ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СВІТОГОСПОДАРСЬКИХ ПРОЦЕСІВ

2008 Хмельницький національний університет

к.е.н., доц. Ніколайчук М.В.

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СВІТОГОСПОДАРСЬКИХ ПРОЦЕСІВ Модель. Місце математичного моделювання в управлінні економікою. Специфікація моделі. Прогнози. Кореляція. Регресія. Функціональні та стохастичні моделі.

Зміст ТЕМА 1. ОСНОВИ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ГОСПОДАРСЬКИХ ПРОЦЕСІВ ................................................................................... 4

1.1. Роль і місце економіко-математичних моделей в управлінні економічними системами ....................................................................................... 4 1.2. Формування сукупності спостережень .......................................................... 7 1.3. Поняття однорідності спостережень .............................................................. 8 1.4. Точність вхідних даних ................................................................................... 9 1.5. Вибір змінних і структура зв'язків ............................................................... 10 ТЕМА 2. МЕТОДИ ПОБУДОВИ ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ ........................ 12

2.1. Поняття моделі та етапи її побудови ........................................................... 12 2.2. Специфікація моделі ...................................................................................... 13 2.3. Застосування методу найменших квадратів ................................................ 16 2.4. Властивості оцінки параметрів ..................................................................... 18 2.5. Прогноз ............................................................................................................ 21 ТЕМА 3. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ ЕКОНОМІЧНОЇ МОДЕЛІ.............................. 22

3.1. Побудова економіко-математичної моделі на основі покрокової регресії ................................................................................................................... 22 3.2. Множинний коефіцієнт кореляції і детермінації ........................................ 24 3.3. Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії .............................. 25 3.4. Перевірка значущості і довірчі інтервали ................................................... 26 ТЕМА 4. МУЛЬТИКОЛІНЕАРНІСТЬ ........................................................................ 28

4.1. Поняття мультиколінеарності ....................................................................... 28 4.2. Ознаки мультиколінеарності......................................................................... 29 4.3. Алгоритм Фаррара-Глобера .......................................................................... 31

2

ТЕМА 5. ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ СТАТИСТИЧНОЇ ОБРОБКИ ДАННИХ ... 33

5.1. Визначення статистичних параметрів часових рядів даних ...................... 33 5.2. Ранжування даних .......................................................................................... 34 5.3. Статистичні методи вивчення динаміки і прогнозування процесів ......... 37 ТЕМА 6. ОЦІНЮВАННЯ ЗВ'ЯЗКУ МІЖ ЕКОНОМІЧНИМИ ПОКАЗНИКАМИ ... 41

6.1. Методика функціонального аналізу ............................................................. 41 6.2. Методика регресійного аналізу .................................................................... 43 ЛІТЕРАТУРА ............................................................................................................... 49

3

Тема 1. Основи економіко-математичного моделювання господарських процесів План 1.1. Роль і місце економіко-математичних моделей в управлінні економічними системами 1.2. Формування сукупності спостережень 1.3. Поняття однорідності спостережень 1.4. Точність вхідних даних 1.5. Вибір змінних і структура зв'язків

1.1. Роль і місце економіко-математичних моделей в управлінні економічними системами Сучасні методи управління економічними системами та процесами базуються на широкому використанні математичних методів та комп’ютерної техніки. З розвитком математики, електронної обчислювальної техніки, загальнометодологічних та економічної наук дедалі ширше використовують математичні моделі. Математична модель об'єкта (процесу, явища) містить у собі три групи елементів: 1) характеристику об'єкта, який потрібно визначити (невідомі величини), — вектор Y = (уj); 2) характеристики зовнішніх (щодо модельованого об'єкта) умов, які змінюються, — вектор X = (хj); 3) сукупність внутрішніх параметрів об'єкта — А. Множини умов та параметрів X і А можуть розглядатись як екзогенні величини (тобто такі, які визначаються поза рамками моделі), а величини, що належать вектору Y, — як ендогенні (тобто такі, які визначаються за допомогою моделі).

4

Математичну модель можна тлумачити як особливий перетворювач зовнішніх умов об'єкта X (входу) на характеристики об'єкта Y (виходу), які мають бути знайдені. Залежно від способу вираження співвідношень між зовнішніми умовами, внутрішніми параметрами та характеристиками, які мають бути знайдені, математичні моделі поділяються на дві групи: структурні та функціональні. Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об'єкта: його складові частини, внутрішні параметри, їх зв'язок з "входом" і "виходом" і т.ін. Розрізняють три види структурних моделей: l) Yj=fj(A,X);

(1.1)

2) Ψi(A,X,Y) = 0;

(1.2)

3) імітаційні моделі. У моделях першого виду всі невідомі величини подаються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об'єкта. У моделях другого виду невідомі визначаються одночасно із системи рівнянь, нерівностей і т. ін. В імітаційних моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвідношень невідомий. Моделі типу (1.1) — (1.2) можна розв'язати з допомогою чисельних алгоритмів. Можливості побудови моделей (1.1) дуже обмежені. Для розв'язування задачі (1.2), яка не зводиться до задачі (1.1), необхідно мати спеціальний алгоритм, за яким не тільки знаходять розв'язки, а й виявляють загальні властивості розв'язків, які не залежать від конкретних параметрів задачі. Імітаційні моделі не зводяться до чітко визначених математичних задач, а тому потрібно знаходити особливі способи для одержання розв'язків. Такі моделі виникають при спробах дати математичний опис складних систем. Для дослідження цих систем використовуються порівняно нові математичні методи: теорія випадкових процесів, теорія ігор та статистичних

5

рішень, теорія автоматів і т.ін. Імітаційні моделі не мають чіткого зображення внутрішньої організації об'єкта,

тому

їм

належить

проміжне

місце

між

структурними

та

функціональними моделями. Основна ідея функціональних моделей — пізнання сутності об'єкта через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поведінку. Внутрішня структура об'єкта при цьому не вивчається, а тому інформація про структуру не використовується. Функціональна модель описує поводження об'єкта так, що задаючи значення "входу" X, можна дістати значення "виходу" Y (без участі інформації про параметри): Y = А(Х).

(1.3)

Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор А, який пов'язує X і Y. Відмінності між структурними та функціональними моделями мають відносний характер. Вивчення структурних моделей дає одночасно цінну інформацію про поводження об'єкта. З іншого боку, при вивченні функціональних моделей необхідно сформулювати гіпотези про внутрішню структуру об'єкта. Економіко-математичні моделі належать до функціональних моделей. Вони кількісно описують зв'язок між вхідними показниками економічної системи (X) та результативним показником (Y). У загальному вигляді економіко-математичну модель можна записати так: Y=f(X,u),

(1.4)

де X — вхідні економічні показники; и — випадкова або стохастична складова. Показники X найчастіше бувають детермінованими. Адитивна складова и є випадковою змінною, а отже, з огляду на те, що залежна змінна Y залежить від и, вона також є стохастичною. Звідси випливає висновок:

6

економіко-математична модель є стохастичною. Побудова і дослідження економіко-математичних моделей мають ряд особливостей. Ці особливості пов'язані з тим, що економіко-математичні моделі є стохастичними. Вони кількісно описують кореляційно-регресійний зв'язок між економічними величинами. Отже, щоб побудувати економікоматематичну модель, необхідно: 1) мати достатньо велику сукупність спостережень даних; 2) забезпечити однорідність сукупності спостережень; 3) забезпечити точність вхідних даних.

1.2. Формування сукупності спостережень Поняття сукупності спостережень є основою економіко-математичного моделювання. Слід розрізняти одиницю спостереження — джерело даних і одиницю сукупності — носія ознак, які підлягають спостереженню. Ці поняття найбільш чітко розрізняються в соціально-економічній статистиці. Наприклад, під час перепису населення одиницею спостереження буде сім'я, а одиницею сукупності — окрема людина. При статистичних дослідженнях із застосуванням методів багатовимірного статистичного аналізу ці поняття часто

збігаються.

Тому

в

економіко-математичному

моделюванні

здебільшого йтиметься про одиницю сукупності. Сукупність спостережень можна зобразити у вигляді упорядкованого набору (матриці) даних з параметрами п, т, Т, де п — число одиниць, сукупності (і = 1, п); m — число ознак, які описують кожну одиницю (j = l, m); T— проміжок часу, за який вивчається ознака певного спостереження (t = 1, Т). За одиницю сукупності спостережень часто беруть певний економічний об'єкт, що функціонує. Вибрати одиницю сукупності — означає визначити рівень об'єкта моделювання, наприклад великий технологічний агрегат, цех, підприємство, галузь і т. ін.

7

Розрізняють три способи формування вибірки: часову, просторову і просторово-часову. Якщо сукупність спостережень вивчається у статиці (просторова вибірка), то всі дані можна зобразити у вигляді матриці розміром п×т, в якій кожний рядок несе інформацію про одиницю вибіркової сукупності, а стовпець характеризує певну ознаку. Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об'єкта в динаміці т×Т, тобто по суті складається з двовимірного чи багатовимірного часового ряду. Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок п×m×Т.

1.3. Поняття однорідності спостережень Існує багато різноманітних підходів до аналізу та оцінювання ступеня однорідності сукупності спостережень, на основі якої будується економікоматематична модель. Економічні сукупності, як правило, неоднорідні. В економіко-математичному дослідженні користуються поняттям відносної однорідності, і може йтися лише про досягнення розумного ступеня однорідності спостережень, для якого можна було б забезпечити достатню точність економічних висновків. Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об'єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на основі кількісних ознак. При цьому обидва поняття діалектично взаємопов'язані, і кількісна однорідність можлива лише за наявності одноякісності явищ та процесів, що утворюють сукупність спостережень. Ознаки, які включаються у вибірку для кожної одиниці спостереження, будуть виступати потім як змінні економіко-математичної моделі, тому, 8

формуючи сукупність спостережень, треба забезпечити порівнянність даних у просторі та часі. Це означає, що дані вхідної сукупності спостережень повинні мати: 1) однаковий ступінь агрегування; 2) однорідну структуру одиниць сукупності; 3) одні й ті самі методи розрахунку показників у часі; 4) однакову періодичність обліку окремих змінних; 5) порівнянні ціни та однакові інші зовнішні економічні умови.

1.4. Точність вхідних даних Висновки, які можна зробити в результаті економіко-математичного моделювання, цілком зумовлені якістю вхідних даних — їх повнотою та достовірністю.

Це

одна

з

найважливіших

особливостей

економіко-

математичного моделювання, на яку звертають увагу багато видатних економетристів. Ступінь точності даних, які необхідні для дослідження, ставить у пряму залежність від тієї конкретної мети, заради якої виконується вимірювання. При економічних розрахунках постає питання про точність (похибку) економічних показників. Похибки показників виникають і нагромаджуються при побудові алгоритму розрахунку, при формуванні даних, у процесі обчислень. Найістотніші похибки можуть виникати при переведенні понять економічної теорії в показники. Ці помилки можна назвати помилками, пов'язаними з розрахунком економічних показників. Вони

спричинюються

неточністю

і

неповнотою

визначення

змісту

показників, невідповідністю між вимогами і фактичним змістом, коли в принципі не можна точно виміряти економічні процеси та явища. Усі помилки поділяються на систематичні та випадкові. Систематичні помилки або мають постійну величину, або змінюються, підпорядковуючись

певній

функціональній

залежності.

однонапрямлені й можуть бути істотними за величиною.

9

Вони

завжди

Випадкові помилки зумовлюються впливом випадкових чинників при формуванні показників. При повторних розрахунках економічних показників такі помилки можуть взаємно погашатись. Проте це не означає, що й економічні наслідки випадкових помилок мають ті самі властивості. Часто відхилення в оцінці показника в будь-який бік призводять до втрат або економічні наслідки є нелінійною функцією випадкових помилок. Тому, формуючи сукупність спостережень для побудови економіко-математичної моделі, слід звертати увагу на можливість існування помилок у вхідних даних. Якщо немає змоги позбутись цих помилок (а впевненість в їх наявності існує), то слід використовувати спеціальні методи оцінювання параметрів економіко-математичної моделі, про які йтиметься далі.

1.5. Вибір змінних і структура зв'язків Економіко-математичне

моделювання

базується

на

професійних

знаннях про об'єкт дослідження. До завдань попереднього аналізу належить вирішення таких основних питань: 1) визначення набору змінних, які описують процес функціонування досліджуваних об'єктів; 2) аналіз взаємозв'язків між окремими змінними; 3) вибір раціонального типу економіко-математичної моделі. Питання вибору результативних ознак (економічних показників), що моделюються,

вирішується

відносно

просто.

Вони

часто

задані

формулюванням мети дослідження. Вибір незалежних змінних (ознакфакторів) є процесом послідовного уточнення початкової гіпотези. У цьому процесі можна вирізнити такі етапи: - формування початкової гіпотези про набір незалежних змінних; - експертна оцінка цього набору; - аналіз взаємозв'язків; - добір і звуження кола істотних для моделювання змінних.

10

В основу формування початкової гіпотези про набір змінних покладено загальну схему функціонування об'єкта, що моделюється. На перелік змінних, які вносяться до початкового набору, враховується призначення моделі, тип дослідження і т.ін. Звуження початкового набору змінних — процес багатостадійний, який відбувається на всіх етапах побудови моделі: -

під час проведення апріорного аналізу і формування робочої гіпотези (ще до збору вхідних даних),

-

на етапі їх попереднього аналізу й перетворення і навіть на етапі побудови моделі.

В основу процесу звуження набору змінних на стадії формування робочої гіпотези покладено: - результати експертного опитування та змістовні міркування різного типу; - можливість і точність вимірювань; - трудомісткість збору даних; - діапазон варіації і можливість регулювання значень змінних; - максимально допустиме їх число; - функціональні зв'язки та ряд інших міркувань.

11

Тема 2. Методи побудови загальної лінійної моделі План 2.1. Поняття моделі та етапи її побудови 2.2. Специфікація моделі 2.3. Застосування методу найменших квадратів 2.4. Властивості оцінки параметрів 2.5. Прогноз

2.1. Поняття моделі та етапи її побудови Перша принципова задача, з якою стикається кожний, хто вивчає економіку, — це задача про встановлення взаємозв'язків між економічними величинами. Так, попит на деякий товар, що формується на ринку, залежить від ціни цього товару та ціни конкуруючих товарів, споживчого доходу тощо. Витрати, що пов'язані з виготовленням будь-якої продукції, залежать від обсягу виробництва, технології, зовнішніх і внутрішніх умов, від цін на основні виробничі ресурси. Звідси, щоб ефективно керувати економічними процесами і явищами, треба вміти вимірювати ці зв'язки кількісно. Цю проблему економіки можна вирішити, побудувавши економікоматематичну модель. Означення 2.1. Економіко-математична модель — це функція чи система

функцій,

що

описує

кореляційно-регресійний

зв'язок

між

економічними показниками, один чи кілька з яких є залежною змінною, інші – незалежними. У загальному вигляді економіко-математична модель запишеться так: y = f(xl,x2,xi ... хт,и), де у — залежна змінна; хі, (j = l,m) незалежні змінні;

12

(2.1)

и — стохастична складова. Незалежні змінні моделі називаються пояснюючими, наперед заданими змінними. Залежні змінні називаються пояснюваними змінними. Економіко-математична модель, що будується на основі системи рівнянь, крім регресійних функцій, може включати тотожності. Побудова будь-якої економіко-математичної моделі, незалежно від того, на якому рівні і для яких показників вона будується, здійснюється як послідовність певних кроків. Крок 1. Знайомство з економічною теорією, висунення гіпотези взаємозв'язку. Чітка постановка задачі. Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі форми функцій, які можуть

бути

сформулювати

застосовані теоретичні

для

вивчення

уявлення

і

взаємозв'язків,

прийняті

гіпотези

необхідно у

вигляді

математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв'язки між основними визначальними змінними за припущення, що всі інші змінні є випадковими. Крок 3. Формування масивів вхідної інформації згідно з метою та завданнями дослідження. Крок 4. Оцінка параметрів економіко-математичної моделі методом найменших квадратів. Аналіз залишків дає змогу відповісти на запитання: чи не суперечить специфікація моделі передумовам "класичної" моделі лінійної регресії? Крок 5. Якщо деякі передумови моделі не виконуються, то для продовження аналізу треба замінювати специфікацію або застосовувати інші методи оцінювання параметрів. Крок 6. Проведення аналізу достовірності моделі та прогнозу за побудованою моделлю.

2.2. Специфікація моделі Економіко-математична модель базується на єдності двох аспектів – 13

теоретичного, якісного аналізу взаємозв'язків та емпіричної інформації. Теоретична інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі. Специфікація моделі – це аналітична форма економіко-математичної моделі. На основі досліджуваних чинників вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, має ймовірнісні характеристики, які притаманні стохастичним залишкам моделі. З досвіду економіко-математичних досліджень, а також на підставі якісного

теоретичного

аналізу

взаємозв'язків

між

економічними

показниками, можна навести клас функцій, які можуть описувати ці взаємозв'язки: 1) лінійна функція: у = а0 + а1х1 + а2х2 + ...+ ат,хт;

(2.2)

2) степенева функція:

у  а0 х1а1 х2а2 ...хтат ,

(2.3)

а1 а2 а   ...  т , х1 х2 хт

(2.4)

3) гіпербола: у  а0 

4) квадратична функція:

у  а0  а1х12  а2 х22  ...  ат хт2 ,

(2.5)

Серед наведених щойно видів функцій три останні є нелінійними. Але за допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна звести до лінійного виду. Лінійні моделюванні,

функції тому

найпоширеніші обґрунтування

в

економіко-математичному

економіко-математичних

методів

розглянемо на базі лінійних моделей. Маючи на увазі, що вибір аналітичної форми економіко-математичної моделі не може розглядатись без конкретного переліку незалежних змінних, специфікація

моделі

передбачає

відбір

математичного дослідження.

14

чинників

для

економіко-

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів повертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид функції, що застосовується. Адже коли вид функції та її складові не відповідають реальним процесам, то йдеться про помилки специфікації. Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів: 1) ігнорування при побудові економіко-математичної моделі істотної пояснюючої змінної; 2) введення в модель незалежної змінної, яка не є істотною для вимірюваного зв'язку; 3) використання не відповідних математичних форм залежності. Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не введеними змінними. Оцінки параметрів також будуть зміщеними (у такому разі вони вищі), тому застосування способів перевірки їх значущості може спричинитися до хибних висновків щодо значень параметрів генеральної сукупності. Для відшукання цього джерела помилок специфікації досить важко запропонувати які-небудь загальні міркування, оскільки незалежна змінна, що не враховується, може бути одним із багатьох можливих пояснень. Про необхідність введення до моделі цих незалежних змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з'ясувати, наскільки істотним є введення до моделі якої-небудь змінної. Так, наприклад, якщо побудувати економіко-математичну модель на базі покрокової регресії, то можна досить чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поводінки випадкового відхилення у помилково специфікованій моделі.

15

Друга помилка специфікації. У цьому разі, якщо до моделі вводиться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на відміну від першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна дістати також незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що економікоматематичну модель можна беззастережно розширювати за рахунок "неістотних" змінних. По-перше, існує ненульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв'язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв'язок між змінними буде виміряний неправильно. Третя помилка специфікації. Припускається, що залежна змінна є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної, тоді як насправді тут краще підійшла б квадратична, кубічна чи якась поліноміальна залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці специфікації, тобто оцінки параметрів моделі матимуть зміщення. Адекватність побудованої моделі можна встановити, аналізуючи залишки моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної змінної і обчисленими за моделлю.

2.3. Застосування методу найменших квадратів Нехай економіко-математична модель у матричній формі має вигляд Y = XA + u,

(2.6)

де Y – вектор значень залежної змінної; X – матриця незалежних змінних розміром п×т (п – число спостережень, т — кількість незалежних змінних); А – вектор параметрів моделі; и – вектор залишків. Застосовуємо МНК для оцінки параметрів моделі, якщо виконуються такі умови: 16

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто М(и) = 0;

(2.7)

2) значення иі вектора залишків и незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто М(ии') = σ2Е,

(2.8)

де Е — одинична матриця; 3) незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками: М(х'и) = 0;

(2.9)

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто |Х'Х|≠0. Це означає, що матриця Х має повний ранг. Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації. Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись лише тоді, коли залишки и є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих

груп

спостережень.

У

такому

разі

йдеться

про

явище

гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів. Третя

умова

передбачає

незалежність

між

залишками

і

пояснювальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економіко-математична метрична модель будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий методи найменших квадратів. Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які входять до

17

економіко-математичної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов'язані між собою. Тоді щоразу необхідно з'ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі. Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей з допомогою МНК.

2.4. Властивості оцінки параметрів Оцінки параметрів

є вибірковими характеристиками і повинні мати

такі властивості: 1) незміщеності; 2) обґрунтованості; 3) ефективності; 4) інваріантності. Означення

2.2.

Вибіркова

оцінка

параметра

називається

незміщеною, якщо вона задовольняє рівність М( ) = А.

(2.10)

У розглядуваному випадку М( ) = А + (X'X)-1Х'М(и). Оскільки згідно з першою умовою М(и) = 0, то М( ) = А. Отже, оцінка параметрів МНК є незміщеною. Незміщеність — це мінімальна вимога, яка ставиться до оцінок параметрів А. Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторенні випадкової вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо, були помилки оцінки, середнє значення цих помилок дорівнює нулю. Різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням оціненого

18

параметра θ = М( )-А

(2.11)

називається зміщенням оцінки. Не можна плутати помилку оцінки з її зміщенням. Помилка дорівнює -А і є випадковою величиною, а зміщення — величина стала. Означення

2.3.

Вибіркова

оцінка

параметрів

називається

обґрунтованою, якщо при довільному ε > 0 справджується співвідношення    P  A  A     1. lim n   

(2.12)

Іншими словами, оцінка обґрунтована, коли вона задовольняє закон великих чисел. Обґрунтованість помилки означає, що чим більші будуються вибірки,

тим

більша

ймовірність

того,

що

помилка

оцінки

не

перевищуватиме достатньо малої величини ε. Для обґрунтованості оцінок, здобутих на основі МНК за умови, що X детермінована, має виконуватися умова: 1



lim n X X  Q ,

(2.13)

n

де Q — додатно визначена матриця. Третя властивість оцінок

— ефективність — пов'язана з величиною

дисперсії оцінок. Тут доречно сформулювати важливу теорему Гаусса—Маркова, що стосується ефективності оцінки МНК. Теорема Гаусса—Маркова. Функція оцінювання за методом МНК покомпонентно мінімізує дисперсію всіх лінійних незміщених функцій вектора оцінок : для де

,

— дисперсія оцінок , визначених згідно з МНК,

(2.14) – дисперсія

оцінок , визначених іншими методами. Функція оцінювання МНК А у класичній лінійній моделі є найкращою (мінімально дисперсійною) лінійною незміщеною функцією оцінювання.

19

З означення дисперсії випливає, що var(A) - параметр розподілу випадкової величини

, яка є мірою розсіювання її значень навколо

математичного сподівання. Означення 2.4. Вибіркова оцінка А параметрів А називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою в класі незміщених оцінок. Нехай

ефективна оцінка параметрів А, а А' – деяка інша оцінка цих

параметрів. Тоді ,

(2.15)

тобто це відношення називається ефективністю оцінки. Очевидно, що 0<k<1; чим ближче k до одиниці, тим ефективнішою є оцінка. Означення 2.5. Незміщена оцінка задовольняє умову

, дисперсія якої при

для всіх А', називається асимптотично

ефективною оцінкою. Ще одна важливість оцінок — їх інваріантність. Означення 2.6. Оцінка

параметрів А називається інваріантною, якщо

для довільно заданої функції g оцінка параметрів функції g(A) подається у вигляді g( ). Іншими словами, інваріантність оцінки базується на тому, що в разі перетворення параметрів А за допомогою деякої функції g таке саме перетворення, виконане щодо , дає оцінку g( ) нового параметра. Інваріантність оцінок має велике практичне значення. Наприклад, якщо відома оцінка дисперсії генеральної сукупності й вона інваріантна, то оцінку середньоквадратичного відхилення можна дістати, добувши квадратний корінь із оцінки дисперсії. Коефіцієнт кореляції R є інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації

.

20

2.5. Прогноз Використаємо модель (2.1) для знаходження прогнозних значень вектора Yo, який відповідатиме очікуваним значенням матриці незалежних змінних Хо. Прогноз може бути точковим або інтервальним. Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від Yi тобто , де і — номер спостереження (i=

(2.16)

);

сі — вагові коефіцієнти значень Yi. (Їх потрібно вибрати так, щоб зробити

найкращим лінійним незміщеним прогнозом.)

Оскільки Y = ХА + и, то незміщена точкова оцінка прогнозу М[Y0(Х0)]=Х0А+u,

(2.17)

де Хо — матриця очікуваних пояснювальних змінних. Щоб отримати інтервальний прогноз необхідно розрахувати середню похибку прогнозу. Вона зростає з віддаленням значення

від відповідного середнього

значення вибірки. Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу. У матричному вигляді дисперсія прогнозу .

(2.18)

Середньоквадратична помилка прогнозу . Зауважимо, що математичного

сподівання

(2.19)

можна розглядати як точкову оцінку прогнозного

значення

Yo,

а

також

як

індивідуальне значення Yo для вектора незалежних змінних Хо, що лежить за межами базового періоду.

21

Тема 3. Дисперсійний аналіз економічної моделі План 3.1. Побудова економіко-математичної моделі на основі покрокової регресії 3.2. Множинний коефіцієнт кореляції і детермінації 3.3. Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії 3.4. Перевірка значущості і довірчі інтервали

3.1. Побудова економіко-математичної моделі на основі покрокової регресії Оцінювання

параметрів

економіко-математичної

моделі

та

її

дисперсійний аналіз становлять загальний процес побудови моделі. Поєднання цих частин зумовило появу альтернативного методу оцінювання параметрів моделі МНК, яка базується на елементах дисперсійного аналізу. При елементарному тлумаченні взаємозв’язку між двома змінними за допомогою МНК, як правило, акцентують увагу на коефіцієнтах кореляції. Причому неважко показати, що , де

(3.1)

— парний коефіцієнт кореляції між Y та X;

середньоквадратичне

відхилення

залежної

—

змінної;

—

середньоквадратичне відхилення незалежної змінної. Оцінка параметрів моделі прямо пропорційна до коефіцієнта парної кореляції. Аналогічні співвідношення виконуються і в загальному випадку. Оцінити параметри моделі можна через коефіцієнти кореляції: спочатку оцінити тісноту зв'язку між кожною парою змінних, а потім знайти оцінки параметрів економіко-математичної моделі. Оскільки коефіцієнти парної кореляції та співвідношення між ними і оцінками

параметрів

моделі

базуються

22

на

дисперсіях

та

середніх

квадратичних відхиленнях, то побудову економіко-математичної моделі через коефіцієнти парної кореляції доцільно розглянути в дисперсійному аналізі моделі. Залежність оцінок параметрів економіко-математичної моделі й коефіцієнтів парної кореляції покладено в основу алгоритму покрокової регресії. Крок 1-й. Усі вхідні дані змінних стандартизують (нормалізують). ; де змінні;

,

— нормалізована залежна змінна;

(3.2) — нормалізовані незалежні

— середнє значення -ї незалежної змінної;

залежної змінної;

,

— середнє значення

— середньоквадратичні відхилення.

При цьому середні значення дорівнюють нулю, а дисперсії – одиниці. Крок

2-й.

Знаходять

кореляційну

матрицю

(матриця

парних

коефіцієнтів кореляції). Крок 3-й. На підставі порівняння абсолютних значень вибирають max. Найбільше вказує на ту незалежну змінну, яка найтісніше пов'язана з у. З допомогою МНК знаходять оцінку параметрів цієї моделі: , де

(3.3)

— оцінки параметрів моделі, яка будується на основі

нормалізованих даних. Крок 4-й. Серед тих, що залишилися, значень вибирається max і в модель вводиться наступна незалежна змінна і т.д. Якщо немає обмеження на введення в економіко-математичну модель кожної наступної незалежної змінної, то обчислення виконуються доти, поки поступово не будуть введені в модель усі змінні. Узявши похідну за кожним невідомим параметром, і прирівнявши всі здобуті похідні нулю, дістанемо систему нормальних рівнянь. Позначимо матрицю парних коефіцієнтів кореляції між незалежними змінними через r, а вектор парних коефіцієнтів кореляції між залежною і 23

незалежними змінними через

. Тоді система нормальних рівнянь набере

вигляду ,

(3.4)

а оператор оцінювання параметрів: . Оскільки

всі

змінні

нормалізовані,

(3.5) то

параметри

показують

порівняльну силу впливу кожної незалежної змінної на залежну: чим більше за модулем значення параметра, тим сильніше впливає змінна на результат.

3.2. Множинний коефіцієнт кореляції і детермінації Тіснота зв'язку загального впливу всіх незалежних змінних на залежну визначається коефіцієнтами детермінації і множинної кореляції. Щоб дати метод їх розрахунку необхідно показати, що варіація залежної змінної (Y) навколо свого вибіркового середнього значення може бути розкладена на дві складові: 1)варіацію розрахункових значень ( ) навколо середнього значення ( ); 2)варіацію розрахункових значень ( ) навколо фактичних (Y). Необхідні при цьому обчислення зведемо в табл. 3.1. Таблиця 3.1 Джерело варіації

Сума квадратів відхилень

Ступені свободи

x1, х2, х3 … хm

m-1

Залишок u

n-m

Загальна варіація

n-1

Середнє квадратів відхилень або дисперсія

Зауважимо, що всі змінні Y і X взяті як відхилення від свого середнього

24

значення. Оскільки задані незміщені оцінки дисперсії з урахуванням числа ступенів свободи, то коефіцієнт детермінації може зменшуватись при введені в модель нових незалежних змінних. Тоді як для коефіцієнта детермінації, обчисленого без урахування поправки (n - 1 /m - 1) на число ступенів свободи, коефіцієнт детермінації ніколи не зменшується. Залежність між цими двома коефіцієнтами можна подати так: ,

(3.6)

де

— коефіцієнт детермінації з урахуванням числа ступенів

свободи;

— коефіцієнт детермінації без урахування числа ступенів

свободи. Для функції з двома і більше незалежними змінними коефіцієнт детермінації може набувати значень на множині

]0,1[. Числове значення

коефіцієнта детермінації характеризує, якою мірою варіація залежної змінної (Y) визначається варіацією незалежних змінних. Чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних змінних. Множинний коефіцієнт кореляції: Він характеризує тісноту зв'язку всіх незалежних змінних із залежною. Для множинного коефіцієнта кореляції з урахуванням і без урахування числа ступенів свободи характерна така сама зміна числового значення, як і для коефіцієнта детермінації.

3.3. Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії Частинні коефіцієнти кореляції так само, як і парні, характеризують тісноту зв'язку між двома змінними. Але на відміну від парних частинні коефіцієнти характеризують тісноту зв'язку за умови, що інші незалежні змінні сталі. Можна дістати спрощений вираз для розрахунку коефіцієнта частинної 25

кореляції, обравши інший спосіб інтерпретації цього коефіцієнта. Для випадку простої регресії двох змінних маємо , де

характеризує коефіцієнт при х у рівнянні y = f(x), a

(3.7) —

коефіцієнт при у в рівнянні x = f(y). Отже, квадрат коефіцієнта парної кореляції дорівнює добутку двох наведених коефіцієнтів. Коефіцієнт частинної кореляції можна визначити аналогічно.

3.4. Перевірка значущості і довірчі інтервали Гіпотезу про рівень значущості зв'язку між залежною і незалежною змінними можна перевірити з допомогою F-критерію: .

(3.8)

При цьому ми виходимо з того, що залишки и розподілені нормально, тобто користуємося фундаментальною теоремою про те, що для нормально розподіленої випадкової величини

з нульовою середньою і одиничною

дисперсією сума квадратів її п випадково вибраних значень має розподіл

з

п ступенями свободи. Дисперсії, які застосовуються для обчислення F-критерію, наведено в табл. 3.1. Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи т - 1 і п - т і вибраному рівні значущості. Якщо Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про істотність зв'язку між залежною і незалежними змінними економіко-математичної моделі підтверджується, у протилежному випадку — відкидається. Оскільки коефіцієнт кореляції є також вибірковою характеристикою, яка може відхилятись від свого "істинного" значення, значущість коефіцієнта кореляції також потребує перевірки. Базується вона на t-критерії

26

,

(3.9)

де R2 — коефіцієнт детермінації моделі; R — коефіцієнт кореляції; п-т — число ступенів свободи. Якщо

, де

— відповідне табличне значення t-

розподілу з п-т ступенями свободи, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежними змінними моделі. Перевіримо значущість оцінок параметрів

і знайдемо для них довірчі

інтервали, припустивши для цього, що залишки и нормально розподілені, тобто

.

Тоді

параметри

моделі

задовольняють

багатовимірний нормальний розподіл: . Коли відома величина

(3.10)

, то цей результат можна буде використати

для перевірки значущості елементів вектора інтервалів елементів цього вектора.

27

та оцінювання довірчих

Тема 4. Мультиколінеарність План 4.1. Поняття мультиколінеарності 4.2. Ознаки мультиколінеарності 4.3. Алгоритм Фаррара-Глобера

4.1. Поняття мультиколінеарності Однією з чотирьох умов, які необхідні для оцінювання параметрів загальної

лінійної

моделі

МНК,

є

умова ,

яка

стосується матриці вихідних даних X. Ця матриця має розміри п×m і повинна мати ранг т, тобто серед пояснювальних змінних моделі не повинно бути лінійно залежних. Проте оскільки економічні показники, які входять до економіко-математичної моделі як пояснювальні змінні, на практиці дуже часто пов'язані між собою, то це може стати перешкодою для оцінювання параметрів моделі МНК та істотно вплинути на якість економікоматематичного моделювання. Тому в економіко-математичних дослідженнях вельми важливо з'ясувати, чи існують між пояснювальними змінними взаємозв'язки, які називають мультиколінеарністю. Означення 4.1. Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності, або сильної кореляції, між двома чи більше пояснювальними змінними. Вона негативно впливає на кількісні характеристики економікоматематичної моделі або робить її побудову взагалі неможливою. Мультиколінеарність пояснювальних змінних призводить до зміщення оцінок параметрів моделі, через що з їх допомогою не можна зробити коректні висновки про результати взаємозв'язку залежної і пояснювальних 28

змінних. У крайньому разі, коли між пояснювальними змінними існує функціональний зв'язок, оцінити вплив цих змінних на залежну взагалі неможливо. Тоді для оцінювання параметрів моделі метод найменших квадратів не придатний, оскільки матриця X/X буде виродженою. Нехай зв'язок між пояснювальними змінними не функціональний, проте статистично істотний. Тоді попри те, що оцінити параметри методом найменших квадратів теоретично можливо, знайдена оцінка може призвести до таких помилкових значень параметрів, що сама модель стане беззмістовною. Основні наслідки мультиколінеарності.

1. Падає точність оцінювання, яка виявляється так: а) помилки деяких конкретних оцінок стають занадто великими; б) ці помилки досить корельовані одна з одною; в) дисперсії оцінок параметрів різко збільшуються.

2. Оцінки параметрів деяких змінних моделі можуть бути незначущими через наявність їх взаємозв'язку з іншими змінними, а не тому, що вони не впливають на залежну змінну. У такому разі множина вибіркових даних не дає змоги цей вплив виявити.

3. Оцінки параметрів стають досить чутливими до обсягів сукупності спостережень. Збільшення сукупності спостережень іноді може призвести до істотних змін в оцінках параметрів. З огляду на перелічені наслідки мультиколінеарності при побудові економіко-математичної моделі потрібно мати інформацію про те, що між пояснювальними змінними не існує мультиколінеарністі.

4.2. Ознаки мультиколінеарності 1. Коли серед парних коефіцієнтів кореляції пояснювальних змінних є такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту кореляції, то це означає можливість існування мультиколінеарності.

29

Інформацію про парну залежність може дати симетрична матриця коефіцієнтів парної кореляції або кореляції нульового порядку між пояснювальними змінними. Проте коли до моделі входять більш як дві пояснювальні змінні, то вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що її дає ця матриця. Явище мультиколінеарності в жодному разі не зводиться лише до існування парної кореляції між незалежними змінними. Більш

загальна

перевірка

передбачає

знаходження

визначника

(детермінанта) матриці r, який називається детермінантом кореляції і позначається

. Числові значення детермінанта кореляції задовольняють

умову:

.

2. Якщо

, то існує повна мультиколінеарність, а коли

мультиколінеарність відсутня. Чим ближче

,

до нуля, тим певніше можна

стверджувати, що між пояснювальними змінними існує мультиколінеарність. Незважаючи на те, що на числове значення

впливає дисперсія

пояснювальних змінних, цей показник можна вважати точковою мірою рівня мультиколінеарності.

3. Якщо в економетричній моделі знайдено мале значення параметра при високому рівні частинного коефіцієнта детермінації

і при цьому F-

критерій істотно відрізняється від нуля, то це також свідчить про наявність мультиколінеарності.

4. Коли коефіцієнт частинної детермінації

, який обчислено для

регресійних залежностей між однією пояснювальною змінною та іншими, має значення, яке близьке до одиниці, то можна говорити про наявність мультиколінеарності.

5. Нехай при побудові економіко-математичної моделі на основі покрокової регресії введення нової пояснювальної змінної істотно змінює оцінку параметрів моделі при незначному підвищенні (або зниженні) коефіцієнтів кореляції чи детермінації. Тоді ця змінна перебуває, очевидно, у лінійній залежності від інших, які було введено до моделі раніше.

30

Усі ці ознаки мультиколінеарності мають один спільний недолік: ні одна з них чітко не розмежовує випадки, коли мультиколінеарність істотна і коли нею можна знехтувати.

4.3. Алгоритм Фаррара-Глобера Найповніше дослідити мультиколінеарність можна з допомогою алгоритму Фаррара—Глобера. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, згідно з якими перевіряється мультиколінеарність усього масиву незалежних змінних (х2); кожної незалежної змінної з рештою змінних (Fкритерій); кожної пари незалежних змінних (t-критерій). Усі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу робити

конкретні

висновки

щодо

наявності

чи

відсутності

мультиколінеарності незалежних змінних. Опишемо алгоритм Фаррара—Глобера. Крок 1. Стандартизація (нормалізація) змінних. Позначимо вектори незалежних змінних економіко-математичної моделі через х1, х2, х3...хт. Елементи стандартизованих векторів обчислимо за формулами: 1)

; 2)

де n — число спостережень ( змінних, (

);

,

(4.1)

); т — число пояснювальних

— середнє арифметичне k-ї пояснювальної змінної;

— дисперсія k-ї пояснювальної змінної. Крок 2. Знаходження кореляційної матриці, виходячи з двох методів нормалізації змінних 1)

; 2)

,

(4.2)

де X* — матриця стандартизованих незалежних (пояснювальних) змінних,

— матриця, транспонована до матриці X*.

31

Крок 3. Визначення критерію x2: , де

(4.3)

— визначник кореляційної матриці r.

Значення цього критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи і рівні значущості

. Якщо

то в масиві

пояснювальних змінних існує мультиколінеарність. Крок 4. Визначення оберненої матриці: .

(4.4)

Крок 5. Обчислення F-критеріїв: ,

(4.5)

де ckk — діагональні елементи матриці С. Фактичні значення критеріїв порівнюються з табличними при п-т і т-1 ступенях свободи і рівні значущості

. Якщо

, то відповідна k-та незалежна змінна

мультиколінеарна з іншими. Коефіцієнт детермінації для кожної змінної .

(4.6)

Крок 6. Знаходження частинних коефіцієнтів кореляції: , де і

(4.7)

— елемент матриці С, що міститься в k-му рядку і j-му стовпці;

— діагональні елементи матриці С. Крок 7. Обчислення t-критеріїв: .

(4.8)

Фактичні значення критеріїв tkj порівнюються з табличними при п - т ступенях свободи і рівні значущості незалежними змінними

і

. Якщо

існує мультиколінеарність.

32

, то між

Тема 5. Використання методів статистичної обробки данних План 5.1. Визначення статистичних параметрів часових рядів даних 5.2. Ранжування даних 5.3. Статистичні методи вивчення динаміки і прогнозування процесів

5.1. Визначення статистичних параметрів часових рядів даних Масиви

економічних

показників

характеризуються

середніми

значеннями величин різного виду, варіацією ряду, моментами і формою розподілу даних. Для статистичного оцінювання даних використовують такі усереднені показники: • середнє арифметичне; • середнє квадратичне; • середнє геометричне; • середнє гармонічне; • середнє кубічне. Для оцінювання розсіювання (відхилення) даних відносно середнього значення користуються такими показниками: • дисперсією; • середньоквадратичним відхиленням — квадратним коренем із дисперсії (чим менше значення величини відносно її середнього значення, тим більш рівномірним є розподіл ряду даних); • середнім модулем відхилень; • ексцесом (крутістю ряду або щільністю розподілуймовірності). Для нормального розподілу ексцес дорівнює нулю, для крутих кривих розподілу він додатний, а для плоских — від'ємний порівняно з нормальною щільністю розподілу кривих; 33

• асиметричністю (ступенем асиметричності ряду або щільності розподілу ймовірності випадкової величини відносно її середнього значення). При симетричному розподілі коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю; • максимумом; • мінімумом; • найбільшим К-м (К — порядок значення, меншогоза максимум); • найменшим К-м (К — порядок значення, більшогоза мінімум); • інтервалом (максимум — мінімум); • модою (значенням, що найчастіше зустрічається уряду даних); • медіаною (значенням, розміщеним посередині ряду даних); • квартилями розподілу (підмножинами даних з однаковим числом елементів); • довірчим інтервалом тощо. Крім

спеціальних

статистичних

функцій,

для

статистичного

оцінювання даних можна використовувати спеціальний інструмент Описова статистика з «Пакета аналізу» Excel. «Пакет

аналізу»

включає

набір

інструментів

для

проведення

статистичного, кореляційно-регресійного, дисперсного та інших видів аналізу.

5.2. Ранжування даних Ранжування великих масивів числових статистичних даних забезпечує їх упорядкування і отримання такої статистичної оцінки, як ранг. Ранг — номер значення, що присвоюється випадковій величині в ряді даних. Для цього є такі правила: • кожне унікальне значення має унікальний ранг; • група чисел з однаковими значеннями (т) одержує однаковий ранг, що дорівнює рангу першого числа групи (R). Число, що йде за цією групою, 34

одержує ранг, який дорівнює (R+m); • максимальне значення ряду має ранг 1, мінімальне значення — ранг, що дорівнює кількості чисел у ряду даних або числу (n-m+1), якщо мінімальне значення одержують m чисел ряду (де п — загальна кількість чисел у ряду даних). Значення рангу дає змогу знайти відсоток чисел у множині, які не перевищують заданий ранг, — відсоток-ранг. Останній визначається для різних чисел за формулою

, а для однакових чисел — за формулою

. Окреме значення показника оцінюється його відносним положенням у ряду даних за допомогою таких статистичних показників: • квартиля — значення ознаки, що ділить ряд на 4; • квінтеля — значення ознаки, яке ділить ряд на 5; • дециля — значення ознаки, що ділить ряд на 10; • персентиля — значення ознаки, яке ділить рядна 100. Для ранжування числових рядів можна використовувати інструмент Ранг и персентиль із «Пакета аналізу». Вимоги до створення діапазону вхідних даних такі самі, як і для інструменту «Описова статистика». Діалогове вікно інструменту Ранг и персентиль передбачає задання вхідного діапазону даних, групування, міток і вибір параметрів для виведення результативної таблиці. Для

ранжування

статистичних

рядів

даних

можна

також

використовувати статистичні функції. РАНГ — обчислює ранг числа в масиві чисел. ПРОЦЕНТРАНГ — визначає питому вагу даних, що не перевищують за значенням певне число ряду даних. Ця функція слугує для оцінювання відносного положення точки у множині даних. Наприклад, можна використовувати функцію ПРОЦЕНТРАНГ, щоб оцінити положення певного

35

результату серед усіх результатів тестування. КВАРТИЛЬ — обчислює квартиль множини даних. Квартиль часто використовують при аналізі продажу, щоб розбити генеральну сукупність даних на групи. Наприклад, можна скористатися функцією КВАРТИЛЬ, щоб знайти 25% найбільш дохідних підприємств серед усієї їх множини. Оскільки

властивості

соціально-економічних

об'єктів

і

явищ

характеризуються, як правило, множиною ознак (т≥2), то при впорядкуванні одиниць сукупності та ранжуванні об'єктів і явищ виникає необхідність агрегування всіх ознак множини в одну інтегральну оцінку. Найчастіше остання визначається як середня арифметична або середня зважена значень ознак. Агрегування ознак ґрунтується на теорії адитивної цінності, згідно з якою цінність цілого дорівнює сумі цінностей його складових. Якщо ознаки (статистичні

показники)

мають

різні

одиниці

виміру,

то

адитивне

агрегування потребує зведення їх до однієї основи, тобто попередньої стандартизації. На етапі формування множини показників для різних об'єктів або явищ важливо здійснити представницький якісний відбір значущих статистичних оцінок. З метою забезпечення інформаційної односпрямованості показників їх поділяють на стимулятори та дестимулятори. Для стимуляторів кращими вважаються вищі значення показника, а для дестимуляторів — навпаки, нижчі. Зв'язок між оцінкою (рангом) і показником-стимулятором прямий, а між оцінкою та показником-дестимулятором — обернений. При агрегуванні дестимулятори перетворюються на стимулятори, наприклад (1-х або 1/х). На практиці застосовуються різні способи стандартизації показників. Усі вони ґрунтуються на порівнянні емпіричних значень показника з максимальним, мінімальним, середнім чи еталонним значеннями.

36

5.3. Статистичні методи вивчення динаміки і прогнозування процесів Ряд розміщених у хронологічній послідовності значень статистичних показників називається часовим або динамічним. Кожний такий ряд включає два елементи: • моменти або періоди часу, яких стосуються статистичні дані, що наводяться; • статистичні показники, які характеризують об'єкт чи явище за певний момент часу або за вказаний період. Динамічні

ряди

характеризують

процеси

розвитку

соціально-

економічних явищ. Цим процесам властиві дві взаємопов'язані риси: динамічність та інерційність. Перша проявляється зміною значень і варіацією показників, що характеризують процес; друга — сталістю механізму формування процесу, напрямом та інтенсивністю розвитку протягом певного часу. Від поєднання цих рис динамічний ряд у будь-який момент міститиме залишки минулого, основи сучасного і зародки майбутнього. Діалектична єдність мінливості та сталості, динамічності й інерційності формує закономірності розвитку процесу. Під впливом різних чинників довго- і короткострокової дій в одних рядах значення показників протягом тривалого часу зростають або спадають з різною інтенсивністю, а в інших збільшення та зменшення значень показників чергуються з певною періодичністю.

Окрім

закономірних

коливань

значень

показників,

динамічним рядам також можуть бути притаманні випадкові коливання. При

моделюванні

динамічних

процесів

причинний

механізм

формування властивих їм особливостей в явному вигляді не враховується. Будь-який процес розглядається як функція часу. Хоча час не є чинником конкретного соціально-економічного процесу, проте зміна показників у часі, як правило, акумулює комплекс постійно діючих умов і причин, що визначають цей процес. Виявлення

основної

тенденції

37

розвитку

процесу

називається

вирівнюванням динамічного ряду, а методи її виявлення — методами вирівнювання. Останнє дає змогу характеризувати особливості змін у часі динамічного ряду в найзагальнішому вигляді як функцію часу. При цьому вважається, що через час можна виразити вплив усіх основних чинників. Досить поширеним і простим методом аналізу динамічного ряду є його згладжування. При цьому фактичні значення показників замінюються їх середніми значеннями за певний інтервал. Варіація середніх значень показників порівняно з варіацією емпіричного ряду значно менша, а тому характер динаміки процесу проявляється чіткіше. Лінійне згладжування динамічного ряду можна здійснювати методом ковзних середніх значень показників. Цей метод застосовується для прогнозування процесів з незначною варіацією середніх значень показників протягом коротких періодів часу. Всі спостереження часового ряду мають однакову значущість незалежно від їхнього місця у вхідних даних. При досить великих, додання нових даних майже не змінює їх середнє значення для попереднього моменту часу. Для визначення ковзного середнього значення показників формують збільшені інтервали, що складаються з однакової кількості періодів. Кожний наступний інтервал одержують, послідовно просуваючись від початкового значення динамічного ряду на один крок уперед. Ковзне середнє значення показників використовують для розрахунку їхніх значень у прогнозованому періоді на основі середнього значення показників для зазначеного числа попередніх періодів. Найефективніше цей метод дослідження можна провести за допомогою інструменту Ковзаюче середнє з «Пакета аналізу». Експоненціальні середні значення показників мають більшу часову стійкість порівняно з ковзними середніми значеннями. В їх визначенні враховуються всі спостереження вхідного ряду даних, однак з різними ваговими коефіцієнтами. При цьому залежність чергових прогнозованих значень показників від попередніх більш сильна, ніж від значень у початковий період. «Пакет

аналізу»

Excel

включає

38

спеціальний

інструмент

Експотенціальне

зглажування.

Виконання

цієї

процедури

аналогічне

процедурі Ковзаюче середнє. На відміну від деяких інших інструментів «Пакета аналізу», результати (таблиці та графіки), одержувані за допомогою інструментів Експотенціальне зглажування і Ковзаюче середнє, є динамічними (зберігають зв'язки з вхідними даними й автоматично змінюються при коригуванні вхідних даних динамічних рядів). Хоч одержати ці результати можна лише на тому самому робочому листку, що й вхідні дані, проте користувач може відформатувати і перемістити їх за необхідності на інший робочий листок або в іншу робочу книгу. Значення деяких економічних показників, що мають випадковий характер, можна використовувати для побудови часових рядів — емпіричної послідовності даних, здобутих у певні моменти часу. Кожний такий ряд характеризується деякою тенденцією розвитку процесу в часі, яка називається

трендом.

Трендові

моделі

часових

(динамічних)

рядів

забезпечують видачу прогнозів на коротко- та середньостроковий періоди при виконанні низки умов: • період часу, за який досліджується прогнозованийпроцес, має бути достатнім для виявлення закономірностей; • трендова модель в аналізований період має розвиватись еволюційно; • процес, що описується часовим рядом даних, повинен мати певну інерційність, тобто для великих змін уповедінці процесу потрібний значний час; • автокореляційна функція часового ряду даних і його залишкового ряду мусить бути швидко згасаючою, тобто вплив більш пізньої інформації має сильніше відображатись на прогнозованій оцінці, ніж вплив більш ранньої інформації. На практиці найпоширенішими методами статистичного дослідження тренду є: • збільшення інтервалів для визначення тренду в часових рядах даних, що коливаються; • метод ковзних середніх значень із заданим періодом т;

39

• метод аналітичного вирівнювання у вигляді функції тренда, яка залежить від часу. Лінія

тренда

широко

застосовується

для

розв'язання

задач

прогнозування за допомогою методів регресійного аналізу. Підбір функції тренда здійснюється методом найменших квадратів. Для оцінювання точності моделі використовують коефіцієнт детермінації, побудований на основі оцінок дисперсії емпіричних даних та значень трендової моделі. Трендова модель показує тенденцію розвитку процесу, якщо коефіцієнт детермінації прямує до 1. Явища, що спостерігаються у часі, можуть розвиватися так: •рівномірно при сталому абсолютному прирості чергового рівня часового ряду даних за лінійним законом; •рівноприскорено при сталому в часі збільшенні (зниженні) темпу приросту рівнів за законом (парабола другого порядку); •із змінним прискоренням (сповільненням) призмінному в часі збільшенні (зменшенні) розвитку за законом (парабола третього — шостого порядків); •зі сповільненням зростання в кінці періоду, коли приріст у кінцевих значеннях ряду даних прямує до нуля за законом (логарифмічна функція); •зі зростанням за експоненціальним законом; •зі сталим відносним приростом за законом степеневої функції (гіпербола).

Microsoft Excel будує трендові моделі графічним способом на основі двовимірних

діаграм:

лінійних,

графіків,

гістограм,

точкових,

що

відображають динамічні зміни.

Excel надає широкі можливості здійснювати прогнозування за допомогою статистичних функцій. ТЕНДЕНЦИЯ — обчислює прогнозоване значення відповідно до лінійного тренда; апроксимує прямою лінією (за методом найменших квадратів) масиви. ПРЕДСКАЗ — обчислює або прогнозує майбутнє значення у за відомими значеннями. РОСТ — розраховує прогнозоване експоненціальне зростання на основі наявних даних масиву.

40

Тема 6. Оцінювання зв'язку між економічними показниками План 6.1. Методика функціонального аналізу 6.2. Методика регресійного аналізу

6.1. Методика функціонального аналізу Зв'язок між різними економічними показниками має функціональний (детермінований) або кореляційний (стохастичний) характер. Функціональна залежність означає детермінований, наперед визначений зв'язок між величинами і може бути виражена точним математичним співвідношенням. Кореляційна залежність означає стохастичний (випадковий) зв'язок між величинами; виражається коваріацією або коефіцієнтом кореляції; при цьому одна незалежна випадкова величина розглядається як фактор, а інша — як ознака, стосовно якої оцінюється ступінь зв'язку з фактором. У моделях, що описують функціональні зв'язки, вибір при формуванні ознакової множини обмежений. Користувач може маневрувати лише кількістю факторів, збільшуючи чи деталізуючи їх. Для регресійних моделей характерною є багатоварі-антність як ознакової множини, так і функціональної моделі. Усі явища та процеси виробничо-комерційної діяльності підприємства перебувають у взаємозв'язку, взаємозалежності та обумовленості. Деякі з них безпосередньо пов'язані між собою, інші — опосередковано. Кожний результативний показник залежить від багатьох факторів. Чим детальніше досліджується їх вплив, тим точнішими будуть результати аналізу й оцінювання діяльності підприємства. Факторний аналіз передбачає комплексне і системне вивчення впливу факторів-ознак на результативні показники.

41

Основними завданнями факторного аналізу є: відбір факторів для аналізу певного результативного показника на основі принципу причинності та зв'язку. Детермінований факторний аналіз передбачає дослідження впливу факторів, зв'язок яких з результативним показником має функціональний характер, тобто результативний показник може бути поданий у вигляді добутку, частки або алгебричної суми факторів. Детермінований аналіз впливу факторів-ознак на результативний фактор в Excel зручно проводити у вигляді двох таблиць. Перша таблиця включає вхідні дані (базисні та фактичні). У другій таблиці розміщуються статистичні показники, що визначаються методом аналізу: відхилення (абсолютні або відносні) чи темпи (індекси) зростання. Також у другій таблиці наводяться розрахункові формули впливу окремих факторів на результативний показник і перевірка їх спільної дії. При

моделюванні

детермінованих

факторних

моделей

слід

дотримуватись таких вимог: • фактори, що включаються у модель, і сама модель повинні мати певний характер, реально існувати, а небути надуманими абстрактними величинами чи явищами; • фактори, які входять до складу системи, мають бути не тільки елементами формули, а й знаходитись у причинно-наслідковому зв'язку з результативними показниками.

• усі показники факторної моделі мають бути кількісними з певними одиницями виміру; • факторна модель має забезпечувати можливість урахування впливу окремих факторів, тобто в ній має враховуватись відповідність змін результативного показника й факторів-ознак, а сумарний ефект від дії окремих факторів має дорівнювати загальному приросту результативного показника. У детермінованому аналізі виділяють такі факторні моделі, що найчастіше зустрічаються: -

адитивні (з алгебричною сумою);

42

-

мультиплікативні (з добутком);

-

кратні (з часткою);

-

мішані, що є комбінацією перших.

Кількість факторів у адитивних та мультиплікатив-них моделях може дорівнювати двом і більше. Адитивна модель передбачає алгебричну суму, тобто одні з них матимуть знак «плюс», а інші — «мінус» (прямий та зворотний впливи). Для визначення впливу окремих факторів на зміну результативного показника

користуються

такими

методами:

ланцюгових

підстановок,

індексним, абсолютних і відносних різниць, пропорційного ділення і пайової частки, а також інтегральним та методом логарифмування. Перші п'ять методів ґрунтуються на способі елімінування для проведення факторного аналізу. При цьому вважається, що фактори змінюються незалежно один від одного. Реально вони змінюються одночасно, взаємопов'язано, а від їх взаємодії

додатково

збільшується

результативний

показник,

який

приєднується до одного з факторів, як правило, до останнього. Тому вплив факторів на зміну результативного показника залежить від місця конкретного фактора в детермінованій моделі.

6.2. Методика регресійного аналізу При визначенні конкретних залежностей одні показники розглядаються як фактори впливу (ознаки), що обумовлюють зміни іншого показника (результативного фактора). Функціональні зв'язки характеризуються повною відповідністю між змінами факторної ознаки і змінами результативної величини, причому кожному значенню фактора-ознаки відповідає певне значення результативного фактора. При кореляційних зв'язках між змінами факторів-ознак та результативного показника повної відповідності не існує. Вплив окремих факторів виявляється лише в середньому при значній кількості спостережень фактичних даних. Крім того, фактор-ознака, як 43

правило, залежить від зміни інших показників. Форма взаємозв'язку випадкових величин і функції дістала назву рівняння регресії,. Виділяють парну (просту) та множинну регресії лінійного і нелінійного (квадратичного, експоненціального, напівлогарифмічного) типів. Вид, а також параметри рівняння регресії знаходять за допомогою методу найменших квадратів. За наявності кореляційної залежності визначають лише тенденцію зміни результативного показника при змінах факторів-ознак. Найчастіше

застосовуються

такі

математичні

залежності

для

оцінювання кореляційного зв'язку між факторами: Найчастіше застосовуються такі математичні залежності для оцінювання кореляційного зв'язку між факторами: - прямолінійна у = а0 + a1×х,

(6.1)

де а0 – стала (область існування моделі); а1

–

коефіцієнт

регресії,

що

характеризує

середню

зміну

результативного показника при змінах фактора-ознаки; t – час появи чергової події.

- параболічна у = a0 + a1×x+ a2×х2,

(6.2)

у = а0 + a1х,

(6.3)

- показникова - степенева у = a0×xa1,

(6.4)

y = a0 + a1/х,

(6.5)

у = а0 + а1lgx,

(6.6)

- гіперболічна - напівлогарифмічна Статистичне оцінювання тісноти зв'язку ґрунтується на показниках варіації: • загальній дисперсії результативного показника, обумовленій впливом

44

усіх факторів у сукупності; • факторній дисперсії результативного показника, що показує його варіацію під впливом окремих факторів; • залишковій дисперсії результативного показника, яка показує його варіацію під впливом усіх факторів, крім виділеного. Якісною оцінкою ступеня зв'язку випадкових величин виступає коефіцієнт детермінації, що визначається виразом

– відношенням факторної та

загальної дисперсій. Індекс кореляції розраховується як квадратний корінь із коефіцієнта детермінації, причому його значення лежать у межах від -1 до +1 (знак «мінус» указує на наявність зворотного зв'язку між факторами). Для оцінювання значущості індексу кореляції можна використовувати F-критерій Фішера. Фактичне значення цього критерію порівнюють із критичним значенням, яке визначають з урахуванням рівня значущості та кількості ступенів свободи. Якщо фактичне значення F-критерію Фішера більше від критичного, то індекс кореляції R вважається істотним. Оцінювання ступеня зв'язку випадкових величин здійснюється з використанням коефіцієнта детермінації за шкалою Чеддона: 0,1...0,3 – незначний; 0,7...0,9 – високий; 0,3...0,5 – помірний; 0,9...0,99 – дуже високий; 0,5...0,7 – істотний; 1,0 – функціональний. За коефіцієнта детермінації R2>0,7 варіація залежної змінної в основному обумовлена впливом факторів, і для прогнозування можна використовувати одержані регресійні моделі. Якщо аналізується невелика сукупність даних (<30), для визначення їх довірчого інтервалу використовується t-критерій Стьюдента. Розраховане значення t-критерію для коефіцієнта кореляції порівнюється з критичним з урахуванням прийнятого рівня значущості, а також кількості ступенів свободи та вважається типовим, якщо tp>tк. Аналогічно оцінюється значущість факторів на основі t-критерію.

45

Табличний редактор Excel дає змогу використати різні інструменти «Пакета аналізу» (Корреляция, Ковариация, Регрессия) для одержання параметрів лінійної парної та множинної регресій, а також оцінки ступеня зв'язку. Під час проведення кореляційно-регресійного аналізу слід ураховувати такі вимоги до вхідних даних, щоб одержати вірогідні результати: • статистична сукупність даних має включати достатню кількість спостережень або однорідних об'єктів (не менш як п'ять) – чим більша кількість спостережень, тим точнішими будуть результати одержаних рівнянь залежності; • статистичні дані мають бути відібрані за однаковіперіоди часу (місяць, квартал, рік) або для одноріднихоб'єктів; • при проведенні множинної регресії кількість факторів має бути меншою (хоча б на два), ніж кількістьспостережень. Розглянемо процедуру проведення багатофакторного кореляційного аналізу із застосуванням інструментів «Пакету аналізу» Excel. Етап 1. Визначаємо фактори, що впливають на результативний показник, і відбираємо найістотніші з них. Основні правила відбору факторів: • результативним фактором, як правило, визначається якісний показник ефективності певної сфери діяльності; • слід ураховувати наявність причинно-наслідкового зв'язку між показниками, що дає змогу розкрити сутність явищ, які досліджуються; • треба відбирати найбільш значущі фактори, оскільки охопити всі умови та обставини впливу на результативний показник неможливо; • усі фактори мають бути кількісними з одиницями виміру; • не рекомендується включати в кореляційну модель взаємопов'язані фактори, для чого їх слід перевірити на мультиколінеарність; • не можна включати в кореляційну модель фактори, зв'язок яких з результативним показником має функціональний характер. Перевірка

на

мультиколінеарність

46

передбачає

оцінювання

взаємозв'язку між окремими факторами-озна-ками. За наявності лінійної залежності між факторами система нормальних рівнянь не матиме однозначного розв'язку, внаслідок чого коефіцієнти регресії та інші оцінки будуть нестійкими. Крім того, наявність взаємозв'язку факторів утруднює економічну інтерпретацію рівняння зв'язку, оскільки зміна одного фактора спричиняє, як правило, зміну іншого, який з ним пов'язаний. Існує

кілька

методів

виключення

мультиколінеарності,

проте

найчастіше застосовується метод оцінювання парних коефіцієнтів кореляції. Критерієм мультиколінеарності вважається виконання двох нерівностей: rxjy>rxjxk; rxky>rxjxk.

(6.7)

Якщо ці нерівності або хоча б одна з них не виконуються, то виключається той фактор х, зв'язок якого з результативним показником у буде менш тісним. Для оцінювання парного кореляційного зв'язку між факторами можна використати інструмент Корреляция з «Пакета аналізу» або статистичну функцію КОРРЕЛ. У першому випадку дістанемо таблицю парних коефіцієнтів кореляції для кількох факторів одночасно (але без зворотного зв'язку з вхідними даними), у другому випадку можемо виконати обчислення лише для двох масивів. Етап 2. Будуємо рівняння множинної регресії та оцінюємо одержані результати. Для виконання цього етапу можна використати інструмент Регрессия або статистичні функції. Лінійний регресійний аналіз полягає у виборі графіка для відображення спостережень

за

допомогою

методу

найменших

квадратів.

Регресія

використовується для аналізу впливу на залежну змінну значень однієї або більше незалежних змінних-факторів. Таблиця Регрессионная статистика включає такі показники для оцінювання адекватності моделі: • коефіцієнт детермінації R2; • індекс кореляції R;

47

• значення

коефіцієнта

детермінації

при

збільшенні

кількості

спостережень (нормоване); • стандартну помилку; • кількість спостережень. Таблиця Дисперсійний аналіз має таку структуру: • df — кількість ступенів свободи (т; п-т-1; п-1); • SS — дисперсія (факторна, залишкова, загальна); • MS — дисперсія/кількість ступенів вільності; • F — оцінка зв'язку між незалежними факторами і залежною змінною; • значимость F — рівень значущості, що відповідає визначеному F — чим він нижче, тим кращийзв'язок. Таблиця Параметри моделі має таку структуру: • козффициенти — значення параметрів моделі а0, at; • стандартная ошибка — стандартна помилка параметрів рівняння; • t-статистика — коефіцієнт/стандартна помилка; • Р-значение — значущість для f-статистики; • межі довірчих інтервалів для коефіцієнтів рівняння регресії при різних рівнях значущості. Остання таблиця включає прогнозовані значення y і залишки. При проведенні кореляційно-регресійного аналізу можна застосовувати також додаткові статистичні функції для оцінювання параметрів моделі та залежності між факторами: • НАХИЛ — визначає коефіцієнт а1 у рівнянні у=а0+а1х; • ВІДРІЗОК — визначає коефіцієнт а0 у рівнянні у=а0+а1х; • ЛИНІЙНЕ — вводяться масиви у та х (можна декілька) — обчислюються коефіцієнти aj і а0 або коефіцієнти урівнянні з aj.

• ПІРСОН — визначає коефіцієнт кореляції R у межах від -1 до +1; • КВПИРСОН — визначає коефіцієнт детермінації R2; • СТОШУХ — визначає стандартну похибку прогнозних значень у для кожного значення х регресії;

48

• КОВАР — визначає коефіцієнти коваріації, а також середні попарні добутки відхилень.

Література 1. Бугір М.К., Математика для економістів. Лінійна алгебра, лінійні моделі: Посібник. – К.: Академія, 1998. – 272 с.

2. Кігель В.Р., Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці: Монографія. – К.: ЦУЛ, 2003. – 202 с.

3. Медведєв М.Г.,

Ігрові

методи

моделювання

економічних

систем:

Навчальний посібник/ М.Г. Медведєв, Л.В. Барановська. – К.: Вид-во Європ. ун-ту, 2002. – 116 с.

4. Корнійчук М., Складні системи з випадковою зв'язністю: ймовірнісне моделювання та оптимізація: Монографія/ М. Корнійчук, І. Совтус. – К.: КНЕУ, 2003. – 374 с.

5. Мікроекономічне моделювання і інформаційні технології/ О.О. Бакаєв, В.І. Гриценко, Л.І. Бажан, Л.О. Бакаєв. – К.: Наукова думка, 2003. – 181 с.

6. Мороз В.С., Економетрія: Навч. посібник/ В.С. Мороз, В.В. Мороз. – Хмельницький: ТУП, 2000. – 166 с.

7. Наконечний С.І.,

Економетрія:

Підручник/

С.І. Наконечний,

Т.О. Терещенко, Т.П. Романюк. – К.: КНЕУ, 2000. – 296 с.

8. Іжевський С.В., Вступ до економетрії: Навчальний посібник. – К.: Вид-во Європ. ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і бізнесу, 1999. – 93 с.

9. Шарапов О.Д., Системний аналіз: Навчальний посібник/ О.Д. Шарапов, Л.Л. Терехов, С.П. Сіднєв. – К.: Вища школа, 1993. – 303 с.

10.Юхимчик С.В., Математичні методи ризику для систем підтримки прийняття рішень: Монографія/ С.В. Юхимчук, А.О. Азарова. – Вінниця: Універсум, 2003. – 188 с.

11.Hughes R., Business mathematics. – USA: IRWIN, 1995. – 498 p.

12.Галасюк В., Фундаментально новий метод чисельного порівняння рішень// Ринок цінних паперів України. – К. – 2005. - №1-2. – С. 55-70.

49

13.Галасюк В.В., Ефект "G-гіперболізму" за кількісного порівняння величин в економіці// Фінанси України. – К. – 2005. - №6. – С. 47-55.

14.Козицький В., Про один із підходів до теорії загальної рівноваги/ В. Козицький, М. Оліскевич;/ Вісник ТАНГ. – Тернопіль. – 2004. - №2. – С. 153-158.

15.Малигін О.В., Про деякі проблеми математизації міжнародних відносин// Соціально-гуманітарні та психолого-педагогічні науки. - Хмельницький: ХНУ. – 2004. – С. 67-69.

16.Математична модель сукупної пропозиції/ Ю. Харазішвілі, О. Заріцький, Б. Дунаєв, В. Заводник;/ Банківська справа. – К. – 2003. - №3. – С. 60-71.

17.Момот В., Основи математичного моделювання ринкової турбулентності// Економіст. – К. – 2002. - №2. – С. 56-59.

18.Мороз С.В., Стохастичні моделі оцінки фінансового стану// Вісник Технологічного університету Поділля. (Хмельницький національний університет). Економічні науки. – Хмельницький. – 2004. - №6. – С. 148152.

19.Никонович М.,

Методи

оцінки

точності

прогнозних

показників/

М. Никонович, О. Юр'єва;/ Вісник Київського національного торговельноекономічного університету. – К. – 2003. - №2. – С. 50-56.

20.Обробка економічних даних на ЕОМ (керування проектами): Методичні вказівки

до

виконання

лабораторних

робіт

для

студентів

спец.

"Міжнародні економічні відносини"/ Укл. М.М. Заверач. – Хмельницький: ТУП, 2004. – 100 с.

21.Притула М.,

Динамічна

економіко-математична

модель

сучасної

економіки/ М. Притула, Х. Притула;/ Регіональна економіка. – К. – 2001. №3. – С. 47-56.

22.Прогнозування

економічних

і

фінансових

процесів

на

основі

нейронечітких технологій/ Н.Є. Бойцун, О.М. Кісельова, О.М. Кисельова, О.М. Притоманова;/ Фінанси України. – К. – 2005. - №5. – С. 79-93.

23.Секторальні моделі прогнозування економіки України: Монографія/ За

50

ред. Гейця В.М. – К.: Фенікс, 1999. – 304 с.

24.Сергієчко І.В.,

Застосування

методів стохастичної

оптимізації

для

дослідження трансформаційних процесів в економіці/ І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич;/ Системні дослідження та інформаційні технології. – К.

– 2004. - №4. – С. 7-29.

25.Шумська С.С., Капіталізація і зростання економіки: економетричні оцінки взаємозв'язку// Економіка і прогнозування. – К. – 2004. - №4. – С. 79-93.

51