Grupos Matriciales y Heisenberg 3 × 3
Grupos Matriciales y Heisenberg 3 × 3 Autor-Editor: Huamaní Castro, Newton Lic. en Ciencias Físico-Matemáticas con una Maestría en Educación Asoc. APROVISA Mz.D Lote 10, San Juan Bautista Ayacucho-Perú Primera edición impresa, 2011 Primera edición digital, Setiembre 2021 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2021-10581
Distribución y publicación electrónica disponible bajo pedido https://www.micihuamani.pe/en/libreria/7-grupos-matriciales.html
& newton.h.c@hotmail.com Perú-2021
Dedicatoria Este trabajo dedico a dos conjuntos de personas
A
= {Máximo,
Aydeé, Máx, Ronald, Sera na, Kant}
B
= {amistades},
talque
A
y
B,
y
A ∩ B = ∅.
Al conjunto A, que representan mis padres y hermanos, por ser los gestores de mi formación profesional, por su cariño y comprensión inagotable y al conjunto
B
por ser los bastones en mi tristeza y alegría.
Índice general Índice general 0.1.
4
Propiedades Algebraicas y Topológicas de
GLn (K), SLn (K)
0.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2.
Propiedades Algebraicas, Topológicas de
Subgrupo Matricial de
GLn (K)
Subgrupo Matricial de
Mn (K)
GLn (K)
y
SLn (K)
8 8
. . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
y Matriz Exponencial
GLn (K)
. . . . . . . . . . . . . .
GLn (K)
0.2.2.
Homomor smo Continuo de Subgrupos Matriciales de
. . . . . . .
31
0.2.3.
Matriz Exponencial y Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
0.2.4.
Resultados Útiles de la Matriz Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Álgebra de Lie, Homomor smo de Álgebras de Lie y Variedad . . . . . . . . . . . .
46
0.3.1.
Álgebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
0.3.2.
Homomor smo de Álgebras de Lie y Espacio Tangente sobre Subgrupo Matricial de
GLn (K)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.3.
Álgebra de Lie de
0.3.4.
Variedad Suave
0.3.5. 0.4.
Mn (K)
Propiedades Algebraicas y Topológicas de
0.2.1.
0.3.
y
0.1.1.
GLn (K)
y
SLn (K)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Espacio Tangente y Derivada en Variedad Suave
3
Uso de Grupo de Heisenberg de tamaño 0.4.1.
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
GLn (K)
y
SLn (K)
0.4.2.
El
0.4.3.
Todo Subgrupo de Matricial de
como contraejemplo
57
como Ejemplos de Grupos de Lie . . . . . . . . . . .
GLn (K)
3
0.4.4.
Grupo Heisenberg de Tamaño
0.4.5.
Grupo de Heisenberg de tamaño
es Grupo de Lie . . . . . . . . . .
65 68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3, Heis3 ,
78
como contraejemplo
. . . . . .
Apéndice
85 Mn (K)
.1.
Aclaración puntual sobre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
.2.
Resumen grá co de Estructura Algebraíca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
.3.
Grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3
88
Bibliografía
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
5
Introducción La mayoria de los grupos interesantes resultan ser grupos matriciales inversibles, ya sea por de nición o porque pueden servir para identi car, como ocurre con el grupo aditivo
R
que puede
ser identi cado con el grupo matricial inversible de la forma
1
0
x
0 0
1
0 , 1
0
con
x ∈ R.
Los grupos de Lie son grupos topológicos que localmente tienen la topología de espacio Euclidiano
(Rn )
con cambios de coordenadas suaves un ejemplo es el grupo Heisenberg que tiene apli-
caciones en la matemática, física teórica, teoría de códigos, señales digitales y ingeniería eléctrica mientras los grupos matriciales inversibles, llamados también subgrupos matriciales de son subgrupos cerrados de
GLn (K),
donde
GLn (K)
GLn (K),
es el conjunto de matrices inversibles y es
grupo bajo la multiplicación de matrices, un ejemplo es el conjunto de matrices cuyo determinante es la unidad. Existe una relación entre estos dos grupos. Por esta razón presentamos esta tesis de
1) presentar los grupos matriciales inversibles, 2) determinar el álgebra de Lie de los grupos matriciales inversibles GLn (K) y SLn (K), 3) establecer la biyección local entre el grupo matricial inversible y su álgebra de Lie mediante la matriz exponencial, y 4) establecer la pregrado cuya nalidad es
relación entre grupo matricial inversible y grupo de Lie. Para cumplir con los objetivos se planteó en forma de pregunta dos
problemas: ¾Los grupos matriciales inversibles son grupos de Lie? ¾Todo grupo de Lie es un grupo matricial inversible?
No Todo Grupo de Lie es Subgrupo Matricial de GLn (K), y para cumplir con los objetivos propuestos se han realizado cuatro capítulos. Para realizar la comprobación de la hipótesis,
capitulo primero
En el
de nimos los grupos más representativos,
GLn (K)
y
SLn (K),
que describiremos sus propiedades a lo largo del trabajo. En este capítulo se dota a
la
Mn (K)
una norma con la que se convierte en espacio métrico completo además se describe algunas propiedades algebraicas y topológicas de En el
GLn (K), SLn (K)
y de
Mn (K).
segundo, se introduce el concepto de subgrupo matricial de GLn (K) y se cumple con
el objetivo 1. Luego, introducimos el homomor smo continuo entre subgrupos matriciales de
GLn (K)
que mantienen las propiedades tanto algebraicas y topológicas. Finalmente, se pre-
senta las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logarítmicas con la exposición de algunos de sus resultados, que serán útiles en el futuro como en la obtención de álgebras de Lie
y
en
la
demostración de grupos de Lie.
Tercero, se cumple con el objetivo 2. Se tratan las álgebras de Lie; espacios vectoriales con una función bilineal la cual es antisimétrica y satisface la identidad de Jacobi. Luego, se de ne el espacio tangente sobre grupo matricial inversible como aplicación obtenemos álgebras de Lie de
GLn (K)
y
SLn (K).
Finalmente se realiza un preliminar de variedad suave que será
útil en la comprobación de la hipótesis.
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1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
6
Cuarto, se cumple con los objetivos 3 y 4. Se de ne el grupo de Lie como un grupo topológico que tiene estructura de variedad suave mencionando como ejemplos demuestra la hipótesis donde el grupo de Heisenberg de tamaño
GLn (K)
3, Heis3 ,
y
SLn (K).
Se
nos servirá de
contraejemplo. Para responder a los problemas tomamos el libro de Andrew Baker Matrix Groups: An intro-
duction to Lie group theory (2002) y de la conclusión se desprende el siguiente problema ¾Cuándo un grupo de Lie se puede representar mediante un subgrupo matricial de
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1ra Edición
GLn (K)?
Monografía
Notaciones SIMBOLO
DENOTA (AL) (LOS)
ES (SON)
K
Conjunto de números reales o complejos
Mn (K)
Conjunto de matrices de orden
GLn (K)
Conjunto de matrices inversibles
Abierto, grupo de Lie
SLn (K)
Conjunto de matrices de determinante uno
Cerrado, grupo de Lie
kk
Norma sobre
Cuerpo
n×n
Espacio métrico completo
kAk = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Kn }
Mn (K) 2
coord
Función
coord : Mn (K) → Kn
det
Función
det : Mn (K) → K
Continua
tr
Función
tr : Mn (K) → K
Continua
U Tn (K)
Matrices triangulares superiores con
aii 6= 0
Subgrupo matricial
SU Tn (K)
Matrices triangulares superiores con
aii = 1
Subgrupo matricial
Exp(A)
Exp(A) :=
exp
Función
[, ] G
Corchete de Lie
TU G
Espacio tangente de
TI G
Espacio tangente en I (elemento identidad)
g
Álgebra de Lie de
G
gln (R)
Álgebra de Lie de
GLn (R)
gln (R) = TI GLn (R) = Mn (R)
sln (R)
Álgebra de Lie de
SLn (R)
sln (R) = TI SLn (R) = ker tr
M
Variedad suave
Heis3
Grupo de Heisenberg
Homeomor smo
1 n n≥0 n! A
P
Serie en
exp : Mn (K) → GLn (K)
Mn (K)
Difeomor smo localmente
Antisimétrica, satisface la identidad de Jacobi
Grupo matricial de
GLn (K) G
en
Subgrupo cerrado de
U ∈G
GLn (K)
Subespacio vectorial de
Mn (K)
dimG = dimR TI G g = TI G
Espacio topológico Hausdor separable Grupo de Lie, no es un grupo matricial.
7
0.1. Propiedades Algebraicas y Topológicas de GLn (K), SLn (K) y Mn (K) Se empieza el presente trabajo de pregrado en este capítulo que tiene dos secciones. En la primera sección se describe las propiedades algebraicas y topológicas del conjunto de matrices de orden
n×n
y en la segunda se presenta los grupos representativos, el conjunto de matrices inversibles
y el conjunto de matrices cuya determinante es uno, las mismas que serán descritas a lo largo del trabajo. La precisión de las de niciones y proposiciones se respalda en el libro de Baker[5] con la consulta de detalles a los libros de E.Lages
0.1.1. Por
K,
Hirsch [10] y Lluis [1].
Propiedades Algebraicas y Topológicas de Mn (K) K
se entenderá el cuerpo de números reales o complejos.
Se denota con en
[3] [9],
Mn (K) al conjunto de matrices de orden n × n (n las por n columnas) con entradas
es decir,
A ∈ Mn (K),
Cada elemento de
Mn (K)
que son iguales si y sólo si
1 ≤ i, j ≤ n
si y sólo si, A
= [aij ] =
a11
···
. . .
..
.
. . .
an1
···
ann
se llama matriz. Dos matrices
aij = bij
para todo
a1n
δij = 1 para i = j
y
i, j ∈ {1, ..., n}.
δij = 0 para i 6= j
son unos y las demás son ceros) se denomina
con aij ∈ K.
A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mn (K) A la matriz con
(es decir las entradas todas son ceros) se denomina
mientras a la matriz con
0ij = 0
para todo
matriz nula y se denota por 0n
(es decir las entradas de la diagonal
matriz identidad y se denota por In . 8
se dice
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
Mn (K)
En seguida se de ne en
que a cada par de matrices llamado la suma de
A
y
B
se hace corresponder una nueva matriz
(A, B) 7−→ aij
y
bij
A
En
un
trabajo,
precisamente,
conjunto no vacío y
y
· : G × G −→ G
B,
respectivamente.
grupo
ii) poseer elemento identidad: existencia de
para todo
AB = BA,
G
donde
(A, B) 7−→ ·(A, B)
es
un
donde por
la cual cumple con
A, B, C ∈ G. I ∈ G,
elemento de identidad, tal que
llamado
A−1 ∈ G
A ∈ G,
para cada
llamado inverso, tal que
para todo
conmutativo o abeliano si además satisface
A, B ∈ G,
Si arriba se considera un conjunto
(S, ·)
(G, ·)
pareja
)A = I .
Se dice que el grupo es iv)
una
A ∈ G.
iii) poseer elemento inverso: existencia de
(A
es
es una operación binaria
i) ser asociativa: (AB)C=A(BC); para todo
−1
A + B = [aij + bij ],
·(A, B) = A · B = AB
conveniencia de notación se escribe
IA = A
Mn (K)
son números reales o complejos (denominadas entradas) de la intersección de i-ésima
la y j-ésima columna de las matrices
este
A + B ∈ Mn (K)
dada por
Mn (K) × Mn (K) −→
donde
9
suma o adición de matrices de orden n × n,
la operación binaria
A, B ∈ Mn (K)
3×3
es un
semigrupo.
S
es decir, su operación binaria es conmutativa. con una operación binaria
Mientras se considera un conjunto
cumpla (i) y (ii) se dice que
(S, ·)
es un
S
·
que cumpla sólo
(i)
se dice que
con una operación binaria
·
que
monoide.
1.1 Proposición. (Mn (K), +) es un grupo abeliano. Demostración. La operación binaria
+,
llamada suma, satisface cada axioma de grupo abeliano
como veremos a continuación: La adición de matrices es asociativa, esto es, si
A, B
y
C
Mn (K)
están en
entonces
(A + B) + C =
([aij ] + [bij ]) + [cij ] = [(aij + bij ) + cij ] = [aij + (bij + cij )] = A + (B + C). Para cada
A ∈ Mn (K)
y para la matriz nula
0n ,
se tiene
A + 0n = [aij ] + [0] = [aij + 0] = [aij ] = A. Es decir, existe una matriz Para cada
A ∈ Mn (K)
0n ∈ Mn (K),
se tiene la matriz
llamada matriz nula, tal que
−A := [−aij ],
A + 0n = A.
tal que
A + (−A) = [aij ] + [−aij ] = [aij + (−aij )] = [aij − aij ] = [0] = 0n . Es
decir,
para
A
cada
inverso aditivo, tal que
∈
Mn (K)
existe
una
matriz
−A
∈
Mn (K),
A + (−A) = 0n .
Además, la adición de matrices es conmutativa, esto es, si
A
y
B
están en
Mn (K)
A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] = [bij + aij ] = [bij ] + [aij ] = B + A. A
continuación
se
llamado
de ne
Matemática Universitaria
en
Mn (K)
la
segunda
1ra Edición
operación
binaria
entonces
2
denominada
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
multiplicación por un escalar,
λA
A, B ∈ Mn (K)
ii)
La
λ
A ∈ Mn (K) por
A
se
dada por
λA = [λaij ],
es número real o complejo denominada entrada de la nueva matriz
1.2 Proposición. i)
y a cada matriz
Mn (K)
(λ, A) 7−→ λaij
10
llamado el producto por un escalar de
K × Mn (K) −→
donde
λ ∈ K
que a cada escalar
hace corresponder una nueva matriz
3×3
multiplicación por un escalar
λA.
tiene las siguientes propiedades. Sea
λ, λ1 , λ2 ∈ K.
y
λ(A + B) = λA + λB (λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A
iii)
(λ1 λ2 )A = λ1 (λ2 A)
iv)
1A = A
1=1
donde
Demostración. Sea
ó
(1, 0)
A, B ∈ Mn (K)
y
λ, λ1 , λ2 ∈ K.
Entonces se cumple
i) λ(A + B) = [λ(aij + bij )] = [λaij ] + [λbij ] = λA + λB ; ii) (λ1 + λ2 )A = [(λ1 + λ2 )aij ] = λ1 A + λ2 A; iii) (λ1 λ2 )A = [(λ1 λ2 )aij ] = [λ1 (λ2 aij )] = λ1 (λ2 A);
nalmente
2
iv) 1A = [1aij ] = [aij ] = A.
1.3 Proposición. Mn (K) tiene estructura de espacio vectorial sobre K. Demostración. Las operaciones de nidas en cen, para cualesquier
Mn (K)
suma y multiplicación por un escalar satisfa-
α, β ∈ K y A, B, C ∈ Mn (K), las
condiciones siguientes llamados los axiomas
de espacio vectorial Asociatividad:
(A + B) + C = A + (B + C)
y
(αβ)A = α(βA).
Existencia de vector nulo: Existe una matriz nula,
0n ,
en
Mn (K)
tal que
A + 0n = A
para todo
A ∈ Mn (K). Existencia de inverso aditivo: Para cada matriz mado inverso aditivo, tal que Conmutatividad: Distributividad:
A ∈ Mn (K)
existe una matriz
lla-
A + (−A) = 0n .
A + B = B + A.
(α + β)A = αA + βA
Multiplicación por
y
α(A + B) = αA + αB.
1: 1.A = A.
Las cuales se veri carón en la proposición 1.1 y proposición 1.2. Por tanto vectorial sobre
−A ∈ Mn (K),
Mn (K)
es un espacio
2
K.
Todo espacio vectorial tiene por lo menos una base y el número de elementos (tamaño) de esta base es la dimensión de este espacio vectorial. Los siguientes elementos de
Mn (K)
1
···
0
0
···
1
0
···
0
e11 =
. . .
..
.
. . .
, · · · , e1n =
. . .
..
.
. . .
, · · · , enn =
. . .
..
.
. . .
0
···
0
0
···
0
0
···
1
forman una base para
Mn (K).
Matemática Universitaria
Por lo tanto
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
11
dimK Mn (K) = n2 . Se
de ne
Mn (K)
en
denominada
una
multiplicación
la
matrices
A, B ∈ Mn (K)
ducto de
A
por
tercera
B
operación
de
matrices
binaria, de
importante
n × n,
orden
se hace corresponder una nueva matriz
para
que
este
a
AB ∈ Mn (K)
trabajo,
cada
par
de
llamado el pro-
dada por
Mn (K) × Mn (K) −→ (A, B) 7−→
Mn (K) AB =
n P
aik bkj ,
k=1 donde
n P
a11
···
a1n
. . .
..
. . .
an1
···
AB =
.
ann
b11
···
b1n
. . .
..
. . .
bn1
···
.
bnn
n P
···
k=1 a1k bk1 . = . n . P ank bk1
a1k bkn . . . n P ank bkn
k=1 ..
.
···
k=1
Notación. La multiplicación de dos matrices ó
A, B ∈ Mn (K)
k=1
en este trabajo se escribirá como
AB
mult(A, B).
1.4 Proposición. El par (Mn (K), mult) tiene estructura de monoide. mult
Demostración. La operación
satisface los axiomas de monoide.
La operación binaria, mult, está bien de nida. En efecto, si
B=B
0
o sea
aij =
a0ij y
bij = n X
b0ij para
1 ≤ i, j ≤ n,
aik bkj
=
k=1 " n X
#
aik bkj
=
k=1
n X
para
y
1 ≤ i, j ≤ n
# a0ik b0kj
=
A0 B 0 .
La operación binaria, mult, es asociativa. En efecto, sea
(AB)C =
A = A0
k=1
AB
"
entonces
luego
a0ik b0kj
k=1 " n X
(A, B) = (A0 , B 0 )
n X
#! aik bkj
" [cij ]
=
k=1
=
n X
λ=1 " n X
A, B, C ∈ Mn (K) (
aik
k=1
[aij ]
! aik bkλ
k=1 n X
)# cλj
!# bkλ cλj
λ=1
" =
n X
luego
n X
#! biλ cλj
= A(BC);
λ=1
La matriz
1
···
0
In =
. . .
..
. . .
.
las entradas de la diagonal son unos mientras los demás son
··· 1 ceros es la unidad de Mn (K) y se llama matriz identidad. En efecto, sea A ∈ Mn (K) entonces n P AIn = [aij ][δij ] = aik δkj = [aij δjj ] = [aij ] = A ya que δij = 1 para i = j y δij = 0 para 0
2
k=1
i 6= j. Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Precisamente,
Grupos Matriciales y Heisenberg
anillo
un
es
una
(Λ, +, ·)
terna
donde
3×3
Λ
12
es
un
conjunto,
+
y
·
son
operaciones binarias tales que i) El par ii) El par iii)
(Λ, +) (Λ, ·)
es un grupo conmutativo
es un semigrupo
A(B + C) = AB + AC
iv) Si además
(Λ, ·)
y
(B + C)A = BA + CA,
para cualesquier
es un monoide, se dice que la terna
(Λ, +, ·)
A, B, C ∈ Λ
es un anillo con identidad.
1.5 Proposición. (Mn (K), +, mult) tiene estructura de anillo . Demostración. Veamos que la terna satisface las condiciones. El conjunto
(Mn (K), +)
es grupo abeliano o conmutativo, debido a la proposición 1.1.
La aplicación multiplicación,
mult,
está bien de nida, por proposición 1.4.
La
mult
es asociativa, por proposición 1.4.
La
mult
es distributiva con respecto a
+.
En efecto sea
A(B + C) = [aij ]([bij ] + [cij ])
A, B, C ∈ Mn (K)
=
[aij ][bij + cij ] " n # X = aik (bkj + ckj ) "
k=1 n X
#
{(aik bkj ) + (aik ckj )}
=
k=1 " n X
=
k=1 " n X
=
aik bkj +
n X
aik bkj
6= bik akj
i-ésima la de la matriz
a
A
pesar
y
bkj
de
que
# aik ckj
k=1
#
"
aik bkj +
k=1
Nótese
entonces
n X
# aik ckj
k=1
=
AB + AC.
aik bkj
∈ K
ya
que
aik
es
la
entrada
es la entrada de la j-ésima columna de la matriz
B,
de
la
es decir
f ila·columna existe pero columna·f ila no se de nió. Análogamente se tiene (B +C)A = BA+CA. Es decir,
(Mn (K), +)
es grupo conmutativo,
(Mn (K), mult)
butiva con respecto a la suma por consiguiente la terna
Además
(Mn (K), mult)
tanto la terna
1.6
es monoide ya que tiene elemento identidad
(Mn (K), +, mult)
Proposición.
La
tiene estructura de
terna
K.
Demostración. Puesto que
Mn (K)
K
mult,
es cuerpo y
In ,
con
la
2
es un anillo .
ver proposición 1.4. Por lo
anillo con identidad
(Mn (K), +, mult)
escalar tiene estructura de álgebra sobre
una operación binaria,
es semigrupo y además es distri-
(Mn (K), +, mult)
In .
multiplicación
es un espacio vectorial sobre
K,
por
un
además tenemos
que satisface las siguientes propiedades:
(A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB
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1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
13
(λA)B = λ(AB) A(λB) = λ(AB) Para todo escalar
Mn (K)
λ ∈ K
A, B y C ∈ Mn (K).
y todos los vectores
se convierte en álgebra sobre
Por tanto, con esta operación
2
K.
A continuación se de ne una norma,
k.k,
sobre
tructura de espacio métrico completo. Sea
Mn (K)
x∈K
n
de tal forma que
una matriz de orden
(Mn (K), k k)
n×1
sobre
K,
tome essu norma
euclidiana está dada por:
|x| =
p
|x1 |2 + · · · + |xn |2 ,
donde
x1
. . .
x=
con
xi ∈ K.
xn Se llama
producto a izquierda de una matriz A ∈ Mn (K) por una matriz x ∈ Kn n
y ∈K
una columna ) a la matriz
(de
n
(de
n
las y
las y una columna) obtenida como indica el siguiente
esquema
Ax = Para
A ∈ Mn (K),
x11
.
. . .
. . .
···
ann
···
. . .
..
an1
P
a1i xi1 . . .
=
P
xn1
=
ani xi1
y11 . . .
= y.
yn1
consideremos los conjuntos
SA := Sea
a1n
a11
x ∈ Kn , x 6= 0,
|Ax| n : 0 6= x ∈ K , |x|
entonces
|Ax| |x|
∈ SA ;
1 SA := {|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} ⊆ SA .
ahora tomemos
x0 = (1/|x|)x,
está claro que
|x0 | = 1.
Por
lo tanto;
|Ax0 | = |A(1/|x|)x| = Así, obtenemos que
1 SA ⊆ SA ;
entonces es compacto en
Se de ne para cada
La función
fA
A
n
K
en
1 . SA = SA
entonces
Consideremos el siguiente conjunto
|Ax| 1 ∈ SA . |x|
E := {x ∈ Kn : |x| = 1}.
.
Mn (K)
una función
fA
dada por
fA : E
−→
R
x
7−→
|Ax|.
es continua, como veremos a continuación.
i) Sean
P
z = t 1 e 1 + · · · + t n e n ∈ Kn
i,j |aij |
E es un conjunto cerrado y acotado;
(tomamos a
Matemática Universitaria
Kn
con
ti ∈ K, A =
a11
···
a1n
. . .
..
. . .
.
∈ Mn (K)
an1 · · · ann K con la base
como un espacio vectorial sobre
1ra Edición
y
M :=
canónica usual)
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
14
Entonces
|Az|
= |A(e1 t1 + · · · + en tn )| ≤
|t1 ||Ae1 | + · · · + |tn ||Aen |
a
a 1n 11
.
.
= |t1 | .. + · · · + |tn | ..
ann
an1
p p = |t1 | |a11 |2 + · · · + |an1 |2 + |tn | |a1n |2 + · · · + |ann |2 p p |a11 |2 + · · · + |an1 |2 + · · · + |a1n |2 + · · · + |ann |2 ≤ máx |ti | i
≤ M máx |ti | ≤ M |z|. i
ii) Para
x∈E
sea
> 0, δ = /M
tal que si
|x − y| < δ
entonces
||Ax| − |Ay|| ≤ |A(x − y)| ≤ M |x − y| < M δ = . Por lo tanto
fA
es continua en
Al combinar los resultados
E
x ∈ E,
compacto y
como
fA
x
es cualquiera, entonces
continua en
E
fA
obtenemos que
es continua en
1 ImfA = SA
E.
es com-
1 pacto, entonces existen en SA elementos máximo y minímo. Para este último recuerde, si y
X ⊆ R es compacto entonces existen x+ , x− ∈ X
tal que
máx X = x+
mı́n X = x− .
1.7 De nición. Un espacio normado sobre K, (V, k k), es un espacio vectorial real o complejo de dimensión nita, V, junto a una función llamada norma k k : V −→ R+ ∪ {0} i) ii) iii)
ktvk = |t|kvk
que satisface las condiciones siguientes:
para
t ∈ K,
kv1 + v2 k ≤ kv1 k + kv2 k kvk = 0
si y sólo si
i) ii)
para
(V, k k)
ρ(v1 , v2 ) := kv1 − v2 k,
ρ(v1 , v2 ) ≥ 0
v1 , v2 ∈ V ;
v = 0.
Dado un espacio normado dada por
v ∈V;
para todo
ρ(v1 , v2 ) = ρ(v2 , v1 )
la norma
ρ(v1 , v3 ) ≤ ρ(v1 , v2 ) + ρ(v2 , v3 )
iv)
ρ(v1 , v2 ) = 0
(V, ρ),
ρ : V × V → R+ ∪ {0}
en
V
v1 , v 2 ∈ V ;
iii)
así,
induce una metrica
que satisface las siguientes propiedades:
para todo
si y sólo si
kk
v1 , v 2 ∈ V ; para todo
v1 , v2 ∈ V ;
v 1 = v1 .
es un espacio métrico .
Ahora estamos en las condiciones de de nir el siguiente operador sobre
1 kAk := máx SA = máx {|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} este operador es una norma sobre
Mn (K)
Mn (K) (1,1)
ya que satisface la condiciones exigidas en la de nición
1.7 como veremos a continuación
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
x ∈ Kn , |x| = 1
Sea
Grupos Matriciales y Heisenberg
y
t ∈ K;
3×3
15
|(tA)x| = |t(Ax)| = |t||Ax|
luego tenemos
por lo tanto
máx{|(tA)x| : |x| = 1, x ∈ Kn } = |t| máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Kn }, ktAk = |t|kAk.
es decir,
x ∈ Kn , |x| = 1;
Sea
entonces,
|(A + B)x| = |Ax + Bx| ≤ |Ax| + |Bx| ≤ kAk + kBk. Por lo tanto Si
kA + Bk ≤ kAk + kBk.
kAk = máx{|Ax| : x ∈ Kn , |x| = 1} = 0
En particular para consiguiente Si
A = 0n
ei , i = 1, ..., n
entonces para todo
x ∈ Kn
con
|x| = 1, |Ax| = 0.
luego tomando sucesivamente se obtiene que
A = 0n x ∈ Kn
entonces para
Aparentemente para
con
A ∈ Mn (R) ⊆ Mn (C) n
kAk = máx {|Ax| : x ∈ K , |x| = 1},
ver
|x| = 0
se tiene
|Ax| = 0.
Por consiguiente
aij = 0.
Por
kAk = 0n . 2
la norma
(1,1),
kAkR = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Rn }
tendría dos imágenes dadas por
y
kAkC = máx{|Ax| : |x| = 1, x ∈ Cn }.
Esto no es cierto. Sea
A ∈ Mn (K),
entonces
kAkR = kAkC .
En efecto: Esta claro que
x, y ∈ Rn .
kAkR ≤ kAkC .
Se tiene
Para todo vector
|x|2 + |y|2 = 1
z ∈ Cn
con
|z| = 1,
escribiendo
z = x + yi
con
y
|Az|2 ≤ |Ax|2 + |iAy|2 ≤ |x|2 kAk2R + |y|2 kAk2R = |x|2 + |x|2 kAk2R = kAk2R , o sea
|Az| ≤ kAkR .
Luego,
kAkC ≤ kAkR .
Esta norma de nida en el espacio vectorial
Mn (K)
induce una metrica en
Mn (K)
que hace de
éste un espacio métrico, ver de nición 1.7, de nida como
ρ(A, B) = kA − Bk que satisface las propiedades de métrica. Asociado a esta métrica se tiene la topología natural en
Mn (K)
que pasamos ha describir a conti-
nuación. La
bola abierta de centro A ∈ Mn (K) y de radio r > 0 se denota y se de ne como NMn (K) (A; r) := {X ∈ Mn (K) : kA − Xk < r}.
Un subconjunto
r > 0,
tal que
U ⊆ Mn (K)
N (A, r) ⊆ U.
se dice abierto en
Mn (K)
si y sólo si para cualquier
existe
En consecuencia la colección
T = {U ⊆ Mn (K) : ∀A ∈ U, ∃ r > 0 tal
Matemática Universitaria
A ∈ U,
1ra Edición
que
N (A, r) ⊆ U }
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
16
Mn (K).
es una topología sobre
La restricción de la métrica
ρ en Mn (K) al subconjunto Y ⊆ Mn (K) hace de Y
Una bola abierta, en Y, de centro
A∈Y
y de radio
r>0
un espacio métrico.
es
NY (A; r) = {X ∈ Y : kX − Ak < r} = NMn (K) (A; r) ∩ Y. Un subconjunto que
V ⊆Y
abierto en Y
se dice
si y sólo si para cualquier
A ∈ V,
existe
r > 0,
tal
NY (A; r) ⊆ V.
Una sucesión cuando
{An }n≥0
de elementos en
Mn (K) converge a un limite A ∈ Mn (K) si kAn − Ak → 0n
n → ∞.
1.8 De nición.
Sea
f : Y −→ X
donde
Y ⊆ Mn (K), (X, ρ)
un espacio métrico y
T
es la
topología asociada a la métrica.
f
i) La aplicación
existe
δ > 0,
es
continua
en el punto
ii) La aplicación
También,
f
k→∞
f
es continua en
Y,
Y,
implica que
U ∈T
W ⊆ X
A ∈ Y,
∈T,
se tiene que
A∈Y.
f −1 (U )
si y sólo si, para toda sucesión matricial
es abierto en
{Ak }
k→∞ es cerrado si y sólo si
X−W ⊆ X
si y sólo si, para todo subconjunto cerrado
espacios
equivalentes
X
topológicos,
Y,
y
son
Mn (K)
Ak ∈ Y
y
f
es
es cerrado en
Y.
es abierto. En consecuencia
W ⊆ X, f
−1
(W ) ⊆ Y
homeomorfos
si existe entre ellos un homeomor smo
ción se tiene que
con
Y.
lı́m f (Ak ) = f (A).
1.9 De nición. Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X −→ Y . Diremos que f mor smo si es una biyección y tanto f como f −1 son funciones continuas. Dos
f (A) ∈ U ,
con
f (X) ∈ U.
si y sólo si, es continua en cada punto
continua si y sólo si para cada U
se tiene que
Un subconjunto continua en
f
es continua en
lı́m Ak = A
si y sólo si, dado
tal que
X ∈ NY (A; δ)
Equivalentemente
A ∈ Y,
es homeomorfo a
Kn
2
f : X −→ Y.
o
es un
homeo-
topológicamente
Como ejemplo de aplica-
, el homeomor smo es la
coord
presentada en la
proposición 1.11.
Para cada matriz
A
en
Mn (K)
existen
n2
funciones, que lo llamaremos proyección", que lo pre-
sentamos en la siguiente proposición
1.10 proposición. Para 1 ≤ r, s ≤ n. La función proyección"coordrs
: Mn (K) −→ K
dada por
coordrs (A) = ars
es continua.
Demostración. i) Sea
{ei }1≤i≤n
la base canónica, luego tenemos para
r ∈ {1, ..., n}
v
u n n
X
uX
|ars | ≤ t |ais |2 =
ais ei = |Aes | ≤ kAk.
i=1
O sea para ii) Sea
A, A0 ∈ Mn (K)
se tiene
i=1
|a0rs − ars | ≤ kA0 − Ak.
A ∈ Mn (K) y > 0. kA − Ak < esto implica que ka0rs − ars k < . Por lo tanto es continua
para todo
0
2
A ∈ Mn (K).
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Con
la
ayuda
de
Grupos Matriciales y Heisenberg
las
funciones
proyección"se
3×3
construye
17
la
coord,
función
que
nos
permitirá demostrar algunas proposiciones.
1.11 Proposición. 1. La función coord, dada por: coord : Mn (K) −→ 7−→
A
Kn
2
(coord11 (A), · · · , coord1n (A), · · · , coordn1 (A), · · · , coordnn (A)),
es una biyección. Además, tanto
coord
como
coord−1
son funciones continuas, esto es,
coord
es un
homeomor smo.
2.
2
f : Kn −→ K
Si
F = f ◦ coord
es continua, entonces la función compuesta
F : Mn (K) −→ K
dada por
es continua.
Demostración.
1. coord es un homeomor smo. La función
coord
coord(A)
Supongamos
1 ≤ i, j ≤ n Sea
y ∈ Kn
2
es una biyección.
esto es
=
coord(B)
aij = bij , 0 ≤ i, j ≤ n.
luego
Por tanto
se
coordij (A)
tiene
coordij (B),
A = B.
y = (a11 , · · · , a1n , · · · , an1 , · · · , ann ), aij ∈ K.
entonces
=
Tomemos
A = (aij ) ∈ Mn (K)
n2
aij ∈ K
luego y = coord(A). Por tanto coord(Mn (K)) = K . (n) Sea An = (aij ) una sucesión de matrices en Mn (K) que converge a una matriz A = (aij ) de Mn (K). n Como |aij − aij | ≤ kAn − Ak para 1 ≤ i, j ≤ n se deduce que lı́m an = aij , 1 ≤ i, j ≤ n. n−→∞ ij 2 (n) (n) n Tenemos que coord(An ) = (a11 , · · · , ann ) ∈ K ; entonces
donde
lı́m coord(An ) = lı́m (an11 , · · · , annn ) = (a11 , · · · , ann ) = coord(A);
n−→∞
n−→∞
por lo tanto la función
coord
es continua.
Por otra parte tomando como base para coordenada"de
eij
en
ij
Kn
2
la base conónica
x = a11 e11 + · · · + ann enn ,
donde
Entonces la inversa de la función
coord
y de manera análoga tenemos que función
F
=
2
−→
coord−1
f ◦ coord
es
Mn (K) a11 · · · . .. . . . an1 · · ·
a1n
. . .
de
Kn
2
como
ann
es una función continua.
continua,
por
ser
la
compuesta
de
continuas.
Entramos a de nir la
x
se puede expresar como
(a11 , · · · , ann ) 7−→
La
donde la proyección o
a11 , · · · , ann ∈ K.
coord−1 : Kn
2.
{eij }1≤i,j≤n
es la unidad y los demás cero, expresamos cada elemento
función determinante
dos
funciones
2
fundamental en casi todas las áreas de las ma-
temáticas.
1.12 De nición.
La función determinante,
satisface las siguientes propiedades para i)
det : Mn (K) −→ K,
A, B ∈ Mn (K)
es aquella única función que
y la matriz identidad
In
det(AB) = det(A)det(B),
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
ii) iii)
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
18
det(In ) = 1, detA 6= 0
si y sólo si
A
es invertible.
A continuación damos una expresión general de la determinante para la matriz de orden
A = (aij )
la matriz
n×n
entrada. Denotamos por
cuyo elemento de la i-ésima la y la j-ésima columna es
Aij
la matriz de orden
la y la j-ésima columna. Entonces para
i,
(n − 1) × (n − 1)
un entero jo tal que
aij
n × n. Sea
denominada
obtenida suprimiendo la i-ésima
1 ≤ i ≤ n,
el determinante esta
dada por
detA = (−1)i+1 ai1 detAi1 + · · · + (−1)i+n ain detAin . Si
detA 6= 0
entonces la inversa de la matriz
A−1 = Transpuesta
A
se obtiene mediante la fórmula
de la matriz
h
(−1)i+j det Aij det A
esta de nición recursiva permite deducir, propiedad útil, que la
i
,
determinante de una matriz
triangular es el producto de sus elementos diagonales. Pn La traza de la matriz A ∈ Mn (K) se de ne como tr A = i=1 aii y la aplicación tr : Mn (K) −→ K P aii se denomina función traza. con regla de correspondencia trA = 1.13 Proposición. Mn (K) −→ K,
La función determinante,
det : Mn (K) −→ K,
y la función traza,
tr :
son funciones continuas.
Demostración. P − det] Por inducción, veamos que la función determinante es continua. i) Para
n = 1.
Consideremos la función luego
f |1×1
2
f |1×1 : K1 → K
dada por
es continua por ser identidad.
det|1×1 = f ◦ coord|1×1 Por lo tanto ii) Para
f |1×1 (a11 ) := a11 ,
det|1×1
donde
2
coord|1×1 : M1 (K) → K1 .
es continua por ser la compuesta de dos funciones continuas.
n = 2.
Consideremos la función
2
f |2×2 : K2 → K
dada por
f |2×2 (a11 , ..., a22 ) := a11 a22 − a12 a21 = (−1)1+1 a11 det|1×1 (a22 ) + (−1)1+2 a12 det|1×1 (a21 ), luego
f |2×2
es continua por ser polinómica de cuatro variables.
det|2×2 = f |2×2 ◦ coord|2×2 Por lo tanto
det|2×2
2
coord|2 (K) : M2×2 → K2 .
es continua por ser la composición de funciones continuas.
iii) Supongamos cierto para Consideremos
donde
f |n×n : K
n2
n − 1.
→K
Es decir
det|(n−1)×(n−1)
es continua.
dada por
f |n×n (a11 , ..., ann ) = (−1)i+1 ai1 det|(n−1)×(n−1) (Ai1 ) + · · · + (−1)i+n ain det|(n−1)×(n−1) (Ain ) luego
f |n×n
es continua por ser polinómica.
det|n×n = f |n×n ◦ coord|n×n Matemática Universitaria
donde
1ra Edición
2
coord|n×n : Mn (K) → Kn . Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
19
Por lo tanto, det es continua por ser composición de dos funciones continuas.
Por composición, veamos que la función traza es continua.
P − traza] Sea
f :K
n2
−→ K
dada por
f (a11 , ..., a1n , ..., an1 , ..., ann ) =
Pn
i=1
aii
luego
f
es continua por ser
polinomio.
tr = f ◦ coord. Por tanto
tr
es continua, ya que es composición de dos funciones continuas y que su regla de
correspondencia es dada por
tr(A) =
Pn
2
aii .
i=1
A continuación enunciamos la de nición de una sucesión de Cauchy y espacio métrico completo.
1.14 De nición. Sea (M, ρ) espacio métrico. i) Una sucesión
para todo
{An }n∈N
en
M,
es de
Cauchy
si dado cualquier
>0
N ∈N
tal que
M , {An }n∈N ,
es una
existe
n, m > N, kAn − Am k < .
ii) Un espacio métrico
M
es
completo
si toda sucesión de Cauchy en
sucesión convergente.
1.15 Proposición. El espacio métrico (Mn (K), k k) es completo. Demostración. Sea
{An }n∈N
una sucesión de Cauchy en
Mn (K) entonces dado > 0, existe N ∈ N
tal que
n, m > N ⇒ kAn − Am k < . Como
(n)
(m)
|aij − aij | ≤ kAn − Am k <
entonces
(n) {aij } es de Cauchy en K. Puesto que (n) tal que aij −→ aij para 1 ≤ i, j ≤ n.
A := (aij ) ∈ Mn (K),
Consideremos
convergente en
Sean
(X, ρ1 )
y
Mn (K), (Y, ρ2 )
es decir,
K
(n)
(m)
|aij − aij | <
An −→ A.
X ×Y
es decir, la sucesión
por lo tanto,
aij ∈ K
{An }n∈N
es completo.
dos espacios métricos normados con sus respectivas topologías
ciada a las métricas respectivamente. Se puede de nir una métrica, para
m, n > N ,
es un espacio métrico completo entonces existe
entonces se deduce que
Mn (K)
si
T1
y
T2
es
2
aso-
ρ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ R+ 0,
dada por
ρ((x, y), (w, z)) :=
q
Esto nos permite de nir una métrica producto en
ρ21 (x, w) + ρ22 (y, z). Mn (K) × Mn (K)
ρ : (Mn (K) × Mn (K)) × (Mn (K) × Mn (K))
−→
((A, B), (C, D))
7−→
Otro resultado útil. La sucesión las sucesiones
{An }n≥0
y
{(An , Bn )}n≥0
{Bn }n≥0
convergen a
converge a
A
y
B
R+ 0 p kA − Ck2 + kB − Dk2 .
(A, B)
en
Mn (K) × Mn (K)
si y sólo si
respectivamente.
1.16 Proposición. Las operaciones binarias suma : Mn (K) × Mn (K) −→ (A, B) 7−→ Matemática Universitaria
Mn (K) mult : Mn (K) × Mn (K) −→ A + B, 1ra Edición
(A, B) 7−→
Mn (K) AB, Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
20
y la operación unaria
inv(A) = A−1 .
inv : GLn (K) −→ GLn (K); son aplicaciones continuas.
Demostración.
{(An , Bn )}n∈N
Sea
una
(A, B) ∈ GLn (K) × GLn (K), n −→ 0.
sucesión entonces
en
×
GLn (K)
GLn (K)
kBn − Bk −→ 0, kAn − Ak −→ 0
que
y
converge
kAn k −→ kAk
a
cuando
Como
kAn Bn − ABk ≤ kAn kkBn − Bk + kAn − AkkBk kAn Bn − ABk −→ 0
luego se tiene que
−→
An B n
AB
operación binaria
mult
=
cuando
mult(A, B)
n −→ ∞.
cuando
En consecuencia
−→
n
∞.
mult(An , Bn ) =
Por
tanto,
la
es continua.
Por otro lado tenemos
kAn + Bn − (A + B)k ≤ kAn − Ak + kBn − Bk, luego se tiene
kAn +Bn −(A+B)k −→ 0 cuando n −→ ∞. En consecuencia, suma(An , Bn ) = (An +
−→
Bn )
A
+
B
=
suma(A, B)
n
cuando
−→
∞.
Lo
que
indica que satisface la condición de continuidad, por lo tanto la operación binaria suma es una aplicación continua en Sea
A ∈ GLn (K)
Como
Mn (K) × Mn (K).
y supongamos
An ∈ GLn (K)
{An }n∈N
con
An ∈ GLn (K)
"
Aij
lı́m An = A.
n→∞
entonces
A−1 n donde
tal que
= Transpuesta
de la matriz
# (−1)i+j det Anij . det An
es la matriz obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima columna de
A
con la
n propiedad lı́m Aij n→∞
= Aij . Pues Anij es la matriz obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima n columna de An y lı́m aij = aij por hipótesis. n→∞ Tomando límite y advirtiendo que la función determinante es continua tenemos que #! (−1)i+j det Anij = lı́m Transpuesta de la matriz n→∞ det An (−1)i+j det lı́m Anij n→∞ = Transpuesta de la matriz det lı́m An n→∞ i+j (−1) det Aij = Transpuesta de la matriz det A "
lı́m
n→∞
A−1 n
= A−1 . Entonces Como
A
−1 inv(An ) = A−1 = inv(A), es decir, la aplicación inv es continua en A ∈ GLn (K). n −→ A es cualquiera por tanto
Matemática Universitaria
inv
es continua en
GLn (K).
1ra Edición
2
Monografía
Huamaní Castro, Newton
0.1.2.
21
Propiedades Algebraicas, Topológicas de GLn (K) y SLn (K)
En esta sección se de ne los conjuntos representativos en
det
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
Mn (K)
con la ayuda de la función
las cuales serán descritas a lo largo del trabajo.
Se de ne el conjunto,
GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA 6= 0} que se denomina el
conjunto de matrices inversibles de orden n × n sobre K; y SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1},
que se denomina el
conjunto de matrices de determinante uno de orden n × n sobre K. 2n × 2n
Un ejemplo de matrices de determinante uno de orden
es
1
0
0
···
0
s 0
1 0 0 0 1 0
···
0
0
. . .
. . .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 :s∈R . . . . . . 1 0 s 1 2n×2n
0
s
1 ..
.
0
ya que la determinante de cada matriz es
1 = det
1
0
s
1
! det
1
0
s
1
! · · · det
1
0
s
1
!
debido a que la matriz es diagonal por bloques.
Precisamente aquí, se dice que
H
es un subgrupo de
(G, ·),
que lo denotaremos por
H ≤ G,
si
satisface las siguientes condiciones: i)
H
es subconjunto de
G;
ii)
H
es estable o cerrado bajo la operación binaria, es decir,
A·B ∈ H
para cualesquier
A, B ∈ H; iii) el elemento identidad iv) si
A ∈ H,
entonces
I
de
G
está en
H
y
A−1 ∈ H .
Obsérvese que la restricción de la operación
·
a un subconjunto estable o cerrado H proporciona
una operacion binaria para H llamada operacion binaria inducida.
A continuación veamos que los grupos representativos son grupos.
1.17 Proposición. (Grupo de matrices inversibles y determinante uno) Los conjuntos
GLn (K)
es un subgrupo de
y
SLn (K)
GLn (K),
son grupos bajo la multiplicación de matrices. Además,
es decir,
SLn (K)
SLn (K) ≤ GLn (K).
Demostración.
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
i)
SLn (K)
está contenida en
GLn (K),
det AB = detA · detB 6= 0, b ) Si
detA = 1
SLn (K) iii)
es decir,
A, B ∈ GLn (K), det A 6= 0
a ) Sean
ii)
Grupos Matriciales y Heisenberg
y
detB = 1
implica que
y
es decir
entonces
3×3
22
SLn (K) ⊂ GLn (K).
det B 6= 0.
det AB = detA · detB
Como
entonces
AB ∈ GLn (K). det AB = detA · detB = 1.
Por lo tanto si
A, B ∈
lo que implica que
A−1 ∈
AB ∈ SLn (K).
I ∈ SLn (K) ⊂ GLn (K). a ) Si
iv)
A ∈ GLn (K)
entonces
detA · detA−1 = detI = 1 6= 0,
GLn (K). A
b ) si
A
−1
∈
SLn (K)
=
detI
=
1.
Por
consiguiente
∈ SLn (K).
Por ii), iii), iv) se tiene que i) se tiene
detA · detA−1
entonces
SLn (K)
GLn (K)
y
es un subgrupo de
SLn (K)
son grupos bajo la multiplicación de matrices. Por
2
GLn (K).
1.18 Proposición. Sea K = R ó C. i)
GLn (K)
es un subconjunto abierto de
Mn (K).
ii)
SLn (K)
es un subconjunto cerrado de
Mn (K).
Demostración. Sabemos que la función determinante, gen inversa de todo cerrado en rrados
en
GLn (K) = Mn (K) − det
es continua luego la ima-
K es cerrado en Mn (K). En consecuencia det−1 {0} y det−1 {1} son ce-
Mn (K) −1
det : Mn (K) → K,
pues
{0}
{0}
{1}
y
lo
son
es abierto por ser el complemento del cerrado
es cerrado porque es la imagen inversa del cerrado
(g, h) 7−→
G gh
det
−1
K. {0}
y
Asi,
SLn (K)
2
{1}.
1.19 De nición. Sea G un espacio topológico y G × G el espacio grupo topológico si y sólo si G es grupo y las aplicaciones mult : G × G −→
en
producto. Se dice que
inv : G −→
e
g
7−→
G
es
G g −1
son continuas.
1.20 Proposición (Los conjuntos representativos son grupos topológicos) GLn (K)
y
SLn (K)
son grupos topológicos.
Demostración.
i) GLn (K) y SLn (K) tienen la topología inducida por la topología de Mn (K). ii) Por el teorema de matrices inversibles y unimodulares, proposición 1.17, se tiene que GLn (K) y
SLn (K)
son grupos bajo la multiplicación de matrices.
iii) Las aplicaciones mult|GLn (K) : GLn (K) × GLn (K) −→ GLn (K) son continuas. Por ser la restricción de aplicaciones
y
mult
respectivamente.
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inv|GLn (K) : GLn (K) −→ GLn (K)
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e
inv
continuas en
Mn (K)
y
GLn (K)
2
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Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
Como ejemplo de aplicación de la de nición diante el homeomor smo
coord.
1,11
esto hace que
Mn (K)
De nir un conjunto compacto en
se tiene que
Mn (K)
y
K
n
2
3×3
23
Mn (K)
es homeomorfo a
Kn
2
me-
son topológicamente equivalentes.
Kn
es similar a la dada en el espacio vectorial
2
ya que es
una propiedad topológica.
1.21 De nición. Sea X ⊆ Mn (K). i)
X
es
ii) X es
en
acotado si y sólo si existe r > 0 tal que cerrado si toda sucesión {An }n≥0
en
X
Mn (K) − NMn (K) (0, r) ∩ X = φ. que es convergente en
Mn (K)
tiene su limite
X.
iii) X es compacto si y sólo si es acotado y cerrado.
La siguiente proposición es una aplicación de la norma en
Mn (K),
de nida en este trabajo.
1.22 Proposición. GLn (K) y SLn (K) no son compactos. {Ak }k∈N tal que aij = 0 para i 6= j , a11 = k , aii = 1 k 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 0 . . . . . . Ak := .. .. . . . .. . 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1/k
Demostración. Sea la sucesión matricial
i = 2, (n − 1)
i) Luego
y
ann =
se
tiene
1 k . Es decir,
que
la
sucesión
está
contenida
{Ak ∈ Mn (K) : k ∈ N} ⊆ SLn (K) ⊆ GLn (K).
en
Pues
el
subgrupo
det Ak =
(k)( k1 )
SLn (K), = 1
es
para
decir
ya que la de-
terminante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales. ii) Aplicando el producto a izquierda a
kAk k
por
x ∈ Kn ,
tenemos
r v u n
x 2 X u
n |xi |2 = 1 |kx1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn−1 |2 + : x ∈ Kn , t = máx k i=1 r v u n 2 2 2 X u |x | |x | |x | n−1 n 2 n t 2 =1 = k máx |x1 |2 + 2 + · · · + + : x ∈ K , |x | i k k2 k4 i=1
Esta claro que
k ∈ N,
Ak
|x1 |2 = |x1 |2 ,
|x2 |2 k2
≤ |x2 |2 , · · · ,
|xn−1 |2 k2
≤ |xn−1 |2
y
|xn |2 k4
≤ |xn |2
para cada
luego sumando se tiene
|x2 |2 |xn−1 |2 |xn |2 + ··· + + 4 2 2 k k k r 2 2 2 |x | |x | |x 2 n−1 n| |x1 |2 + 2 + · · · + + 4 2 k k k |x1 |2 +
Luego se deduce Tomemos
≤
|x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn−1 |2 + |xn |2 = 1,
≤ 1
para todo
|x| = 1
kAk k ≤ k .
x := (1, 0, ..., 0), |x| = 1
entonces
x1 = 1, x2 = 0, · · · , xn−1 = 0
reemplazando y por de nición de máximo de un subconjunto en
r 1= Por consiguiente,
kAk k = k
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|1|2 +
R
y
xn = 0
luego
tenemos,
|0|2 |0|2 |0|2 kAk k + ··· + 2 + 4 ≤ . 2 k k k k
para cada
k ∈ N.
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Huamaní Castro, Newton
iii) Veamos que
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
24
{Ak ∈ Mn (K) : kAk k = k, k ∈ N} ∩ Mn (K) − NMn (K) (0, r) 6= φ
para todo
r > 0. 0 0 r > 0,entonces existe k ∈ N tal que k > 2r > r. 0 k 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 0 . . . . .. . . . . luego kAk0 k = k 0 . Tomemos Ak0 := .. . . . . 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1/k 0 0 Por otro lado Ak0 ∈ Mn (K) − NMn (K) (0, r) ya que kAk0 k = k > r . Sea
Por tanto la sucesión
Puesto que
{Ak }k∈N
no es acotada debido a que como conjunto no es acotada.
{Ak ∈ Mn (K) : k ∈ N} ⊆ SLn (K) ⊆ GLn (K)
acotados. Por consiguiente no son compactos.
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entonces
SLn (K) ⊆ GLn (K)
no son
2
Monografía
0.2. Subgrupo Matricial de GLn(K) y Matriz Exponencial En este capítulo presentamos la de nición de grupo matricial inversible y sus ejemplos más notables con la que se cumple con el objetivo (1) propuesto. Luego, exponemos la noción de homomor smo continuo en grupo matricial inversible, importante, ya que mantienen algunas propiedades algebraicas y topológicas entre grupos matriciales inversibles y nalmente se expone resultados de la matriz exponencial y logarítmica cuya utilidad, en este trabajo, es que ayuda determinar el álgebra de Lie de los grupos matriciales inversibles
GLn (K)
y
SLn (K).
0.2.1. Subgrupo Matricial de GLn (K) 2.1 De nición. Un subgrupo G de GLn (K), G ≤ GLn (K), bajo la multiplicación de matrices que también es cerrado en GLn (K) se dice grupo matricial inversible sobre K o un subgrupo matricial de GLn (K). Aquí se entiende que donde
n
G
es cerrado en
GLn (K)
con la topología relativa heredada de
Mn (K)
y
es un número natural arbitrario.
Antes de considerar unos ejemplos demostramos una proposición y enunciamos una de nición sugerida.
2.2 Proposición. Sea G ≤ GLn (K) un grupo matricial inversible sobre K. Si
H
de
GLn (K)
es subgrupo de
G, H ≤ G,
que también es cerrado en
Demostración. Toda sucesión
{An }n≥0
An ∈ H ⊆ G
G
{An }n≥0
para todo
n
tiene su límite en
y
H.
es un subgrupo matricial de
H
con límite en
es cerrado en
Entonces
relación transitiva, esto es, puesto que
H
en
H
GLn (K). y
25
H
H
es subgrupo matricial
tiene su límite en
es cerrado en
GLn (K).
G ≤ GLn (K)
GLn (K).
entonces
GLn (K)
Como
es cerrado en
H ≤G
G
G,
G
ya que
signi ca que
Además ser subgrupo es una
entonces
H ≤ GLn (K).
Por tanto
2
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
26
Este resultado sugiere la siguiente de nición
2.3 De nición. Sea G un grupo matricial inversible sobre K. Se dice que
H
es cerrado en
A
G
es subgrupo matricial de
H
si y sólo si
es subgrupo de
G, H ≤ G,
que también
G.
continuación
se
presenta
ejemplos
de
grupos
matriciales
inversibles
más
notables
y
de
interés para este trabajo de pregrado
2.1 Ejemplo representativo. El mismo conjunto de matrices inversibles, GLn (K), es un grupo matricial decir
inversible
ya
GLn (K) ≤ GLn (K),
que
es
subgrupo
de
si
mismo,
es
bajo la multiplicación de matrices por la proposición 1.17 y es ce-
rrado en sí mismo puesto que
GLn (K) = Mn (K) ∩ GLn (K).
2.2 Ejemplo representativo.
Como
SLn (K)
es cerrado en
Mn (K)
por la proposición 1.18 y
SLn (K) = GLn (K)∩SLn (K) luego se sigue es cerrado en GLn (K). Mientras por la proposición 1.17, SLn (K)
es
un
matrices. Por tanto
El
conjunto
de
subgrupo
SLn (K)
GLn (K)
de
bajo
la
multiplicación
es un grupo matricial inversible o subgrupo matricial de
matrices
inversibles
denotado
por
SLn (K)
matrices cuya determinante es uno denotado aquí por
GLn (K)
y
el
de
GLn (K).
conjunto
de
son considerados, en este trabajo
de pregrado, como los conjuntos más representativos.
En álgebra lineal, una
matriz triangular
es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos ele-
mentos por encima o por debajo de su diagonal principal son todos ceros. Una matriz en es
Mn (K)
triangular superior, si tiene la forma
a11
0 0 . .. . .. 0 es decir,
aij = 0
si
···
···
···
a1n
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
. . .
..
.
a(n−2)(n−2)
..
.
. . .
..
.
0
a(n−1)(n−1)
0
···
0
0
a2n . . . , . . . . . . ann
a12 a22 0
i > j.
2.3 Ejemplo Sean los conjuntos de matrices U T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A
es triangular superior con
SU T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A Entonces se prueba que
SU T3 (R)
U T3 (R)
y
es subgrupo matricial de
a11 6= 0, a22 6= 0, a33 6= 0}
es triangular superior con
SU T3 (R)
y
a11 = 1, a22 = 1, a33 = 1}.
son grupos matriciales inversibles sobre
R.
Además,
U T3 (R).
En efecto. 1. El
SU T3 (R)
es subconjunto de
2. El
SU T3 (R)
y
U T3 (R)
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U T3 (R),
es decir,
SU T3 (R) ⊂ U T3 (R) ⊆ GLn (K).
son estables o cerrados bajo la multiplicación de matrices
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Huamaní Castro, Newton
i) Sean
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
27
A, B ∈ U T3 (R),
a11
A= 0
a13
a22
a23 a33
0
0
a12
aii 6= 0
con
b11
B= 0 0
y
b12
b13
b22
b23 b33
0
bii 6= 0
con
multiplicando se tiene,
a11 b11
a11 b12 + a12 b22
a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
0
a22 b22
a22 b23 + a23 b33
0
0
a33 b33
AB =
es decir, ii) Sean
con
aii bii 6= 0
AB ∈ U T3 (R).
A, B ∈ SU T3 (R),
1
a12
a13
1
b12
B= 0
1
0
0
b13
A= 0
1
0
0
a23 1
1
b12 + a12
b13 + a12 b23 + a13
AB = 0
1
b23 + a23
0
0
1
y
b23 1
entonces,
es decir,
AB ∈ SU T3 (R).
3. La matriz identidad,
1
0
0
I3 = 0
1
0
0
0 ∈ SU T3 (R) ⊂ U T3 (R). 1
4. Existencia del inverso i) Si
A ∈ U T3 (R),
a11
det 0 0
entonces
det A = a11 a22 a33
a13
a22
a23
=
0
a33
a12
ya que
" (−1)
1+1
a11 det
a22
a23
0
a33
" 1+3
+(−1)
a33 det
0
a22
0
0
#
" + (−1)
1+2
a22 det
Observe, que la
# .
0
a23
0
a33
det
de
#
A
es el producto de elementos de su diagonal.
Cálculo de
A−1
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⇔ A−1 =
1 i+j det Aij ] det A transpuesta de[(−1)
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En primer lugar,
Grupos Matriciales y Heisenberg
[(−1)i+j det Aij ] "
1+1
a22
(−1) det 0 " 2+1 (−1) det a12 0 " a12 (−1)3+1 det a22
a23
a13
" 1+2
(−1)
a13
det
#
" 2+2
(−1)
a33
det
#
" (−1)3+2 det
a23
28
es la matriz
#
a33
3×3
0
a23
0
a33
#
" 1+3
(−1)
a11
a13
0
a33
a11
a13
0
a23
det
#
" 2+3
(−1)
det
#
" (−1)3+3 det
0
a22
0
0
#
a11
a12
0
0
a11
a12
0
a22
# #
después de un cálculo se obtiene
−a12 a11 a22 1 a22
1 a11
A−1 = 0 0 ii) Si
A ∈ SU T3 (R)
entonces
a12 a23 −a13 a22 a11 a22 a33 −a23 a22 a33 1 a33
0
det A = 1
ya que
∈ U T3 (R).
a11 = a22 = a33 = 1.
−a12
a12 a23 − a13
A−1 = 0
1
−a23
0
0
1
1
Por tanto
coordrs : M3 (R) → R, dada por coordrs (A) = ars es continua, por la proposición −1 −1 −1 −1 −1 −1 1.10. Por lo que coord21 {0}, coord31 {0}, coord32 {0}, coord11 {1}, coord22 {1}, coord33 {1} son cerrados en M3 (K), por ser {0} y {1} cerrados en R. −1 Observe que coord21 {0} = {A ∈ M3 (R) : coord21 (A) = a21 = 0} y también nótese 5. La función
−1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0}
( =
=
=
=
A ∈ M3 (R) :
=
a21 = 0, GL3 (R) ∩ A ∈ M3 (R) : a31 = 0 y a32 = 0
a21 = a31 = a32 = 0,
con detA 6= 0 matriz triangular A ∈ M3 (R) : superior, con det(A) 6= 0 matriz triangular superior, A ∈ M3 (R) : con aii 6= 0 para i = 1, 3
)
U T3 (R).
De líneas arriba y usando argumentos análogos, se tiene
U T3 (R)
=
−1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0}
SU T3 (R)
=
−1 −1 −1 GL3 (R) ∩ coord−1 21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord32 {0} ∩ coord11 {1} −1 ∩coord−1 22 {1} ∩ coord33 {1}
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Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
29
6. De los dos últimos igualdades, se deduce
−1 −1 SU T3 (R) = U T3 (R) ∩ coord−1 11 {1} ∩ coord22 {1} ∩ coord33 {1}.
U T3 (R) y SU T3 (R) son subgrupos bajo la multiplicación de matrices.
Luego por 2, 3, 4 se tiene que Por De
1
5
SU T3 (R)
se tiene que
SU T3 (R)
se tiene que
U T3 (R)
Por tanto
y
es subgrupo matricial bajo la multiplicación de matrices de
y
U T3 (R)
SU T3 (R)
es subgrupo matricial de
son cerrados en
U T3 (R).
GL3 (R).
son grupos matriciales inversibles sobre
R,
además por
6 SU T3 (R)
2
U T3 (R).
En el siguiente ejemplo se demuestra el caso de orden
n×n
2.4 Observación Sean los conjuntos de matrices U Tn (K)
= {A ∈ GLn (K) : A
es triangular superior con
SU Tn (K)
= {A ∈ GLn (K) : A
es triangular superior con
Entonces
U Tn (K)
y
SU Tn (K)
aii 6= 0, aii = 1,
son grupos matriciales inversibles sobre
K.
para para
i = 1, n} i = 1, n}.
Además,
SU Tn (K)
es
U Tn (K).
subgrupo matricial de
En efecto. 1. El
SU Tn (R)
2. El
U Tn (K)
i) Sean
y
es subconjunto de
SU Tn (K)
U Tn (R),
es decir,
SU Tn (R) ⊂ U Tn (R) ⊆ GLn (K).
son estables o cerrados bajo la multiplicación de matrices
A, B ∈ U Tn (K),
a11
···
a1n
. . .
..
. . .
0
···
A=
.
con aij = 0, i > j
B=
ann
b11
···
b1n
. . .
..
. . .
0
···
.
con bij = 0, i > j
bnn
entonces,
a11 b11
···
. . .
..
0
···
AB =
es decir,
ii) Si
P
a1j bin . . .
.
( con aij bij =
ann bnn
0 pues aij = 0 para i > j 0 pues bij = 0 para i > j
AB ∈ U Tn (K).
aii = 1
y
bii = 1
entonces
aii bii = 1.
Por lo tanto si
A, B ∈ SU Tn (K)
implica que
AB ∈ SU Tn (K). 3. La matriz identidad,
In ∈ SU Tn (K) ⊂ U Tn (K).
4. Existencia del inverso i) Si
A ∈ U Tn (K),
det A = a11 a22 · · · ann ya que det A1j = 0 1 · · · 0 a11 . . .. ∈ U Tn (K). . . de . . . Σi 1 · · · 6=0 ann
entonces
para
j 6= par.
Por tanto
A−1 = transpuesta
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Huamaní Castro, Newton
ii) Si
A ∈ SU Tn (K)
Por tanto
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
30
det A = 1 y det Aij = 0 para i < j . 1 ··· 0 . . .. . . ∈ SU Tn (K). = transpuesta de . . . Σi · · · 1 6=0
A−1
entonces
5. Por otro lado
U Tn (K)
= GLn (K) ∩
\
i>j
SU Tn (K)
coord−1 {0} ij
−1 = GLn (K) ∩ coord−1 11 {1} ∩ · · · ∩ coordnn {1} ∩
\
i>j
coord−1 {0} ij
6. De las dos últimas igualdades se tiene
−1 SU Tn (K) = U Tn (K) ∩ coord−1 11 {1} ∩ · · · ∩ coordnn {1} Por 2, 3, 4 se tiene que
1
que
SU Tn (K)
y
y
SU Tn (K)
son cerrados en
U Tn (K)
y
SU Tn (K)
es subgrupo matricial de
2.5 Ejemplo
son subgrupos bajo la multiplicación de matrices. Por
es subgrupo bajo la multiplicación de matrices de
U Tn (K)
Por consiguiente
SU Tn (K)
U Tn (K)
SU Tn (K)
se tiene que
U Tn (K).
De
5
GLn (K).
son grupos matriciales inversibles sobre
K,
además por
U Tn (K).
Podemos hacer que
se tiene
GLn (K)
sea un subgrupo matricial de
GLn+1 (K).
6
2
Aumen-
tando la y columna apropiadamente.
L
En efecto. Sea
la aplicación de nida por
L : GLn (K) −→ A 7−→
L(GLn (K)) ⊆ GLn+1 (K) L(A) = A0
" 0
A :=
A
0
0
1
#
a11
. .. = an1 0
para
a11
···
a1n
. . .
..
. . .
an1
···
A=
.
cualquier matriz en
donde
···
a1n
0
..
. . .
. . .
.
···
ann
···
0
GLn (K);
0 1
entonces las siguientes propiedades se
ann
satisfacen: i) ii)
detA0 = detA, A0 = B 0
si y sólo si
iii)
(AB)0 = A0 B 0 ,
iv)
(A0 )−1 = (A−1 )0 ,
v)
A = B,
lı́m (An )0 = ( lı́m An )0 .
n→∞
n→∞
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En efecto: Sea
A, B, An ∈ GLn (K) "
i)
detA0 = det "
ii)
0
0
A =B ⇔ "
iii)
0
AB =
" iv)
(A )
A
0
0
1
A
0
0
1 #"
A 0 0 1
0
0 −1
=
A 0 0
vi) vii) viii)
#
" =
#−1
"
n→∞
y
A0 ∈ GLn+1 (K),
#
B
0
0 #
1 "
=
1
lı́m (An ) = lı́m
n→∞
lı́m An = A
n→∞
31
= detA.det1 = detA
0 1
0
con
3×3
#
B 0
" v)
Grupos Matriciales y Heisenberg
An
0
0
1
=
⇔A=B AB
0
0
1
A−1
0
0
1 "
#
# = (AB)0
# = (A−1 )0 , lı́m An
0
0
1
n→∞
=
# = ( lı́m An )0 . n→∞
L(A) = L(B) ⇒ A0 = B 0 ⇒ A = B L(AB) = (AB)0 = A0 B 0 = L(A)L(B) lı́m L(An ) = lı́m (An )0 = ( lı́m An )0 = L( lı́m An ) = L(A)
n→∞
n→∞
Por lo tanto
L
n→∞
n→∞
es un homomor smo de grupos inyectivo tal que la función
0
L
es continua. Así, la
2
imagen de
L, L(GLn (K)) = {A : A ∈ GLn (K)},
0.2.2.
Homomor smo Continuo de Subgrupos Matriciales de GLn (K)
es subgrupo matricial de
GLn+1 (K).
En el estudio de grupos la noción de homomor smo continuo de grupos cobra un papel principal debido a que preservan algunas propiedades algebraicas como topológicas. Por lo que en esta
el cociente de dos subgrupos masubgrupo normal del otro no necesariamente
sección introducimos su de nición luego se pone a luz que
triciales de GLn (K) donde uno de ellos es un es subgrupo matricial de GLn (K). Por lo que esta sección proporcionará una nueva forma de comprobar la hipótesis.
Para
relacionar
dos
grupos
se
necesita
de nir
una
estructura de grupo por lo que es necesario precisar. Sean
momor smo de grupos es una función ϕ : G −→ G
0
aplicación
(G, )
tal que si
y
0
(G , ?)
dos grupos matriciales inversibles sobre
mor smo de grupos. Se dice
ϕ
es continua y la imagen por
la
dos grupos, un
ho-
GLn K, G
y
H,
tienen
Mn (K)
2.5 De nición. Sean G, H ϕ
preserve
u, v ∈ G, ϕ(u v) = ϕ(u) ? ϕ(v).
En la siguiente de nición se entiende que los subgrupos matriciales de la topología relativa heredada de
que
K
y
ϕ : G −→ H
un homo-
es un homomor smo continuo de subgrupos matriciales si y sólo si
ϕ, Imϕ = ϕ(G),
En otras palabras una aplicación
es un subgrupo matricial de
ϕ : G −→ H
H.
entre subgrupos matriciales es homomor smo
continuo de subgrupos matriciales si: i)
ϕ
es un homomor smo de grupos, con la multiplicación de matrices,
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1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
ϕ
ii)
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
{An }
es una función continua, es decir, para cada
con
32
An ∈ G
limAn = A
y
se tiene
lim ϕ(An ) = ϕ(A), iii) La imagen por
En
el
siguiente
ϕ
es subgrupo de
ejemplo
(2.6)
H , ϕ(G) ≤ H ,
se
muestra
y es un subconjunto cerrado en
un
homomor smo
continuo
H.
de
subgrupos
matriciales. Para este propósito de nimos el círculo unitario complejo con centro en el origen del plano complejo como sobre
S1 := {z ∈ C : zz = 1}
que puede ser visto como un grupo matricial
C.
2.6 Ejemplo de un homomor smo continuo de subgrupo matricial. La aplicación
1
ϕ : SU T2 (R) −→ S ;
ϕ
1
t
0
1
! = e2πti
es un homomor smo continuo de subgrupos matriciales, además es sobreyectiva.
En efecto. Sea
z en S1 , la circunferencia unitario con centro en el origen del plano complejo, entonces
z = cos(2πt) + isen(2πt) = e2πti Para veri car
1:
para algún
Homomor smo de
( ϕ
1
t1
0
1
t ∈ R.
Por lo tanto
ϕ
es sobreyectiva.
ϕ
! ·
1
t2
0
1
!) = ϕ
1
t1 + t2
0
1
!
= e2π(t1 +t2 )i =!e2πt1 i e2πt2 i ! 1 t1 1 t2 = ϕ ϕ . 0 1 0 1 Para veri car
2:
La continuidad de
ϕ (
Sea
{tn }n∈N
SU T2 (R)
es una sucesión convergente cualquiera en
lı́m ϕ
n−→∞
Para veri car La función
tn −→ t ∈ R;
una sucesión de números reales tales que
ϕ
3:
1
tn
0
1
La imagen de
ϕ
tn
0
1
!) n≥1
y
! = lı́m e
entonces
1
2πtn i
=e
n−→∞
2πti
=ϕ
!
1
t
0
1
.
es subgrupo matricial.
es sobreyectiva entonces
ϕ(SU T2 (R)) = S1 ;
que es un subgrupo cerrado de
C.
2
Para que dos grupos sean idénticos en estructura algebraica es necesario de nir una función que preserve tal estructura por lo que es necesario precisar. Sea
ϕ : G −→ G0
un homomor smo de
isomor smo si existe un homomor smo ϕ−1 : G0 −→ G −1 tal que ϕ ◦ ϕ = IG y ϕ ◦ ϕ−1 = IG . En consecuencia se dice que G y G0 son isomorfos si existe grupos. Se dice que
0
ϕ : G −→ G
es un 0
un El
isomor smo y se denota por G ∼ = G0 . nucleo de ϕ, denotado por Kerϕ, es
ϕ(x) = I de
ϕ(x)
Sea
0
donde
con
I
denota la identidad de
el conjunto de todos los elementos
0
G.
La imagen de
ϕ,
denotada por
x ∈ G
Imϕ,
tales que
es el conjunto
x ∈ G.
ϕ : G −→ G0
subgrupo de
0
G0 .
un Homomor smo de grupos. Si
Si
H0
es un subgrupo de
G0
H
entonces
es un subgrupo de
ϕ−1 (H 0 )
G
entonces
es un subgrupo de
ϕ(H)
es un
G.
Observe que la imagen inversa es un subgrupo del dominio aunque no exista una función inversa
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Huamaní Castro, Newton
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ϕ−1
para
Kerϕ
Sea
ϕ : G −→ G0
inversa
ϕ. −1
ϕ
También,
G
es subgrupo de
y
Imϕ ϕ
un Homomor smo de grupos. Si
0
: G −→ G
es también un homomor smo. Si
33
es subgrupo de
G0 .
es biyectiva entonces la función
x ∈ G
ϕ(x−1 ) = ϕ−1 (x).
entonces
ϕ(IG ) = IG0 .
G, H
Sean
En consecuencia
3×3
ϕ : G −→ H
subgrupos matriciales inversibles. Cuando
es un homomor smo con-
tinuo de subgrupos matriciales y además es un homeomor smo (es decir, una biyección con inversa es un
isomor smo continuo de subgrupos de matriciales.
G como H
son esencialmente idénticos como subgrupos matriciales de
ϕ : G −→ H
un homomor smo continuo de subgrupos matriciales de
continua) entonces se dice que En consecuencia se dice que
ϕ
GLn (K).
2.6 Proposición.
Sea
GLn (K).
kerϕ
Entonces
G.
es un subgrupo matricial de
identi cado con el subgrupo matricial,
El grupo cociente,
G/kerϕ,
puede ser
ϕ(G), mediante el isomor smo cociente usual ϕ : G/kerϕ →
ϕ(G). Demostración. Por ser
ϕ
un homomor smo de grupos,
Sea
{gi }i∈N
kerϕ
es subgrupo de
G.
Veamos si
kerϕ
es
G.
un subconjunto cerrado de
una sucesión de elementos en
kerϕ
tal que
gi → g ∈ G;
entonces
ϕ(g) = ϕ( lı́m gi ) = lı́m ϕ(gi ) = 0, i→∞
por lo tanto
g ∈ kerϕ
y así
kerϕ
es cerrado en
i→∞
G.
Por el teorema fundamental de homomor smo de la teoría de grupos
Nótese, que
ϕ : G/kerϕ → ϕ(G)
matriciales dado que
0.2.3.
G/kerϕ
ϕ
2
existe.
no necesariamente es un homomor smo continuo de subgrupos
no necesariamente es un grupo matricial inversible.
Matriz Exponencial y Logaritmo
Las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logarítmicas son fundamentales en el estudio de subgrupos matriciales; la importancia de la función exponencial en la Teoría de Lie es que aplica el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo. En particular en grupos matriciales inversibles como veremos más adelante.
Las series de potencias exponencial,
ex =
ex ,
X 1 xn , n!
y logaritmo,
ln(x) =
tender a
Para
Mn (K)
en el plano complejo de nidas por
X (−1)n−1 xn , n
(x ∈ C)
n≥1
n≥0
tienen como radio de convergencia in nita
ln(x),
(∞)
y
1
respectivamente. Este resultado se puede ex-
como veremos a continuación.
A ∈ Mn (K)
se tiene las siguientes series convergentes en
Exp(A)
:=
Mn (K)
X 1 1 1 An = I + A + A2 + A3 + · · · , n! 2! 3!
n≥0
Ln(A)
:=
X (−1)n−1 1 1 1 An = A − A2 + A3 − A4 + · · · , n 2 3 4
n≥1
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Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
cuyos radios de convergencia son in nita Observe que la serie para
kAk < 1.
Exp(A)
En efecto, para
(∞)
y
1,
converge para todo
A ∈ Mn (K)
N X 1 n A n! n=0 N X 1 n A n! n=0 N X 1 0≤ An n!
3×3
34
respectivamente.
A ∈ Mn (K)
mientras la serie
Ln(A)
converge
se tiene
≤
N X 1 n kAk n! n=0
≤
∞ X 1 n kAk n! n=0
≤ ekAk = cte
donde
kAk ∈ K
y
N ∈ N,
n=0
luego, por el criterio de Cauchy para series, la sucesión de sumas parciales convergente. Puesto que
Mn (K)
1 n n=0 n! A
o
es N ∈N es un espacio métrico completo, por la proposición 1.15, y por
P
criterio de comparación se deduce que la serie
n≥0 todo
nP N
1 n n! A converge a una matriz de
Mn (K)
para
A ∈ Mn (K).
Análogamente, para la serie
Ln(A)
se tiene
N X (−1)n−1 n A ≤ n n=1
N N ∞ X X X 1 kAkn ≤ kAkn ≤ kAkn , n n=1 n=1 n=1
luego usando criterios se deduce que la serie
P
Ln(A) :=
n≥1
Mn (K)
para
(−1)n−1 n A converge a una matriz de n
kAk < 1.
Se darán a continuación una serie de teoremas y proposiciones, de utilidad para este trabajo, las cuales se pueden encontrar en el libro de Baker[5].
2.7 Proposición. Sea A ∈ Mn (K). i) Para ii)
u, v ∈ C, Exp((u + v)A) = Exp(uA)Exp(vA).
Exp(A) ∈ GLn (K)
y
Exp(A)−1 = Exp(−A).
Demostración. i) Desarrollando la serie
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Exp((u + v)A) =
1 n≥0 n! (u
P
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+ v)n An =
P
n≥0
(u+v)n n A . n!
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3×3
35
Por otro lado
Exp(uA)Exp(vA)
X ur X vs = Ar As r! s! r≥0
X
=
r≥0 s≥0
s≥0
ur v s r+s A r!s!
! n X X ur v n−r An = r!(n − r)! n≥0 r=0 ! ! n X 1 X n ur v n−r An = n! r=0 r n≥0
X (u + v)n An n!
=
n≥0
= Exp((u + v)A). ii) De la parte
(i),
I = Exp(0) = Exp((1 + (−1))A) = Exp(A)Exp(−A), luego Exp(A) es invertible con inversa
2
Exp(−A). Estas propiedades permiten de nir la
función exponencial como la aplicación
exp : Mn (K) −→ GLn K;
exp(A) := Exp(A) =
X 1 An . n!
n≥0
2.8 Proposición. Si A, B ∈ Mn (K) conmutan entonces exp(A + B) = exp(A)exp(B). Demostración.
exp(A)exp(B)
X 1 X 1 Ar Bs = r! s! s≥0
r≥0
=
X r≥0 s≥0
1 r s A B r!s!
! 1 = Ar B n−r ; r!(n − r)! n≥0 r=0 ! ! n X 1 X n r n−r = A B n! r=0 r n X X
haciendo:
r+s=n
n≥0
=
X 1 (A + B)n n!
n≥0
= exp(A + B).
Tenga en cuenta, que se hace uso crucial de la conmutatividad de
(A + B)n .
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A y B en la identidad
Pn
r=0
n r
! Ar B n−r =
2
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3×3
36
Igualmente, que para la función exponencial, se de ne la función logaritmo ln : NMn (K) (I; 1) −→ Mn (K);
ln(A) := Ln(A − I) =
X (−1)n−1 (A − I)n . n
n≥1 Nótese, existe
ln(A)
para
kA − Ik < 1.
2.9 Proposición. Las funciones exp y ln tienen las siguientes propiedades. i) Si ii) Si
kA − Ik < 1,
entonces
kexp(B) − Ik < 1,
exp(ln(A)) = A.
entonces
ln(exp(B)) = B.
Demostración. De las series de potencias formales se derivan las siguientes identidades
m X 1 X (−1)n−1 (x − 1)n m! n m≥0 n≥1 n X (−1)n−1 X 1 (x)m n m! n≥1
reemplazando
x
por
A
y
B
La función exponencial es
δ = ln( + 1)
tal que si
= x,
= x,
m≥0
2
se obtiene lo que se quiere.
continua
kA − 0k < δ
en
0n ∈ Mn (K).
En efecto, para cualquier
> 0
existe
entonces
X X X 1 1 1 n kexp(A) − exp(0n )k ≤ A ≤ kAkn < δ n = eδ − 1 = eln( +1) − 1 < . n! n≥1 n! n≥1 n! n≥1 Además, para
r ∈ R+
tenemos
exp(NMn (K) (0; r)) ⊆ NMn (K) (I; er − 1), ya que para
kAk < r
se tiene,
X 1 X 1 n X 1 n kexp(A) − Ik = A ≤ kAk < rn = er − 1. n! n≥1 n! n≥1 n! n≥1
2.10 Proposición. ∞ P
k=0
Sea la función exponencial,
exp : Mn (R) −→ GLn (R)
dada por
exp(A) =
1 k k! A .
i) La aplicación
exp
es inyectiva cuando es restringida a la bola abierta
ii) La función exponencial,
abierta de
exp,
NMn (R) (0n , ln 2).
es un difeomor smo de una bola abierta de
0n ,
en una bola
In .
Demostración. i) Sea
A, B ∈ NMn (R) (0n , ln 2). como exp(NMn (R) (0n , ln 2)) ⊆ NMn (R) (In , 1) entonces exp(A), exp(A) ∈
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NMn (R) (In , 1),
kexp(A) − In k < 1
es decir,
exp(A) ln(exp(A)) A ii) Esta
a rmación
haciendo
3×3
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es
verdadera
G = GLn (R)
y
porque
y
37
kexp(B) − In k < 1. = exp(B) = ln(exp(B)) = B. es
un
caso
particular
del
teorema
4.9.
2
g=e g = Mn (R).
2.11 Proposición Para A, B ∈ Mn (C) tal que AB = BA conmutan, se tiene d exp(A + hB) = Bexp(A). dh |h=0 Demostración. Sea
A
que conmuta con
d exp(A + hB) dh |h=0
Para
la
siguiente
B , AB = BA,
entonces
1 {exp(A + hB) − exp(A)} h 1 = lı́m {exp(hB)exp(A) − exp(A)} h→0 h 1 In = lı́m exp(hB) − lı́m exp(A) h→0 h h→0 h ( ) ∞ 1X 1 In k = lı́m (hB) − lı́m exp(A) h→0 h h→0 h k! k=0 hB 2 h2 B 3 In In + lı́m B + lı́m + lı́m − lı́m = lı́m exp(A) h→0 h→0 2! h→0 3! h→0 h h→0 h = Bexp(A). =
lı́m
h→0
de nición
y
lo
que
resta
de
trabajo
se
suponen
a, b
∈
R
tal
que
a < 0 < b.
2.12 De nición. Una curva diferenciable en Mn (K) es una función γ : (a, b) −→ Mn (K) tal que la derivada de
Mn (K)
γ
en
t, γ 0 (t),
existe para cada
t ∈ (a, b).
Aquí
γ 0 (t)
signi ca un elemento de
de nido por
γ 0 (t) = lı́m
s→t
γ(s) − γ(t) , s−t
siempre que este límite exista. El límite antes mencionado existe si y sólo si existen los
lı́m
s→t
γ(s)ij − γ(t)ij = γ 0 (t)ij s−t
n2
limites de variable compleja o real,
para 1 ≤ i, j ≤ n,
donde
γ(s) =
γ(s)11
···
. . .
..
.
. . .
γ(s)n1
···
γ(s)nn
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γ(s)1n
,
γ(t) =
1ra Edición
γ(t)11
···
. . .
..
.
. . .
γ(t)n1
···
γ(t)nn
γ(t)1n
∈ Mn (K).
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3×3
38
Considérese la ecuación diferencial de primer orden
γ 0 (t) = γ(t)A, para
γ
una curva diferenciable en
Mn (K)
y
A
una matriz no nula en
Mn (K).
2.13 Teorema. Para A, C ∈ Mn (R) con A no nula, y a < 0 < b, la ecuación diferencial γ 0 (t) = γ(t)A tiene una única solución
γ : (a, b) → Mn (R)
invertible, entonces también lo es
γ(t)
con condición inicial
para cada
t
en
γ(0) = C.
Además, si
C
es
(a, b).
Demostración. En primer lugar resolveremos la ecuación diferencial sujeta a la condición de inicial
α(0) = I. Para
t ∈ ha, bi,
la serie
X tk k≥0
k!
X 1 (tA)k = exp(tA) k!
Ak =
k≥0
converge, por lo que la función de nida por
α : ha, bi −→ Mn (R);
α(t) = exp(tA),
tiene como diferencial
α0 (t) =
X k≥1
Por lo tanto
α
tk−1 Ak = exp(tA)A = Aexp(tA). (k − 1)!
satisface la anterior ecuación diferencial con condición inicial
Observe también que cuando los valores
s, t, (s + t) ∈ ha, bi,
α(0) = I.
se cumple
α(s + t) = exp((s + t)A) = exp(sA)exp(tA) = α(s)α(t). En consecuencia, haciendo Una
solución
de
la
s + t = 0,
ecuación
se deduce que
diferencial
α(t)
sujeta
a
es siempre invertible con la
condición
inicial
α(t)−1 = α(−t).
α(0)
=
C
es
α(t) = Cexp(tA).
Unicidad de solución: Supongamos que β con β(0) = C es una solución de la ecuación diferencial. Entonces
γ(t) := β(t)exp(−tA) γ 0 (t)
Entonces
γ(t)
C
=
d exp(−tA) dt 0 β (t)exp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
=
β(t)Aexp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
=
0.
β 0 (t)exp(−tA) + β(t)
=
es una función constante para todo
β(0)exp(0A) = β(0) = C. Si
satisface
Así pues,
es invertible entonces
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t ∈ ha, bi
β(t) = Cexp(tA)
Cexp(tA)
con
γ(t) = γ(0) = C ,
es la única solución sujeta a
también es invertible para todo
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t ∈ ha, bi.
ya que
γ(0) =
β(0) = C.
2
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0.2.4.
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39
Resultados Útiles de la Matriz Exponencial
En esta sección se exponen algunos resultados de la función exponencial en versión matricial, que sera útil en la obtención de algebras de Lie y en algunas demostraciones posteriores.
2.14 Lema. Sea α : (a, b) −→ Mn (R) una curva diferenciable en Mn (R) con α(0) = I. Entonces d detα(t) = trα0 (0). dt |t=0 Demostración. Sea
A ∈ Mn (K)
(2,1)
y la traza
n X
trA =
aii .
i=1 Usando el operador
∂=
d
dt t=0 que tiene la propiedad de derivación
∂(γ1 γ2 ) = (∂γ1 )γ2 (0) + γ1 (0)(∂γ2 ). Para
aij (t) = α(t)ij ,
evaluando en
t=0 aij (0) = δij .
Escribimos con de la matriz
Cij ,
α(t).
la matriz cofactor, obtenida suprimiendo la i-ésima la y la j-ésima columna
Luego la determinante de
detα(t) =
α(t)
usando la n-ésima la es
n X (−1)n+j anj (t)detCnj (t) j=1
entonces
∂detα(t)
=
n X (−1)n+j {(∂anj )detCnj (0) + anj (0)(∂detCnj )}
=
n X (−1)n+j (∂anj )detCnj + (∂detCnn ).
j=1
j=1 Para
t = 0, detCnj (0) = δjn
ya que
α(0) = In ,
lo que implica
∂det(α(t)) = ∂ann + ∂detCnn . Se repite el calculo para la matriz
Cnn
de orden
(n − 1) × (n − 1),
matriz obtenida suprimiendo la
n-ésima la y n-ésima columna, luego tenemos que
∂det(α(t))
= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂detC(n−1)(n−1) . . .
= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂a(n−2)(n−2) + · · · + ∂a22 + ∂a11 = trα0 (0)
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40
2
2.15 Lema. Para A ∈ Mn (C) tenemos det exp(A) = etrA . Demostración. Haciendo
Usando ecuaciones diferenciales
C× := C − {0} = GL1 (C),
considérese la curva
γ : R −→ GL1 (C) = C× ; La curva
γ
(2,2)
γ(t) = det exp(tA).
satisface la ecuación diferencial con condición inicial,
(
γ 0 (t)
=
γ(t)trA
γ(0)
=
1,
(2,3)
En efecto:
γ 0 (t)
det exp((t + h)A) − det exp(tA) h det exp((t)A)exp(hA) − det exp(tA) lı́m h→0 h det exp(hA) − 1 det exp(tA) lı́m h→0 h d det exp(tA) por lema det exp(tA) dt |t=0 det exp(tA)trA
=
lı́m
h→0
= = = =
2.14 para
t → exp(tA)
= γ(t)tr(A). También satisface la condición inicial
Por otro lado la curva
t 7−→ ettrA
γ(0) = det exp(0A) = det(I) = 1. también satisface la ecuación diferencial (2.3), por lo tan-
to utilizando la unicidad de solución de una ecuación diferencial, teorema 2.13, obtenemos que
2
γ(t) = det exp(tA) = et trA . 0 < r ≤ 1/2 < ln(2) exp(A)exp(B) ∈ exp NMn (R) (0, ln 2) .
La proposición 2.10 nos permite escoger un si
A, B ∈ NMn (R) (0, r)
Puesto que un único
exp
entonces
es inyectiva sobre
C ∈ Mn (R)
r ∈ R
NMn (R) (0, ln 2)
con
por la proposión 2.10, luego se sigue que existe
tal que
exp(A)exp(B) = exp(C). Utilizando la fórmula de Campbell-Hausdor se puede expresar
A, B
y
[A, B]
de tal forma que
(2,4) C
como una serie de potencias en
de la forma siguiente
1 C = A + B + [A, B] + S 2
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Huamaní Castro, Newton
donde
[A, B] := AB − BA
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3×3
(es el conmutador o corchete de Lie en
41
Mn (R))
que
exp(A)exp(B) = exp(C).
C
y
en
Mn (R)
con norma menor que
S
1/2
tal
Entonces si
1 C = A + B + [A, B] + S, 2 la matriz
S ∈ Mn (R)
cte(kAk + kBk)cte .
es el resto que tiene una norma delimitada por una expresión de la forma
2.16 Proposición. Supongamos las matrices A, B
y la matriz
(2,5)
satisface
kSk ≤ 65(kAk + kBk)3 . Demostración. Para
X ∈ Mn (R)
kXk ≤ 1
cualquiera con
se tiene
exp(X) = I + X + R1 (X), donde
R1 (X)
es el resto de terminos dada por
R1 (X) =
X 1 Xk. k!
k≥2 Entonces,
kR1 (X)k ≤ kXk2
X 1 kXkk−2 , k!
k≥2 y como
kXk ≤ 1,
X 1 = kXk2 (e − 2) < kXk2 . kR1 (X)k ≤ kXk2 k! k≥2
Asi pues, en particular para
kCk <
1 2 se tiene
kR1 (C)k ≤ kCk2
y
Por otro lado, usando (2.5) y el desarrollo de
exp(C) = I + C + R1 (C). exp(A)exp(B)
se tiene
exp(C) = exp(A)exp(B) = I + A + B + R1 (A, B), donde
X 1 R1 (A, B) = k! k≥2
aplicando
kk
k X r=0
k! Ar B k−r r!(k − r)!
!
tenemos
kR1 (A, B)k
≤
X 1 k!
k≥2
=
r=0
k! kAkr kBkk−r r!(k − r)!
!
X (kAk + kBk)k k≥2
=
k X
k!
(kAk + kBk)2
X (kAk + kBk)k−2 k≥2
k!
< (kAk + kBk)2
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puesto que
Grupos Matriciales y Heisenberg
(kAk + kBk) < 1,
debido a que
Combinando estas dos maneras de escribir
kAk + kBk < exp(C)
1 2
+
3×3
1 2
<1
42
.
se tiene
C = A + B + R1 (A, B) − R1 (C)
(2,6)
Luego tenemos
kCk
≤
kAk + kBk + kR1 (A, B)k + kR1 (C)k
<
kAk + kBk + (kAk + kBk) + kCk2 1 2 (kAk + kBk) + kCk2 , 2
≤ ya que
2
1 2 . Finalmente de estos se sigue
kAk, kBk, kCk <
kCk ≤ 4 (kAk + kBk) . De la ecuación
(2,6)
también tenemos
kC − A − Bk
≤
kR1 (A, B)k + kR1 (C)k 2
2
≤ (kAk + kBk) + (4(kAk + kBk)) , o sea
2
kC − A − Bk ≤ 17 (kAk + kBk) .
Ahora vamos a re nar aún más estas estimaciones. Escribiendo
1 exp(C) = I + C + C 2 + R2 (C), 2 donde
R2 (C) =
X 1 Ck. k!
k≥3 la estimación se ajusta aun más
kR2 (C)k ≤ ya que
kCk <
1 2
1 kCk3 3
< 1.
Usando la ecuación
(2,5)
obtenemos
exp(C)
= = =
1 1 I + A + B + [A, B] + S + C 2 + R2 (C) 2 2 1 1 I + A + B + [A, B] + (A + B)2 + T 2 2 1 2 I + A + B + (A + 2AB + B 2 ) + T, 2
donde
T =S+
(2,7)
1 C 2 − (A + B)2 + R2 (C). 2
Por otro lado tenemos
exp(A)exp(B) = I + A + B +
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1 2 A + 2AB + B 2 + R2 (A, B) 2
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(2,8)
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donde
X 1 R2 (A, B) = k! k≥3
k X r=0
3×3
k! Ar B k−r r!(k − r)!
43
! ,
que satisface
kR2 (A, B)k ≤ ya que
1 3 (kAk + kBk) 3
kAk + kBk < 1.
Comparando las ecuaciones (2.7) y (2.8) y usando
S = R2 (A, B) +
exp(A)exp(B) = exp(C)
tenemos que
1 (A + B)2 − C 2 − R2 (C). 2
Tomando normas tenemos
kSk
1 kR2 (A, B)k + k(A + B)(A + B − C) + (A + B − C)Ck + kR2 (C)k 2 1 1 1 3 ≤ (kAk + kBk) + (kAk + kBk + kCk)kA + B − Ck + kCk3 3 2 3 5 1 1 3 2 (kAk + kBk) + (kAk + kBk) · 17(kAk + kBk) + (4kAk + kBk)3 ≤ 3 2 3 ≤ 65(kAk + kBk)3 ,
≤
Por tanto la estimación obtenida es
kSk ≤ 65(kAk + kBk)3 .
(2,9)
2.17 Teorema. Para A, B ∈ Mn (R) se tiene las siguientes formulas. Fórmula del Producto Trotter: r
exp(A + B) = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)} . r→∞
Fórmula del Conmutador: r2
exp[A, B] = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)exp(−(1/r)A)exp(−(1/r)B)} . r→∞
Demostración.
Demostración de la Fórmula del Producto Trotter Haciendo
exp(C)
r lo su cientemente grande tomamos U = 1r A y V = 1r B y reemplazando en exp(U )exp(V ) =
se tiene
1 1 exp( A)exp( B) = exp(Cr ) r r donde
Haciendo
(2,10)
1 17(kAk + kBk)2 kCr − (A + B)k ≤ . r r2 r −→ ∞
en
krCr − (A + B)k ≤
17(kAk+kBk)2 se tiene r
krCr − (A + B)k =
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17(kAk + kBk)2 −→ 0. r
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Por tanto
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44
rCr −→ (A + B). Como exp(rCr ) = exp(Cr )r , y exp es continua en su dominio, entonces
se obtiene
r
exp(A + B) = lı́m {exp((1/r)A)exp((1/r)B)} . r→∞
Demostración de la Fórmula del conmutador. exp( 1r A)exp( 1r B) = exp(Cr ),
De
Cr =
se tiene
1 1 (A + B) + 2 [A, B] + Sr r 2r
Similarmente, reemplazando
A, B
con
kSr k ≤ 65
donde
−A, −B
en
(2,10)
(kAk + kBk)3 . r3
se obtiene
exp((−1/r)A)exp((−1/r)B) = exp(Cr0 ), donde
−1 r (A
Cr0 =
+ B) +
1 2r 2 [A, B]
3
+ Sr0
y
kSr0 k ≤ 65 (kAk+kBk) . r3
Multiplicando estos resultados se obtiene
1 1 1 1 exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) = exp(Cr )exp(Cr0 ) = exp(Er ), r r r r donde
1 1 1 Er = Cr + Cr0 + [Cr , Cr0 ] + Tr = 2 [A, B] + [Cr , Cr0 ] + Sr + Sr0 + Tr . 2 r 2 Aquí
Tr
(2,11)
es el resto, proposición 2.16.
Haciendo los cálculos se tiene,
[Cr , Cr0 ]
= =
Puesto que
1 1 −1 1 [ (A + B) + 2 [A, B] + Sr , (A + B) + 2 [A, B] + Sr0 ] r 2r r 2r 1 1 1 [A + B, [A, B]] + [A + B, Sr + Sr0 ] + 2 [[A, B], Sr0 − Sr ] + [Sr , Sr0 ]. r3 r 2r
r ≥ 1, kSr k ≤
cte r3 ,
kSr0 k ≤
cte r 3 entonces
1 [A + B, [A, B]] ≤ 1 2kA + Bkk[A, B]k ≤ 4 = cte ; r3 r3 r3 r3 1 [A + B, Sr + Sr0 ] ≤ 1 2kA + BkkSr + Sr0 k ≤ 2kSr + Sr0 k ≤ 2 cte + cte = cte ; r r r3 r3 r3 1 1 cte cte cte 1 0 0 0 2r2 [[A, B], Sr − Sr ] ≤ 2r2 2k[A, B]kkSr − Sr k ≤ r2 (kSr k + kSr k) ≤ r3 + r3 = r3 ; por último
cte k[Sr , Sr0 ]k ≤ 2kSr kkSr0 k ≤ 2 cte r3 · r3 ≤
por una expresión de la forma De
Er −
1 r 2 [A, B]
cte r 3 . Entonces
[Cr , Cr0 ] tiene una norma delimitada
.
1 0 2 [Cr , Cr ] + Sr
+ Sr0 + Tr
cte r 3 . Luego se deduce 3 tiene una norma delimitada por una expresión de la forma (constante)/r .
(2,11) tenemos Er −
que
(constante)/r
1 r 2 [A, B]
3
=
y además
kTr k ≤
Consideremos
Qr = r2 Er − [A, B].
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45
Luego aplicando norma
kQr k = kr2 Er − [A, B]k = |r2 |kEr − Haciendo
r −→ ∞
se tiene
kQr k ≤ o sea,
exp
Qr −→ 0.
Como
(constante) −→ 0, r
r2 Er = [A, B] + Qr
es continuidad y haciendo
r −→ 0,
1 (constante) [A, B]k ≤ |r2 | r2 r3
entonces
exp(r2 Er ) = exp([A, B] + Qr ).
Puesto que
se sigue
2
exp(Er )r = exp([A, B] + Qr ) −→ exp([A, B]). Puesto que
exp(Er ) = exp( 1r A)exp( 1r B)exp(− 1r A)exp(− 1r B) exp([A, B]) = lı́m
r→∞
entonces
r 2 1 1 1 1 exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) . r r r r
2
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0.3. Álgebra de Lie, Homomor smo de Álgebras de Lie y Variedad Empezamos con la linealización de grupo matricial inversible mediante su espacio tangente en la identidad la misma se considerará como su álgebra de Lie y como ejemplo de aplicación obtenemos el álgebra de Lie de los grupos representativos capitulo reside en que la
derivada
GLn (K)
y
SLn (K).
La importancia del
de un homomor smo de subgrupos matriciales de
GLn (K)
es
un homomor smo de álgebras de Lie con lo que daremos por nalizado la presentación del grupo matricial inversible. Finalmente, introducimos ideas básicas de variedad suave, que servirá para demostrar la hipótesis en el siguiente capítulo. Este capítulo se respalda en los libros Spivak Baker
[7]
y
[8].
0.3.1.
Álgebra de Lie
3.1 De nición. Un álgebra de Lie sobre K es un espacio vectorial sobre K, a, equipado con una aplicación bilineal sobre K, [ , ] : a × a −→ a llamado el corchete de Lie o producto de Lie que para x, y, z ∈ a satisface las siguientes propiedades: i) La antisimetría
[x, y] = −[y, x],
ii) La identidad de Jacobi
y
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
3.1 Ejemplo. Sea K = R, a = R3 y el producto cruz, [x, y] = x × y como producto de Lie. Por consiguiente
R3
para
es un álgebra de Lie sobre
Efectivamente. i) El
R3
es espacio vectorial sobre
x, y ∈ a ,
R. 46
R
con el producto cruz.
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47
ii) La aplicación producto cruz tomada como su corchete de Lie es efectivamente una aplicación
bilineal, ya que, para
x, y, z ∈ R3
y
λ∈R
se tiene
[x, y + λz] = x × (y + λz) = x × y + λ(x × z) = [x, y] + λ[x, z]; [x + λy, z] = (x + λy) × z = x × z + λy × z = [x × z] + λ[y, z]. iii) Además, el producto cruz
x, y ∈ R3
es antisimétrica, pues, para
se tiene
satisface la identidad de Jacobi, ya que, para
[x, y] = x × y = −y × x = [y, x]; x, y, z ∈ R3
se cumple
x × (y × z) + z × (x × y) + y × (z × x) = 0. Dados dos matrices
A, B ∈ Mn (K),
se dice
conmutador de Mn (K) a la matriz
[A, B] := AB − BA.
3.2 Proposición.
El conjunto de matrices de orden
Mn (K) × Mn (K) −→ Mn (K) de Lie sobre
dada por
n × n, Mn (K),
[A, B] = AB − BA
con la aplicación
[, ] :
como su corchete de Lie es un álgebra
K.
Demostración. i) El
Mn (K)
es espacio vectorial sobre
ii) El conmutador
α∈K
[A, B] = AB − BA
K
es una aplicación bilineal. Pues para
A, B, C ∈ Mn (K)
y
se tiene
[A, B + αC]
= A(B + αC) − (B + αC)A = {AB − BA} + α{AC − CA}
[B + αC, A]
=
[A, B] + α[A, C],
=
(B + αC)A − A(B + αC)
= {BA − AB} + α{CA − AC} =
[B, A] + α[C, A].
iii) El conmutador satisface la propiedad de antisimetria y la identidad de Jacobi
Para
A, B ∈ Mn (K),
[A, B] = AB − BA = −(BA − AB) = −[B, A];
Para
A, B, C ∈ Mn (K)
tenemos que
[A, [B, C]]
[B, [C, A]]
= A[B, C] − [B, C]A =
A(BC − CB) − (BC − CB)A
=
ABC − ACB − BCA + CBA;
· · · (θ)
= B[C, A] − [C, A]B = B(CA − AC) − (CA − AC)B = BCA − BAC − CAB + ACB
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· · · (α) y Monografía
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[C, [A, B]]
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48
= C[A, B] − [A, B]C = C(AB − BA) − (AB − BA)C = CAB − CBA − ABC + BAC.
Sumando las ecuaciones
(θ), (α)
y
(ρ)
· · · (ρ)
se obtiene la identidad de Jacobi,
2
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0
Recuerde si
A, B
que
A, B ∈ Mn (K)
conmutan si y sólo si
AB = BA.
Entonces
conmutan. Por lo tanto la estructura de álgebra de Lie de
Mn (K)
[A, B] = 0n
si y sólo
permite saber en que
medida falla la conmutatividad de matrices.
0.3.2. Homomor smo de Álgebras de Lie y Espacio Tangente sobre Subgrupo Matricial de GLn (K) En esta sección
G
representará un grupo matricial inversible sobre
K
mientras no se indique lo
contrario. Se linealiza el grupo matricial inversible mediante su espacio tangente en la identidad la misma que se considera como su álgebra de Lie.
3.3 De nición. Sean g, h álgebras de Lie sobre K. Una transformación lineal sobre K, Φ : g −→ h, es un homomor smo de algebras de Lie si para todo x, y ∈ g Φ([x, y]g ) = [Φ(x), Φ(y)]h . Es decir,
Φ
preserva corchete de Lie.
3.4 De nición. Una curva diferenciable en G es una función α : ha, bi −→ G ⊆ Mn (K) para la cual la derivada A menudo tomaremos Sea
A ∈ Mn (R).
α0 (t)
existe para cada
a, b ∈ R
tal que
La aplicación
diferenciable sobre
GLn (R).
α : h−1, 1i −→ GLn (R)
En efecto, para
α0 (t)
t ∈ ha, bi.
a < 0 < b. t ∈ h−1, 1i
dada por
α(t) = exp(tA)
es una curva
se tiene
exp((t + h)A) − exp(tA) h (∞ ) X hk−1 In k = lı́m (hA) − exp(tA) h−→0 k! h =
lı́m
h−→0
k=0
In h h2 In = lı́m + A + A2 + A3 + · · · − h−→0 h 2! 3! h = Aexp(tA).
3.5 De nición. El espacio tangente de G en U TU G = {α0 (0) ∈ Mn (K) : α Matemática Universitaria
∈G
exp(tA)
es
es una curva diferenciable con
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α(0) = U }. Monografía
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49
3.6 Proposición. TU G es un subespacio vectorial real de Mn (R). Demostración. Supongamos que
TU G.
Sea
γ
α, β
son curvas diferenciables en
G
con
α(0) = β(0) = U ,
es decir,
α0 (0), β 0 (0) ∈
una curva diferenciable de nida por
γ : domα ∩ domβ −→ G; Veamos que la curva
i) γ
esta bien de nida y
i) Como los dominios de
para cada
αyβ
ii)
es diferenciable con
son vecindades de
t ∈ domα ∩ domβ
tenemos
γ(t) = α(t)U −1 β(t). iii) γ(0) = U :
0 entonces la intersección es no vacía. Además
α(t)U −1 β(t) ∈ G.
ii) Es diferenciable pues es el producto de funciones diferenciables, así
γ 0 (t) = α0 (t)U −1 β(t) + α(t)U −1 β 0 (t). iii)
γ(0) = α(0)U −1 β(0) = U U −1 U = U.
Entonces
γ 0 (0)
está en
TU G.
=
α0 (0)U −1 U + U U −1 β 0 (0)
=
α0 (0) + β 0 (0)
Así concluimos que la suma de dos elementos del espacio tangente de
es un elemento de
TU G.
Similarmente, sea
0 6= r ∈ R
α(0) = U ,
= α0 (0)U −1 β(0) + α(0)U −1 β 0 (0)
entonces se de ne
una curva diferenciable en obtenemos que
TU G
G
y
en
U , TU G,
α : ha, bi → G (a < 0 < b)
γ : h−δ, δi con
G
γ(0) =
una curva diferenciable en G con |a| |b| → G (δ = mı́n{ |r| , |r| } ) dada por γ(t) = α(rt) que es α(0) = U, entonces γ 0 (0) = rα0 (0) está en TU G. De aquí
2
es cerrado bajo el producto escalar real.
3.7 De nición. Sea G un grupo matricial inversible sobre K y I ∈ G es la matriz identidad. i) La
dimensión real de un grupo matricial inversible G sobre R es la dimensión de su espacio
tangente en
I, dimR G = dimR TI G.
ii) La
dimensión compleja de un grupo matricial inversible G sobre C es la dimensión de su
espacio tangente en la identidad
I, dimC G = dimC TI G.
Recuerde una matriz compleja de orden
2n × 2n, iii) La
n × n puede ser vista como una matriz real de orden
por lo que se de ne
dimensión real de un grupo matricial inversible G sobre C es el doble de la dimensión
de su espacio tangente en la identidad
I,
dimR G = 2dimC TI G.
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Se usará la notación
Sea
a
a
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g = TI G
para este subespacio vectorial de
un álgebra de Lie sobre
K
con corchete de Lie
[, ]
50
Mn (K), K = R
o
C.
entonces un subespacio vectorial
b
de
subálgebra de Lie de a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b
es una
[x, y] ∈ b.
implica
El espacio vectorial
g
tiene estructura de álgebra de Lie como se muestra en la siguiente pro-
posición.
3.8 Proposición. Si G es un grupo matricial inversible sobre R, entonces g es subálgebra de Lie real de
Mn (R).
Demostración. Deseamos demostrar que si
α
y
β
son curvas diferenciables en
G
con
α(0) = β(0) = I
entonces
[α0 (0), β 0 (0)] ∈ g. Considérese la función
F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .
F : domα × domβ −→ G; F
satisface la condición de continuidad, porque, si
tivamente con
sn −→ s
y
tn −→ t
sn
y tn son sucesiones en
domα
y
domβ
respec-
entonces
lı́m α(sn )β(tn )α(sn )−1 = α(s)β(t)α(s)−1 .
n→∞ Además,
F
es diferenciable con respecto a cada una de las variables
∂ (F (s, t)) ∂t ∂ (F (s, t)) ∂s
s, t.
= α(s)β 0 (t)α(s)−1 , = α0 (s)β(t)α(s)−1 − α(s)β(t)α(s)−1 α0 (s)α(s)−1 ,
puesto que para matrices se cumple
d −1 ) ds (α(s) Entonces para cada con
F (s, 0) = I .
s ∈ domα,
la función
= −α(s)−1 α0 (s)α(s)−1 . F (s, ) : domβ −→ G
es una curva diferenciable en
G
Diferenciando
dF (s,t) dt |t=0
= α(s)β 0 (0)α(s)−1 ,
tenemos que
α(s)β 0 (0)α(s)−1 ∈ g. En espacios normados de dimensión nita se cumple que dada un espacio vectorial normado de dimensión nita sobre En efecto, como
W
K.
Entonces todo subespacio
g
es un subconjunto cerrado en
V.
es un subespacio normado de dimensión nita entonces es de Banach lo que
implica que es completo y por tanto Como
W ⊆V
V
W
es un subespacio vectorial de
es cerrado.
Mn (K)
entonces es cerrado. Así, el siguiente límite está en
g, 1 d lı́m {α(s)β 0 (0)α(s)−1 − β 0 (0)} = {α(s)β 0 (0)α(s)−1 } ∈ g. s ds |s=0
s→0
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además
d {α(s)β 0 (0)α(s)−1 } ds |s=0
[α0 (0), β 0 (0)] ∈ g. para cualesquier α y β
=
α0 (0)β 0 (0)α(0)−1 − α(0)β 0 (0)α(0)−1 α0 (0)α(0)−1
=
α0 (0)β 0 (0)α(0)−1 − α(0)β 0 (0)α0 (0)
=
α0 (0)β 0 (0) − β 0 (0)α0 (0)
=
[α0 (0), β 0 (0)].
2
Esto muestra que En resumen,
curvas diferenciables en
∂ [α (0), β (0)] = ∂s |s=0 0
donde Para
0
G
con
α(0) = β(0) = I
se tiene
∂ F (s, t) ∂t |t=0
F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .
cada grupo matricial inversible, G, existe su álgebra de Lie el espacio tangente en la
unidad,
g = TI G.
3.9 De nición. G −→ H
Sean
G ⊆ GLn (K), H ⊆ GLn (K)
una función continua. Decimos que
ϕ
grupos matriciales inversibles sobre
es una función
diferenciable
K
y
ϕ:
si satisface las
siguientes condiciones:
Figura 1: La extensión de función diferenciable.
i) para toda curva diferencial
γ : ha, bi −→ G,
la curva
ϕ ◦ γ : ha, bi −→ H
es diferenciable con
derivada
(ϕ ◦ γ)0 (t) := ii) si dos curvas
α, β : ha, bi −→ G,
satisfacen
d dt ϕ(γ(t));
α(0) = β(0),
α0 (0) = β 0 (0),
entonces debe
cumplirse que:
(ϕ ◦ α)0 (0) = (ϕ ◦ β)0 (0).
función diferenciable ϕ : G −→ H que también es un homomor smo de grupos, ϕ(AB) = es llamada un homomor smo diferenciable. 3.10 Proposición. Sean G, H, K grupos matriciales inversibles sobre K con
Una
ϕ(A)ϕ(B),
ϕ : G −→ H
y
θ : H −→ K
homomor smos diferenciables. Entonces las siguientes a rmacio-
nes son verdaderas:
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i) Para cada
A∈G
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existe una transformación lineal real,
dϕA : TA G −→ γ 0 (0) donde
γ : ha, bi −→ G
7−→
3×3
dϕA ,
52
dada por
Tϕ(A) H (ϕ ◦ γ)0 (0),
es una curva diferenciable en
G
con
γ(0) = A.
dθϕ(A) ◦ dϕA = d(θ ◦ ϕ)A .
ii) Tenemos que
IdG : G −→ G
iii) Para la función identidad
y
A ∈ G,
d(IdG )A = IdTA G .
Demostración. i) Sea
γ : ha, bi −→ G una curva diferenciable en G con γ(0) = A. Tenemos que ϕ ◦ γ : ha, bi −→ H
es una curva diferenciable en
H
siempre que
ϕ
es diferenciable y
ϕ ◦ γ(0) = ϕ(γ(0)) = ϕ(A).
Así,
(ϕ ◦ γ)0 (0) = dϕA (γ 0 (0)) ∈ Tϕ(A) H. Sean
α : domα −→ G, β : domβ −→ G curvas diferenciables cualesquiera en G con α(0) = β(0) = A
y
γ(t) = α(t)A−1 β(t),
γ : domα ∩ domβ −→ G; como en la proposición 3.6 tal que
dϕA (α0 (0) + β 0 (0))
α0 (0) + β 0 (0) = γ 0 (0).
Entonces
= dϕA (γ 0 (0)) =
(ϕ ◦ γ)0 (0)
=
(ϕ ◦ (αA−1 β))0 (0)
=
((ϕ ◦ α)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β))0 (0)
=
(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β)(0) + (ϕ ◦ α)(0)(ϕ(A−1 ))(ϕ ◦ β)0 (0)
=
(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ(A)−1 )ϕ(A) + ϕ(A)ϕ(A)−1 (ϕ ◦ β)0 (0)
=
(ϕ ◦ α)0 (0) + (ϕ ◦ β)0 (0)
= dϕA (α0 (0)) + dϕA (β 0 (0)). Sea
α una curva diferenciable en G con α(0) = A, r ∈ R y γ(t) = α(rt) como en la proposición 3.6.
Sea
µr : R −→ R
la función diferenciable tal que
(ϕ ◦ γ)0 (0)
µr (t) := rt.
Así,
γ = α ◦ µr .
=
(ϕ ◦ α ◦ µr )0 (0)
=
(ϕ ◦ α)0 (µr (0)) · µ0r (0)
Entonces
= r · (ϕ ◦ α)0 (0). Por lo tanto
dϕA (rα0 (0)) = dϕA (γ 0 (0)) = rdϕA (α0 (0)).
Con esto se ha probado que la derivada
es una función lineal.
ii) Sea
γ : ha, bi −→ G
una curva diferenciable en
G
con
γ(0) = A.
Entonces
d(θ ◦ ϕ)A (γ 0 (0)) = (θ ◦ ϕ ◦ γ)0 (0) = (θ ◦ ϕ) e 0 (0) para
ϕ e = (ϕ ◦ γ) : ha, bi −→ H
una curva diferenciable en
· · · ( ) H
y
ϕ(0) e = ϕ(A)
por lo tanto
0
ϕ e (0) ∈ Tϕ(A) H. Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
(θ ◦ ϕ) e : ha, bi −→ K
Grupos Matriciales y Heisenberg
es una curva diferenciable en
K
y
3×3
53
(θ ◦ ϕ)(0) e = θ(ϕ(A))
por lo tanto
0
(θ ◦ ϕ) e (0) ∈ Tθ(ϕ(A)) K. Retomando la ecuación
( )
tenemos que
(θ ◦ ϕ) e 0 (0)
= dθϕ(A) (ϕ e0 (0)) = dθϕ(A) (dϕA (γ 0 (0))) =
dθϕ(A) ◦ dϕA = d(θ ◦ ϕ)A .
Entonces iii) Sea Como
(dθϕ(A) ◦ dϕA )(γ 0 (0)).
A∈G
γ : ha, bi −→ G
y
IdG : G −→ G
diferenciable en
G
una curva diferenciable en
es un homomor smo de grupos y
por lo tanto
IdG
G
con
γ(0) = A.
(IdG ◦ γ) = γ : ha, bi −→ G
es una curva
es un homomor smo diferenciable entonces
d(IdG )A (γ 0 (0)) = (IdG ◦ γ)0 (0) = γ 0 (0) por lo tanto
Si
2
d(IdG )A = IdTA G .
ϕ : G −→ H
es un homomor smo diferenciable entonces
formación lineal llamada
dϕI : TI G −→ TI H
es una trans-
la derivada de ϕ y usualmente denotada dϕ : g −→ h.
derivada de un homomor smo diferenciable entre grupos matriciales inversibles es una transformación lineal que preserva el corchete o producto de Lie. Como En consecuencia la
veremos a continuación.
3.11 Teorema. Sean
G, H
grupos matriciales inversibles sobre
Entonces la derivada
dϕ : g −→ h
K
y
ϕ : G −→ H
un homomor smo diferenciable.
es un homomor smo de álgebras de Lie.
Demostración. Nos resta ver si la derivada de
ϕ, dϕ,
respeta el producto de Lie, es decir,
dϕ[α0 (0), β 0 (0)]g = [dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))]h , para
α, β
curvas diferenciables en
G
con
α(0) = β(0) = I.
Como en el proposición 3.8 tomamos
F : domα × domβ −→ G;
Matemática Universitaria
F (s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 .
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Sabemos que
ϕ(I) = I
y
∂ ∂s |s=0
Grupos Matriciales y Heisenberg
∂ ∂t |t=0 F (s, t)
β(0) = α(0) = I.
= [α0 (0), β 0 (0)]
y además
3×3
54
(ϕ ◦ α)(0)−1 = (ϕ ◦ α)(0) = I
ya que
Entonces
∂ ∂ dϕ[α (0), β (0)] = ϕ(F (s, t)) ∂s |s=0 ∂t |t=0 ∂ ∂ −1 = ϕ(α(s))ϕ(β(t))ϕ(α(s)) ∂s |s=0 ∂t |t=0 ∂ = ϕ(α(s))(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ(α(s))−1 ∂s |s=0 = (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 d +(ϕ ◦ α)(0)(ϕ ◦ β)0 (0) (ϕ(α(s))−1 ) ds |s=0 = (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 0
0
−(ϕ ◦ α)(0)(ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1 (ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ α)(0)−1
0.3.3.
=
(ϕ ◦ α)0 (0)(ϕ ◦ β)0 (0) − (ϕ ◦ β)0 (0)(ϕ ◦ α)0 (0)
=
[(ϕ ◦ α)0 (0), (ϕ ◦ β)0 (0)]
=
[dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))].
2
Álgebra de Lie de GLn (K) y SLn (K)
En esta sección se determina el álgebra de Lie del conjunto de matrices inversibles, del
conjunto
de
matrices
cuya
determinante
es
GLn (K),
SLn (K),
uno,
que
y
son
conjuntos representativos de este trabajo ya que se prestan para describir las propiedades de
Mn (R)
y para ver la relación entre un grupo de matrices y grupo de Lie.
3.12 Proposición (El álgebra de Lie de GLn (K) y de SLn (K)) El álgebra de Lie de GLn (R), gln (R), es Mn (R) es decir TI GLn (R) := gln (R) = Mn (R). Además, El
dimR GLn (R) = n2 .
álgebra de Lie de SLn (K), sln (R), es ker tr es decir TI SLn (R) := sln (R) = ker tr.
Además,
2
dimR SLn (R) = n − 1.
Demostración. i) Puesto que
gln (R) = {γ 0 (0) ∈ Mn (R) : γ tenemos que
es una curva diferenciable en
GLn (R)
con
γ(0) = I}
gln (R) ⊆ Mn (R).
Por otra parte para cada
A ∈ Mn (R)
y
>0
existe una curva diferenciable (que depende de
A) γ : h− , + i −→ Mn (R); γ
es una curva diferenciable con derivada
(que depende de
A)
γ(t) = I + tA
γ 0 (t) = A
para toda
t ∈ h− , i.
Necesitamos un
tal que
γ(h− , i) = Imγ ⊆ GLn (R). así,
γ
es una curva diferenciable en
GLn (R)
con
γ(0) = I
y por lo tanto
0
A = γ (0) ∈ gln (R) Si
A=0
la curva
γ
Matemática Universitaria
es constante con valor
I
y trivialmente tendremos que
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
55
A ∈ gln (R) Si
A 6= 0
sea
δ = máx {|λ|/ λ y tomo
>0
tal que
valor propio de
A} > 0
< 1δ .
Veamos si efectivamente supongamos que existe
Imγ ⊆ GLn (R).
t ∈ h− , i
tal que
0 = det(I − tA) = (−t)n det(A − 1t I) por lo tanto como
t 6= 0
entonces
1 |t|
≤δ
1 t es un valor propio de 1 ó δ ≤ |t| ≤
lo que nos genera una contradicción por tanto Así obtenemos que Por consiguiente ii) Sea
sln (R)
A
además
Imγ ⊆ GLn (R).
Mn (R) ⊆ gln (R).
Mn (R) = gln (R)
y
dimR GLn (R) = n2 .
el álgebra de Lie del conjunto de matrices cuya determinante es uno,
SLn (R).
SLn (R) := {A ∈ Mn (R) : detA = 1}. Si
γ : ha, bi −→ SLn (R)
t ∈ ha, bi
es una curva diferenciable en
SLn (R)
con
γ(0) = I
entonces para
tenemos que
d dt |t=0 detγ(t)
=
d dt |t=0 1
=0
luego por el lema 2.14, tenemos
trγ 0 (0) = 0 y por lo tanto
TI SLn (R) := sln (R) ⊆ ker tr ⊆ Mn (R). El recíproco de la inclusión anterior también es verdad. Sea
γ : ha, bi −→ GLn (R); una curva diferenciable con derivada,
0
γ (t) = Aγ(t),
A ∈ ker tr
y sea
γ(t) = exp(tA) que evaluada en cero es
A,
0
γ (0) = A. Veamos que
γ
toma valores en
SLn (R)
siempre que por el lema 2.15 tenemos
det exp(tA) = et trA = e0 = 1. Por otro lado
dim ker tr + dim Imtr = dim Mn (R).
Por consiguiente,
(
TI SLn (R) := sln (R) = ker tr ⊆ Mn (R), dimR SLn (R) = n2 − 1.
0.3.4.
Variedad Suave
El concepto de variedad es fundamental en muchas ramas de la matemática como de la física y viene de la generalización de conceptos de geometría. En esta última sección del capitulo de niremos los conceptos e ideas básicas de variedad suave ya que es una condición necesaria para que un grupo sea un grupo de Lie. Un grupo de Lie, que lo de niremos más edelante, es más que una variedad suave y que localmente tiene la topología del espacio Euclidiano (R
n
) lo que permite
desarrollar cálculo diferencial e integral en el grupo.
3.13 De nición.
Una función continua
es un subconjunto abierto de
Matemática Universitaria
R
mk
, es
f : V1 ⊆ Rm1 −→ V2 ⊆ Rm2
suave
si
f
,donde cada
Vk (k = 1, 2)
es in nitamente diferenciable. Una biyección
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
suave
f
es un
Ejemplo 3.2
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
56
difeomor smo si su inversa f −1 : V2 −→ V1 es suave. ui : Rn −→ R; ui (x1 , ..., xn ) = xi
Las funciones coordenadas
para
i = 1, ..., n
son
suaves. pero no son difeomor smo.
Sea
M
un espacio topológico Hausdor separable (contiene una base contable).
3.14 De nición. Una carta de dimensión m en p ∈ M , φ, es un homeomor smo de un abierto de
M
en un abierto de
Rm , φ : U ⊆ M −→ V ⊆ Rm .
sistema de coordenadas
Así, un
(µ1 ◦ φ, ..., µm ◦ φ)
φ
donde
de dimensión
µi : V ⊆ R V.
3.15 De nición.
y
U1 ∩ U2 6= ∅.
φ1 : U1 −→ V1
Se dice que
φ1
y
φ2
m
en
m
es una carta de dimensión
son las funciones proyección"natural en Sean
m
p ∈ M
en
p
es la m-tupla
(x1 , ..., xm ) =
y
−→ R
φ2 : U2 −→ V2
dos cartas de dimensión
m
en
M
con
relacionados si
están
φ2 ◦ φ−1 1 m es un difeomor smo en abiertos de R .
: φ1 (U1 ∩ U2 ) −→ φ2 (U1 ∩ U2 )
3.16 De nición. Una colección de cartas de dimensión m en M, A = {φα : Uα −→ Vα } es un
atlas de dimensión m en M S
si:
Uα = M ,
α∈I
∀α, β ∈ I
Uα ∩ Uβ 6= ∅
tal que
se tiene
φα
y
φβ
están relacionados.
3.17 De nición. Dos atlas de dimensión m en M , A1 y A2 , son compatibles si para cualesquiera dos cartas
φ1
y
φ2
φ1 ∈ A1
φ1 : U1 −→ V1
φ2 ∈ A2
φ2 : U2 −→ V2 , con U1 ∩ U2 6= ∅, −1 −1 decir, φ2 ◦ φ1 y φ2 ◦ φ 1 son difeomor smos.
están relacionados, es
y
3.18 De nición. Un atlas de dimensión m en M , A, es maximal si dado cualquier otro atlas de dimensión
m
en
M , A0 ,
compatible con
A
se tiene que
0
A ⊆ A. A rmamos que dado un atlas en
M , A,
que lo contiene,
A0
en cierto espacio topológico
M
siempre existe un atlas maximal
0
A ⊆ A.
3.19 De nición (Variedad Suave) La tupla (M, A), o simplemente M , es una variedad suave de dimensión
M
m
si
es un espacio topológico Hausdor separable.
A = {φα : Uα −→ Vα }
Matemática Universitaria
es un atlas de dimensión
m
1ra Edición
en
M
maximal.
Monografía
Huamaní Castro, Newton
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
57
3.3 Ejemplos de Variedad Suave. Rn
i) El espacio vectorial
tomando como atlas la identidad,
ARn = {identidad}.
R, V ,
espacios vectoriales normados de dimensión nita sobre
En general los
tomando como única carta el
isomor smo lineal (y por consiguiente homeomor smo) que hay entre
V
y
RdimV .
A un abierto en M e e ∩ A) tal φ : U ∩ A −→ φ(U
ii) Los abiertos de una variedad tienen estructura de variedad. Sea
variedad suave, si φ : U −→ V es una carta en M e φ(x) = φ(x) (x ∈ U ∩ A). Entonces, las cartas φe así es llamada una subvariedad abierta de iii) El espacio vectorial
isomorfo a iv) El grupo
K
n2
Mn (K)
es una variedad de dimensión
Mn (K)
(x, y.z) 7−→
y
y x 1−z , 1−z
(0, 0, 1)
las proyecciones estereográ cas de
y
θ : S2 − {(0, 0, −1)} −→ R2 (x, y, z) 7−→
(0, 0, −1)
φ
como
homeomor smo. Similarmente, se demuestra que
domθ
es
S2 − {(0, 0, 1), (0, 0, −1)} θ◦φ
−1
(x, y) =
θ
h : M −→ N
de
M
son continuas, por lo tanto,
φ
es un
es un homeomor smo. La intersección del
y
x y , 2 2 2 x + y x + y2
((x, y) ∈ R2 ) {φ, θ} es un atlas de dimensión 2 para
.
3.20 De nición. Sean M φ
y x 1+z , 1+z
respectivamente.
φ−1
es un difeomor smo, con inversa ella misma. Por tanto
que
es
Sean
2x 2y x2 + y 2 − 1 , , x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1
como se puede demostrar. Además, tanto
S
Mn (K)
es una biyección con inversa
φ−1 (x, y) =
2
ya que
ya que es abierto, proposición 1.17,
R3 , S2 := {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1}.
2 φ : S2 − {(0, 0, 1)} −→ R
y
n2 · dimR K
Mn (K).
v) La esfera ordinaria en
domφ
que
A. A
M.
es una subvariedad abierta de
en la variedad suave
φ
construidas forman un atlas para
.
GLn (R)
La función
tomo
una
y
θ
de
N
y
N
dos variedades suaves de dimensión
es una función la función
m y n respectivamente. Se dice
suave entre variedades si h es continua y para cada par de cartas
θ ◦ h ◦ φ−1
es suave según el dominio que les corresponda.
0.3.5. Espacio Tangente y Derivada en Variedad Suave En esta sección se de ne el espacio tangente en una variedad. Finalmente se enuncia el teorema de función implicita y el teorema de función inversa para variedades que serán de utilidad más adelante.
Sea
M
una variedad suave de dimensión
Matemática Universitaria
m
y
p
un elemento en
1ra Edición
M. Monografía
Huamaní Castro, Newton
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
58
p
Se de ne el conjunto de funciones suaves con dominio una vecindad de
F (M, p) := {f : U ⊆ M −→ R : Para
f, g ∈ F (M, p)
y
α∈R
x ∈ domf ∩ domg
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
para
f g ∈ F (M, p) por
(f g)(x) = f (x)g(x)
x ∈ domf ∩ domg
αf ∈ F (M, p) por
(αf )(x) = αf (x)
3.21 De nición. t : F (M, p) −→ R,
ii)
p ∈ U}
de nimos
f + g ∈ F (M, p) por
i)
f es suave y
como
Una
t
tangente
M
de
para
para
p
en
x ∈ domf
es
un
operador
real
de
F (M, p),
tal que satisface los siguientes axiomas:
t(af + bg) = at(f ) + bt(g)
(linealidad)
t(f g) = t(f )g(p) + f (p)t(g)
(regla de Leibniz)
El conjunto de las tangentes de
M
en
p
es llamado el
espacio tangente de M
en
p, Tp M ,
el cual
tiene estructura de espacio vectorial real.
+ : Tp M × Tp M
−→
Tp M
(t1 , t2 ) 7−→
. : R × Tp M
−→
Apostilla. t
Para función constante
tangente de
Resolución Sea
t
M
en
p.
αt
c∈R
(αt) := αt(f ). en una vecindad
Además, se tiene
una tangente de
M
(t1 + t2 )(f ) := t1 (f ) + t2 (f )
Tp M
(α, t) 7−→
toda
t1 + t2
en
U
p
de
se tiene que
c|U = 0, t(0|U ) = t(0|U + 0|U ) = t(0|U ) + t(0|U )
Si
c|U = 1|U , t(1|U ) = t(1|U · 1|U ) = t(1|U )1(p) + 1(p)t(1|U ) = 2t(1|U )
Si
c 6= 0, t(c|U ) = t(c1|U ) = ct(1|U ) = 0 a<0<b
y
para
p.
Si
En lo que sigue se considera
t(c|U ) = 0,
t(c) = 0.
entonces
t(0|U ) = 0. entonces
t(1|U ) = 0.
2
γ : ha, bi −→ U
donde
U ⊆ M.
3.22 De nición. Una curva suave en M , γ , es una función continua de un intervalo ha, bi sobre un abierto
U
de
M
tal que para cada carta
φ
de dimensión
m
en
M
con
domφ ∩ U 6= 0
tenemos
que
φ ◦ γ : γ −1 (domφ ∩ U ) −→ Rm
es suave.
Para probar que la curva es suave basta probar que la función extendida es suave para una carta cualquiera, como veremos acontinuación
3.23 Lema. Sea φ0 : U0 −→ V0 una carta de M
y supongamos a
φ0 ◦ γ : ha, bi ∩ γ −1 U0 −→ V0 una función suave. Entonces para cualquier carta de
φ ◦ γ : ha, bi ∩ γ es suave, es decir,
γ
es una curva suave en
Matemática Universitaria
−1
M, φ : U −→ V ,
U −→ V
M.
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
59
Demostración. Observemos que
φ ◦ γ = (φ ◦ φ−1 0 ) ◦ (φ0 ◦ γ) como en la ilustración del diagrama
Figura 2: La composición
Por lo tanto, como una curva
φ0 ◦ γ
y
γ : ha, bi −→ M
φ ◦ φ−1 0
φ ◦ γ = (φ ◦ φ−1 0 ) ◦ (φ0 ◦ γ)
son suaves, la composición
es suave si
φ◦γ
es suave para
φ
φ◦γ
es suave. Por consiguiente
una carta cualquiera en
M.
Además,
usando la regla de la cadena tenemos que
(φ ◦ γ)0 (t) = Dφ ◦ φ−1 0 ((φ0 ◦ γ)(t)).D((φ0 ◦ γ)(t)).
Sea
Cp
el
2
conjunto de curvas suaves de M , γ , tal que γ(0) = p, es decir Cp := {γ : γ
3.24 De nición.
es una curva suave en
Dos curvas en
Cp , γ
y
β,
son
M,
tal que
equivalentes,
verdad solo es necesario que se cumpla en una carta) con
0
γ(0) = p}
γ ∼ β,
p ∈ domφ
si para toda carta
φ
(en
se tiene que
0
(φ ◦ γ) (0) = (φ ◦ β) (0). La relación (pues,
”∼” 0
es de equivalencia ya que es re exiva (pues,
0
0
(φ ◦ γ)0 (0) = (φ ◦ γ)0 (0)),
0
simétrica
0
(φ◦γ) (0) = (φ◦β) (0) y (φ◦β) (0) = (φ◦γ) (0)) y transitiva (pues, (φ◦γ) (0) = (φ◦β)0 (0) =
(φ ◦ α)0 (0)). una curva suave en
M
derivada direccional de f
en
Sean
γ
y
s
un punto del dominio de
p = γ(s)
en la dirección
γ∗ (s) : F (M, p) −→ f La cual es una tangente de
Si
M
en
tal que
γ(s) = p.
Se de ne la
como
R γ∗ (s)(f ) = (f ◦ γ)0 (s).
p.
(x1 , ..., xm ) = (u1 ◦ φ, ..., um ◦ φ)
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7−→
γ
γ
es un sistema de coordenadas, un ejemplo de tangente en
1ra Edición
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Huamaní Castro, Newton
p∈M
es
Grupos Matriciales y Heisenberg
la derivada parcial de f
en
p
con respecto a
Dxi (p) : F (M, p) −→ 7−→
f
xi , Dxi (p),
60
de nido por
R ∂(f ◦ φ−1 ) (φ(p)). ∂ui
En consecuencia la derivada parcial de las coordenadas
Dxj (p)xi =
3×3
xi
(funciones suaves) es
∂(ui ◦ φ ◦ φ−1 ) ∂ui ∂(xi ◦ φ−1 ) (φ(p)) = (φ(p)) = (φ(p)) = δij . ∂uj ∂uj ∂uj
Supongamos
a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (f ) = 0 0 ∈ Tp M
una combinación lineal de la tangente cero,
F (M, p)
tenemos que
con
ai ∈ R.
[a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (p)](f ) = 0(f ) = 0.
Entonces para cualquier
En particular cuando
f ∈
f = xi
se
tiene
0 = [a1 Dx1 (p) + · · · + am Dxm (p)](xi ) = ai Dxi (p)xi = ai , así pues,
ai = 0,
Por lo tanto ,
3.25 Lema. m
F (R , a)
para
i = 1, m.
{Dxi (p)}1≤i≤m Si
es
linealmente independiente en Tp M .
m
f ∈ F (R , a), a = (a1 , ..., am ) ∈ Rm ,
entonces existen funciones
g1 , ..., gm ∈
tales que
f = f (a) +
X (uj − aj )gj j
gi (a) = Di (a)f .
en una vecindad de a. Además,
3.26 Proposición. Si (x1 , ..., xm ) = (u1 ◦ φ, ..., um ◦ φ) es un sistema de coordenadas en p ∈ M , t una tangente de
p,
entonces
t=
X
t(xi ) · Dxi (p).
i
Demostración. Sea existen
f ∈ F (M, p). Utilizamos el lema anterior para f ◦ φ−1 ∈ F (Rm , φ(p)), entonces
g1 , ..., gm ∈ F (Rm , φ(p))
tales que
f ◦ φ−1 = f ◦ φ−1 (φ(p)) +
X (uj − φ(p)j )gj j
en una vecindad de Por lo tanto, si
x
f (x)
φ(p)
y
Di (φ(p))(f ◦ φ−1 ) = gi (φ(p)).
está en una vecindad de
p
se tiene que
=
f ◦ φ−1 (φ(x))
=
f ◦ φ−1 (φ(p))(φ(x)) +
X {uj (φ(x)) − uj ◦ φ(p)(φ(x))}gi (φ(x)) j
=
f (p) +
X
{xj (x) − xj (p)}gj ◦ φ(x)
j
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Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
61
y
Dxi (p)f
∂(f ◦ φ−1 ) (φ(p)) ∂ui P ∂(f (p) + {uj − φ(p)j }gj )
=
j
=
(φ(p))
∂ui X
=
j
∂gj ∂uj (φ(p))gj (φ(p)) + {uj (φ(p)) − uj ◦ φ(p)} (φ(p)) ∂ui ∂ui
X ∂uj
=
∂ui
j
X
=
(φ(p))gj (φ(p))
δij gj (φ(p))
j
= gi ◦ φ(p) Entonces para
t
una tangente en
t(f )
= =
p
tenemos que
X t f (p) + {xj − xj (p)}gj ◦ φ j X t{(xj − xj (p))gj ◦ φ} j
=
X
t(xj )gj ◦ φ(p) + (xj (p) − xj (p))t(gj ◦ φ)
j
=
X
t(xj )Dxj (p)(f )
j
2
como se quería demostrar. Así,
{Dxi (p)}1≤i≤m
es una base para
Tp M .
Apostilla.
i) Se de ne que la dimensión de
M
es igual a la dimensión del espacio tangente de
ii) Existe un isomor smo natural entre
Dxi (p) ↔ ei ,
donde
ei
Tp M
es la base canonica de
y
R
RdimM dimM
una variedad suave y
Tp M = {γ∗ (0) : γ Demostración. Sea
.
t,
viene asociada una curva,
γ,
tal
y
t
una
t = Σi ai Dxi (p)
tangente
para algunos
abierto en
R
m
p
un elemento en
es un representante de
M
tenemos que
[γ] ∈ Cp / ∼}.
(x1 , ..., xm ) = (u1 ◦φ, ..., um ◦φ) un sistema de coordenadas de p ∈ M (φ : U −→
(x1 (p) + sa1 , ..., xm (p) + sam ) V
p, Tp M.
t = γ∗ (0).
3.27 Proposición. Para M
V)
en
como espacios vectoriales; tomando
La siguiente proposición nos mostrará que por cada tangente, que
M
. De nimos a
Matemática Universitaria
en
ai ∈ R.
p.
por
−1
>0
tal que
◦ g : h− , i −→ U
1ra Edición
el
teorema
g : R −→ R
m
anterior
como
g(s) :=
g(h− , i) ⊆ V (g = g|h− , i )
por ser
Construimos la función suave
entonces existe
γ := φ
Entonces
una curva suave en
M
con
γ(0) = p.
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Veamos que
γ∗ (0) = t,
Grupos Matriciales y Heisenberg
sea
3×3
62
f ∈ F (M, p).
γ∗ (0)(f )
=
(f ◦ γ)0 (0)
=
(f ◦ φ−1 ◦ g )0 (0)
=
D(f ◦ φ−1 )(g (0)).Dg (0)
=
(Dx1 (p)f, · · · , Dxm (p)f ).
=
X
a1
. . .
am ai Dxi (p)f
i
=
t(f ).
γ ∗ (0)
Finalmente veamos que cualquier
es una tangente. Sea
f, g ∈ F (M, p)
y
a, b ∈ R
luego se
tiene
γ∗ (0)(af + bg) = ((af + bg) ◦ γ)0 (0) = a(f ◦ γ)0 (0) + b(g ◦ γ)0 (0) = aγ∗ (0)f + bγ∗ (0)g;
y
γ∗ (0)(f g) = (f g ◦ γ)0 (0) = (f ◦ γ)0 (0)g(p) + f (p)(g ◦ γ)0 (0) = γ∗ (0)f g(p) + f (p)γ∗ (0)g.
2 Si
h : M −→ N
es una función suave entre variedades de nimos la
derivada
de
h
en
p
como
la aplicación lineal
dhp : Tp M −→ Th(p) N ; para
t
una tangente en
p
y
dhp (t)(f ) = t(f ◦ h),
f ∈ F (N, h(p)). dhp ,
Una de nición alternativa de
para curvas, es tomar
dhp (γ∗ (0)) := (h ◦ γ)∗ (0) donde sea
γ
es una curva suave en
f ∈ F (N, h(p)),
Cp . Estas de niciones coinciden si t = γ∗ (0), para alguna γ ∈ Cp / ∼;
entonces
dhp (t)(f )
=
t(f ◦ h)
=
γ∗ (0)(f ◦ h)
=
(f ◦ h ◦ γ)0 (0)
=
(h ◦ γ)∗ (0)(f )
=
dhp (γ∗ (0))(f ).
3.28 De nición. Sea (M, A) una variedad suave de dimensión m. Un subconjunto N de M , N ⊆ M , es una subvariedad suave de M de dimensión k , k ≤ m, si para todo p en N existen una vecindad de
p
en
M, U,
y una carta de dimensión
m
en
M , A 3 φ : U −→ V,
tal que
p ∈ φ−1 (V ∩ Rk ) = N ∩ U. Para tal
N
subvariedad de
M
de dimensión
k
formamos un atlas de
e := N ∩ U −→ V ∩ Rk ; φe : U
Matemática Universitaria
1ra Edición
N , AN ,
tomando como cartas
e φ(x) = φ(x),
Monografía
Huamaní Castro, Newton
donde
φ
Grupos Matriciales y Heisenberg
es una carta de dimensión
m
en
3×3
63
M.
3.29 Proposición. (Teorema de la función implícita para variedades) Sea
h : M −→ M 0 una función suave entre variedades de dimensión m y m0 respectivamente. Suponq ∈ M 0 , dhp : Tp M −→ Th(p) M 0
gamos que para algún Entonces por
N ⊆M
es una subvariedad de dimensión
es sobreyectiva para todo
m−m
0
p ∈ N = h−1 (q).
y el espacio tangente de
p∈N
es dado
Tp N = kerdhp .
3.30 Proposición. ( Teorema de la función inversa para variedades) Sea
h : M −→ M 0
una función suave entre variedades de dimensión
Supongamos que para algún existen una vecindad de Demostración. Sea zación
p, U ,
una vecindad de
ψ : D −→ M
ϕ : W −→ M ,
ĥ = ψ −1 ◦ h ◦ ϕ.
p ∈ M , dhp : Tp M −→ Th(p) M 0
dhp
p = ϕ(x)
tal que
es un isomor smo,
dĥx
y
m0
respectivamente.
es un isomor smo lineal. Entonces
tal que
h|U : U −→ V
una parametrización alrededor de
alrededor de
Como
h(p), V ,
0
m
h(p).
h(ϕ(W )) ⊂ ψ(D).
es difeomor smo.
Eligimos una parametri-
Podemos entonces de nir
también lo es, ya que
dϕx
y
−1 dψh(p)
lo son (por
el criterio anterior). Luego, el teorema de la función inversa usual de espacio euclidiano permite hallar un abierto tomar
Û ⊂ Rm
tal que
ĥ|Û : Û −→ h(Û )
es un difeomor smo. Para concluir, basta
1ra Edición
Monografía
U = ϕ(Û ).
Matemática Universitaria
2
0.4. Uso de Grupo de Heisenberg de tamaño 3 como contraejemplo Se empieza por presentar la de nición de grupo de Lie en seguida se demuestra que la función
exp
es localmente un difeomor smo. Luego se demuestra que todo subgrupo matricial de
es un subgrupo de Lie. Finalmente presentamos la prueba de la Hipótesis de la tesis,
GLn (K)
No Todo
Grupo de Lie es un Subgrupo Matricial de GLn (K), usando el grupo Heisenberg de tamaño 3
como contraejemplo y herramientas de la teoría de grupos.
0.4.1. Grupos de Lie 4.1 De nición. Un grupo de Lie es una variedad suave G que también es un grupo topológico en la cual las operaciones de multiplicación e inverso
mult : G × G −→
G
(x, y) 7−→
xy
inv : G −→
y
G
x 7−→
x−1
G
un
son suaves en variedades. Aquí
se
Hausdor
entiende
que
separable
y
G × G la
es
la
extensión
variedad de
producto,
mult
e
inv
es
son
espacio
funciones
topológico
in nitamente
diferenciables.
4.2 De nición. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H riedad de G es llamado subgrupo de Lie de G. Algunos
ejemplos
de
grupos
de
Lie,
no
descritos
G
de
en
que también es una subva-
este
trabajo,
son
los
siguientes: i)
(Rn , +)
es
un
grupo
de
Lie,
ya
que
es
64
una
variedad
suave
debido
a
que
es
un
Huamaní Castro, Newton
espacio
Grupos Matriciales y Heisenberg
topológico
Hausdor
separable
con
3×3
atlas
65
la
identidad,
es
un
grupo
topológico aditivo y las operaciones de adición y cambio de signo son suaves. ii)
U Tn (R)
SU Tn (R)
y
son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerrados de
(GLn (R), mult)
Generalizando, todo grupo matricial es un grupo de lie como veremos más adelante.
0.4.2.
El GLn (K) y SLn (K) como Ejemplos de Grupos de Lie
Como es costumbre sea
K=R
o
C.
En esta sección se demostrará que los conjuntos represen-
tativos
GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : det(A) 6= 0}
SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1}
y
localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.
4.1 Ejemplo. El GLn (K) es un grupo de Lie, con la multiplicación de matrices. Demostración. Por de nición de grupo de Lie. i) Veamos que
El
Mn (K)
GLn (K)
es variedad suave.
es variedad suave puesto que es espacio topológico Hausdor separable con la
1
topología dada en capítulo
n2
Mn (K) −→ K } dimensión de El
GLn (K)
. La
Mn (K)
coord
es
n
2
y tomando como carta la
coord
A = {coord :
se forma el atlas
es un homeomor smo (carta) entre
Mn (K)
y
K
n2
.
es subconjunto abierto de la variedad suave
permite formar el atlas restringida,
Mn (K),
proposición 1.18, lo que 2
A|GLn (K) = {coord : GLn (K) −→ Kn }.
Además es un
espacio topológico Hausdor separable con la topología relativa heredada de tanto
GLn (K)
consiguiente
Mn (K).
Por
es una variedad suave.
ii) Por la proposición(1.17)
mult|GLn (K)
por lo que
GLn (K)
inv|GLn (K)
y
GLn (K)
es grupo bajo la multiplicación de matrices. Por otro lado son
continuas,
ver
proposición
(1.19).
Por
es grupo topológico.
iii) Además, la multiplicación e inversa son suaves por ser funciones polinómicas por coordenadas
y función racional por coordenadas respectivamente,
a11
···
. . .
..
an1
···
.
a1n
b11
···
b1n
. . .
. . .
..
. . .
bn1
···
ann
.
bnn
n P
k=1 −→ n P
···
a1k bk1 . . .
..
···
ank bk1
k=1
a11
···
. . .
..
.
. . .
an1
···
ann
Por tanto
GLn (K)
a1n
.
n P
a1k bkn k=1 . . . n P ank bkn k=1
−→ A−1 = transpuesta
de la matriz
es un grupo de Lie.
(−1)i+j det Aij . det A
2
4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno, SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1}, Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
66
GLn (K).
es un subgrupo de Lie de
Demostración. Por de nición de subgrupo de Lie. i) Como
SLn (K)
es subgrupo matricial de
GLn (K).
SLn (K)
Entonces
es subgrupo cerrado de
GLn (K). SLn (K)
ii) Veamos que
es subvariedad de
La función determinante, Así, para
A
en
GLn (K).
det : GLn (K) −→ K,
SLn (K) = det
−1
{1}
es una función suave entre variedades.
tenemos que
d(det)A : TA GLn (K) = Mn (K) −→ T1 K = K Si
γ : (a, b) −→ GLn (K)
es una curva suave con
γ(0) = A.
Entonces
d(det)A (γ 0 (0)) = (det ◦ γ)0 (0). Sea
γ0 : (a, b) −→ GLn (K); γ0 (t) := A−1 γ(t).
Tenemos que
γ0 (0) = I
y por lema 2.14
(det ◦ γ0 )0 (0) = trγ00 (0). Por lo tanto
(det ◦ γ)0 (0) = (det ◦ Aγ0 )0 (0) = (detA)(det ◦ γ0 )0 (0) = trγ00 (0), d(det)A (γ 0 (0)) = trγ00 (0) Entonces
d(det)A (X) = tr(A−1 X)
entonces la transformación lineal es
−1
det
para
con,
γ0 (t) = A−1 γ(t)
γ 0 (0) = X ∈ Mn (K).
d(det)A : Mn (K) −→ K
Como
tr
es sobreyectiva
es sobreyectiva para cada
−1
{1} = SLn (K). De este modo por el teorema de la función implicita det
es una subvariedad de Por consiguiente
SLn (K)
pacio tangente en
{1} = SLn (K)
GLn (K).
es subgrupo de Lie de
Nótese que la dimensión de
A∈
SLn (K)
A ∈ SLn (K)
es
2
GLn (K).
dim Mn (K) − dim R = n2 − 1
cuando
K = R
y su es-
esta dado por
TA SLn (K) = ker d(det)A = {AX ∈ Mn (K)/tr(X) = 0}.
Dada
un
tangente de
grupo
de
G
y
un
elemento
g
∈
G
entonces
existe
el
espacio
G en g , Tg G. Viendo a G como una variedad usaremos la notación usual TI G := g para
el espacio tangente de al
Lie
grupo de Lie
G en la identidad de G. Por tanto, se dice el álgebra
de Lie correspondiente
al espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tiene la
misma dimensión que la variedad y la misma notación.
Para
G
un grupo de Lie y
g ∈ G,
las tres siguientes funciones son particularmente importan-
tes, ya que permiten demostrar teoremas.
Lg : G −→ G; Matemática Universitaria
Lg (x) := gx
(multiplicación a izquierda)
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
67
Ilustración 3: El álgebra de Lie de un grupo de Lie.
Rg : G −→ G;
Rg (x) := xg
χg (x) := gxg −1
χg : G −→ G;
Apostilla.
Para
N −→ M
p2 : M × N −→ N
y
M
N
y
4.3 Proposición.
(multiplicación a derecha) (Conjugación)
variedad suave, respectivamente. Las funciones proyecciones
Para
dadas por
cada
p1 (m, n) = m
∈
g
G
las
y
p2 (m, n) = n
funciones
p1 : M ×
son suaves.
Lg , Rg , χg
son
difeomor smo
con inversas
L−1 g = Lg −1 ,
Rg−1 = Rg−1 ,
χ−1 g = χg −1 .
Demostración. i) Sean
g, x
en
G
y
p2 : G × G −→ G
la función proyección usual. Entonces,
mult(g, x) = Lg ◦ p2 (g, x). e −→ Ve , φ : U −→ V y θ : W −→ W f cartas φe : U e × U ) y Lg (U ) subconjuntos de W ). niendo a mult(U Sean
Entonces, por ser
G
en
g, x
y
gx
respectivamente (supo-
un grupo de Lie tenemos que
θ ◦ mult ◦ (φe × φ)−1 = θ ◦ mult ◦ φe−1 × φ−1
es suave.
Por lo tanto
θ ◦ mult ◦ (φe−1 × φ−1 ) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦ φe−1 × φ−1 = θ ◦ Lg ◦ φ−1 es suave. Esto para cartas cualesquiera Así,
Lg : G −→ G
Lg−1 x = g
x.
y
θ
de
x∈G
y
gx ∈ G.
es una función suave entre variedades.
Por otro lado tenemos
−1
φ
Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg
Por consiguiente
Lg : G −→ G
que también es suave por la forma
Matemática Universitaria
para la función
Lg−1 = G −→ G
es biyectiva y su inversa es
dada por
Lg−1 : G −→ G,
Lg−1 : G −→ G. 1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
Rg
ii) Con argumentos similares se prueba que
3×3
es suave para cada
68
g ∈ G.
iii) Además, note que
χ = Lg ◦ Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg .
2
y la composición de funciones suaves es suave.
0.4.3.
Todo Subgrupo de Matricial de GLn (K) es Grupo de Lie
En esta sección se demuestra que la función exponencial aplica localmente el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo.
Para esto se empieza de niendo el conjunto
e g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} donde
G
es un subgrupo matricial de
GLn (R).
4.6 Teorema. eg es una subálgebra de Lie real de Mn (R). Demostración. Por de nición, si subespacio vectorial
de
x, y ∈ b
Lie, es decir, si
i) Veamos que
e g
Por de nición de nición
Sea
b
e g
a
a
es una
implica
es álgebra de Lie sobre
[, ]
entonces un
[x, y] ∈ b. Mn (R). 0n ∈ e g ya que exp(t0) = I ∈ G
es subespacio vectorial de
e g ⊆ Mn (R).
Para
exp
La matriz
r≥1
para todo
se tiene que los siguientes elementos están en
t ∈ R.
Por
G:
r 1 1 1 1 A exp B , exp A exp B . r r r r
Por fórmula del producto Trotter, teorema 2.17, para
exp(tA + tB) = lı́m
r−→∞
G
con corchete de Lie
es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.
A, B ∈ e g.
Como
K
subálgebra de Lie de a sobre K si es cerrada bajo corchete de
es un subgrupo cerrado de
exp
t∈R
tenemos que
r 1 1 tA exp tB . r r
GLn (R)
entonces el límite se encuentra en
G.
Es decir
(A + B) ∈ e g. ii) Veamos que
Si
A, B ∈ e g
e g y
es cerrado bajo el corchete de Lie.
r≥1
se tiene que el siguiente elemento está en
G:
r2 1 1 −1 −1 exp A exp B exp A exp B . r r r r
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
Por fórmula del conmutador, teorema 2.17, para
exp(t[A, B])
Como
G
para
Por consiguiente
Sea
G
e g
69
tenemos que
= exp([tA, B]) 1 1 −1 = lı́m exp tA exp B exp tA r−→∞ r r r r2 −1 exp B . r
es un conjunto cerrado en
[A, B] ∈ e g
t∈R
3×3
GLn (R)
entonces el límite se encuentra en
G.
Es decir,
A, B ∈ e g.
es una subálgebra de Lie real de
un subgrupo matricial de
2
Mn (R).
GLn (K).
g := TI G = {γ 0 (0) : γ
es una curva diferenciable con
γ(0) = I}.
4.7 Proposición. Para un grupo matricial inversible, G, eg es una subálgebra de Lie real de g Demostración. Veamos que A rmemos que
e g ⊆ g.
γ(0) = I
y
e g
es subespacio vectorial de
En efecto, sea
0
γ (0) = A,
A∈e g
y es cerrada bajo el corchete de Lie.
γ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface otro lado e g es subespacio de Mn (R) por la
entonces la curva
A ∈ g.
por lo tanto
proposición 4.6, mientras por la proposición 3.8 subespacio vectorial
g
Por
g
subespacio de
Mn (R).
Por consiguiente,
g.
Por la proposición 4.6
e g
e g
es
2
es cerrado bajo el corchete de Lie.
Antes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultado técnico.
4.8 Lema. Si
Sea
{An
sn An −→ A ∈ Mn (R)
Es decir, dada
cuando
n −→ ∞
tal
entonces
que
kAn k
→
0
y
{sn
∈
R}n≥1 .
A∈e g.
{An } una sucesión de matrices cuadradas de orden n×n y {sn } sucesión de números
reales tales que la sucesión de la sucesión de normas en
exp−1 G}n≥1
∈
{expAn }
{kAn k}
está contenida en el grupo matricial inversible
de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de
G
y el límite
{sn An }
está
e g.
Demostración. Sea
x∈R
y
n
un número entero inmediato inferior de
[x] = n Sea
t∈R
arbitrario. Para cada
|tsn − mn | ≤ 1.
n ∈ N,
para
x.
Se de ne
n ≤ x < n + 1.
escojamos un entero
mn = [sn t] ∈ Z
la que veri ca que
Entonces
kmn An − tAk
≤
kmn An − An tsn k + kAn tsn − tAk
= |mn − tsn |kAn k + |t|kAn sn − Ak ≤ Haciendo
n −→ ∞
se obtiene
kAn k + |t|kAn sn − Ak.
mn An −→ tA
ya que
kAn k −→ 0
y
ksn An − Ak −→ 0.
Por otro, lado tenemos
exp(mn An ) = exp(An )mn ∈ G,
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
y como
G
es cerrado en
Grupos Matriciales y Heisenberg
GLn (R)
ya que
G
3×3
70
es grupo matricial inversible, luego se tiene
exp(tA) = lı́m exp(mn An ) ∈ G. n→∞
exp(tA) ∈ G
Por lo tanto
para cada
t ∈ R,
esto es,
2
A∈e g.
La función exponencial a menudo ayuda a determinar álgebras de Lie; por lo que la función exponencial es relevante.
4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn (K). La función exponencial
0,
en la matriz
exp : e g −→ G dada por exp(A) = 0
aplica una bola abierta de la matriz
Demostración. Escogemos
V
P
sobre una bola abierta de
un subespacio real complementario de
Ilustración 4: La exponencial aplica una vecindad de
de
Mn (R)
tal que
de la forma
e g ⊕ V = Mn (R).
X = A + B,
1 n n≥0 n! A , es localmente difeomor smo
donde
0
Entonces cada elemento
A∈e g
y
en
e g
e g,
I
en
G.
esto es, un subespacio real
en una vecindad de
X ∈ Mn (K)
I
en
G.
tiene una única expresión
B ∈V.
Consideremos la función
Φ:e g ⊕ V = Mn (R) −→
La
Φ
es
función
suave
GLn (R)
(A + B) 7−→
exp(A)exp(B),
que
matriz
aplica
la
nula
(A ∈ e g, B ∈ V ).
0 ∈ Mn (R)
en
la
matriz
identidad
I ∈ GLn (R), 1 1 exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 + 02 + ...)(I + 0 + 02 + ...) = I. 2 2 Nótese que el factor
exp(A)
está en
Consideremos la derivada en
G.
0,
DΦ(0) : Mn (R) −→ TI GLn (R) = Mn (R).
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
71
DΦ(0)(A + B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto de A + B ∈ Mn (R) = e g ⊕ V donde A ∈ e g y B ∈ V , hallamos la derivada de la curva t −→ Φ(t(A + B))
Para
en
determinar
t = 0,
es decir,
DΦ(0)(A + B)
A, B
Tomemos
(4.1) de la página
∈
y
t
48
tenemos que
R
Φ(0 + t(A + B)) − Φ(0) t−→0 t d Φ(t(A + B))|t=0 . = dt =
lı́m
pequeños,
con
norma
menor
(4.1)
1/2,
que
por
la
igualdad
Φ(t(A + B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) para una única
C(t)
(que depende de t) matriz en
2.16 se tiene
Haciendo
|t| −→ 0,
C(0) = 0
y por la proposición
t2 k[A, B]k + 65|t|3 (kAk + kBk)3 2
kC(t) − t(A + B)k ≤
kC(t) − t(A + B)k ≤
tal que
t2 [A, B]k ≤ 65|t|3 (kAk + kBk)3 2
kC(t) − t(A + B) −
ó
Mn (R)
(4.2)
t2 (k[A, B]k + 130|t|(kAk + kBk)3 ) 2
tenemos
kC(t) − t(A + B)k kC(t) − C(0) − t(A + B)k = lı́m = 0. t−→0 t−→0 |t| |t| lı́m
Así pues,
d dt C(t)|t=0
= A + B.
Por lo tanto de (4.1) y (4.2)
d d d Φ(t(A + B))|t=0 = exp(C(t))|t=0 = exp(C(0)). C(t)|t=0 = A + B. dt dt dt Entonces
DΦ(0)
0 ∈ Mn (K). 1/2
es
la
función
identidad
Puesto que, para cualquier
A
en
en
una
Mn (R)
vecindad
existen
pequeña
{Ai }1≤i≤m
de
la
matriz
con norma menor que
m P
A=
Ai . Entonces se puede asegurar por la linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la i=1 función identidad en todo Mn (R). En consecuencia aplicando el teorema de función inversa, ver tal que
proposición 3.30,
Φ
es un difeomor smo para alguna vecindad
do esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta restricción de
Φ
U
de la matriz
NMn (K) (0; δ)
0
en
para algún
Mn (R),
δ>0
llevan-
tal que la
a
Φ|NMn (K) (0;δ) : NMn (K) (0; δ) −→ Φ(NMn (K) (0; δ)) es un difeomor smo. Ahora tenemos que demostrar que
exp|NMn (K) (0;δ)∩eg = Φ|NMn (K) (0;δ)∩eg : NMn (K) (0; δ) ∩ e g −→ Φ|NMn (K) (0;δ)∩eg (NMn (K) (0; δ) ∩ e g) aplica una bola abierta de
NMn (K) (0; δ) ∩ e g
contrario, esto es, existe una sucesión en
n ∈ N.
Para un
n
grande sabemos que
Matemática Universitaria
sobre una bola abierta de
G, {Un },
tal que
Un −→ I
Un ∈ Φ(NMn (K) (0; δ))
1ra Edición
I
pero
ya que
Φ
en
G.
Supongamos lo
Un 6∈ Φ(e g) en
para toda
NMn (K) (0; δ)
es un
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
An ∈ e g
difeomor smo. Entonces existen
NMn (K) (0; δ)
y
Bn ∈ V − {0}
3×3
tal que
72
Φ(An + Bn ) = Un .
Por ser
Φ
en
un difeomor smo tenemos que si
Un −→ I =⇒ Φ−1 (Un ) = An + Bn → Φ−1 (I) = 0 y esto implica que
An → 0
y
Bn → 0 .
Por de nición de
Φ
tenemos que
Φ(An + Bn ) = exp(An )exp(Bn ) = Un ∈ G ó
exp(Bn ) = (exp(An ))−1 Un ∈ G, entonces
Bn ∈ exp−1 (G).
Consideremos a
Bn :=
1 kBn k Bn que está en la esfera unitaria de
necesario, tomamos
{Bn ∈ exp
−1
G}
Bn → B
1 y { kBn k
con
∈ R}
B
en la esfera unitaria de
Mn (R),
{Bn }.
Renombrando, si es
Mn (R), kBk = 1.
Por el lema 4.8 para
la cual es compacta, entonces existe una subsucesión convergente de
se obtiene que
1 Bn = Bn → B ∈ e g kBn k Pero cada
Bn
Por lo tanto
y por lo tanto cada
B ∈e g ∩ V = {0},
Por consiguiente bola abierta de
exp
Bn
está en
V.
Por ser
V
cerrado en
Mn (R)
tenemos que
pero esto genera una contradicción siempre que
es un difeomor smo de una bola abierta de
B ∈V.
kBk = 1.
0, NMn (K) (0; δ1 ) ∩ e g⊆e g,
I , NMn (K) (I; δ2 ) := exp(NMn (K) (0; δ1 ) ∩ e g) ⊆ G.
en una
2
Como vemos la función exponencial aplica difeomor camente el álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo que el álgebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricial inversible, y como se trata de un álgebra su manejo es más sencillo.
4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn (R) es un subgrupo de Lie de GLn (R). Demostración. Por de nición de subgrupo de Lie. Sea
G
un subgrupo matricial de
GLn (K)
cualquiera. Entonces
G
es subgrupo cerrado en
GLn (K).
Veamos que
G es una subvariedad de GLn (R). En efecto, G es un espacio topológico Hausdor sepa-
rable
pues
GLn (K)
dada por
su
topología
relativa
TG = {U ⊆ G : U = F ∩ G
para algún abierto
Por el teorema 4.9 tenemos que para algún abierto tal que
es
V ⊆ e g
la
F
en
tal que
heredada
de
GLn (K)}.
0 ∈ V
y un abierto
U ⊆ G
I∈G exp|V : V ⊆ e g −→ U ⊆ G
es un difeomor smo. Como
e g
e g ⊆ Mn (R) es un subespacio normado real de dimensión nita entonces
es una variedad suave y sus cartas vienen dadas por restricciones abiertas del homeomor smo
entre
e g
y
RdimR eg .
Para el homeomor smo
coord
entre
e g
y
RdimR eg
tenemos que
φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg (U ) ⊆ G −→ Ve ⊆ RdimR eg
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
es una carta de dimensión Sea
φg 1
y
φg 2
3×3
Grupos Matriciales y Heisenberg
dimRe g
g∈G
en
cartas arbitrarias tal que
73
Ve = coord ◦ exp−1 U .
y donde
Lg1 (U1 ) ∩ Lg2 (U2 ) 6= φ.
−1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 ◦ coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1
φg2 ◦ φ−1 g1
2
1
= coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 ◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1 , 2
entonces
φg2 ◦ φ−1 g1
están
relacionados.
dimRe g
para
es
un
Por
lo
difeomor smo
G
abiertos
:=
{φg /g
álgebra
de
tanto
RdimR eg
de
∈
G}
es
. un
φg 1
Entonces atlas
de
y
φg2
dimensión
2
G.
Versión simple del matricial de GLn (K) Sea
A
en
un subgrupo matricial de
GLn (K),
Lie
de
un
subgrupo
entonces
g=e g. Donde los espacios vectoriales son de nidas por
0
g := TI G = {α (0) ∈ Mn (K) : α
e g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}
es una curva diferenciable con
y
α(0) = I}.
En efecto: Sea
G
es un subgrupo matricial de
de sus cartas que es
dimRe g,
dimR g.
0.4.4.
GLn (K).
La dimensión de
G,
como variedad, es la dimensión
la cual es igual a la dimensión de su álgebra de Lie, según la de nición 3.7,
Por lo tanto,
dimR g = dimRe g
y dado que
e g⊆g
se tiene que
e g = g.
Grupo Heisenberg de Tamaño 3
Los siguientes parráfos extraído de Esther GALINA en
[11]
describe al grupo Heisenberg, ha-
ciendo uso de las series de Fourier y teoría de representaciones, de la forma siguiente:
... El grupo Heisenberg
Hn
es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo, dos pasos nilpotente,
un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombre y su signi cado en la mecánica cuántica proviene del hecho que su álgebra de Lie sobre
R está de nida por las relaciones canónicas de conmutación
de Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas áreas de la matemática, la física teórica, la teoría de códigos y señales digitales, como así también en la ingeniería eléctrica ..."
Aunque es posible de nir el grupo senberg de tamaño
3, Heis3 ,
Heisn
para
n
arbitrario. Aquí describimos el grupo de Hei-
obteniendo de una forma sencilla como el cociente de dos grupos
matriciales inversibles, donde una ellos es un subgrupo normal del otro.
Construcción del grupo Heisenberg. Sea SU T3 (R) el conjunto de matrices triangulares superiores tal que
a11 = a22 = a33 = 1,
esto es,
1 SU T3 (R) = 0 0
a
b
1
c : a, b, c ∈ R . 1
0
SU T3 (R) es un subgrupo matricial de GL3 (R), ya que del ejemplo 2.3 es grupo bajo multiplicación de matrices y es cerrado en
Matemática Universitaria
GLn (K).
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
SU T3 (R)
La regla práctica de multiplicación de dos matrices en
1
1
x1
x2
1
y1
y2
0 0
1
x3 0 0 1
1
y3 = 0 0 1
0
0
Se precisa aquí, si
gng
−1
∈ N,
G
−1
1
a
b
0 0
1
c 1
0
es grupo y
para cualesquier
N
n∈N
= 0
1
0
0
es subgrupo de y
G.
viene dado por
x2 + x1 y3 + y2
1
x3 + y3
0
1
−a
1
74
x1 + y1
y la regla práctica para obtener la inversa de una matriz en
3×3
SU T3 (R)
ac − b
viene dado por
−c . 1
Se dice que
N
es normal en
G
si y sólo si
g ∈ G.
Acontinuación se de ne el conjunto
1 Z3 := 0 0 Luego se deduce que
Z3
0 :z∈Z . 1
0
z
1 0
SU T3 (R).
es un subgrupo normal de
A ∈ SU T3 (R)
En efecto, dado cualquier
z ∈ Z3 ,
y
entonces para cualquier
a, b, c ∈ R
y
s∈Z
se
tiene que
a
b
1
0
z
AzA−1 = 0
1
1
0
0
c 0 0 1
0 0 0 1
0
−a
1
1
1 0
ac − b
1
0
s
−c = 0 0 1
1
0 = z ∈ Z3 . 1
0
4.12 De nición. El grupo Heisenberg de tamaño 3, se de ne como el cociente de dos grupos Heis3 := SU T3 (R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SU T3 (R)}. Nótese,
Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SU T3 (R) donde las clases laterales
o bien son ajenas o bien iguales. Como y
(AZ3 )(BZ3 ) = (AB)Z3
Heis3
Z3
es subgrupo normal de
para cualesquier
A, B ∈ SU T3 (R).
SU T3 (R)
entonces
AZ3 = Z3 A
En consecuencia es posible darle a
una estructura de grupo con la siguiente operación binaria
mult : Heis3 × Heis3
−→
(AZ3 , BZ3 ) 7−→ Lo cual cumple los axiomas de grupo con identidad de
SU T3 (R))
y SU T3 (R) Z3
Heis3 mult(AZ3 , BZ3 ) = (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 . I3 Z3
como elemento identidad (donde
I3
es la matriz
−1
A Z3 como inverso de AZ3 . Además, la proyección canónica o natural = Heis3 dada por q(A) = AZ3 es un homomor smo sobreyectivo cuyo
q : SU T3 (R) −→ Z3 , es decir Ker q = Z3 .
núcleo es
4.13 Proposición. El grupo Heisenberg de tamaño 3, Heis3 , es un grupo de Lie. Demostración.
(i)
Veamos que
Heis3
es una variedad suave.
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Sea
q : SU T3 (R) −→ Heis3 =
la
Grupos Matriciales y Heisenberg
b
1
a
q 0
1
1
0
0
c = 0 0 1
U ⊆ Heis3 El grupo Heisenberg, y
q
es
homomor smo
a
b+z
1
c
0
1
λ
luego
Heis3 .
es abierto si y solo si
q
esto
q −1 (U ) ⊆ SU T3 (R)
es abierto.
Heis3 , con esta topología es Hausdor separable. En efecto, como q −1 (φ) = φ
−1
También es
Aprovechando
una estructura topológica como sigue:
Heis3
una familia cualquiera de abiertos en
S
:z∈Z
sobreyectivo.
(Heis3 ) = SU T3 (R) son abiertos en SU T3 (R) entonces φ y Heis3
{Uλ } cada
Heis3 ,
1 c Z3 = 0 1 0
b
0
q
entonces
daremos al grupo Heisenberg,
−1
a
natural
75
SU T3 (R) dada por Z3
1
proyección
3×3
−1
S ( Uλ )
(Uλ ) = q T Uλ es abierto
en
es abierto en
Heis3
q
entonces
−1
(Uλ )
son abiertos en
es abierto en
Heis3 . Sea
SU T3 (R)
para
S
SU T3 (R) por lo que Uλ es un abierto en T T q −1 ( Uλ ) = q −1 (Uλ ) y {Uλ } es familia
dado que
Heis3 .
nita de abiertos en
Esta topología, hace de
q
U ⊆ SU T3 (R)
una aplicación abierta. Para
se tiene
q −1 (qU ) =
S
sU
s∈Z3 donde
U s = {us ∈ SU T3 (R) : u ∈ U }.
abierto. Por lo tanto
q(U )
Esta topología, hace de ción de El
q, q
q
U ⊆ SU T3 (R)
Si
es abierto en
es abierto, entonces cada
U s (s ∈ Z3 )
es
Heis3 . U ⊆ Heis3
una aplicación continua. Sea
un abierto entonces por de ni-
−1
Heis3 =
(U ) es abierto en SU T3 (R). SU T3 (R) es separable. En efecto, Como Z3
contable de abiertos
SU T3 (R) =
S
Ui .
SU T3 (R)
es separable entonces existe una base
Luego aplicando tenemos
Heis3 =
i∈N
S
q(Ui )
que es una
i∈N
base contable de abiertos. Finalmente
Heis3
luego aplicando Como
AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 o sea que
con
AZ3 6= BZ3
A 6= B
entonces
−1
entonces
0
(U )
en
con
SU T3 (R) tal que U ∩ V = φ. Como q
AZ3 ∈ U
0
y
V =q
−1
0
(V )
con
AZ3 ∩ BZ3 = φ
son puntos distintos en
SU T3 (R) es un espacio topológico Hausdor separable entonces para A y B
U 3AyV 3B U =q
es Hausdor . Sea
q −1 (AZ3 ) ∩ q −1 (BZ3 ) = φ
SU T3 (R).
existen abiertos
es sobreyectiva entonces existen conjuntos
BZ3 ∈ V 0 .
Como
φ = U ∩ V = q −1 (U 0 ) ∩ q −1 (V 0 )
U 0 ∩ V 0 = φ.
Se de ne
Ux1 ,x2 ,x3
x1 , x2 , x3 ∈ Q
en
Ux1 ,x2 ,x3
como bola abierta de radio
SU T3 (R),
1 = 0 0
Matemática Universitaria
1/2
y centro
1
x1
x2
0 0
1
x3 ∈ SU T3 (R) 1
y2
0
con
esto es,
y1 1 0
1 y3 : 0 0 1
y2
x1
x2
1
y1
1
x3 − 0 1 0
1
0
1ra Edición
0
< 1/2 . y3 1 max
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
U := {Ux1 ,x2 ,x3 : xi ∈ Q}
Entonces la colección
3×3
76
es un cubrimiento contable de
SU T3 (R).
La aplicación (restringida de la proyección natural) de nida por
−→
φa,b,c : Ua,b,c 1 x1 x2 0 1 x3 0 0 1
φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 1 x1 x2 0 1 x3 Z 3
es
un
homeomor smo
Ua,b,c
entre
7−→
0
0
φa,b,c (Ua,b,c ).
y
1 En
efecto,
la
aplicación
φa,b,c
es
sobreyectiva.
Veamos que
1 2 y
φa,b,c
|y2 − b| <
es inyectiva. Sean
1
x1
x2
1
y1
y2
0 0
1
x3 , 0 0 1
1
y3 en Ua,b,c 1
0
0
entonces
|x2 −b| <
1 2.
Si
x1
x2 + z
1
x3
0
1 x3 Z 3 = 0 0 1
0
1
1
y1
y2
y1
y2 + z
0 0
1
1 y3 Z 3 = 0 0 1
1
x1
0 0
1
x2
:z∈Z
es igual a
0
y3 : z ∈ Z 1
1 0
entonces
x1
x2
0 0 1 0
1
x3 1 x2 x3 1
0
0 x1 1 0
1
y1
y2
1
0
z
= 0 0 1 = 0
1
y3 0 0 1 y2 + z y3 1
1
0 para 1
por igualdad de matrices se sigue Por otro lado
1
0
0 y1 1 0
x1 = y1 , x3 = y3
|x2 − y2 | ≤ |x2 − b| + |y2 − b| <
1 2
y
+
0
z∈Z
algún
x2 − y2 = z ∈ Z. 1 2
< 1.
Como
x2 − y2 ∈ Z
entonces
x2 = y2 .
φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SU T3 (R) −→ φa,b,c (Ua,b,c ) dada por φa,b,c (A) = AZ3 es biyectiva con −1 −1 inversa φa,b,c : φa,b,c (Ua,b,c ) −→ Ua,b,c dada por φa,b,c (AZ3 ) = A. −1 Las funciones φa,b,c y φa,b,c son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en Heis3 entonces por de nición de topología φ−1 (U ) es abierto en SU T3 (R).
Entonces
Supongamos
⊆
U
SU T3 (R)
es
abierto
en
SU T3 (R).
Como
la
función
φ−1 a,b,c
es
−1 0 sobreyectiva entonces existe un conjunto V ⊆ Heis3 tal que U = φa,b,c (V ) luego por de nición −1 −1 −1 0 (U ) = φa,b,c (U ) = de topología V es abierto en Heis3 . Como φa,b,c es biyectiva entonces (φa,b,c ) −1 0 0 φa,b,c (φa,b,c (V )) = V es abierto en Heis3 . Por consiguiente φa,b,c es homeomor smo. 0
La
aplicación,
ψ
:
SU T3 (R)
Matemática Universitaria
−→
R3
dada
por
1ra Edición
1
a
b
0 0
1
c 1
0
7−→
(a, b, c)
es
un
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
3×3
77
difeomor smo de manera natural. Entonces la compuesta
3 ψ ◦ φ−1 a,b,c : φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c ) ⊆ R es homeomor smo de un abierto de carta de
Sean
Heis3
dos
entonces
de dimensión
cartas,
(ψ ◦
Heis3
En consecuencia
ψ ◦ φ−1 a,b,c
es una
3.
ψ ◦ φ−1 a,b,c
φ−1 a,b,c )
R3 .
en un abierto de
y
ψ ◦ φ−1 a0 ,b0 ,c0 ,
−1 φ−1 a0 ,b0 ,c0 )
◦ (ψ ◦
tal
(ψ ◦
=
Ua,b,c ∩ Ua0 ,b0 ,c0
que
φ−1 a,b,c )
◦ (φa0 ,b0 ,c0 ◦ ψ
6=
φ
−1
la
)
composición es difeomor smo, por lo tanto las cartas están relacionadas. Por otro lado, como
S SU T3 (R) = {Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,c tenemos n o Heis3 = q(SU T3 (R)) = S −1 {φa,b,c (Ua,b,c ) : a, b, c ∈ Q}. Por tanto A := ψ ◦ φa,b,c : a, b, c ∈ Q es un atlas de dimensión 3 para
Heis3 .
Por consiguiente,
Heis3
es una variedad suave de dimensión
(ii)
Heis3
es grupo topológico. El
Veamos que
ABZ3 ,
AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 ,.
donde
es continua porque
LAZ3
y
P2
Heis3
3.
es grupo con la operación
La operación binaria
mult = LAZ3 ◦ P2 ,
son continuas. La operación unaria
(AZ3 )(BZ3 ) =
donde
AZ3 ∈ Heis3 ,
inv = LA−1 Z3 ◦ CT EIZ3 ,
CT EIZ3 : Heis3 −→ {IZ3 } dada por CT EIZ3 (AZ3 ) = IZ3 , es continua porque LA−1 Z3
y
donde
CT EIZ3
son continuas.
(iii)
Puesto que
LAZ3 , P2 , LA−1 Z3
mult : Heis3 × Heis3
y
CT EIZ3
son suaves. Entonces
−→
Heis3
(xZ3 , yZ3 ) 7−→
xyZ3
y
inv : Heis3
−→
Heis3
xZ3
7−→
x−1 Z3
son funciones suaves. Por lo tanto de de dimensión
(i) , (ii)
y
(iii)
se concluye que el grupo Heisenberg,
Heis3 ,
es un grupo de Lie
3.
4.14 De nición. Los centros de SU T3 (R) y Heis3 están de nidos por 1.
2.
1 0 b C(SU T3 (R)) := 0 1 0 : b ∈ R . 0 0 1 1 0 b C(Heis3 ) := 0 1 0 Z3 : b ∈ R . 0 0 1
Luego
C(SU T3 (R))
es
subgrupo normal abeliano de
subgrupo
normal
de
SU T3 (R)
y
C(Heis3 )
es
Heis3 .
Notación de cociente del grupo Heisenberg. Notemos que
C(Heis3 ) = C(SU T3 (R))/Z3 .
El grupo circular
S1 := {z ∈ C : |z| = 1}
Matemática Universitaria
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
es ismomorfo al centro de
Grupos Matriciales y Heisenberg
Heis3 ,
es decir
C(Heis3 ) ∼ = S1
78
con el isomor smo natural dada por
1
0
t
0 0
1
0 Z3 ←→ e2πit . 1
0
3×3
(4,2)
De ahora en adelante denotaremos un cociente
como
x
t
0 0
1
y Z3 ∈ Heis3 1
0
[x, y, e2πit ].
Entonces un elemento de de
1
Heis3
es
Heis3
tendrá la forma
[x, y, z] para x, y ∈ R y z ∈ S1 . El elemento unidad
[0, 0, 1] = IZ3 .
La multiplicación, inversos y conmutadores en Heis3 están dados por [x1 , x2 , x3 ][y1 , y2 , y3 ]
=
[x1 + y1 , x2 + y2 , x3 y3 e2πx1 y2 ],
−1
=
[−x, −y, z −1 e2πixy ],
−1
=
[0, 0, e2πi(x1 y2 −x2 y1 ) ].
[x, y, z] −1
[x1 , x2 , x3 ] [y1 , y2 , y3 ] [x1 , x2 , x3 ] Para
x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R
0.4.5.
y
[y1 , y2 , y3 ]
x3 , y3 ∈ S1 .
Grupo de Heisenberg de tamaño 3, Heis3 , como contraejemplo
El siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tamaño considerado como un subgrupo matricial de decir que entre
Heis3
y
GLn (C)
GLn (K)
3, Heis3 , no puede ser
en un sentido más amplio y técnico podemos
no existe un isomor smo continuo de grupos con lo que se da por
nalizado este trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¾Cuándo un grupo de Lie es un subgrupo matricial de
GLn (K)?,
según lo expuesto por Andrew Baker en su libro
Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compacto puede ser representado por un subgrupo matricial de
GLn (K).
4.15 Teorema No existen homomor smo continuos de grupos
{[0, 0, 1]} = {I3 Z3 },
para cualquier
n ∈ N.
ϕ : Heis3 −→ GLn (C)
con kernel trivial,
Es decir, el grupo de Heisenberg de tamaño
no tiene representación mediante un subgrupo matricial de
kerϕ =
3, Heis3 ,
GLn (K).
Demostración por absurdo. Supongamos que
ϕ : Heis3 −→ GLn (C)
{[0, 0, 1]} = {I3 Z3 },
y sea
Matemática Universitaria
n
es un homomor smo continuo con kernel trivial,
kerϕ =
el mínimo para el cual esto sucede.
1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
g ∈ Heis3 ,
Por cada
Grupos Matriciales y Heisenberg
la matriz
ϕ(g),
actúa sobre
Cn
Heis3 × Cn
C(Heis3 )
con
S1
Cn
→
ϕ(g)v.
por medio del isomor smo dado en la ecuación 4.2.
z0 ∈ C(Heis3 ) ∼ = S1 y λ un valor propio det(ϕ(z0 ) − λIn ) = 0, ϕ(z0 )v = λv y además
Sean ces
79
del siguiente modo
(g, v) 7→ Identi camos a
3×3
de la matriz
ϕ(z0 )
con vector propio
v,
enton-
ϕ(z0k )v = ϕ(z0 )k v = ϕ(z0 )k−1 λv = λk v. Nótese que el autovalor
det(ϕ(z0 )) 6= 0 Tomemos a Si
|λ| > 1
ya que
|λ| ≥ 1
λ 6= 0
λ = 0
pues si
entonces
det(ϕ(z0 )) = 0
lo cual contradice al
ϕ(z0 ) ∈ GLn (C).
(reemplazando, si es necesario,
z0
por
z0−1 )
se obtiene que
kϕ(z0k )k := máx por lo tanto
kϕ(z0k )k → ∞
cuando
|ϕ(z0 )k x| : x ∈ Cn − {0} |x|
k → ∞,
lo cual implica que
≥ |λ|k ;
{ϕ(z0k ) : k ∈ N}
no está acotada
por el criterio de comparación.
{z0k : k ∈ N} ⊆ C(Heis3 ) ∼ = S1 y S1 es compacto entonces por la continuidad de 1 ϕ la imagen ϕ(S ) es compacto. En consecuencia {ϕ(z0k ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradicción. Así, necesariamente |λ| = 1. Por otro lado
Sea
g
un elemento cualquiera de
Heis3 ,
entonces
ϕ(z0 )ϕ(g)v = ϕ(z0 g)v = ϕ(gz0 )v = ϕ(g)ϕ(z0 )v = λϕ(g)v, lo cual muestra que
ϕ(g)v ∈ Cn
es un vector propio de
ϕ(z0 )
para el valor propio
λ.
Sean
Vλk := {v ∈ Cn /∃k ≥ 1 tal
que
(ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0}
Vλ :=
y
[
Vλk .
k Se deduce que
Vλ1 ⊆ Vλ2 ⊆ · · · ⊆ Vλk ⊆ · · · EL conjunto
ϕ(g)
con
Vλ
es un subespacio vectorial de
g ∈ Heis3 ,
es decir, si
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v
está en
Vλ ,
Cn ,
el cual es cerrado bajo la acción de las matrices
entonces
1ra Edición
ϕ(g)v
está en
Vλ .
Esto es verdad ya que si
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Huamaní Castro, Newton
v
está en
Vλ
existe un
Grupos Matriciales y Heisenberg
k>0
para el cual
(ϕ(z0 ) − λIn )k ϕ(g)v
(ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0,
3×3
80
así
=
(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 )ϕ(g) − λϕ(g))v
=
(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 g) − λϕ(g))v
=
(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(gz0 ) − λϕ(g))v
=
(ϕ(z0 ) − λIn )k−1 ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )v
= ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )k v = Por lo tanto Escojamos
0,
ϕ(g)v ∈ V λ.
k0 ≥ 1
el mayor número natural para la cual exista
(ϕ(z0 ) − λIn )k0 v0 = 0, Si
pero
v0 ∈ V λ
que satisfaga
(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −1 v0 6= 0.
k0 > 1, 0 = (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 ,
Sean
v := (ϕ(z0 )−λIn )(ϕ(z0 )−λIn )k0 −2 v0
son no nulos en
Vλ
ϕ(z0 )u = λu + v, Dado que
v 6= 0
y
u := (ϕ(z0 )−λIn )k0 −2 v0
vectores que porsupuesto
tales que
ϕ(z0 )v = λv.
y para cualquier
k ∈ N,
ϕ(z0k )u =
ϕ(z0 )k u
=
ϕ(z0 )k−1 (λu + v)
=
λϕ(z0 )k−1 u + ϕ(z0 )k−1 v
=
λϕ(z0 )k−1 u + λk−1 v
=
λϕ(z0 )k−2 (λu + v) + λk−1 v
= λ2 ϕ(z0 )k−2 u + λk−1 v + λk−1 v = λ2 ϕ(z0 )k−3 (λu + v) + λk−1 v + λk−1 v = λ3 ϕ(z0 )k−3 u + λk−1 v + λk−1 v + λk−1 v . . .
= λk u + kλk−1 v, puesto que
|λ| = 1
se obtiene
kϕ(z0k )k = kϕ(z0 )k k ≥ |λ|k−1 |λu + kv| = |λu + kv| → ∞ k → ∞.
cuando
k0 = 1. propio
Esta a rmación esta en contradicción con el hecho que
Por consiguiente
λ,
Vλ
ϕ(S1 )
es acotada, entonces
es el espacio vectorial de los vectores propios de
ϕ(z0 )
para el valor
es decir,
Vλ := {v : (ϕ(z0 ) − λIn )v = 0}.
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1ra Edición
Monografía
Huamaní Castro, Newton
Grupos Matriciales y Heisenberg
Así pues, la siguiente acción del
Heis3
sobre
3×3
81
Vλ
ϕ e : Heis3 × Vλ
→ Vλ
(g, v) 7→ ϕ(g)v es la representación de podemos tomar
ϕ
Heis3
sobre el espacio vectorial
Vλ ,
por lo tanto la aplicación (la cual
sin perder la generalidad)
ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ (C) es un homomor smo continuo con kernel trivial tal que nima de
z
en
n
se debe tener que
dimVλ = n.
ϕ(z0 ) = λI(dimVλ )
y por la condición mí-
ϕ
tenemos que para todo
Es más, por la continuidad de
C(Heis3 ), ϕ(z) = (escalar)In .
Dado que todo
z ∈ C(Heis3 )
es un conmutador;
z = ghg −1 h−1
para
g, h ∈ Heis3 ,
y
det
como
ϕ
son homomor smos, tenemos que
detϕ(z) = detϕ(ghg −1 h−1 ) = 1 (∀z ∈ C(Heis3 )). Entonces, existe una función continua
µ : C(Heis3 ) −→ C× = C − {0}
tal que para todo
z
en
C(Heis3 ), ϕ(z) = µ(z)In
y
µ(z)n = detϕ(z) = 1.
tiene
C(Heis3 ) ∼ = S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3 Z3 ) = In donde I3 Z3 ∈ C(Heis3 ), se 1 que µ(z) = 1 para toda z en S ∼ = C(Heis3 ). Así, ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3 ), por lo
tanto
C(Heis3 )
Como
está contenido en
Kerϕ,
es decir
la suposición de que el kernel de
ϕ
Por
homomor smos
tanto,
no
existe
ϕ : Heis3 −→ GLn (C), de tamaño
3, Heis3 ,
C(Heis3 ) ⊆ Kerϕ.
es trivial, es decir
con kernel trivial,
Lo cual es contradictorio con
kerϕ = {IZ3 }.
continuo
kerϕ = {[0, 0, 1]}.
entre
Heis3
1ra Edición
GLn (C),
Es decir, el grupo de Heisenberg
no tiene representación mediante un subgrupo matricial de
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y
GLn (K).
2
Monografía
Retroalimentación
Primero.
El espacio vectorial sobre El
Mn (K)
es un espacio métrico completo y tiene estructura de álgebra
K.
conjunto
de
matrices
determinante es uno,
inversibles,
GLn (K),
y
el
conjunto
de
matrices
cuya
SLn (K), son subgrupos matriciales de GLn (K); Los GLn (K) y SLn (K),
grupos de Lie.
Segundo.
La
función
exponencial
subgrupo matricial de nencial, de
Tercero.
I
en
aplica
GLn (K), G,
difeomor camente
el
álgebra
de
Lie,
g,
de
un
en el grupo mismo localmente o sea que la función expo-
exp : g −→ G, es un difeomor smo de una bola abierta de 0 en g en una bola abierta G.
Dada dos subgrupos matriciales de
GLn (K), G
dϕ : g → h
ferenciable entonces la derivada
y
H,
y
ϕ : G → H
un homomor smo di-
es un homomor smo de álgebras de Lie, es
decir
dϕ[α0 (0), β 0 (0)]g = [dϕ(α0 (0)), dϕ(β 0 (0))]h , para
α, β
curvas diferenciables en
G
con
α(0) = β(0) = I :
La derivada de un homomor smo
respeta el producto de Lie o corchete de Lie.
Cuarto.
Todo subgrupo matricial de subgrupo matricial de
GLn (K)
GLn (K).
es grupo de Lie; sin embargo, no todo grupo de Lie es
Un contraejemplo es el grupo de Heisenberg de tamaño
que es grupo de Lie pero no tiene representación mediante un subgrupo cerrado de
Quinto.
3
GLn (K).
Finalmente nos quedamos con la pregunta, sin demostrarla, la cuál se desprende del proceso del desarrollo del libro: ¾Cuándo un grupo de Lie es un subgrupo matricial de
GLn (K)?, según
lo expuesto por Andrew BAKER en su libro Matrix Groups [5] entre las páginas
[251 − 267];
todo grupo de Lie compacto puede ser representado por un subgrupo matricial de
82
GLn (K)
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La función exponencial aplica el álgebra de Lie de un subgrupo matricial de GLn (K) en el grupo mismo.
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Monografía
Apéndice
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.1. Aclaración puntual sobre Mn(K) El anillo
Mn (K)
actúa sobre
módulo a izquierda sobre
Kn
Mn (K).
1
por multiplicación a izquierda , dando a
Kn
la estructura de
En otras palabras la aplicación
ψ : Mn (K) −→ A es un homomor smo de anillos. Ya que,
7−→
End(Kn ) LA .
ψ(AB) = LAB = LA ◦ LB = ψ(A) ◦ ψ(B).
Proposición. X ⊆ Mn (K) es compacto si y sólo si satisface las siguientes condiciones: a) existe
b ∈ R+
tal que para todo
b) Toda sucesión
{An }n≥0
en
X
A ∈ X , kAk ≤ b;
que es convergente en
Mn (K)
tiene su límite en
X.
Demostración. Para la demostración hay que tener en cuenta los cuatro puntos siguientes:
Mn (K)
es un espacio vectorial normado de dimensión nita sobre
La condición
1
implica que
X
es acotado.
La condición
2
implica que
X
es cerrado.
Usando: Si
V
K.
es espacio vectorial normado de dimensión nita sobre
conjunto cerrado y acotado en
2
V,
entonces
U
K.
Si
U ⊆V
es un sub-
es compacto. Alcanzamos el resultado deseado.
1 Una
acción (por la izquierda) de un grupo G en un conjunto X es una función ψ : G × X −→ X que veri ca las siguientes propiedades: ψ(e, x) = x, para todo x ∈ X ; e ∈ G es el elemento idéntico, y ψ(g, ψ(h, x)) = ψ(gh, x), para g, h en vez de ψ(g, h) Cuando no hay ambigüedad escribiremos gh en vez de ψ(g, h).
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.2. Resumen grá co de Estructura Algebraíca
Ilustración 5: Resumen grá co de estructura algebraíca
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3×3
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.3. Grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3
Ilustración 6: Resumen grá co de Grupo Heisenberg de Tamaño 3
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Monografía
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89