentamos la de nición de grupo matricial inversible y sus ejemplos más notables con la que se cumple con el objetivo (1) propuesto. Luego, exponemos la noción de homomor smo continuo en grupo matricial inversible, importante, ya que mantienen algunas propiedades algebraicas y topológicas entre grupos matriciales inversibles y nalmente se expone resultados de la matriz exponencial y logarítmica cuya utilidad, en este trabajo, es que ayuda determinar el álgebra de Lie de los grupos matriciales inversibles

GLn (K)

y

SLn (K).

0.2.1. Subgrupo Matricial de GLn (K) 2.1 De nición. Un subgrupo G de GLn (K), G ≤ GLn (K), bajo la multiplicación de matrices que también es cerrado en GLn (K) se dice grupo matricial inversible sobre K o un subgrupo matricial de GLn (K). Aquí se entiende que donde

n

G

es cerrado en

GLn (K)

con la topología relativa heredada de

Mn (K)

y

es un número natural arbitrario.

Antes de considerar unos ejemplos demostramos una proposición y enunciamos una de nición sugerida.

2.2 Proposición. Sea G ≤ GLn (K) un grupo matricial inversible sobre K. Si

H

de

GLn (K)

es subgrupo de

G, H ≤ G,

que también es cerrado en

Demostración. Toda sucesión

{An }n≥0

An ∈ H ⊆ G

G

{An }n≥0

para todo

n

tiene su límite en

y

H.

es un subgrupo matricial de

H

con límite en

es cerrado en

Entonces

relación transitiva, esto es, puesto que

H

en

H

GLn (K). y

25

H

H

es subgrupo matricial

tiene su límite en

es cerrado en

GLn (K).

G ≤ GLn (K)

GLn (K).

entonces

GLn (K)

Como

es cerrado en

H ≤G

G

G,

G

ya que

signi ca que

Además ser subgrupo es una

entonces

H ≤ GLn (K).

Por tanto

2


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

26

Este resultado sugiere la siguiente de nición

2.3 De nición. Sea G un grupo matricial inversible sobre K. Se dice que

H

es cerrado en

A

G

es subgrupo matricial de

H

si y sólo si

es subgrupo de

G, H ≤ G,

que también

G.

continuación

se

presenta

ejemplos

de

grupos

matriciales

inversibles

más

notables

y

de

interés para este trabajo de pregrado

2.1 Ejemplo representativo. El mismo conjunto de matrices inversibles, GLn (K), es un grupo matricial decir

inversible

ya

GLn (K) ≤ GLn (K),

que

es

subgrupo

de

si

mismo,

es

bajo la multiplicación de matrices por la proposición 1.17 y es ce-

rrado en sí mismo puesto que

GLn (K) = Mn (K) ∩ GLn (K).

2.2 Ejemplo representativo.

Como

SLn (K)

es cerrado en

Mn (K)

por la proposición 1.18 y

SLn (K) = GLn (K)∩SLn (K) luego se sigue es cerrado en GLn (K). Mientras por la proposición 1.17, SLn (K)

es

un

matrices. Por tanto

El

conjunto

de

subgrupo

SLn (K)

GLn (K)

de

bajo

la

multiplicación

es un grupo matricial inversible o subgrupo matricial de

matrices

inversibles

denotado

por

SLn (K)

matrices cuya determinante es uno denotado aquí por

GLn (K)

y

el

de

GLn (K).

conjunto

de

son considerados, en este trabajo

de pregrado, como los conjuntos más representativos.

En álgebra lineal, una

matriz triangular

es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos ele-

mentos por encima o por debajo de su diagonal principal son todos ceros. Una matriz en es

Mn (K)

triangular superior, si tiene la forma 

a11

   0    0   .  ..   .  ..  0 es decir,

aij = 0

si

···

···

···

a1n

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

. . .

..

.

a(n−2)(n−2)

..

.

. . .

..

.

0

a(n−1)(n−1)

0

···

0

0

  a2n   .  .  . ,  . .  .   .  . .  ann

a12 a22 0

i > j.

2.3 Ejemplo Sean los conjuntos de matrices U T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A

es triangular superior con

SU T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A Entonces se prueba que

SU T3 (R)

U T3 (R)

y

es subgrupo matricial de

a11 6= 0, a22 6= 0, a33 6= 0}

es triangular superior con

SU T3 (R)

y

a11 = 1, a22 = 1, a33 = 1}.

son grupos matriciales inversibles sobre

R.

Además,

U T3 (R).

En efecto. 1. El

SU T3 (R)

es subconjunto de

2. El

SU T3 (R)

y

U T3 (R)

Matemática Universitaria

U T3 (R),

es decir,

SU T3 (R) ⊂ U T3 (R) ⊆ GLn (K).

son estables o cerrados bajo la multiplicación de matrices

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

i) Sean

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

27

A, B ∈ U T3 (R), 

a11

 A= 0

a13

a22

 a23  a33

0

0

a12

aii 6= 0

con

b11

 B= 0 0

y

b12

b13

b22

 b23  b33

0

bii 6= 0

con

multiplicando se tiene,

a11 b11

a11 b12 + a12 b22

a11 b13 + a12 b23 + a13 b33

0

a22 b22

a22 b23 + a23 b33

 

0

0

a33 b33

 AB = 

es decir, ii) Sean

con

aii bii 6= 0

AB ∈ U T3 (R).

A, B ∈ SU T3 (R), 

1

a12

a13

1

b12

 B= 0

1

0

0

b13

 A= 0

1

0

0

 a23  1

1

b12 + a12

b13 + a12 b23 + a13

 AB =  0

1

b23 + a23

 

0

0

1

y

 b23  1

entonces,

es decir,

AB ∈ SU T3 (R). 

3. La matriz identidad,

1

0

0

 I3 =  0

1

0

0

 0  ∈ SU T3 (R) ⊂ U T3 (R). 1

4. Existencia del inverso i) Si

A ∈ U T3 (R), 

a11

 det  0 0

entonces

det A = a11 a22 a33

a13

a22

a23

  =

0

a33

a12

ya que

" (−1)

1+1

a11 det

a22

a23

0

a33

" 1+3

+(−1)

a33 det

0

a22

0

0

#

" + (−1)

1+2

a22 det

Observe, que la

# .

0

a23

0

a33

det

de

#

A

es el producto de elementos de su diagonal.

Cálculo de

A−1

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⇔ A−1 =

1 i+j det Aij ] det A transpuesta de[(−1)

1ra Edición

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Huamaní Castro, Newton

En primer lugar,

Grupos Matriciales y Heisenberg

[(−1)i+j det Aij ] "

 1+1

a22

 (−1) det  0    "   2+1  (−1) det a12  0     "  a12  (−1)3+1 det a22

a23

a13

" 1+2

(−1)

a13

det

#

" 2+2

(−1)

a33

det

#

" (−1)3+2 det

a23

28

es la matriz

#

a33

3×3

0

a23

0

a33

#

" 1+3

(−1)

a11

a13

0

a33

a11

a13

0

a23

det

#

" 2+3

(−1)

det

#

" (−1)3+3 det

0

a22

0

0

#

a11

a12

0

0

a11

a12

0

a22

    #         #   

después de un cálculo se obtiene

−a12 a11 a22 1 a22

1 a11

 A−1 =  0 0 ii) Si

A ∈ SU T3 (R)

entonces

a12 a23 −a13 a22 a11 a22 a33 −a23 a22 a33 1 a33

0

det A = 1 

ya que

   ∈ U T3 (R).

a11 = a22 = a33 = 1.

−a12

a12 a23 − a13

 A−1 =  0

1

−a23

 

0

0

1

1

Por tanto

coordrs : M3 (R) → R, dada por coordrs (A) = ars es continua, por la proposición −1 −1 −1 −1 −1 −1 1.10. Por lo que coord21 {0}, coord31 {0}, coord32 {0}, coord11 {1}, coord22 {1}, coord33 {1} son cerrados en M3 (K), por ser {0} y {1} cerrados en R. −1 Observe que coord21 {0} = {A ∈ M3 (R) : coord21 (A) = a21 = 0} y también nótese 5. La función

−1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0}

( =

=

=

=

A ∈ M3 (R) :

=

  

 a21 = 0,   GL3 (R) ∩ A ∈ M3 (R) : a31 = 0 y     a32 = 0

a21 = a31 = a32 = 0,

con detA 6= 0  matriz triangular   A ∈ M3 (R) : superior,   con det(A) 6= 0   matriz triangular     superior, A ∈ M3 (R) :  con aii 6= 0     para i = 1, 3

)

               

U T3 (R).

De líneas arriba y usando argumentos análogos, se tiene

U T3 (R)

=

−1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0}

SU T3 (R)

=

−1 −1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0} ∩ coord11 {1} −1 ∩coord−1 22 {1} ∩ coord33 {1}

Matemática Universitaria

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

29

6. De los dos últimos igualdades, se deduce

−1 −1 SU T3 (R) = U T3 (R) ∩ coord−1 11 {1} ∩ coord22 {1} ∩ coord33 {1}.

U T3 (R) y SU T3 (R) son subgrupos bajo la multiplicación de matrices.

Luego por 2, 3, 4 se tiene que Por De

1

5

SU T3 (R)

se tiene que

SU T3 (R)

se tiene que

U T3 (R)

Por tanto

y

es subgrupo matricial bajo la multiplicación de matrices de

y

U T3 (R)

SU T3 (R)

es subgrupo matricial de

son cerrados en

U T3 (R).

GL3 (R).

son grupos matriciales inversibles sobre

R,

además por

6 SU T3 (R)

2

U T3 (R).

En el siguiente ejemplo se demuestra el caso de orden

n×n

2.4 Observación Sean los conjuntos de matrices U Tn (K)

= {A ∈ GLn (K) : A

es triangular superior con

SU Tn (K)

= {A ∈ GLn (K) : A

es triangular superior con

Entonces

U Tn (K)

y

SU Tn (K)

aii 6= 0, aii = 1,

son grupos matriciales inversibles sobre

K.

para para

i = 1, n} i = 1, n}.

Además,

SU Tn (K)

es

U Tn (K).

subgrupo matricial de

En efecto. 1. El

SU Tn (R)

2. El

U Tn (K)

i) Sean

y

es subconjunto de

SU Tn (K)

U Tn (R),

es decir,

SU Tn (R) ⊂ U Tn (R) ⊆ GLn (K).

son estables o cerrados bajo la multiplicación de matrices

A, B ∈ U Tn (K), 

a11

···

a1n

. . .

..

. . .

0

···

 A= 

.

  con aij = 0, i > j 

 B= 

ann

b11

···

b1n

. . .

..

. . .

0

···

.

   con bij = 0, i > j 

bnn

entonces,

a11 b11

···

. . .

..

0

···

 AB =  

es decir,

ii) Si

P

a1j bin . . .

.

 (   con aij bij = 

ann bnn

0 pues aij = 0 para i > j 0 pues bij = 0 para i > j

AB ∈ U Tn (K).

aii = 1

y

bii = 1

entonces

aii bii = 1.

Por lo tanto si

A, B ∈ SU Tn (K)

implica que

AB ∈ SU Tn (K). 3. La matriz identidad,

In ∈ SU Tn (K) ⊂ U Tn (K).

4. Existencia del inverso i) Si

A ∈ U Tn (K),

det A = a11 a22 · · · ann ya que det A1j = 0  1 · · · 0  a11  . . ..  ∈ U Tn (K). . . de  . .   . Σi 1 · · · 6=0 ann

entonces

para

j 6= par.

Por tanto

A−1 = transpuesta

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Huamaní Castro, Newton

ii) Si

A ∈ SU Tn (K)

Por tanto

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

30

det A = 1 y det Aij = 0 para i < j .   1 ··· 0  . .  .. . .  ∈ SU Tn (K). = transpuesta de  . .   . Σi · · · 1 6=0

A−1

entonces

5. Por otro lado

U Tn (K)

= GLn (K) ∩

 \ 

i>j

SU Tn (K)

  coord−1 {0} ij 

−1 = GLn (K) ∩ coord−1 11 {1} ∩ · · · ∩ coordnn {1} ∩

 \ 

i>j

  coord−1 {0} ij 

6. De las dos últimas igualdades se tiene

−1 SU Tn (K) = U Tn (K) ∩ coord−1 11 {1} ∩ · · · ∩ coordnn {1} Por 2, 3, 4 se tiene que

1

que

SU Tn (K)

y

y

SU Tn (K)

son cerrados en

U Tn (K)

y

SU Tn (K)

es subgrupo matricial de

2.5 Ejemplo

son subgrupos bajo la multiplicación de matrices. Por

es subgrupo bajo la multiplicación de matrices de

U Tn (K)

Por consiguiente

SU Tn (K)

U Tn (K)

SU Tn (K)

se tiene que

U Tn (K).

De

5

GLn (K).

son grupos matriciales inversibles sobre

K,

además por

U Tn (K).

Podemos hacer que

se tiene

GLn (K)

sea un subgrupo matricial de

GLn+1 (K).

6

2

Aumen-

tando la y columna apropiadamente.

L

En efecto. Sea

la aplicación de nida por

L : GLn (K) −→ A 7−→

L(GLn (K)) ⊆ GLn+1 (K) L(A) = A0 

" 0

A :=

A

0

0

1

#

a11

 .  .. =   an1 0

 para

a11

···

a1n

. . .

..

. . .

  

an1

···

 A= 

.

cualquier matriz en

donde

···

a1n

0

..

. . .

. . .

.

···

ann

···

0

GLn (K);

    0  1

entonces las siguientes propiedades se

ann

satisfacen: i) ii)

detA0 = detA, A0 = B 0

si y sólo si

iii)

(AB)0 = A0 B 0 ,

iv)

(A0 )−1 = (A−1 )0 ,

v)

A = B,

lı́m (An )0 = ( lı́m An )0 .

n→∞

n→∞

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

En efecto: Sea

A, B, An ∈ GLn (K) "

i)

detA0 = det "

ii)

0

0

A =B ⇔ "

iii)

0

AB =

" iv)

(A )

A

0

0

1

A

0

0

1 #"

A 0 0 1

0

0 −1

=

A 0 0

vi) vii) viii)

#

" =

#−1

"

n→∞

y

A0 ∈ GLn+1 (K),

#

B

0

0 #

1 "

=

1

lı́m (An ) = lı́m

n→∞

lı́m An = A

n→∞

31

= detA.det1 = detA

0 1

0

con

3×3

#

B 0

" v)

Grupos Matriciales y Heisenberg

An

0

0

1

=

⇔A=B AB

0

0

1

A−1

0

0

1 "

#

# = (AB)0

# = (A−1 )0 , lı́m An

0

0

1

n→∞

=

# = ( lı́m An )0 . n→∞

L(A) = L(B) ⇒ A0 = B 0 ⇒ A = B L(AB) = (AB)0 = A0 B 0 = L(A)L(B) lı́m L(An ) = lı́m (An )0 = ( lı́m An )0 = L( lı́m An ) = L(A)

n→∞

n→∞

Por lo tanto

L

n→∞

n→∞

es un homomor smo de grupos inyectivo tal que la función

0

L

es continua. Así, la

2

imagen de

L, L(GLn (K)) = {A : A ∈ GLn (K)},

0.2.2.

Homomor smo Continuo de Subgrupos Matriciales de GLn (K)

es subgrupo matricial de

GLn+1 (K).

En el estudio de grupos la noción de homomor smo continuo de grupos cobra un papel principal debido a que preservan algunas propiedades algebraicas como topológicas. Por lo que en esta

el cociente de dos subgrupos masubgrupo normal del otro no necesariamente

sección introducimos su de nición luego se pone a luz que

triciales de GLn (K) donde uno de ellos es un es subgrupo matricial de GLn (K). Por lo que esta sección proporcionará una nueva forma de comprobar la hipótesis.

Para

relacionar

dos

grupos

se

necesita

de nir

una

estructura de grupo por lo que es necesario precisar. Sean

momor smo de grupos es una función ϕ : G −→ G

0

aplicación

(G, )

tal que si

y

0

(G , ?)

dos grupos matriciales inversibles sobre

mor smo de grupos. Se dice

ϕ

es continua y la imagen por

la

dos grupos, un

ho-

GLn K, G

y

H,

tienen

Mn (K)

2.5 De nición. Sean G, H ϕ

preserve

u, v ∈ G, ϕ(u v) = ϕ(u) ? ϕ(v).

En la siguiente de nición se entiende que los subgrupos matriciales de la topología relativa heredada de

que

K

y

ϕ : G −→ H

un homo-

es un homomor smo continuo de subgrupos matriciales si y sólo si

ϕ, Imϕ = ϕ(G),

En otras palabras una aplicación

es un subgrupo matricial de

ϕ : G −→ H

H.

entre subgrupos matriciales es homomor smo

continuo de subgrupos matriciales si: i)

ϕ

es un homomor smo de grupos, con la multiplicación de matrices,

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

ϕ

ii)

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

{An }

es una función continua, es decir, para cada

con

32

An ∈ G

limAn = A

y

se tiene

lim ϕ(An ) = ϕ(A), iii) La imagen por

En

el

siguiente

ϕ

es subgrupo de

ejemplo

(2.6)

H , ϕ(G) ≤ H ,

se

muestra

y es un subconjunto cerrado en

un

homomor smo

continuo

H.

de

subgrupos

matriciales. Para este propósito de nimos el círculo unitario complejo con centro en el origen del plano complejo como sobre

S1 := {z ∈ C : zz = 1}

que puede ser visto como un grupo matricial

C.

2.6 Ejemplo de un homomor smo continuo de subgrupo matricial. La aplicación

1

ϕ : SU T2 (R) −→ S ;

ϕ

1

t

0

1

! = e2πti

es un homomor smo continuo de subgrupos matriciales, además es sobreyectiva.

En efecto. Sea

z en S1 , la circunferencia unitario con centro en el origen del plano complejo, entonces

z = cos(2πt) + isen(2πt) = e2πti Para veri car

1:

para algún

Homomor smo de

( ϕ

1

t1

0

1

t ∈ R.

Por lo tanto

ϕ

es sobreyectiva.

ϕ

! ·

1

t2

0

1

!) = ϕ

1

t1 + t2

0

1

!

= e2π(t1 +t2 )i =!e2πt1 i e2πt2 i ! 1 t1 1 t2 = ϕ ϕ . 0 1 0 1 Para veri car

2:

La continuidad de

ϕ (

Sea

{tn }n∈N

SU T2 (R)

es una sucesión convergente cualquiera en

lı́m ϕ

n−→∞

Para veri car La función

tn −→ t ∈ R;

una sucesión de números reales tales que

ϕ

3:

1

tn

0

1

La imagen de

ϕ

tn

0

1

!) n≥1

y

! = lı́m e

entonces

1

2πtn i

=e

n−→∞

2πti

!

1

t

0

1

.

es subgrupo matricial.

es sobreyectiva entonces

ϕ(SU T2 (R)) = S1 ;

que es un subgrupo cerrado de

C.

2

Para que dos grupos sean idénticos en estructura algebraica es necesario de nir una función que preserve tal estructura por lo que es necesario precisar. Sea

ϕ : G −→ G0

un homomor smo de

isomor smo si existe un homomor smo ϕ−1 : G0 −→ G −1 tal que ϕ ◦ ϕ = IG y ϕ ◦ ϕ−1 = IG . En consecuencia se dice que G y G0 son isomorfos si existe grupos. Se dice que

0

ϕ : G −→ G

es un 0

un El

isomor smo y se denota por G ∼ = G0 . nucleo de ϕ, denotado por Kerϕ, es

ϕ(x) = I de

ϕ(x)

Sea

0

donde

con

I

denota la identidad de

el conjunto de todos los elementos

0

G.

La imagen de

ϕ,

denotada por

x ∈ G

Imϕ,

tales que

es el conjunto

x ∈ G.

ϕ : G −→ G0

subgrupo de

0

G0 .

un Homomor smo de grupos. Si

Si

H0

es un subgrupo de

G0

H

entonces

es un subgrupo de

ϕ−1 (H 0 )

G

entonces

es un subgrupo de

ϕ(H)

es un

G.

Observe que la imagen inversa es un subgrupo del dominio aunque no exista una función inversa

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

ϕ−1

para

Kerϕ

Sea

ϕ : G −→ G0

inversa

ϕ. −1

ϕ

También,

G

es subgrupo de

y

Imϕ ϕ

un Homomor smo de grupos. Si

0

: G −→ G

es también un homomor smo. Si

33

es subgrupo de

G0 .

es biyectiva entonces la función

x ∈ G

ϕ(x−1 ) = ϕ−1 (x).

entonces

ϕ(IG ) = IG0 .

G, H

Sean

En consecuencia

3×3

ϕ : G −→ H

subgrupos matriciales inversibles. Cuando

es un homomor smo con-

tinuo de subgrupos matriciales y además es un homeomor smo (es decir, una biyección con inversa es un

isomor smo continuo de subgrupos de matriciales.

G como H

son esencialmente idénticos como subgrupos matriciales de

ϕ : G −→ H

un homomor smo continuo de subgrupos matriciales de

continua) entonces se dice que En consecuencia se dice que

ϕ

GLn (K).

2.6 Proposición.

Sea

GLn (K).

kerϕ

Entonces

G.

es un subgrupo matricial de

identi cado con el subgrupo matricial,

El grupo cociente,

G/kerϕ,

puede ser

ϕ(G), mediante el isomor smo cociente usual ϕ : G/kerϕ →

ϕ(G). Demostración. Por ser

ϕ

un homomor smo de grupos,

Sea

{gi }i∈N

kerϕ

es subgrupo de

G.

Veamos si

kerϕ

es

G.

un subconjunto cerrado de

una sucesión de elementos en

kerϕ

tal que

gi → g ∈ G;

entonces

ϕ(g) = ϕ( lı́m gi ) = lı́m ϕ(gi ) = 0, i→∞

por lo tanto

g ∈ kerϕ

y así

kerϕ

es cerrado en

i→∞

G.

Por el teorema fundamental de homomor smo de la teoría de grupos

Nótese, que

ϕ : G/kerϕ → ϕ(G)

matriciales dado que

0.2.3.

G/kerϕ

ϕ

2

existe.

no necesariamente es un homomor smo continuo de subgrupos

no necesariamente es un grupo matricial inversible.

Matriz Exponencial y Logaritmo

Las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logarítmicas son fundamentales en el estudio de subgrupos matriciales; la importancia de la función exponencial en la Teoría de Lie es que aplica el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo. En particular en grupos matriciales inversibles como veremos más adelante.

Las series de potencias exponencial,

ex =

ex ,

X 1 xn , n!

y logaritmo,

ln(x) =

tender a

Para

Mn (K)

en el plano complejo de nidas por

X (−1)n−1 xn , n

(x ∈ C)

n≥1

n≥0

tienen como radio de convergencia in nita

ln(x),

(∞)

y

1

respectivamente. Este resultado se puede ex-

como veremos a continuación.

A ∈ Mn (K)

se tiene las siguientes series convergentes en

Exp(A)

:=

Mn (K)

X 1 1 1 An = I + A + A2 + A3 + · · · , n! 2! 3!

n≥0

Ln(A)

:=

X (−1)n−1 1 1 1 An = A − A2 + A3 − A4 + · · · , n 2 3 4

n≥1

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

cuyos radios de convergencia son in nita Observe que la serie para

kAk < 1.

Exp(A)

En efecto, para

(∞)

y

1,

converge para todo

A ∈ Mn (K)

N X 1 n A n! n=0 N X 1 n A n! n=0 N X 1 0≤ An n!

3×3

34

respectivamente.

A ∈ Mn (K)

mientras la serie

Ln(A)

converge

se tiene

N X 1 n kAk n! n=0

∞ X 1 n kAk n! n=0

≤ ekAk = cte

donde

kAk ∈ K

y

N ∈ N,

n=0

luego, por el criterio de Cauchy para series, la sucesión de sumas parciales convergente. Puesto que

Mn (K)

1 n n=0 n! A

o

es N ∈N es un espacio métrico completo, por la proposición 1.15, y por

P

criterio de comparación se deduce que la serie

n≥0 todo

nP N

1 n n! A converge a una matriz de

Mn (K)

para

A ∈ Mn (K).

Análogamente, para la serie

Ln(A)

se tiene

N X (−1)n−1 n A ≤ n n=1

N N ∞ X X X 1 kAkn ≤ kAkn ≤ kAkn , n n=1 n=1 n=1

luego usando criterios se deduce que la serie

P

Ln(A) :=

n≥1

Mn (K)

para

(−1)n−1 n A converge a una matriz de n

kAk < 1.

Se darán a continuación una serie de teoremas y proposiciones, de utilidad para este trabajo, las cuales se pueden encontrar en el libro de Baker[5].

2.7 Proposición. Sea A ∈ Mn (K). i) Para ii)

u, v ∈ C, Exp((u + v)A) = Exp(uA)Exp(vA).

Exp(A) ∈ GLn (K)

y

Exp(A)−1 = Exp(−A).

Demostración. i) Desarrollando la serie

Matemática Universitaria

Exp((u + v)A) =

1 n≥0 n! (u

P

1ra Edición

+ v)n An =

P

n≥0

(u+v)n n A . n!

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

35

Por otro lado

Exp(uA)Exp(vA)

   X ur X vs =  Ar   As  r! s! r≥0

X

=

r≥0 s≥0

s≥0

ur v s r+s A r!s!

! n X X ur v n−r An = r!(n − r)! n≥0 r=0 ! ! n X 1 X n ur v n−r An = n! r=0 r n≥0

X (u + v)n An n!

=

n≥0

= Exp((u + v)A). ii) De la parte

(i),

I = Exp(0) = Exp((1 + (−1))A) = Exp(A)Exp(−A), luego Exp(A) es invertible con inversa

2

Exp(−A). Estas propiedades permiten de nir la

función exponencial como la aplicación

exp : Mn (K) −→ GLn K;

exp(A) := Exp(A) =

X 1 An . n!

n≥0

2.8 Proposición. Si A, B ∈ Mn (K) conmutan entonces exp(A + B) = exp(A)exp(B). Demostración.

exp(A)exp(B)

   X 1 X 1 Ar   Bs =  r! s! s≥0

r≥0

=

X r≥0 s≥0

1 r s A B r!s!

! 1 = Ar B n−r ; r!(n − r)! n≥0 r=0 ! ! n X 1 X n r n−r = A B n! r=0 r n X X

haciendo:

r+s=n

n≥0

=

X 1 (A + B)n n!

n≥0

= exp(A + B).

Tenga en cuenta, que se hace uso crucial de la conmutatividad de

(A + B)n .

Matemática Universitaria

1ra Edición

A y B en la identidad

Pn

r=0

n r

! Ar B n−r =

2

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

36

Igualmente, que para la función exponencial, se de ne la función logaritmo ln : NMn (K) (I; 1) −→ Mn (K);

ln(A) := Ln(A − I) =

X (−1)n−1 (A − I)n . n

n≥1 Nótese, existe

ln(A)

para

kA − Ik < 1.

2.9 Proposición. Las funciones exp y ln tienen las siguientes propiedades. i) Si ii) Si

kA − Ik < 1,

entonces

kexp(B) − Ik < 1,

exp(ln(A)) = A.

entonces

ln(exp(B)) = B.

Demostración. De las series de potencias formales se derivan las siguientes identidades

 m X 1 X (−1)n−1  (x − 1)n  m! n m≥0 n≥1  n X (−1)n−1 X 1  (x)m  n m! n≥1

reemplazando

x

por

A

y

B

La función exponencial es

δ = ln( + 1)

tal que si

= x,

= x,

m≥0

2

se obtiene lo que se quiere.

continua

kA − 0k < δ

en

0n ∈ Mn (K).

En efecto, para cualquier

> 0

existe

entonces

X X X 1 1 1 n kexp(A) − exp(0n )k ≤ A ≤ kAkn < δ n = eδ − 1 = eln( +1) − 1 < . n! n≥1 n! n≥1 n! n≥1 Además, para

r ∈ R+

tenemos

exp(NMn (K) (0; r)) ⊆ NMn (K) (I; er − 1), ya que para

kAk < r

se tiene,

X 1 X 1 n X 1 n kexp(A) − Ik = A ≤ kAk < rn = er − 1. n! n≥1 n! n≥1 n! n≥1

2.10 Proposición. ∞ P

k=0

Sea la función exponencial,

exp : Mn (R) −→ GLn (R)

dada por

exp(A) =

1 k k! A .

i) La aplicación

exp

es inyectiva cuando es restringida a la bola abierta

ii) La función exponencial,

abierta de

exp,

NMn (R) (0n , ln 2).

es un difeomor smo de una bola abierta de

0n ,

en una bola

In .

Demostración. i) Sea

A, B ∈ NMn (R) (0n , ln 2). como exp(NMn (R) (0n , ln 2)) ⊆ NMn (R) (In , 1) entonces exp(A), exp(A) ∈

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

NMn (R) (In , 1),

kexp(A) − In k < 1

es decir,

exp(A) ln(exp(A)) A ii) Esta

a rmación

haciendo

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

es

verdadera

G = GLn (R)

y

porque

y

37

kexp(B) − In k < 1. = exp(B) = ln(exp(B)) = B. es

un

caso

particular

del

teorema

4.9.

2

g=e g = Mn (R).

2.11 Proposición Para A, B ∈ Mn (C) tal que AB = BA conmutan, se tiene d exp(A + hB) = Bexp(A). dh |h=0 Demostración. Sea

A

que conmuta con

d exp(A + hB) dh |h=0

Para

la

siguiente

B , AB = BA,

entonces

1 {exp(A + hB) − exp(A)} h 1 = lı́m {exp(hB)exp(A) − exp(A)} h→0 h 1 In = lı́m exp(hB) − lı́m exp(A) h→0 h h→0 h ( ) ∞ 1X 1 In k = lı́m (hB) − lı́m exp(A) h→0 h h→0 h k! k=0 hB 2 h2 B 3 In In + lı́m B + lı́m + lı́m − lı́m = lı́m exp(A) h→0 h→0 2! h→0 3! h→0 h h→0 h = Bexp(A). =

lı́m

h→0

de nición

y

lo

que

resta

de

trabajo

se

suponen

a, b

R

tal

que

a < 0 < b.

2.12 De nición. Una curva diferenciable en Mn (K) es una función γ : (a, b) −→ Mn (K) tal que la derivada de

Mn (K)

γ

en

t, γ 0 (t),

existe para cada

t ∈ (a, b).

Aquí

γ 0 (t)

signi ca un elemento de

de nido por

γ 0 (t) = lı́m

s→t

γ(s) − γ(t) , s−t

siempre que este límite exista. El límite antes mencionado existe si y sólo si existen los

lı́m

s→t

γ(s)ij − γ(t)ij = γ 0 (t)ij s−t

n2

limites de variable compleja o real,

para 1 ≤ i, j ≤ n,

donde

  γ(s) =  

γ(s)11

···

. . .

..

.

. . .

γ(s)n1

···

γ(s)nn

Matemática Universitaria

γ(s)1n

 , 

 γ(t) =  

1ra Edición

γ(t)11

···

. . .

..

.

. . .

γ(t)n1

···

γ(t)nn

γ(t)1n

   ∈ Mn (K). 

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

38

Considérese la ecuación diferencial de primer orden

γ 0 (t) = γ(t)A, para

γ

una curva diferenciable en

Mn (K)

y

A

una matriz no nula en

Mn (K).

2.13 Teorema. Para A, C ∈ Mn (R) con A no nula, y a < 0 < b, la ecuación diferencial γ 0 (t) = γ(t)A tiene una única solución

γ : (a, b) → Mn (R)

invertible, entonces también lo es

γ(t)

con condición inicial

para cada

t

en

γ(0) = C.

Además, si

C

es

(a, b).

Demostración. En primer lugar resolveremos la ecuación diferencial sujeta a la condición de inicial

α(0) = I. Para

t ∈ ha, bi,

la serie

X tk k≥0

k!

X 1 (tA)k = exp(tA) k!

Ak =

k≥0

converge, por lo que la función de nida por

α : ha, bi −→ Mn (R);

α(t) = exp(tA),

tiene como diferencial

α0 (t) =

X k≥1

Por lo tanto

α

tk−1 Ak = exp(tA)A = Aexp(tA). (k − 1)!

satisface la anterior ecuación diferencial con condición inicial

Observe también que cuando los valores

s, t, (s + t) ∈ ha, bi,

α(0) = I.

se cumple

α(s + t) = exp((s + t)A) = exp(sA)exp(tA) = α(s)α(t). En consecuencia, haciendo Una

solución

de

la

s + t = 0,

ecuación

se deduce que

diferencial

α(t)

sujeta

a

es siempre invertible con la

condición

inicial

α(t)−1 = α(−t).

α(0)

=

C

es

α(t) = Cexp(tA).

Unicidad de solución: Supongamos que β con β(0) = C es una solución de la ecuación diferencial. Entonces

γ(t) := β(t)exp(−tA) γ 0 (t)

Entonces

γ(t)

C

=

d exp(−tA) dt 0 β (t)exp(−tA) − β(t)exp(−tA)A

=

β(t)Aexp(−tA) − β(t)exp(−tA)A

=

0.

β 0 (t)exp(−tA) + β(t)

=

es una función constante para todo

β(0)exp(0A) = β(0) = C. Si

satisface

Así pues,

es invertible entonces

Matemática Universitaria

t ∈ ha, bi

β(t) = Cexp(tA)

Cexp(tA)

con

γ(t) = γ(0) = C ,

es la única solución sujeta a

también es invertible para todo

1ra Edición

t ∈ ha, bi.

ya que

γ(0) =

β(0) = C.

2

Monografía


Huamaní Castro, Newton

0.2.4.

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

39

Resultados Útiles de la Matriz Exponencial

En esta sección se exponen algunos resultados de la función exponencial en versión matricial, que sera útil en la obtención de algebras de Lie y en algunas demostraciones posteriores.

2.14 Lema. Sea α : (a, b) −→ Mn (R) una curva diferenciable en Mn (R) con α(0) = I. Entonces d detα(t) = trα0 (0). dt |t=0 Demostración. Sea

A ∈ Mn (K)

(2,1)

y la traza

n X

trA =

aii .

i=1 Usando el operador

∂=

d

dt t=0 que tiene la propiedad de derivación

∂(γ1 γ2 ) = (∂γ1 )γ2 (0) + γ1 (0)(∂γ2 ). Para

aij (t) = α(t)ij ,

evaluando en

t=0 aij (0) = δij .

Escribimos con de la matriz

Cij ,

α(t).

la matriz cofactor, obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima columna

Luego la determinante de

detα(t) =

α(t)

usando la n-ésima la es

n X (−1)n+j anj (t)detCnj (t) j=1

entonces

∂detα(t)

=

n X (−1)n+j {(∂anj )detCnj (0) + anj (0)(∂detCnj )}

=

n X (−1)n+j (∂anj )detCnj + (∂detCnn ).

j=1

j=1 Para

t = 0, detCnj (0) = δjn

ya que

α(0) = In ,

lo que implica

∂det(α(t)) = ∂ann + ∂detCnn . Se repite el calculo para la matriz

Cnn

de orden

(n − 1) × (n − 1),

matriz obtenida suprimiendo la

n-ésima la y n-ésima columna, luego tenemos que

∂det(α(t))

= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂detC(n−1)(n−1) . . .

= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂a(n−2)(n−2) + · · · + ∂a22 + ∂a11 = trα0 (0)

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

40

2

2.15 Lema. Para A ∈ Mn (C) tenemos det exp(A) = etrA . Demostración. Haciendo

Usando ecuaciones diferenciales

C× := C − {0} = GL1 (C),

considérese la curva

γ : R −→ GL1 (C) = C× ; La curva

γ

(2,2)

γ(t) = det exp(tA).

satisface la ecuación diferencial con condición inicial,

(

γ 0 (t)

=

γ(t)trA

γ(0)

=

1,

(2,3)

En efecto:

γ 0 (t)

det exp((t + h)A) − det exp(tA) h det exp((t)A)exp(hA) − det exp(tA) lı́m h→0 h det exp(hA) − 1 det exp(tA) lı́m h→0 h d det exp(tA) por lema det exp(tA) dt |t=0 det exp(tA)trA

=

lı́m

h→0

= = = =

2.14 para

t → exp(tA)

= γ(t)tr(A). También satisface la condición inicial

Por otro lado la curva

t 7−→ ettrA

γ(0) = det exp(0A) = det(I) = 1. también satisface la ecuación diferencial (2.3), por lo tan-

to utilizando la unicidad de solución de una ecuación diferencial, teorema 2.13, obtenemos que

2

γ(t) = det exp(tA) = et trA . 0 < r ≤ 1/2 < ln(2) exp(A)exp(B) ∈ exp NMn (R) (0, ln 2) .

La proposición 2.10 nos permite escoger un si

A, B ∈ NMn (R) (0, r)

Puesto que un único

exp

entonces

es inyectiva sobre

C ∈ Mn (R)

r ∈ R

NMn (R) (0, ln 2)

con

por la proposión 2.10, luego se sigue que existe

tal que

exp(A)exp(B) = exp(C). Utilizando la fórmula de Campbell-Hausdor se puede expresar

A, B

y

[A, B]

de tal forma que

(2,4) C

como una serie de potencias en

de la forma siguiente

1 C = A + B + [A, B] + S 2

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Huamaní Castro, Newton

donde

[A, B] := AB − BA

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3×3

(es el conmutador o corchete de Lie en

41

Mn (R))

que

exp(A)exp(B) = exp(C).

C

y

en

Mn (R)

con norma menor que

S

1/2

tal

Entonces si

1 C = A + B + [A, B] + S, 2 la matriz

S ∈ Mn (R)

cte(kAk + kBk)cte .

es el resto que tiene una norma delimitada por una expresión de la forma

2.16 Proposición. Supongamos las matrices A, B

y la matriz

(2,5)

satisface

kSk ≤ 65(kAk + kBk)3 . Demostración. Para

X ∈ Mn (R)

kXk ≤ 1

cualquiera con

se tiene

exp(X) = I + X + R1 (X), donde

R1 (X)

es el resto de terminos dada por

R1 (X) =

X 1 Xk. k!

k≥2 Entonces,

kR1 (X)k ≤ kXk2

X 1 kXkk−2 , k!

k≥2 y como

kXk ≤ 1, 

 X 1  = kXk2 (e − 2) < kXk2 . kR1 (X)k ≤ kXk2  k! k≥2

Asi pues, en particular para

kCk <

1 2 se tiene

kR1 (C)k ≤ kCk2

y

Por otro lado, usando (2.5) y el desarrollo de

exp(C) = I + C + R1 (C). exp(A)exp(B)

se tiene

exp(C) = exp(A)exp(B) = I + A + B + R1 (A, B), donde

X 1 R1 (A, B) = k! k≥2

aplicando

kk

k X r=0

k! Ar B k−r r!(k − r)!

!

tenemos

kR1 (A, B)k

X 1 k!

k≥2

=

r=0

k! kAkr kBkk−r r!(k − r)!

!

X (kAk + kBk)k k≥2

=

k X

k!

(kAk + kBk)2

X (kAk + kBk)k−2 k≥2

k!

< (kAk + kBk)2

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1ra Edición

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Huamaní Castro, Newton

puesto que

Grupos Matriciales y Heisenberg

(kAk + kBk) < 1,

debido a que

Combinando estas dos maneras de escribir

kAk + kBk < exp(C)

1 2

+

3×3

1 2

<1

42

.

se tiene

C = A + B + R1 (A, B) − R1 (C)

(2,6)

Luego tenemos

kCk

kAk + kBk + kR1 (A, B)k + kR1 (C)k

<

kAk + kBk + (kAk + kBk) + kCk2 1 2 (kAk + kBk) + kCk2 , 2

≤ ya que

2

1 2 . Finalmente de estos se sigue

kAk, kBk, kCk <

kCk ≤ 4 (kAk + kBk) . De la ecuación

(2,6)

también tenemos

kC − A − Bk

kR1 (A, B)k + kR1 (C)k 2

2

≤ (kAk + kBk) + (4(kAk + kBk)) , o sea

2

kC − A − Bk ≤ 17 (kAk + kBk) .

Ahora vamos a re nar aún más estas estimaciones. Escribiendo

1 exp(C) = I + C + C 2 + R2 (C), 2 donde

R2 (C) =

X 1 Ck. k!

k≥3 la estimación se ajusta aun más

kR2 (C)k ≤ ya que

kCk <

1 2

1 kCk3 3

< 1.

Usando la ecuación

(2,5)

obtenemos

exp(C)

= = =

1 1 I + A + B + [A, B] + S + C 2 + R2 (C) 2 2 1 1 I + A + B + [A, B] + (A + B)2 + T 2 2 1 2 I + A + B + (A + 2AB + B 2 ) + T, 2

donde

T =S+

(2,7)

1 C 2 − (A + B)2 + R2 (C). 2

Por otro lado tenemos

exp(A)exp(B) = I + A + B +

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1 2 A + 2AB + B 2 + R2 (A, B) 2

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(2,8)

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

donde

X 1 R2 (A, B) = k! k≥3

k X r=0

3×3

k! Ar B k−r r!(k − r)!

43

! ,

que satisface

kR2 (A, B)k ≤ ya que

1 3 (kAk + kBk) 3

kAk + kBk < 1.

Comparando las ecuaciones (2.7) y (2.8) y usando

S = R2 (A, B) +

exp(A)exp(B) = exp(C)

tenemos que

1 (A + B)2 − C 2 − R2 (C). 2

Tomando normas tenemos

kSk

1 kR2 (A, B)k + k(A + B)(A + B − C) + (A + B − C)Ck + kR2 (C)k 2 1 1 1 3 ≤ (kAk + kBk) + (kAk + kBk + kCk)kA + B − Ck + kCk3 3 2 3 5 1 1 3 2 (kAk + kBk) + (kAk + kBk) · 17(kAk + kBk) + (4kAk + kBk)3 ≤ 3 2 3 ≤ 65(kAk + kBk)3 ,

Por tanto la estimación obtenida es

kSk ≤ 65(kAk + kBk)3 .

(2,9)

2.17 Teorema. Para A, B ∈ Mn (R) se tiene las siguientes formulas. Fórmula del Producto Trotter: r

exp(A + B) = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)} . r→∞

Fórmula del Conmutador: r2

exp[A, B] = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)exp(−(1/r)A)exp(−(1/r)B)} . r→∞

Demostración.

Demostración de la Fórmula del Producto Trotter Haciendo

exp(C)

r lo su cientemente grande tomamos U = 1r A y V = 1r B y reemplazando en exp(U )exp(V ) =

se tiene

1 1 exp( A)exp( B) = exp(Cr ) r r donde

Haciendo

(2,10)

1 17(kAk + kBk)2 kCr − (A + B)k ≤ . r r2 r −→ ∞

en

krCr − (A + B)k ≤

17(kAk+kBk)2 se tiene r

krCr − (A + B)k =

Matemática Universitaria

17(kAk + kBk)2 −→ 0. r

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Huamaní Castro, Newton

Por tanto

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

44

rCr −→ (A + B). Como exp(rCr ) = exp(Cr )r , y exp es continua en su dominio, entonces

se obtiene

r

exp(A + B) = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)} . r→∞

Demostración de la Fórmula del conmutador. exp( 1r A)exp( 1r B) = exp(Cr ),

De

Cr =

se tiene

1 1 (A + B) + 2 [A, B] + Sr r 2r

Similarmente, reemplazando

A, B

con

kSr k ≤ 65

donde

−A, −B

en

(2,10)

(kAk + kBk)3 . r3

se obtiene

exp((−1/r)A)exp((−1/r)B) = exp(Cr0 ), donde

−1 r (A

Cr0 =

+ B) +

1 2r 2 [A, B]

3

+ Sr0

y

kSr0 k ≤ 65 (kAk+kBk) . r3

Multiplicando estos resultados se obtiene

1 1 1 1 exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) = exp(Cr )exp(Cr0 ) = exp(Er ), r r r r donde

1 1 1 Er = Cr + Cr0 + [Cr , Cr0 ] + Tr = 2 [A, B] + [Cr , Cr0 ] + Sr + Sr0 + Tr . 2 r 2 Aquí

Tr

(2,11)

es el resto, proposición 2.16.

Haciendo los cálculos se tiene,

[Cr , Cr0 ]

= =

Puesto que

1 1 −1 1 [ (A + B) + 2 [A, B] + Sr , (A + B) + 2 [A, B] + Sr0 ] r 2r r 2r 1 1 1 [A + B, [A, B]] + [A + B, Sr + Sr0 ] + 2 [[A, B], Sr0 − Sr ] + [Sr , Sr0 ]. r3 r 2r

r ≥ 1, kSr k ≤

cte r3 ,

kSr0 k ≤

cte r 3 entonces

1 [A + B, [A, B]] ≤ 1 2kA + Bkk[A, B]k ≤ 4 = cte ; r3 r3 r3 r3 1 [A + B, Sr + Sr0 ] ≤ 1 2kA + BkkSr + Sr0 k ≤ 2kSr + Sr0 k ≤ 2 cte + cte = cte ; r r r3 r3 r3 1 1 cte cte cte 1 0 0 0 2r2 [[A, B], Sr − Sr ] ≤ 2r2 2k[A, B]kkSr − Sr k ≤ r2 (kSr k + kSr k) ≤ r3 + r3 = r3 ; por último

cte k[Sr , Sr0 ]k ≤ 2kSr kkSr0 k ≤ 2 cte r3 · r3 ≤

por una expresión de la forma De

Er −

1 r 2 [A, B]

cte r 3 . Entonces

[Cr , Cr0 ] tiene una norma delimitada

.

1 0 2 [Cr , Cr ] + Sr

+ Sr0 + Tr

cte r 3 . Luego se deduce 3 tiene una norma delimitada por una expresión de la forma (constante)/r .

(2,11) tenemos Er −

que

(constante)/r

1 r 2 [A, B]

3

=

y además

kTr k ≤

Consideremos

Qr = r2 Er − [A, B].

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

45

Luego aplicando norma

kQr k = kr2 Er − [A, B]k = |r2 |kEr − Haciendo

r −→ ∞

se tiene

kQr k ≤ o sea,

exp

Qr −→ 0.

Como

(constante) −→ 0, r

r2 Er = [A, B] + Qr

es continuidad y haciendo

r −→ 0,

1 (constante) [A, B]k ≤ |r2 | r2 r3

entonces

exp(r2 Er ) = exp([A, B] + Qr ).

Puesto que

se sigue

2

exp(Er )r = exp([A, B] + Qr ) −→ exp([A, B]). Puesto que

exp(Er ) = exp( 1r A)exp( 1r B)exp(− 1r A)exp(− 1r B) exp([A, B]) = lı́m

r→∞

entonces

r 2 1 1 1 1 exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) . r r r r

2

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0.3. Álgebra de Lie, Homomor smo de Álgebras de Lie y Variedad Empezamos con la linealización de grupo matricial inversible mediante su espacio tangente en la identidad la misma se considerará como su álgebra de Lie y como ejemplo de aplicación obtenemos el álgebra de Lie de los grupos representativos capitulo reside en que la

derivada

GLn (K)

y

SLn (K).

La importancia del

de un homomor smo de subgrupos matriciales de

GLn (K)

es

un homomor smo de álgebras de Lie con lo que daremos por nalizado la presentación del grupo matricial inversible. Finalmente, introducimos ideas básicas de variedad suave, que servirá para demostrar la hipótesis en el siguiente capítulo. Este capítulo se respalda en los libros Spivak Baker

[7]

y

[8].

0.3.1.

Álgebra de Lie

3.1 De nición. Un álgebra de Lie sobre K es un espacio vectorial sobre K, a, equipado con una aplicación bilineal sobre K, [ , ] : a × a −→ a llamado el corchete de Lie o producto de Lie que para x, y, z ∈ a satisface las siguientes propiedades: i) La antisimetría

[x, y] = −[y, x],

ii) La identidad de Jacobi

y

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.

3.1 Ejemplo. Sea K = R, a = R3 y el producto cruz, [x, y] = x × y como producto de Lie. Por consiguiente

R3

para

es un álgebra de Lie sobre

Efectivamente. i) El

R3

es espacio vectorial sobre

x, y ∈ a ,

R. 46

R

con el producto cruz.


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

47

ii) La aplicación producto cruz tomada como su corchete de Lie es efectivamente una aplicación

bilineal, ya que, para

x, y, z ∈ R3

y

λ∈R

se tiene

[x, y + λz] = x × (y + λz) = x × y + λ(x × z) = [x, y] + λ[x, z]; [x + λy, z] = (x + λy) × z = x × z + λy × z = [x × z] + λ[y, z]. iii) Además, el producto cruz

x, y ∈ R3

es antisimétrica, pues, para

se tiene

satisface la identidad de Jacobi, ya que, para

[x, y] = x × y = −y × x = [y, x]; x, y, z ∈ R3

se cumple

x × (y × z) + z × (x × y) + y × (z × x) = 0. Dados dos matrices

A, B ∈ Mn (K),

se dice

conmutador de Mn (K) a la matriz

[A, B] := AB − BA.

3.2 Proposición.

El conjunto de matrices de orden

Mn (K) × Mn (K) −→ Mn (K) de Lie sobre

dada por

n × n, Mn (K),

[A, B] = AB − BA

con la aplicación

[, ] :

como su corchete de Lie es un álgebra

K.

Demostración. i) El

Mn (K)

es espacio vectorial sobre

ii) El conmutador

α∈K

[A, B] = AB − BA

K

es una aplicación bilineal. Pues para

A, B, C ∈ Mn (K)

y

se tiene

[A, B + αC]

= A(B + αC) − (B + αC)A = {AB − BA} + α{AC − CA}

[B + αC, A]

=

[A, B] + α[A, C],

=

(B + αC)A − A(B + αC)

= {BA − AB} + α{CA − AC} =

[B, A] + α[C, A].

iii) El conmutador satisface la propiedad de antisimetria y la identidad de Jacobi

Para

A, B ∈ Mn (K),

[A, B] = AB − BA = −(BA − AB) = −[B, A];

Para

A, B, C ∈ Mn (K)

tenemos que

[A, [B, C]]

[B, [C, A]]

= A[B, C] − [B, C]A =

A(BC − CB) − (BC − CB)A

=

ABC − ACB − BCA + CBA;

· · · (θ)

= B[C, A] − [C, A]B = B(CA − AC) − (CA − AC)B = BCA − BAC − CAB + ACB

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· · · (α) y Monografía


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[C, [A, B]]

3×3

48

= C[A, B] − [A, B]C = C(AB − BA) − (AB − BA)C = CAB − CBA − ABC + BAC.

Sumando las ecuaciones

(θ), (α)

y

(ρ)

· · · (ρ)

se obtiene la identidad de Jacobi,

2

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

Recuerde si

A, B

que

A, B ∈ Mn (K)

conmutan si y sólo si

AB = BA.

Entonces

conmutan. Por lo tanto la estructura de álgebra de Lie de

Mn (K)

[A, B] = 0n

si y sólo

permite saber en que

medida falla la conmutatividad de matrices.

0.3.2. Homomor smo de Álgebras de Lie y Espacio Tangente sobre Subgrupo Matricial de GLn (K) En esta sección

G

representará un grupo matricial inversible sobre

K

mientras no se indique lo

contrario. Se linealiza el grupo matricial inversible mediante su espacio tangente en la identidad la misma que se considera como su álgebra de Lie.

3.3 De nición. Sean g, h álgebras de Lie sobre K. Una transformación lineal sobre K, Φ : g −→ h, es un homomor smo de algebras de Lie si para todo x, y ∈ g Φ([x, y]g ) = [Φ(x), Φ(y)]h . Es decir,

Φ

preserva corchete de Lie.

3.4 De nición. Una curva diferenciable en G es una función α : ha, bi −→ G ⊆ Mn (K) para la cual la derivada A menudo tomaremos Sea

A ∈ Mn (R).

α0 (t)

existe para cada

a, b ∈ R

tal que

La aplicación

diferenciable sobre

GLn (R).

α : h−1, 1i −→ GLn (R)

En efecto, para

α0 (t)

t ∈ ha, bi.

a < 0 < b. t ∈ h−1, 1i

dada por

α(t) = exp(tA)

es una curva

se tiene

exp((t + h)A) − exp(tA) h (∞ ) X hk−1 In k = lı́m (hA) − exp(tA) h−→0 k! h =

lı́m

h−→0

k=0

In h h2 In = lı́m + A + A2 + A3 + · · · − h−→0 h 2! 3! h = Aexp(tA).

3.5 De nición. El espacio tangente de G en U TU G = {α0 (0) ∈ Mn (K) : α Matemática Universitaria

∈G

exp(tA)

es

es una curva diferenciable con

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α(0) = U }. Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

49

3.6 Proposición. TU G es un subespacio vectorial real de Mn (R). Demostración. Supongamos que

TU G.

Sea

γ

α, β

son curvas diferenciables en

G

con

α(0) = β(0) = U ,

es decir,

α0 (0), β 0 (0) ∈

una curva diferenciable de nida por

γ : domα ∩ domβ −→ G; Veamos que la curva

i) γ

esta bien de nida y

i) Como los dominios de

para cada

αyβ

ii)

es diferenciable con

son vecindades de

t ∈ domα ∩ domβ

tenemos

γ(t) = α(t)U −1 β(t). iii) γ(0) = U :

0 entonces la intersección es no vacía. Además

α(t)U −1 β(t) ∈ G.

ii) Es diferenciable pues es el producto de funciones diferenciables, así

γ 0 (t) = α0 (t)U −1 β(t) + α(t)U −1 β 0 (t). iii)

γ(0) = α(0)U −1 β(0) = U U −1 U = U.

Entonces

γ 0 (0)

está en

TU G.

=

α0 (0)U −1 U + U U −1 β 0 (0)

=

α0 (0) + β 0 (0)

Así concluimos que la suma de dos elementos del espacio tangente de

es un elemento de

TU G.

Similarmente, sea

0 6= r ∈ R

α(0) = U ,

= α0 (0)U −1 β(0) + α(0)U −1 β 0 (0)

entonces se de ne

una curva diferenciable en obtenemos que

TU G

G

y

en

U , TU G,

α : ha, bi → G (a < 0 < b)

γ : h−δ, δi con

G

γ(0) =

una curva diferenciable en G con |a| |b| → G (δ = mı́n{ |r| , |r| } ) dada por γ(t) = α(rt) que es α(0) = U, entonces γ 0 (0) = rα0 (0) está en TU G. De aquí

2

es cerrado bajo el producto escalar real.

3.7 De nición. Sea G un grupo matricial inversible sobre K y I ∈ G es la matriz identidad. i) La

dimensión real de un grupo matricial inversible G sobre R es la dimensión de su espacio

tangente en

I, dimR G = dimR TI G.

ii) La

dimensión compleja de un grupo matricial inversible G sobre C es la dimensión de su

espacio tangente en la identidad

I, dimC G = dimC TI G.

Recuerde una matriz compleja de orden

2n × 2n, iii) La

n × n puede ser vista como una matriz real de orden

por lo que se de ne

dimensión real de un grupo matricial inversible G sobre C es el doble de la dimensión

de su espacio tangente en la identidad

I,

dimR G = 2dimC TI G.

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Huamaní Castro, Newton

Se usará la notación

Sea

a

a

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

g = TI G

para este subespacio vectorial de

un álgebra de Lie sobre

K

con corchete de Lie

[, ]

50

Mn (K), K = R

o

C.

entonces un subespacio vectorial

b

de

subálgebra de Lie de a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b

es una

[x, y] ∈ b.

implica

El espacio vectorial

g

tiene estructura de álgebra de Lie como se muestra en la siguiente pro-

posición.

3.8 Proposición. Si G es un grupo matricial inversible sobre R, entonces g es subálgebra de Lie real de

Mn (R).

Demostración. Deseamos demostrar que si

α

y

β

son curvas diferenciables en

G

con

α(0) = β(0) = I

entonces

[α0 (0), β 0 (0)] ∈ g. Considérese la función

F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .

F : domα × domβ −→ G; F

satisface la condición de continuidad, porque, si

tivamente con

sn −→ s

y

tn −→ t

sn

y tn son sucesiones en

domα

y

domβ

respec-

entonces

lı́m α(sn )β(tn )α(sn )−1 = α(s)β(t)α(s)−1 .

n→∞ Además,

F

es diferenciable con respecto a cada una de las variables

∂ (F (s, t)) ∂t ∂ (F (s, t)) ∂s

s, t.

= α(s)β 0 (t)α(s)−1 , = α0 (s)β(t)α(s)−1 − α(s)β(t)α(s)−1 α0 (s)α(s)−1 ,

puesto que para matrices se cumple

d −1 ) ds (α(s) Entonces para cada con

F (s, 0) = I .

s ∈ domα,

la función

= −α(s)−1 α0 (s)α(s)−1 . F (s, ) : domβ −→ G

es una curva diferenciable en

G

Diferenciando

dF (s,t) dt |t=0

= α(s)β 0 (0)α(s)−1 ,

tenemos que

α(s)β 0 (0)α(s)−1 ∈ g. En espacios normados de dimensión nita se cumple que dada un espacio vectorial normado de dimensión nita sobre En efecto, como

W

K.

Entonces todo subespacio

g

es un subconjunto cerrado en

V.

es un subespacio normado de dimensión nita entonces es de Banach lo que

implica que es completo y por tanto Como

W ⊆V

V

W

es un subespacio vectorial de

es cerrado.

Mn (K)

entonces es cerrado. Así, el siguiente límite está en

g, 1 d lı́m {α(s)β 0 (0)α(s)−1 − β 0 (0)} = {α(s)β 0 (0)α(s)−1 } ∈ g. s ds |s=0

s→0

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

51

además

d {α(s)β 0 (0)α(s)−1 } ds |s=0

[α0 (0), β 0 (0)] ∈ g. para cualesquier α y β

=

α0 (0)β 0 (0)α(0)−1 − α(0)β 0 (0)α(0)−1 α0 (0)α(0)−1

=

α0 (0)β 0 (0)α(0)−1 − α(0)β 0 (0)α0 (0)

=

α0 (0)β 0 (0) − β 0 (0)α0 (0)

=

[α0 (0), β 0 (0)].

2

Esto muestra que En resumen,

curvas diferenciables en

∂ [α (0), β (0)] = ∂s |s=0 0

donde Para

0

G

con

α(0) = β(0) = I

se tiene

∂ F (s, t) ∂t |t=0

F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .

cada grupo matricial inversible, G, existe su álgebra de Lie el espacio tangente en la

unidad,

g = TI G.

3.9 De nición. G −→ H

Sean

G ⊆ GLn (K), H ⊆ GLn (K)

una función continua. Decimos que

ϕ

grupos matriciales inversibles sobre

es una función

diferenciable

K

y

ϕ:

si satisface las

siguientes condiciones:

Figura 1: La extensión de función diferenciable.

i) para toda curva diferencial

γ : ha, bi −→ G,

la curva

ϕ ◦ γ : ha, bi −→ H

es diferenciable con

derivada

(ϕ ◦ γ)0 (t) := ii) si dos curvas

α, β : ha, bi −→ G,

satisfacen

d dt ϕ(γ(t));

α(0) = β(0),

α0 (0) = β 0 (0),

entonces debe

cumplirse que:

(ϕ ◦ α)0 (0) = (ϕ ◦ β)0 (0).

función diferenciable ϕ : G −→ H que también es un homomor smo de grupos, ϕ(AB) = es llamada un homomor smo diferenciable. 3.10 Proposición. Sean G, H, K grupos matriciales inversibles sobre K con

Una

ϕ(A)ϕ(B),

ϕ : G −→ H

y

θ : H −→ K

homomor smos diferenciables. Entonces las siguientes a rmacio-

nes son verdaderas:

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

i) Para cada

A∈G

Grupos Matriciales y Heisenberg

existe una transformación lineal real,

dϕA : TA G −→ γ 0 (0) donde

γ : ha, bi −→ G

7−→

3×3

dϕA ,

52

dada por

Tϕ(A) H (ϕ ◦ γ)0 (0),

es una curva diferenciable en

G

con

γ(0) = A.

dθϕ(A) ◦ dϕA = d(θ ◦ ϕ)A .

ii) Tenemos que

IdG : G −→ G

iii) Para la función identidad

y

A ∈ G,

d(IdG )A = IdTA G .

Demostración. i) Sea

γ : ha, bi −→ G una curva diferenciable en G con γ(0) = A. Tenemos que ϕ ◦ γ : ha, bi −→ H

es una curva diferenciable en

H

siempre que

ϕ

es diferenciable y

ϕ ◦ γ(0) = ϕ(γ(0)) = ϕ(A).

Así,

(ϕ ◦ γ)0 (0) = dϕA (γ 0 (0)) ∈ Tϕ(A) H. Sean

α : domα −→ G, β : domβ −→ G curvas diferenciables cualesquiera en G con α(0) = β(0) = A

y

γ(t) = α(t)A−1 β(t),

γ : domα ∩ domβ −→ G; como en la proposición 3.6 tal que

dϕA (α0 (0) + β 0 (0))

α0 (0) + β 0 (0) = γ 0 (0).

Entonces

= dϕA (γ 0 (0)) =

(ϕ ◦ γ)0 (0)

=

(ϕ ◦ (αA−1 β))0 (0)

=

((ϕ ◦ α)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β))0 (0)

=

(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β)(0) + (ϕ ◦ α)(0)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β)0 (0)

=

(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ(A)−1 )ϕ(A) + ϕ(A)ϕ(A)−1 (ϕ ◦ β)0 (0)

=

(ϕ ◦ α)0 (0) + (ϕ ◦ β)0 (0)

= dϕA (α0 (0)) + dϕA (β 0 (0)). Sea

α una curva diferenciable en G con α(0) = A, r ∈ R y γ(t) = α(rt) como en la proposición 3.6.

Sea

µr : R −→ R

la función diferenciable tal que

(ϕ ◦ γ)0 (0)

µr (t) := rt.

Así,

γ = α ◦ µr .

=

(ϕ ◦ α ◦ µr )0 (0)

=

(ϕ ◦ α)0 (µr (0)) · µ0r (0)

Entonces

= r · (ϕ ◦ α)0 (0). Por lo tanto

dϕA (rα0 (0)) = dϕA (γ 0 (0)) = rdϕA (α0 (0)).

Con esto se ha probado que la derivada

es una función lineal.

ii) Sea

γ : ha, bi −→ G

una curva diferenciable en

G

con

γ(0) = A.

Entonces

d(θ ◦ ϕ)A (γ 0 (0)) = (θ ◦ ϕ ◦ γ)0 (0) = (θ ◦ ϕ) e 0 (0) para

ϕ e = (ϕ ◦ γ) : ha, bi −→ H

una curva diferenciable en

· · · ( ) H

y

ϕ(0) e = ϕ(A)

por lo tanto

0

ϕ e (0) ∈ Tϕ(A) H. Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

(θ ◦ ϕ) e : ha, bi −→ K

Grupos Matriciales y Heisenberg

es una curva diferenciable en

K

y

3×3

53

(θ ◦ ϕ)(0) e = θ(ϕ(A))

por lo tanto

0

(θ ◦ ϕ) e (0) ∈ Tθ(ϕ(A)) K. Retomando la ecuación

( )

tenemos que

(θ ◦ ϕ) e 0 (0)

= dθϕ(A) (ϕ e0 (0)) = dθϕ(A) (dϕA (γ 0 (0))) =

dθϕ(A) ◦ dϕA = d(θ ◦ ϕ)A .

Entonces iii) Sea Como

(dθϕ(A) ◦ dϕA )(γ 0 (0)).

A∈G

γ : ha, bi −→ G

y

IdG : G −→ G

diferenciable en

G

una curva diferenciable en

es un homomor smo de grupos y

por lo tanto

IdG

G

con

γ(0) = A.

(IdG ◦ γ) = γ : ha, bi −→ G

es una curva

es un homomor smo diferenciable entonces

d(IdG )A (γ 0 (0)) = (IdG ◦ γ)0 (0) = γ 0 (0) por lo tanto

Si

2

d(IdG )A = IdTA G .

ϕ : G −→ H

es un homomor smo diferenciable entonces

formación lineal llamada

dϕI : TI G −→ TI H

es una trans-

la derivada de ϕ y usualmente denotada dϕ : g −→ h.

derivada de un homomor smo diferenciable entre grupos matriciales inversibles es una transformación lineal que preserva el corchete o producto de Lie. Como En consecuencia la

veremos a continuación.

3.11 Teorema. Sean

G, H

grupos matriciales inversibles sobre

Entonces la derivada

dϕ : g −→ h

K

y

ϕ : G −→ H

un homomor smo diferenciable.

es un homomor smo de álgebras de Lie.

Demostración. Nos resta ver si la derivada de

ϕ, dϕ,

respeta el producto de Lie, es decir,

dϕ[α0 (0), β 0 (0)]g = [dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))]h , para

α, β

curvas diferenciables en

G

con

α(0) = β(0) = I.

Como en el proposición 3.8 tomamos

F : domα × domβ −→ G;

Matemática Universitaria

F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Sabemos que

ϕ(I) = I

y

∂ ∂s |s=0

Grupos Matriciales y Heisenberg

∂ ∂t |t=0 F (s, t)

β(0) = α(0) = I.

= [α0 (0), β 0 (0)]

y además

3×3

54

(ϕ ◦ α)(0)−1 = (ϕ ◦ α)(0) = I

ya que

Entonces

∂ ∂ dϕ[α (0), β (0)] = ϕ(F (s, t)) ∂s |s=0 ∂t |t=0 ∂ ∂ −1 = ϕ(α(s))ϕ(β(t))ϕ(α(s)) ∂s |s=0 ∂t |t=0 ∂ = ϕ(α(s))(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ(α(s))−1 ∂s |s=0 = (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 d +(ϕ ◦ α)(0)(ϕ ◦ β)0 (0) (ϕ(α(s))−1 ) ds |s=0 = (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 0

0

−(ϕ ◦ α)(0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1

0.3.3.

=

(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0) − (ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)0 (0)

=

[(ϕ ◦ α)0 (0), (ϕ ◦ β)0 (0)]

=

[dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))].

2

Álgebra de Lie de GLn (K) y SLn (K)

En esta sección se determina el álgebra de Lie del conjunto de matrices inversibles, del

conjunto

de

matrices

cuya

determinante

es

GLn (K),

SLn (K),

uno,

que

y

son

conjuntos representativos de este trabajo ya que se prestan para describir las propiedades de

Mn (R)

y para ver la relación entre un grupo de matrices y grupo de Lie.

3.12 Proposición (El álgebra de Lie de GLn (K) y de SLn (K)) El álgebra de Lie de GLn (R), gln (R), es Mn (R) es decir TI GLn (R) := gln (R) = Mn (R). Además, El

dimR GLn (R) = n2 .

álgebra de Lie de SLn (K), sln (R), es ker tr es decir TI SLn (R) := sln (R) = ker tr.

Además,

2

dimR SLn (R) = n − 1.

Demostración. i) Puesto que

gln (R) = {γ 0 (0) ∈ Mn (R) : γ tenemos que

es una curva diferenciable en

GLn (R)

con

γ(0) = I}

gln (R) ⊆ Mn (R).

Por otra parte para cada

A ∈ Mn (R)

y

>0

existe una curva diferenciable (que depende de

A) γ : h− , + i −→ Mn (R); γ

es una curva diferenciable con derivada

(que depende de

A)

γ(t) = I + tA

γ 0 (t) = A

para toda

t ∈ h− , i.

Necesitamos un

tal que

γ(h− , i) = Imγ ⊆ GLn (R). así,

γ

es una curva diferenciable en

GLn (R)

con

γ(0) = I

y por lo tanto

0

A = γ (0) ∈ gln (R) Si

A=0

la curva

γ

Matemática Universitaria

es constante con valor

I

y trivialmente tendremos que

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Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

55

A ∈ gln (R) Si

A 6= 0

sea

δ = máx {|λ|/ λ y tomo

>0

tal que

valor propio de

A} > 0

< 1δ .

Veamos si efectivamente supongamos que existe

Imγ ⊆ GLn (R).

t ∈ h− , i

tal que

0 = det(I − tA) = (−t)n det(A − 1t I) por lo tanto como

t 6= 0

entonces

1 |t|

≤δ

1 t es un valor propio de 1 ó δ ≤ |t| ≤

lo que nos genera una contradicción por tanto Así obtenemos que Por consiguiente ii) Sea

sln (R)

A

además

Imγ ⊆ GLn (R).

Mn (R) ⊆ gln (R).

Mn (R) = gln (R)

y

dimR GLn (R) = n2 .

el álgebra de Lie del conjunto de matrices cuya determinante es uno,

SLn (R).

SLn (R) := {A ∈ Mn (R) : detA = 1}. Si

γ : ha, bi −→ SLn (R)

t ∈ ha, bi

es una curva diferenciable en

SLn (R)

con

γ(0) = I

entonces para

tenemos que

d dt |t=0 detγ(t)

=

d dt |t=0 1

=0

luego por el lema 2.14, tenemos

trγ 0 (0) = 0 y por lo tanto

TI SLn (R) := sln (R) ⊆ ker tr ⊆ Mn (R). El recíproco de la inclusión anterior también es verdad. Sea

γ : ha, bi −→ GLn (R); una curva diferenciable con derivada,

0

γ (t) = Aγ(t),

A ∈ ker tr

y sea

γ(t) = exp(tA) que evaluada en cero es

A,

0

γ (0) = A. Veamos que

γ

toma valores en

SLn (R)

siempre que por el lema 2.15 tenemos

det exp(tA) = et trA = e0 = 1. Por otro lado

dim ker tr + dim Imtr = dim Mn (R).

Por consiguiente,

(

TI SLn (R) := sln (R) = ker tr ⊆ Mn (R), dimR SLn (R) = n2 − 1.

0.3.4.

Variedad Suave

El concepto de variedad es fundamental en muchas ramas de la matemática como de la física y viene de la generalización de conceptos de geometría. En esta última sección del capitulo de niremos los conceptos e ideas básicas de variedad suave ya que es una condición necesaria para que un grupo sea un grupo de Lie. Un grupo de Lie, que lo de niremos más edelante, es más que una variedad suave y que localmente tiene la topología del espacio Euclidiano (R

n

) lo que permite

desarrollar cálculo diferencial e integral en el grupo.

3.13 De nición.

Una función continua

es un subconjunto abierto de

Matemática Universitaria

R

mk

, es

f : V1 ⊆ Rm1 −→ V2 ⊆ Rm2

suave

si

f

,donde cada

Vk (k = 1, 2)

es in nitamente diferenciable. Una biyección

1ra Edición

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Huamaní Castro, Newton

suave

f

es un

Ejemplo 3.2

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

56

difeomor smo si su inversa f −1 : V2 −→ V1 es suave. ui : Rn −→ R; ui (x1 , ..., xn ) = xi

Las funciones coordenadas

para

i = 1, ..., n

son

suaves. pero no son difeomor smo.

Sea

M

un espacio topológico Hausdor separable (contiene una base contable).

3.14 De nición. Una carta de dimensión m en p ∈ M , φ, es un homeomor smo de un abierto de

M

en un abierto de

Rm , φ : U ⊆ M −→ V ⊆ Rm .

sistema de coordenadas

Así, un

(µ1 ◦ φ, ..., µm ◦ φ)

φ

donde

de dimensión

µi : V ⊆ R V.

3.15 De nición.

y

U1 ∩ U2 6= ∅.

φ1 : U1 −→ V1

Se dice que

φ1

y

φ2

m

en

m

es una carta de dimensión

son las funciones proyección"natural en Sean

m

p ∈ M

en

p

es la m-tupla

(x1 , ..., xm ) =

y

−→ R

φ2 : U2 −→ V2

dos cartas de dimensión

m

en

M

con

relacionados si

están

φ2 ◦ φ−1 1 m es un difeomor smo en abiertos de R .

: φ1 (U1 ∩ U2 ) −→ φ2 (U1 ∩ U2 )

3.16 De nición. Una colección de cartas de dimensión m en M, A = {φα : Uα −→ Vα } es un

atlas de dimensión m en M S

si:

Uα = M ,

α∈I

∀α, β ∈ I

Uα ∩ Uβ 6= ∅

tal que

se tiene

φα

y

φβ

están relacionados.

3.17 De nición. Dos atlas de dimensión m en M , A1 y A2 , son compatibles si para cualesquiera dos cartas

φ1

y

φ2

φ1 ∈ A1

φ1 : U1 −→ V1

φ2 ∈ A2

φ2 : U2 −→ V2 , con U1 ∩ U2 6= ∅, −1 −1 decir, φ2 ◦ φ1 y φ2 ◦ φ 1 son difeomor smos.

están relacionados, es

y

3.18 De nición. Un atlas de dimensión m en M , A, es maximal si dado cualquier otro atlas de dimensión

m

en

M , A0 ,

compatible con

A

se tiene que

0

A ⊆ A. A rmamos que dado un atlas en

M , A,

que lo contiene,

A0

en cierto espacio topológico

M

siempre existe un atlas maximal

0

A ⊆ A.

3.19 De nición (Variedad Suave) La tupla (M, A), o simplemente M , es una variedad suave de dimensión

M

m

si

es un espacio topológico Hausdor separable.

A = {φα : Uα −→ Vα }

Matemática Universitaria

es un atlas de dimensión

m

1ra Edición

en

M

maximal.

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57

3.3 Ejemplos de Variedad Suave. Rn

i) El espacio vectorial

tomando como atlas la identidad,

ARn = {identidad}.

R, V ,

espacios vectoriales normados de dimensión nita sobre

En general los

tomando como única carta el

isomor smo lineal (y por consiguiente homeomor smo) que hay entre

V

y

RdimV .

A un abierto en M e e ∩ A) tal φ : U ∩ A −→ φ(U

ii) Los abiertos de una variedad tienen estructura de variedad. Sea

variedad suave, si φ : U −→ V es una carta en M e φ(x) = φ(x) (x ∈ U ∩ A). Entonces, las cartas φe así es llamada una subvariedad abierta de iii) El espacio vectorial

isomorfo a iv) El grupo

K

n2

Mn (K)

es una variedad de dimensión

Mn (K)

(x, y.z) 7−→

y

y x 1−z , 1−z

(0, 0, 1)

las proyecciones estereográ cas de

y

θ : S2 − {(0, 0, −1)} −→ R2 (x, y, z) 7−→

(0, 0, −1)

φ

como

homeomor smo. Similarmente, se demuestra que

domθ

es

S2 − {(0, 0, 1), (0, 0, −1)} θ◦φ

−1

(x, y) =

θ

h : M −→ N

de

M

son continuas, por lo tanto,

φ

es un

es un homeomor smo. La intersección del

y

x y , 2 2 2 x + y x + y2

((x, y) ∈ R2 ) {φ, θ} es un atlas de dimensión 2 para

.

3.20 De nición. Sean M φ

y x 1+z , 1+z

respectivamente.

φ−1

es un difeomor smo, con inversa ella misma. Por tanto

que

es

Sean

2x 2y x2 + y 2 − 1 , , x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1

como se puede demostrar. Además, tanto

S

Mn (K)

es una biyección con inversa

φ−1 (x, y) =

2

ya que

ya que es abierto, proposición 1.17,

R3 , S2 := {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1}.

2 φ : S2 − {(0, 0, 1)} −→ R

y

n2 · dimR K

Mn (K).

v) La esfera ordinaria en

domφ

que

A. A

M.

es una subvariedad abierta de

en la variedad suave

φ

construidas forman un atlas para

.

GLn (R)

La función

tomo

una

y

θ

de

N

y

N

dos variedades suaves de dimensión

es una función la función

m y n respectivamente. Se dice

suave entre variedades si h es continua y para cada par de cartas

θ ◦ h ◦ φ−1

es suave según el dominio que les corresponda.

0.3.5. Espacio Tangente y Derivada en Variedad Suave En esta sección se de ne el espacio tangente en una variedad. Finalmente se enuncia el teorema de función implicita y el teorema de función inversa para variedades que serán de utilidad más adelante.

Sea

M

una variedad suave de dimensión

Matemática Universitaria

m

y

p

un elemento en

1ra Edición

M. Monografía


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Grupos Matriciales y Heisenberg

58

p

Se de ne el conjunto de funciones suaves con dominio una vecindad de

F (M, p) := {f : U ⊆ M −→ R : Para

f, g ∈ F (M, p)

y

α∈R

x ∈ domf ∩ domg

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

para

f g ∈ F (M, p) por

(f g)(x) = f (x)g(x)

x ∈ domf ∩ domg

αf ∈ F (M, p) por

(αf )(x) = αf (x)

3.21 De nición. t : F (M, p) −→ R,

ii)

p ∈ U}

de nimos

f + g ∈ F (M, p) por

i)

f es suave y

como

Una

t

tangente

M

de

para

para

p

en

x ∈ domf

es

un

operador

real

de

F (M, p),

tal que satisface los siguientes axiomas:

t(af + bg) = at(f ) + bt(g)

(linealidad)

t(f g) = t(f )g(p) + f (p)t(g)

(regla de Leibniz)

El conjunto de las tangentes de

M

en

p

es llamado el

espacio tangente de M

en

p, Tp M ,

el cual

tiene estructura de espacio vectorial real.

+ : Tp M × Tp M

−→

Tp M

(t1 , t2 ) 7−→

. : R × Tp M

−→

Apostilla. t

Para función constante

tangente de

Resolución Sea

t

M

en

p.

αt

c∈R

(αt) := αt(f ). en una vecindad

Además, se tiene

una tangente de

M

(t1 + t2 )(f ) := t1 (f ) + t2 (f )

Tp M

(α, t) 7−→

toda

t1 + t2

en

U

p

de

se tiene que

c|U = 0, t(0|U ) = t(0|U + 0|U ) = t(0|U ) + t(0|U )

Si

c|U = 1|U , t(1|U ) = t(1|U · 1|U ) = t(1|U )1(p) + 1(p)t(1|U ) = 2t(1|U )

Si

c 6= 0, t(c|U ) = t(c1|U ) = ct(1|U ) = 0 a<0<b

y

para

p.

Si

En lo que sigue se considera

t(c|U ) = 0,

t(c) = 0.

entonces

t(0|U ) = 0. entonces

t(1|U ) = 0.

2

γ : ha, bi −→ U

donde

U ⊆ M.

3.22 De nición. Una curva suave en M , γ , es una función continua de un intervalo ha, bi sobre un abierto

U

de

M

tal que para cada carta

φ

de dimensión

m

en

M

con

domφ ∩ U 6= 0

tenemos

que

φ ◦ γ : γ −1 (domφ ∩ U ) −→ Rm

es suave.

Para probar que la curva es suave basta probar que la función extendida es suave para una carta cualquiera, como veremos acontinuación

3.23 Lema. Sea φ0 : U0 −→ V0 una carta de M

y supongamos a

φ0 ◦ γ : ha, bi ∩ γ −1 U0 −→ V0 una función suave. Entonces para cualquier carta de

φ ◦ γ : ha, bi ∩ γ es suave, es decir,

γ

es una curva suave en

Matemática Universitaria

−1

M, φ : U −→ V ,

U −→ V

M.

1ra Edición

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3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

59

Demostración. Observemos que

φ ◦ γ = (φ ◦ φ−1 0 ) ◦ (φ0 ◦ γ) como en la ilustración del diagrama

Figura 2: La composición

Por lo tanto, como una curva

φ0 ◦ γ

y

γ : ha, bi −→ M

φ ◦ φ−1 0

φ ◦ γ = (φ ◦ φ−1 0 ) ◦ (φ0 ◦ γ)

son suaves, la composición

es suave si

φ◦γ

es suave para

φ

φ◦γ

es suave. Por consiguiente

una carta cualquiera en

M.

Además,

usando la regla de la cadena tenemos que

(φ ◦ γ)0 (t) = Dφ ◦ φ−1 0 ((φ0 ◦ γ)(t)).D((φ0 ◦ γ)(t)).

Sea

Cp

el

2

conjunto de curvas suaves de M , γ , tal que γ(0) = p, es decir Cp := {γ : γ

3.24 De nición.

es una curva suave en

Dos curvas en

Cp , γ

y

β,

son

M,

tal que

equivalentes,

verdad solo es necesario que se cumpla en una carta) con

0

γ(0) = p}

γ ∼ β,

p ∈ domφ

si para toda carta

φ

(en

se tiene que

0

(φ ◦ γ) (0) = (φ ◦ β) (0). La relación (pues,

”∼” 0

es de equivalencia ya que es re exiva (pues,

0

0

(φ ◦ γ)0 (0) = (φ ◦ γ)0 (0)),

0

simétrica

0

(φ◦γ) (0) = (φ◦β) (0) y (φ◦β) (0) = (φ◦γ) (0)) y transitiva (pues, (φ◦γ) (0) = (φ◦β)0 (0) =

(φ ◦ α)0 (0)). una curva suave en

M

derivada direccional de f

en

Sean

γ

y

s

un punto del dominio de

p = γ(s)

en la dirección

γ∗ (s) : F (M, p) −→ f La cual es una tangente de

Si

M

en

tal que

γ(s) = p.

Se de ne la

como

R γ∗ (s)(f ) = (f ◦ γ)0 (s).

p.

(x1 , ..., xm ) = (u1 ◦ φ, ..., um ◦ φ)

Matemática Universitaria

7−→

γ

γ

es un sistema de coordenadas, un ejemplo de tangente en

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

p∈M

es

Grupos Matriciales y Heisenberg

la derivada parcial de f

en

p

con respecto a

Dxi (p) : F (M, p) −→ 7−→

f

xi , Dxi (p),

60

de nido por

R ∂(f ◦ φ−1 ) (φ(p)). ∂ui

En consecuencia la derivada parcial de las coordenadas

Dxj (p)xi =

3×3

xi

(funciones suaves) es

∂(ui ◦ φ ◦ φ−1 ) ∂ui ∂(xi ◦ φ−1 ) (φ(p)) = (φ(p)) = (φ(p)) = δij . ∂uj ∂uj ∂uj

Supongamos

a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (f ) = 0 0 ∈ Tp M

una combinación lineal de la tangente cero,

F (M, p)

tenemos que

con

ai ∈ R.

[a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (p)](f ) = 0(f ) = 0.

Entonces para cualquier

En particular cuando

f ∈

f = xi

se

tiene

0 = [a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (p)](xi ) = ai Dxi (p)xi = ai , así pues,

ai = 0,

Por lo tanto ,

3.25 Lema. m

F (R , a)

para

i = 1, m.

{Dxi (p)}1≤i≤m Si

es

linealmente independiente en Tp M .

m

f ∈ F (R , a), a = (a1 , ..., am ) ∈ Rm ,

entonces existen funciones

g1 , ..., gm ∈

tales que

f = f (a) +

X (uj − aj )gj j

gi (a) = Di (a)f .

en una vecindad de a. Además,

3.26 Proposición. Si (x1 , ..., xm ) = (u1 ◦ φ, ..., um ◦ φ) es un sistema de coordenadas en p ∈ M , t una tangente de

p,

entonces

t=

X

t(xi ) · Dxi (p).

i

Demostración. Sea existen

f ∈ F (M, p). Utilizamos el lema anterior para f ◦ φ−1 ∈ F (Rm , φ(p)), entonces

g1 , ..., gm ∈ F (Rm , φ(p))

tales que

f ◦ φ−1 = f ◦ φ−1 (φ(p)) +

X (uj − φ(p)j )gj j

en una vecindad de Por lo tanto, si

x

f (x)

φ(p)

y

Di (φ(p))(f ◦ φ−1 ) = gi (φ(p)).

está en una vecindad de

p

se tiene que

=

f ◦ φ−1 (φ(x))

=

f ◦ φ−1 (φ(p))(φ(x)) +

X {uj (φ(x)) − uj ◦ φ(p)(φ(x))}gi (φ(x)) j

=

f (p) +

X

{xj (x) − xj (p)}gj ◦ φ(x)

j

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

61

y

Dxi (p)f

∂(f ◦ φ−1 ) (φ(p)) ∂ui P ∂(f (p) + {uj − φ(p)j }gj )

=

j

=

(φ(p))

∂ui X

=

j

∂gj ∂uj (φ(p))gj (φ(p)) + {uj (φ(p)) − uj ◦ φ(p)} (φ(p)) ∂ui ∂ui

X ∂uj

=

∂ui

j

X

=

(φ(p))gj (φ(p))

δij gj (φ(p))

j

= gi ◦ φ(p) Entonces para

t

una tangente en

t(f )

= =

p

tenemos que

    X t f (p) + {xj − xj (p)}gj ◦ φ   j X t{(xj − xj (p))gj ◦ φ} j

=

X

t(xj )gj ◦ φ(p) + (xj (p) − xj (p))t(gj ◦ φ)

j

=

X

t(xj )Dxj (p)(f )

j

2

como se quería demostrar. Así,

{Dxi (p)}1≤i≤m

es una base para

Tp M .

Apostilla.

i) Se de ne que la dimensión de

M

es igual a la dimensión del espacio tangente de

ii) Existe un isomor smo natural entre

Dxi (p) ↔ ei ,

donde

ei

Tp M

es la base canonica de

y

R

RdimM dimM

una variedad suave y

Tp M = {γ∗ (0) : γ Demostración. Sea

.

t,

viene asociada una curva,

γ,

tal

y

t

una

t = Σi ai Dxi (p)

tangente

para algunos

abierto en

R

m

p

un elemento en

es un representante de

M

tenemos que

[γ] ∈ Cp / ∼}.

(x1 , ..., xm ) = (u1 ◦φ, ..., um ◦φ) un sistema de coordenadas de p ∈ M (φ : U −→

(x1 (p) + sa1 , ..., xm (p) + sam ) V

p, Tp M.

t = γ∗ (0).

3.27 Proposición. Para M

V)

en

como espacios vectoriales; tomando

La siguiente proposición nos mostrará que por cada tangente, que

M

. De nimos a

Matemática Universitaria

en

ai ∈ R.

p.

por

−1

>0

tal que

◦ g : h− , i −→ U

1ra Edición

el

teorema

g : R −→ R

m

anterior

como

g(s) :=

g(h− , i) ⊆ V (g = g|h− , i )

por ser

Construimos la función suave

entonces existe

γ := φ

Entonces

una curva suave en

M

con

γ(0) = p.

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Veamos que

γ∗ (0) = t,

Grupos Matriciales y Heisenberg

sea

3×3

62

f ∈ F (M, p).

γ∗ (0)(f )

=

(f ◦ γ)0 (0)

=

(f ◦ φ−1 ◦ g )0 (0)

=

D(f ◦ φ−1 )(g (0)).Dg (0) 

=

 (Dx1 (p)f, · · · , Dxm (p)f ).  

=

X

a1

. . .

  

am ai Dxi (p)f

i

=

t(f ).

γ ∗ (0)

Finalmente veamos que cualquier

es una tangente. Sea

f, g ∈ F (M, p)

y

a, b ∈ R

luego se

tiene

γ∗ (0)(af + bg) = ((af + bg) ◦ γ)0 (0) = a(f ◦ γ)0 (0) + b(g ◦ γ)0 (0) = aγ∗ (0)f + bγ∗ (0)g;

y

γ∗ (0)(f g) = (f g ◦ γ)0 (0) = (f ◦ γ)0 (0)g(p) + f (p)(g ◦ γ)0 (0) = γ∗ (0)f g(p) + f (p)γ∗ (0)g.

2 Si

h : M −→ N

es una función suave entre variedades de nimos la

derivada

de

h

en

p

como

la aplicación lineal

dhp : Tp M −→ Th(p) N ; para

t

una tangente en

p

y

dhp (t)(f ) = t(f ◦ h),

f ∈ F (N, h(p)). dhp ,

Una de nición alternativa de

para curvas, es tomar

dhp (γ∗ (0)) := (h ◦ γ)∗ (0) donde sea

γ

es una curva suave en

f ∈ F (N, h(p)),

Cp . Estas de niciones coinciden si t = γ∗ (0), para alguna γ ∈ Cp / ∼;

entonces

dhp (t)(f )

=

t(f ◦ h)

=

γ∗ (0)(f ◦ h)

=

(f ◦ h ◦ γ)0 (0)

=

(h ◦ γ)∗ (0)(f )

=

dhp (γ∗ (0))(f ).

3.28 De nición. Sea (M, A) una variedad suave de dimensión m. Un subconjunto N de M , N ⊆ M , es una subvariedad suave de M de dimensión k , k ≤ m, si para todo p en N existen una vecindad de

p

en

M, U,

y una carta de dimensión

m

en

M , A 3 φ : U −→ V,

tal que

p ∈ φ−1 (V ∩ Rk ) = N ∩ U. Para tal

N

subvariedad de

M

de dimensión

k

formamos un atlas de

e := N ∩ U −→ V ∩ Rk ; φe : U

Matemática Universitaria

1ra Edición

N , AN ,

tomando como cartas

e φ(x) = φ(x),

Monografía


Huamaní Castro, Newton

donde

φ

Grupos Matriciales y Heisenberg

es una carta de dimensión

m

en

3×3

63

M.

3.29 Proposición. (Teorema de la función implícita para variedades) Sea

h : M −→ M 0 una función suave entre variedades de dimensión m y m0 respectivamente. Suponq ∈ M 0 , dhp : Tp M −→ Th(p) M 0

gamos que para algún Entonces por

N ⊆M

es una subvariedad de dimensión

es sobreyectiva para todo

m−m

0

p ∈ N = h−1 (q).

y el espacio tangente de

p∈N

es dado

Tp N = kerdhp .

3.30 Proposición. ( Teorema de la función inversa para variedades) Sea

h : M −→ M 0

una función suave entre variedades de dimensión

Supongamos que para algún existen una vecindad de Demostración. Sea zación

p, U ,

una vecindad de

ψ : D −→ M

ϕ : W −→ M ,

ĥ = ψ −1 ◦ h ◦ ϕ.

p ∈ M , dhp : Tp M −→ Th(p) M 0

dhp

p = ϕ(x)

tal que

es un isomor smo,

dĥx

y

m0

respectivamente.

es un isomor smo lineal. Entonces

tal que

h|U : U −→ V

una parametrización alrededor de

alrededor de

Como

h(p), V ,

0

m

h(p).

h(ϕ(W )) ⊂ ψ(D).

es difeomor smo.

Eligimos una parametri-

Podemos entonces de nir

también lo es, ya que

dϕx

y

−1 dψh(p)

lo son (por

el criterio anterior). Luego, el teorema de la función inversa usual de espacio euclidiano permite hallar un abierto tomar

Û ⊂ Rm

tal que

ĥ|Û : Û −→ h(Û )

es un difeomor smo. Para concluir, basta

1ra Edición

Monografía

U = ϕ(Û ).

Matemática Universitaria

2


0.4. Uso de Grupo de Heisenberg de tamaño 3 como contraejemplo Se empieza por presentar la de nición de grupo de Lie en seguida se demuestra que la función

exp

es localmente un difeomor smo. Luego se demuestra que todo subgrupo matricial de

es un subgrupo de Lie. Finalmente presentamos la prueba de la Hipótesis de la tesis,

GLn (K)

No Todo

Grupo de Lie es un Subgrupo Matricial de GLn (K), usando el grupo Heisenberg de tamaño 3

como contraejemplo y herramientas de la teoría de grupos.

0.4.1. Grupos de Lie 4.1 De nición. Un grupo de Lie es una variedad suave G que también es un grupo topológico en la cual las operaciones de multiplicación e inverso

mult : G × G −→

G

(x, y) 7−→

xy

inv : G −→

y

G

x 7−→

x−1

G

un

son suaves en variedades. Aquí

se

Hausdor

entiende

que

separable

y

G × G la

es

la

extensión

variedad de

producto,

mult

e

inv

es

son

espacio

funciones

topológico

in nitamente

diferenciables.

4.2 De nición. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H riedad de G es llamado subgrupo de Lie de G. Algunos

ejemplos

de

grupos

de

Lie,

no

descritos

G

de

en

que también es una subva-

este

trabajo,

son

los

siguientes: i)

(Rn , +)

es

un

grupo

de

Lie,

ya

que

es

64

una

variedad

suave

debido

a

que

es

un


Huamaní Castro, Newton

espacio

Grupos Matriciales y Heisenberg

topológico

Hausdor

separable

con

3×3

atlas

65

la

identidad,

es

un

grupo

topológico aditivo y las operaciones de adición y cambio de signo son suaves. ii)

U Tn (R)

SU Tn (R)

y

son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerrados de

(GLn (R), mult)

Generalizando, todo grupo matricial es un grupo de lie como veremos más adelante.

0.4.2.

El GLn (K) y SLn (K) como Ejemplos de Grupos de Lie

Como es costumbre sea

K=R

o

C.

En esta sección se demostrará que los conjuntos represen-

tativos

GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : det(A) 6= 0}

SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1}

y

localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.

4.1 Ejemplo. El GLn (K) es un grupo de Lie, con la multiplicación de matrices. Demostración. Por de nición de grupo de Lie. i) Veamos que

El

Mn (K)

GLn (K)

es variedad suave.

es variedad suave puesto que es espacio topológico Hausdor separable con la

1

topología dada en capítulo

n2

Mn (K) −→ K } dimensión de El

GLn (K)

. La

Mn (K)

coord

es

n

2

y tomando como carta la

coord

A = {coord :

se forma el atlas

es un homeomor smo (carta) entre

Mn (K)

y

K

n2

.

es subconjunto abierto de la variedad suave

permite formar el atlas restringida,

Mn (K),

proposición 1.18, lo que 2

A|GLn (K) = {coord : GLn (K) −→ Kn }.

Además es un

espacio topológico Hausdor separable con la topología relativa heredada de tanto

GLn (K)

consiguiente

Mn (K).

Por

es una variedad suave.

ii) Por la proposición(1.17)

mult|GLn (K)

por lo que

GLn (K)

inv|GLn (K)

y

GLn (K)

es grupo bajo la multiplicación de matrices. Por otro lado son

continuas,

ver

proposición

(1.19).

Por

es grupo topológico.

iii) Además, la multiplicación e inversa son suaves por ser funciones polinómicas por coordenadas

y función racional por coordenadas respectivamente,

 

a11

···

  

. . .

..

an1

···

.

a1n



b11

···

b1n

. . .

  

. . .

..

. . .

bn1

···

ann

.

bnn

n P

 k=1    −→     n  P

···

a1k bk1 . . .

..

···

ank bk1

k=1

a11

···

  

. . .

..

.

. . .

an1

···

ann

Por tanto

GLn (K)

a1n

.

n P

 a1k bkn  k=1   . .  .  n  P ank bkn k=1

   −→ A−1 = transpuesta 

de la matriz

es un grupo de Lie.

(−1)i+j det Aij . det A

2

4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno, SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1}, Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

66

GLn (K).

es un subgrupo de Lie de

Demostración. Por de nición de subgrupo de Lie. i) Como

SLn (K)

es subgrupo matricial de

GLn (K).

SLn (K)

Entonces

es subgrupo cerrado de

GLn (K). SLn (K)

ii) Veamos que

es subvariedad de

La función determinante, Así, para

A

en

GLn (K).

det : GLn (K) −→ K,

SLn (K) = det

−1

{1}

es una función suave entre variedades.

tenemos que

d(det)A : TA GLn (K) = Mn (K) −→ T1 K = K Si

γ : (a, b) −→ GLn (K)

es una curva suave con

γ(0) = A.

Entonces

d(det)A (γ 0 (0)) = (det ◦ γ)0 (0). Sea

γ0 : (a, b) −→ GLn (K); γ0 (t) := A−1 γ(t).

Tenemos que

γ0 (0) = I

y por lema 2.14

(det ◦ γ0 )0 (0) = trγ00 (0). Por lo tanto

(det ◦ γ)0 (0) = (det ◦ Aγ0 )0 (0) = (detA)(det ◦ γ0 )0 (0) = trγ00 (0), d(det)A (γ 0 (0)) = trγ00 (0) Entonces

d(det)A (X) = tr(A−1 X)

entonces la transformación lineal es

−1

det

para

con,

γ0 (t) = A−1 γ(t)

γ 0 (0) = X ∈ Mn (K).

d(det)A : Mn (K) −→ K

Como

tr

es sobreyectiva

es sobreyectiva para cada

−1

{1} = SLn (K). De este modo por el teorema de la función implicita det

es una subvariedad de Por consiguiente

SLn (K)

pacio tangente en

{1} = SLn (K)

GLn (K).

es subgrupo de Lie de

Nótese que la dimensión de

A∈

SLn (K)

A ∈ SLn (K)

es

2

GLn (K).

dim Mn (K) − dim R = n2 − 1

cuando

K = R

y su es-

esta dado por

TA SLn (K) = ker d(det)A = {AX ∈ Mn (K)/tr(X) = 0}.

Dada

un

tangente de

grupo

de

G

y

un

elemento

g

G

entonces

existe

el

espacio

G en g , Tg G. Viendo a G como una variedad usaremos la notación usual TI G := g para

el espacio tangente de al

Lie

grupo de Lie

G en la identidad de G. Por tanto, se dice el álgebra

de Lie correspondiente

al espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tiene la

misma dimensión que la variedad y la misma notación.

Para

G

un grupo de Lie y

g ∈ G,

las tres siguientes funciones son particularmente importan-

tes, ya que permiten demostrar teoremas.

Lg : G −→ G; Matemática Universitaria

Lg (x) := gx

(multiplicación a izquierda)

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

67

Ilustración 3: El álgebra de Lie de un grupo de Lie.

Rg : G −→ G;

Rg (x) := xg

χg (x) := gxg −1

χg : G −→ G;

Apostilla.

Para

N −→ M

p2 : M × N −→ N

y

M

N

y

4.3 Proposición.

(multiplicación a derecha) (Conjugación)

variedad suave, respectivamente. Las funciones proyecciones

Para

dadas por

cada

p1 (m, n) = m

g

G

las

y

p2 (m, n) = n

funciones

p1 : M ×

son suaves.

Lg , Rg , χg

son

difeomor smo

con inversas

L−1 g = Lg −1 ,

Rg−1 = Rg−1 ,

χ−1 g = χg −1 .

Demostración. i) Sean

g, x

en

G

y

p2 : G × G −→ G

la función proyección usual. Entonces,

mult(g, x) = Lg ◦ p2 (g, x). e −→ Ve , φ : U −→ V y θ : W −→ W f cartas φe : U e × U ) y Lg (U ) subconjuntos de W ). niendo a mult(U Sean

Entonces, por ser

G

en

g, x

y

gx

respectivamente (supo-

un grupo de Lie tenemos que

θ ◦ mult ◦ (φe × φ)−1 = θ ◦ mult ◦ φe−1 × φ−1

es suave.

Por lo tanto

θ ◦ mult ◦ (φe−1 × φ−1 ) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦ φe−1 × φ−1 = θ ◦ Lg ◦ φ−1 es suave. Esto para cartas cualesquiera Así,

Lg : G −→ G

Lg−1 x = g

x.

y

θ

de

x∈G

y

gx ∈ G.

es una función suave entre variedades.

Por otro lado tenemos

−1

φ

Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg

Por consiguiente

Lg : G −→ G

que también es suave por la forma

Matemática Universitaria

para la función

Lg−1 = G −→ G

es biyectiva y su inversa es

dada por

Lg−1 : G −→ G,

Lg−1 : G −→ G. 1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

Rg

ii) Con argumentos similares se prueba que

3×3

es suave para cada

68

g ∈ G.

iii) Además, note que

χ = Lg ◦ Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg .

2

y la composición de funciones suaves es suave.

0.4.3.

Todo Subgrupo de Matricial de GLn (K) es Grupo de Lie

En esta sección se demuestra que la función exponencial aplica localmente el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo.

Para esto se empieza de niendo el conjunto

e g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} donde

G

es un subgrupo matricial de

GLn (R).

4.6 Teorema. eg es una subálgebra de Lie real de Mn (R). Demostración. Por de nición, si subespacio vectorial

de

x, y ∈ b

Lie, es decir, si

i) Veamos que

e g

Por de nición de nición

Sea

b

e g

a

a

es una

implica

es álgebra de Lie sobre

[, ]

entonces un

[x, y] ∈ b. Mn (R). 0n ∈ e g ya que exp(t0) = I ∈ G

es subespacio vectorial de

e g ⊆ Mn (R).

Para

exp

La matriz

r≥1

para todo

se tiene que los siguientes elementos están en

t ∈ R.

Por

G:

r 1 1 1 1 A exp B , exp A exp B . r r r r

Por fórmula del producto Trotter, teorema 2.17, para

exp(tA + tB) = lı́m

r−→∞

G

con corchete de Lie

es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

A, B ∈ e g.

Como

K

subálgebra de Lie de a sobre K si es cerrada bajo corchete de

es un subgrupo cerrado de

exp

t∈R

tenemos que

r 1 1 tA exp tB . r r

GLn (R)

entonces el límite se encuentra en

G.

Es decir

(A + B) ∈ e g. ii) Veamos que

Si

A, B ∈ e g

e g y

es cerrado bajo el corchete de Lie.

r≥1

se tiene que el siguiente elemento está en

G:

r2 1 1 −1 −1 exp A exp B exp A exp B . r r r r

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

Por fórmula del conmutador, teorema 2.17, para

exp(t[A, B])

Como

G

para

Por consiguiente

Sea

G

e g

69

tenemos que

= exp([tA, B]) 1 1 −1 = lı́m exp tA exp B exp tA r−→∞ r r r r2 −1 exp B . r

es un conjunto cerrado en

[A, B] ∈ e g

t∈R

3×3

GLn (R)

entonces el límite se encuentra en

G.

Es decir,

A, B ∈ e g.

es una subálgebra de Lie real de

un subgrupo matricial de

2

Mn (R).

GLn (K).

g := TI G = {γ 0 (0) : γ

es una curva diferenciable con

γ(0) = I}.

4.7 Proposición. Para un grupo matricial inversible, G, eg es una subálgebra de Lie real de g Demostración. Veamos que A rmemos que

e g ⊆ g.

γ(0) = I

y

e g

es subespacio vectorial de

En efecto, sea

0

γ (0) = A,

A∈e g

y es cerrada bajo el corchete de Lie.

γ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface otro lado e g es subespacio de Mn (R) por la

entonces la curva

A ∈ g.

por lo tanto

proposición 4.6, mientras por la proposición 3.8 subespacio vectorial

g

Por

g

subespacio de

Mn (R).

Por consiguiente,

g.

Por la proposición 4.6

e g

e g

es

2

es cerrado bajo el corchete de Lie.

Antes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultado técnico.

4.8 Lema. Si

Sea

{An

sn An −→ A ∈ Mn (R)

Es decir, dada

cuando

n −→ ∞

tal

entonces

que

kAn k

0

y

{sn

R}n≥1 .

A∈e g.

{An } una sucesión de matrices cuadradas de orden n×n y {sn } sucesión de números

reales tales que la sucesión de la sucesión de normas en

exp−1 G}n≥1

{expAn }

{kAn k}

está contenida en el grupo matricial inversible

de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de

G

y el límite

{sn An }

está

e g.

Demostración. Sea

x∈R

y

n

un número entero inmediato inferior de

[x] = n Sea

t∈R

arbitrario. Para cada

|tsn − mn | ≤ 1.

n ∈ N,

para

x.

Se de ne

n ≤ x < n + 1.

escojamos un entero

mn = [sn t] ∈ Z

la que veri ca que

Entonces

kmn An − tAk

kmn An − An tsn k + kAn tsn − tAk

= |mn − tsn |kAn k + |t|kAn sn − Ak ≤ Haciendo

n −→ ∞

se obtiene

kAn k + |t|kAn sn − Ak.

mn An −→ tA

ya que

kAn k −→ 0

y

ksn An − Ak −→ 0.

Por otro, lado tenemos

exp(mn An ) = exp(An )mn ∈ G,

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

y como

G

es cerrado en

Grupos Matriciales y Heisenberg

GLn (R)

ya que

G

3×3

70

es grupo matricial inversible, luego se tiene

exp(tA) = lı́m exp(mn An ) ∈ G. n→∞

exp(tA) ∈ G

Por lo tanto

para cada

t ∈ R,

esto es,

2

A∈e g.

La función exponencial a menudo ayuda a determinar álgebras de Lie; por lo que la función exponencial es relevante.

4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn (K). La función exponencial

0,

en la matriz

exp : e g −→ G dada por exp(A) = 0

aplica una bola abierta de la matriz

Demostración. Escogemos

V

P

sobre una bola abierta de

un subespacio real complementario de

Ilustración 4: La exponencial aplica una vecindad de

de

Mn (R)

tal que

de la forma

e g ⊕ V = Mn (R).

X = A + B,

1 n n≥0 n! A , es localmente difeomor smo

donde

0

Entonces cada elemento

A∈e g

y

en

e g

e g,

I

en

G.

esto es, un subespacio real

en una vecindad de

X ∈ Mn (K)

I

en

G.

tiene una única expresión

B ∈V.

Consideremos la función

Φ:e g ⊕ V = Mn (R) −→

La

Φ

es

función

suave

GLn (R)

(A + B) 7−→

exp(A)exp(B),

que

matriz

aplica

la

nula

(A ∈ e g, B ∈ V ).

0 ∈ Mn (R)

en

la

matriz

identidad

I ∈ GLn (R), 1 1 exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 + 02 + ...)(I + 0 + 02 + ...) = I. 2 2 Nótese que el factor

exp(A)

está en

Consideremos la derivada en

G.

0,

DΦ(0) : Mn (R) −→ TI GLn (R) = Mn (R).

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

71

DΦ(0)(A + B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto de A + B ∈ Mn (R) = e g ⊕ V donde A ∈ e g y B ∈ V , hallamos la derivada de la curva t −→ Φ(t(A + B))

Para

en

determinar

t = 0,

es decir,

DΦ(0)(A + B)

A, B

Tomemos

(4.1) de la página

y

t

48

tenemos que

R

Φ(0 + t(A + B)) − Φ(0) t−→0 t d Φ(t(A + B))|t=0 . = dt =

lı́m

pequeños,

con

norma

menor

(4.1)

1/2,

que

por

la

igualdad

Φ(t(A + B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) para una única

C(t)

(que depende de t) matriz en

2.16 se tiene

Haciendo

|t| −→ 0,

C(0) = 0

y por la proposición

t2 k[A, B]k + 65|t|3 (kAk + kBk)3 2

kC(t) − t(A + B)k ≤

kC(t) − t(A + B)k ≤

tal que

t2 [A, B]k ≤ 65|t|3 (kAk + kBk)3 2

kC(t) − t(A + B) −

ó

Mn (R)

(4.2)

t2 (k[A, B]k + 130|t|(kAk + kBk)3 ) 2

tenemos

kC(t) − t(A + B)k kC(t) − C(0) − t(A + B)k = lı́m = 0. t−→0 t−→0 |t| |t| lı́m

Así pues,

d dt C(t)|t=0

= A + B.

Por lo tanto de (4.1) y (4.2)

d d d Φ(t(A + B))|t=0 = exp(C(t))|t=0 = exp(C(0)). C(t)|t=0 = A + B. dt dt dt Entonces

DΦ(0)

0 ∈ Mn (K). 1/2

es

la

función

identidad

Puesto que, para cualquier

A

en

en

una

Mn (R)

vecindad

existen

pequeña

{Ai }1≤i≤m

de

la

matriz

con norma menor que

m P

A=

Ai . Entonces se puede asegurar por la linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la i=1 función identidad en todo Mn (R). En consecuencia aplicando el teorema de función inversa, ver tal que

proposición 3.30,

Φ

es un difeomor smo para alguna vecindad

do esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta restricción de

Φ

U

de la matriz

NMn (K) (0; δ)

0

en

para algún

Mn (R),

δ>0

llevan-

tal que la

a

Φ|NMn (K) (0;δ) : NMn (K) (0; δ) −→ Φ(NMn (K) (0; δ)) es un difeomor smo. Ahora tenemos que demostrar que

exp|NMn (K) (0;δ)∩eg = Φ|NMn (K) (0;δ)∩eg : NMn (K) (0; δ) ∩ e g −→ Φ|NMn (K) (0;δ)∩eg (NMn (K) (0; δ) ∩ e g) aplica una bola abierta de

NMn (K) (0; δ) ∩ e g

contrario, esto es, existe una sucesión en

n ∈ N.

Para un

n

grande sabemos que

Matemática Universitaria

sobre una bola abierta de

G, {Un },

tal que

Un −→ I

Un ∈ Φ(NMn (K) (0; δ))

1ra Edición

I

pero

ya que

Φ

en

G.

Supongamos lo

Un 6∈ Φ(e g) en

para toda

NMn (K) (0; δ)

es un

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

An ∈ e g

difeomor smo. Entonces existen

NMn (K) (0; δ)

y

Bn ∈ V − {0}

3×3

tal que

72

Φ(An + Bn ) = Un .

Por ser

Φ

en

un difeomor smo tenemos que si

Un −→ I =⇒ Φ−1 (Un ) = An + Bn → Φ−1 (I) = 0 y esto implica que

An → 0

y

Bn → 0 .

Por de nición de

Φ

tenemos que

Φ(An + Bn ) = exp(An )exp(Bn ) = Un ∈ G ó

exp(Bn ) = (exp(An ))−1 Un ∈ G, entonces

Bn ∈ exp−1 (G).

Consideremos a

Bn :=

1 kBn k Bn que está en la esfera unitaria de

necesario, tomamos

{Bn ∈ exp

−1

G}

Bn → B

1 y { kBn k

con

∈ R}

B

en la esfera unitaria de

Mn (R),

{Bn }.

Renombrando, si es

Mn (R), kBk = 1.

Por el lema 4.8 para

la cual es compacta, entonces existe una subsucesión convergente de

se obtiene que

1 Bn = Bn → B ∈ e g kBn k Pero cada

Bn

Por lo tanto

y por lo tanto cada

B ∈e g ∩ V = {0},

Por consiguiente bola abierta de

exp

Bn

está en

V.

Por ser

V

cerrado en

Mn (R)

tenemos que

pero esto genera una contradicción siempre que

es un difeomor smo de una bola abierta de

B ∈V.

kBk = 1.

0, NMn (K) (0; δ1 ) ∩ e g⊆e g,

I , NMn (K) (I; δ2 ) := exp(NMn (K) (0; δ1 ) ∩ e g) ⊆ G.

en una

2

Como vemos la función exponencial aplica difeomor camente el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo que el álgebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricial inversible, y como se trata de un álgebra su manejo es más sencillo.

4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn (R) es un subgrupo de Lie de GLn (R). Demostración. Por de nición de subgrupo de Lie. Sea

G

un subgrupo matricial de

GLn (K)

cualquiera. Entonces

G

es subgrupo cerrado en

GLn (K).

Veamos que

G es una subvariedad de GLn (R). En efecto, G es un espacio topológico Hausdor sepa-

rable

pues

GLn (K)

dada por

su

topología

relativa

TG = {U ⊆ G : U = F ∩ G

para algún abierto

Por el teorema 4.9 tenemos que para algún abierto tal que

es

V ⊆ e g

la

F

en

tal que

heredada

de

GLn (K)}.

0 ∈ V

y un abierto

U ⊆ G

I∈G exp|V : V ⊆ e g −→ U ⊆ G

es un difeomor smo. Como

e g

e g ⊆ Mn (R) es un subespacio normado real de dimensión nita entonces

es una variedad suave y sus cartas vienen dadas por restricciones abiertas del homeomor smo

entre

e g

y

RdimR eg .

Para el homeomor smo

coord

entre

e g

y

RdimR eg

tenemos que

φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg (U ) ⊆ G −→ Ve ⊆ RdimR eg

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

es una carta de dimensión Sea

φg 1

y

φg 2

3×3

Grupos Matriciales y Heisenberg

dimRe g

g∈G

en

cartas arbitrarias tal que

73

Ve = coord ◦ exp−1 U .

y donde

Lg1 (U1 ) ∩ Lg2 (U2 ) 6= φ.

−1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 ◦ coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1

φg2 ◦ φ−1 g1

2

1

= coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 ◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1 , 2

entonces

φg2 ◦ φ−1 g1

están

relacionados.

dimRe g

para

es

un

Por

lo

difeomor smo

G

abiertos

:=

{φg /g

álgebra

de

tanto

RdimR eg

de

G}

es

. un

φg 1

Entonces atlas

de

y

φg2

dimensión

2

G.

Versión simple del matricial de GLn (K) Sea

A

en

un subgrupo matricial de

GLn (K),

Lie

de

un

subgrupo

entonces

g=e g. Donde los espacios vectoriales son de nidas por

0

g := TI G = {α (0) ∈ Mn (K) : α

e g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}

es una curva diferenciable con

y

α(0) = I}.

En efecto: Sea

G

es un subgrupo matricial de

de sus cartas que es

dimRe g,

dimR g.

0.4.4.

GLn (K).

La dimensión de

G,

como variedad, es la dimensión

la cual es igual a la dimensión de su álgebra de Lie, según la de nición 3.7,

Por lo tanto,

dimR g = dimRe g

y dado que

e g⊆g

se tiene que

e g = g.

Grupo Heisenberg de Tamaño 3

Los siguientes parráfos extraído de Esther GALINA en

[11]

describe al grupo Heisenberg, ha-

ciendo uso de las series de Fourier y teoría de representaciones, de la forma siguiente:

... El grupo Heisenberg

Hn

es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo, dos pasos nilpotente,

un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombre y su signi cado en la mecánica cuántica proviene del hecho que su álgebra de Lie sobre

R está de nida por las relaciones canónicas de conmutación

de Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas áreas de la matemática, la física teórica, la teoría de códigos y señales digitales, como así también en la ingeniería eléctrica ..."

Aunque es posible de nir el grupo senberg de tamaño

3, Heis3 ,

Heisn

para

n

arbitrario. Aquí describimos el grupo de Hei-

obteniendo de una forma sencilla como el cociente de dos grupos

matriciales inversibles, donde una ellos es un subgrupo normal del otro.

Construcción del grupo Heisenberg. Sea SU T3 (R) el conjunto de matrices triangulares superiores tal que

a11 = a22 = a33 = 1,

esto es,

   1  SU T3 (R) =  0   0

  

a

b

1

 c  : a, b, c ∈ R .   1

0

SU T3 (R) es un subgrupo matricial de GL3 (R), ya que del ejemplo 2.3 es grupo bajo multiplicación de matrices y es cerrado en

Matemática Universitaria

GLn (K).

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

SU T3 (R)

La regla práctica de multiplicación de dos matrices en



1

1

x1

x2

1

y1

y2

  0 0

1

 x3   0 0 1

1

  y3  =  0 0 1

0

0

Se precisa aquí, si

gng

−1

∈ N,

G

−1

1

a

b

  0 0

1

 c  1

0

es grupo y

para cualesquier

N

n∈N

 = 0

1

0

0

es subgrupo de y

G.

viene dado por

x2 + x1 y3 + y2

1

x3 + y3

 

0

1

−a

1

74

x1 + y1

y la regla práctica para obtener la inversa de una matriz en

3×3

SU T3 (R)

ac − b

viene dado por

 −c  . 1

Se dice que

N

es normal en

G

si y sólo si

g ∈ G.

Acontinuación se de ne el conjunto

   1  Z3 :=  0   0 Luego se deduce que

Z3

    0 :z∈Z .   1

0

z

1 0

SU T3 (R).

es un subgrupo normal de

A ∈ SU T3 (R)

En efecto, dado cualquier

z ∈ Z3 ,

y

entonces para cualquier

a, b, c ∈ R

y

s∈Z

se

tiene que





a

b

1

0

z

 AzA−1 =  0

1

1

0

0

 c  0 0 1

 0  0 0 1

0

−a

1

1

1 0

ac − b

1

0

s

  −c  =  0 0 1

1

 0  = z ∈ Z3 . 1

0

4.12 De nición. El grupo Heisenberg de tamaño 3, se de ne como el cociente de dos grupos Heis3 := SU T3 (R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SU T3 (R)}. Nótese,

Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SU T3 (R) donde las clases laterales

o bien son ajenas o bien iguales. Como y

(AZ3 )(BZ3 ) = (AB)Z3

Heis3

Z3

es subgrupo normal de

para cualesquier

A, B ∈ SU T3 (R).

SU T3 (R)

entonces

AZ3 = Z3 A

En consecuencia es posible darle a

una estructura de grupo con la siguiente operación binaria

mult : Heis3 × Heis3

−→

(AZ3 , BZ3 ) 7−→ Lo cual cumple los axiomas de grupo con identidad de

SU T3 (R))

y SU T3 (R) Z3

Heis3 mult(AZ3 , BZ3 ) = (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 . I3 Z3

como elemento identidad (donde

I3

es la matriz

−1

A Z3 como inverso de AZ3 . Además, la proyección canónica o natural = Heis3 dada por q(A) = AZ3 es un homomor smo sobreyectivo cuyo

q : SU T3 (R) −→ Z3 , es decir Ker q = Z3 .

núcleo es

4.13 Proposición. El grupo Heisenberg de tamaño 3, Heis3 , es un grupo de Lie. Demostración.

(i)

Veamos que

Heis3

es una variedad suave.

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Sea

q : SU T3 (R) −→ Heis3 = 

la

Grupos Matriciales y Heisenberg



b

1

a

 q  0

1

1

0

0

  c  =  0 0 1

U ⊆ Heis3 El grupo Heisenberg, y

q

es

homomor smo

a

b+z

1

c

0

1

λ

luego

Heis3 .

es abierto si y solo si

q

esto

q −1 (U ) ⊆ SU T3 (R)

es abierto.

Heis3 , con esta topología es Hausdor separable. En efecto, como q −1 (φ) = φ

−1

También es

Aprovechando

una estructura topológica como sigue:

Heis3

una familia cualquiera de abiertos en

S

    :z∈Z   

sobreyectivo.

(Heis3 ) = SU T3 (R) son abiertos en SU T3 (R) entonces φ y Heis3

{Uλ } cada

Heis3 ,

   1   c  Z3 =  0   1 0 

b

0

q

entonces

daremos al grupo Heisenberg,

−1

a

natural

75

SU T3 (R) dada por Z3

1

proyección

3×3

−1

S ( Uλ )

(Uλ ) = q T Uλ es abierto

en

es abierto en

Heis3

q

entonces

−1

(Uλ )

son abiertos en

es abierto en

Heis3 . Sea

SU T3 (R)

para

S

SU T3 (R) por lo que Uλ es un abierto en T T q −1 ( Uλ ) = q −1 (Uλ ) y {Uλ } es familia

dado que

Heis3 .

nita de abiertos en

Esta topología, hace de

q

U ⊆ SU T3 (R)

una aplicación abierta. Para

se tiene

q −1 (qU ) =

S

sU

s∈Z3 donde

U s = {us ∈ SU T3 (R) : u ∈ U }.

abierto. Por lo tanto

q(U )

Esta topología, hace de ción de El

q, q

q

U ⊆ SU T3 (R)

Si

es abierto en

es abierto, entonces cada

U s (s ∈ Z3 )

es

Heis3 . U ⊆ Heis3

una aplicación continua. Sea

un abierto entonces por de ni-

−1

Heis3 =

(U ) es abierto en SU T3 (R). SU T3 (R) es separable. En efecto, Como Z3

contable de abiertos

SU T3 (R) =

S

Ui .

SU T3 (R)

es separable entonces existe una base

Luego aplicando tenemos

Heis3 =

i∈N

S

q(Ui )

que es una

i∈N

base contable de abiertos. Finalmente

Heis3

luego aplicando Como

AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 o sea que

con

AZ3 6= BZ3

A 6= B

entonces

−1

entonces

0

(U )

en

con

SU T3 (R) tal que U ∩ V = φ. Como q

AZ3 ∈ U

0

y

V =q

−1

0

(V )

con

AZ3 ∩ BZ3 = φ

son puntos distintos en

SU T3 (R) es un espacio topológico Hausdor separable entonces para A y B

U 3AyV 3B U =q

es Hausdor . Sea

q −1 (AZ3 ) ∩ q −1 (BZ3 ) = φ

SU T3 (R).

existen abiertos

es sobreyectiva entonces existen conjuntos

BZ3 ∈ V 0 .

Como

φ = U ∩ V = q −1 (U 0 ) ∩ q −1 (V 0 )

U 0 ∩ V 0 = φ. 

Se de ne

Ux1 ,x2 ,x3

x1 , x2 , x3 ∈ Q

en

Ux1 ,x2 ,x3

como bola abierta de radio

SU T3 (R),

   1  =  0   0

Matemática Universitaria

1/2

y centro

1

x1

x2

  0 0

1

 x3  ∈ SU T3 (R) 1

y2

0

con

esto es,

y1 1 0

  1   y3  :  0 0 1

y2

x1

x2

1

y1

1

  x3  −  0 1 0

1

0

1ra Edición

0

     < 1/2 . y3    1 max

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

U := {Ux1 ,x2 ,x3 : xi ∈ Q}

Entonces la colección

3×3

76

es un cubrimiento contable de

SU T3 (R).

La aplicación (restringida de la proyección natural) de nida por

−→

φa,b,c : Ua,b,c  1 x1 x2    0 1 x3  0 0 1

φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3   1 x1 x2    0 1 x3  Z 3

es

un

homeomor smo

Ua,b,c

entre

7−→

0

0

φa,b,c (Ua,b,c ).

y

1 En

efecto,

la

aplicación

φa,b,c

es

sobreyectiva.

 Veamos que

1 2 y

φa,b,c

|y2 − b| <

es inyectiva. Sean

 

1

x1

x2

1

y1

y2

  0 0

1

  x3  ,  0 0 1

1

 y3  en Ua,b,c 1

0

0

entonces

|x2 −b| <

1 2.

Si

x1

x2 + z

1

x3

0

   1   x3  Z 3 =  0   0 1

0

1

1

y1

y2

y1

y2 + z

  0 0

1

   1   y3  Z 3 =  0   0 1

1

x1

  0 0

1

x2

    :z∈Z   

es igual a

0

    y3  : z ∈ Z   1

1 0

entonces

x1

x2

  0 0  1   0

1

 x3  1  x2  x3  1

0

0 x1 1 0

1

y1

y2

1

0

z

 =  0 0  1  =  0

1

 y3   0 0 1  y2 + z  y3  1

1

 0  para 1

por igualdad de matrices se sigue Por otro lado



1

0

0 y1 1 0

x1 = y1 , x3 = y3

|x2 − y2 | ≤ |x2 − b| + |y2 − b| <

1 2

y

+

0

z∈Z

algún

x2 − y2 = z ∈ Z. 1 2

< 1.

Como

x2 − y2 ∈ Z

entonces

x2 = y2 .

φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SU T3 (R) −→ φa,b,c (Ua,b,c ) dada por φa,b,c (A) = AZ3 es biyectiva con −1 −1 inversa φa,b,c : φa,b,c (Ua,b,c ) −→ Ua,b,c dada por φa,b,c (AZ3 ) = A. −1 Las funciones φa,b,c y φa,b,c son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en Heis3 entonces por de nición de topología φ−1 (U ) es abierto en SU T3 (R).

Entonces

Supongamos

U

SU T3 (R)

es

abierto

en

SU T3 (R).

Como

la

función

φ−1 a,b,c

es

−1 0 sobreyectiva entonces existe un conjunto V ⊆ Heis3 tal que U = φa,b,c (V ) luego por de nición −1 −1 −1 0 (U ) = φa,b,c (U ) = de topología V es abierto en Heis3 . Como φa,b,c es biyectiva entonces (φa,b,c ) −1 0 0 φa,b,c (φa,b,c (V )) = V es abierto en Heis3 . Por consiguiente φa,b,c es homeomor smo. 0

 La

aplicación,

ψ

:

SU T3 (R)

Matemática Universitaria

−→

R3

dada

por

1ra Edición

1

a

b

  0 0

1

 c  1

0

7−→

(a, b, c)

es

un

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

77

difeomor smo de manera natural. Entonces la compuesta

3 ψ ◦ φ−1 a,b,c : φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c ) ⊆ R es homeomor smo de un abierto de carta de

Sean

Heis3

dos

entonces

de dimensión

cartas,

(ψ ◦

Heis3

En consecuencia

ψ ◦ φ−1 a,b,c

es una

3.

ψ ◦ φ−1 a,b,c

φ−1 a,b,c )

R3 .

en un abierto de

y

ψ ◦ φ−1 a0 ,b0 ,c0 ,

−1 φ−1 a0 ,b0 ,c0 )

◦ (ψ ◦

tal

(ψ ◦

=

Ua,b,c ∩ Ua0 ,b0 ,c0

que

φ−1 a,b,c )

◦ (φa0 ,b0 ,c0 ◦ ψ

6=

φ

−1

la

)

composición es difeomor smo, por lo tanto las cartas están relacionadas. Por otro lado, como

S SU T3 (R) = {Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,c tenemos n o Heis3 = q(SU T3 (R)) = S −1 {φa,b,c (Ua,b,c ) : a, b, c ∈ Q}. Por tanto A := ψ ◦ φa,b,c : a, b, c ∈ Q es un atlas de dimensión 3 para

Heis3 .

Por consiguiente,

Heis3

es una variedad suave de dimensión

(ii)

Heis3

es grupo topológico. El

Veamos que

ABZ3 ,

AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 ,.

donde

es continua porque

LAZ3

y

P2

Heis3

3.

es grupo con la operación

La operación binaria

mult = LAZ3 ◦ P2 ,

son continuas. La operación unaria

(AZ3 )(BZ3 ) =

donde

AZ3 ∈ Heis3 ,

inv = LA−1 Z3 ◦ CT EIZ3 ,

CT EIZ3 : Heis3 −→ {IZ3 } dada por CT EIZ3 (AZ3 ) = IZ3 , es continua porque LA−1 Z3

y

donde

CT EIZ3

son continuas.

(iii)

Puesto que

LAZ3 , P2 , LA−1 Z3

mult : Heis3 × Heis3

y

CT EIZ3

son suaves. Entonces

−→

Heis3

(xZ3 , yZ3 ) 7−→

xyZ3

y

inv : Heis3

−→

Heis3

xZ3

7−→

x−1 Z3

son funciones suaves. Por lo tanto de de dimensión

(i) , (ii)

y

(iii)

se concluye que el grupo Heisenberg,

Heis3 ,

es un grupo de Lie

3.

4.14 De nición. Los centros de SU T3 (R) y Heis3 están de nidos por    1.

2.

1 0 b     C(SU T3 (R)) :=  0 1 0  : b ∈ R .     0 0 1       1 0 b    C(Heis3 ) :=  0 1 0  Z3 : b ∈ R .     0 0 1

Luego

 

C(SU T3 (R))

es

subgrupo normal abeliano de

subgrupo

normal

de

SU T3 (R)

y

C(Heis3 )

es

Heis3 .

Notación de cociente del grupo Heisenberg. Notemos que

C(Heis3 ) = C(SU T3 (R))/Z3 .

El grupo circular

S1 := {z ∈ C : |z| = 1}

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

es ismomorfo al centro de

Grupos Matriciales y Heisenberg

Heis3 ,

es decir

C(Heis3 ) ∼ = S1

78

con el isomor smo natural dada por

1

0

t

  0 0

1

 0  Z3 ←→ e2πit . 1

0

3×3

(4,2)

De ahora en adelante denotaremos un cociente

como

x

t

  0 0

1

 y  Z3 ∈ Heis3 1

0

[x, y, e2πit ].

Entonces un elemento de de

1

Heis3

es

Heis3

tendrá la forma

[x, y, z] para x, y ∈ R y z ∈ S1 . El elemento unidad

[0, 0, 1] = IZ3 .

La multiplicación, inversos y conmutadores en Heis3 están dados por [x1 , x2 , x3 ][y1 , y2 , y3 ]

=

[x1 + y1 , x2 + y2 , x3 y3 e2πx1 y2 ],

−1

=

[−x, −y, z −1 e2πixy ],

−1

=

[0, 0, e2πi(x1 y2 −x2 y1 ) ].

[x, y, z] −1

[x1 , x2 , x3 ] [y1 , y2 , y3 ] [x1 , x2 , x3 ] Para

x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R

0.4.5.

y

[y1 , y2 , y3 ]

x3 , y3 ∈ S1 .

Grupo de Heisenberg de tamaño 3, Heis3 , como contraejemplo

El siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tamaño considerado como un subgrupo matricial de decir que entre

Heis3

y

GLn (C)

GLn (K)

3, Heis3 , no puede ser

en un sentido más amplio y técnico podemos

no existe un isomor smo continuo de grupos con lo que se da por

nalizado este trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¾Cuándo un grupo de Lie es un subgrupo matricial de

GLn (K)?,

según lo expuesto por Andrew Baker en su libro

Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compacto puede ser representado por un subgrupo matricial de

GLn (K).

4.15 Teorema No existen homomor smo continuos de grupos

{[0, 0, 1]} = {I3 Z3 },

para cualquier

n ∈ N.

ϕ : Heis3 −→ GLn (C)

con kernel trivial,

Es decir, el grupo de Heisenberg de tamaño

no tiene representación mediante un subgrupo matricial de

kerϕ =

3, Heis3 ,

GLn (K).

Demostración por absurdo. Supongamos que

ϕ : Heis3 −→ GLn (C)

{[0, 0, 1]} = {I3 Z3 },

y sea

Matemática Universitaria

n

es un homomor smo continuo con kernel trivial,

kerϕ =

el mínimo para el cual esto sucede.

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

g ∈ Heis3 ,

Por cada

Grupos Matriciales y Heisenberg

la matriz

ϕ(g),

actúa sobre

Cn

Heis3 × Cn

C(Heis3 )

con

S1

Cn

ϕ(g)v.

por medio del isomor smo dado en la ecuación 4.2.

z0 ∈ C(Heis3 ) ∼ = S1 y λ un valor propio det(ϕ(z0 ) − λIn ) = 0, ϕ(z0 )v = λv y además

Sean ces

79

del siguiente modo

(g, v) 7→ Identi camos a

3×3

de la matriz

ϕ(z0 )

con vector propio

v,

enton-

ϕ(z0k )v = ϕ(z0 )k v = ϕ(z0 )k−1 λv = λk v. Nótese que el autovalor

det(ϕ(z0 )) 6= 0 Tomemos a Si

|λ| > 1

ya que

|λ| ≥ 1

λ 6= 0

λ = 0

pues si

entonces

det(ϕ(z0 )) = 0

lo cual contradice al

ϕ(z0 ) ∈ GLn (C).

(reemplazando, si es necesario,

z0

por

z0−1 )

se obtiene que

kϕ(z0k )k := máx por lo tanto

kϕ(z0k )k → ∞

cuando

|ϕ(z0 )k x| : x ∈ Cn − {0} |x|

k → ∞,

lo cual implica que

≥ |λ|k ;

{ϕ(z0k ) : k ∈ N}

no está acotada

por el criterio de comparación.

{z0k : k ∈ N} ⊆ C(Heis3 ) ∼ = S1 y S1 es compacto entonces por la continuidad de 1 ϕ la imagen ϕ(S ) es compacto. En consecuencia {ϕ(z0k ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradicción. Así, necesariamente |λ| = 1. Por otro lado

Sea

g

un elemento cualquiera de

Heis3 ,

entonces

ϕ(z0 )ϕ(g)v = ϕ(z0 g)v = ϕ(gz0 )v = ϕ(g)ϕ(z0 )v = λϕ(g)v, lo cual muestra que

ϕ(g)v ∈ Cn

es un vector propio de

ϕ(z0 )

para el valor propio

λ.

Sean

Vλk := {v ∈ Cn /∃k ≥ 1 tal

que

(ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0}

Vλ :=

y

[

Vλk .

k Se deduce que

Vλ1 ⊆ Vλ2 ⊆ · · · ⊆ Vλk ⊆ · · · EL conjunto

ϕ(g)

con

es un subespacio vectorial de

g ∈ Heis3 ,

es decir, si

Matemática Universitaria

v

está en

Vλ ,

Cn ,

el cual es cerrado bajo la acción de las matrices

entonces

1ra Edición

ϕ(g)v

está en

Vλ .

Esto es verdad ya que si

Monografía


Huamaní Castro, Newton

v

está en

existe un

Grupos Matriciales y Heisenberg

k>0

para el cual

(ϕ(z0 ) − λIn )k ϕ(g)v

(ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0,

3×3

80

así

=

(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 )ϕ(g) − λϕ(g))v

=

(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 g) − λϕ(g))v

=

(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(gz0 ) − λϕ(g))v

=

(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )v

= ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )k v = Por lo tanto Escojamos

0,

ϕ(g)v ∈ V λ.

k0 ≥ 1

el mayor número natural para la cual exista

(ϕ(z0 ) − λIn )k0 v0 = 0, Si

pero

v0 ∈ V λ

que satisfaga

(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −1 v0 6= 0.

k0 > 1, 0 = (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 ,

Sean

v := (ϕ(z0 )−λIn )(ϕ(z0 )−λIn )k0 −2 v0

son no nulos en

ϕ(z0 )u = λu + v, Dado que

v 6= 0

y

u := (ϕ(z0 )−λIn )k0 −2 v0

vectores que porsupuesto

tales que

ϕ(z0 )v = λv.

y para cualquier

k ∈ N,

ϕ(z0k )u =

ϕ(z0 )k u

=

ϕ(z0 )k−1 (λu + v)

=

λϕ(z0 )k−1 u + ϕ(z0 )k−1 v

=

λϕ(z0 )k−1 u + λk−1 v

=

λϕ(z0 )k−2 (λu + v) + λk−1 v

= λ2 ϕ(z0 )k−2 u + λk−1 v + λk−1 v = λ2 ϕ(z0 )k−3 (λu + v) + λk−1 v + λk−1 v = λ3 ϕ(z0 )k−3 u + λk−1 v + λk−1 v + λk−1 v . . .

= λk u + kλk−1 v, puesto que

|λ| = 1

se obtiene

kϕ(z0k )k = kϕ(z0 )k k ≥ |λ|k−1 |λu + kv| = |λu + kv| → ∞ k → ∞.

cuando

k0 = 1. propio

Esta a rmación esta en contradicción con el hecho que

Por consiguiente

λ,

ϕ(S1 )

es acotada, entonces

es el espacio vectorial de los vectores propios de

ϕ(z0 )

para el valor

es decir,

Vλ := {v : (ϕ(z0 ) − λIn )v = 0}.

Matemática Universitaria

1ra Edición

Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

Así pues, la siguiente acción del

Heis3

sobre

3×3

81

ϕ e : Heis3 × Vλ

→ Vλ

(g, v) 7→ ϕ(g)v es la representación de podemos tomar

ϕ

Heis3

sobre el espacio vectorial

Vλ ,

por lo tanto la aplicación (la cual

sin perder la generalidad)

ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ (C) es un homomor smo continuo con kernel trivial tal que nima de

z

en

n

se debe tener que

dimVλ = n.

ϕ(z0 ) = λI(dimVλ )

y por la condición mí-

ϕ

tenemos que para todo

Es más, por la continuidad de

C(Heis3 ), ϕ(z) = (escalar)In .

Dado que todo

z ∈ C(Heis3 )

es un conmutador;

z = ghg −1 h−1

para

g, h ∈ Heis3 ,

y

det

como

ϕ

son homomor smos, tenemos que

detϕ(z) = detϕ(ghg −1 h−1 ) = 1 (∀z ∈ C(Heis3 )). Entonces, existe una función continua

µ : C(Heis3 ) −→ C× = C − {0}

tal que para todo

z

en

C(Heis3 ), ϕ(z) = µ(z)In

y

µ(z)n = detϕ(z) = 1.

tiene

C(Heis3 ) ∼ = S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3 Z3 ) = In donde I3 Z3 ∈ C(Heis3 ), se 1 que µ(z) = 1 para toda z en S ∼ = C(Heis3 ). Así, ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3 ), por lo

tanto

C(Heis3 )

Como

está contenido en

Kerϕ,

es decir

la suposición de que el kernel de

ϕ

Por

homomor smos

tanto,

no

existe

ϕ : Heis3 −→ GLn (C), de tamaño

3, Heis3 ,

C(Heis3 ) ⊆ Kerϕ.

es trivial, es decir

con kernel trivial,

Lo cual es contradictorio con

kerϕ = {IZ3 }.

continuo

kerϕ = {[0, 0, 1]}.

entre

Heis3

1ra Edición

GLn (C),

Es decir, el grupo de Heisenberg

no tiene representación mediante un subgrupo matricial de

Matemática Universitaria

y

GLn (K).

2

Monografía


Retroalimentación

Primero.

El espacio vectorial sobre El

Mn (K)

es un espacio métrico completo y tiene estructura de álgebra

K.

conjunto

de

matrices

determinante es uno,

inversibles,

GLn (K),

y

el

conjunto

de

matrices

cuya

SLn (K), son subgrupos matriciales de GLn (K); Los GLn (K) y SLn (K),

grupos de Lie.

Segundo.

La

función

exponencial

subgrupo matricial de nencial, de

Tercero.

I

en

aplica

GLn (K), G,

difeomor camente

el

álgebra

de

Lie,

g,

de

un

en el grupo mismo localmente o sea que la función expo-

exp : g −→ G, es un difeomor smo de una bola abierta de 0 en g en una bola abierta G.

Dada dos subgrupos matriciales de

GLn (K), G

dϕ : g → h

ferenciable entonces la derivada

y

H,

y

ϕ : G → H

un homomor smo di-

es un homomor smo de álgebras de Lie, es

decir

dϕ[α0 (0), β 0 (0)]g = [dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))]h , para

α, β

curvas diferenciables en

G

con

α(0) = β(0) = I :

La derivada de un homomor smo

respeta el producto de Lie o corchete de Lie.

Cuarto.

Todo subgrupo matricial de subgrupo matricial de

GLn (K)

GLn (K).

es grupo de Lie; sin embargo, no todo grupo de Lie es

Un contraejemplo es el grupo de Heisenberg de tamaño

que es grupo de Lie pero no tiene representación mediante un subgrupo cerrado de

Quinto.

3

GLn (K).

Finalmente nos quedamos con la pregunta, sin demostrarla, la cuál se desprende del proceso del desarrollo del libro: ¾Cuándo un grupo de Lie es un subgrupo matricial de

GLn (K)?, según

lo expuesto por Andrew BAKER en su libro Matrix Groups [5] entre las páginas

[251 − 267];

todo grupo de Lie compacto puede ser representado por un subgrupo matricial de

82

GLn (K)


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

83

La función exponencial aplica el álgebra de Lie de un subgrupo matricial de GLn (K) en el grupo mismo.

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Monografía


Huamaní Castro, Newton

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Grupos Matriciales y Heisenberg

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3×3

84

Monografía


Apéndice

85


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

86

.1. Aclaración puntual sobre Mn(K) El anillo

Mn (K)

actúa sobre

módulo a izquierda sobre

Kn

Mn (K).

1

por multiplicación a izquierda , dando a

Kn

la estructura de

En otras palabras la aplicación

ψ : Mn (K) −→ A es un homomor smo de anillos. Ya que,

7−→

End(Kn ) LA .

ψ(AB) = LAB = LA ◦ LB = ψ(A) ◦ ψ(B).

Proposición. X ⊆ Mn (K) es compacto si y sólo si satisface las siguientes condiciones: a) existe

b ∈ R+

tal que para todo

b) Toda sucesión

{An }n≥0

en

X

A ∈ X , kAk ≤ b;

que es convergente en

Mn (K)

tiene su límite en

X.

Demostración. Para la demostración hay que tener en cuenta los cuatro puntos siguientes:

Mn (K)

es un espacio vectorial normado de dimensión nita sobre

La condición

1

implica que

X

es acotado.

La condición

2

implica que

X

es cerrado.

Usando: Si

V

K.

es espacio vectorial normado de dimensión nita sobre

conjunto cerrado y acotado en

2

V,

entonces

U

K.

Si

U ⊆V

es un sub-

es compacto. Alcanzamos el resultado deseado.

1 Una

acción (por la izquierda) de un grupo G en un conjunto X es una función ψ : G × X −→ X que veri ca las siguientes propiedades: ψ(e, x) = x, para todo x ∈ X ; e ∈ G es el elemento idéntico, y ψ(g, ψ(h, x)) = ψ(gh, x), para g, h en vez de ψ(g, h) Cuando no hay ambigüedad escribiremos gh en vez de ψ(g, h).

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Monografía


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Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

87

.2. Resumen grá co de Estructura Algebraíca

Ilustración 5: Resumen grá co de estructura algebraíca

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Monografía


Huamaní Castro, Newton

Grupos Matriciales y Heisenberg

3×3

88

.3. Grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3

Ilustración 6: Resumen grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3

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89


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